Petr Šidlof
Kinematika tuhého tělesa
Kinematika tuhého tělesa
SV – množina nezávislých posunů / rotací systému, které jednoznačně specifikují polohu tělesa
Courtesy robotmatrix.org
Počet stupňů volnosti (DOF)
2D 3D
bod 2 SV 3 SV
tuhé těleso 3 SV 6 SV
soustava N tuhých těles (bez vazeb)
N * 3 SV N * 6 SV
Vazby – odebírají stupně volnosti
Obecně tuhé těleso v n-dim prostoru: SV 2
1nn
Robotická ruka se 6 stupni volnosti
Kinematika tuhého tělesa
A. Translační pohyb (není totéž co přímočarý pohyb!)
B. Rotace kolem osy
C. Rotace kolem bodu
D. Obecný rovinný pohyb
E. Obecný prostorový pohyb
ve 2D totéž
Základní druhy pohybu
Kinematika tuhého tělesa
A. Translační pohyb
Trajektorie všech bodů stejné, vzájemně posunuté křivky
→ rychlosti i zrychlení všech bodů stejné
→ stačí řešit jeden bod (ekvivalentní kinematice hmotného bodu)
Kinematika tuhého tělesa
B. Rotace kolem osy
Vhodné řešit v polárních souřadnicích
pP rv
rv..rv pP
.. tečná (tangenciální) rychlost
radiální rychlost vr = 0
vv
RYCHLOST
ZRYCHLENÍ
ptpt ra..ra
ra..ra 2npn
Tečné zrychlení
Normálové (dostředivé) zrychlení
2r
r
φrra
rv
φr2φra
φrv
φ
φ
Kinematika tuhého tělesa
D. Obecný rovinný pohyb (ORP)
Přístupy k řešení:
1) analýza pohybu jako celku z geometrických vazeb (zejména soustavy těles)
2) relativní pohyb - rozklad
Základní rozklad ORP: translace + rotace
.. zvolím referenční bod (A) – unášivý pohyb, rotace kolem bodu
POLOHA: ABAB rrr
RYCHLOST:
ZRYCHLENÍ:
ABAABAB rrdtd
vvv
ABABAABAB rrv
dtd
aaa
tečné z. dostředivé z.
Kinematika tuhého tělesa
Příklad 1: řešení pomocí základního rozkladu ORP (1)
Řešení:
Rozklad: translace bodu A + rotace bodu B kolem bodu A
tωsinrty
tωcosrtvtx
ABB
ABB
Železniční kolo vlaku jedoucího konstantní rychlostí v se odvaluje bez prokluzu po kolejnici. Vypočtěte pohyb bodu B na poloměru rAB a vykreslete trajektorii pro a) rAB < r1, b) rAB = r1, c) rAB > r1.
Dráha:
Rychlost:
trtrtr ABAB
trωvtv ABAB
tcosrtv
tsinrvtv
ABy,B
ABx,B
Zrychlení: trωωa
0trεa
ABn,B
ABt,B
tωsinrωta
tωcosrωta
AB2
y,B
AB2
x,B
vektorově po složkách
Kinematika tuhého tělesa
Příklad 1: řešení pomocí základního rozkladu ORP (2)
a) rAB < r1 .. zkrácená cykloida
Kinematika tuhého tělesa
Příklad 1: řešení pomocí základního rozkladu ORP (3)
b) rAB = r1 .. prostá cykloida
Kinematika tuhého tělesa
Příklad 1: řešení pomocí základního rozkladu ORP (4)
c) rAB > r1 .. prodloužená cykloida
Kinematika tuhého tělesa
Řešení:
1. pohyb bodu B .. xB(t), yB(t)
2. z vazby L = konst. řešíme xC(t)
→
Příklad 1: řešení ORP pomocí geometrických vazeb
tωcosrtωsinrLtx 222C
Zadáno:
L = 500 mm, r = 50 mm, .. 3600 RPM
Kliková hřídel má konstantní úhlovou rychlost . Určete pohyb pístu x(t) a rychlost pístu v(t).
Kinematika tuhého tělesa
Pól pohybu
Pól pohybu .. bod, který je při ORP v daném okamžiku v klidu
• těleso koná v daném okamžiku rotaci kolem pólu
• leží na průsečíku normál trajektorií všech bodů
Příklad: valení válce po rovině
Kinematika tuhého tělesa
Pohyb ve 3D
(rotace kolem bodu, obecný 3D pohyb)
Rozklad: posun + rotace kolem bodu
posun + rotace kolem 3 os
Pro rotaci opět platí:
rv
rra