Pružnost a plasticita II., 3.ročník bakalářského studia, přednášky

Téma 1Základní rovnice teorie pružnosti

1

Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

• Základní informace o výuce a hodnocení předmětu PP II• Úvodní poznámky a základní předpoklady• Napětí a deformace• Analýza napjatosti a deformace v okolí bodu tělesa• Rovnice rovnováhy• Geometrické rovnice• Fyzikální rovnice

Základní informace

Předmět:228-0211/01 - Pružnost a plasticita IIPřednášející:

2

Přednášející:Ing. Vladimíra Michalcová , Ph.D.Spojení:

tel: 59 732 1348e-mail: vladimira.michalcova@vsb.cz

Přednášky a informace:http://fast10.vsb.cz/michalcova

Osnova přednášek

1. Základní rovnice teorie pružnosti.2. Rovinný problém, stěnová rovnice. 3. Metody řešení stěn.4. Desky, technická teorie tenkých desek, tlusté desky.

3

4. Desky, technická teorie tenkých desek, tlusté desky.5. Desky, metody řešení desek. 6. Kruhové desky.7. Skořepiny.8. Modely podloží, pružný poloprostor.9. Stabilita prutových konstrukcí, Eulerovo řešení.10.Nelineární chování materiálů, podmínky plasticity.11.Rámy s plastickými klouby.

Osnova cvičení

1. Úvodní cvičení, transformace složek napětí2. Řešení stěn pomocí Airyho funkce3. Řešení stěn pravoúhlých metodou sítí, zadání 1. programu4. Řešení pravoúhlých stěn metodou sítí,

1. písemka transformace napětí5. Řešení pravoúhlých desek metodou sítí, zadání 2. programu

4

5. Řešení pravoúhlých desek metodou sítí, zadání 2. programu6. Řešení pravoúhlých desek metodou sítí7. Řešení kruhových a mezikruhových desek8. Skořepinové konstrukce, membránový stav9. Nosník na pružném podkladě, numerické řešení

2. písemka, kruhové a mezikruhové desky 10. Stabilita prutových konstrukcí, numerické řešení11. Stabilita prutových konstrukcí, numerické řešení12. Mezní plastická únosnost prutových konstrukcí13. Mezní plastická únosnost prutových konstrukcí,

3. písemka, mezní únosnost nosníků14. Zápočet

Literatura

[1] Dický, J., Mistríková, Z., Sumec, J., Pružnosť a plasticita v stavebníctve 1, Slovenská technická univerzita v Bratislavě, 2004.

[2] Dický, J., Mistríková, Z., Sumec, J., Pružnosť a plasticita v stavebníctve 2, Slovenská technická univerzita v Bratislavě, 2006.

[3] Teplý, B., Šmiřák, S., Pružnost a plasticita II. Nakladatelství VUT Brno, 1993.

5

Brno, 1993.[4] http://mi21.vsb.cz/modul/zaklady-matematicke-teorie-pruznosti .[5] http://mi21.vsb.cz/modul/pruznost-plasticita .

Další doporučená literatura:[4] Šmiřák, S., Pružnost a plasticita I. Nakladatelství VUT Brno, 1999. [5] Bittnar, Z., Šejnoha, J. Numerické metody mechaniky, ČVUT, Praha,

1992[6] Novák, O. a kol Technický průvodce 3. Nauka o pružnosti a pevnosti ve

stavitelství, SNTL, Praha, 1963

Hodnocení zápočtu

Předpoklady pro získání zápočtu:� Uznaný zápočet z předmětu SSKI� 70% účast na cvičení, neúčast musí být řádně omluvená� Zvládnutí 3 písemných prací

6

� Zvládnutí 3 písemných prací� Zvládnutí 2 programů� Získání minimálně 18 bodů z 35 možných

Bodování na cvičení:� 3 písemky

- 7 bodů, možnost 2x opravy (při posledním pokusu až 4 bodů)

2 programy- 7 až 3 body

Hodnocení zkoušky

Předpoklad zápisu ke zkoušce- úspěšné absolvování zkoušky z SSK I- získání zápočtu z PP II

Podmínka úspěšného absolvování zkoušky

7

Podmínka úspěšného absolvování zkoušky- Úspěšné vykonání ústní i písemné části zkouškyPísemná část 0 až 35 bodůPodmínkou pro postup k ústní zkoušce je min. 18 bodů z písemné části zkouškyÚstní část 0 – 30 bodů, pro vykonání min. 15Známky: 86 – 100 bodů 1

66 – 85 bodů 251 – 65 bodů 3

Základní předpoklady teorie pružnosti

Látka tělesa je� homogenní, může být přitom

a) izotropní b) anizotropnídokonale pružná a to

8

� dokonale pružná a to a) lineárně b) nelineárně (nebudeme se zatím zabývat)

� deformace tělesa působením vnějších vlivů jsou malé – geometricky lineární teorie pružnosti

� počáteční napjatost je nulová, nepůsobí-li na těleso vnější síly.

Lineární pružnost

Pokud formuluje podmínky rovnováhy na:�nedeformovaném tělese (důsledek předpokladu malých deformací a jejich zanedbatelný vliv na tyto podmínky) hovoříme o teorii prvního řádu,

9

hovoříme o teorii prvního řádu,�deformovaném tělese (důsledek nezanedbatelného vlivu předpokladu i malých deformací) hovoříme o teorii druhého řádu. (nejedná se již o lineární pružnost)Předpoklad malých deformací a lineární závislosti mezi napětím a přetvořením (geometrická a fyzikální linearita) umožňuje využít princip superpozice

Princip superpozice

Výsledný stav, tj. výsledné zatížení a reakce, vnitřní síly, napětí, přemístění (deformace) je součtem jednotlivých zatěžovacích stavů.

10

zatěžovacích stavů.Nezáleží na pořadí v jakém jednotlivé zatěžovací stavy na těleso či konstrukci působí.

Klasifikace nosných konstrukcí

Prut je trojrozměrné těleso, jehož jeden rozměr (délka) je podstatně větší než zbývající dva rozměry.Mohou mít proměnlivou délku, průřez, přímé i zakřivené.

11

zakřivené. Plošný konstrukční prvek je trojrozměrné těleso, jehož dva rozměry jsou podstatně větší než zbývající jeden rozměr (tloušťka). Patří mezi ně desky, stěny s rovinnou střednicovou plochou a skořepiny se zakřivenou střednicovou plochou.Těleso je konstrukční prvek, jehož rozměry jsou srovnatelné.

Vnější síly a vnitřní síly

Vnější síly:�objemové (působí v elementech objemu), patří k nim:vlastní tíha, odstředivé síly atd.povrchové síly působí jako zatížení na ploše a to jako:

12

�povrchové síly působí jako zatížení na ploše a to jako:spojité zatížení na ploše a na čáře (přímce) a bodové síly (singulární síly).

Objemové a plošné zatížení je reálné, bodové zatížení a zatížení na čáře je abstraktní, idealizuje zatížení plošné.

Vnitřní síly vznikají vlivem vnějšího zatížení, jsou jím indukovány.

Vnitřní síly

� Prutové prvky: o složkách vnitřních sil předpokládáme, že působí v těžišti. Jsou výslednicí elementárních sil (napětí) působících v určitém řezu a směru. Touto

13

působících v určitém řezu a směru. Touto problematikou jste se zabývali v předmětu PP. Při jejich určení se vycházelo ze znalostí složek vnitřních sil

� Plošné prvky a tělesa:je nutno se zabývat rozložením elementárních sil

Napětí

Fp n∆=

rrPoměr elementární síly a velikosti plošky je

poměrné napětí na této plošce:

Míra intenzity vnitřních sil

14

Ap n

n ∆=poměrné napětí na této plošce:

Směr napětí je shodný se směrem síly působící na danou plošku

n

n

n

n

An dA

Fd

A

Fp

rrr =

∆∆=

→∆lim

0

Zmenšujeme-li velikost plošky ∆∆∆∆A k nule,

dostaneme napětí pn v bodě:

Základní jednotkou napětí je Pa [N/m2]

MPa [N/mm2] nebo [MN/m2], kPa [kN/m2]

Napětí, pokračování

dVdN == τσ

Při rozložení síly dFn do směru

normály n a stopy v plošky dAje:

15

dA

dV

dA

dNn == nv τσ

je:

22

nvnnp τσ +=Platí přitom:

σσσσn je normálové napětí, působí ve směru normály n

ττττnv je smykové napětí, působí v rovině plošky dA ve směru stopy v síly dFn

Napětí, pokračování

Smykové napětí ττττnv lze na plošce dA

rozložit do směrů os t a s:

22 τττ +=

16

22

ntnsnv τττ +=Opět platí:

Bodem tělesa můžeme proložit libovolný počet řezů.

Každé plošce odpovídá jiný vektor napětí pn.

Množina vektorů napětí pn, odpovídající všem orientovaným ploškám v daném bodě, charakterizuje napěťový stav v tomto bodě.

Deformace

Pojem deformace

Hledisko fyzikální:

deformace pružné a nepružné

17

dldldl −=∆ ´Změna délky:

Poměrná délková změna:

Změna úhlů, pootočení:

deformace pružné a nepružné

Hledisko geometrické:

posunutí a pootočení

γγ

ε

≅≅∆≅∆+

∆

∆=

tgdldldl

dl

dl

Deformace, pokračování

dzdydxdVdV

dV

dVdVdV

⋅⋅=

∆=

−=∆

ω

´Změna objemu:

Poměrná objemová změna:

Původní objem:

18

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) dzdydxdV

dzdzdydydxdxdV

zyx ⋅⋅⋅+⋅+⋅+=∆+⋅∆+⋅∆+=

εεε 111´

´

dzdydxdV ⋅⋅=

Změněný objem:

Původní objem:

( ) ( ) ( )[ ]

zyxxzzyyxzyx

zyx

dzdydx

dzdydx

dV

dVdV

εεεεεεεεεεεεω

εεεω

++++++=⋅⋅

⋅⋅⋅−+⋅+⋅+=−=

1111´Poměrná objemovázměna:

Pro malé deformace jsou poměrné deformace řádově menší k jedničce a lze psát: zyx εεεω ++=

Analýza napjatosti v okolí bodu tělesa

Vektor pn je vždy vázán na orientovanou plošku určenou normálou n. Má tři složky:

σn τns τnt

19

Vektorový zápis pn:

321 eeep ntnsnn

rrrr ⋅+⋅+⋅= ττσe1, e2, e3 jsou jednotkové vektory ve směrech n, s, t

Pro určení napětí v daném bodě M v libovolné plošce musíme znát tři složky napětí ve třech vzájemně kolmých ploškách např. s normálami n, s, t. Složek napětí v bodě je tedy 9.

Analýza napjatosti v okolí bodu tělesa, pokračování

Zápis 9 složek napětí v maticovém tvaru se nazývá tenzor napětí:

[ ]

=

xzxyx

τστ

ττσ

σ

20

[ ]

=

zzyzx

yzyyx

σττ

τστσ

Označování indexů:

U normálových napětí se zpravidla užívá jeden index, má směr normály k příslušné plošce a současně směr napětí.

U smykových napětí má první index směr normály k příslušné plošce, druhý index směr smykového napětí.

Analýza napjatosti v okolí bodu tělesa,

vzájemnost smykových napětí

( ) ( )xt

dzdy

M 0⇒=

Z momentové podmínky k ose x

procházející těžištěm elementu vyplývá:

21

( ) ( )

xzzxyxxy

zyyz

zyyz

dzdydx

dydzdx

ττττττ

ττ

,

obdobně a úpravě po

02

22

2

===

=⋅⋅−⋅⋅

Vzájemnost smykových napětí protínajících se v jednom bodě na ortogonálních ploškách

Vzhledem k těmto rovnostem lze napětí v bodě charakterizovat také vektorem napětí: { }T

zxyzxyzyx ,,,,,, τττσσσσ =

Transformace složek tenzoru napětí

Známe-li napětí v bodě, tj. ve třech vzájemně ortogonálních ploškách dAx,dAy, dAz můžeme určit napětí na libovolně orientované plošce dA. Orientace této plošky je dána normálou n. Transformační vztahy vyplývají z rovnováhy sil působících na čtyřstěnu ON1N2N3.

22

( )( )( )

1

dA ,cos

dA ,cos

dA ,cos

222

z

y

x

=++⋅==⋅==⋅==

zyx

zz

yy

xx

nnn

ndAznn

ndAynn

ndAxnn

nx, ny,nz jsou směrové kosiny úhlů, které svírá

normála n s osami x, y, z.

Transformace složek tenzoru napětí

00

00

00

zzyyyxxynyy

zzxyyxxxnxx

ndAndAndAdApF

ndAndAndAdApF

ndAndAndAdApF

=⋅−⋅−⋅−⇒==⋅−⋅−⋅−⇒==⋅−⋅−⋅−⇒=

∑

∑

∑

στττστττσ

Podmínka rovnováhy sil na čtyřstěnu:

23

222

:úpravě po

00

nznynxn

zzyzyxzxnz

zzyyyxxyny

zzxyyxxxnx

zzyyzxxznzz

pppp

nnnp

nnnp

nnnp

ndAndAndAdApF

++=

⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=

=⋅−⋅−⋅−⇒=∑

στττστττσ

σττ

{ } [ ] { }np T

n σ=

[ ]Tσ

Platí:

V maticovém tvaru lze zapsat:

je transponovaná matice tenzoru napětí, { }T

zyx nnnn ,,=

Transformace složek tenzoru napětí,pokračování

:úpravě a , , za dosazení po nznynx

znzynyxnxn

ppp

npnpnpσ ⋅+⋅+⋅=

Normálová složka σn vektoru pn je dána součtem průmětů složek pnx , pny a pnz do směru normály n

24

( )22

222

2

:úpravě a , , za dosazení po

nnnt

xzxzzyyzyxxy

zzyyxxn

nznynx

p

nnnnnn

nnn

ppp

στ

τττσσσσ

−=

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅=

Směr výsledného smykového napětí ττττnt je dán přímkou t, která je průsečnicí roviny plošky dA s rovinou danou normálou n a vektorem pn.

Transformace složek tenzoru napětí,pokračování

⋅+⋅+⋅=≡

⋅+⋅+⋅=≡ mpmpmp znzynyxnxyxnm 11

ττττ

Na obr. je osa x1 pootočeného souřadného systému x1, y1, z1 totožná s normálou n. Složky smykového napětí τnt=τx1t , do směru m=y1 a do směru s=z1jsou:

25

{ }( )( )( )

{ }( )( )( )

=

=

=

=

⋅+⋅+⋅=≡

zs

ys

xs

s

s

s

s

zm

ym

xm

m

m

m

m

spspsp

z

y

x

z

y

x

znzynyxnxzxns

,cos

,cos

,cos

a

,cos

,cos

,cos

kde11

ττ

Po dosazení za pnx, pny, pnz je:

( )( ) ( )

( )( ) ( )xzxzzyzyzyyz

yxyxxyzzzyyyxxxns

xzxzzyzyzyyz

yxyxxyzzzyyyxxxnm

nssnnssn

nssnsnsnsn

nmmnnmmn

nmmnmnmnmn

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

τττσσστ

τττσσστ

Transformace složek tenzoru napětí

Níže uvedené rovnice umožňují získat tři složky tenzoru napětí na plošce s normálou n=x1 v souřadnicovém systému x1, y1, z1.

( )xzzxzyyzyxxy

zzyyxxnx

nnnnnn

nnn

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅

+⋅+⋅+⋅=≡

τττσσσσσ

2 1

222

26

( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )xzxzzy

zyzyyzyxyxxy

zzzyyyxxxnszx

xzxzzy

zyzyyzyxyxxy

zzzyyyxxxnmyx

xzzxzyyzyxxy

nssn

nssnnssn

snsnsn

nmmn

nmmnnmmn

mnmnmn

nnnnnn

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=≡⋅+⋅

+⋅+⋅+⋅+⋅

+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=≡⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅

τττ

σσστττ

ττσσσττ

τττ

2

11

11

Obdobně lze získat složky tenzoru napětí na ploškách s normálami y1=m, z1=s.

Transformace složek tenzoru napětí,maticový zápis

⋅

⋅

=

xxxxzxyxzyxzxyxx

smn

smn

mmm

nnn

τστ

ττσ

τστ

ττσ11111

Transformaci devíti složek napětí ze souřadnicového systému x, y, z do souřadnicového systému x1, y1, z1,lze maticově zapsat:

27

[ ] [ ]σσ ,1

⋅

⋅

=

zzz

yyy

zzyzx

yzyyx

zyx

zyx

zyzxz

zyyxy

smn

smn

sss

mmm

σττ

τστ

σττ

τστ

11111

11111

Maticový zápis lze zkráceně symbolicky zapsat: [ ] [ ] [ ] [ ]TLL ⋅⋅= σσ1

jsou matice tenzoru napětí v souřadném systému x1, y1, z1 a x, y, z .

[L], [L]T jsou matice pootočení a transponovaná matice pootočení

Rovinný stav napjatosti tělesaJe-li v libovolném bodě tělesa ploška, ve které jsou složky napětí nulové, pak hovoříme o rovinné napjatosti.

Nenulové složky napětí jsou pak s touto ploškou rovnoběžné. Na obr. jsou nulová napětí v rovině s normálou y, tj. v rovině xz.

28

[ ]

=

zzx

xzx

στ

τσ

σ

0

000

0

normálou y, tj. v rovině xz.

Složky napětí σx,σz,τxz,τzx jsou s touto rovinou rovnoběžné.

Maticově lze tenzor napjatosti vyjádřit:

S rovinnou napjatosti se setkáváme např. u stěn

nebo u nosníků.

Napětí při rovinné napjatosti lze vyjádřit také vektorově: { } { }T

xzzx τσσσ ,,=

Přímkový stav napjatosti tělesa

σ

Můžeme-li libovolným bodem tělesa proložit svazek rovin, ve kterých jsou složky napětí nulové, pak hovoříme o přímkové napjatosti.

Jediná nenulové složka napětí je v přímce, ve které se svazek rovin protíná. Je-li touto přímkou osa x, lze maticově tenzor napjatosti vyjádřit:

29

[ ]

=

000

000

00xσ

σ

Vektorově lze napsat:

S přímkovou napjatostí se setkáváme např. u lan nebo u táhel.

Svazek rovin, ve kterých nepůsobí napětí

Společná přímka svazku rovin

{ } { }xσσ =

Transformační vztahy pro rovinný stav napjatosti

[ ] [ ] [ ] [ ]TLL ⋅⋅= σσ1

( ) ( ) ( )( ) ( )

-sin270coscos coscos 11 =−==== xzsxxn xx ααα

Při transformaci je důležité si uvědomit orientaci úhlu α (od osy x k ose x1 pravotočivě).

Vyjdeme-li z rovnice: , pak je nutno vyjádřit matici [L]. Platí:

30

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 10coscosm 090coscoscos

coscoscos sin90coscos

090coscos 090coscos

-sin270coscos coscos

1y11

11

11

11

=========−===−==

=======−====

yyzymxym

zzszxn

yzsyxn

xzsxxn

zx

zz

yy

xx

αααα

ααα

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

=

=

−=

−=

−

=

=

−

=

=

zxz

zxx

zzx

xzxT

zzz

yyy

xxx

T

zyx

zyx

zyx

LL

smn

smn

smn

L

sss

mmm

nnn

L

στ

τσσ

στ

τσσ

αα

αα

αα

αα

αα

αα

αα

αα

cossin

sincos

cossin

sincos

:tzjednoduši lzenapjatost rovinnou Pro

cos0sin

010

sin0cos

cos0sin

010

sin0cos

111

111

1

Transformační vztahy pro rovinný stav napjatosti

[ ] [ ] [ ] [ ]TLL ⋅⋅= σσ1

Vyjdeme-li z rovnice:

[ ]αα

αα

στ

τσ

αα

αα

στ

τσσ

cossin

sincos

cossin

sincos 1

111

−⋅

⋅

−=

=

zxz

zxx

zzx

xzx

31

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

αασττσσττσ

σττσσττσ

στ

τσστστ

τστσ

στ

τσααστααστ

cosc sin zde je

cossincossin

22222

2222

111

111

111

111

111

==

+−−++−−

+−+−+++=

+−+

+−+⋅

−=

−

s

cscscsscssc

scscscsscscc

cssc

cssc

cs

sc

zxzzxxzxzzxx

zxzzxxzxzzxx

zzx

xzx

zxzzxz

zxxzxx

zzx

xzx

zxzzzx

Transformační vztahy pro rovinný stav napjatosti

Po úpravě:

( ) ( )( ) ( )

αασττσσττσ

σττσσττσ

στ

τσ

cosc sin kde

2222

2222

111

111

zxzzxxzxzzxx

zxzzxxzxzzxx

zzx

xzx

s

cscscssccssc

scscscsscscc

==

+−−++−−

+−+−+++=

32

ατασασσ

ασσατττ

ατασασσ

αα

2sincossin

2sin2

2cos

2sinsincos

je

cosc sin kde

22

22

1

1111

1

xzzxz

zxxzxzzx

zxzxx

s

−+=

−−==

++=

==

σz1 lze odvodit ze vzorce pro σx1

je-li pootočení β=α+π/2

Věta o 1. invariantu tenzoru napětí

zxzxx

ατασασσατασασσ

−+=

++=1

2sincossin

2sinsincos22

22

Sečteme-li normálová napětí,

33

zxzx

xzzxz

σσσσ

ατασασσ

+=+

−+=

11

12sincossin

platí

Součet normálových napětí v okolí bodu na libovolných dvou ortogonálních ploškách je konstantní

Hlavní normálová napětí

( ) 02cos2cossin2sincos2 Platí

2sinsincos

1

1

22

=++−=

++=

xzzx

x

xzzxx

dα

dσαταασαασ

ατασασσ

Je-li znám tenzor nebo vektor napětí v souřadném systému x, y, pak je často nutné určit směry a hodnoty normálových napětí. Lze vyjít ze vzorce:

34

( )

( ) 0 je 02sin21

2cos

protože ,02sin21

2cos

1111

==−−=

=−−

zxzxxzzx

zxxz

dα

τασσαττ

ασσατ

Největší normálové napětí je v rovině, v níž je smykové napětí nulové. Této rovině říkáme hlavní rovina a příslušnému normálovému napětí hlavní napětí. Úhel potočení αe roviny xz do hlavní roviny neurčuje jednoznačně směr maximálního a minimálního napětí:

zx

xzetg

σστα−

= 22

Hlavní normálová napětí

exzezeez

ezxexeex

ατασασp

ατασασp

cossinsin

sincoscos

+==+==

σe hlavní normálové napětí

Z rovnic rovnováhy ve směru x a z vyplývá:

35

exzezeez ατασασp cossinsin +==

( ) 22

2,1 421

2 xzzxzx

e τσσσσσσ +−±+==

Řešení těchto dvou rovnic vede ke kvadratické rovnici s řešením:

Hlavním napětím přiřazujeme zpravidla indexy σ1> σ2

Směry α1, α2 hlavních napětí σ1 a σ2 lze jednoznačně určit ze vztahů:

z2

xz2

z1

xz1 σσ

τασσ

τα−

=−

= tgtg

Maximální smyková napětí

Známe-li maximální normálová napětí, σ1,σ2

lze normálové napětí σx´ a smykové napětí τxź´vyjádřit:

( )21´´

2

2

2

1´2sin

21

sincos δσστδσδσσ −−=+=zxx

36

( )

( )

( ) ( )21s21extr

21´´

21´´21´

21

21

4

4

02cos 02cos221

0

2sin2

sincos

σσσσστ

πδπδδδσσδ

τ

δσστδσδσσ

+=−±=

=−=⇒==−−⇒=

−−=+=

d

dzx

zxx

Maximální (extrémní)smyková napětí budou

na plochách hlavních smyků při hodnotách δ vyplývajících z rovnice:

Na těchto plochách budou působit maximální smyková napětí τextr a normálové napětí σs:

Hlavní roviny

Mohrova kružnice

37

Mohrova kružnice

1. Souřadný systém volíme tak, že osa σ odpovídá x, osa τ pak ose z

2. Vyneseme bod A (σx, τxz) - τxz má stejnou orientaci jako t1, je proto kladné (nahoru).

Orientace dle směru otáčení

38

2. Vyneseme bod A (σx, τxz) - τxz má stejnou orientaci jako t1, je proto kladné (nahoru).

3. Vyneseme bod B (σz, τzx) - τzx má opačnou orientaci jako t1, je proto záporné (dolů).

Poznámka: pro orientaci je rozhodující směr otáčení ! Pozor na volbu os xz případně xy.

4. Střed kružnice S je průsečík spojnice AB s osou σ, poloměr odpovídá úsečce AS a BS,

maximální napětí je v bodě X(σ1, 0) kružnice, minimální bodě Y(σ2, 0) kružnice. Extrémní hodnoty smykových napětí určují body C a D.

5. Pól Mohrovy kružnice P je průsečík kružnice a rovnoběžky s osou x (s) vedenou bodem A, respektive průsečík kružnice s přímkou rovnoběžnou s osou z (τ) vedenou bodem B.

6. Spojnice PX určuje směr hlavního napětí σ1, spojnice PY směr hlavního napětí σ2.

7. Chceme-li určit napětí na plošce s normálou x1 pootočenou od x o α, vedeme rovnoběžky s osami x1 a z1 z pólu P – body M a N.

Mohrová kružnice pro jinou orientaci osviz skripta Šmiřák, S., Pružnost a plasticita I. Nakladatelství VUT Brno, 1999.

39

Směr osy x odpovídá σ,

směr osy y odpovídá τ

Speciální případy napjatostiČistý smyk

Příklady rovinné napjatosti σ3=0 s maximálními smykovými napětími

40

Přímková napjatost

Trajektorie hlavních napětí

Tažený prut

41

Ohýbaný nosník

Trajektorie hlavních napětí

42

Kroucený prutoba směry Mx

Diferenciální rovnice rovnováhy

43

dále a zkráceně nebo

),,(),,(),,(´

´´

´

dxx

dxx

dxx

dxx

zyxzyxzydxx

xzxzxz

xyxyxy

xxx

xxx

∂∂+=

∂∂

+=

∂∂+=

∂∂+=+

ττττ

ττ

σσσ

σσσ

Složky napětí na posunutých ploškách lze zapsat:

Diferenciální rovnice rovnováhy, pokračování

Ve směru osy x platí podmínka

rovnováhy: ΣFx= 0

44

0

=⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅

⋅∂

∂++⋅⋅

−⋅⋅

⋅∂

∂++⋅⋅−⋅⋅

⋅∂

∂+

dzdydxXdydxdydxdzx

dzdx

dzdxdyx

dzdydzdydxx

zxzx

zxyx

yx

yxxx

x

ττττ

ττσσσ

Po úpravě:0=+

∂∂+

∂∂

+∂

∂X

zyxzxyxx ττσ

Diferenciální rovnice rovnováhy, pokračování

45

Po rozepsání rovnic rovnováhy ve směru os x, y a z lze odvodit

Cauchyho rovnice rovnováhy:

0

0

0

=+∂

∂+∂

∂+

∂∂

=+∂

∂+

∂∂

+∂

∂

=+∂

∂+∂

∂+

∂∂

Zzyx

Yzyx

Xzyx

zyzxz

zyyxy

zxyxx

σττ

τστ

ττσ

Geometrické rovnice

y

u

x

vv

udyy

uu

u

vdxx

vv

y

v

dy

vdyy

vv

x

u

dx

udxx

uu

yx

∂∂+

∂∂=∂+

−∂∂+

+∂+

−∂∂+

=+=

∂∂=

−∂∂+

=∂∂=

−∂∂+

=

xy

βαγ

εε

46

y

u

x

v

y

v

x

u

yxdxy

vdydx

x

udx

yx ∂∂+

∂∂=

∂∂=

∂∂=

∂∂∂∂+

∂∂+

xy

xy

γεε

x

w

z

u

z

w

z

v

y

w

y

v

y

u

x

v

x

u

∂∂+

∂∂=

∂∂=

∂∂+

∂∂=

∂∂=

∂∂+

∂∂=

∂∂=

zxz

yzy

xyx

γε

γε

γε

V rovině:

V prostoru:

Geometrické rovnice, rovnice kompatibility (spojitosti)

:úpravě po

, ,

xy

2

y

22

2

3

2

32

2

3

2

y

2

2

3

2

x

2

xyyx

xy

v

yx

u

yxxy

v

xyx

u

y

x

v

y

u

y

v

x

u

xy

∂=

∂+∂

∂∂∂+

∂∂∂=

∂∂∂

∂∂∂=

∂∂

∂∂∂=

∂∂

∂∂+

∂∂=

∂∂=

∂∂=

γεε

γεε

γεε

:

47

:úpravě po xy

2

y

2

x

yxxy ∂∂∂

=∂∂

+∂∂ γεε

Obdobně lze odvodit:

yxzyxz

xzyxzy

zyxzyx

xzzxyzyz

zxyzxyz

yzxyzxy

xyzxyzx

zxxzyzzy

∂∂∂=

∂∂

−∂

∂+∂

∂∂∂

∂∂∂

=

∂∂−

∂∂

+∂

∂∂∂

∂∂∂=

∂∂

−∂

∂+

∂∂

∂∂

∂∂∂=

∂∂+

∂∂

∂∂∂

=∂∂+

∂∂

εγγγ

εγγγ

εγγγ

γεεγεε

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

dále a

Rovnice kompatibility popisují vzájemnou závislost složek deformací, zachování spojitosti tělesa i po vzniku deformací

Fyzikální rovnice (konstituční vztahy), vztahy mezi napětími a deformacemi

xx dddddd εσ 161514131211

Vztahy mezi napětím a poměrnými deformacemi závisí na fyzikálních vlastnostech látek. Pro lineárně pružný materiál je lze vyjádřit v maticové formě:

Zkráceně lze zapsat:

εσ ⋅= D

48

⋅

=

zx

yz

xy

z

y

zx

yz

xy

z

y

dddddd

dddddd

dddddd

dddddd

dddddd

γ

γ

γ

ε

ε

τ

τ

τ

σ

σ

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

εσ ⋅= DD je matice tuhosti

εεεε je vektor deformace

σσσσ je vektor napětí

dij jsou konstanty vyjadřující velikost napětí při jednotkové poměrné deformaciMatice D je symetrická, dij=dji.

Fyzikální rovnice, vztahy mezi deformacemi a napětím

εσ ⋅= D

y

x

y

x

cccccc

cccccc

σ

σ

ε

ε

262524232221

161514131211

Inverzním vztahem k rovnici je

C je matice poddajnosti

εεεε je vektor deformace

σσε ⋅=⋅= − CD 1

49

⋅

=

zx

yz

xy

z

y

zx

yz

xy

z

y

cccccc

cccccc

cccccc

cccccc

cccccc

τ

τ

τ

σ

σ

γ

γ

γ

ε

ε

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221 εεεε je vektor deformace

σσσσ je vektor napětí

cij jsou koeficienty deformace, vyjadřují poměrnou deformaci při jednotkovém napětí

Matice C je symetrická, platí cij=cji.

Fyzikální rovnice, maticový a tenzorový zápis,anizotropní látka

σσεεσ ⋅=⋅=⋅= − CDD 1

Maticový zápis fyzikálních rovnic:

Tenzorový zápis fyzikálních rovnic:

50

Tenzorový zápis fyzikálních rovnic:

klijklijklijklij cd σεεσ ⋅=⋅=

V anizotropní látce jsou fyzikální vlastnosti v každém směru různé.Počet nezávislých konstant nebo koeficientů je maximálně 21.

Fyzikální rovnice, izotropní látkavztahy mezi deformacemi a napětími,rozšířený Hookův zákon

−−

−−

−−

y

x

y

x

σ

σ

σ

µµ

µµ

µµ

ε

ε

ε

0001

0001

0001

V izotropní látce jsou fyzikální vlastnosti ve všech směrech stejné

51

( )( )

( )

⋅

+

+

+

−−=

zx

yz

xy

z

zx

yz

xy

z

E

τ

τ

τ

σ

µ

µ

µ

µµ

γ

γ

γ

ε

1200000

0120000

0012000

00011

Počet nezávislých konstant je 2.

E je modul pružnosti [Pa] resp. [MPa], [GPa]

µ je Poissonovo číslo <0, 0,5>

Fyzikální rovnice, izotropní látkavztahy mezi deformacemi a napětími,rozšířený Hookův zákon, pokračování

( )z

y

x

z

y

x

σσσ

µµµµµµ

εεε

⋅

−−−−−−

=

0001

0001

0001

1

Po rozepsání

52

( )( )

( )

( )[ ] ( )

( )[ ] ( )

( )[ ] ( )GEE

GEE

GEE

E

zxzxzxyxzz

yzyzyzxzyy

xyxyxyzyxx

zx

yz

xy

zx

yz

xy

ττµγσσµσε

ττµγσσµσε

ττµγσσµσε

τττ

µµ

µ

γγγ

=+=+−=

=+=+−=

=+=+−=

⋅

++

+=

12

1

12

1

12

1

1200000

0120000

0012000

je

Fyzikální rovnice, izotropní látkavztahy mezi napětími a deformacemi, Hookův zákon

−

−

xx

ε

εµµµ

µµµ

σ

σ0001

0001

V izotropní látce jsou fyzikální vlastnosti ve všech směrech stejné

53

( ) ( )( )

( )

( )

⋅

−

−

−−

⋅−⋅+

=

zx

yz

xy

z

y

zx

yz

xy

z

y

E

γ

γ

γ

ε

ε

µ

µ

µµµµ

µµ

τ

τ

τ

σ

σ

221

00000

0221

0000

00221

000

0001

211

Počet nezávislých konstant je 2.

Fyzikální rovnice, izotropní látkavztahy mezi napětími a deformacemi, Hookův zákon

( ) ( )( )

( ) xy

z

y

x

xy

z

y

x

E

γεεε

µ

µµµµ

µµµµµµ

µµτσσσ

⋅

−

−−

−−

⋅−⋅+

=

21

002

21000

0001

0001

0001

211

Po rozepsání:

54

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) zxxyzxyxzz

yzxyyzxzyy

xyxyxyzyxx

zx

yz

xy

zx

yz

xy

GEE

GEE

GEE

γγµ

τεεµεµµµ

σ

γγµ

τεεµεµµµ

σ

γγµ

τεεµεµµµ

σ

γγ

µ

µ

ττ

⋅=+⋅=++−

−⋅+=

⋅=+⋅=++−

−⋅+=

⋅=+⋅=++−

−⋅+=

−

−

1

2 1

211

1

2 1

211

1

2 1

211

2

2100000

02

210000

je:

Fyzikální rovnice, ortotropní látkavztahy mezi deformacemi a napětími,rozšířený Hookův zákon

V ortotropní látce jsou fyzikální vlastnosti ve třech vzájemně kolmých směrech odlišné. Hovoří se o ortotropní anizotropii.

Jestliže se směry os x, y, a z ztotožní se směry roviny pružné symetrie je

počet nezávislých konstant nebo koeficientů 9.Musí platit:

xzzxzyyzxyyx µµµµµµ===

55

⋅

−−

−−

−−

=

zx

yz

xy

z

y

x

zx

yz

xy

zy

zy

x

zx

z

yz

yx

yx

z

xz

y

xy

x

zx

yz

xy

z

y

x

G

G

G

EEE

EEE

EEE

τ

τ

τ

σ

σ

σ

µµ

µµ

µµ

γ

γ

γ

ε

ε

ε

100000

01

0000

001

000

0001

0001

0001 Musí platit:

z

xz

x

zx

y

zy

z

yz

y

xy

x

yx

EEEEEE

µµµµµµ===

Ex, Ey, Ez jsou moduly pružnosti ve směru os x, y, z

µxy je Poissonovo číslo dané poměrem příčné deformace ve směru osy x k podélné deformaci ve směru osy y

Gxy, Gyz, Gzx jsou moduly pružnosti ve smyku s indexy označujícími rovinu smyku

Základní systém rovnice teorie pružnosti

Obsahuje 15 neznámých funkcí:6 složek napětí (σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx)6 složek deformace (εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx)3 složky posunutí (u, v, w)

56

3 složky posunutí (u, v, w)Těchto 15 neznámých lze určit ze:3 parciálních diferenciálních rovnic rovnováhy6 geometrických rovnic6 fyzikálních rovnicNa povrchu tělesa musí být splněny podmínky odpovídající zatížení a vazbám – okrajové podmínky

Druhy okrajových podmínek1. Statické okrajové podmínky, na povrchu tělesa

jsou zadána povrchová zatížení svými složkamiSložky napětí na povrchu tělesa px, py, pz musí být s nimi v rovnováze.Musí tedy platit:

zyx ppp ,,

zzyyxx pppppp ===

57

Musí tedy platit: zzyyxx pppppp ===2. Deformační okrajové podmínky, na povrchu tělesa

jsou zadány složky posunutí nebo jejich derivace. Složky deformace povrchu u, v, w tělesa musí vyhovovat těmto podmínkám:

,, wvu

wwvvuu ===

3. Smíšené okrajové podmínky, na povrchu tělesa jsou zadána současně zatížení a deformace

Příklad, zadání, okrajové podmínky, zatížení

58

Příklad

59

Napětí σx izolinie [MPa] barvy

Příklad

60

Napětí σy izolinie [MPa] Napětí τxy izolinie [MPa]

Příklad

61

Napětí σ1 izolinie [MPa] Napětí σ2 izolinie [MPa]

Použitá literatura

[1] Dický, J., Mistríková, Z., Sumec, J., Pružnosť a plasticita v stavebníctve 1, Slovenská technická univerzita v Bratislavě, 2004.

[2] Dický, J., Mistríková, Z., Sumec, J., Pružnosť a plasticita v stavebníctve 2, Slovenská technická univerzita v Bratislavě, 2006.

62

stavebníctve 2, Slovenská technická univerzita v Bratislavě, 2006.