Izv. prof. Nelida Črnjarić-Žic

DESKRIPTIVNA STATISTIKA

Što nam pada na pamet kad čujemo pojam statistika?

razni numerički podaci: broj nezaposlenih, stopa kriminala, mjesečni dohodak, rezultati mjerenja, proračuna i sl.

obrađeni podaci – uređeni, tabelirani, prikazani grafički, te “neke numeričke vrijednosti” (koje?) dobivene na osnovi tih podataka

statistički zaključci dobiveni na osnovu nekakvih dosadašnjih pokazatelja: pad BDP-a u sljedećoj godini, pad/porast vrijednosti dionica, procjena rasta nezaposlenosti itd.

Statistika je znanstvena disciplina koja se bavi skupljanjem, razvrstavanjem, uređivanjem podataka, donošenjem određenih zaključaka o podacima, te nadalje, predviđanjem na osnovi dobivenih zaključaka.

Deskriptivna statistika se bavi razvrstavanjem, uređivanjem i

određivanjem numeričkih pokazatelja u statističkom skupu

Metode statističkog zaključivanja bave se drugim dijelom, tj. donošenjem određenih zaključaka o podacima, te predviđanjem na osnovi dobivenih zaključaka.

TERMINOLOGIJA

populacija – skup svih elemenata za koje nas zanima promatrano obilježje (npr. svi proizvedeni elementi, svi građani RH, ...)

uzorak i reprezentativni uzorak – odabrani podskup populacije na osnovu kojeg se obično donose zaključci o cijeloj populaciji

Matematička osnova statistike je vjerojatnostni račun. Osnovni pojmovi koji se pojavljuju: slučaj, događaj, vjerojatnost

Deterministički podaci vs. statistički podaci

Dani tijekom tjedna? – nema vanjskih utjecaja na odgovor – DETERMINISTIČKI PODATAK

Rezultati mjerenja – ovise o slučajnim faktorima – STATISTIČKI PODACI

ATRIBUTIVNI: opisne vrijednosti • dobar-loš proizvod

• boja očiju • krvna grupa

KVANTITATIVNI: numerički

diskretni • broj bodova na ispitu • broj studenata koji su položili kolegij • broj ispravnih proizvoda

kontinuirani • temperatura zraka • dimenzija nekog proizvoda (težina, duljina i sl.) • potrošnja goriva (automobil, kuća i sl.)

• STATISTIČKO OBILJEŽJE – podaci koje promatramo

0 0 1 1 2 2 0 1 0 1 1 0 1 0 2 0 3 1 1 1

3 1 2 0 1 1 3 2 0 1 3 2 3 0 2 0 1 0 1 1

1 2 0 1 0 2 1 1 1 0 0 1

36,3 41,0 36,9 37,1 44,9 36,8 42,1 35,6 30,0 37,4

32,7 37,3 41,2 36,6 32,9 36,5 37,5 38,8 33,2 37,7

40,5 36,5 37,6 33,9 40,2 36,4 40,0 38,4 37,7 35,7

36,2 37,9 36,0 37,9 35,9 38,2 39,0 38,1 38,3 34,4

38,5 39,0 35,5 34,8 38,6 39,4 36,7 36,7 35,3 38,2

36,3 36,8 32,5 36,4 40,5 36,6 34,8 33,6 36,1 38,7

41,0 31,8 37,3 33,1 37,0 37,6 34,2 39,3 37,0 35,6

37,0 37,2 40,7 37,4 37,1 37,8 35,1 35,8 35,9 35,2

37,1 40,3 36,7 37,0 33,9 40,1 39,7 34,5 38,0 35,0

39,9 36,9 32,9 33,8 39,8 34,0 39,5 36,9 36,8 37,2

Primjer 1 (diskretno statističko obilježje)

Promatrajući tjedni broj kvarova na strojevima nekog industrijskog pogona tijekom

jedne godine, dobiveni su sljedeći podaci:

Primjer 2 (kontinuirano statističko obilježje)

U brodogradilištu je vršena analiza škarta koji nastane u proizvodnom procesu. U

tu svrhu mjereni su dijelovi ostataka cijevi (u cm) koje preostanu nakon rezanja

odgovarajućih dijelova te se ne mogu dalje iskoristiti:

TABELIRANJE PODATAKA – distribucija frekvencija

DISKRETNO

OBILJEŽJE NEPREKIDNO OBILJEŽJE

statističko obilježje intervalni razredi koji predstavljaju vrijednost statističkog obilježja

frekvencija

RELATIVNE I KUMULATIVNE FREKVENCIJE

Relativna frekvencija Relativna kumulativna

frekvencija

Kumulativna frekvencija

GRAFIČKI PRIKAZ PODATAKA - poligon

Poligon frekvencija

1

5

9

14

33

18

12

6

1 10

5

10

15

20

25

30

35

(29,95-

31,45]

(31,45-

32,95]

(32,95-

34,45]

(34,45-

35,95]

(35,95-

37,45]

(37,45-

38,95]

(38,95-

40,45]

(40,45-

41,95]

(41,95-

43,45]

(43,45-

44,95]

Poligon kumulativnih frekvencija

0

20

40

60

80

100

(29,95-

31,45]

(31,45-

32,95]

(32,95-

34,45]

(34,45-

35,95]

(35,95-

37,45]

(37,45-

38,95]

(38,95-

40,45]

(40,45-

41,95]

(41,95-

43,45]

(43,45-

44,95]

GRAFIČKI PRIKAZ PODATAKA - histogram

GRAFIČKI PRIKAZ PODATAKA Razdioba komunalnog otpada po vrstama Grafički prikaz – pita (eng. pie chart)

Histogram s prikazom udijela materijala koji se može reciklirati

NUMERIČKE KARAKTERISTIKE

STATISTIČKOG SKUPA

• Aritmetička sredina

• Mod

• Medijan

POKAZATELJI CENTRALNE TENDENCIJE

• Raspon podataka

• Interkvartilni raspon, koeficijent kvartilne devijacije

• Varijanca, standardna devijacija, koeficijent varijacije

POKAZATELJI RASAPA

• Asimetrija (eng. skewness)

• Spljoštenost (eng. kutrosis)

POKAZATELJI OBLIKA

POKAZATELJI CENTRALNE TENDENCIJE

MOD – tjemena vrijednost, najčešći podatak

MEDIJAN – poziciona srednja vrijednost

N

Svojstva aritmetičke sredine: Zbroj odstupanja podataka statističkog skupa od aritmetičke

sredine jednak je 0 Zbroj kvadrata odstupanja podataka statističkog skupa od

aritmetičke sredine je manje od zbroja kvadrata odstupanja podataka od bilo kojeg drugog broja

Ako se svaka vrijednost statističkog skupa pomnoži s konstantom a, onda je aritmetička sredina dobivenih podataka jednaka

Neka su A i B statistički skupovi koji mjere isto obilježje.

Pretpostavimo da skup A ima m elemenata i aritmetičku sredinu , a skup B n elemenata i aritmetičku sredinu .

Onda je aritmetička sredina unije tih dvaju skupova jednaka

POKAZATELJI RASAPA

KVARTILI:

1. kvartil 𝑄1– podatak od kojeg je manje 25% podataka

2. kvartil 𝑄2= medijan – podatak od kojeg je manje 50% podataka

3. kvartil 𝑄3– podatak od kojeg je manje 75% podataka

INTERKVARTILNI RASPON = pokazatelj rasapa oko medijana = razlika između 3. i 1. kvartila=𝑄3 − 𝑄1

RELATIVNE MJERE RASAPA PODATAKA Relativne mjere rasapa podataka služe za procjenu reprezentativnosti

pokazatelja centralne tendencije

Koeficijent varijacije (relativna mjera rasapa oko aritmetičke sredine):

𝑉 =𝜎

𝑥

- pokazatelj reprezentativnosti aritmetičke sredine

Koeficijent kvartilne devijacije (relativna mjera rasapa oko medijana)

𝑉𝑞 =𝑄3 − 𝑄1𝑄3 + 𝑄1

- pokazatelj reprezentativnosti medijana

U praksi možemo reći da je neki pokazatelj reprezentativan ako je pripadna relativna mjera rasapa manja od 0.3

Box-plot

Objedinjuje 5 karakteristika statističkog skupa:

Minimum, maksimum

Prvi kvartil, drugi kvartil (=medijan) i treći kvartil

Utjecaj standardne devijacije

Grafički prikaz podataka za vrijeme čekanja u redu za dva različita sustava: sustav A –

čekanje u odabranom redu, sustav B – čekanje u jednom redu

POKAZATELJI OBLIKA Koeficijent asimetrije (eng. skewness)

Koeficijent spljoštenosti (eng. kurtosis)

Razmatra se asimetrija u odnosu na aritmetičku sredinu i

spljoštenost u odnosu na normalan graf

Odnos između aritmetičke sredine (eng. mean, average) i medijana u slučaju simetrične,

odnosno asimetrične razdiobe

Obrada statističkih podataka

Analiza vremenskih nizova

U slučaju kada vrijednosti pojave (podataka) imaju neko vremensko značenje,

govorimo o vremenskom nizu podataka

Pretpostavit ćemo da se vrijednosti pojave odnose na jednake vremenske

intervale

Cilj analize vremenskih nizova je opisivanje razvoja pojave u vremenu

Kao pokazatelji dinamike vremenskog niza najčešće se koriste verižni i bazni

indeksi

VERIŽNI INDEKS je relativni broj kojim se mjeri relativna promjena pojave u

tekućem razdoblju u odnosu na prethodno razdoblje i računa se po formuli

𝑣𝑖 =𝑎𝑖𝑎𝑖−1

⋅ 100

BAZNI INDEKS je relativni broj kojim se mjeri relativna promjena pojave u

tekućem razdoblju u odnosu na neko bazno razdoblje (najčešće početak ili

sredinu) i računa se po formuli

𝐼𝑖 =𝑎𝑖𝑎𝑏

⋅ 100

pri čemu 𝑎𝑏 označava vrijednost pojave u baznom trenutku