Plochy zadané okrajovými křivkami...Lineární plát příklady Plochy zadané okrajovými...

Lineární plát

plocha je určena dvěma okrajovými křivkami ,

pokud by pro tyto křivky byly intervaly, v nichž leží hodnoty parametru,

různé, provedeme lineární transformaci parametru jedné z křivek tak, aby

obě křivky měly parametr ze stejného intervalu

plát zkonstruujeme tak, že úsečkou spojíme body a

kde je konstanta volená z intervalu

rovnice plátu

Plochy zadané okrajovými křivkami

Počítačová geometrie Petra Surynková

0( )a v 1( ),a v v I

0( )ka v 1( )ka v

kv I

0 1( , ) ( )(1 ) ( ) , , 0,1P u v a v u a v u v I u

0( )a v

1( )a v

Lineární plát

pokud je pro plochu zadán systém křivek , můžeme

interpolovat po částech

tj. pro systém křivek můžeme výslednou plochu sestavit pomocí jednotlivých

plátů

kvalita výsledné plochy je velmi nízká

není zajištěno hladké napojení sousedních plátů

v technické praxi se však s touto plochou setkáváme často –

např. při interpolaci plochy dané velkým počtem křivek

výhodou je, že parametrické křivky pro v = konst. jsou úsečky



( )ia v

Lineární plát

příklady



2( , ) , , 2 (1 ) , 0,1 , 0,2P u v v u v v u u v

přímý kruhový konoid

Lineární plát

příklady



0( , ) cos( ), sin( ),

0,1 , 0,2

P u v u v u v v v

u v

přímý šroubový konoid

Bilineární Coonsův plát

plocha je určena dvěma systémy křivek plochy, tj. parametrickými

křivky jedné a druhé soustavy

uvažujme jeden plát, pro jednoduchost předpokládejme, že tento

plát bude mít parametry

obecný případ převedeme na tento tvar vhodnými transformacemi parametru

uvažujme tedy plát plochy určený okrajem (čtyřmi oblouky křivek)

pro parametry z jednotkového čtverce

protějšími stranami okraje plátu jsou křivky



0,1 , 0,1u v

0 1( ), ( )a v a v 0 1( ), ( )b u b ua


mapovací matici plátu nazveme matici

- je polohový vektor bodu plochy

ozn.

rovnice Coonsova bilineárního plátu je tvaru



00 0 01

0 1

10 1 11

( )

( ) ( , ) ( )

( )

P a v P

M b u P u v b u

P a v P

( , )P u v

00(0,0) ,...P P

, kde

1

(1 , 1, ) 1 0

v

u u M

v

0,1 , 0,1u v


lze dokázat

jsou-li protější dvě strany okraje bilineárního plátu úsečkami, je

výsledná plocha přímkovou plochou (tedy spec. příklad lineárního

plátu)

Důkaz:

je-li např.

potom parametrické křivky plátu pro v = konst. jsou rovněž

úsečkami

rovnice plátu je v tomto případě tvaru



0 00 10

1 01 11

( ) (1 )

( ) (1 )

b u u P uP

b u u P uP

0 1( , ) ( )(1 ) ( ) , 0,1 , 0,1P u v a v u a v u u v


příklady



2 2( , ) , ,

0,1 , 0,1

P u v u v u u v v

u v

Bikubický Coonsův plát

určen stejně jako bilineární Coonsův plát svým okrajem

jde o obecnější plochu

rovnice Coonsova bikubického plátu je tvaru

funkce byly použity v souvislosti s Fergusonovými

křivkami



0,1 , 0,1u v

1

1 2

2

( )

( ( ), 1, ( )) 1 0

( )

F v

F u F u M

F v

3 2

1

3 2

2

( ) 2 3 1

( ) 2 3

F t t t

F t t t

1 2( ), ( )F t F t


plocha obsahuje daný okraj, např. u = 0

analogicky ostatní dané křivky leží na plátu



00 0 01 1

0 1

10 1 11 2

( ) ( )

(1 1,0) (0) (0, ) (0) 1 0

( ) ( )

P a v P F v

b P v b

P a v P F v

0(0, ) ( )P v a v


vektory příčných derivací podél okrajových křivek jsou lineární

kombinací tečných vektorů okrajových křivek v rozích plátu

např.

analogicky pro další okrajové křivky



1 0 2 1

(0, )(0) (0)

P vb b

u


Plátování

uvažujme dva bikubické Coonsovy pláty

plát s okrajovými křivkami

plát s okrajovými křivkami

okrajové křivky složené plochy jsou třídy



1 ( , )P u v

0 1 0 1( ), ( ), ( ), ( ), 0,1 , 0,1a v a v b u b u u v

2 ( , )P w v

1 2 2 3( ), ( ), ( ), ( ), 0,1 , 0,1a v a v b w b w v w

1C

0 2

1 3

(1) (0)

(1) (0)

b b

b b


Plátování

z předchozího je zřejmé, že navíc každá parametrická křivka

v = konst. je třídy

Bikubické Coonsovy pláty zajišťují plátování



1C


příklady



2 3 2( , ) , , 2 3 1

0,1 , 0,1

P u v u v u u v v

u v


příklady - napojení



12-vektorový plát

Fergusonův plát

ozn.

Fergusonův plát je určen

polohovými vektory rohových bodů plátu

tečnými vektory okrajových v-křivek

tečnými vektory okrajových u-křivek



00 10 01 11, , ,P P P P

00

(0,0),...u

PP

u

00 10 01 11, , ,u u u uP P P P

00 10 01 11, , ,v v v vP P P P

12-vektorový plát

rovnice 12-vektorového plátu je tvaru



0,1 , 0,1u v

3

1

3 1 2 4

2

4

( )

( )( , ) ( ( ), ( ), ( ), ( ))

( )

( )

F v

F vP u v F u F u F u F u M

F v

F v

00 01

00 00 01 01

10 10 11 11

10 11

0 0

0 0

u u

v v

v v

u u

P P

P P P PM

P P P P

P P

3 2

1

3 2

2

3 2

3

3 2

4

( ) 2 3 1

( ) 2 3

( ) 2

( )

F t t t

F t t t

F t t t t

F t t t

12-vektorový plát

platí

okrajovými křivkami Fergusonova plátu jsou Fergusonovy kubiky

např. u = 0

podobně i pro další tři okrajové křivky



3

1

2

4

( )

( )(0, ) (0,1,0,0)

( )

( )

F v

F vP v M

F v

F v

00 1 01 2 00 3 01 4(0, ) ( ) ( ) ( ) ( )v vP v P F v P F v P F v P F v

12-vektorový plát

platí

12-vektorový plát splývá s Coonsovým bikubickým plátem,

jehož okrajovými křivkami jsou Fergusonovy kubiky dané

zadanými body a tečnými vektory 12-vektorového plátu

Důkaz

Do rovnice bikubického Coonsova plátu dosadíme za okrajové

křivky příslušné rovnice Fergusonových kubik a po jistých

algebraických úpravách obdržíme rovnici 12-vektorového plátu



16-vektorový plát

zadání stejné jako u 12-vektorového plátu

liší se v matici M



00 00 01 01

00 00 01 01

10 10 11 11

10 10 11 11

uv u u uv

v v

v v

uv u u uv

P P P P

P P P PM

P P P P

P P P P

00

(0,0),...uv

PP

u v

tzv. zkrutové vektory

extrude

profil – křivka, kterou budeme vytahovat (např. ve směru nějaké

osy)

rovinná

prostorová

+ vektor vytažení

Plochy vzniklé vytažením


( ) [ ( ), ( ),0]k u x u y u

( , ) [ ( ), ( ), ]P u v x u y u v

x

y

z

( ) [ ( ), ( ), ( )]k u x u y u z u

a

( , ) ( )P u v k u va

,u I v J

vytažení se změnou velikosti profilu

profil

vytažení ve směru osy z se současným zvětšováním nebo

zmenšováním profilu

zvětšení nebo zmenšení je přímo úměrné vytažení s koeficientem

úměrnosti m

Plochy vzniklé vytažením


( ) [ ( ), ( ),0]k u x u y u

( , ) [ ( ), ( ), ]P u v mv x u mv y u v ,u I v J

sweep

profil – křivka, která se pohybuje

trasa – křivka, po které se pohybuje profil

= translační plocha

můžeme zaměnit roli křivek

Šablonování křivky po trase


1 1( , ) ( ) ( )P u v k u k v

1( ) [ ( ), ( ), ( )]k u x u y u z u

2( ) [ ( ), ( ), ( )]k v x v y v z v

,u I v J

loft

dána soustava křivek – hledáme takovou plochu, která interpoluje

dané křivky

př. lineární plát, hermitovský plát

Plochy vzniklé potažením


0( )a v

2( )a v1( )a v

sweep 2 rails

dány tři okraje

trasy

profil

(není translační plocha, profil se mění)

př. bilineární Coonsův plát

Šablonování křivky po dvou trasách


0( )b u

1( )b u0( )a v

0 1( ), ( )b u b u

0 ( )a v

Bézierova plocha stupně

je určena řídícími body a vztahem

bázové funkce jsou Bernsteinovy polynomy

k-tého stupně

Bézierovy plochy


m n

( 1) ( 1)m n

0 0

( , ) ( ) ( ), 0,1 , 0,1n m

n m

ij i j

i j

Q u v P B u B v u v

, kde

( ), ,kiB t k n m

( ) (1 )0,1 , 0,1,...,

k i k i

i

kB t t t

i

t i k

Bézierova plocha stupně

platí

Bézierova plocha prochází rohovými body sítě a okrajové

křivky plochy jsou Bézierovými křivkami pro okraje sítě

tečná rovina v bodě je určena body

podobně pro další rohové body

Bézierovy plochy


m n

00P 00 10 01, ,P P P

00

0

0

(0,0)

(0,1)

(1,0)

(1,1)

m

n

nm

Q P

Q P

Q P

Q P

0

0

(0, ) ( )m

m

j j

j

Q v P B v

okrajová křivka např.:

Příklad

Bézierovy plochy


Bézierova plocha se sítí

řídících bodů

Napojování

mějme dva Bézierovy pláty

první z nich je určen sítí řídících bodů

druhý je určen sítí řídících bodů

počet bodů ve směru v je stejný pro oba pláty a je roven m

pláty navazujeme ve směru u a požadujeme, aby jejich stupeň

v tomto směru byl alespoň tři, tj.

napojení

pláty mají společnou stranu, tj. , toho

docílíme ztotožněním řídících bodů, které určují příslušnou stranu

Bézierovy plochy


,Q R

, 0,..., ; 0,...,ijQ i s j m

, 0,..., ; 0,...,ijR i t j m

3, 3s t

0C( ,1) (0, )Q u R v

0 , 0,...,sj jQ R j m

Napojování

napojení

Bézierovy plochy


0C

Napojování

napojení

pokud společná strana plátů je spojitá a jsou-li identické

příčné tečné vektory ve směru u podél této strany

tj. shoda spojité strany a splnění následující vztahu pro

body řídících polygonů obou plátů

křivka spojující řídící body společné strany leží ve středu úseček,

které spojují vždy předposlední bod řídícího polygonu plátu ve

směru u s druhým bodem plátu ve stejném směru

Bézierovy plochy


1C

1 1 0 , 0,...,sj s j j jQ Q R R j m

1C

1C

QR

Napojování

napojení

Bézierovy plochy


1C

Bézierova bikubická plocha

Bézierovy plochy


3, 3m n

3 33 3

0 0

( , ) ( ) ( ), 0,1 , 0,1ij i ji j

Q u v P B u B v u v

3 3

0

3 2

1

3 2

2

3 3

3

( ) (1 )

( ) 3 (1 )

( ) 3 (1 )

( )

B t t

B t t t

B t t t

B t t

3

2

3 2( , ) 1

1

T T T

B B B B

v

vQ u v UM PM V u u u M PM

v

1 3 3 1

3 6 3 0

3 3 0 0

1 0 0 0

BM

00 01 02 03

10 11 12 13

20 21 22 23

30 31 32 33

P P P P

P P P PP

P P P P

P P P P

Date post:	27-Jan-2021
Category:	Documents
Upload:	others
View:	2 times
Download:	0 times

Plochy zadané okrajovými křivkami...Lineární plát příklady Plochy zadané okrajovými...

Documents