38
Přednáška 11 Od chaosu ke komplexitě – „všechnofyzika“ Pavel Cejnar Ústav částicové a jaderné fyziky MFF UK Fyzika jako dobrodružství poznání MFF UK v Praze, letní semestr 2015
Přednáška 11
Od chaosu ke
komplexitě
– „všechnofyzika“
Pavel Cejnar Ústav částicové a jaderné fyziky MFF UK
Fyzika jako dobrodružství poznání MFF UK v Praze, letní semestr 2015
0divrot
divrot
Bjt
DH
Dt
BE
Fyzika 1. druhu: „kódování“
Maxwellovy
rovnice
Fyzika 2. druhu: „dekódování“
Henri Poincaré (1854-1912)
)(3||
)(
ij ij
ijj
irr
rrmGr
}3,2,1{, ji
problém 3 těles
1) Klasický chaos
2) Komplexita
3) Kvantový chaos-nechaos
Hamiltonovy rovnice
vyjadřují tok po nadploše E=const ve
fázovém prostoru (pro f =2 nadplocha 3D).
2/ mlp
q
qpHp
p
qpHq
),(),(
f=2 f=1
Učebnice klasické mechaniky si všímají především tzv.
integrabilních systémů (např. matematické kyvadlo,
harmonický oscilátor nebo Keplerův systém), ale
naprostá většina skutečných systémů integrabilní není!
Integrabilita: Systém s f stupni volnosti má f
integrálů pohybu I1, I2… If v „involuci“: { Ii , Ij } = 0.
Trajektorie int.systému ve fáz.prostoru leží na
nadplochách topologicky ekvivalentních torům
Pro f =1 jsou všechny
systémy integrabilní
„tory = kružnice“
Pro f =2 integrabilita vyžaduje
existenci dodatečného
integrálu pohybu
(Ne)integrabilní systémy
t
Hamiltonovy rovnice
vyjadřují tok po nadploše E=const ve
fázovém prostoru (pro f =2 nadplocha 3D).
q
qpHp
p
qpHq
),(),(Hamiltonovy rovnice zachovávají
objem buňky fázového prostoru
– představují tok „nestlačitelné
kapaliny“. Tvar buňky fázového
prostoru se ale může stávat velmi
komplikovaným => možnost chaotických řešení
vykazujících exponenciální citlivost k počátečním
podmínkám…
„efekt motýlího křídla“
= exponenciální vzdalování některých trajektorií
t t
(Ne)integrabilní systémy Učebnice klasické mechaniky si všímají především tzv.
integrabilních systémů (např. matematické kyvadlo,
harmonický oscilátor nebo Keplerův systém), ale
naprostá většina skutečných systémů integrabilní není!
Problém 3 těles
P. Hut, J.N. Bahcall, Astrophys. J. 268, 319 (1983)
Existence chaotických řešení znamená faktický
pád klasického determinismu zformulovaného
v roce 1814 Laplacem…
Příklad chaotického
rozptylu 3 těles:
Pierre-Simon
Laplace (1749–1827)
Intelekt, jenž by v jistém okamžiku znal všechny síly, které uvedly přírodu do pohybu, a polohy všech věcí, z nichž se příroda skládá, … by v jediné formuli obsáhl pohyby největ-ších těles vesmíru i pohyby těch nejmenších atomů; pro takový intelekt by nic nebylo nejisté a před jeho očima by se zpřítomňo- vala budoucnost stejně jako minulost …
Henri Poincaré (1854-1912)
V roce 1885 vyhlašuje švédský & norský král Oscar II.
u příležitosti svých 60. narozenin vědeckou soutěž
(ceny: zlatá medaile a 2500 zlatých korun) s cílem nalezení
obecného analytického řešení (ve formě konvergující řady)
dynamiky systému mnoha těles v nebeské mechanice. V roce1888 se do soutěže přihlašuje Henri Poincaré (34 let) prací
nazvanou „O problému tří těles a rovnicích dynamiky“. Komise
soutěže (Karl Weierstrass, Charles Hermite, Gösta Mittag-Leffler) jej vyhlašuje
vítězem (i když plné řešení zadaného problému nepředložil). Když má být jeho 160 stránková
práce publikována, editor upozorňuje na určité nejasnosti.
Po dlouhém mlčení nachází Poincaré fatální chybu. Stahuje
mezitím již vytištěné vydání práce a v roce 1890 publikuje
novou práci v rozsahu 270 stránek na vlastní náklady >2500 korun
(také zlatá medaile mu byla později ukradena). Její výsledky odhalují do
té doby převážně skrytou bohatost a složitost řešení dynamic-
kých rovnic klasické mechaniky a ukazují jejich nestabilitu.
Nová práce pokládá
základy pozdějšího
studia chaosu
a komplexity ve
fyzice i mimo ni…
Problém 3 těles – z historie
Henri Poincaré (1854-1912)
Problém 3 těles – zjednodušení
Redukovaný problém 3 těles:
0,0 321 mmm & )0,,(),,( yxzyx
Vyřeším pohyb těles 1+2 (rotace kolem těžiště) a hledám pohyb
tělesa 3 v rotující soustavě v gravitačním poli těles 1+2 tj. se započtením
odstředivé &
Coriolisovy síly
Vhodnou volbou jednotek lze dosáhnout:
a za předpokladu kruhového pohybu
1+2 nabývají dynamické rovnice tvaru:
, kde:
11 @1 xm
Ux
Uy
y
x
y
x
2
2
2222
22
)1()(
1
2 yxyx
yxU
Existuje 1 integrál pohybu (Jacobiho
energie):
1@ 22 xm&
),()( 22
21 yxUyxE
Odvození: viz např. J.D.M.James @ http://www.math.rutgers.edu/~jmireles/celestMech.html
=> problém se 2 stupni volnosti
L1
L4
m1 m2
L1, L2, L3, L4, L5 – Lagrangeovy body (nestabilní rovnováha tělesa 3)
3
2
4.0
2
1
m
m
© R.Moeckel
L5
L3 L2
Země-Měsíc: μ=0.01215
Problém 3 těles – vizualizace
Všechny trajektorie leží na 3D
nadploše E=const ve 4D
fázovém prostoru
xx
0y
• Pokud by existoval 2. integrál
pohybu, body patřící stejným
trajektoriím by v rovině řezu
ležely na křivkách – průsečících
řezu s tory (integrabilní systém)
• Každý bod řezu protíná právě
1 trajektorie (díky zachování E)
• Pokud 2. integrál pohybu
neexistuje, může řez vypadat
třeba i takto:
Poincarého mapa: Poincaré vynalezl způsob vizualizace
dynamiky obecného systému pomocí zobrazení opakovaných
průchodů trajektorií řezem fázového prostoru („strobo-
skopické zobrazení“, „návratová mapa“). Pro konzervativní
(E=const) systém se 2 stupni volnosti je mapa 2-rozměrná…
x
x rovina
řezu:
y=0
© Pavel Stránský
směr
průchodu
Problém 3 těles – vizualizace
1
59.1 LEEZemě - Měsíc
μ=0.01215
Vznik chaosu
Vladimir
Arnold (1937-2010)
George
Birkhoff (1884-1944)
Jürgen
Moser (1928-1999)
Andrej
Kolmogorov (1903-1987)
Proces vzniku chaosu při narušení integrabilního systému je
fascinující a na jeho pochopení pracují generace matematiků
je úchvatný !
kanonická poruchová teorie, KAM teorie…
stabilita diferenciálních rovnic…
disipativní systémy, atraktory…
proudění, turbulence…
symbolická dynamika, diskrétní mapy…
ergodická teorie…
Vznik chaosu
1) Kolmogorov-Arnold-Moserův (KAM)
teorém (1954,63,62): racionální tory umírají
nejdřív, silně iracionální tory přežívají nejdéle
2D:
1
2,2,1, 212
22
1 const
mm
mm
m
>0
podmínka pro přežití toru
(konstanta je úměrná síle poruchy)
1)
2
1
m
m
horní mez
2
2 ||
1
mdolní
mez
2
2 ||
1
m
|| 2m
Aproximace
iracionálního čísla
racionálním zlomkem
Proces vzniku chaosu při narušení integrabilního systému je
fascinující a na jeho pochopení pracují generace matematiků
...618.11
11
2
51
1
11
11
1
… zlatý řez má nejpomaleji
konvergující řadu – tory s tímto
(nebo obdobným) poměrem
frekvencí přežijí nejdéle…
poměr frekvencí
podél obou kružnic toru
je úchvatný !
1
2
Vznik chaosu
1) Kolmogorov-Arnold-Moserův (KAM)
teorém (1954,63,62): racionální tory umírají
nejdřív, silně iracionální tory přežívají nejdéle
2D:
1
2,2,1, 212
22
1 const
mm
mm
m
>0
2) Poincaré-Birkhoffův teorém (1912,35):
zánikem toru vzniká 2n periodických orbit, n
z nich je stabilních, n nestabilních
1) 2)
Proces vzniku chaosu při narušení integrabilního systému je
fascinující a na jeho pochopení pracují generace matematiků
P. Cejnar, P. Stránský, AIP Conf.Proc.1575(2014)23
Simulace M. Macek (ilustrativní příklad)
je úchvatný !
Vznik chaosu
1) Kolmogorov-Arnold-Moserův (KAM)
teorém (1954,63,62): racionální tory umírají
nejdřív, silně iracionální tory přežívají nejdéle
2D:
1
2,2,1, 212
22
1 const
mm
mm
m
>0
2) Poincaré-Birkhoffův teorém (1912,35):
zánikem toru vzniká 2n periodických orbit, n
z nich je stabilních, n nestabilních
1) 2) 3)
3) „Heteroklinická změť“
(1890): stabilní a nestabil-
ní nadplochy kolem ne-
stabilní orbity vytvářejí
komplikovaný propletenec
Proces vzniku chaosu při narušení integrabilního systému je
fascinující a na jeho pochopení pracují generace matematiků
„Člověk je ohromen složitostí tohoto obrázku,
který se zde ani neodvažuji nakreslit…“
A. Chenciner: Seminaire Poincaré XVI(2012)45
Simulace C.Simó (ilustrativní příklad)
Modelování chaosu Geometrický model atomového jádra (schematický popis jaderných vibrací)
222
0
2322
22
21
)()3()( yxCxyxByxA
ppH yxM
Hénon-Heilesův model (schematický popis pohybu hvězd kolem centra galaxie)
0
E=23
A=–0.84, B,C,M=1
E=1.42
E=24.4
A=–2.6, B,C,M=1
x
x
Potenciál pro A=–0.84, B,C,M=1
x
yPoincarého mapy
pro řez y=0
Vysoká variabilita chování při změnách parametrů
a energie:
Geometrický model atomového jádra (schematický popis jaderných vibrací)
222
0
2322
22
21
)()3()( yxCxyxByxA
ppH yxM
Hénon-Heilesův model (schematický popis pohybu hvězd kolem centra galaxie)
0
E=23
A=–0.84, B,C,M=1
E=1.42
E=24.4
A=–2.6, B,C,M=1
x
yPotenciál pro A=–0.84, B,C,M=1
P h y s i c a
Magia Maxima
Modelování chaosu
B=
integrabilní
limita
Geometrický model atomového jádra (schematický popis jaderných vibrací)
222
0
2322
22
21
)()3()( yxCxyxByxA
ppH yxM
Hénon-Heilesův model (schematický popis pohybu hvězd kolem centra galaxie)
0
A=–1, C,M=1
E=0 (energie lokálního maxima pro x,y=0)
částečná
regularita
)(
)()(
tot
reg
regE
EEf
]1,0[
celkový (2f -1)-dim.objem nadplochy E
objem regulární části nadplochy E
x
x0y
P. Stránský, M. Kurian, P. Cejnar, Phys. Rev. C 74 (2006) 014306 P. Cejnar, P. Stránský, Phys. Rev. Lett. 93 (2004) 102502
© Pavel Stránský
Modelování chaosu
),(),()(
1)(),(
1lim )(
totprostorfázovýčas
0
qpOqpHEqdpdE
OOtqtpOdtT
T
T
Pro plně chaotické systémy
platí ergodická teorie:
Každá trajektorie po dostatečně dlouhém čase projde
libovolně blízkým okolím všech bodů na dané energetické
nadploše fázového prostoru
všechny trajektorie jsou v podstatě
ekvivalentní
fyzikální veličiny sice podléhají
nepředvídatelným fluktuacím,
ale jejich střední hodnoty se
dají dobře odhadnout integrací
veličiny po energetické nadploše
statistická předvídatelnost
Vláda chaosu
celkový (2f -1)-dimenzionální objem
energetické nadplochy
G. Birkhoff 1931
J. von Neumann 1932
není tak hrozná
1) Klasický chaos
2) Komplexita
3) Kvantový chaos-nechaos
Mandelbrotova
množina
Fraktály
„Fraktální dimenze“ D
Geometrické útvary, jejichž struktura je stejně
složitá při každé volbě škály…
DLXN
CDNLX lnln
Předpoklad
pro L → 0
počet □ obsahujících objekt
LXln
Nln
počet □ podél jedné strany objektu
Pokrytí objektu d-dim mřížkou o straně L
D
d LL
relin.rozmobjem
L
X
…hodnoty c , pro něž je
komplexní posloupnost
zn+1=(zn)2+c omezená
–1 +1
–i
+i
Re c
Im c
Z historie:
1940s: Stanislaw Ulam, John von Neumann:
návrh a analýza prvních celulárních automatů
1970: John Conway: model „The Game of Life“
1987: Per Bak, Chao Tang, Kurt Wiesenfeld:
„semenný“ článek „Self-Organized Criticality“
2002: Stephen Wolfram: kniha „A New Kind of Science“
Celulární automaty C.a. = pravidelný systém buněk (obvykle
2D mříž), z nichž každá může nabývat
diskrétní množiny stavů, např. {■,□}.
C.a. se vyvíjí podle jistých lokálních
pravidel v diskrétním čase t = 0,1,2,3…
Navzdory jednoduchosti svých pravidel
c.a. vytvářejí velmi složité struktury…
„Sandpile“ modely popisují procesy
podobné sesouvání hromádek písku:
Bij …počet zrnek v buňce (i,j)
…rozdíl vůči sousedním buňkám
periodická struktura
(„gun“) generovaná
v modelu „Game of Life” http://en.wikipedia.org/wiki/Conway%27s_Game_of_Life
kl
klijij BBB41
Dynamika: pokud ΔBij ≥ Bc (kritická hodnota)
pak proveď: c5
1c5
4 , BBBBBB klklijij sousední buňky
© C.Rocchini (Wikipedia)
původní buňka
Celulární automaty
lavina #1628: vybrané momentky
„Sandpile“ modely – viz např. M.J. Aschwanden,
Astronomy & Astrophysics 539 (2012); arXiv:1112.4859
počátek laviny
Nafitovaná fraktální dimenze:
(teoretická předpověď: D = 3/2) 17.043.1 D
Rovnoměrné „přihazování“ zrnek do náhodných
buněk. Při překročení kritického „gradientu“
rozdělení zrnek dochází ke kaskádovitému
přerozdělování. Vzniklé laviny vykazují škálovou
invarianci a vznikají při nich fraktální útvary ! Time t=26 Time t=118 Time t=132
Celulární automaty Škálová invariance v akci: celulární automat se samovolně vyvine do
stavu, kdy jakkoli malý podnět může způsobit lavinu libovolné velikosti.
Pravděpodobnosti výskytu lavin o rozloze S a s dobou trvání T je určena
mocninnými závislostmi: SSSP
)( TTtP
)(
1S 57.1T
“self-organized
criticality”
(samosezorganizovavší
kritikalita )
Per Bak, Chao Tang, Kurt Wiesenfeld,
Phys. Rev. A 38, 364 (1988)
zemětřesení
kritický Isingův model
R.V. Solé: Phase Transitions (2011)
D.L. Turcotte, Rep. Prog. Phys. 62 (1999) 1377 Slope ≈ -2.0
S T
P P
s
lesní požáry USA
S (km2)
Škálová invariance
Wienerův proces (ideální Brownův pohyb)
zdroj: Wikipedia
• Sesuvy půdy, laviny…
• Sluneční erupce…
• Evoluce & extinkce druhů…
• Války, nehody, katastrofy…
• Burzovní obchody…
• Difuze, turbulence…
• Srdeční, mozková aktivita…
• Lingvistika, DNA…
• ………
Benfordův zákon Škálově invariantní rozdělení hodnot x
nějaké sledované veličiny vede k nerovnoměrnému
rozdělení zastoupení první platné cifry:
Že se tímto zákonem řídí mnoho
odlišných souborů čísel si všiml
astronom S. Newcomb v r.1881.
V r.1938 fyzik Frank Benford
jeho platnost ověřil na 20 229
souborech čísel (délky 335 řek,
velikost 3259 amer.obcí, hodnoty
104 fyzikálních konstant, 1800
molekulárních vah, 5000 položek matematické příručky, 308 čísel
z Reader's Digest, adresy 342 osob v American Men of Science…..)
xxP
1)(
xxx dddP 1010 log)1(log)(
Nezávislost na škále (byť jen v konečném rozsahu
hodnot ) vykazuje řada reálných jevů!
Namátkou:
zdroj: Wikipedia
zemětřesení
kritický Isingův model
D.L. Turcotte, Rep. Prog. Phys. 62 (1999) 1377 Slope ≈ -2.0
s
lesní požáry USA
S (km2)
R.V. Solé: Phase Transitions (2011)
Logistické mapy
Pierre François
Verhulst (1804–49)
Schematický model pro vývoj populace inspirovaný Verhulstovou
rovnicí z roku 1838. Relativní populace n. generace:
populace (n+1).generace: ]1,0[/ max NNxn
parametr, jenž zásadním způsobem ovlivňuje evoluci
1nx
nx
zdroj: Wikipedia zdroj: WolframMathWorld
1nx
nx
r =3.741
x0=0.00079
]4,0[r pro r > 4 posloupnost xn
opouští povolený interval )1()(1 nnnn xxrxfx
Logistické mapy
2.3r
8.3r
5.3r
2r
a
a
b
b
c
c d r
x
n n
n
n
x
x
x
d
Atraktor: množina hodnot xn, do nichž se systém vyvíjí při n→∞ z libovolné
poč. hodnoty x0 (tyto hodnoty se pro velká n budou opakovat v periodických cyklech)
Základy modelu - viz např.: http://student.ulb.ac.be/~dgonze/TEACHING/logistic.pdf
r∞=3.56995…
→ perioda=∞
⁞
02996692016091.4lim1
1
nn
nn
n rr
rr
Feigenbaumova
konstanta
ostrovy regularity
soběpodobné
struktury
r0=1 → atraktor ≠0
r1=3
→ perioda=2
r2=3.44949…
→ perioda=4
r3=3.54409... → perioda=8
Fraktální dimenze
atraktoru v bodě
r∞ je D = 0.538…
)1()(1 nnnn xxrxfx x*
Bernoulliova mapa
)1(mod21 nn xx
0001001110010110110011101.0
0001101110010110110011101.0
0
0
x
x
4
)4(
3
)3(
2
)2(
1
)1(
0
)4()3()2()1(
22222
0.0 nnnn
nnnnn
bbbbbbbbx
4
)5(
3
)4(
2
)3(
1
)2(
0
)5()4()3()2(
122222
0.0
)4(1
)3(1
)2(1
)1(1
)4(1
)3(1
)2(1
)1(1
nnnn
nnnn
b
n
b
n
b
n
b
n
b
n
b
n
b
n
b
nn
bbbbbbbbx
V binárním zápisu je tato transformace vyjádřena jako
ciferný posun (doleva o jedno místo):
Lineární kongruenční
1. cifra lokalizuje bod v levé/pravé ½ intervalu [0,1]
2. cifra ……………………………………… daného ½-intervalu
3. cifra ……………………………………… daného ¼-intervalu ...
pravá1
levá0)(k
nb
Bernoulliova transformace generuje chaotické „trajektorie“! Např. sekvence vycházející z těchto počátečních
bodů jsou ve 24. kroku v opačných ½-intervalech:
0 1 ½ ¼ ¾
rovnice:
½
½
Algoritmická komplexita Složitost K(Bn) binární sekvence délky n je rovna minimální bitové
délce počítačového programu schopného tuto sekvenci vygenerovat…
nn
iib B1
Pro „jednoduché“ sekvence: např. for i=1 to n print 1 nK nn
2log)( B
Složitost nekonečné sekvence:
n
KK
n
n
)(lim)(
BB
Pro „složité“ sekvence: výčet elementů: print { b1, b2,……, bn }
0 jednoduché
≠0 složité sekvence
Pozn.: teorie algoritmické složitosti – viz A. Kolmogorov, G. Chaitin, R. Solomonov (1970s);
fyzikální důsledky – J. Ford (& G.Mantica), Physics Today 1983, p.40 & Am. J. Phys. 60 (1992) 1086
Bernoulliova mapa generuje maximálně složité sekvence
Klasická mechanika generuje maximálně složité sekvence
#i0
#ik
Maximálně složité sekvence jsou z praktického hlediska zcela „náhodné“!
nK nn )(B
Rozdělení fázového prostoru na očíslované
buňky. Sledujeme sekvenci buněk
#i0,#i1,…, #ik ,… kterými prochází
trajektorie z definovaného
počátečního bodu…
Dim = 6N
fázový prostor
t
1) Klasický chaos
2) Komplexita
3) Kvantový chaos-nechaos
)0(ˆ
e)0(ˆ
e
)()()(
tHtH ii
ttt )0(
)0(
)0(
Kvantová evoluce je unitární!
původní stavový vektor
porucha (infinitesimální
koeficient δ )
nový
stavový
vektor
)0(ˆ
e)( tH
ti
Vývoj stavového vektoru je lineární
a zachovává skalární součiny:
Změna počáteční podmínky: vývoj nového vektoru:
)()()()( tttt Rozdíl řešení:
)()( ttd
Dim ~ exp N
Kvantová mechanika je „algoritmicky jednoduchá“ (sic ) !!!
Hilbertův prostor
Aproximace stavového vektoru v čase 0
na dané úrovni přesnosti umožňuje
predikce pro libovolné časy t na
stejné úrovni přesnosti !
Vzdálenost
řešení
t
t
tt
tt
tt
0)()(
1)()(
1)()(
se nemění!
Kvantově-klasická korespondence
t
t
Dim = 6N
fázový prostor
klasická limita
ħ → 0
S linearitou kvantové evoluce (bez měření) ožívá myšlenka Laplaceova
démona. Predikce pro libovolné časy lze provést na kvantové úrovni
a pak přejít na klasickou úroveň
pomocí klasické limity QM
kvantování systému a evoluce
pro zvolený semiklasický
počáteční stav (např. vlnový
balík)
Dim ~ exp N
Hilbertův prostor To má ale
háček …
Kvantově-klasická korespondence
t
t
Dim = 6N
fázový prostor
klasická limita
ħ → 0
Korespondence mezi klasickou a kvantovou mechanikou (pro semiklasické
počáteční stavy) na velmi dlouhé časové škále zaniká …
Dim ~ exp N
Hilbertův prostor
Ehrenfestův čas
Heisenbergův čas
Ltt lnchaosE
Et
H
kvantová „buňka“
N3… kvantové fluktuace
ničí jemná vlákna ve
fázovém prostoru
– nastupuje kvantový
režim …
Q E
Interakce systému s prostředím zpravidla nástup kvantového režimu oddaluje
(tím víc, čím větší je prostředí) …
… ale vesmír jako celek (je-li to izolovaný kvantový systém)
by měl být nechaotický !
regulární biliár
E
Es
nE
1nE
2nE
3nE
En
erg
ie
chaotický biliár
Regularita/chaoticita klasické dynamiky má zásadní vliv na
vzájemné korelace mezi hladinami kvantových spekter…
Např. rozdělení
normalizovaných
vzdáleností mezi
sousedními
hladinami
There is no quantum chaos in the sense of exponential sensitivity to initial conditions, but there are several novel quantum phenomena which reflect the presence of classical chaos. The study of these phenomena is quantum chaology.
Michael Berry
(*1941)
T-symetrický případ
Fenomén „odpuzování hladin“
v chaotických systémech
„Kvantový chaos“
2
4e)(2
sssP
ssP e)(
střední energ.vzdálenost v dané oblasti spektra
Poissonovo rozdělení Wignerovo rozdělení
absence
korelací mezi
hladinami silné korelace
mezi hladinami
A.Bäcker (2007)
regulární biliár
E
Es
nE
1nE
2nE
3nE
En
erg
ie
chaotický biliár
A.Bäcker (2007)
Regularita/chaoticita klasické dynamiky má zásadní vliv na
vzájemné korelace mezi hladinami kvantových spekter…
There is no quantum chaos in the sense of exponential sensitivity to initial conditions, but there are several novel quantum phenomena which reflect the presence of classical chaos. The study of these phenomena is quantum chaology.
Michael Berry
(*1941)
T-symetrický případ
Fenomén „odpuzování hladin“
v chaotických systémech
„Kvantový chaos“
2
4e)(2
sssP
ssP e)(
absence
korelací mezi
hladinami silné korelace
mezi hladinami
střední energ.vzdálenost v dané oblasti spektra
Poissonovo rozdělení Wignerovo rozdělení
24
2 e)( 232 sssP
Např. rozdělení
normalizovaných
vzdáleností mezi
sousedními
hladinami
Niels Bohr (1936)
Eugene Wigner (1955)
Oriol Bohigas et al. (1982)
Vzdálenost
jaderných rezonancí (1726 experimentálních
hodnot)
energie
po absorpci
neutronu
„Kvantový chaos“ Korelace ve spektrech chaotických systémů mají univerzální charakter
a jsou popsány teorií náhodných matic
156Gd
Spektrum
atomového
jádra
Atom H v silném
mg.poli (num.
výpočet)
Wintgen, Friedrich (1987)
Ellegaard et al. (1996)
Elastomechanické
módy nepravidelného
krystalu Si (experiment)
Neutrální atomy
Hf, Ta, W, Re, Os, Ir
(exp.data)
Rosenzweig, Porter (1960)
dá se aplikovat v různých
fyzikálních systémech
Wigner
Šeba et al. (2000)
Vzdálenost autobusů
MHD (v Mexiku)
Puebla
Cuernavaca
„Kvantový chaos“ Korelace ve spektrech chaotických systémů mají univerzální charakter
a jsou popsány teorií náhodných matic přesah do mnoha oblastí
daleko mimo fyziku
Šeba (2003)
Vzdálenost vlastních hodnot
autokorelačních matic
EEG signálu
Vzdál. vl.hodnot korel.
matic pro různé meteo-
rologické veličiny
Santhanam et al. (2002)
Vzdál. vl.hodnot korel.matic
pro fluktuace
cen akcií
Plerou et al. (2002)
Potestio et al. (2009)
Vzdál.vl.hod.korel.matic
pro posunutí molekul
v proteinech
Vesmír možná není chaotický…
… ale i tak je krásný !
http://www.holoong.com/
???
Četba:
• Linda E. Reichl: The Transition to Chaos: Conservative Classical
Systems and Quantum Manifestations (Springer, 2004)
• A. Lesne, M. Leguës: Scale Invariance: From Phase Transitions to
Turbulence (Springer 2012)
kvantový svět klasický svět
