23
0
Pijanìthtec kaiStatistik
S. Malef�kh
M�jhma 30
S. Malef�kh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 14 DekembrÐou 2010
Poludi�statec tuqaÐec metablhtèc
PolÔ suqn� endiaferìmaste gia th sumperifor� dÔo
perissotèrwn tuqaÐwn metablht¸n.
ParadeÐgmata
timèc enìc proðìntoc, z thsh se kil� an� ebdom�da
b�roc, Ôyoc enìc plhjusmoÔ
to eisìdhma dÔo atìmwn
oi suntetagmènec k�pou stìqou
n tuqaÐa peir�mata enìc monodi�statou qarakthristikoÔ
'Estw X1,X2, . . . ,Xn t. m. pou orÐzontai sto Ðdio peÐrama. Lème
ìti autèc oi n t. m. eÐnai apì koinoÔ katanemhmènec.
S. Malef�kh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 14 DekembrÐou 2010
Poludi�statec tuqaÐec metablhtèc
PolÔ suqn� endiaferìmaste gia th sumperifor� dÔo
perissotèrwn tuqaÐwn metablht¸n.
ParadeÐgmata
timèc enìc proðìntoc, z thsh se kil� an� ebdom�da
b�roc, Ôyoc enìc plhjusmoÔ
to eisìdhma dÔo atìmwn
oi suntetagmènec k�pou stìqou
n tuqaÐa peir�mata enìc monodi�statou qarakthristikoÔ
'Estw X1,X2, . . . ,Xn t. m. pou orÐzontai sto Ðdio peÐrama. Lème
ìti autèc oi n t. m. eÐnai apì koinoÔ katanemhmènec.
S. Malef�kh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 14 DekembrÐou 2010
Poludi�statec tuqaÐec metablhtèc
PolÔ suqn� endiaferìmaste gia th sumperifor� dÔo
perissotèrwn tuqaÐwn metablht¸n.
ParadeÐgmata
timèc enìc proðìntoc, z thsh se kil� an� ebdom�da
b�roc, Ôyoc enìc plhjusmoÔ
to eisìdhma dÔo atìmwn
oi suntetagmènec k�pou stìqou
n tuqaÐa peir�mata enìc monodi�statou qarakthristikoÔ
'Estw X1,X2, . . . ,Xn t. m. pou orÐzontai sto Ðdio peÐrama. Lème
ìti autèc oi n t. m. eÐnai apì koinoÔ katanemhmènec.
S. Malef�kh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 14 DekembrÐou 2010
Poludi�statec tuqaÐec metablhtèc
PolÔ suqn� endiaferìmaste gia th sumperifor� dÔo
perissotèrwn tuqaÐwn metablht¸n.
ParadeÐgmata
timèc enìc proðìntoc, z thsh se kil� an� ebdom�da
b�roc, Ôyoc enìc plhjusmoÔ
to eisìdhma dÔo atìmwn
oi suntetagmènec k�pou stìqou
n tuqaÐa peir�mata enìc monodi�statou qarakthristikoÔ
'Estw X1,X2, . . . ,Xn t. m. pou orÐzontai sto Ðdio peÐrama. Lème
ìti autèc oi n t. m. eÐnai apì koinoÔ katanemhmènec.
S. Malef�kh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 14 DekembrÐou 2010
Poludi�statec diakritèc tuqaÐec metablhtèc
Apì koinoÔ sun�rthsh pijanìthtac
twn t. m. X1,X2, . . . ,Xn OrÐzoume thn apì koinoÔ sun�rthsh
pijanìthtac
f (x1, x2, . . . , xn) ≡ P(X1 = x1,X2 = x2, . . . ,Xn = xn),
(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn
Apì koinoÔ (ajroistik ) sun�rthsh katanom c
F (x1, x2, . . . , xn) ≡ P(X1 ≤ x1,X2 ≤ x2, . . . ,Xn ≤ xn),
(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn
S. Malef�kh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 14 DekembrÐou 2010
Poludi�statec diakritèc tuqaÐec metablhtèc
Apì koinoÔ sun�rthsh pijanìthtac
twn t. m. X1,X2, . . . ,Xn OrÐzoume thn apì koinoÔ sun�rthsh
pijanìthtac
f (x1, x2, . . . , xn) ≡ P(X1 = x1,X2 = x2, . . . ,Xn = xn),
(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn
Apì koinoÔ (ajroistik ) sun�rthsh katanom c
F (x1, x2, . . . , xn) ≡ P(X1 ≤ x1,X2 ≤ x2, . . . ,Xn ≤ xn),
(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn
S. Malef�kh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 14 DekembrÐou 2010
Poludi�statec diakritèc tuqaÐec metablhtèc
Apì koinoÔ sun�rthsh pijanìthtac
twn t. m. X1,X2, . . . ,Xn OrÐzoume thn apì koinoÔ sun�rthsh
pijanìthtac
f (x1, x2, . . . , xn) ≡ P(X1 = x1,X2 = x2, . . . ,Xn = xn),
(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn
Apì koinoÔ (ajroistik ) sun�rthsh katanom c
F (x1, x2, . . . , xn) ≡ P(X1 ≤ x1,X2 ≤ x2, . . . ,Xn ≤ xn),
(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn
S. Malef�kh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 14 DekembrÐou 2010
Perij¸riec sunart seic pijanìthtac
Perij¸riec sunart seic pijanìthtac
Oi perij¸riec sunart seic pijanìthtac eÐnai oi sunart seic
pijanìthtac twn X1,X2, . . . ,Xn xeqwrist� kai dÐnetai apì th
sqèsh
fxi (x) =∑x1
∑x2
. . .∑xi−1
∑xi+1
. . .∑xn
f (x1, x2, . . . , xi−1, x , xi+1, . . . , xn)
Perij¸riec (ajroistikèc) sunart seic katanom c
Oi perij¸riec (ajroistikèc) sunart seic katanom c twn t.m.X1,X2, . . . ,Xn orÐzontai wc oi sunart seic katanom c twnX1,X2, . . . ,Xn xeqwrist� kai dÐnetai apì th sqèsh
Fxi (x) = limx1→∞
limx2→∞
. . . limxi−1→∞
limxi+1→∞
. . . limxn→∞
F (x1, x2, . . . , xi−1, x , xi+1, . . . , xn)
S. Malef�kh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 14 DekembrÐou 2010
Perij¸riec sunart seic pijanìthtac
Perij¸riec sunart seic pijanìthtac
Oi perij¸riec sunart seic pijanìthtac eÐnai oi sunart seic
pijanìthtac twn X1,X2, . . . ,Xn xeqwrist� kai dÐnetai apì th
sqèsh
fxi (x) =∑x1
∑x2
. . .∑xi−1
∑xi+1
. . .∑xn
f (x1, x2, . . . , xi−1, x , xi+1, . . . , xn)
Perij¸riec (ajroistikèc) sunart seic katanom c
Oi perij¸riec (ajroistikèc) sunart seic katanom c twn t.m.X1,X2, . . . ,Xn orÐzontai wc oi sunart seic katanom c twnX1,X2, . . . ,Xn xeqwrist� kai dÐnetai apì th sqèsh
Fxi (x) = limx1→∞
limx2→∞
. . . limxi−1→∞
limxi+1→∞
. . . limxn→∞
F (x1, x2, . . . , xi−1, x , xi+1, . . . , xn)
S. Malef�kh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 14 DekembrÐou 2010
Perij¸riec sunart seic pijanìthtac
Perij¸riec sunart seic pijanìthtac
Oi perij¸riec sunart seic pijanìthtac eÐnai oi sunart seic
pijanìthtac twn X1,X2, . . . ,Xn xeqwrist� kai dÐnetai apì th
sqèsh
fxi (x) =∑x1
∑x2
. . .∑xi−1
∑xi+1
. . .∑xn
f (x1, x2, . . . , xi−1, x , xi+1, . . . , xn)
Perij¸riec (ajroistikèc) sunart seic katanom c
Oi perij¸riec (ajroistikèc) sunart seic katanom c twn t.m.X1,X2, . . . ,Xn orÐzontai wc oi sunart seic katanom c twnX1,X2, . . . ,Xn xeqwrist� kai dÐnetai apì th sqèsh
Fxi (x) = limx1→∞
limx2→∞
. . . limxi−1→∞
limxi+1→∞
. . . limxn→∞
F (x1, x2, . . . , xi−1, x , xi+1, . . . , xn)
S. Malef�kh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 14 DekembrÐou 2010
'Askhsh
Ta dÔo kuriìtera eÐdh laj¸n pou k�noun oi programmatistèc eÐnai l�jh
logik c kai l�jh sÔntax c. Se mÐa apl gl¸ssa ìpwc h Basic o arijmìc
tètoiwn laj¸n eÐnai sun jwc polÔ mikrìc. 'Estw Q o arijmìc twn laj¸n
logik c kai Y o arijmìc twn laj¸n sÔntax c pou gÐnontai sto pr¸to
trèximo enìc progr�mmatoc se gl¸ssa Basic. Upojèste ìti h koin
sun�rthsh pijanìthtac twn t. m. Q kai Y eÐnai aut pou dÐnetai ston
parak�tw pÐnaka
X , Y 0 1 2 3 4
0 0.405 0.310 0.030 0.012 0.005
1 0.112 0.030 0.015 0.008 0.004
2 0.020 0.012 0.009 0.007 0.003
3 0.006 0.004 0.004 0.003 0.001
PoÐa eÐnai h pijanìthta èna tuqaÐo prìgramma Basic na èqei to polÔ
èna l�joc logik c kai to polÔ dÔo l�jh sÔntax c?
P(X ≤ 1.Y ≤ 2) = 0.902
Na breÐte tic perij¸riec sunart seic p. twn X kai Y .
S. Malef�kh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 14 DekembrÐou 2010
'Askhsh
Ta dÔo kuriìtera eÐdh laj¸n pou k�noun oi programmatistèc eÐnai l�jh
logik c kai l�jh sÔntax c. Se mÐa apl gl¸ssa ìpwc h Basic o arijmìc
tètoiwn laj¸n eÐnai sun jwc polÔ mikrìc. 'Estw Q o arijmìc twn laj¸n
logik c kai Y o arijmìc twn laj¸n sÔntax c pou gÐnontai sto pr¸to
trèximo enìc progr�mmatoc se gl¸ssa Basic. Upojèste ìti h koin
sun�rthsh pijanìthtac twn t. m. Q kai Y eÐnai aut pou dÐnetai ston
parak�tw pÐnaka
X , Y 0 1 2 3 4
0 0.405 0.310 0.030 0.012 0.005
1 0.112 0.030 0.015 0.008 0.004
2 0.020 0.012 0.009 0.007 0.003
3 0.006 0.004 0.004 0.003 0.001
PoÐa eÐnai h pijanìthta èna tuqaÐo prìgramma Basic na èqei to polÔ
èna l�joc logik c kai to polÔ dÔo l�jh sÔntax c?
P(X ≤ 1.Y ≤ 2) = 0.902
Na breÐte tic perij¸riec sunart seic p. twn X kai Y .
S. Malef�kh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 14 DekembrÐou 2010
'Askhsh
Ta dÔo kuriìtera eÐdh laj¸n pou k�noun oi programmatistèc eÐnai l�jh
logik c kai l�jh sÔntax c. Se mÐa apl gl¸ssa ìpwc h Basic o arijmìc
tètoiwn laj¸n eÐnai sun jwc polÔ mikrìc. 'Estw Q o arijmìc twn laj¸n
logik c kai Y o arijmìc twn laj¸n sÔntax c pou gÐnontai sto pr¸to
trèximo enìc progr�mmatoc se gl¸ssa Basic. Upojèste ìti h koin
sun�rthsh pijanìthtac twn t. m. Q kai Y eÐnai aut pou dÐnetai ston
parak�tw pÐnaka
X , Y 0 1 2 3 4
0 0.405 0.310 0.030 0.012 0.005
1 0.112 0.030 0.015 0.008 0.004
2 0.020 0.012 0.009 0.007 0.003
3 0.006 0.004 0.004 0.003 0.001
PoÐa eÐnai h pijanìthta èna tuqaÐo prìgramma Basic na èqei to polÔ
èna l�joc logik c kai to polÔ dÔo l�jh sÔntax c?
P(X ≤ 1.Y ≤ 2) = 0.902
Na breÐte tic perij¸riec sunart seic p. twn X kai Y .
S. Malef�kh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 14 DekembrÐou 2010
'Askhsh
X , Y 0 1 2 3 4 fY0 0.405 0.310 0.030 0.012 0.005 0.762
1 0.112 0.030 0.015 0.008 0.004 0.169
2 0.020 0.012 0.009 0.007 0.003 0.051
3 0.006 0.004 0.004 0.003 0.001 0.018
fX 0.543 0.356 0.058 0.030 0.013
Poia eÐnai h pijanìthta èna tuqaÐo prìgramma na èqei to polÔ trÐa
l�jh sÔntaxhc?
(P(Y ≤ 3) = 1− fY (4))
Poia eÐnai h pijanìthta èna tuqaÐo prìgramma na èqei toul�qiston
dÔo l�jh logik c? (P(X ≥ 2) = fX (2) + fX (3) = 0.069)
Poia eÐnai h pijanìthta na èqei toul�qiston trÐa l�jh sÔntaxhc
ìtan eÐnai gnwstì ìti èqei dÔo l�jh logik c?
(P(Y ≥ 3|X = 2) = P(Y≥3,X=2)P(X=2)
= 1051)
S. Malef�kh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 14 DekembrÐou 2010
'Askhsh
X , Y 0 1 2 3 4 fY0 0.405 0.310 0.030 0.012 0.005 0.762
1 0.112 0.030 0.015 0.008 0.004 0.169
2 0.020 0.012 0.009 0.007 0.003 0.051
3 0.006 0.004 0.004 0.003 0.001 0.018
fX 0.543 0.356 0.058 0.030 0.013
Poia eÐnai h pijanìthta èna tuqaÐo prìgramma na èqei to polÔ trÐa
l�jh sÔntaxhc? (P(Y ≤ 3) = 1− fY (4))
Poia eÐnai h pijanìthta èna tuqaÐo prìgramma na èqei toul�qiston
dÔo l�jh logik c? (P(X ≥ 2) = fX (2) + fX (3) = 0.069)
Poia eÐnai h pijanìthta na èqei toul�qiston trÐa l�jh sÔntaxhc
ìtan eÐnai gnwstì ìti èqei dÔo l�jh logik c?
(P(Y ≥ 3|X = 2) = P(Y≥3,X=2)P(X=2)
= 1051)
S. Malef�kh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 14 DekembrÐou 2010
'Askhsh
X , Y 0 1 2 3 4 fY0 0.405 0.310 0.030 0.012 0.005 0.762
1 0.112 0.030 0.015 0.008 0.004 0.169
2 0.020 0.012 0.009 0.007 0.003 0.051
3 0.006 0.004 0.004 0.003 0.001 0.018
fX 0.543 0.356 0.058 0.030 0.013
Poia eÐnai h pijanìthta èna tuqaÐo prìgramma na èqei to polÔ trÐa
l�jh sÔntaxhc? (P(Y ≤ 3) = 1− fY (4))
Poia eÐnai h pijanìthta èna tuqaÐo prìgramma na èqei toul�qiston
dÔo l�jh logik c?
(P(X ≥ 2) = fX (2) + fX (3) = 0.069)
Poia eÐnai h pijanìthta na èqei toul�qiston trÐa l�jh sÔntaxhc
ìtan eÐnai gnwstì ìti èqei dÔo l�jh logik c?
(P(Y ≥ 3|X = 2) = P(Y≥3,X=2)P(X=2)
= 1051)
S. Malef�kh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 14 DekembrÐou 2010
'Askhsh
X , Y 0 1 2 3 4 fY0 0.405 0.310 0.030 0.012 0.005 0.762
1 0.112 0.030 0.015 0.008 0.004 0.169
2 0.020 0.012 0.009 0.007 0.003 0.051
3 0.006 0.004 0.004 0.003 0.001 0.018
fX 0.543 0.356 0.058 0.030 0.013
Poia eÐnai h pijanìthta èna tuqaÐo prìgramma na èqei to polÔ trÐa
l�jh sÔntaxhc? (P(Y ≤ 3) = 1− fY (4))
Poia eÐnai h pijanìthta èna tuqaÐo prìgramma na èqei toul�qiston
dÔo l�jh logik c? (P(X ≥ 2) = fX (2) + fX (3) = 0.069)
Poia eÐnai h pijanìthta na èqei toul�qiston trÐa l�jh sÔntaxhc
ìtan eÐnai gnwstì ìti èqei dÔo l�jh logik c?
(P(Y ≥ 3|X = 2) = P(Y≥3,X=2)P(X=2)
= 1051)
S. Malef�kh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 14 DekembrÐou 2010
'Askhsh
X , Y 0 1 2 3 4 fY0 0.405 0.310 0.030 0.012 0.005 0.762
1 0.112 0.030 0.015 0.008 0.004 0.169
2 0.020 0.012 0.009 0.007 0.003 0.051
3 0.006 0.004 0.004 0.003 0.001 0.018
fX 0.543 0.356 0.058 0.030 0.013
Poia eÐnai h pijanìthta èna tuqaÐo prìgramma na èqei to polÔ trÐa
l�jh sÔntaxhc? (P(Y ≤ 3) = 1− fY (4))
Poia eÐnai h pijanìthta èna tuqaÐo prìgramma na èqei toul�qiston
dÔo l�jh logik c? (P(X ≥ 2) = fX (2) + fX (3) = 0.069)
Poia eÐnai h pijanìthta na èqei toul�qiston trÐa l�jh sÔntaxhc
ìtan eÐnai gnwstì ìti èqei dÔo l�jh logik c?
(P(Y ≥ 3|X = 2) = P(Y≥3,X=2)P(X=2)
= 1051)
S. Malef�kh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 14 DekembrÐou 2010
'Askhsh
X , Y 0 1 2 3 4 fY0 0.405 0.310 0.030 0.012 0.005 0.762
1 0.112 0.030 0.015 0.008 0.004 0.169
2 0.020 0.012 0.009 0.007 0.003 0.051
3 0.006 0.004 0.004 0.003 0.001 0.018
fX 0.543 0.356 0.058 0.030 0.013
Poia eÐnai h pijanìthta èna tuqaÐo prìgramma na èqei to polÔ trÐa
l�jh sÔntaxhc? (P(Y ≤ 3) = 1− fY (4))
Poia eÐnai h pijanìthta èna tuqaÐo prìgramma na èqei toul�qiston
dÔo l�jh logik c? (P(X ≥ 2) = fX (2) + fX (3) = 0.069)
Poia eÐnai h pijanìthta na èqei toul�qiston trÐa l�jh sÔntaxhc
ìtan eÐnai gnwstì ìti èqei dÔo l�jh logik c?
(P(Y ≥ 3|X = 2) = P(Y≥3,X=2)P(X=2)
= 1051)
S. Malef�kh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 14 DekembrÐou 2010
'Askhsh
Η από κοινού συνάρτηση συνάρτηση πιθανότητας των Χ και Y δίνεταιαπό την ακόλουθη σχέση
f (x , y) =
1
1+x+y
(5
x + y
)0.25x+y0.755−x−y x , y ∈ 0, 1, 2, 3, 4, 5,
0 ≤ x + y ≤ 50 διαφορετικά
Να υπολογιστούν οι πιθανότητες για όλα τα δυνατά ενδεχόμενα
Να βρεθούν οι περιθώριες συναρτήσεις πιθανότητας των Χ και Y
Να υπολογιστεί η πιθανότητα η τ.μ. Χ να πάρει το πολύ την τιμή
2.
S. Malef�kh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 14 DekembrÐou 2010
'Askhsh
Η από κοινού συνάρτηση συνάρτηση πιθανότητας των Χ και Y δίνεταιαπό την ακόλουθη σχέση
f (x , y) =
1
1+x+y
(5
x + y
)0.25x+y0.755−x−y x , y ∈ 0, 1, 2, 3, 4, 5,
0 ≤ x + y ≤ 50 διαφορετικά
Να υπολογιστούν οι πιθανότητες για όλα τα δυνατά ενδεχόμενα
Να βρεθούν οι περιθώριες συναρτήσεις πιθανότητας των Χ και Y
Να υπολογιστεί η πιθανότητα η τ.μ. Χ να πάρει το πολύ την τιμή
2.
S. Malef�kh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 14 DekembrÐou 2010
'Askhsh
Η από κοινού συνάρτηση συνάρτηση πιθανότητας των Χ και Y δίνεταιαπό την ακόλουθη σχέση
f (x , y) =
1
1+x+y
(5
x + y
)0.25x+y0.755−x−y x , y ∈ 0, 1, 2, 3, 4, 5,
0 ≤ x + y ≤ 50 διαφορετικά
Να υπολογιστούν οι πιθανότητες για όλα τα δυνατά ενδεχόμενα
Να βρεθούν οι περιθώριες συναρτήσεις πιθανότητας των Χ και Y
Να υπολογιστεί η πιθανότητα η τ.μ. Χ να πάρει το πολύ την τιμή
2.
S. Malef�kh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 14 DekembrÐou 2010
