Planimetrie pro studijní obory · úhlopříčky čtverce jsou shodné, půlí se a jsou navzájem...

Planimetrie pro studijní obory

Autor: Mgr. Jaromír JUŘEKKopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz.

1

24.4.2012 23:28:12 Powered by EduBase 2

Variace

Planimetrie pro studijní obory 1

1. PlanimetriePlanimetrie je geometrie zabývající se rovinnými útvary (= rovinná geometrie).

2. Základní geometrické prvky a útvaryBod- nejmenší geometrický útvar

Znázorňujeme:

Přímka - rovná čára spojující dva body; každými dvěma body je jednoznačně určena právě jedna přímka. Přímku značíme buď malým písmenem (např. p) nebo dvěma body (např. AB)

Znázorňujeme:

Pozn.: Dvěma body může být dána i polopřímka nebo úsečka

PolopřímkaZnázorňujeme:

Zapisujeme: AB

Pozn.: Platí, že AB BA

ÚsečkaZnázorňujeme:

Zapisujeme: AB

Pozn.: Potřebujeme-li vyjádřit délku (velikost) úsečky AB, pak zapisujeme |AB| = 20 cm

Rovina- geometrický útvar, který je určen třemi nekolineárními body, případně přímkou a bodem, který na této přímce neleží.

Powered by EduBase 224.4.2012 23:28:12 2


Znázorňujeme:

nebo

Zapisujeme: ABC nebo pC

Pozn.: Obdobným způsobem vyjadřujeme i polorovinu.

Zapisujeme: ABC nebo pC

Úhel- je část roviny, která je ohraničena dvěma polopřímkami se společným počátečním bodem.

Znázorňujeme:

Zapisujeme: =

Úhel může být:

nulový (velikost 0°)



kosý (velikost 0° << 180°)

pravý (velikost 90°)

přímý (velikost 180°)



plný (velikost 360°)

Jiné dělení:

úhel konvexní (velikost 0° < < 180°)

úhel konkávní (někdy též nekonvexní) (velikost 180° < < 360°)



Dvojice úhlů v rovině:

1. Dvojice úhlů vrcholových (oba úhly mají stejnou velikost)

2. Dvojice úhlů vedlejších (jejich součet je 180°)



3. Dvojice úhlů souhlasných nebo střídavých (mají stejnou velikost)

4. Dvojice úhlů výplňkových

5. Dvojice úhlů doplňkových



6. Dvojice úhlů styčných

3. TrojúhelníkyTrojúhelník je nejjednodušší rovinný útvar, má tři vrcholy, tři strany, tři vnitřní úhly a tři vnější úhly. Součet všech vnitřních úhlů v trojúhelníku je vždy 180°. Součet vnitřního úhlu a vnějšího úhlu při stejném vrcholu je 180°. Vnější úhel má vždy stejnou velikost jako součet obou vnitřních úhlů při zbývajících dvou vrcholech. Pro každý trojúhelník musí platit trojúhelníková nerovnost (součet každých dvou stran musí být vždy větší než

strana třetí).



Strany v trojúhelníku značíme podle jejich protějších vrcholů. Každý trojúhelník má tři výšky (kolmice spuštěná z vrcholu k protější straně); průsečík výšek se nazývá

orthocentrum.

Každý trojúhelník má tři těžnice (úsečka spojující vrchol se středem protější strany); průsečík těžnic se nazývá těžiště; těžiště rozděluje těžnici na dva úseky, které jsou v poměru 1 : 2, větší díl je blíže k vrcholu.



Každý trojúhelník má tři střední příčky (úsečka spojující dva středy stran); střední příčka je vždy rovnoběžná s jednou stranou trojúhelníka a má vůči ní poloviční velikost.

Každý trojúhelník má střed kružnice opsané (průsečík os stran); kružnice opsaná prochází všemi vrcholy trojúhelníka.

Každý trojúhelník má střed kružnice vepsané (průsečík os vnitřních úhlů); kružnice vepsaná se dotýká všech tří stran.

obvod trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = a + b + c obsah trojúhelníka se vypočte podle vzorce S = (1/2).a.va obsah trojúhelníka se může též vypočítat podle vzorce S = (1/2).a.b.sin



pro obsah trojúhelníka platí též Heronův vzorec:

Rozdělení a vlastnosti trojúhelníků:

A. Obecný trojúhelník nemá žádné specifické vlastnosti, platí pro něj vlastnosti výše uvedené

B. Ostroúhlý trojúhelník



trojúhelník, který má všechny vnitřní úhly ostréC. Pravoúhlý trojúhelník

trojúhelník, který má jeden vnitřní úhel pravý a zbývající dva vnitřní úhly ostré zvláštní význam má rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, který má jedem vnitřní úhel velikosti 90° a zbývající

dva vnitřní úhly shodné - velikosti 45°. u pravoúhlého trojúhelníka nazýváme nejdelší stranu (proti pravému úhlu) přepona a zbývající dvě strany

odvěsny u pravoúhlého trojúhelníka je střed kružnice opsané vždy středem přepony; tato vlastnost vyplývá z Thaletovy

věty pro výpočet obsahu pravoúhlého trojúhelníka, který má odvěsny a, b a přeponu c, platí vzorec S = (1/2).a.b; je

to proto, že odvěsny jsou v tomto typu trojúhelníka zároveň výškami v pravoúhlém trojúhelníku platí Pythagorova věta c2 = a2 + b2 (při označení přepony písmenem c) v pravoúhlém trojúhelníku, kde c je přepona, platí též goniometrické funkce:

D. Tupoúhlý trojúhelník



má jeden vnitřní úhel tupý a zbývající dva vnitřní úhly ostré dvě výšky tohoto trojúhelníka leží mimo trojúhelník; mimo trojúhelník leží i orthocentrumE. Rovnoramenný trojúhelník



má dvě strany shodné - nazývají se ramena, a zbývající strana se nazývá základna vnitřní úhly při základně jsou shodné trojúhelník je osově souměrný, osa souměrnosti půlí základnu výška spuštěná z hlavního vrcholu (tj. z vrcholu proti základně) je kolmá k základně střed kružnice opsané i vepsané leží na ose souměrnosti výška spuštěná z hlavního vrcholu je zároveň i těžnicí na ose souměrnosti leží i těžiště rovnoramenný trojúhelník může být i ostroúhlý i tupoúhlý, ale i pravoúhlý obvod rovnoramenného trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = 2a + cF. Rovnostranný trojúhelník

má všechny strany stejně dlouhé má všechny vnitřní úhly stejně velké a mají velikost 60° má všechny vnější úhly stejně velké a mají velikost 120° je osově souměrný - má tři osy souměrnosti střed kružnice opsané je zároveň i středem kružnice vepsané a zároveň i orthocentrem a těžištěm výšky jsou zároveň i těžnice obvod rovnostranného trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = 3.a výška se vypočte podle vzorce v = a.3/2



4. ČtyřúhelníkyA. Obecný čtyřúhelník

má čtyři strany, čtyři vrcholy, ale jinak žádné specifické vlastnosti čtyřúhelníky zpravidla značíme ABCD, jejich strany pak a, b, c, d a úhlopříčky |AC| = e, |BD| = f součet všech vnitřních úhlů ve čtyřúhelníku je 360°Pozn.: Různoběžník

B. Rovnoběžník

čtyřúhelník, který má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné obvod rovnoběžníku se vypočte podle vzorce o = 2.(a + b) obsah rovnoběžníku se vypočte podle vzorce S = a . va každé dva protější vnitřní úhly jsou shodné součet dvou sousedních vnitřních úhlů je 180°



úhlopříčky se navzájem půlí je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček

a) čtverec

má všechny strany stejně dlouhé, všechny vnitřní úhly shodné - velikosti 90° úhlopříčky čtverce jsou shodné, půlí se a jsou navzájem kolmé průsečík úhlopříček je středem kružnice opsané i středem kružnice vepsané je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček je osově souměrný, má čtyři osy souměrnosti (2 osy stran a 2 prodloužené úhlopříčky) obvod se vypočte podle vzorce o = 4.a obsah se vypočte podle vzorce S = a2 nebo také S = u2/2 úhlopříčka se vypočte podle vzorce u = a.2b) obdélník

má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné má všechny vnitřní úhly pravé úhlopříčky obdélníka jsou shodné, navzájem se půlí průsečík úhlopříček je střed kružnice opsané je středově souměrný podle středu úhlopříček je osově souměrný - má dvě osy souměrnosti, kterými jsou osy stran



obvod se vypočte podle vzorce o = 2.(a + b) obsah se vypočte podle vzorce S = a.b pro výpočet délky úhlopříčky platí Pythagorova větac) kosočtverec

má všechny strany stejně dlouhé každé dva protější vnitřní úhly jsou shodné každé dva sousední vnitřní úhly mají součet velikostí 180° úhlopříčky se navzájem půlí a jsou na sebe kolmé je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček je osově souměrný, má dvě osy souměrnosti, které jsou prodlouženými úhlopříčkami obvod se vypočte podle vzorce o = 4.a obsah se vypočte podle vzorce S = a.va nebo také S = u1.u2/2 lze vepsat kružnici - středem je průsečík úhlopříčekd) kosodélník

má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné má každé dva protější vnitřní úhly shodné každé dva sousední vnitřní úhly mají součet velikostí 180° úhlopříčky se navzájem půlí je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček

C. Lichoběžník



čtyřúhelník, který má dvě protější strany rovnoběžné a zbývající dvě protější strany různoběžné; rovnoběžné strany nazýváme základny, zbývající dvě strany nazýváme ramena

obvod lichoběžníka se vypočte podle vzorce o = a + b + c + d obsah lichoběžníka se vypočte podle vzorce

a) rovnoramenný lichoběžník

má obě ramena shodná má oba vnitřní úhly při každé základně shodné úhlopříčky jsou shodné je osově souměrný - má jednu osu souměrnosti, kterou je osa obou základen lze mu opsat kružnicib) pravoúhlý lichoběžník



má právě dva vnitřní úhly pravé jedno rameno je kolmé k oběma základnám

D. Deltoid

má dvě a dvě strany shodné úhlopříčky jsou na sebe kolmé nestejně dlouhé strany svírají stejné úhly je osově souměrný - má 1 osu souměrnosti může, ale také nemusí, mít jeden pravý úhel obvod se vypočte podle vzorce o = 2.(a + c) obsah se vypočte podle vzorce S = e . f / 2

Jiné dělenía) Čtyřúhelník konvexní



b) Čtyřúhelník nekonvexní

5. n-úhelníkyPravidelný pětiúhelník



má všechny strany shodné má všechny vnitřní úhly shodné postup konstrukce:

sestrojíme kružnici se středem S a v ní navzájem dva kolmé průměry AB a CD najdeme střed K úsečky SB sestrojíme úsečku KC obloukem kružnice o středu K a poloměru KC protneme průměr AB a získáme tak bod L úsečka LC je pak délkou strany pravidelného pětiúhelníku; tuto úsečku naneseme kružítkem na původní

kružnici a získáme tak vrcholy hledaného pravidelného pětiúhelníku

Pravidelný šestiúhelník má všechny stany shodné je středově souměrný je osově souměrný - má 6 os souměrnosti sestrojíme-li všechny úsečky spojující střed s vrcholy, rozdělíme pravidelný šestiúhelník na 6 shodných

rovnostranných trojúhelníků každý vnitřní úhel má velikost 120° lze opsat i vepsat kružnici postup konstrukce:

sestrojíme kružnici se středem S a poloměrem r na kružnici zvolíme libovolný bod A z bodu A postupně naneseme na kružnici poloměr r a získáme tak zbývajících pět vrcholů hledaného

šestiúhelníka

Pravidelný osmiúhelník má všechny strany shodné je středově souměrný je osově souměrný - má osm os souměrnosti lze opsat i vepsat kružnici

6. Kruh, kružnice a jejich částiZákladní pojmy:

Kružnici označujeme k, kruh označujeme K. Často zapisujeme k(S; r) nebo K(S; r), což znamená kružnice (resp. kruh) o středu S a poloměru r.

Kružnice je množina bodů, které mají od jednoho pevného bodu stejnou vzdálenost. Tento pevný bod nazýváme střed a konstantní vzdálenost bodů od středu nazýváme poloměr kružnice.

Kruh je množina všech bodů, které mají od jednoho pevného bodu vzdálenost, která je menší nebo rovna poloměru obvodové kružnice. Jinými slovy lze též vyjádřit, že kruh je část roviny, která je ohraničena kružnicí.



Poloměr označujeme nejčastěji r. Dvě délky poloměru tvoří průměr kružnice - označujeme d.

Přímka a kružnice mohou mít několik vzájemných poloh:1. Přímka a kružnice nemají žádný společný bod, pak přímku nazýváme vnější přímkou kružnice (nesečnou).

2. Přímka a kružnice mají právě jeden společný bod, pak přímku nazýváme tečnou.



Tečna je vždy kolmá na poloměr.

3. Přímka a kružnice mají dva společné body, pak přímku nazýváme sečna. Část přímky, která v tomto případě leží uvnitř kružnice, nazýváme už zmíněnou tětivou.

Tětiva kružnice je úsečka, jejíž krajní body leží na kružnici. Nejdelší tětivou kružnice je její průměr.Osa tětivy vždy prochází středem kružnice.

Úhel nazýváme obvodový úhel; úhel nazýváme středový úhel. Platí pravidlo, že úhel středový je dvojnásobkem úhlu obvodového.

KružnicePro výpočet délky kružnice platí vzorce:l = 2..r nebo l = .d

KruhPro výpočet obvodu kruhu platí vzorce:o = 2..r nebo o = .d

Pro výpočet obsahu kruhu platí vzorce:S = .r2 nebo S = .d2/4

Kruhový oblouk



Pro délku kruhového oblouku a platí:

nebo

Soustředné kružniceJedná se u dvě nebo více kružnic, které mají stejný střed, ale různý poloměr.

Kruhová výsečJedná se o rovinný útvar.

Pro obsah kruhové výseče S platí:

nebo

Kruhová úseč



Jedná se opět o rovinný útvar.

MezikružíRovinný útvar.

Obsah mezikruží:

S = . (r22 - r1

2)

7. Shodnost trojúhelníků, důkazyShodnost trojúhelníků

O dvou útvarech říkáme, že jsou shodné, lze-li je v rovině přemístit tak, že se kryjí.



Shodnost rozlišujeme:1. Útvary přímo shodné (posunutím v rovině se navzájem kryjí)2. Útvary nepřímo shodné (nelze je posouváním ztotožnit, ale lze je ztotožnit převrácením)

Uvedené vlastnosti platí analogicky i v prostoru. Můžeme ztotožnit tělesa - např. krychle, kvádry, apod.; nelze ale ztotožnit např. levou a pravou ruku. Proto i zde hovoříme o nepřímé shodnosti, někdy též tzv. zrcadlení.

Věty o shodnosti trojúhelníků:

Věta sss.

Pro každé dva trojúhelníky ABC, A´BĆ´platí: Shodují-li se trojúhelníky ve všech třech stranách, jsou shodné.

Věta sus:



Shodují-li se dva trojúhelníky ve dvou stranách a v úhlu jimi sevřeném, pak jsou shodné.

Věta usu:

Shodují-li se dva trojúhelníky v jedné straně a v obou úhlech k této straně přilehlých, pak jsou shodné.

Věta Ssu:

Dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se ve dvou stranách a v úhlu ležícím proti větší z nich.



Pozn.: Každá matematická věta se skládá ze dvou částí - z předpokladu a z tvrzení. Po vyslovení každé matematické věty by měl následovat její důkaz. V tom se také matematická věta liší od definice. Definice je obecně platné tvrzení, které už nedokazujeme.

Pro důkazy matematických vět používáme obvykle 3 typy důkazů:

1. Přímý důkaz - na základě předpokladu uvedeného v matematické větě a na základě obecně platných vlastností vyplývajících z definic nebo z jiných už dokázaných vět, vyvozujeme tvrzení vyslovené matematické věty.

2. Nepřímý důkaz (důkaz sporem) - předpokládáme, že platí negace tvrzení stanoveného v matematické větě. Na základě obecně platných definic nebo už dokázaných matematických vět dojdeme ke sporu, tj. k závěru, který neplatí. V důsledku toho pak vyslovíme závěr, že negace původně stanoveného tvrzení neplatí a musí tedy platit původní tvrzení.

3. Důkaz matematickou indukcí - s tímto typem důkazu se seznámíme později; založen je na tom, že dokážeme, že věta platí pro n = 1, pak pro libovolné n + 1 a v závěru na základě získaných poznatků větu dokážeme.

Důkazové úlohy:

Příklad 1:

Nad stranami AC a BC rovnostranného trojúhelníka ABC jsou sestrojeny rovnostranné trojúhelníky ACD a BCE tak, že každý z nich leží vně trojúhelníka ABC. Dokažte, že trojúhelník AEC je shodný s trojúhelníkem DBC.

Řešení:

|AC| = |CD| .. vyplývá z předpokladu věty a z vlastností rovnostranného trojúhelníka|BC| = |CE| .. vyplývá z předpokladu věty a z vlastností rovnostranného trojúhelníka|AC| = |BC| .. vyplývá z vlastností zadaného rovnostranného trojúhelníka ... (1)

Z uvedených tří vlastností vyplývá, že |CD| = |CE| ... (2)

úhel = 60° .. vyplývá z vlastností zadaného rovnostranného trojúhelníka

|úhel DCB| = + 60°|úhel ACE| = + 60°

Z uvedených dvou vlastností vyplývá, že |úhel DCB| = |úhel ACE| ... (3)

Ze závěrů (1), (2), (3) vyplývá, že trojúhelníky jsou tedy shodné podle věty sus. CBD

Příklad 2:



Je dán čtverec ABCD. Veďte v něm dvě libovolné příčky k sobě kolmé, z nichž jedna protíná strany AD a BC v bodech P a Q a druhá protíná strany AB a CD v bodech U a V. Dokažte, že platí |PQ| = |UV|

Řešení:

BCE je shodný s ABF (Ssu)

Odtud vyplývá, že: |EC| = |FB| = |UV| = |PQ|

Závěr: |PQ| = |UV| CBD

8. Shodnost trojúhelníků - procvičovací a důkazové úlohy

OK

1. Je dán rovnoramenný trojúhelník ABC a bod D, který je středem jeho základny AB. Bodem D jsou vedeny kolmice k ramenům AC a BC trojúhelníka ABC a jejich paty označeny M, N. Dokažte, že DMC je shodný s DNC.

2087

OK

2. Je dána kružnice k(S; r) a bod P, který leží vně kružnice k. Veďte bodem P ke kružnici k tečny t1, t2 a označte jejich dotykové body T1 a T2. Dokažte, že |PT1| = |PT2| a |úhel SPT1| = |úhel SPT2|.

2090

OK

3. Rovnoramenný trojúhelník ABC má při základně AB úhel 30°. Dokažte, že osy ramen tohoto trojúhelníka rozdělují jeho základnu AB na tři stejné díly.

2088

OK

4. Na ose o ostrého úhlu AVB zvolte bod S uvnitř úhlu AVB a sestrojte kružnici k(S; r) tak, aby r > SV. Dokažte, že platí |MN| = |PQ|, kde M, N jsou body, ve kterých přímka AV protíná kružnici k a P, Q body, ve kterých přímka VB protíná kružnici k.

2089

OK

5. Nad stranami AB a AC ostroúhlého trojúhelníka ABC jsou sestrojeny čtverce ABPQ a ACRT tak, že leží vně trojúhelníka ABC. Dokažte, že |CQ| = |BT|.

2091

9. Podobnost trojúhelníků

Podobnost trojúhelníkůDefinice:Trojúhelníky ABC, A´BĆ´jsou podobné, jestliže pro jejich strany platí:



a´= k . ab´= k . bc´= k . cČíslo k nazýváme koeficientem (poměrem) podobnosti. Koeficient podobnosti je vždy větší než nula.

Je-li k > 1, hovoříme o tzv. zvětšení, je -li 0 < k < 1, hovoříme o tzv. zmenšení.

Pozn.: Pokud by bylo k = 1, nastala by shodnost. Shodnost je tedy zvláštní případ podobnosti.

Věty o podobnosti trojúhelníků:

Věta sss:

Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže jejich poměry každých dvou odpovídajících si stran jsou shodné.

Věta sus:

Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže se shodují v jednom úhlu a poměry odpovídajících si stran, které svírají uvedený úhel, jsou shodné.

Věta uu:

Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže se shodují ve dvou odpovídajících si úhlech.

Poznámka:Pro podobné útvary tedy platí:- odpovídající si úsečky jsou ve stejném poměru- odpovídající si úhly jsou shodné

Důkazové úlohy:

Příklad 1:

Věta: Jestliže dva libovolné trojúhelníky ABC, A´BĆ´jsou rovnostranné, pak jsou podobné.

Důkaz:

Vnitřní úhly při vrcholech A, B, C mají velikost 60° ... vyplývá z vlastností rovnostranného trojúhelníkaVnitřní úhly při vrcholech A´, B´, C´ mají velikost 60° ... vyplývá z vlastností rovnostranného trojúhelníkaVnitřní úhel při vrcholu A je tedy shodný s vnitřním úhlem při vrcholu A´, vnitřní úhel při vrcholu B je shodný s vnitřním úhlem při vrcholu B´. Oba trojúhelníky jsou tedy podobné podle věty uu.

CBD

Příklad 2:

Věta: Jestliže dva pravoúhlé trojúhelníky jsou rovnoramenné, pak jsou podobné.

Důkaz:



Vnitřní úhly při vrcholech A, A´mají velikost 90° a jsou tedy shodné (vyplývá z předpokladu)|AB| = |AC| ... vyplývá z předpokladu a z vlastností rovnoramenného trojúhelníka|A´B´| = |AĆ´| ... vyplývá z předpokladu a z vlastností rovnoramenného trojúhelníka

Trojúhelníky jsou tedy podobné podle věty sus. CBD

Výpočtové úlohy:

Příklad 3:

Les tvaru trojúhelníka ABC je na mapě v měřítku 1 : 50 000 zakreslen jako trojúhelník A´BĆ´ o stranách délek 3,2 cm, 4,8 cm 5,4 cm. Určete skutečné velikosti stran trojúhelníka.

Řešení:

|A´B´| = 3,2 cm|BĆ´| = 4,8 cm|AĆ´| = 5,4 cmk = 1 : 50 000|AB| = ? [cm]|BC| = ? [cm]|AC| = ? [cm]------------------------------|AB| = (1/k) . |A´B´||AB| = 3,2 . 50 000 cm = 160 000 cm = 1,6 km|BC| = 4,8 . 50 000 cm = 240 000 cm = 2,4 km|AC| = 5,4 . 50 000 cm = 270 000 cm = 2,7 km

Rozměry lesa jsou 1,6 km, 2,4 km, 2,7 km.

10. Podobnost trojúhelníků - procvičovací příklady

kOK

1. Jsou dány dva podobné trojúhelníky , jejichž koeficient podobnosti je k. Určete, v jakém poměru jsou jejich obvody.

2047

8,4 cmOK

2. Trojúhelníky EFG a MNK jsou podobné a platí, že:|EF| = 5 cm|MN| = 7 cm|EG|= 6 cm|NK| = 4 cmVypočtěte délku strany |MK|.

2043



2,86 cmOK

3. Trojúhelníky EFG a MNK jsou podobné a platí, že:|EF| = 5 cm|MN| = 7 cm|EG|= 6 cm|NK| = 4 cmVypočtěte délku strany |FG|.

2044

OK

4. Dva rovnoramenné trojúhelníky mají základny c, c´ a výšky v, v´. Dokažte, že jsou trojúhelníky podobné, platí-li c : v = c´: v´

2049

46,3 mOK

5. Z vrcholu pahorku 80 metrů vysokého je vidět na vodorovné rovině za sebou dvě tyče pod hloubkovými úhly 62° a 42°. Určete vzdálenost obou tyčí.

2048

k2OK

6. Jsou dány dva podobné trojúhelníky , jejichž koeficient podobnosti je k. Určete, v jakém poměru jsou jejich obsahy.

2046

1 : 25 000OK

7. Trojúhelníkové pole o rozměrech 162,5 m, 117,5 m a 180 m je na mapě zakresleno jako trojúhelník se stranami 6,5 mm, 4,7 mm, 7,2 mm. Určete měřítko mapy.

2055

Jsou podobné.OK

8. Jsou dány trojúhelníky ABC a A´BĆá platí:a = 6 b = 8 c = 9 a´= 5 b´= 6 2/3 c´= 7 1/2Rozhodněte, zda jsou trojúhelníky podobné.

2042

OK

9. Dokažte, že trojúhelník ABC a trojúhelník A´BĆ, který má vrcholy ve středech stran trojúhelníka ABC, jsou trojúhelníky podobné.

2045

Jsou podobnéOK

10. Rozhodněte, zda trojúhelníky ABC, A´BĆ´jsou podobné, je-li zadáno:a = 5/3b = 11/6vnitřní úhel při vrcholu C je 70°a´= 5/2b´= 11/4vnitřní úhel při vrcholu C´je 70°

2051

350 mOK

11. Nepřátelská pozorovatelna je vzdálena 4 200 metrů a je položena o 180 metrů výše než postavení dělostřelecké baterie. Jak daleko lze umístit dělo za krytem, aby nebylo vidět z nepřátelské pozorovatelny? Kryt před baterií je 15 metrů vysoký.

2052

Nejsou podobnéOK

12. Rozhodněte, zda trojúhelníky ABC, A´BĆ´jsou podobné, je-li zadáno:a = 2,5b = 7vnitřní úhel při vrcholu C je 90°a´= 5b´= 13,9vnitřní úhel při vrcholu C´je 90°

2050

12,12 mOK

13. Školní budova vrhá na rovinu dvora stín 16 m dlouhý a v téže době vrhá svislá tyč stín 132 cm dlouhý. Určete výšku budovy.

2054



62,1 mOK

14. Přímá cesta rovnoměrně stoupá na každých dvou metrech o 46 cm. O kolik metrů stoupne cesta na vzdálenosti 270 metrů?

2053

11. Pythagorova věta

12. Pythagorova věta - procvičovací příklady

13. Eukleidovy věty

Eukleidovy věty

1. Věta o výšce

Pata výšky C´rozdělí stranu c na dvě části: ca, cb.Tvrzení: Trojúhelník ACĆ je podobný s trojúhelníkem CC´B. Důkaz je zřejmý podle věty uu, neboť oba trojúhelníky obsahují úhly alfa a beta.

Pozn.: Dva úhly, které mají na sebe kolmá ramena, jsou shodné.

Z podobnosti trojúhelníků vyplývá:

Rovněž by se dalo vyjádřit se stejným závěrem:

Vzniklý závěr nazýváme Eukleidovou větou o výšce a můžeme ji slovně vyjádřit následující větou:Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka, jehož stranami jsou úseky strany c.

Každou větu je nutno dokázat - důkaz už byl ale vlastně proveden výše.

2. Věta o odvěsně



Trojúhelník ACĆ je podobný s trojúhelníkem ACB. Podobnost lze odůvodnit opět podle věty uu, neboť v obou trojúhelnících jsou opět úhly alfa i beta.

Z podobnosti trojúhelníků vyplývá:

Rovněž by se dalo vyjádřit:

Vzniklé vzorce jsou matematickým vyjádřením Eukleidových vět o odvěsně. Protože každý pravoúhlý trojúhelník má dvě odvěsny, jsou vždy i dvě Eukleidovy věty o odvěsnách. Opět můžeme napsat matematickou větu:Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka, jehož stranami jsou přepona a úsek přilehlý k dané odvěsně.

Důkaz i této věty už byl vlastně proveden výše.

Ukázkové příklady

Příklad 1 - určení druhé odmocniny pomocí Eukleidovy věty o výšce:

Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku o délce x = 10

Řešení:

1. Číslo pod odmocninou rozložíme na součin libovolných dvou činitelů - např. 2 . 52. Rovnost x = 10 upravíme do tvaru x2 = 10, resp. x2 = 2 . 53. Zvolíme-li x = v, ca = 2, cb = 5, pak můžeme snadno použít větu o výšce.4. Protože platí ca + cb = c, zjistíme, že přepona bude dlouhá 2 + 5 = 75. Narýsujeme úsečku AB o délce 7.6. Vyznačíme bod C´ a to tak, že je vzdálen od bodu A o délku 5.7. Najdeme střed úsečky AB a uděláme půlkružnici k s tímto středem a poloměrem odpovídajícím polovině úsečky AB.8. V bodě C´vstyčíme kolmici, její průsečík s kruhovým obloukem označíme X.9. Délka úsečky C´X pak odpovídá hledané x = 10

Příklad 2 - určení druhé odmocniny pomocí Eukleidovy věty o odvěsně:

Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku o délce x = 10

Řešení:



1. Číslo pod odmocninou rozložíme na součin libovolných dvou činitelů - např. 2 . 52. Rovnost x = 10 upravíme do tvaru x2 = 10, resp. x2 = 2 . 53. Zvolíme-li x = a, ca = 2, c = 5, pak můžeme snadno použít větu o odvěsně a.4. Narýsujeme úsečku AB o délce 5.5. Vyznačíme bod C´ a to tak, že je vzdálen od bodu B o délku 2.6. Najdeme střed úsečky AB a uděláme půlkružnici k s tímto středem a poloměrem odpovídajícím polovině úsečky AB.7. V bodě C´vstyčíme kolmici, její průsečík s kruhovým obloukem označíme X.8. Délka úsečky XB pak odpovídá hledané x = 10

14. Střední geometrická úměrná a čtvrtá geometrická úměrná

Střední geometrická úměrnáVraťme se zpět k Eukleidově větě o výšce:

v2 = ca . cb

neboli

Výška v pravoúhlém trojúhelníku je střední geometrickou úměrnou obou úseků. Eukleidovy věty proto využíváme ke konstrukci algebraických výrazů - zejména odmocnin.

Příklad 1:

Je dán kruh o poloměru r. Rozdělte jej kružnicí s ním soustřednou na dvě části, jejichž obsahy se sobě rovnají.

Řešení:

Označme poloměr zadaného kruhu r a poloměr kledané soustředné kružnice r1. Pak má platit:

Hledaný poloměr je tedy střední geometrickou úměrnou

Čtvrtá geometrická úměrnáPlatí-li pro čtyři úsečky o délkách a, b, c, x vztah



pak úsečka x je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček a, b, c v tomto pořadí.

Příklad 2:

Narýsujte čtvrtou geometrickou úměrnou úseček 3 cm, 5 cm, 22 cm

Řešení:

Ze zadání musí platit vztah:

Příklad 3:

Narýsujte úsečku, která vyhovuje vztahu:

Řešení:

Zadaný vztah přepíšeme do tvaru

neboli

15. Střední geometrická úměrná - procvičovací příklady

4,69OK

1. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = 22. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce.

2024



4,69OK

2. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = 22. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce.

2013

4,80OK


2023

4,24OK


2016

3,32OK


2022

4,12OK


2017

4,58OK


2014

5,29OK


2031

3,16OK


2028

3,61OK


2030

3,74OK


2019

3,32OK


2029

3,87OK


2018

4,24OK


2032

3,46OK


2021

4,36OK


2015



2,83OK


2026

4,58OK


2025

4,36OK


2027

3,61OK


2020

16. Čtvrtá geometrická úměrná - procvičovací příklady

Pomocná úsečka y je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček b, a, d. Úsečka x je pak čtvrtou geometrickou úměrnou úseček y, a, d.

OK

1. Narýsujte úsečku délky x = (abc)/d2, kde a, b, c, d jsou velikosti daných úseček.2034

Úsečka x je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček a, c, b.OK

2. Nechť a, b, c jsou délky tří daných úseček. Sestrojte čtvrtou úsečku délky x, která vyhovuje rovnici x = bc/a

2033

17. Výpočty rovinných útvarů

Výpočty rovinných útvarůTato kapitola obsahuje řešení příkladů s využitím všech teoretických vlastností, se kterými jsme se seznámili v předcházejících kapitolách z planimetrie. Převážnou většinu příkladů budeme vždy řešit nejprve obecně, pak teprve dosadíme číselné hodnoty a na kalkulačce spočítáme výsledek, který vhodně zaokrouhlíme.Obecné řešení považujeme za hotové tehdy, obsahuje-li vzorec pouze proměnné, které máme v zápisu příkladu a výraz už nelze dále zjednodušit.

18. Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady

a = b = 35 cm, c = 42 cm, obsah trojúhelníka je 588 cm2.OK

1. Obvod rovnoramenného trojúhelníka je 112 cm. Základna je o 20 % delší než rameno trojúhelníka. Vypočtěte:a) délku ramene i základnyb) obsah trojúhelníka

2108

977 m2OK

2. Čtvercové hřiště má obvod 125 m. Jaký má obsah?2118



9,18 cmOK

3. Ve čtverci ABCD o straně a = 4 cm je sestrojena lomená čára ASRC. Vypočítejte její délku jako součet |AS| + |SR| + |RC|.

2098

10 cmOK

4. Obvod obdélníka je 28 cm, délka je o 2 cm větší než jeho šířka. Určete délku úhlopříčky tohoto obdélníku.

2121

Není zavlažováno 61,81 m2, třetí strana pole je 33,94 m.OK

5. Pole osázené zeleninou má tvar rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníka. Jeho odvěsny mají délku 24 m. Ve vrcholech trojúhelníka jsou umístěny otáčecí postřikovače o dosahu 12 m. Jak velká část pole není těmito postřikovači zavlažována a jak veliká je třetí strana pole?

2182

15OK

6. Kolik trojúhelníků je na obrázku?2126

7,5 haOK

7. Na plánu v měřítku 1 : 2 500 je zakresleno pole tvaru obdélníka. Jeho rozměry na plánu jsou 30 cm a 4 cm. Určete skutečnou výměru pole v hektarech.

2197

60 cm2OK

8. Vypočtěte obsah rovnoramenného trojúhelníka, jehož základna má délku 10 cm a rameno je o 3 cm delší než základna.

2164

6OK

9. Kolik trojúhelníků je na obrázku?2142

54 cm2OK

10. Je dán pravoúhlý lichoběžník ABCD, kde vnitřní úhly při vrcholech A, D jsou pravé a |AB| = 13 cm, |CD| = 5 cm, |AD| = 6 cm. Vypočtěte obsah lichoběžníka ABCD.

2138



4,8 cmOK

11. Pravoúhlý trojúhelník má odvěsny 6 cm a 8 cm. Vypočítejte velikost nejmenší výšky v trojúhelníku.

2175

= 90°|AC| = 8,66 cmv = 5,00 cm

OK

12. Je dán trojúhelník ABC s úhly = 30°, = 60° a stranou c = |AB| = 10 cm.a) Vypočtěte velikost úhlu .b) Vypočtěte délku strany ACc) Vypočtěte délku výšky na stranu AC

2165

a = 0,4 m, b = 0,2 m; S = 0,08 m2 = 800 cm2OK

13. Drát délky 1,2 m ohneme do tvaru obdélníka tak, aby jeho strany byly v poměru 2 : 1. Vypočtěte délky stran obdélníka a určete obsah obdélníka, a to v m2 a v cm2.

2189

16 trojúhelníkůOK

14. V rovnostranném trojúhelníku narýsujte všechny výšky a zjistěte, kolik trojúhelníků je možné na obrázku vidět.

2110

13,9 cmOK

15. Je dán obdélník ABCD, v němž je |BC| = 12 cm a úhlopříčka měří 15 cm. Na straně AB vyznačte bod R tak, že |RC| = 13 cm. Určete délku těžnice ke straně AR v trojúhelníku ARC.

2136

5 cmOK

16. Do polokružnice je vepsán obdélník SABC. Určete velikost úsečky AC, jsou-li dány velikosti úseček SA a AD.

2101

77,8 %OK

17. Je dán obdélník ABCD, v němž je |BC| = 12 cm a úhlopříčka měří 15 cm. Na straně AB vyznačte bod R tak, že |RC| = 13 cm. Určete, o kolik procent je obsah trojúhelníka ARC menší než obsah obdélníka ABCD.

2137

414 m2OK

18. Kolem bazénu s rozměry 25 m a 12 m je pás trávy široký 4,5 m. Vypočítejte obsah travnaté plochy - viz obrázek.

2117



46 cmOK

19. V kosočtverci ABCD na obrázku je velikost vnitřního úhlu při vrcholu B 120°. Určete délku strany kosočtverce, je-li délka úhlopříčky BD 46 cm.

2100

0,8 mOK

20. Na plánu s měřítkem 1 : 500 je znázorněn kruh s poloměrem r = 1,6 mm. Jaký je skutečný poloměr kruhu?

2209

88 cmOK

21. Rovnoramenný lichoběžník se základnami 100 cm a 80 cm a ramenem 50 cm byl rozdělen přímkou rovnoběžnou se základnami na dva lichoběžníky, jejichž ramena jsou v poměru 2 : 3. Vypočtěte délku společné základny.

2185

OK

22. Nakresli čtvercovou síť a zobraz do ní trojúhelník ABC, jehož vrcholy mají souřadnice A[4; 5], B[0; 3], C[3; 2]. Rozhodni, která strana je přeponou.

2154

Delší strana má délku 19,6 m a kratší 8,4 m.OK

23. Obvod obdélníka je 56 cm. Určete délky jeho stran, jsou-li v poměru 3 : 7. Proveďte zkoušku.2184

249 cm2OK

24. Vypočítejte obsah rovnostranného trojúhelníka, jehož obvod je 72 cm.2102

30 cmOK

25. Kružnice o poloměru 0,5 m má tětivu délky 80 cm. Jaká je vzdálenost této tětivy od středu kružnice?

2183

5 cmOK

26. V rovnoramenném trojúhelníku ABC (viz obrázek) je zadána velikost strany c = 6 cm a výška vc = 40 mm. Vypočítejte velikost ramen trojúhelníku ABC.

2119



3,14 cm2OK

27. Určete obsah kruhu vepsaného čtverci o straně 2 cm.2173

4 cm2OK

28. Určete obsah vyšrafované plochy.2099

Úhel má velikost 102,5° a úhel má velikost 77,5°.OK

29. Úhly , jsou vedlejší úhly. Velikost úhlu je o 25° menší než velikost úhlu. Vypočtěte velikosti obou úhlů.

2203

Obsah lichoběžníka je třikrát větší než obsah trojúhelníka.OK

30. Je dán obecný trojúhelník ABC a body D, E, které jsou po řadě středy stran AC, BC. Úsečka DE rozdělí trojúhelník ABC na trojúhelník a lichoběžník. Načrtněte situaci a vypočtěte poměr jejich obsahů. Veškeré své úvahy zapisujte.

2176

6,075 cm2OK

31. Určete obsah trojúhelníka ABS, je-li S průsečík úhlopříček kosočtverce, o němž víme, že jeho obvod je 21,6 cm a výška je 4,5 cm.

2178

Zmenšení obsahu o 20 %Zmenšení obvodu o 11,11 %

OK

32. Zmenšíme-li delší strany pozemku, který má tvar obdélníka, o 30 m, získáme čtvercovou plochu s obsahem 1,44 ha. O kolik procent se zmenšil obsah původního pozemku? O kolik procent se sníží spotřeba pletiva na oplocení pozemku?

2148

OK

33. Zapište všechny úhly určené polopřímkami VA, VB, VC.2115



Délky odvěsen jsou a = 10 m, b = 24 m.Obsah trojúhelníka je 120 m2.

OK

34. Pravoúhlý trojúhelník, jehož odvěsny jsou v poměru 5 : 12, má přeponu dlouhou 26 m. Jak dlouhé jsou odvěsny a jak velký je obsah trojúhelníka?

2159

a = 10 cm100 cm2 c = 14,76 cm

OK

35. Obdélník má strany o délkách a = 13 cm, b = 7 cm.a) Určete délku strany čtverce, který má obvod shodný s obvodem obdélníka.b) Určete obsah tohoto čtvercec) Vypočtěte délku přepony pravoúhlého trojúhelníka, jehož obsah je 50 % obsahu zadaného obdélníka, přičemž délka strany tohoto trojúhelníka je a = 13 cm.

2166

Původní rozměry jsou a1 = 12 cm, b1 = 18 cmOK

36. Délka obdélníka je o 6 cm větší než šířka. Jestliže délku i šířku obdélníka zvětšíme o jejich jednu třetinu, zvětší se obvod obdélníka o 20 cm. Vypočítejte původní rozměry obdélníka.

2094

120°OK

37. Dopočítejte úhel g vyznačený v obrázku.2207

Čtverec má větší obsah než obdélník.OK

38. Který útvar má větší obvod - čtverec o straně 2 m nebo obdélník o stranách 3 m a 1 m? Zdůvodněte. Mají oba útvary stejný obsah?

2152

o = 31,4 cm, S = 50 cm2OK

39. Vypočti obvod a obsah vyšrafovaného obrazce, má-li strana čtverce délku a = 10 cm.2179

Nemůže (spor s trojúhelníkovou nerovností)OK

40. Může být delší úhlopříčka kosočtverce dvakrát delší než strana kosočtverce?2125

4 100 krátOK

41. Kolo automobilu má průměr 62 cm. Kolikrát se kolo otočí na dráze 8 km?2170

58°OK

42. Součet vnitřních úhlů , , v trojúhelníku je 180°. Úhly a mají velikosti = 54°, 58°. Jakou velikost má úhel ?

2134



40 mOK

43. Z jak dlouhé tyče je možné vyrobit mříž nakreslenou na obrázku? Mříž má mít délku 14,14 m a skládá se z 9 stejných dílů (čtverců). Výsledek zaokrouhlete na celé číslo.

2193

2 řešení: 10,5 cm; 1,5 cmOK

44. V kružnici o poloměru 7,5 cm jsou sestrojeny dvě rovnoběžné tětivy, jejichž délky jsou 9 cm a 12 cm. Vypočtěte vzdálenost těchto tětiv.

2167

74°39´56,5´ÓK

45. Jak velký je úhel ABC, když mu do 90°schází 15°20´3,5´´?2146

|BC| = 10 cmOK

46. Je dán pravoúhlý lichoběžník ABCD, který má vnitřní úhly při vrcholech A, D pravé. Platí, že |AB| = 13 cm, |CD| = 5 cm, |AD| = 6 cm. Vypočtěte délku strany BC.

2145

70°OK

47. Dopočítejte velikost úhlu b vyznačeného v obrázku.2205

193 mOK

48. Vypočítejte obvod obrazce na obrázku a výsledek vyjádřete v metrech:2104

4 cmOK

49. Obsahy dvou kruhů jsou v poměru 4 : 9. Větší kruh má průměr 12 cm. Vypočtěte poloměr menšího kruhu.

2124

34,9 %OK

50. Uprostřed čtvercového pozemku se stranou délky 30 m je kruhový květinový záhon o průměru 200 dm, na zbytku pozemku je trávník. Vypočítejte, kolik procent z celkové plochy zabírá květinový záhon?

2187

0,35 mOK

51. Kruhový stůl o průměru 80 cm je pokryt čtvercovým ubrusem o straně 1,2 m. Jak vysoko nad podlahou jsou rohy ubrusu, je-li stůl vysoký 80 cm?

2190



Poloměr kružnice opsané: 4,62 cmPoloměr kružnice vepsané: 2,31 cm60,5 %

OK

52. Rovnostrannému trojúhelníku ABC, kde a = 8 cm, je opsaná a vepsaná kružnice.a) Vypočtěte velikosti poloměrů obou kružnicb) Kolik procent z obsahu trojúhelníka zaujímá obsah kruhu vytvořeného kružnicí vepsanou?

2112

5 cmOK

53. Úhlopříčky kosočtverce měří 8 cm a 6 cm. Vypočítejte délku strany kosočtverce.2210

5,7 mOK

54. Vypočítejte, kolik metrů linolea širokého 1,5 m je třeba k pokrytí podlahy čtvercové kuchyně, která má obsah podlahy 8,41 m2.

2169

Trojúhelník ABE zaujímá 30 %, trojúhelník ADE zaujímá 50 % a trojúhelník CDE zaujímá 20 %.OK

55. Vypočítejte:a) Jakou část obsahu obdélníka na obrázku zaujímají obsahy trojúhelníků ABE, ADE, CDE.b) Tyto části vyjádřete v procentech.

2194

= 35°15´, = 54°45ÓK

56. Na obrázku je:

Vypočtěte velikost úhlů , .

2200

94°OK

57. Vypočtěte velikost úhlu . Přímky a, b jsou rovnoběžné.2172



a = 110°, b = 70°, c = 60°, d = 50°, e = 60°, f = 70°, g = 120°, h = 110°OK

58. Dopočítejte všechny vyznačené úhly na obrázku.2208

795,2 m2OK

59. Obvod čtvercové parcely v zahrádkářské kolonii je 112,8 m. Vypočítejte její obsah.2105

= (180° - 124°) + 90° = 146°OK

60. Vypočti velikost úhlu - viz obrázek:3025

4/5OK

61. Vyjádřete zlomkem, jaká část obrázku není vyšrafována.2153

Středy stran ubrusu jsou přibližně o 24,9 cm výše nad zemí než jeho rohy.OK

62. Kruhový stůl s průměrem 80 cm je pokryt čtvercovým ubrusem o straně 1,2 m tak, že střed ubrusu je uprostřed stolu. O co výše nad zemí jsou středy stran ubrusu než jeho rohy?

2114



50°OK

63. Dopočítejte velikost úhlu d vyznačeného v obrázku.2206

75°OK

64. Jak velký úhel svírají hodinové ručičky, ukazují-li hodiny 8 hodin 30 minut? (Uvažujte pouze konvexní úhly.)

2127

13,5 cmOK

65. Jestliže délku strany zvětšíme o jednu třetinu, zvětší se obvod čtverce o 18 cm. Vypočtěte délku strany čtverce.

2095

TupoúhlýOK

66. Určete výpočtem, zda trojúhelník ABC je ostroúhlý nebo tupoúhlý, je-li vnitřní úhel při vrcholu A velký 42°37´ a vnitřní úhel při vrcholu B má velikost 35°28´.

2147

204 cm2OK

67. Vypočítejte obsah rovnoramenného lichoběžníku, jehož základny mají délky z1 = 22 cm, z2 = 12 cm, je-li jeho výška o 1 cm menší než délka ramene.

2093

= 70°, OK

68. Do obrázku k vyznačeným úhlům vepište jejich velikosti.2141

65,1 %OK

69. Kruhový stůl s průměrem 80 cm je pokryt čtvercovým ubrusem o straně 1,2 m tak, že střed ubrusu je uprostřed stolu. Určete v procentech tu část plochy ubrusu, která neleží na rovině stolu.

2113



ABDOK

70. Který z trojúhelníků ABC, ABD, ABE má největší obsah? Odpověď zdůvodněte.2160

Oba obsahy jsou shodnéOK

71.

Porovnejte obsahy trojúhelníků ABC a ABCńa obrázku.

2144

0,4 mOK

72. Drát délky 1,2 m ohneme do tvaru obdélníka tak, aby jeho strany byly v poměru 1 : 2. Vypočtěte délku delší strany obdélníka v metrech.

2188

va = 2,25 cm; vb = 5,25 cmOK

73. V trojúhelníku jsou velikosti stran a, b v poměru 7 : 3. V jakém poměru jsou v tomto trojúhelníku velikosti výšek va, vb? Vypočítejte výšky va, vb, je-li velikost výšky vb o 3 cm větší než velikost výšky va.

2201

155°, resp. 205°OK

74. Jaká je velikost úhlu, který svírají hodinové ručičky, jestliže je právě 4 hodiny 50 minut?2092

30 mOK

75. Mostní kruhový oblouk má rozpětí 36 m a výšku 6 m. Vypočtěte poloměr kružnice r, jejíž částí je kruhový oblouk.

2196

Nebylo by to možné, protože by nebyla splněna trojúhelníková nerovnost.OK

76. Strany trojúhelníka ABC mají délky a = 6 cm, b = 4 cm, c = 8 cm. Narýsujte tento trojúhelník a zjistěte početně, zda by bylo možno narýsovat trojúhelník, který má všechny strany o 2 cm kratší, než jsou strany trojúhelníka ABC.

2106

= 90° - 35° = 55°OK

77. Vypočti velikost úhlu - viz obrázek:2155



= = 36°; = 96°OK

78. Vypočtěte velikosti úhlů , na obrázku, kde přímky p, q jsou rovnoběžné a =84°, = 36°.2129

NeOK

79. V kruhovém zaskleném ciferníku s průměrem 22 cm vypadla velká ručička délky 10,6 cm a zůstala ležet uvnitř ve vodorovné poloze. Dotkne se malá hodinová ručička dlouhá 9 cm spadlé ručičky?

2181

= 99°, = 54°, = 27°.OK

80. Vypočtěte velikost vnitřních úhlů v trojúhelníku ABC, jestliže platí: : : = 6 : 11 : 3

2174

6,6 dm2OK

81. Vypočítejte obsah útvaru na obrázku:2120

4 krátOK

82. Zvětšíme-li stranu čtverce na dvojnásobek, zvětší se tím obsah čtverce kolikrát?2139

= 132°, = = = 123°OK

83. Vypočtěte velikosti úhlů , , , vyznačených na obrázku2103



Platí Pythagorova věta, proto trojúhelník je pravoúhlý.480 cm2

26 cm

OK

84. Strany trojúhelníka jsou v poměru 5 : 12 : 13. Jeho obvod měří 120 cm.a) Dokažte, že trojúhelník je pravoúhlýb) Vypočtěte obsah trojúhelníka ABCc) Kolik centimetrů měří poloměr kružnice opsané tomuto trojúhelníku? Své tvrzení zdůvodněte.

2123

25 mmOK

85. Obvod obdélníka je 12,4 cm, délka obdélníka je 37 mm. Vypočítejte jeho šířku.2107

a) Nelze (neplatí trojúhelníková nerovnost)b) Lze

OK

86. Rozhodněte, zda je možno sestrojit trojúhelník s délkami stran:a) 5 cm, 7 cm, 14 cmb) 15 cm, 9 cm, 12 cm

2202

Úloha má dvě řešení: = = 45°, = = 72°,

OK

87. Jeden z vnitřních úhlů rovnoramenného trojúhelníka je dvakrát větší než druhý. Určete velikost vnitřních úhlů trojúhelníka. Řešení doplňte náčrtem.

2150

3 200 m2OK

88. Pozemek má tvar lichoběžníka. Jeho tři strany mají stejnou délku, čtvrtá strana je o 40 m kratší než součet ostatních tří stran. Délka plotu kolem celého pozemku je 260 m. Jakou výměru má pozemek?

2162

27 obdélníkůOK

89. Plechová deska tvaru obdélníka o rozměrech 30 cm a 42 cm má být rozřezána na obdélníky o rozměrech 5 cm a 9 cm. Kolik takových obdélníků dostaneme, aby byl zbytek co nejmenší?

2156

19 cm2OK

90. Vypočtěte obsah vyšrafovaného obrazce umístěného ve čtvercové síti - čtverec sítě má obsah 1 cm2.

2111

2 400 cm2OK

91. Kosočtverec má výšku v = 48 cm a kratší úhlopříčku u = 60 cm. Určete jeho obsah.2192



53,7 cm2OK

92. A, B, C, D jsou vrcholy čtverce o straně a = 4 cm, k(A; 2 cm), l(B; 2 cm), m(C; 2 cm), n(D; 2 cm). Vypočítejte obvod a obsah tučně vytaženého útvaru.

2199

a = 36 cm, b = 39 cm, c = 15 cmOK

93. Obvod trojúhelníka je 90 cm. Strana b je o 3 cm delší než strana a , strana c je o 24 cm kratší než strana b.Určete délky stran trojúhelníka.

2109

90°OK

94. Určete velikost úhlu ASD v kosočtverci ABCD, jehož obvod je 21,6 cm a výška je 4,5 cm. Bod S je průsečík úhlopříček kosočtverce.

2177

Nemohou, neplatila by trojúhelníková nerovnost.OK

95. Zjistěte, zda úsečky o délkách 3,8 cm, 7,2 cm a 3,4 cm mohou být stranami trojúhelníka.2151

52 cmOK

96. Kosočtverec má úhlopříčky e = 96 cm, f = 40 cm. Určete velikost strany kosočtverce.2157

75°OK

97. Narýsujte úhel = 105°. K němu narýsujte vedlejší úhel a vypočtěte jeho velikost.2130

V desetiOK

98. V kolika bodech maximálně se může protnout 5 přímek?2140

= 60°, = 120°, = OK

99. Vypočítejte velikosti vnitřních úhlů , , rovnoběžníku ABCD, jestliže platí = .2191

17,32 cmOK

100. Rovnostrannému trojúhelníku ABC je vepsána kružnice k o poloměru 5 cm. Určete délku strany trojúhelníku ABC.

2097



24,3 cm2OK

101. Určete obsah kosočtverce, je-li jeho obvod 21,6 cm a jeho výška je 4,5 cm.2180

11OK

102. Na kolik částí maximálně rozdělí rovinu čtyři přímky?2143

280 KčOK

103. Pozemek kolem domu má tvar obdélníka. Jeho délka je čtyřikrát větší než jeho šířka. Šířka měří 8,5 m.a) Kolik Kč stála barva na plot kolem celého pozemku, vystačí-li 1 kg barvy po 56 Kč na natření 17 m plotu?b) Načrtněte pozemek a rozdělte ho na ostroúhlý, pravoúhlý a tupoúhlý trojúhelník. Dovnitř každého trojúhelníka napište odpovídající písmeno (O, P, T).

2204

MůžemeOK

104. Trojúhelník ABC má stranu a = 6 cm. Strana b je o 2 cm kratší než strana a, strana c je dvakrát delší než strana b. Můžeme narýsovat trojúhelník, který má všechny strany o 2 cm delší než jsou strany trojúhelníka ABC?

2133

40,2 m2OK

105. Koberec tvaru obdélníka měl rozměry 8,8 m a 5,5 m. Aby se vešel do místnosti, bylo nutné na všech čtyřech stranách odstřihnout pás široký 30 cm. Jaký je obsah podlahy místnosti?

2116

20°OK

106. Trojúhelník ABC je rovnoramenný (základna AB). Určete velikost vnitřního úhlu při vrcholu C.2135

Úhly při základně mají velikost 53°22´ a při vrcholu je úhel o velikosti 73°16´.OK

107. Vnější úhel při základně rovnoramenného trojúhelníku je ´= 126°38´. Vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníka.

2168

56,25 cm2OK

108. Narýsujte čtverec, který má obvod 30 cm. Vypočtěte jeho obsah.2132

112 dlaždicOK

109. Záhonek tvaru obdélníka má rozměry 6 m a 10 m. Kolik kusů dlaždic o straně 50 cm je třeba na chodník šířky 1 m, který vede těsně kolem okraje celého záhonu?

2186

o = 24 cm; S = 41,6 cm2OK

110. Narýsujte kružnici k s poloměrem r = 4 cm. Do kružnice vepište pravidelný šestiúhelník ABCDEF. Vypočítejte jeho obvod a obsah.

2122



1/2OK

111. Jakou část z plochy čtverce tvoří vyšrafovaný trojúhelník?2149

140 mOK

112. Určete obvod zahrady obdélníkového tvaru, jejíž úhlopříčka má délku 50 m a jedna strana délku 30 m.

2096

|AF| = 5 cm, |BC| = 1 cmOK

113. Destička tvaru šestiúhelníku ABCDEF, v němž každé dvě sousední strany jsou navzájem kolmé, má obsah S = 23 cm2. Určete délky stran BC a AF. Je dáno: |AB| = 30 mm, |CD| = 20 mm, |DE| = 40 mm.

2195

3350 m2OK

114. Vypočítejte výměru pozemku, jehož plánek je na obrázku. Uvedené rozměry jsou v metrech.2128

v = 6,06 cmOK

115. Vypočtěte výšku rovnostranného trojúhelníku se stranou délky a. Řešte nejprve obecně a potom pro a = 7 cm.

2161



700 m2; 160 mOK

116. Na základě údajů v plánku (jsou v metrech) vypočtěte:a) plošný obsah pozemkub) jeho obvod

2131

57,74 cm2OK

117. Rovnostranný trojúhelník KLM má výšku 10 cm. Vypočtěte jeho obsah.2163

Na osetí plochy, která zabírá 20 % rozlohy zahrady, budeme potřebovat přibližně 0,356 kg semene.OK

118. Zahrada mateřské školky má tvar obdélníka ABCD (jeden díl = 1 m). Na zahradě je pískoviště tvaru trojúhelníka DEC. Kolik kilogramů travního semene se musí zakoupit na osetí zahrady, jestliže 100 g semene osejeme 9 m2 zahrady? Jakou část zahrady zaujímá pískoviště? Vyjádřete v procentech.

2171

= 50°, = 100°, OK

119. V trojúhelníku je : = 1 : 2, : = 10 : 3. Vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníka. Výpočet ověřte zkouškou.

2198



Obsah21. Planimetrie22. Základní geometrické prvky a útvary83. Trojúhelníky154. Čtyřúhelníky205. n-úhelníky216. Kruh, kružnice a jejich části257. Shodnost trojúhelníků, důkazy298. Shodnost trojúhelníků - procvičovací a důkazové úlohy299. Podobnost trojúhelníků3110. Podobnost trojúhelníků - procvičovací příklady3311. Pythagorova věta3312. Pythagorova věta - procvičovací příklady3313. Eukleidovy věty3514. Střední geometrická úměrná a čtvrtá geometrická úměrná3615. Střední geometrická úměrná - procvičovací příklady3816. Čtvrtá geometrická úměrná - procvičovací příklady3817. Výpočty rovinných útvarů3818. Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady


Date post:	20-Feb-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	17 times
Download:	0 times

Planimetrie pro studijní obory · úhlopříčky čtverce jsou shodné, půlí se a jsou navzájem...

Documents