Petr Šidlof

Kinematika tuhého tělesa

Kinematika tuhého tělesa

SV – množina nezávislých posunů / rotací systému, které jednoznačně specifikují polohu tělesa

Courtesy robotmatrix.org

Počet stupňů volnosti (DOF)

2D 3D

bod 2 SV 3 SV

tuhé těleso 3 SV 6 SV

soustava N tuhých těles (bez vazeb)

N * 3 SV N * 6 SV

Vazby – odebírají stupně volnosti

Obecně tuhé těleso v n-dim prostoru: SV 2

1nn

Robotická ruka se 6 stupni volnosti

Kinematika tuhého tělesa

A. Translační pohyb (není totéž co přímočarý pohyb!)

B. Rotace kolem osy

C. Rotace kolem bodu

D. Obecný rovinný pohyb

E. Obecný prostorový pohyb

ve 2D totéž

Základní druhy pohybu

Kinematika tuhého tělesa

A. Translační pohyb

Trajektorie všech bodů stejné, vzájemně posunuté křivky

→ rychlosti i zrychlení všech bodů stejné

→ stačí řešit jeden bod (ekvivalentní kinematice hmotného bodu)

Kinematika tuhého tělesa

B. Rotace kolem osy

Vhodné řešit v polárních souřadnicích

pP rv

rv..rv pP

.. tečná (tangenciální) rychlost

radiální rychlost vr = 0

vv

RYCHLOST

ZRYCHLENÍ

ptpt ra..ra

ra..ra 2npn

Tečné zrychlení

Normálové (dostředivé) zrychlení

2r

r

φrra

rv

φr2φra

φrv

φ

φ

Kinematika tuhého tělesa

D. Obecný rovinný pohyb (ORP)

Přístupy k řešení:

1) analýza pohybu jako celku z geometrických vazeb (zejména soustavy těles)

2) relativní pohyb - rozklad

Základní rozklad ORP: translace + rotace

.. zvolím referenční bod (A) – unášivý pohyb, rotace kolem bodu

POLOHA: ABAB rrr

RYCHLOST:

ZRYCHLENÍ:

ABAABAB rrdtd

vvv

ABABAABAB rrv

dtd

aaa

tečné z. dostředivé z.

Kinematika tuhého tělesa

Příklad 1: řešení pomocí základního rozkladu ORP (1)

Řešení:

Rozklad: translace bodu A + rotace bodu B kolem bodu A

tωsinrty

tωcosrtvtx

ABB

ABB

Železniční kolo vlaku jedoucího konstantní rychlostí v se odvaluje bez prokluzu po kolejnici. Vypočtěte pohyb bodu B na poloměru rAB a vykreslete trajektorii pro a) rAB < r1, b) rAB = r1, c) rAB > r1.

Dráha:

Rychlost:

trtrtr ABAB

trωvtv ABAB

tcosrtv

tsinrvtv

ABy,B

ABx,B

Zrychlení: trωωa

0trεa

ABn,B

ABt,B

tωsinrωta

tωcosrωta

AB2

y,B

AB2

x,B

vektorově po složkách

Kinematika tuhého tělesa

Příklad 1: řešení pomocí základního rozkladu ORP (2)

a) rAB < r1 .. zkrácená cykloida

Kinematika tuhého tělesa

Příklad 1: řešení pomocí základního rozkladu ORP (3)

b) rAB = r1 .. prostá cykloida

Kinematika tuhého tělesa

Příklad 1: řešení pomocí základního rozkladu ORP (4)

c) rAB > r1 .. prodloužená cykloida

Kinematika tuhého tělesa

Řešení:

1. pohyb bodu B .. xB(t), yB(t)

2. z vazby L = konst. řešíme xC(t)

→

Příklad 1: řešení ORP pomocí geometrických vazeb

tωcosrtωsinrLtx 222C

Zadáno:

L = 500 mm, r = 50 mm, .. 3600 RPM

Kliková hřídel má konstantní úhlovou rychlost . Určete pohyb pístu x(t) a rychlost pístu v(t).

Kinematika tuhého tělesa

Pól pohybu

Pól pohybu .. bod, který je při ORP v daném okamžiku v klidu

• těleso koná v daném okamžiku rotaci kolem pólu

• leží na průsečíku normál trajektorií všech bodů

Příklad: valení válce po rovině

Kinematika tuhého tělesa

Pohyb ve 3D

(rotace kolem bodu, obecný 3D pohyb)

Rozklad: posun + rotace kolem bodu

posun + rotace kolem 3 os

Pro rotaci opět platí:

rv

rra