Posuvný a rota ní pohyb t lesa. Základy mechaniky, 14. p ednáška · 2008. 6. 24. · Posuvný...

Obsah přednášky :

typy pohybů tělesa

posuvný pohyb

rotační pohyb

geometrie hmot

Doba studia :

asi 1,5 hodiny

Cíl přednášky :

seznámit studenty se základními typy pohybu tělesa,s kinematikou a dynamikou posuvného a rotačního pohybu

Základy mechaniky, 14. přednáškaPosuvný a rotační pohyb tělesa.

Pohyb tělesaposuvnýpohyb

šroubovýpohyb

sférickýpohyb

obecný rovinnýpohyb

rotačnípohyb

obecný prostorovýpohyb

posuvnýpohyb prostorový pohyb

rovinný pohyb :

Všechny body tělesase pohybují v navzájemrovnoběžných rovinách.

Základy mechaniky, 14. přednáška


Žádná přímka tělesa nemění svůj směr.


Pohyb tělesa

rotačnípohyb

Jedna přímka tělesa nemění svou polohu.


Pohyb tělesa



Pohyb tělesa

posuvnýpohyb

Žádná přímka tělesa nemění svůj směr.


Pohyb tělesa

sférickýpohyb

Jeden bod tělesa nemění svou polohu.


Pohyb tělesa

sférickýpohyb

Jeden bod tělesa nemění svou polohu.


Pohyb tělesa

šroubovýpohyb

posuv

rotace

Těleso rotuje okolo osya současně se posouvá ve směru této osy.


Pohyb tělesa




šroubovýpohyb

sférickýpohyb


rotačnípohyb


posuvnýpohyb

prostorový pohyb

rovinný pohyb

Jaký

koliv

poh

yb tě

lesa

je je

den

z těc

hto

6 ty

půpo

hybu

.


Posuvný pohyb.Žádná přímka tělesa nemění svůj směr.

η

ζ ξ

x

z

y

A

P Ω

1, 2, 3 stupně volnosti

x,y,z - pevný (nehybný)souřadný systém;počátek P

ξ,η,ζ - tělesovýsouřadný systém- pevně spojenýs tělesem;počátek Ω

ξ//x, η//y, ζ//z

A - běžný bod tělesa



η

ζ ξ

x

z

y

A

Ωrr

Arr

Ω ΩAr

r

P


rA - polohový vektorbodu A vůči xyz

rΩ - polohový vektorbodu Ω vůči xyz,poloha tělesav prostoru

rAΩ - polohový vektorbodu A vůči ξηζ,poloha bodu Auvnitř tělesa

ΩΩ += AA rrr rrr



η

ζ ξ

x

z

y

A

PΩrr

Arr

ΩΩAr

r

ΩΩ += AA rrr rrr

ΩΩ +== AAA rrrv &r&r&rr

0rA

r&r =Ω

Ω= vvArr


derivace podle času

Polohový vektor rAΩ má velikost a směr.Velikost je konstantní s ohledem na nedeformovatelnost tělesa

- těleso se nemůže protáhnout, platí vždy (pro absolutně tuhé těleso).Směr je konstantní s ohledem na definici posuvného pohybu

- platí pouze pro posuvný pohyb.



η

ζ ξ

x

z

y

A

PΩrr

Arr

ΩΩAr

r

ΩΩ += AA rrr rrr

ΩΩ === avva AAr&r&rr

ΩΩ +== AAA rrrv &r&r&rr

0rA

r&r =Ω

Ω= vvArr

Ω= aaArr

Všechny body se pohybují po stejné trajektorii,stejnou rychlostí, se stejným zrychlením.







Pohyb posuvný přímočarý.




Pohyb posuvný kruhový.

R




Pohyb posuvný cykloidní.


Posuvný pohyb - dynamika.

∑=⋅ iFamrr

Pohybová rovnice posuvného pohybu tělesaje shodná s pohybovou rovnicí hmotného bodu.Všechny body tělesa mají stejné zrychlení.


Posuvný pohyb - dynamika.amD rr

⋅−=

0DFi

rrr=+∑

dm

dmdm

dm

a

aa

adD

D

dDdD

dD

T

d’Alembertův princip má stejnou podobu jako u hmotného bodu.

Vzniká otázka kde leží působiště d’Alembertovy síly.

dm

dmdm

dm

dG

T

G

dG

dG

dG

Poznámka k rovnicím rovnováhy :

pro soustavu sil s různým působištěm musí být

samozřejmě splněna i momentová rovnice rovnováhy.

Tíhová síla G je výslednicí nekonečněmnoha elementárních tíhových sil dG.Elementární tíhová síla dG=dm·g.Gravitační zrychlení g má ve všech bodech stejnou velikost i směr.

D’Alembertova síla D je výslednicí nekonečněmnoha elementárních d’Alembertových sil dD.Elementární d’Alembertova síla dD=dm·a.

Zrychlení a má ve všech bodechstejnou velikost i směr.



⋅−=

0DFi

rrr=+∑

d’Alembertův princip má stejnou podobu jako u hmotného bodu.

dm

dmdm

dm

a

aa

adD

D

dDdD

dD

T

Vzniká otázka kde leží působiště d’Alembertovy síly.

dm

dmdm

dm

dG

T

G

dG

dG

dG

Z analogie mezi rozložením elementárních tíhových sil dGa elementárních d’Alembertových sil dD vyplývá :

D’Alembertova síla D působí v těžišti.

Poznámka k rovnicím rovnováhy :

pro soustavu sil s různým působištěm musí být

samozřejmě splněna i momentová rovnice rovnováhy.

Správně působí ve středu hmotnosti. Je-li těleso malé (ve srovnání se Zemí), je gravitačnízrychlení g ve všech bodech tělesa shodné. Střed hmotnost a těžiště pak splývají v jeden bod.



∑=⋅ iFamrr

φ

r

G

BA

m

at

φ

T

b

r

G

b

r

CD

BA

mT

φ⋅=⋅ cosGam t

( ) ( )02

0 rg2 φ−φ⋅⋅+ω=ω φ sinsin

Za účelem sestavení(a následného řešení)pohybové rovnicelze těleso nahradithmotným bodem ...kterýmkoliv - všechnybody se pohybují postejné trajektoriistejnou rychlostía se stejným zrychlením.

φ⋅⋅=ε⋅⋅ cosgmrm

φ⋅=ε cosrg

φ⋅=φω

⋅ω cosrg

dd

( ) ( ) ( )022

0 gr2rrv φ−φ⋅⋅⋅+⋅ω=⋅ω= φφ sinsin

φ⋅φ⋅=ω⋅ω drgd cos

∫∫φ

φ

ω

ω

φ⋅φ⋅=ω⋅ω00

drgd cos

[ ] [ ]φφ

ω

ω φ⋅=ω⋅ 002

21

rg sin

pohybová rovnice



⋅−=

0DFi

rrr=+∑

G

T

Dt

Dn

SCSD

CD

BA

y

x

b

r

G

b

r

CD

BA

mT

( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ φ−φ⋅⋅+ω⋅⋅=

=ω⋅⋅=⋅=

φ⋅⋅=⋅=

02

0

2nn

tt

rg2rm

rmamD

gmamD

sinsin

cos

0Fxi =∑ 0Fyi =∑ 0Mi =∑

K=CS K=DSφ⋅=ε cosrg

d’Alembertův princip

Do těžiště zavedeme d’Alembertovu sílu -tečnou a normálovou složku.

Ze tří rovnic rovnováhy vyřešíme :1) pohybovou rovnici,2) reakční síly.



∑=⋅ iFamrr amD rr

⋅−=

0DFi

rrr=+∑

b

r

G

b

r

CD

BA

mT

Pro sestavení (a následné řešení) pohybové rovnicelze hmotu soustředit do jednoho bodu a řešit pohyb hmotného bodu.

Pro řešení sil (nejčastěji reakcí) je třeba počítat s rozměry tělesaa uvažovat soustavu sil s různým působištěm.D’Alembertovu sílu pak zavádíme do těžiště.


každý bod se pohybujepo kružnici o poloměru R

Rotační pohyb.Jedna přímka tělesa nemění svou polohu (osa rotace).

1 stupeň volnosti

ω, ε φ

o

εωrr

, rr

R

S

φ, ω, ε

tar

vr

nar

φ

φ=φ

=ω &dtd

φ=φ

=ω=ω

=ε &&& 2

2

dtd

dtd

Rv ⋅ω=

Rat ⋅ε=

Ra 2n ⋅ω=

( )φ

ω⋅=

φω

⋅ω=εd

d21

dd 2

Rs ⋅φ=

rv rrr ×ω=

ra trrr ×ε=

vanrrr ×ω=

úhel natočeníúhlová rychlost

úhlové zrychlení

r polohový vektorv obvodová rychlostat tečné zrychlenían normálové zrychlení


Rotační pohyb - dynamika.

∑=⋅ iFamrr

2nn

tt

rdmadmdD

rdmadmdD

ω⋅⋅=⋅=

ε⋅⋅=⋅=

d’Alembertův princip

( )∫ += nt DdDdDrrr

∫∫ ⋅⋅⋅ε=⋅=m

tD rdmrrdDM

∫ ⋅⋅ε=m

2D dmrM

ω, ε

dm

an

at

dDt

dDnr m

S

nahrazení silové soustavy

V dynamice nevystačíme s pohybovou rovnicíhmotného bodu !

Z tělesa vybereme hmotový element dm.Tomu přiřadíme tečné a normálové zrychlení at a an.Zavedeme elementární d’Alembertovy síly dDt a dDn(tečnou a normálovou).Provedeme ekvivalentní nahrazení silové soustavy nekonečně mnoha elementárních d’Alembertovýchsil jednou silou a momentem. moment setrvačnosti [kg·m2]

∫ ⋅=m

2S dmrI



T2

Tnn

TTtt

SD

rmamD

rmamDIM

⋅ω⋅=⋅=

⋅ε⋅=⋅=ε⋅=

ω, ε

aTn

aTt

S T

Dt

Dn MD

m, IS rT

výsledný silový účinek(působiště ve středu rotace !)výsledný momentový účinek

doplňkový (d’Alembertův) moment MDpůsobí proti směru úhlového zrychlení ε.

doplňkové (d’Alembertovy) síly Dt a Dnpůsobí proti směru zrychlení těžiště aTt a aTn.

m - hmotnost tělesaIS - moment setrvačnosti

ke středu rotace Sω - úhlová rychlostε - úhlové zrychleníaTt - zrychlení těžiště, tečná složkaaTn- zrychlení těžiště, normálová složkarT - vzdálenost těžiště od středu rotace



T2

Tnn

TTtt

SD

rmamD

rmamDIM

⋅ω⋅=⋅=

⋅ε⋅=⋅=ε⋅=

S

Dt

Dn MD x

y

Ry

Rx

ω, ε

0M

0F

0F

Si

yi

xi

=

=

=

∑∑∑

∑=ε⋅ SiS MIpohybová rovnice

K=⇒ xR

K=⇒ yR

řešení reakcí z rovnic rovnováhy

doplňková (d’Alembertova) síla- tečná a normálová složka

doplňkový (d’Alembertův) moment

akční síly (zatížení)

reakce

doplňkové účinky

včetnědoplňkových sil !

neobsahuje reakce ani doplňkovésíly

včetně doplňkového momentuneobsahuje doplňkový moment



S

ω, ε

akční síly (zatížení)

IS - moment setrvačnosti [kg·m2]ε - úhlové zrychlení [rad/s2]ΣMSi - součet momentů vnějších sil

ke středu rotace [N·m]

∑=ε⋅ SiS MIpohybová rovnice



( )2212

21

K rdmvdmdE ω⋅⋅⋅=⋅⋅=

kinetická energie

( ) ∫∫ ⋅⋅ω⋅=ω⋅⋅⋅=m

2221

m

221

K dmrrdmE

2S2

1K IE ω⋅⋅=

ω

dmv

r

m

S

Z tělesa vybereme hmotový element dm.Tomu přiřadíme rychlost v a kinetickou energii dEK.Kinetickou energii tělesa určíme integrováním přes celé těleso.

221

K vmE ⋅⋅=

ISmomentsetrvačnosti


analogie mezi posuvným a rotačním pohybem

rotační pohybposuvný pohyb

Z porovnáním kinematiky a dynamiky posuvného a rotačního pohybuvyplývá analogie (podobnost) mezi oběma pohyby.Tato analogie spočívá v tom, že jednotlivým fyzikálním veličinám, vztahujícím se k posuvnému pohybu, odpovídají jiné veličiny, vztahující se k rotačnímu pohybu. Vztahy mezi nimi pak jsou shodné.Jestliže ve vztazích, týkajících se posuvného pohybu, nahradíme jedny veličiny druhými, dostaneme analogické vztahy, týkající se rotačního pohybu.




dráha [m, mm]s, x, ...

rychlost [m/s]vsv &=

~ úhel [rad, °]φ

úhlovárychlost

[rad/s]ω~φ=ω &

zrychlení [m/s2]a ~ úhlovézrychlení

[rad/s2]ε

dsdvvsva ⋅=== &&&

φω

⋅ω=φ=ω=εdd&&&

příklad - rovnoměrně zrychlený pohyb

002

21

0

stvtas

vtav

+⋅+⋅⋅=

+⋅=

002

21

0

tt

t

φ+⋅ω+⋅ε⋅=φ

ω+⋅ε=ω~

~




síla [N]F, G, ... ~ moment síly [N·m]M

hmotnost [kg]m ~ moment setrvačnosti

[kg·m2]I

pohybovárovnice

~ pohybovárovnice∑=⋅ iFam

rr ∑=ε⋅ iMI

doplňkovásíla amD doplňkový

momentrr

⋅−= ε⋅−= IMD~




~hybnost hmoty

vm moment hybnosti

p rr ⋅= ω⋅= rrIL [kg·m2/s][kg·m/s]

~impuls síly ∫ ⋅=

t

0

dtFIrr

[N·s] impuls momentu [N·m·s]∫ ⋅=

t

0M dtMI

rr

~změna hybnosti Ippp 01

změnamomentu hybnosti

rrrr =−=Δ M01 ILLLrrrr

=−=Δ

~kinetickáenergie

221

K vmE ⋅⋅= 221

K IE ω⋅⋅=kinetickáenergie

~práce ∫ ⋅= sdFA rrpráce ∫ φ⋅= dMA [N·m][N·m]

[J][J]

~výkon vFP rr⋅= výkon[W] ω⋅= MP [W]

změna kinetická energie AEEE 0K1KK =−=Δ [J ~ N·m]


∫ ⋅=m

2 dmrIdm

r

m

S

geometrie hmot

moment setrvačnosti

r = konst

2

m

2

m

2 rmdmrdmrI ⋅=⋅=⋅= ∫∫

tenká obruč


∫ ⋅=m

2 dmrIdm

r

m

S

geometrie hmot


x dx

dm

m

l

∫ ⋅=m

2 dmxI dxmdmdxm

dm⋅=⇒=

ll

∫∫ ⋅⋅=⋅⋅=ll

ll 0

2

0

2 dxxmdxmxI

3m

3xmI

3

0

3 l

ll

l

⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=

2m31I l⋅⋅=

prizmatická tyč rotujícíokolo osy, procházejícíkoncem tyče


∫ ⋅=m

2 dmrIdm

r

m

S

geometrie hmot


∫ ⋅=m

2 dmxI dxmdmdxm

dm⋅=⇒=

ll

∫∫−−

⋅⋅=⋅⋅=2

2

22

2

2 dxxmdxmxI/

/

/

/

l

l

l

lll

431m

8831m

3xmI

3332

2

3 l

l

ll

ll

l

l

⋅⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−⋅⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=

−

/

/

2m121I l⋅⋅=

prizmatická tyč rotujícíokolo osy, procházejícístředem tyče

x dx

dm

m

l


∫ ⋅=m

2 dmrI

geometrie hmot


m

h

r dr

R

( ) hdrr2hdSdVdm ⋅⋅⋅π⋅⋅ρ=⋅⋅ρ=⋅ρ=

válec rotující okolo své osy

dr2·π·r

dS


∫ ⋅=m

2 dmrI

geometrie hmot


2Rm21I ⋅⋅=

m

h

r dr

R

( ) hdrr2hdSdVdm ⋅⋅⋅π⋅⋅ρ=⋅⋅ρ=⋅ρ=

hRm

hSm

Vm

2 ⋅⋅π=

⋅==ρ

drrRm2hdrr2

hRmdm 22 ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅π⋅⋅

⋅⋅π=

4R

Rm2

4r

Rm2drr

Rm2drr

Rm2rI

4

2

R

0

4

2

R

0

32

R

02

2 ⋅⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ∫∫

válec rotující okolo své osy


2T emII ⋅+=

geometrie hmot

moment setrvačnostim

e

k posunuté ose

Steinerova věta

IT - moment setrvačnostik ose procházející těžištěm (těžištní osa),

I - moment setrvačnostik rovnoběžně posunuté ose.

T

ITI


geometrie hmot

r

m

tenká kruhová deska

241

T rmI ⋅⋅=

a

mb

2121

xT bmI ⋅⋅=_

tenká obdélníková deska

x

z y ( )22121

zT bamI +⋅⋅=_2

121

yT amI ⋅⋅=_

rm

a

( )2312

41

T armI ⋅+⋅⋅=

válec

r

m

2103

T rmI ⋅⋅=

kužel jehlan

a

m

b

( )22201

T bamI +⋅⋅=

rm

koule2

52

T rmI ⋅⋅=


geometrie hmotfiremní literatura


geometrie hmotfiremní literatura


geometrie hmot3D CAD modelování

PRINT MASS PROPERTIES ASSOCIATED WITH THE CURRENTLY SELECTED VOLUMESTOTAL NUMBER OF VOLUMES SELECTED = 1 (OUT OF 1 DEFINED)***********************************************SUMMATION OF ALL SELECTED VOLUMES

TOTAL VOLUME = 0.11537E+08TOTAL MASS = 0.92296E-01CENTER OF MASS: XC=-0.14674E-03 YC= 0.0000 ZC= 0.0000

*** MOMENTS OF INERTIA ***ABOUT ORIGIN ABOUT CENTER OF MASS PRINCIPAL

IXX = 1752.3 1752.3 1752.3 IYY = 1752.3 1752.3 1752.3 IZZ = 3392.2 3392.2 3392.2 IXY = 0.55354E-03 0.55354E-03IYZ = 0.46905E-04 0.46905E-04IZX = -0.62350E-04 -0.62350E-04PRINCIPAL ORIENTATION VECTORS (X,Y,Z):

0.993 -0.116 0.000 0.116 0.993 0.000 0.000 0.000 1.000(THXY= -6.635 THYZ= 0.000 THZX= 0.000)


Obsah přednášky :

typy pohybů tělesa

posuvný pohyb

rotační pohyb

geometrie hmot


Date post:	15-Dec-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	1 times
Download:	0 times

Posuvný a rota ní pohyb t lesa. Základy mechaniky, 14. p ednáška · 2008. 6. 24. · Posuvný...

Documents