1

Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Stavební statika, 1.ro�ník bakalá�ského studia

Pohyblivé zatížení

• P�í�inkové �áry na prostém nosníku, konzole aspojitém nosníku s vloženými klouby

2

Pohyblivé zatížení

Vzniká pojížd�ním vozidel (vlaky, automobily, je�áby) po stavební konstrukci (mosty, je�ábové dráhy, nájezdové rampy, podlahy garáží).

Tlak kola – bodové síly.

Nápravový tlak.

Ideální vlaky (vozidla).

Dynamické ú�inky zatížení (rázy, ot�esy, rozkmitání konstrukce)- výpo�et lze zjednodušit využitím tzv. dynamického sou�initele, kterým násobíme pohyblivé zatížení a tím lze zkoumat pouze jeho statické ú�inky.

3

P�í�inkové �áry na prostém nosníku bez p�evislých konc�

.konstc =′

ld ,0∈b

Rbz

a

Raz

P=1

c c´=l - c

l

�ešení s využitím p�í�inkových �ar, které se sestrojí pro jednoduché vozidlo v podob� jediné bezrozm�rné jednotkové svislé bodové síly.

c

Pro odvození p�í�inkových �ar r�zných sledovaných veli�in – statická a kinematická metoda.

lx ,0∈

.konstc =

P�í�inková �ára sleduje prom�nlivost statické veli�iny (reakce, vnit�ní síly), která se váže k jedinému místu (pr��ezu) c.

lx ,0∈

e � x d �l - x

Zna�ení délkových rozm�r�:

le ,0∈

4

( ) azLx RV =

( ) xRM azLx .=

Nejjednodušší zat�žovací stavy prostých nosník�

b

Rbz

a

Raz

F

e d

l

Reakce

Posouvající síla

Ohybový moment

( )↑=ldF

Raz

. ( )↑=leF

Rbz.

1

( ) ( ) eRMM azex .1 == =

-+

+

clx ,0∈ ex ,0∈

lex ,∈ ( ) FRV azLx −=

ex ,0∈

lex ,∈ ( ) ( )exFxRM azLx −−= ..

( ) ( )xlRM bzPx −= .

( ) ( ) dRMM bzex .1 == =

ldF.

leF.−

dReR bzaz .. =

M

V

c

Vc

Mc

( ) bzPx RV −=

lx ,0∈

2

5

( ) azLx RV =

( ) xRM azLx .=

Nejjednodušší zat�žovací stavy prostých nosník�

b

Rbz

a

Raz

F=1

e d

l

Reakce

Posouvající síla

Ohybový moment

( )↑=ld

Raz ( )↑=le

Rbz

1

( ) ( ) led

eRMM azex.

.1 === =

-+

+

c

lx ,0∈

ex ,0∈

lex ,∈ ( ) 1−= azLx RV

ex ,0∈

lex ,∈ ( ) ( )exxRM azLx −−= .1.

( ) ( )xlRM bzPx −= .

( ) ( ) lde

dRMM bzex.

.1 === =

ld

le−

lde

dReR bzaz.

.. ==

M

V

�ešení pro F=1

1

c

Vc

Mc

( ) bzPx RV −=

6

P�í�inkové �áry reakcí na prostém nosníku

ba

Ra=1P=1Reakce Raz a Rbz

ba

P=1

l

Rb=0

baRa=0 P=1Rb=1

4lxe =≡ ld .4

3≡

43=aR 4

1=bR

ba

P=1

l2

lxe =≡

21=aR 2

1=bR

2ld ≡

Jednotkové b�emeno P = 1

P m�ní polohu (p�sobišt�) – r�zné x

P�í�inková �ára sleduje prom�nlivoststatické veli�iny Sc, (nap�. Raz nebo Rbz)která se váže k jedinému místu (pr��ezu) c (podpora a nebo b) p�i zm�n� polohy zatížení P.

( )lx

lxl

ld

Raz −=−== 1

lx

le

Rbz ==

Statická veli�ina: reakce (Raz nebo Rbz)

Místo (pr��ez), ke kterému se p�í�inková �ára váže, je místo podpry (a nebo b)

7

P�í�inkové �áry reakcí na prostém nosníku

Po�adnice η p�í�inkové �áry reakcí jsou bezrozm�rná �ísla

Raz 1

1

le

bzR =η

le

ld

azR −== 1η

Prom�nlivé zatížení P = 1

P�í�inková �ára reakce Raz :(p�í�inková �ára vztažená k místu c�a, pro které platí x=0). Hodnota Raz od síly P=1, která m�ní své p�sobišt� (místo x) (x � ‹0,l›).

+

+

ba

P=1

e d

l

lx ,0∈

Reakce Raz a Rbz

Tady na obr.: Hodnota po�adnice �Razodpovídá velikosti reakce Raz p�i p�sobení jednotkové síly P v míst� (pr��ezu) x= d.

Rbz

ldRaz /= lxRbz /=

lx−1

lx

0=→≡ cac

lcbc =→≡

P�í�inková �ára reakce Rbz :(p�í�inková �ára vztažená k místu c�b, pro které platí x=l). Hodnota Rbz od síly P=1, která m�ní své p�sobišt� (místo x) (x� ‹0,l›).Tady na obr.: Hodnota po�adnice �Rbzodpovídá velikosti reakce Rbz p�i p�sobení jednotkové síly P v míst� (pr��ezu) x=d.

lx ,0∈

8

Definice p�í�inkové �áry

Raz

1

+

P�í�inková �ára je grafické znázorn�ní funkce, která vyjad�uje závislost sledované statické veli�iny Sc v míst� c(nap�íklad tady Raz v bod� a, tedy místo,kde x = 0� c = 0) na prom�nné poloze bezrozm�rné jednotkové síly P=1popsané nezávisle prom�nnou vzdáleností x.

b

Rbz

a

Raz

P=1

e d =l - e

l

d

lx ,0∈

.konstc =

lx−1

le

ld

azR −== 1η0=

≡c

ac

lx ,0∈

( )lx

lxl

ld

Raz −=−== 1

Pom�cka:p�i výpo�tu �

možno využít podobnosti

trojúhelník�

3

9

P�í�inkové �áry reakcí na prostém nosníku

b

Rbz

a

P=1

l

Raz

1

Rbz

14

1== lx

bRη

+

+

4lex =≡ lxld .4

3=−=

43==

azRazR η

41==

bzRbzR η

Reakce Raz a Rbz ?

Raz

431 ==−= l

dl

xaRη

4lx =

0=≡

c

ac

lc

bc

=≡

Jednotkové zatížení P=1 v poloze x=d

10

P�í�inkové �áry reakcí na prostém nosníku

η==→= azc RSP 1 pro

η.1 pro PRP az =→≠

b

Rbz

a

l

Raz

1

Rbz

1l

xbzR =η

+

+

x xld −=

Reakce Raz a Rbz ?

Raz

ld

lx

azR =−= 1η

lx ,0∈1≠P

0=≡

cac

lc

bc

=≡

Zatížení P v poloze x=d není jednotkové

11

P�í�inkové �áry reakcí na prostém nosníku - p�íklad

b

Rbz

a

P=20kN

l=7

Raz

1

Rbz

17143,075 ==Rbzη

2857,072

751 ==−=Razη

+

+

5=x 2=− xl

kN7143,572

.20. === Razaz PR η

kN2857,1475

.20. === Rbzbz PR η

Raz

Reakce Raz a Rbz ?

0=≡

c

ac

lc

bc

=≡

12

Využití p�í�inkových �ar pro výpo�et ú�ink� nehybného zatížení

Výpo�et ú�ink� nehybnéhozatížení pomocí p�í�inkové �áry

(a)

(b)

(c)

(d)

�=

=n

iiic PS

1

.η

( ) ( )�=d

caz xxxqR d.η

pro q(x)=konst.

( ) cd

d

caz AqxxqR .d. == �η

P�sobí-li na nosníku n sil Pi (i=1, 2, ..., n)

Sou�et p�ísp�vk� (p�í�ink�) jednotlivých sil

P�sobí-li na nosníku q=q(x) v úseku dxc ≤≤

V p�ípad� konstantního spojitého zatížení je velikost reakce p�ímo úm�rná ploše pod p�í�inkovou �árou v míst� p�sobení q.

4

13

P�í�inkové �áry reakcí na prostém nosníku, vyhodnocení

b

Rbz

a

Raz

x1 l - x1

l

Raz

1

Rbz

1l

x11 =η

lx1

1 1−=η

+

+

221121 ..a pro ηη PPRPP az +=→

x2 l - x2

lx2

2 1−=η

lx2

2 =η

0=≡

c

ac

lc

bc

=≡

Reakce Raz a Rbz ?12 ≠P11 ≠P

Obecn� �=

=n

iiiaz PR

1

.η

Analogicky potom výpo�et Rbz

14

P�í�inkové �áry reakcí na prostém nosníku, p�íklad

b

Rbz

a

P2=10kN

l=7m

Raz

1

Rbz

17143,0

75

2 ==η

2857,072

2 ==η

+

+

m3

kN4284,112857,0.105714,0.15

.. 2211

=+==+= ηη PPzRa

m2 m2

P1=15kN

4286,073

1 ==η

5714,074

1 ==η

kN5716,137143,0.104286,0.15

.. 2211

=+==+= ηη PPRbz

Raz

0=≡

c

ac

lcbc

=≡

Reakce Raz a Rbz ?

15

P�í�inkové �áry reakcí na prostém nosníku-spojité zatížení

b

Rbz

a

l=6m

Ra

1

Rb

1

+

+ 2.

2.d.

0

2

0

lqxlq

xlx

qRll

bz =��

���

�== �

q=5kN/m

kN15== azbz RR

( ) ( )�=l

az xxxqR0

d.η

lx

Rbz =η

lx

Raz −= 1η

Raz

0=≡

c

ac

lc

bc

=≡

Reakce Raz a Rbz ?

pro q(x)=konst.

( ) AqxxqRl

az .d.0

== �η

lqAqRR bzaz .21

.. ===

nebo integrací

16

P�í�inkové �áry na prostém nosníku bez p�evislých konc�

P�í�inkové �áry na prostém nosníku bez p�evislých konc�

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(b) P�í�inková �ára reakce Raz na prostém nosníku

(c) P�í�inková �ára reakce Rbz na prostém nosníku

(d) P�í�inková �ára ohybového momentu Mcna prostém nosníku

(e) P�í�inková �ára posouvající síly Vcna prostém nosníku

(a) Prostý nosník(na obr. chybí indexy „z“)

Tento snímek je rekapitulací snímk� 17-20

5

17

P=1

P�í�inkové �áry Vc na prostém nosníku

( )0=cV

( )0=cV

P=1

P=1

a

ba

l4

lx = l.43

43=azR 4

1=bzRc

b

P=1

l2

lx =

21=azR 2

1=bzR

2l

c

baRaz=0 Rbz=1c

baRaz=1 Rbz=0c

3lc =

25,0−=cV+75,0

V

25,0−-

5,0=cV -

5,0 V

5,0−

+

3. lkonstc == lx ,0∈

P�í�inková �ára sleduje prom�nlivoststatické veli�iny Sc, (tady posouvající sílu V) která se váže k jedinému místu(pr��ezu) c (tady c=l ⁄3) p�i zm�n�polohy P.

Posouvající síla Vc

18

P�í�inkové �áry Vc na prostém nosníku

b

Rb

a

Ra

P=1

e=x d=l - x

l

Vc

1

+

c

-1

-

caVc Vlc

lc ≅==−=′

= 6,032

1max,η

cbVc Vlc ≅−=−=−= 3,0

31

min,η

3lc = lclc ⋅=−=′ 3

2

v pr��ezu c je jednotkový skok �=1

1=δ

Po�adnice η p�í�inkové �áry posouvající síly jsou bezrozm�rná �ísla

cx ≤≤0

��

� −=−=−==le

lx

RV bzVcc η

lxc ≤≤

��

�=−===ld

lx

RV azVcc 1η

Levá v�tev

Pravá v�tev

3. lkonstc ==

lx ,0∈ bude-li P vlevo od pr��ezu c, potom Vc= -Rbz (viz snímek 17)

Velikost posouvající síly Vcv závislosti na poloze síly P :

bude-li P vpravo od pr��ezu c, pak Vc= Raz (viz snímek 17)

Velikost posouvající síly Vcv závislosti na poloze síly P :

P je v bod� (pr��ezu) c�Vca, Vcb

19

P�í�inkové �áry Mc na prostém nosníkuOhybový moment Mc

ba

P=1

l4

l ld .43=

43=azR 4

1=bzR

ba

P=1

3l

32=azR 3

1=bzR

ld .32=

3lc =

( ) llRM bzP

lc.

61

.32

.3

===

( ) ll

RM azL

lc.

92

3.

3==

=

c

c

ba

P=1

2l

21=azR 2

1=bzR

2ld =

( ) ll

RM azL

lc.

61

3.

3==

=

c

lclc .32=−=′

+M

+M

+M

P�í�inková �ára sleduje prom�nlivost statické veli�iny Sc, (tady ohybový moment M) která se váže k jedinému místu (pr��ezu) c (tady c=l ⁄3).

3. lkonstc == lx ,0∈

( ) ll

RM bzP

lc.

92

3.2

.3

===

20

( )

( ) ( )l

lll

lclc

lcc

Mclcx

⋅=⋅⋅=−⋅

=′⋅====

92323/

max,3/2 ηη

P�í�inkové �áry Mc na prostém nosníku

lcc

dRM bzMcc

′⋅=⋅==η

b

Rb

a

Ra

P=1

x d = l - x

l

Mc

c

3lc = ( ) lclc ⋅=−=′ 3

2

v pr��ezu c je jednotkové zalomení

+

Rozm�rem po�adnice η p�í�inkové �áry je délka

1=ϕ1=ϕ

( ) ll

ll

lx ⋅=⋅⋅== 61

321

44/1η ( ) ll

ll

lx .61

31

22/3 =⋅⋅==η

( ) clx

clRM bzMcc ′⋅=−⋅== η

lxc ≤≤

( )c

lxl

cRM azMcc ⋅−=⋅== η

3. lkonstc == lx ,0∈ cx ≤≤0Levá v�tevbude-li P vlevo od pr��ezu c, potom Mc= Rbz.(l-c)Velikost ohybového momentu Mcv závislosti na poloze síly P :

Pravá v�tevbude-li P vpravo od pr��ezu c, potom Mc= Raz.cVelikost ohybového momentu Mcv závislosti na poloze síly P :

c´=

l -c

= 2

/3 .

l

c =

1/3

. l

lcc

cRM azMcc⋅′=⋅==η

pro x=c�(l-c)=c´:

pro x=c�(l-c)=c´:

6

21

P�í�inkové �áry reakcí na konzole

Reakce Rbz a Mb

a

P=1

x

l

Rbz

1 Rbzη

Prom�nlivé zatížení P = 1

+

b

Mb+

Mbηl

lc

bc

=≡

lx ,0∈

1== RbzbzR η

( ) dxlM Mbb =−⋅== 1η

l-x = dRbz

Mb

Rbx

!!

22

P�í�inkové �áry vnit�ních sil na konzole

0== cc MV

Vnit�ní síly Vc a Mc

a

P=1

x

l

Vc

-1

Vcη

Prom�nlivé zatížení P = 1

-

bc

c

Mc -Mcη

( ) cx −==0η

lx ,0∈

1−== VccV η

( )xcM Mcc −−== .1η

cx ≤≤0Levá v�tev

bude-li P vlevo od pr��ezu c:

lxc ≤≤Pravá v�tev

bude-li P vpravo od pr��ezu c:

lc

bc

=≡

Rbz

Mb

Rbxc-x

!!

23

P�í�inkové �áry na konzole vpravo vetknuté

P�í�inkové �áry na konzole vpravo vetknuté

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(b) P�í�inková �ára reakce Rbz na konzole

(c) P�í�inková �ára reakce Mbz na konzole

(d) P�í�inková �ára ohybového momentu Mcna konzole

(e) P�í�inková �ára posouvající síly Vcna konzole

(a) Konzola (na obr. chybí indexy „z“)

24

P�í�inkové �áry na konzole vlevo vetknuté

cMη

P�í�inkové �áry na konzole vlevo vetknuté

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(b) P�í�inková �ára reakce Raz na konzole

(c) P�í�inková �ára reakce Maz na konzole

(d) P�í�inková �ára ohybového momentu Mcna konzole

(e) P�í�inková �ára posouvající síly Vcna konzole

l

(a) Konzola (na obr. chybí indexy „z“) (Pokud se budete u�it ze skript – tady jiný sm�r Ma)

7

25

Prostý nosník s p�evislými konci - reakce

b

Rbz

a

Raz l lbla

P=1Reakce Raz a Rbz

Raz

1l

xRa −= 1η

+

lla

Ra += 1η

- llb

Ra −=η

Rbz

1+

-

ba lllx +−∈ ,

x

lla

Rb−=η

lx

Rb =ηllb

Rb+=1η

lc

bc

=≡

0=≡

c

ac

P je na levémp�evislém konci

P je na pravém p�evislém konci

P je v poli mezi podporami (viz prostý nosník)

P je v poli mezi podporami (viz prostý nosník)

P je na pravém p�evislém konci

P je na levém p�evislém konci

26

Prostý nosník s p�evislými konci – Vc

b

Rbz

a

Raz

l

c

lbla

P=1Posouvající síla Vc – pr��ez c je v poli mezi podporami

V c

1

+

-1-

caVlc

lc ≅′=−1

-+

cbVlc ≅−

lla l

lb−

lx

Vc −= 1η

x

c

konstc = P je v poli mezi podporami vpravo od c (viz prostý nosník)

P je na pravém p�evislém konci

P je na levém p�evislém konci

P je v pr��ezu c (viz prostý nosník)

Je-li pr��ez c mezi podporami � p�í�inková �ára posouvající sílymezi podporami shodná jako na prostém nosníku, p�evislé konce její lineární pokra�ování

c´

27

Prostý nosník s p�evislými konci - Vc

a

cacb

-1

- V(cb)

1+

Posouvající síla V(ca) a V(cb)- pr��ez c je na úseku p�evislého konce (levém nebo pravém)

b

Rbz

a

Raz

l

ca

lbla

P=1

x

ca cb

cb

V(ca)

Je-li pr��ez c na úseku p�evislého konce � p�í�inková �ára shodná jako na konzole28Je-li pr��ez c mezi podporami � p�í�inková �ára M stejné pravidlo jako u V

Prostý nosník s p�evislými konci - Mc

Mc

+

-

-

( )lcc

lclc

Mc

′⋅=−⋅=η

c

clc −=′

Mcη

lclb ⋅−

lcla ′⋅−

b

Rbz

a

Raz

l

c

lbla

P=1

x

c

Ohybový moment Mc – pr��ez c je v poli mezi podporami

P je v poli mezi podporami (viz prostý nosník)

P je v pr��ezu c (viz prostý nosník)

P je na levémp�evislém konci

P je na pravém p�evislém konci

c´

8

29

Prostý nosník s p�evislými konci - Mc

a

- -

Ohybový moment M(ca) a M(cb)- pr��ez c je na úseku p�evislého konce (levém nebo pravém)

b

Rb

a

Ra

l

ca

lbla

x

ca cb

cb

cacb

M(ca) M(cb)

( ) ( )aacaM cl −−=η ( ) ( )bbcbM cl −−=η

P=1

Je-li pr��ez c na úseku p�evislého konce � p�í�inková �ára shodná jako na konzole

lb-cb

30

P�í�inkové �áry na prostém nosníku s p�evislými konci

P�í�inkové �áry na prostém nosníku s p�evislými konci

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(b) P�í�inková �ára reakce Raz

(c) P�í�inková �ára reakce Rbz

(d) P�í�inková �ára ohybovéhomomentu Mc v poli

(e) P�í�inková �ára posouvající síly Vcv poli

(f) P�í�inková �ára ohybovéhomomentu Ma nad podporou a

(a) Nosník s p�evislými konci(na obr. chybí indexy „z“)

31

Je-li sledovaný pr��ez i zatížení na neseném prutu � p�í�inkové �áry na nesené �ásti shodné jako na prostém nosníku. Bude-li zatížení na nesoucí �ásti, vliv se neprojeví v �ásti nesené �p�í�inková �ára za kloubem nenavazuje na pr�b�h v nesené �ásti a je nulová.

P�í�inkové �áry na spojitém nosníku s vloženými klouby

P�í�inkové �áry na spojitém nosníku s vloženým kloubem

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

�ást nesená a - dsledovaný pr��ez je na nesené �ásti(tady bod e)

(c) P�í�inková �ára reakce Raz

(d) P�í�inková �ára interakce Rdz

(e) P�í�inková �ára ohybovéhomomentu Me

(f) P�í�inková �ára posouvající síly Ve

32

P�í�inkové �áry na spojitém nosníku s vloženými klouby

P�í�inkové �áry na spojitém nosníku

s vloženým kloubem

(a)

(b)

(g)

(h)

(i)

(j)

(k)

(l)

�ást nesoucí d - esledovaný pr��ez je na nesoucí �ásti(tady bod g v poli nebo bod f na p�evislém konci)

(g) P�í�inková �ára reakce Rbz

(h) P�í�inková �ára reakce Rcz

(j) P�í�inková �ára posouvající síly Vg v poli

(i) P�í�inková �ára ohybového momentu Mg v poli

(l) P�í�inková �ára posouvající síly Vf na p�evislém konci

(k) P�í�inková �ára ohybového momentu Mfna p�evislém konci

Je-li sledovaný pr��ez i zatížení na nesoucím prutu � p�í�inkové �áry na nesoucí �ásti shodné jako na prostém nosníku. V kloubu se p�í�inková �ára láme a lineárn� vede do nuly na konec nosníku, p�ípadn� do nulové hodnoty ve vedlejším kloubu. Za tímto kloubem je potom �ára nulová.

9

33

P�íklad

Zadání a �ešení p�íkladu 8.3Obr. 11.9. / str. 180

(a)

(b)

(c)

Zadání: Sestrojit p�í�inkové �áry Ma a Ms

34

Domácí úkol - donést do cvi�ení, kdy se bude probírat toto téma

Zadání: Sestrojit p�í�inkové �áry:.,,,,,,,,,,, sppmmhhczbzdzaza VMVMVMVRRRRM

hmp

Pokud si nebudete v�d�t rady, m�žete se p�ijít poradit !

35

Okruhy problém� k ústní �ásti zkoušky

1. P�í�inkové �áry na prostém nosníku bez p�evislých konc�

2. P�í�inkové �áry na konzole

3. P�í�inkové �áry na prostém nosníku s p�evislými konci

4. P�í�inkové �áry na spojitém nosníku s vloženými klouby

Okruhy k samostudiu:

5. Využití p�í�inkových �ar pro výpo�et (extrémních) ú�ink� nehybného zatížení

6. Maximální ohybový moment v zadaném pr��ezu (Winklerovo kritérium)

7. Maximální ohybový moment pod sledovanou silou(b�emenové kritérium)

8. V�bec nejv�tší ohybový moment na celém nosníku(Šolínovo kritérium)