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Departamento De Ciencias Cajamarca/ CICLO 2013-1 - 1- Facultad
De Ingeniera
CURSO: PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
Tema :
Semana: 13
Instrucciones: Lea cuidadosamente cada problema y responda en
forma ordenada, clara y precisa. A. PRUEBA DE HIPTESIS PARA LA
MEDIA CON MUESTRAS PEQUEAS: Ejemplo: El gerente de laboratorio de
la empresa Pollancos S.A. quiere determinar si un cierto somnfero
aumenta las horas de sueo en las personas. Para este fin,
selecciona una muestra aleatoria de 10 pacientes y registra el
nmero de horas de sueo ganadas al aplicar el somnfero a cada
paciente; los resultados fueron los siguientes:
Paciente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Horas Ganadas 1.2 -1.3 1.7 0.9 2.4 0.8 -1.0 1.8 2.0 2.1
Suponiendo que la horas de sueo ganadas con el somnfero de cada
paciente es una variable aleatoria con distribucin normal, al nivel
del 1% hay prueba de que el somnfero aumenta las horas de sueo?
Solucin
1. Horas de sueo ganadas en un grupo de pacientes.
2. Ho: = 0 (el somnfero no aumenta las horas de sueo)
3. H1: > 0 (el somnfero aumenta las horas de sueo)
4. El nivel de significancia: = 0.01 5. Estadstico de prueba:
T
6. Regla de decisin: rechazar Ho si T > t,n-1 o p-value <
Los datos en Excel: (slo vertical)
Paciente Horas ganadas
1 1.2
2 -1.3
3 1.7
4 0.9
5 2.4
6 0.8
7 -1
8 1.8
9 2
10 2.1
PRUEBA DE HIPTESIS
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7. Decisin:
Como p-value > ; (0.0137 > 0.01), entonces no se rechaza H
y se concluye con un nivel de significancia del 1% que no existe
suficiente evidencia estadstica de que el somnfero aumenta horas de
sueo.
B. PRUEBA DE HIPTESIS PARA LA MEDIA CON MUESTRAS GRANDES
Ejemplo: Un distribuidor de cosmticos ha conseguido cobrar sus
cuentas pendientes en un plazo medio de 22 das durante el ao
pasado. Este promedio se considera un estndar para medir la
eficiencia del departamento de crdito y cobranzas. Sin embargo,
durante el mes en curso, un chequeo aleatorio de 81 cuentas dio
como resultado un promedio de 24 das, con una desviacin estndar de
9 das. Es este resultado significativamente diferente del estndar
al nivel de 3%? Solucin:
1. El tiempo para cobrar las cuentas por el distribuidor de
cosmticos.
2. Ho: = 22 (el cobro de cuentas se realiza en el tiempo
estndar)
3. H1: 22 (el cobro de cuentas no se realiza en el tiempo
estndar) 4. El nivel de significancia: = 0.03 5. Estadstico de
prueba: Z
6. Regla de decisin: rechazar Ho si Z > Z/2 o p-value <
Los datos en Excel: (slo vertical)
Seleccionar si hay
datos de la
muestra
Escribir el valor de
Ho: = 0
Seleccionar el
rango de datos
Finalmente OK
Seleccionar la H1:
Greather than: > o
Not equal:
Less than: < o
Indicar prueba T si
n es pequea y
desconocida.
Escribir el nivel de
confianza dado.
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7. Decisin:
Como p-value > /2; (0.0455 > 0.015), entonces no se
rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 3% que
no existe suficiente evidencia estadstica para creer que el cobro
de cuentas se realiza en tiempo diferente al estndar.
C. PRUEBA DE HIPTESIS PARA UNA PROPORCIN Ejemplo: El consumidor
de cierto tipo de producto acuso al fabricante, diciendo que ms de
20% de las unidades que fabrica son defectuosos. Para confirmar su
acusacin, el consumidor uso una muestra aleatoria de tamao 50,
donde 27% de las unidades eran defectuosos. Qu conclusin puede
extraer usted? Use un nivel de confianza del 10% Solucin:
1. Unidades defectuosas. 2. Ho: p 0.20 (la produccin defectuosa
es inferior al 20%) 3. H1: p la produccin defectuosa es ms de 20%)
4. El nivel de significancia: = 0.10 5. Estadstico de prueba: Z
6. Regla de decisin: rechazar Ho si Z > Z o p-value < En
Excel:
Finalmente OK
Seleccionar las
estadsticas
resmenes
Seleccionar el
rango de datos
Escribir el valor de
Ho: = 22
Seleccionar la H1:
Greather than: > o
Not equal:
Less than: < o Indicar prueba Z si
n es grande y
conocida.
Escribir el nivel de
confianza dado.
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7. Decisin:
Como p-value > ; (0.1080 > 0.10), entonces no se rechaza
Ho y se concluye con un nivel de significancia del 10% que no
existe suficiente evidencia estadstica para creer que la muestra no
da evidencia para apoyar al consumidor.
Finalmente OK
Escribir el valor de la
muestra: proporcin
Escribir la muestra: n
Seleccionar la H1:
Greather than: > o
Not equal:
Less than: < o
Escribir el valor
Ho: p = 0.2
Escribir el nivel de
confianza dado.
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EJERCICIOS
1. Un empresario est considerando la posibilidad de ampliar su
negocio mediante la adquisicin de un pequeo bar. El dueo
actual del bar afirma que el ingreso diario del establecimiento
sigue una distribucin normal de media 675 soles y una
desviacin estndar de 75 soles. Para comprobar si deca la verdad,
tom una muestra de treinta das y sta revel un
ingreso diario promedio de 625 soles. Utilizando un nivel de
significacin del 1%. Hay evidencia de que el ingreso diario
promedio sea menor del que afirma el presente dueo?
2. Una empresa de publicidad desea comprobar su un determinado
programa de televisin es visto por el 30% de la audiencia
potencial. Para ello se escoge al azar una muestra de 200
familias resultando que de ellas 50 lo ven asiduamente.
Contrastar la hiptesis con un nivel de significancia del 5%.
3. Una empresa elctrica fabrica focos que tienen una duracin que
est distribuida aproximadamente en forma normal con
media de 800 horas y una desviacin estndar de 40. Pruebe la
hiptesis de que = 800 horas si una muestra aleatoria de
300 focos tiene una duracin promedio de 788 horas. Utilice un
nivel de significancia de 0.04.
4. Una muestra aleatoria de 36 refrescos de una mquina
despachadora automtica tiene un contenido promedio de 21.9
decilitros, con una desviacin estndar de 1.42 decilitros. Pruebe
la hiptesis de que = 22.2 en contraposicin a la
hiptesis alternativa, < 22.2, en el nivel de significancia de
0.05.
5. En un informe de investigacin de Richard H. Weindruch de la
Escuela de Medicina de la UCLA, se afirma que ratones con
una firma promedio de 32 meses llegaran hasta casi 40 cuando un
40% de las caloras en su alimentacin se reemplacen
con vitaminas y protenas. Hay alguna razn para creer que <
40, si 64 ratones que se han sujetado a esa dieta tienen una
vida promedio de 38 meses con una desviacin estndar de 5.8
meses? Utilice un nivel de significancia de 0.025.
6. La altura promedio de las mujeres en el grupo de primer ao de
una institucin de enseanza superior es de 162.5
centmetros con una desviacin estndar poblacional de 6.9
centmetros. Hay alguna razn para creer que existe un cambio
en la altura promedio si una muestra aleatoria de 50 mujeres del
grupo actual tiene una altura promedio de 165.2
centmetros? Utilice un nivel de significancia del 5%.
7. Se afirma que un automvil recorre un promedio anual de ms de
20 000 kilmetros. Para probar esta informacin, se le
solicita a una muestra aleatoria de 90 propietarios de automvil
que lleve un registro de los kilmetros que recorren.
Estara usted de acuerdo con esta informacin si en la muestra
aleatoria resulta un promedio de 23 500 kilmetros y una
desviacin estndar de 3 900 kilmetros? Utilice un nivel de
significancia del 1%.
8. El Edison Electric Institute ha publicado cifras acerca de
las horas anuales de uso de varios aparatos para el hogar.
Afirma
que un computador de basura se usa un promedio de 125 horas al
ao. Si una muestra aleatoria de 49 hogares equipados
con compactadores de basura indica un uso promedio anual de
126.9 horas con una desviacin estndar de 8.4 horas,
sugiere esto que estos aparatos se utilizan en promedio ms de
125 horas al ao? Utilice un nivel de significancia de 0.05.
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9. Pruebe la hiptesis de que el contenido promedio en
recipientes de un lubricante en particular es de 10 litros si
los
contenidos de una muestra aleatoria de 10 recipientes son 10.2,
9.7, 10.1, 10.3, 10.1, 9.8, 9.9, 10.4, 10.3 y 9.8 litros.
Utilice
un nivel de significancia de 0.01.
10. De acuerdo con el Dietary Goals for the Unites States (Metas
Dietticas para Estados Unidos; 2010), la alta ingestin de
sodio puede provocar lceras, cncer estomacal y migraa (dolores
de cabeza). El requerimiento humano de sal es de slo
200 miligramos por da, el cual es sobrepasado en la mayora de
las porciones de cereales listos para comerse. Si una
muestra aleatoria de 20 porciones similares de Special K tiene
un contenido promedio de sodio de 244 miligramos y una
desviacin estndar de 24.4 miligramos. Sugiere esto, en el nivel
de significancia de 0.05, que el contenido promedio de
sodio en platillos de Special K es mayor que 200 miligramos?
11. El ao pasado, los empleados del Departamento de Sanidad de
una ciudad donaron un promedio de $10.00 a la patrulla de
voluntarios de rescate. Pruebe la hiptesis, en el nivel de
significancia de 0.01, de que la contribucin promedio este ao
es
an de $10.00 dlares si una muestra aleatoria de 12 empleados
indic una donacin promedio de $10.90 con una
desviacin estndar de $1.75.
12. Por experiencias pasadas se ha encontrado que el tiempo para
que realicen un examen los estudiantes del ltimo ao
escolar es una variable aleatoria normal con una media de 35
minutos y una desviacin estndar de 4.3 minutos. Si a una
muestra aleatoria de 20 estudiantes del ltimo ao le tom un
promedio de 33.1 minutos realizar este examen, pruebe la
hiptesis en el nivel de significancia de 0.025 que = 35 minutos
en contraposicin a la alternativa de que < 35 minutos.
13. Suponga que, en el pasado, 40% de todos los adultos favoreca
la pena capital. Se tiene alguna razn para creer que la
proporcin de adultos que favorece la pena capital hoy en da ha
aumentado, si en una muestra aleatoria de 15 adultos, 8
la favorecen? Utilice un nivel de significacin de 0.05.
14. Una compaa productora de combustible asegura que una quinta
parte de los hogares en una cierta ciudad se calienta con
petrleo. Se tiene alguna razn para dudar de esta afirmacin, si
en una muestra aleatoria de 1000 hogares en esta ciudad,
se encuentra que 236 se calientan con petrleo? Utilice un nivel
de significacin de 0.01.
15. En un colegio se estima que cuando mucho 25% de los
estudiantes se traslada a clases en bicicleta. Parecera esta ser
una
estimacin vlida, si en una muestra de 90 estudiantes, se
encuentra que 28 utilizan este transporte? Utilice un nivel de
significacin de 0.05.
16. En un experimento controlado de laboratorio, cientficos de
la Universidad de Minnesota descubrieron que 25% de una
camada de ratas sujetas a una dieta de 20% de grano de caf
desarrollaron tumores cancerosos. Se tendra alguna razn
para creer que la proporcin de ratas que desarrollan tumores de
este tipo cuando se sujetan a una dieta as se ha
incrementado si el experimento se repitiera y 16 de 48 ratas
desarrollaran tumores? Utilice un nivel de significacin de
0.05.
