PREPRINT PRAVDĚPODOBNOST A NÁHODNÁ VELIČINAk101.unob.cz/~neubauer/pdf/skripta_preprint.pdf2...

UNIVERZITA OBRANY • KATEDRA EKONOMETRIE

S . . . .

UČEBNÍ TEXT PRO DISTANČNÍ STUDIUM

PREPRINT

PRAVDĚPODOBNOST

A NÁHODNÁ VELIČINA

RNDr. Oldřich KŘÍŽMgr. Jiří NEUBAUER, Ph.D.Mgr. Marek SEDLAČÍK, Ph.D.

B r n o2 0 0 7

2 PREPRINT O. Kříž, J. Neubauer, M. Sedlačík

Anotace: Skriptum „Pravděpodobnost a náhodná veličinaÿ je učební text prodistanční studium předmětu Statistika I v kombinovaném studijním programuna Fakultě ekonomiky a managementu Univerzity obrany v Brně. Obsahujezáklady teorie pravděpodobnosti a náhodné veličiny v rozsahu, který odpovídákurzu statistiky schválenému akreditačním řízením. Způsob zpracování textu re-spektuje skutečnost, že student bude pracovat s textem samostatně bez pomocivyučujícího.

Klíčová slova: Náhodný jev, pravděpodobnost náhodného jevu, klasická definicepravděpodobnosti, geometrická definice pravděpodobnosti, podmíněná pravdě-podobnost, nezávislé jevy, formule úplnépravděpodobnosti, Bayesův vzorec, ná-hodná veličina, distribuční funkce, pravděpodobnostní funkce, funkce hustotypravděpodobnosti, charakteristiky náhodné veličiny, modely disktrétní a spojiténáhodné veličiny, limitní věty, Moivre-Laplaceova věta, Lévy-Lindebergova věta,věta o normálním rozdělení.

Skriptum neprošlo redakční ani jazykovou úpravou.

c© Oldřich KŘÍŽ, Jiří NEUBAUER, Marek SEDLAČÍK, 2007

PREPRINT O. Kříž, J. Neubauer, M. Sedlačík 3

Obsah

Úvod 5

1 PRAVDĚPODOBNOST 71.1 Základy kombinatoriky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Náhodný pokus a náhodný jev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Pravděpodobnost náhodného jevu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4 Klasická definice pravděpodobnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5 Geometrická definice pravděpodobnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.6 Podmíněná pravděpodobnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.7 Pravidlo o násobení pravděpodobností . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.8 Pravidlo o sčítání pravděpodobností . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.9 Úplná pravděpodobnost a Bayesův vzorec . . . . . . . . . . . . . . . . 361.10 Shrnutí 1. kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.11 Test ke kapitole 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2 NÁHODNÁ VELIČINA 432.1 Náhodná veličina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2 Distribuční funkce náhodné veličiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.3 Pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny . . . . . . . . . . . . . . . 462.4 Funkce hustoty pravděpobnosti náhodné veličiny . . . . . . . . . . . . . 502.5 Charakteristiky polohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.6 Charakteristiky variability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.7 Charakteristiky koncentrace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.8 Shrnutí 2. kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.9 Test ke kapitole 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3 MODELY DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 703.1 Poissonovo rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.2 Alternativní rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.3 Binomické rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.4 Hypergeometrické rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.5 Shrnutí 3. kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.6 Test ke kapitole 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4 MODELY SPOJITÉ NÁHODNÉ VELIČINY 834.1 Rovnoměrné rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.2 Exponenciální rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.3 Normální rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.4 Normované normální rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.5 Logaritmicko-normální rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.6 Rozdělení některých funkcí náhodných veličin . . . . . . . . . . . . . . 994.7 Shrnutí 4. kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105


4.8 Test ke kapitole 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5 TEORETICKÉ ZÁKLADY STATISTIKY 1075.1 Zákon velkých čísel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.2 Součet nezávislých náhodných veličin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.3 Centrální limitní věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.4 Věta o normálním rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.5 Shrnutí 5. kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.6 Test ke kapitole 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Seznam literatury 127

Statistické tabulky 129

Rejstřík 143


Úvod

Učební text, který dostáváte do rukou, je prvním titulem v řadě speciálních stu-dijních textů, které jsou určené jako studijní podpora pro výuku předmětu Statistikau distanční formy vzdělávání. Zároveň se jedná o titul, který navazuje na studijnítexty vytvořené na Katedře ekonometrie Fakulty ekonomiky a managementu Univer-zity obrany v Brně pro distanční studium matematiky. Návaznost tohoto textu na řadumateriálů pro výuku matematiky je možné vnímat především v tom smyslu, že prezen-tovaná učební látka je členěná a uspořádaná stejným nebo velmi podobným způsobem,což vám umožní využít svoje vlastní návyky a stejný styl práce při studiu nového před-mětu.Statistika je vědní disciplína, která je vybudovaná na třech pilířích: pravděpodob-

nosti, teorii náhodné veličiny a popisné statistice. Titul pojednává o dvou těchto pi-lířích, obsahuje základy teorie pravděpodobnosti a náhodné veličiny. Abychom dobřeporozuměli smyslu statistiky a jejímu fungování, musíme nejprve pochopit podstatupravděpodobnosti, neboť všechny závěry, ke kterým statistika svými metodami a pro-středky dojde, neplatí s exaktní matematickou přesností, ale mají vždy platnost pouzes jistou pravděpodobností – hovoří se o spolehlivosti. Slovo pouze nepředurčuje sta-tistice význam menší než matematice, ale jiný než matematice. Statistika je totiž dis-ciplína velmi praktická a zabývá se všemi takovými reálnými situacemi, ve kterýchse potřebujeme opřít o dosud neznámé informace. Ty jsou zjednodušeně řečeno za-tím skryté v tzv. teoretických modelech, pojednávajících o tzv. náhodných veličinách.Právě teorie těchto náhodných veličin tvoří druhou část našeho učebního textu. Od-krývání neznámých informací v nejrůznějších reálných situacích nám umožní třetí pilířstatistiky, a tím je popisná statistika pracující s empirickými naměřenými nebo zjiště-nými daty. Této části statistiky se budeme věnovat v dalším titulu, kterým završímeseznamování se s filozofií statistiky, s jejím fungováním a hlavně praktickým využitímjejich závěrů.Výklad naší problematiky je založen na vybudování základních pojmů a vztahů, a je

protkán řadou řešených příkladů, poznámek a vysvětlivek, tak, abyste problematiku conejsnadněji a správně pochopili. Neustále je v textu připomínaná nejdůležitější skuteč-nost tohoto předmětu, a tou je praktická a reálná podoba řešených problémů. Učebnítext je rozdělen do pěti kapitol, které jsou děleny stejně jako předchozí matematickétexty na moduly a dále na odstavce. Na závěr každého modulu jsou zařazené příkladyk procvičení probrané látky, v závěru kapitoly je uvedeno její shrnutí, další doporučenáliteratura a autotest. Na konci celého textu je uvedena studijní literatura, statistickétabulky a rejstřík použitých pojmů.V závěru bychom rádi poděkovali všem, kteří nám nějakým dílem pomohli při pří-

pravě tohoto textu. Poděkování patří zejména oběma recenzentům, doc. RNDr. Bo-humilu Marošovi, CSc. a RNDr. Michalu Šmerkovi, zejména za pečlivé přečtení textua užitečné připomínky.

V Brně 15. 12. 2007 Autoři



1 PRAVDĚPODOBNOST

Statistika jako vědní disciplína je postavena na třech nosných pilířích: pravděpodob-nost, náhodná veličina a popisná statistika. Jako první se tedy seznámíme se základ-ními poznatky teorie pravděpodobnosti. Zavedeme pojmy náhodný pokus, náhodnýjev a pravděpodobnost náhodného jevu. Dále uvedeme základní vlastnosti a pravidlapočtu pravděpodobnosti.

Cílem kapitoly je:

• zavést pojem náhodný pokus a náhodný jev,• definovat pravděpodobnost náhodného jevu,• vysvětlit základní metody a pravidla pro počítání pravděpodobnosti náhod-ného jevu.

Řešení některých úloh z počtu pravděpodobnosti je založeno na vztazích z kombi-natoriky. Proto si nejdříve připomeňme některé základní poznatky středoškolské ma-tematiky.

1.1 Základy kombinatoriky

Kombinatorika je nauka o skupinách, zabývající se tvorbou určitých skupin a ur-čením počtu těchto skupin. Nejdůležitější druhy těchto skupin jsou permutace, variacea kombinace. Při počítání s těmito skupinami budeme mimo jiné využívat faktoriály akombinační čísla.

• Faktoriál: pro n ∈ N : n! = n · (n− 1) · (n− 2) · · · 2 · 1 a 0! = 1.

1.1.1 Příklad. Vypočtěte: 5!.

Řešení. 5! = 5 · 4! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

• Kombinační číslo: pro n, k ∈ N a k ≤ n :(n

k

)=

n!(n− k)!k!

=n · (n− 1) · · · (n− k + 1)

k!.

Při výpočtu kombinačních čísel využíváme vlastností:(n

k

)=

(n

n− k

),

(n

0

)=

(00

)= 1 a

(n

1

)=

(n

n− 1

)= n.


1.1.2 Příklad. Vypočtěte:(74

).

Řešení. (74

)=

(73

)=

7!(7− 3)!3!

=7 · 6 · 5 · 4!4! · 3!

=7 · 6 · 53!

= 35.

• Binomická věta

(x+ y)n =n∑

k=0

(n

k

)xkyn−k =

=

(n

0

)x0yn +

(n

1

)x1yn−1 +

(n

2

)x2yn−2 + . . . +

(n

n

)xny0

1.1.3 Příklad. Užitím binomické věty odvoďte vzorec pro třetí mocninu dvojčlenu.

Řešení.

(a+ b)3 =

(30

)a0b3 +

(31

)a1b2 +

(32

)a2b1 +

(33

)a3b0 = b3 + 3ab2 + 3a2b+ a3.

• Pascalův trojúhelník

n0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6 4 1...

...

(00

)(10

) (11

)(20

) (21

) (22

)(30

) (31

) (32

) (33

)(40

) (41

) (42

) (43

) (44

)...

V řádcích Pascalova trojúhelníka jsou kombinační čísla(

n0

),(

n1

),(

n2

), . . . ,

(nn

)pro n =

= 0, 1, 2, . . . . Z vlastností kombinačních čísel vyplývá, že každý řádek začíná a končí 1,


v každém řádku čísla stejně vzdálená od začátku a konce řádku jsou si rovna, libovolnéčíslo uvnitř Pascalova trojúhelníku lze získat sečtením dvojice čísel ležících bezpro-středně nad ním. Z binomické věty také plyne, že součet čísel v n-tém řádku trojúhel-níku je roven 2n.

• Utvoříme-li z n různých prvků uspořádané skupiny po k prvcích (k ≤ n), přičemžprvky se nemohou opakovat, nazýváme takové skupiny variace k-té třídy z n prvkůbez opakování (záleží na pořadí!). Jejich počet je

Vk(n) =n!

(n− k)!= n · (n− 1) · (n− 2) · · · (n− k + 1).

1.1.4 Příklad. Turnaje se účastní 8 družstev. Kolika způsoby mohou být obsazenaprvní tři místa?

Řešení. V3(8) = 8!(8−3)! =

8·7·6·5!5! = 8 · 7 · 6 = 336.

• Utvoříme-li z n různých prvků uspořádané skupiny po k prvcích, přičemž kterékolivprvky se mohou až k-krát opakovat, nazýváme takové skupiny variace k-té třídyz n prvků s opakováním (záleží na pořadí!). Jejich počet je

V ′k(n) = nk.

1.1.5 Příklad. Kolika způsoby lze vyplnit sloupec Sazky (13 zápasů, typy 0, 1, 2)?

Řešení. V ′13(3) = 3

13 = 1594393.

• Permutace bez opakování z n prvků jsou n-prvkové variace bez opakování z n prvků(skupiny o n prvcích, v nichž záleží na pořadí!). Jejich počet je

P (n) = Vn(n) = n!.

1.1.6 Příklad. V osudí je 6 lístků s čísly 1, 2, . . . , 6. Kolika různými způsoby je lzepostupně vytáhnout, když se lístky do osudí nevrací a záleží na pořadí?

Řešení. P (6) = 6! = 720.

• Vyskytují-li se v permutacích z n prvků některé prvky vícekrát, mluvíme o per-mutacích s opakováním. Jestliže se mezi n prvky vyskytne 1. prvek n1-krát, 2.prvek n2-krát, atd. až k-tý prvek nk-krát, přičemž n1 + n2 + · · ·+ nk = n, je početpermutací

P ′n1,n2,...,nk

(n) =n!

n1!n2! . . . nk!.


1.1.7 Příklad. Kolik různých šesticiferných čísel lze vytvořit z číslic 1, 1, 1, 2, 2, 3?

Řešení. P3,2,1(6) = 6!3!·2!·1! =

72012 = 60.

• Utvoříme-li z n různých prvků neuspořádané skupiny po k prvcích (k ≤ n), přičemžprvky se nemohou opakovat, nazýváme takové skupiny kombinace k-té třídy z nprvků bez opakování (nezáleží na pořadí!). Jejich počet je

Ck(n) =

(n

k

).

1.1.8 Příklad. 8 závodníků má sehrát turnaj systémem každý s každým. Kolik zápasůse odehraje?

Řešení. C2(8) =(82

)= 8·72·1 = 28.

• Mohou-li se v neuspořádaných skupinách po k prvcích, vybraných z n prvků, jed-notlivé prvky opakovat, nazýváme tyto skupiny kombinace k-té třídy z n prvkůs opakováním (nezáleží na pořadí!). Jejich počet je

C ′k(n) =

(n+ k − 1

k

).

1.1.9 Příklad. V prodejně mají 5 různých druhů pohlednic. Kolika způsoby je možnési koupit 8 pohlednic?

Řešení. C ′8(5) =

(5+8−18

)=(128

)=(124

)= 495.

1.1.10 Úkoly a problémy k modulu 1.1

1. Zjistěte, čemu je rovno (44

)+

(54

)+

(64

)+

(74

)+

(84

).

2. Řešte rovnici: (x

x− 2

)−(

x+ 1x

)= 4.

3. Sečtěte vybraný řádek Pascalova trojúhelníka.

4. Kolik podmnožin lze utvořit z n-prvkové množiny?

5. Ukažte, že platí:(n

0

)+ 2

(n

1

)+ 22

(n

2

)+ 23

(n

3

)+ · · ·+ 2n

(n

n

)= 3n.

6. V urně je pět koulí téhož tvaru, ale různé barvy. Kolika různými způsoby je lzepostupně vytáhnout, jestliže se tažená koule do urny nevrací a přihlíží se k pořadí,v jakém byly koule taženy?


7. Kolik různých pěticiferných čísel lze napsat číslicemi 0, 1, 4, 7, 9, nemá-li se žádnáčíslice opakovat. Kolik z nich je sudých?

8. Kolik permutací lze utvořit z písmen slova MISSISSIPPI?

9. Kolika způsoby lze rozesadit 5 žen a 5 mužů kolem kulatého stolu tak, aby žádnédvě osoby téhož pohlaví neseděly vedle sebe?

10. Společnost má 36 členů. Kolika způsoby lze zvolit předsedu, místopředsedu, jedna-tele a pokladníka, jestliže každý člen společnosti může zastávat pouze jednu funkci?

11. V sérii 12 výrobků jsou 3 vadné. Kolika způsoby lze ze série vybrata) 6 výrobků,b) 6 bezvadných výrobků,c) 6 výrobků, z nichž právě 2 jsou vadné.

12. V urně je 6 koulí bílých a 5 červených. Kolika způsoby lze z ní vytáhnout 4 koule,mají-li mezi nimi být alespoň 2 bílé?

13. V prodejně mají výběr 12 různých pohledů. Určete, kolika způsoby lze si z nichkoupita) 15 pohledů,b) 7 různých pohledů?

14. Určete součet všech čtyřciferných čísel sestavených z číslic 1, 3, 5, 7 (bez opakováníčíslic).

15. Kolika způsoby lze rozmístnit do 9 přihrádek 7 bílých a 2 černé koule (tj. nenínutné, aby v každé přihrádce byla nějaká koule)?

16. Kolika způsoby si mohou 4 děti rozdělit mezi sebou 10 modrých, 15 červených a8 zelených kuliček, jestliže každé dítě musí dostat alespoň jednu kuličku každéhodruhu?

Řešení.1.(95

);

2. 5;3. 2n;4. 2n;6. P (5) = 5! = 120;7. 96; 42;8. P ′

4,4,2,1(11) = 34650;9. 2 · 5! · 5!;10. V4(36) = 1413720;11. a) C6(12) = 924; b) C6(9) = 84; c) C2(3) · C4(9) = 378;12. 265;13. a) C ′

15(12) = 7726160; b) C7(12) = 792;14. 106656;15. C ′

7(9) · C ′2(9) = 289575;

16. 1070160.


1.2 Náhodný pokus a náhodný jev

Základní pojem, z něhož budeme vycházet, je pojem pokus. Pokusem budeme ro-zumět každé uskutečnění určitého pevného systému podmínek. Zabývat se budeme jentakovými pokusy, které jsou opakovatelné.Rozlišujeme dva typy pokusů. Jsou to pokusy deterministické a pokusy náhodné.

U deterministického pokusu vede uskutečnění systému podmínek, které pokus vyme-zují, vždy ke stejnému výsledku (např. zahřejeme-li za normálních podmínek voduna 100 C, vždy dojde k varu vody). Naopak pokusy, jejichž výsledek se od jednohoprovedení k druhému mění, i když systém podmínek přísně dodržujeme a neměníme,nazýváme náhodné pokusy (např. hod kostkou, měření délky, běh na 100 metrů, loso-vání v loterii apod.). Výsledkem náhodného pokusu je náhodný jev (např. padlo 5 ok,délka je 25,7 cm, dosažený čas je 13,8 s, vylosovaný los je B265430 apod.).Každému pokusu přísluší množina všech možných výsledků (jevů) tohoto pokusu,

o nichž předpokládáme, že žádné dva nemohou nastat současně a jeden z nich nastávávždy. Množinu všech těchto jevů nazveme základním prostorem a značíme jej Ω. Pří-slušné jevy (prvky množiny Ω) nazveme elementárními jevy a označíme je ω1, ω2, . . . .Prostor elementárních jevů může být buď konečný Ω = ω1, ω2, . . . , ωn nebo neko-nečný Ω = ω1, ω2, . . . , ωn, . . . .Jev, který nastane při každém provedení daného pokusu, nazýváme jevem jistým a

můžeme jej, stejně jako základní prostor, chápat jako souhrn všech možných výsledkůdaného pokusu. Značíme jej tedy stejně jako základní prostor Ω. Naopak jev, který přidaném pokusu nikdy nenastane, nazýváme jevem nemožným a značíme jej Ø.Vzhledem k tomu, že náhodný jev je množinou výsledků náhodného pokusu, jsou

vztahy mezi náhodnými jevy totožné se vztahy mezi množinami. Libovolný náhodnýjev A (dále jen jev A) lze tedy považovat za podmnožinu základního prostoru Ω, tj.A ⊆ Ω.

1.2.1 Příklad.Uvažujeme hod homogenní hrací kostkou. Pak zřejmě Ω = 1, 2, . . . , 6.Základní prostor Ω je jevem jistým, neboť je mu příznivý každý z možných výsledkůpokusu. Naopak jev „padne číslo 7ÿ je v daném pokusu jevem nemožným. Označíme-linapř. jev A „padne sudé čísloÿ, je A = 2, 4, 6.

1.2.2 Poznámky. Vztahy mezi jevy vyjadřujeme pomocí množinových relací:1. jev A je částí jevu B (A ⊂ B), tzn. pokud nastane jev A, nastane i jev B;


2. jevy A a B jsou rovnocenné (A = B), tzn. jev A nastane právě když nastane jev B;

3. průnik (společné nastoupení) jevů A a B (A∩B), tzn. současně nastane jev A i B;

4. sjednocení jevů A a B (A ∪B), tzn. nastane alespoň jeden z jevů A a B;

5. jevy A a B se nazývají neslučitelné, jestliže při jednom náhodném pokusu nemohousoučasně oba nastat (tzn. A ∩B = Ø);


6. rozdíl jevů A−B nastane, jestliže nastane jev A a nenastane jev B;

7. opačný jev k jevu A je ten, který znamená, že jev A nenastal, označuje se A(tzn. A = Ω− A);

8. A ∩B = A ∪B;

9. A ∪B = A ∩B.


1.2.3 Poznámka. Zobecněním předchozích dvou vlastností jsou tzv. de Morganovapravidla. Pro k ≥ 2 platí:

k⋂i=1

Ai =k⋃

i=1

Ai,

k⋃i=1

Ai =k⋂

i=1

Ai.

1.2.4 Poznámka. Vlastnosti operací s jevy jsou totožné s vlastnostmi operací s mno-žinami. Připomeňme některé z nich:1. A ∩B = B ∩ A, A ∪B = B ∪ A,2. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C, A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C,3. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C), A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C),4. A ∩ A = A, A ∪ A = A,5. A ∩Ø = Ø, A ∪Ø = A,6. A ∩ Ω = A, A ∪ Ω = Ω,7. (A) = A,8. A ∩ A = Ø, A ∪ A = Ω,9. A−B = A ∩B, A−B 6= B − A.

1.2.5 Příklad. Náhodný pokus spočívá v hodu šestistěnnou hrací kostkou. Jev Anastoupí, jestliže padne sudé číslo a jev B nastoupí, jestliže padne číslo větší než 4.Určete základní prostor Ω, dále jevy A, B, A ∪B, A ∩B, A−B a B − A.

Řešení. Základní prostor Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 je konečný, tedy ω1 = 1, . . . , ω6 = 6.Dále je zřejmě A = 2, 4, 6 a B = 5, 6, protoA = 1, 3, 5 . . . padne liché číslo,B = 1, 2, 3, 4 . . . padne číslo menší než 5,A ∪B = 2, 4, 6 ∪ 5, 6 = 2, 4, 5, 6 . . . nepadne číslo 1 a 3,A ∩B = 2, 4, 6 ∩ 5, 6=6 . . . padne číslo 6,A−B = 2, 4, 6 − 5, 6=2, 4 . . . padne číslo 2 nebo 4,B − A = 5, 6 − 2, 4, 6=5 . . . padne číslo 5.

1.2.6 Příklad. Náhodný pokus spočívá ve třech hodech jednou mincí (v každém hodujsou pouze dva možné výsledky: buď rub (R) nebo líc (L)). Uvažujme jevy:A . . . alespoň dvakrát padne líc,B . . . ve druhém hodu padne rub,C . . . líc padne právě dvakrát,D . . . rub padne aspoň dvakrát nebo nepadne vůbec.

Určete prostor elementárních jevů Ω, dále jevy D, A ∪ B, A ∩ B, C ∪ D, C ∩ D aA− C.


Řešení. Základní prostor Ω = ω1, ω2, . . . , ω8 je konečný, kdeω1 = L, L, L, ω2 = L, L, R, ω3 = L, R, L, ω4 = R,L, L,ω5 = L, R, R, ω6 = R,L, R, ω7 = R,R,L, ω8 = R,R,R.Dále je zřejmě A = ω1, ω2, ω3, ω4, B = ω3, ω5, ω7, ω8, C = ω2, ω3, ω4, D == ω1, ω5, ω6, ω7, ω8, proto D = C, A ∪B = ω6, A ∩B = ω3, C ∪D = Ω, C ∩D = Øa A− C = ω1.


1. Házíme kostkou tak dlouho, dokud nepadne šestka.a) Určete základní prostor Ω.b) Vypište všechny možné výsledky příznivé jevu: „pokus skončí při druhém hoduÿ.c) Kolik možných výsledků je příznivých nastoupení jevu: „pokus skončí při třetímhoduÿ?

2. Průmyslově vyráběný filtr je podroben třem různým zkouškám. Jev Ai spočíváv tom, že filtr obstojí v i-té zkoušce, i = 1, 2, 3. Pomocí jevů Ai vyjádřete, že filtrobstojía) jen v 1. zkoušce,b) jen v 1. a 2. zkoušce,c) ve všech třech zkouškách,d) alespoň v jedné zkoušce,e) alespoň ve dvou zkouškách,f) právě v jedné zkoušce,g) právě ve dvou zkouškách,h) nejvýše v jedné zkoušce.

3. Určete prostor elementárních jevů vyjadřujícícha) počet vadných výrobků mezi 50 kontrolovanými výrobky,b) počet vozidel, která tankují u benzinové pumpy během dne,c) dobu, po kterou bankovní automat vyřizuje váš příkaz.

4. Zjednodušte následující výrazy:a) (A ∪B) ∩

(A ∪B

),

b)(A ∪B

)∪(A ∪B

),

c)(A ∩B

)∪(A ∩B

)∪(A ∩B

).

5. Jev A spočívá v tom, že náhodně vybrané přirozené číslo je dělitelné pěti, a jevB v tom, že toto číslo má na posledním místě nulu. Určete význam následujícíchjevů:a) A ∩B,b) A ∪B,c) A ∩B,d) A ∪B,


e) A ∩B.

6. Zařízení kotelny se skládá ze strojovny a dvou kotlů. Nechť A a B1, B2 znamená,že strojovna a první či druhý kotel jsou v pořádku. Pomocí těchto jevů vyjádřetejev C resp. C, kde C znamená, že kotelna je schopná provozu, je-li v pořádkua) strojovna a alespoň jeden kotel,b) strojovna a první kotel.

Řešení.1. a) Ω = [6], [1, 6], [2, 6], [3, 6], . . . , [5, 6], [1, 1, 6], [1, 2, 6], [1, 3, 6], . . . , [1, 5, 6],[2, 1, 6], [2, 2, 6], . . . , [5, 5, 6], [1, 1, 1, 6], . . . ; b) [1, 6], [2, 6], [3, 6], [4, 6], [5, 6];c) [x, y, 6], kde x, y ∈ 1, 2, . . . , 5, celkem 52 možných výsledků;

2. a) A1 ∩ A2 ∩ A3; b) A1 ∩ A2 ∩ A3; c) A1 ∩ A2 ∩ A3; d) A1 ∪ A2 ∪ A3;e)(A1 ∩ A2 ∩ A3

)∪(A1 ∩ A2 ∩ A3

)∪(A1 ∩ A2 ∩ A3

)∪ (A1 ∩ A2 ∩ A3);

f)(A1 ∩ A2 ∩ A3

)∪(A1 ∩ A2 ∩ A3

)∪(A1 ∩ A2 ∩ A3

);

g)(A1 ∩ A2 ∩ A3

)∪(A1 ∩ A2 ∩ A3

)∪(A1 ∩ A2 ∩ A3

);

h)(A1 ∩ A2 ∩ A3

)∪(A1 ∩ A2 ∩ A3

)∪(A1 ∩ A2 ∩ A3

)∪(A1 ∩ A2 ∩ A3

);

3. a) Ω = 0, 1, 2, . . . , 50; b) Ω = 0, 1, 2, . . . ; c) Ω = x; x ∈ R+;4. a) A; b) A; c) A ∪B;5. a) číslo má na posledním místě nulu; b) číslo je dělitelné pěti; c) nemožný jev;d) jistý jev; e) všechna čísla mimo čísla končící pětkou;

6. a) C = A ∩ (B1 ∪B2); C = A ∪ (B1 ∩B2); b) C = A ∩B1, C = A ∪B1.

Další úlohy na procvičování:

[Budíková]: str. 5–8,[Hebák]: str. 9–12, odstavec 1.1,[Kříž 1]: str. 21–23, odstavec 2.1.

1.3 Pravděpodobnost náhodného jevu

Jevy můžeme hodnotit podle toho, jak velkou mají naději, že při náhodném pokusunastanou. Jinak řečeno posuzujeme je podle toho, jak velkou mají pravděpodobnostnastoupení. Můžeme tedy pravděpodobnost považovat za objektivní vlastnost jevu,nezávislou na pozorovateli, která existuje bez ohledu na to, zda ji umíme či neumímezjistit nebo určit. Její význam je v tom, že udává míru možnosti nastoupení danéhojevu.Uvažujme například pokus spočívající v posloupnosti hodu mincí. Na začátku minu-

lého století obdržel Pearson z 24000 hodů poměrnou četnost líců 0,5005. V kontextu lzepravděpodobnost také interpretovat jako číslo, které udává, s jakou poměrnou četnostínastane příslušný jev v dlouhé posloupnosti pokusů.Pravděpodobnost jevu A formálně zavedeme pomocí axiomů.


1.3.1 Definice. (Axiomatická definice pravděpodobnosti) Každému jevu A, kterýje podmnožinou základního prostoru Ω, přiřazujeme reálné číslo P (A), které nazý-váme pravděpodobností jevu A, přičemž platí:

Axiom 1: Pravděpodobnost jevu A je nezáporné číslo, tzn. P (A) ≥ 0.Axiom 2: Pravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna 1, tzn. P (Ω) = 1.

Axiom 3: Jsou-li jevy A1, . . . , An vzájemně neslučitelné (tzn. Ai ∩ Ak = Øpro i 6= k, i, k = 1, 2, . . . , n), potom pravděpodobnost sjednocení jevůA1, . . . , An je rovna součtu pravděpodobností jednotlivých jevů, tzn.

P (A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An) = P (A1) + P (A2) + · · ·+ P (An).

1.3.2 Poznámky.1. Axiom 3 platí také pro spočetnou množinu (jevy lze uspořádat do posloupnosti)vzájemně neslučitelných jevů, tzn.

P (A1 ∪ . . . ∪ An ∪ An+1 ∪ . . . ) = P (A1) + · · ·+ P (An) + P (An+1) + . . . .

2. Definice 1.3.1 stanoví tři základní pravidla, které musí pravděpodobnost splňovat,avšak neříká nic o tom, jak se pravděpodobnost určuje. Toto je otázkou konkrétní úlohy.

1.3.3 Poznámka. Pomocí těchto tří axiomů lze odvodit základní vlastnosti pravdě-podobnosti :1. 0 ≤ P (A) ≤ 1,2. P (Ø) = 0,3. P (A) = 1− P (A).4. Je-li A ⊂ B, pak

0 ≤ P (A) ≤ P (B) a P (B − A) = P (B)− P (A).

5. Jestliže základní prostor Ω obsahuje konečný nebo spočetný počet elementárníchjevů ω1, . . . , ωn, potom pro pravděpodobnost P (A) libovolného jevu A platí

P (A) =∑ωi∈A

P (ωi).

1.3.4 Příklad. Mějme 4 možné výsledky pokusu, označme je ω1, ω2, ω3, ω4. Odpoví-dající pravděpodobnosti jsou P (ω1) = 0,2, P (ω2) = 0,4, P (ω3) = 0,35 a P (ω4) = 0,05.Nechť jev A spočívá v nastoupení alespoň jednoho z jevů ω1, ω2, ω4. Určete s jakoupravděpodobností nastane jev A při provedení pokusu.

Řešení. Zřejmě Ω = ω1 ∪ ω2 ∪ ω3 ∪ ω4 a A = ω1 ∪ ω2 ∪ ω4. Podle axiomu 3 definice1.3.1 platí P (A) = P (ω1 ∪ω2 ∪ω4) = P (ω1)+P (ω2)+P (ω4) a s využitím 3. vlastnosti


pravděpodobnosti dostáváme

P (A) =∑ωi∈A

P (ωi) = P (ω1) + P (ω2) + P (ω4) = 0,2 + 0,4 + 0,05 = 0,65.

1.4 Klasická definice pravděpodobnosti

1.4.1 Definice. (Klasická definice pravděpodobnosti) Uvažujme nyní konečný zá-kladní prostor elementárních jevů Ω = ω1, ω2, . . . , ωn a předpokládejme, že nastou-pení každého z elementárních jevů je stejně možné, tzn. P (ωi) = 1

npro i = 1, 2, . . . , n.

Klasická pravděpodobnost jevu A je potom

P (A) =m

n, (1.1)

kde m udává počet elementárních jevů příznivých jevu A (tzn. počet prvků množinyA). Tedy uvedená pravděpodobnost je pro daný jev A rovna podílu počtu všech vý-sledků příznivých jevu A a počtu všech možných výsledků daného pokusu. Hovořímepotom o tzv. klasické definici pravděpodobnosti jevu A.

1.4.2 Poznámky.1. Lze ukázat, že klasická pravděpodobnost splňuje axiomy teorie pravděpodobnosti(viz definice 1.3.1).2. Z historického hlediska je zajímavé, že se teorie pravděpodobnosti dlouho opíralao klasickou pravděpodobnost. Typickým příkladem jsou úlohy o hazardních hrách (há-zení mincí, kostkou, ruleta, karetní hry apod.). V současné době je okruh problémů,které lze řešit pomocí klasické pravděpodobnosti, poměrně úzký, ovšem nikoliv bezvý-znamný. Výpočet pravděpodobnosti se většinou redukuje na kombinatorickou úlohu,což si ukážeme na několika typických příkladech.

1.4.3 Příklad. Házíme homogenní hrací kostkou. Jaká je pravděpodobnost, žea) při jednom hodu padne číslo 1 nebo 2 (jev A),b) při jednom hodu padne sudé číslo (jev B),c) při jednom hodu nepadne číslo 5 (jev C),d) při hodu dvěma kostkami padne součet 7 (jev D)?

Řešení.a) Počet možných výsledků je 6 a z nich jsou dva příznivé jevu A. Proto pravděpo-dobnost, že při jednom hodu padne číslo 1 nebo 2 je rovna

P (A) =26=13.


b) Padnutí sudého čísla je sjednocení tří neslučitelných jevů, a to padnutí dvojky,čtyřky a šestky. Všechny tyto jevy mají stejnou pravděpodobnost 16 , proto pravdě-podobnost padnutí sudého čísla je

P (B) =16+16+16=36=12.

Přímým použitím klasické definice pravděpodobnosti, při kterém 3 příznivé výsledkydělíme 6 možnými výsledky, dostáváme snadno rovnou výsledek.

c) Počet příznivých výsledků je 5, tedy

P (C) =56.

Stejného výsledku dosáhneme, přejdeme-li k opačnému jevu C (padne pětka), neboťP (C) = 1− P (C) = 1− 1

6 =56 .

d) Danému pokusu příslušejí elementární jevy „padnutí dvojice [i, j]ÿ, kde i, j == 1, 2, . . . , 6. Jejich počet je 62 = 36. Jevu D jsou příznivé elementární jevy: „padnejedna z dvojic [1, 6], [2, 5], [3, 4], [4, 3], [5, 2], [6, 1]ÿ. Tedy pravděpodobnost

P (D) =636=16.

1.4.4 Příklad. V zásilce je 18 dobrých výrobků a 2 vadné. Náhodně vybereme bezvracení 5 výrobků. Určete pravděpodobnost, že:a) všech pět výrobků je dobrých (jev A),b) čtyři výrobky jsou dobré a jeden vadný (jev B),c) alespoň jeden výrobek je vadný (jev C).

Řešení. Počet všech způsobů, jak vybrat 5 výrobků z celkového počtu 20 výrobků jeroven počtu pětiprvkových kombinací bez opakování z 20 prvků, což dává

(205

)možných

výsledků.a) Jevu A je příznivých celkem

(185

)případů a hledaná pravděpodobnost je tedy rovna

P (A) =

(185

)(205

) = 18 · 17 · 16 · 15 · 1420 · 19 · 18 · 17 · 16

=2138

.= 0,553.

b) Jevu B je příznivých celkem(184

)·(21

)případů, platí tedy

P (B) =

(184

)·(21

)(205

) =18 · 17 · 16 · 15 · 2 · 520 · 19 · 18 · 17 · 16

=1538

.= 0,395.

c) Neboť C = A, platí pro jev C

P (C) = P (A) = 1− P (A) = 1− 2138=1738

.= 0,447.


1.4.5 Příklad. Předpokládejme, že se 3 lidé setkali zcela náhodně. Určete pravděpo-dobnost, že:a) každý z nich má narozeniny v jiný den v roce (jev A),b) právě 2 osoby z těchto 3 mají narozeniny společně v 1 den (jev B),c) alespoň 2 osoby z těchto 3 mají narozeniny společně v 1 den (jev C).Přestupný rok neuvažujeme a předpokládáme, že narození dítěte je v dané oblasti stejněmožné v kterýkoli den v roce.

Řešení. Počet všech možností je zřejmě V ′3(365) = 365

3. Počet příznivých výsledkůjevu A je V3(365) = 365 · 364 · 363. Proto pravděpodobnost, že každý z nich má naro-zeniny v jiný den v roce je rovna

P (A) =365 · 364 · 3633653

.= 0,992.

Podobně

P (B) =3 · V2(365)V ′3(365)

=3 · 365 · 3643653

.= 8,197 · 10−3

a

P (C) = P (B) +365

V ′3(365)

=3 · 365 · 364 + 365

3653.= 8,204 · 10−3.

1.4.6 Příklad. V urně je 6 koulí bílých a 8 červených. Je pravděpodobnější, že přitahu 3 koulí budou všechny bílé (jev A), nebo že při tahu 4 koulí budou všechny černé(jev B)?

Řešení. Počet všech způsobů, jak vybrat 3 koule z celkového počtu 14 koulí je(143

).

Jevu A je příznivých(63

)·(80

)případů a pravděpodobnost jevu A je tedy rovna

P (A) =

(63

)·(80

)(143

) =6 · 5 · 414 · 13 · 12

=591

.= 0,055.

Podobně pravděpodobnost jevu B je rovna

P (B) =

(60

)·(84

)(144

) =8 · 7 · 6 · 514 · 13 · 12 · 11

=10143

.= 0,070.

1.4.7 Příklad. Určete, kolikrát je třeba hodit hrací kostkou, aby pravděpodobnost,že alespoň jednou padne šestka, byla větší než 0,7 (jev A)?

Řešení. Nejdříve vypočteme pravděpodobnost opačného jevu A, tj. že při n hodechani jednou nepadne šestka. Možných případů je zřejmě 6n. Příznivých případů je 5n,protože na každé kostce jsou příznivé pouze hody 1, . . . , 5. Proto pravděpodobnostopačného jevu P (A) =

(56

)na hledaná pravděpodobnost

P (A) = 1− P (A) = 1−(56

)n

.


Úkolem je tedy stanovit nejmenší přirozené číslo vyhovující podmínce 1−(56

)n> 0, 7.

Po úpravě dostáváme (65

)n

>103

.

Exponenciální rovnice 1,2n = 103 má kořen n

.= 6,6, proto nejmenší přirozené číslo

vyhovující úloze je n = 7.


1. Vypočtěte pravděpodobnosti P (A), P (B), P (A), P (B), P (A ∪B), P (A ∩B),P (A−B), P (B−A) náhodných jevů z příkladu 1.2.5 pro homogenní hrací kostku.

2. Při hodu červenou a modrou kostkou padlo na červené kostce větší číslo. Jaká jepravděpodobnost, že na červené kostce padlo číslo 5?

3. V loterii je 10000 losů, z nichž 100 losů vyhrává 1000 Kč, 100 losů vyhrává 500Kč a 1000 losů vyhrává 10 Kč. Jaká je pravděpodobnost, že při zakoupení jednoholosua) vyhrajeme,b) vyhrajeme 500 Kč,c) vyhrajeme nejvýše 500 Kč,d) vyhrajeme nejméně 500 Kč.

4. Z karetní hry o 32 kartách vybereme náhodně bez vracení 4 karty. Jaká je pravdě-podobnost, že alespoň jedna z nich je eso?

5. Jaká je pravděpodobnost, že při současném hodu šesti kostkami padnea) na každé kostce jiné číslo,b) samé šestky,c) právě pět šestek,d) právě čtyři šestky,e) alespoň čtyři šestky,f) samá sudá čísla,g) všechna čísla stejná.

6. Je pravděpodobnější, že při hodu třemi kostkami padne součet 11 (jev A) nebo 12(jev B)?

7. Určete pravděpodobnost toho, že lze sestrojit trojúhelník ze třech úseček, kterénáhodně vyberemea) ze 4 úseček o délkách 4, 6, 8 a 10,b) z 5 úseček o délkách 5, 8, 10, 13 a 15.

8. Pokud se naučíte ke zkoušce z 50 otázek pouze 25, jakou máte pravděpodobnost,že ze tří vytažených otázek budete znáta) všechny 3,b) právě 2?


9. Vojenský prostor je střežen ze 6 pozorovatelen z celkového počtu 9 pozorovatelen.Nepřítel ostřeluje 3 pozorovatelny. Jaká je pravděpodobnost, že ostřelujea) 3 obsazené pozorovatelny,b) 2 obsazené a 1 neobsazenou pozorovatelnu,c) alespoň 1 neobsazenou pozorovatelnu?

10. Mezi 100 šrouby je 5 zmetků. Jaká je pravděpodobnost, že ve skupině 10 bezkontroly zakoupených šroubůa) je právě jeden zmetek,b) jsou nejvýše dva zmetky?

11. V urně je 6 červených, 3 modré a 3 bílé koule. Vytáhneme 4 koule. Určete pravdě-podobnost, žea) všechny 4 koule budou červené,b) 3 koule budou červené a 1 modrá,c) 2 koule budou červené, 1 modrá a 1 bílá.

12. V dodávce 50 kusů hodin je jich 46 v pořádku. Ke kontrole této dodávky vyberemenáhodně 4 kusy. Jaká je pravděpodobnost, že mezi kontrolovanými hodinami budoua) všechny kusy dobré,b) nejvýše 3 kusy dobré,c) 2 kusy dobré a 2 vadné,d) všechny kusy vadné?

13. Deset aut zaparkovalo na parkovišti náhodně v jedné řadě. Jaká je pravděpodob-nost, že tři určitá auta budou zaparkovaná vedle sebe?

14. Pravděpodobnost, že dva určití vojáci z čety budou vybráni do 4-členné stráže je1/20. Kolik vojáků má tato četa?

Řešení.1. P (A) = 1

2 ; P (B) = 13 ; P (A) = 1

2 ; P (B) = 23 ; P (A ∪B) = 2

3 ; P (A ∩B) = 16 ;

P (A−B) = 13 ; P (B − A) = 1

6 ;2. 415 ;3. a) 0,12; b) 0,01; c) 0,11; d) 0,02;4. 0,4306;5. a) 0,01543; b) 2,143 · 10−5; c) 0,000643; d) 0,008037; e) 0,0087; f) 0,015625;g) 1,286 · 10−4;

6. P (A) = 0,125; P (B) = 0,1157;7. a) 34 ; b)

710 ;

8. a) 0,117; b) 0,383;9. a) 0,238; b) 0,536; c) 0,762;10. a) 0,3394; b) 0,9934;11. a) 0,030; b) 0,121; c) 0,273;12. a) 0,709; b) 0,291; c) 0,027; d) 4,34 · 10−6;13. 115 ;14. 16.



[Budíková]: str. 6–12,[Hebák]: str. 15–37,[Kříž 1]: str. 25–29, odstavec 2.3,[Marek]: str. 45–57.

1.5 Geometrická definice pravděpodobnosti

Geometrickou pravděpodobnost lze považovat za zobecnění klasické pravděpodob-nosti v tom smyslu, že základní prostor elementárních jevů je nespočetný. Používámeji tehdy, můžeme-li jevy zobrazit geometricky na přímce, v rovině nebo v prostoru.

1.5.1 Definice. (Geometrická definice pravděpodobnosti) Množina elementárníchjevů Ω má nekonečný počet prvků vytvářejících určitou oblast, která je omezená,uzavřená a má velikost V (Ω) (vyjádřenou délkou, obsahem případně objemem). Po-dobně jev A ⊂ Ω tvoří oblast o velikosti V (A). Potom geometrická pravděpodobnostjevu A je dána

P (A) =V (A)V (Ω)

. (1.2)

1.5.2 Poznámka. Oblast Ω lze interpretovat jako množinu všech možných výsledkůpokusu, který spočívá v náhodném výběru bodu. Výběr každého bodu této oblastipovažujeme za stejně možný. Opět lze ukázat, že geometrická pravděpodobnost splňujeaxiomy teorie pravděpodobnosti (viz definice 1.3.1).

1.5.3 Příklad. Hodiny, které nebyly včas nataženy, se po určité době zastaví. Jakáje pravděpodobnost, že se velká ručička zastaví mezi šestkou a devítkou?

Řešení. Označme A jev, který spočívá v tom, že se velká ručička zastaví mezi šestkoua devítkou. Pravděpodobnost jevu A je úměrná délce oblouku mezi šestkou a devítkou(ozn. V (A)), takže hledaná pravděpodobnost se rovná podílu délky oblouku V (A) adélky obvodu celého číselníku Ω (viz obrázek 1.1), což je v našem případě

P (A) =V (A)V (Ω)

=π/22π=14.


Obr. 1.1 Situace popsaná v příkladu 1.5.3

Všimněme si ještě jednoho případu v souvislosti s úlohou 1.5.3. Uvažujme jev Bkterý spočívá v tom, že se velká ručička zastaví např. přesně na šestce. Délka příslušnéhooblouku je však v tomto případě nulová, neboť ji tvoří pouze jediný bod. Platí tedy

P (B) =V (B)V (Ω)

=02π= 0.

Z tohoto závěru však neplyne, že uvažovaný jev je nemožný. Analogicky nelze tvrdit,že opačný jev B („ručička se nezastaví na šestceÿ) je jev jistý, i když platí P (B) =1− P (B) = 1.

Je-li pravděpodobnost nějakého jevu rovna 0, resp. 1, neplyne odtud, že uvažovanýjev je nemožný, resp. jistý. Opačné tvrzení neplatí!

1.5.4 Příklad. Dva lidé se dohodli, že se setkají na stanoveném místě mezi 18,00a 18,45 hodin. Každý z nich volí čas příchodu nezávisle na druhém a jejich příchodyv daném časovém intervalu jsou v každém okamžiku stejně možné. Určete pravděpo-dobnost, že se setkají, zdrží-li se každý 15 minut od svého příchodu, nejdéle však do18,45 a potom odejde.

Řešení. Označme okamžiky příchodů obou osob x a y, přičemž platí 0 ≤ x ≤ 45,0 ≤ y ≤ 45 (časy příchodů x, y měříme v minutách po 18. hodině). Oblast Ω všechmožných hodnot příchodů x, y je čtverec o straně 45, tj.

Ω = [x, y] ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 45, 0 ≤ y ≤ 45.

Jevu A, který spočívá v tom, že se obě osoby setkají, jsou příznivé ty případy x, y,které leží v oblasti určené nerovností |x − y| ≤ 15, resp. −15 ≤ x − y ≤ 15. MnožinuA lze tedy zapsat jako

A = [x, y] ∈ Ω : |x− y| ≤ 15.


Obr. 1.2 Situace popsaná v příkladu 1.5.4

Z obrázku je patrno, že oblast A je ohraničená přímkami x = 0, x = 45, y = 0, y == 45, y = x + 15, y = x − 15. Obsahy oblastí Ω a A jsou tedy V (Ω) = 452, V (A) == 452 − 302. Dosazením do vzorce (1.2) dostáváme

P (A) =V (A)V (Ω)

=452 − 302

452= 1−

(23

)2=59.

Obě osoby se tedy setkají v uvedené době s pravděpodobností 59 .


1. Ve vojenském prostoru je natažený telefonní kabel o délce 600 m mezi velitelskýmstanovištěm a mostem. V bodě K, jehož poloha je na kabelu všude stejně možná,došlo k přerušení linky. Určete pravděpodobnost, že vzdálenost bodu K od velitel-ského stanoviště jea) větší než 75 metrů,b) nejvýše 10 metrů?

2. Jsou dány 4 soustředné kružnice o poloměrech 2, 3, 4 a 5. V kruhu o poloměru 5zvolme náhodně bod K. Jaká je pravděpodobnost, že bod K padnea) do vnitřního kruhu,b) do kruhu o poloměru 3,c) do prostředního mezikruží?

3. Na zastávku přijíždí autobus linky A každých 15 minut a autobus linky B každých20 minut. Určete pravděpodobnost, že od okamžiku, kdy cestující přijde na tutozastávku, přijedea) autobus A dříve než autobus B,b) autobus A nebo autobus B do 5 minut.


4. Každý ze dvou parníků může doplout do přístaviště vždy jednou za den, a to sestejnou šancí v kterýkoliv jeho okamžik a nezávisle na druhém parníku. První sev přístavišti zdrží jednu hodinu, druhý dvě hodiny. Jaká je pravděpodobnost, žejeden bude muset čekat, až druhý opustí přístaviště?

5. Jaká je pravděpodobnost, že součet dvou náhodně zvolených kladných čísel, z nichžžádné není větší než jedna, bude menší než jedna a jejich součin bude větší než 29 .

6. Úsečka dlouhá 200 mm je náhodně rozdělena na 3 díly. Určete pravděpodobnost,že prostřední díl bude nejvýše 10 mm dlouhý.

Řešení.1. a) 0,875; b) 0,167;2. a) 0,16; b) 0,36; c) 0,28;3. a) 5/8; b) 1/2;4. 0,121;5. 0,013;6. 0,0975.


[Budíková]: str. 24, 25, odstavce 5.1, 5.2,[Kříž 1]: str. 29–32, odstavec 2.4.

1.6 Podmíněná pravděpodobnost

V modulu 1.3 jsme zavedli pravděpodobnost náhodného jevu jako numerické ohod-nocení možnosti nastoupení jevu při provádění určitého pokusu. Ovšem máme-li poprovedení pokusu nějakou doplňující informaci o výsledku sledovaného pokusu, lzetuto informaci využít a pomocí ní přehodnotit toto numerické ohodnocení možnostinastoupení sledovaného jevu za této doplňující informace.

1.6.1 Definice. (Podmíněná pravděpodobnost) Nechť P (A) je pravděpodobnostjevu A při daném systému podmínek. Připojíme-li k tomuto systému další pod-mínku, tj. nastoupení jevu B, hovoříme o podmíněné pravděpodobnosti jevu A zapředpokladu, že nastal jev B. Tato podmíněná pravděpodobnost P (A|B) je dánavztahem

P (A|B) = P (A ∩B)P (B)

, P (B) > 0. (1.3)


Podobně podmíněná pravděpodobnost jevu B za podmínky jevu A je

P (B|A) = P (A ∩B)P (A)

, P (A) > 0.

1.6.2 Poznámka. S využitím klasické definice pravděpodobnosti 1.4.1 lze podmíněnoupravděpodobnost vyjádřit ve tvaru

P (A|B) = k

m=

knmn

=P (A ∩B)

P (B),

kde k udává počet případů příznivých jevu A ∩B, m udává počet případů příznivýchjevu B a n udává počet všech možných případů (viz obrázek 1.3).

Obr. 1.3 Podmíněná pravděpodobnost P (A|B) vyjádřená pomocí klasické definicepravděpodobnosti

1.6.3 Příklad. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padly dvěpětky, je-li známo, že součet ok je dělitelný pěti?

Řešení. Označme:A jev . . . „padly dvě pětkyÿ,B jev . . . „součet ok je dělitelný pětiÿ.Počet všech možných výsledků daného pokusu je V ′

2(6) = 62 = 36. Vyjádříme-li jevy B

a A∩B pomocí elementárních jevů, tj. B = [2, 3], [3, 2], [1, 4], [4, 1], [4, 6], [6, 4], [5, 5],A ∩ B = [5, 5], je zřejmé, že P (B) = 7

36 a P (A ∩ B) = 136 . Dosazením do (1.3)

dostáváme hledanou pravděpodobnost

P (A|B) = P (A ∩B)P (B)

=136736

=17.


1.7 Pravidlo o násobení pravděpodobností

V tomto modulu se budeme zabývat výpočtem pravděpodobnosti společného na-stoupení (průniku) daných jevů.

1.7.1 Věta. (Věta o násobení pravděpodobností)a) Pro libovolné dva jevy A, B platí, že pravděpodobnost jejich společného nastou-pení je rovna

P (A ∩B) = P (A) · P (B|A) = P (B) · P (A|B).

b) Obecně pro s libovolných jevů A1, A2, . . . , As platí

P (A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ As) = P (A1)P (A2|A1) · · ·P (As|A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ As−1). (1.4)

Důkaz.a) Plyne přímo z (1.3).b) Pro s libovolných jevů Ai ∈ Ω, i = 1, . . . , s lze tvrzení dokázat pomocí matematickéindukce.

1.7.2 Příklad. Mezi 5 výrobky jsou 2 vadné. Náhodně vybereme (bez vracení) po-stupně 2 výrobky. Jaká je pravděpodobnost, žea) první vybraný výrobek je zmetek,b) oba vybrané výrobky jsou zmetky?

Řešení. Nechť jev A1 resp. A2 značí vytažení zmetku v prvním resp. v druhém tahu.a) Užitím klasické definice pravděpodobnosti dostáváme přímo

P (A1) =25= 0,4.

b) Protože jev A1∩A2 značí, že oba vytažené výrobky jsou zmetky, pak pomocí vztahu1.3 obdržíme

P (A1 ∩ A2) = P (A1)P (A2|A1) =25· 14= 0,1,

neboť po vytažení jednoho zmetku zůstanou 4 výrobky, z nichž je jeden zmetek,tedy P (A2|A1) = 1

4 .

1.7.3 Poznámky.1. Pokud nastoupení jevu A neovlivňuje pravděpodobnost nastoupení jevu B, tzn.P (B|A) = P (B), neovlivňuje ani nastoupení jevu B pravděpodobnost jevu A. O je-vech A, B potom říkáme, že jsou nezávislé.


2. Pro nezávislé jevy A, B se pravidlo pro výpočet pravděpodobnosti průniku zjedno-duší

P (A ∩B) = P (A) · P (B).Daný vztah je zároveň také nutnou i postačující podmínkou nezávislosti jevů A, B.

1.7.4 Definice. Mějme množinu n ≥ 2 jevů Ai, i = 1, 2, . . . , n. U této množinyrozlišujeme nezávislost podvojnou (tzn. nezávislost každé dvojice jevů) a nezávislostvzájemnou. Jevy nazýváme vzájemně nezávislé (dále jen nezávislé), právě když prolibovolnou r prvkovou podmnožinu Ai1, . . . , Air množiny A1, . . . , An jevů, 2 ≤≤ r ≤ n, platí

P (Ai1 ∩ . . . ∩ Air) = P (Ai1) · · ·P (Air). (1.5)

Jinak řečeno, vztah 1.5 musí platit pro všechny dvojice, trojice, atd. až samotnoun-tici náhodných jevů A1, . . . , An.

1.7.5 Poznámka. V případě vzájemné nezávislosti jevů A1, . . . , As se pravidlo o ná-sobení pravděpodobností zjednoduší

P (A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ As) = P (A1)P (A2) · · ·P (As). (1.6)

1.7.6 Příklad. Z 8 koulí je 5 červených a 3 jsou modré. Určete pravděpodobnost, že3 po sobě náhodně vybrané koule jsou červené (koule nevracíme zpět).

Řešení. Označme jev Ai „vytažení červené koule v i-tém tahuÿ pro i = 1, 2, 3.Dále označme A jev „3 po sobě náhodně vybrané koule jsou červenéÿ. Zřejmě A == A1 ∩ A2 ∩ A3. Jevy Ai jsou závislé, platí tedy podle 1.4

P (A) = P (A1 ∩ A2 ∩ A3) = P (A1)P (A2|A1)P (A3|A1 ∩ A2).

Ze zadání úlohy je zřejmé, že P (A1) = 58 . Jev A2|A1 značí výběr červené koule v 2.

tahu, za podmínky, že koule vybraná v 1. tahu byla také červená. Proto P (A2|A1) = 47 .

Jev A3|A1∩A2 značí výběr červené koule v 3. tahu, za podmínky, že koule vybranáv 1. a 2. tahu byla červená. Je tedy P (A3|A1 ∩ A2) = 3

6 . Hledaná pravděpodobnost jepotom

P (A) =58· 47· 36

.= 0,179.

1.7.7 Příklad. Dělník obsluhuje 3 stroje, které pracují nezávisle na sobě a mají různouporuchovost. Pravděpodobnost, že dojde během jedné hodiny k poruše na 1. stroji je0,1; na 2. stroji 0,2; na 3. stroji 0,05. Jaká je pravděpodobnost, že během jedné hodinynebude ani jeden stroj vyžadovat dělníkova zásahu?

Řešení. Nechť jev Ai značí „během jedné hodiny dojde k poruše na i-tém strojiÿ proi = 1, 2, 3. Dále označme A jev „během jedné hodiny nedojde k poruše na žádnémstrojiÿ. Zřejmě A = A1 ∩ A2 ∩ A3. Pravděpodobnosti jevů Ai jsou

P (A1) = 0,9; P (A2) = 0,8; P (A3) = 0,95.


Z úlohy je zřejmé, že jevy A1, A2, A3 jsou nezávislé, a proto hledanou pravděpodobnosturčíme dle (1.6)

P (A) = P (A1 ∩ A2 ∩ A3) = P (A1)P (A2)P (A3) = 0,9 · 0,8 · 0,95 = 0,684.

1.7.8 Úkoly a problémy k modulu 1.6 a 1.7

1. V krabici je 21 zabalených skleniček, 15 má barevný potisk a 6 je bez potisku. Zkrabice náhodně vybereme několik skleniček. Určete pravděpodobnost, že druhávybraná sklenička má potisk, když první sklenička byla také s potiskem, za před-pokladu, že jsme jí do krabicea) nevrátili,b) vrátili zpět.

2. Střelec má střílet do dvou částečně maskovaných cílů, do druhého však pouze tehdy,pokud zasáhne cíl první. Pravděpodobnost zásahu prvního cíle je 35 . Pravděpodob-nost zásahu obou cílů při obou výstřelech je 25 . Jaká je pravděpodobnost zásahudruhého cíle?

3. První dělník vyrobí denně 60 výrobků, z toho 10% zmetků. Druhý dělník vyrobídenně 40 výrobků, z toho 5% zmetků. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vy-braný výrobek z denní produkce je zmetek a pocházía) od prvního dělníka,b) od druhého dělníka?

4. Z urny v níž je a bílých a b černých koulí, vybereme postupně bez vracení dvěkoule. Jaká je pravděpodobnost, že druhá koule je bílá za předpokladu, že prvníbyla bílá?

5. Z pěti výrobků, mezi nimiž jsou 3 zmetky, vybíráme třikrát bez vracení po jednomvýrobku. Označme A1 jev: „1. vybraný výrobek je kvalitníÿ, A2 jev: „2. vybranývýrobek je zmetekÿ, A3 jev: „3. vybraný výrobek je zmetekÿ. Vypočtěte pravdě-podobnost společného nastoupení jevů A1, A2, A3.

6. Z karetní hry o 32 kartách taháme postupně 11 krát po sobě bez vracení po jednékartě. Jaká je pravděpodobnost, že eso bude taženo až v posledním tahu?

7. V urně jsou 4 černé a 4 bílé kuličky. Náhodně vybereme čtyřikrát po dvou kuličkáchtak, že vybrané kuličky nebudeme vracet zpět do urny. Jaká je pravděpodobnost,že ve všech výběrech vytáhneme 1 černou a 1 bílou kuličku?

8. Řada v kinosále obsahuje 2n míst. Za předpokladu, že tuto řadu obsadí n mužůa n žen, jaká je pravděpodobnost, že žádné dvě osoby stejného pohlaví nebudousedět vedle sebe?

9. Hodíme dvě hrací kostky. Značí-li A, B a C postupně jevy, že součet ok na oboukostkách je dělitelný dvěma, třemi a čtyřmi, prověřte párové nezávislosti těchtojevů a zjistěte, zda A, B, C jsou vzájemně nezávislé.


10. Hodíme dvě hrací kostky. Určete pravděpodobnosti v jednotlivých úlohách a roz-hodněte, zda formulované jevy jsou nezávislé:a) na druhé kostce bude počet ok větší než 2, když na první kostce padla 2 oka,b) na obou kostkách bude součet větší než 6, když na první kostce padla 2 oka,c) na druhé kostce bude počet ok menší než 4, když na první kostce padl lichýpočet ok,

d) na obou kostkách bude součet větší než 9, když na první kostce padl sudý početok.

11. Máme dvě urny, ve kterých je po jedné bílé a jedné černé kuličce. Z každé urnynáhodně vybereme jednu kuličku. Značí-li A jev ”z 1. urny vybereme bílou kuličku”,B jev ”ze 2. urny vybereme černou kuličku” a C jev ”z obou uren vybereme 2kuličky stejné barvy”. Prověřte párové nezávislosti těchto jevů a zjistěte, zda A, B,C jsou vzájemně nezávislé.

Řešení.1. a) 710 ; b)

57 ;

2. 23 ;3. a) 0,06; b) 0,02;4. a−1

a+b−1 ;5. 0,2;6. 0,03698;7. 0,229;8. 2 · (n!)

2

(2n)! ;9. A, B jsou nezávislé; A, C a B, C nejsou nezávislé; A, B, C nejsou vzájemně nezávislé;10. a) 2/3; ano b) 1/3; ne c) 1/2; ano d) 2/9; ne;11. párově nezávislé ano; vzájemně nezávislé ne.


[Budíková]: str. 13–19,[Hebák]: str. 15–37,[Kříž 1]: str. 32–38,[Marek]: str. 45–57.

1.8 Pravidlo o sčítání pravděpodobností

Nyní se zaměříme na výpočet pravděpodobnosti nastoupení alespoň jednoho z da-ných jevů.

1.8.1 Věta. (Věta o sčítání pravděpodobností)a) Pro libovolné dva jevy A, B platí, že pravděpodobnost jejich sjednocení se rovnásoučtu pravděpodobností těchto jevů zmenšenému o pravděpodobnost jejich prů-niku, tj.

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B).


b) Obecně pro s libovolných jevů A1, A2, . . . , As platí

P (A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ As) =s∑

i=1

P (Ai)−s−1∑i=1

s∑j=i+1

P (Ai ∩ Aj) +

+s−2∑i=1

s−1∑j=i+1

s∑k=j+1

P (Ai ∩ Aj ∩ Ak) + · · ·+ (1.7)

+ (−1)s−1P (A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ As).

Důkaz.a) Uvažujme dva libovolné jevy A ∈ Ω a B ∈ Ω, potom jev A∪B lze vyjádřit jako sjednocenídvou neslučitelných jevů A a A ∩B, tj.

A ∪B = A ∪ (A ∩B).

Podle axiomu 3 definice 1.3.1 platí

P (A ∪B) = P (A) + P (A ∩B).

Současně platí B = (A∩B)∪ (A∩B) a (A∩B)∩ (A∩B) = Ø, tedy P (B) = P (A∩B)++ P (A ∩B). Protože P (A ∩B) = P (B)− P (A ∩B), dostaneme po úpravě

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B).

b) Pro s libovolných jevů Ai ∈ Ω, i = 1, . . . , s, postupujeme analogicky.

1.8.2 Poznámky.1. Například pro s = 3 dostáváme podle (1.7)

P (A1 ∪ A2 ∪ A3) = P (A1) + P (A2) + P (A3)− P (A1 ∩ A2)− P (A1 ∩ A3)−− P (A2 ∩ A3) + P (A1 ∩ A2 ∩ A3).

2.Výpočet pravděpodobnosti nastoupení alespoň jednoho z daných jevů lze zjednodušitv případě, že jevy A, B, resp. A1, A2, . . . , As, jsou neslučitelné:

P (A ∪B) = P (A) + P (B)

resp.P (A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ As) = P (A1) + P (A2) + · · ·+ P (As). (1.8)

1.8.3 Příklad. Jsou vrženy dvě hrací kostky. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň najedné z nich padne číslo 5?

Řešení. Označme jevy:A . . . „na 1. kostce padne číslo 5ÿ,B . . . „na 2. kostce padne číslo 5ÿ.


Za daného označení vyjádříme jev „alespoň na jedné z nich padne číslo 5ÿ jako A∪B.Podobně A ∩ B značí jev „na obou kostkách padne číslo 5ÿ. Dále víme, že P (A) = 1

6 ,P (B) = 1

6 a protože jevy A a B jsou nezávislé, je

P (A ∩B) = P (A) · P (B) = 16· 16=136

.= 0,028.

Vzhledem k tomu, že jevy A, B jsou slučitelné, platí podle věty 1.8.1

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) =16+16− 136=1136

.= 0, 305.

1.8.4 Příklad. Čtyři osoby si na věšák odložily 4 klobouky. Při odchodu si kloboukyvybrali náhodně. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň jedna osoba si vzala svůj klo-bouk?

Řešení. Označme Ai jev „i-tá osoba si vzala svůj kloboukÿ pro i = 1, 2, 3, 4. Dáleoznačme A jev „alespoň jedna osoba si vzala svůj kloboukÿ. Zřejmě

A = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 =4⋃

i=1

Ai.

Jevy Ai nejsou nezávislé, a proto využijeme vztahu (1.7). Užitím klasické definice prav-děpodobnosti 1.4.1 určíme nejprve pravděpodobnost P (Ai). Je zřejmé, že počet všechmožností, kterými lze rozdělit 4 klobouky mezi 4 osoby je n = P (4) = 4!. Podobněpočet možností příznivých jevu Ai (tj. i-tá osoba si vzala svůj klobouk a ostatní 3 osobysi klobouky rozeberou náhodně) je m = P (3) = 3!. Dosazením do (1.1) dostáváme

P (Ai) =m

n=3!4!

.

Analogicky určíme pravděpodobnosti

P (Ai ∩ Aj) =2!4!

,

P (Ai ∩ Aj ∪ Ak) =1!4!

,

P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4) =14!

.

Dosazením do (1.7) dostáváme hledanou pravděpodobnost

P (A) =4∑

i=1

P (Ai)−3∑

i=1

4∑j=i+1

P (Ai ∩ Aj) +2∑

i=1

3∑j=i+1

4∑k=j+1

P (Ai ∩ Aj ∩ Ak)−

− P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4) =

(41

)3!4!−(42

)2!4!+

(43

)14!−(44

)14!=

=1524= 0,625.


1.8.5 Poznámka. Při výpočtu pravděpodobnosti nastoupení alespoň jednoho z jevůA1, A2, . . . , As jsme používali pravidlo o sčítání pravděpodobností (viz (1.7)). Ovšemv případě nezávislosti těchto jevů se situace výrazně zjednoduší, neboť pro nezávisléjevy A, B lze užitím de Morganova pravidla psát

P (A ∪B) = 1− P (A ∪B) = 1− P (A ∩B) = 1− P (A)P (B).

Podobně pro s nezávislých jevů A1, A2, . . . , As platí

P (A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ As) = 1− P (A1)P (A2) · · ·P (As). (1.9)

1.8.6 Příklad. Střelec střílí třikrát nezávisle na sobě do terče. Pravděpodobnostizásahu při prvním, druhém a třetím výstřelu jsou postupně 0,4, 0,5 a 0,7. Jaká jepravděpodobnost, že střelec zasáhne cíla) právě jedenkrát,b) alespoň jedenkrát?

Řešení. Označme uvedené jevy takto:Ai . . . „střelec zasáhne pří i-tém výstřelu cílÿ, i = 1, 2, 3,A . . . „střelec zasáhne cíl právě jedenkrátÿ,B . . . „střelec zasáhne cíl alespoň jedenkrátÿ.

Jevy Ai jsou zřejmě nezávislé (skutečnost, že se střelec „zastřelujeÿ, je vyjádřena ros-toucí pravděpodobností zásahu při dalších výstřelech).a) Jev A lze vyjádřit jako

A = (A1 ∩ A2 ∩ A3) ∪ (A1 ∩ A2 ∩ A3) ∪ (A1 ∩ A2 ∩ A3),

přičemž hledaná pravděpodobnost je vzhledem k nezávislosti jevů rovna

P (A) = 0,4 · 0,5 · 0,3 + 0,6 · 0,5 · 0,3 + 0,6 · 0,5 · 0,7 = 0,36.

b) Podobně jev B vyjádříme jako

B = A1 ∪ A2 ∪ A3.

Hledanou pravděpodobnost určíme vzhledem k nezávislosti užitím vztahu (1.9)

P (B) = P (A1 ∪ A2 ∪ A3) = 1− P(A1)P(A2)P(A3)= 1− 0,6 · 0,5 · 0,3 = 0,91.


1. V urně je 6 koulí s čísly 1, 2, . . . , 6. Koule vybíráme náhodně bez vracení. Jaká jepravděpodobnost, že alespoň při jednom tahu bude číslo koule shodné s pořadímtahu?


2. Hodíme najednou 6 kostek. Jaká je pravděpodobnost, že každé z čísel 1, 2, . . . , 6padne alespoň jedenkrát?

3. Pravděpodobnost, že investice přinese firmě zisk je 0,3. Jaká je pravděpodobnost,že se z šesti nezávislých investic firmě vyplatí alespoň jedna?

4. Pravděpodobnost, že semínko vyklíčí, je 23 . Zasejeme-li 6 semínek, jaká je pravdě-podobnost, že alespoň jedno vyklíčí?

5. Při zásahu cíle se rozsvítí žárovka. Na cíl střílejí nezávisle na sobě 4 střelci, kteřízasáhnou cíl s pravděpodobnostmi 0,55, 0,42, 0,36 a 0,22. Každý střelec vystřelíjedenkrát. Jaká je pravděpodobnost, že se žárovkaa) rozsvítí,b) nerozsvítí?

6. V dílně pracuje nezávisle na sobě 8 strojů. Pravděpodobnosti, že první, druhý, . . . ,osmý stroj nebude potřebovat během směny opravu, jsou 0,80, 0,89, 0,84, 0,90,0,85, 0,92, 0,86 a 0,95. Jaká je pravděpodobnost, že během směnya) ani jeden stroj nebude potřebovat opravu,b) alespoň jeden stroj bude potřebovat opravu,c) 1., 3. a 5. stroj budou potřebovat opravu, ostatní ne?

Řešení.1. 0,6319;2. 0,0154;3. 0,8824;4. 728729 ;5. a) 0,870; b) 0,130;6. a) 0,344; b) 0,656; c) 0,003.


[Budíková]: str. 6–12,[Kříž 1]: str. 32–38.

1.9 Úplná pravděpodobnost a Bayesův vzorec

V následujícím modulu se budeme nejprve zajímat o pravděpodobnost jevuA ⊆ Ω za předpokladu, že základní prostor Ω je specificky rozdělen na n podmnožinH1, H2, . . . , Hn (viz definice 1.9.1). V další části soustředíme za daných podmínekpozornost na výpočet podmíněných pravděpodobností P (Hi|A), i = 1, 2, . . . , n (vizvěta 1.9.5).

1.9.1 Definice. Jevy H1, H2, . . . , Hn tvoří úplný systém neslučitelných jevů,jestliže jsou vzájemně neslučitelné a jejich sjednocení dává základní prostor ele-mentárních jevů Ω.


Obr. 1.4 Úplný systém neslučitelných jevů

1.9.2 Poznámky.

1. Pro jevy Hi tedy platí Hi ∩Hj = Ø, i 6= j an⋃

i=1Hi = H1 ∪H2 ∪ . . . ∪Hn = Ω.

2. Podle axiomu 3 definice 1.3.1 platí

P

(n⋃

i=1

Hi

)= P (H1∪H2∪ . . .∪Hn) = P (H1)+P (H2)+ · · ·+P (Hn) =

n∑i=1

P (Hi) = 1.

3. Dále se budeme zajímat o pravděpodobnost jevu A, když známe podmíněné prav-děpodobnosti P (A|Hi) a pravděpodobnosti P (Hi), i = 1, 2, . . . , n. Vzhledem k tomu, žejevyH1, H2, . . . , Hn jsou neslučitelné, jsou neslučitelné také jevyA∩H1, A∩H2, . . . , A∩Hn

a můžeme psát

A = A ∩ Ω = (A ∩H1) ∪ (A ∩H2) ∪ . . . ∪ (A ∩Hn).

Pravděpodobnost jevu A je potom

P (A) = P

(n⋃

i=1

(A ∩Hi)

)=

n∑i=1

P (A ∩Hi) =n∑

i=1

P (Hi)P (A|Hi).

1.9.3 Věta. Vztah

P (A) =n∑

i=1

P (Hi)P (A|Hi) (1.10)

nazýváme formulí úplné pravděpodobnosti jevu A.

Důkaz. Plyne přímo z věty 1.7.1 a předchozí poznámky 3.

1.9.4 Poznámka. Vztah (1.10) uplatníme tehdy, jestliže nastoupení jevu A je spo-jeno s nastoupením právě jednoho z jevů H1, H2, . . . , Hn, přičemž známe nepodmíněné


pravděpodobnosti P (Hi) těchto jevů a podmíněné pravděpodobnosti P (A|Hi) jevu Avzhledem k těmto jevům.

1.9.5 Věta. Víme-li, že výsledkem náhodného pokusu je jev A, můžeme stanovittaké podmíněné pravděpodobnosti P (Hi|A) hypotéz Hi vzhledem k jevu A pomocíBayesova vzorce

P (Hi|A) =P (Hi)P (A|Hi)

n∑j=1

P (Hj)P (A|Hj), i = 1, 2, . . . , n. (1.11)

Důkaz. Vzorec (1.11) plyne přímo z 1.4 a 1.10.

1.9.6 Poznámka. Náhodné jevy Hi, které vystupují v Bayesově vzorci, se nazývajíhypotézami jevu A a o jevech H1, H2, . . . , Hn říkáme, že tvoří úplný systém hypotézjevu A. Na základě pokusu, jehož výsledkem je jev A, se má rozhodnout, která z hy-potéz H1, H2, . . . , Hn platí. Rozhodnutí se provádí pomocí hodnot pravděpodobnostíP (Hi|A), které se nazývají aposteriorní pravděpodobnosti, protože se stanovují až poprovedení pokusu a to pomocí (1.11). Proti tomu pravděpodobnosti P (Hi) se nazý-vají apriorní, neboť se počítají ještě před provedením pokusu, jehož výsledkem je jevA. Bayesův vzorec tedy umožňuje výpočet aposteriorních pravděpodobností pomocíapriorních.

1.9.7 Příklad. Potřebu smrkových sazenic kryje lesní závod produkcí dvou školek.První školka kryje 75% výsadby, přičemž ze 100 sazenic je 80 první jakosti. Druháškolka kryje výsadbu z 25%, přičemž na 100 sazenic připadá 60 první jakosti. Jaká jepravděpodobnost, že náhodně vybraná sazenice je první jakosti?

Řešení. Označme:A . . . „náhodně vybraná sazenice je první jakostiÿ,H1 . . . „náhodně vybraná sazenice je z produkce první školkyÿ,H2 . . . „náhodně vybraná sazenice je z produkce druhé školkyÿ.

PotomP (H1) = 0,75, P (A|H1) = 0,80,

P (H2) = 0,25, P (A|H2) = 0,60,

z čehož plyne dle (1.10)

P (A) = P (H1)P (A|H1) + P (H2)P (A|H2) = 0,75 · 0,80 + 0,25 · 0,60 = 0,75.


1.9.8 Příklad. Součástka zapojená v televizoru může být od tří výrobců s pravdě-podobnostmi 0,3, 0,5, 0,2. Pravděpodobnosti, že součástka od jednotlivých výrobcůvydrží předepsaný počet hodin, jsou 0,2, 0,4, 0,3.a) Vypočtěte pravděpodobnost, že náhodně vybraná součástka vydrží předepsaný po-čet hodin.

b) Za předpokladu, že součástka vydržela předepsaný počet hodin, vypočtěte, s jakýmipravděpodobnostmi byla od jednotlivých výrobců.

Řešení. Označme jevy takto:A . . . „vybraná součástka vydrží předepsaný počet hodinÿ,Hi . . . „vybraná součástka je od i-tého výrobceÿ, i = 1, 2, 3,A|Hi . . . „vybraná součástka vydrží předepsaný počet hodin za podmínky, že je od

i-tého výrobceÿ.

Ze zadání úlohy plyne

P (H1) = 0,3, P (H2) = 0,5, P (H3) = 0,2.

Jevy Hi tvoří úplný systém neslučitelných jevů, neboť vybraná součástka je určitě odněkterého ze tří výrobců a to pouze od jednoho. Dále jsou známé pravděpodobnosti

P (A|H1) = 0,2, P (A|H2) = 0,4, P (A|H3) = 0,3.

a) Pravděpodobnost jevu A určíme dle formule pro úplnou pravděpodobnost (viz(1.10))

P (A) =3∑

i=1

P (Hi)P (A|Hi) = 0,3 · 0,2 + 0,5 · 0,4 + 0,2 · 0,3 = 0,32.

b) Podmíněné pravděpodobnosti P (Hi|A), tj. že daná součástka je od i-tého výrobceza podmínky, že vydržela předepsaný počet hodin, určíme podle Bayesova vzorce(viz (1.11))

P (Hi|A) =P (Hi)P (A|Hi)

P (A), i = 1, 2, 3.

Tedy

P (H1|A) =0,3 · 0,20,32

= 0,1875,

P (H2|A) =0,5 · 0,40,32

= 0,625,

P (H3|A) =0,2 · 0,30,32

= 0,1875.

Odtud tedy plyne, že součástka, která vydržela předepsaný počet hodin je s největšípravděpodobností od 2. výrobce.



1. V osudí je 5 černých a 15 bílých koulí. Z osudí se vytáhne jedna koule, vrátí sezpět, přidá se 20 koulí téže barvy, jakou měla vytažená koule, a tah se opakuje.Jaká je pravděpodobnost, že druhá vytažená koule bude černá?

2. Ve studijní skupině je 23 posluchačů. Pravděpodobnost složení zkoušky je pro 8posluchačů 0,9, pro 12 posluchačů 0,6 a pro 3 posluchače 0,4. Určete pravděpodob-nost, že náhodně zvolený posluchač tuto zkoušku složí.

3. Velkoobchod odebírá počítače od dvou dodavatelů. První dodavatel pokrývá odběrvelkoobchodu z 80%, přičemž 75% dodávky tvoří počítače osazené procesoremIntel. Druhý dodavatel pokrývá odběr velkoobchodu ze zbývajících 20%, přičemž60% dodávky tvoří počítače osazené procesorem Intel. Jaká je pravděpodobnost,že náhodně vybraný počítača) bude osazen procesorem Intel,b) s procesorem Intel pochází od prvního, resp. druhého dodavatele?

4. Pojišťovací společnost rozlišuje při pojišťování tři skupiny řidičů, ozn. A, B, C.Pravděpodobnost toho, že řidič patřící do A bude mít během roku nehodu, je 0,03,zatímco u řidiče skupiny B je to 0,06 a u řidiče skupiny C 0,10. Podle dlouhodobýchzáznamů společnosti je 70% pojistných smluv uzavřeno s řidiči skupiny A, 20%s řidiči skupiny B a 10% s řidiči skupiny C. Jestliže došlo k nehodě pojištěnéhořidiče, jaká je pravděpodobnost, že patří do skupinya) A,b) B,c) C?

5. V četě je 25 vojáků, kteří jsou různě kvalitní střelci, 5 je výtečných, 11 je dobrých,7 je průměrných a 2 jsou špatní střelci. Pravděpodobnosti zásahu cíle u těchto 4skupin vojáků jsou 0,9, 0,7, 0,5 a 0,3.a) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný voják zasáhne jedním výstřelemcíl?

b) Vybraný voják cíl nezasáhl. Mezi jaké vojáky s největší pravděpodobností patří?

Řešení.1. 0,25;2. 0,6783;3. a) 0,72; b) 0,833 resp. 0,167;4. a) 0,488; b) 0,279; c) 0,233;5. a) 0,652; b) mezi průměrné.


[Budíková]: str. 13–19,[Hebák]: str. 29–37,[Kříž 1]: str. 38–41,[Marek]: str. 51–57.


1.10 Shrnutí 1. kapitoly

Klíčová slova:

pokus, náhodný pokus, náhodný jev, pojem pravděpodobnosti, vlastnosti pravdě-podobnosti, klasická a geometrická pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost,pravidlo o násobení pravděpodobností, pravidlo o sčítání pravděpodobností, nezávis-lost jevů, úplný systém neslučitelných jevů, formule úplné pravděpodobnosti, Bayesůvvzorec

Základní úlohy:

• Popis náhodných jevů pomocí množinových operací.• Výpočet pravděpopodobnosti pomocí klasické a geometrické definice pravděpodob-nosti.

• Výpočet pravděpopodobnosti nastoupení alespoň jednoho z jevů a pravděpodob-nosti společného nastoupení jevů.

• Ověření nezávislosti a výpočet pravděpodobnosti za předpokladu nezávislosti da-ných jevů.

• Výpočet úplné a podmíněné pravděpodobnosti.

Doporučená literatura pro hlubší studium:

[Budíková]: str. 5–25, odstavce 2.1–2.3, 3.1, 3.2, 4.1, 4.2, 5.1, 5.2,[Cyhelský]: str. 83–103, odstavce 5.1–5.4,[Hindls]: str. 55–62, odstavce 3.1, 3.2,[Karpíšek]: str. 30–50, odstavce 2.1–2.6.

1.11 Test ke kapitole 1

A. Teoretická část

Rozhodněte, která tvrzení jsou pravdivá:a) Jev nemožný Ø je elementárním jevem každého náhodného pokusu.b) Pro libovolné dva jevy A, B platí: A ∩B = A ∩B.

c) Pro libovolné dva jevy A, B platí: A ∪B = A ∩B.d) Je-li pravděpodobnost daného jevu rovna 1, jedná se o jev jistý.e) Jsou-li jevy A, B neslučitelné, platí P (A ∪B) = P (A) + P (B).f) Jsou-li jevy A, B nezávislé, platí P (A) · P (B) = P (B ∩ A).g) V případě, že jsou jevy A, B nezávislé, platí P (A|B) = P (B).

h) Tvoří-li jevy H1, H2, . . . , Hn úplný systém neslučitelných jevů, platí P (n⋂

i=1Hi) = 1.

i) Tvoří-li jevy H1, H2, . . . , Hn úplný systém neslučitelných jevů, platín∑

i=1P (Hi) = 1.


B. Praktická část

1. Uvažujme následující jevy při hodu hrací kostkou: A . . . „padne sudé čísloÿ,B . . . „padne číslo větší než 2ÿ, C . . . „padne číslo dělitelné třemiÿ, D . . . „padnečíslo 2 nebo 3ÿ. Určete význam následujících jevů:a) A ∪B, C ∪D, A ∪ C, B ∪ C,b) A ∩D, B ∩ C, A ∩B, C ∩D,c) A− C, B −D.

2. V krabici je 10 šroubů s pravotočivým závitem a 5 s levotočivým závitem. Náhodněvybereme 3 šrouby. Jaká je pravděpodobnost, žea) všechny 3 šrouby budou mít pravotočivý závit,b) 1 šroub bude mít levotočivý závit,c) alespoň 1 šroub bude mít levotočivý závit?

3. Z osudí, ve kterém je 6 bílých a 4 černé koule, vybereme třikrát bez vracení po jednékouli. Označme A1 jev: „1. vybraná koule je černáÿ, A2 jev: „2. vybraná koule jebíláÿ, A3 jev: „3. vybraná koule je černáÿ. Vypočtěte pravděpodobnost společnéhonastoupení jevů A1, A2, A3.

4. Jevy A1, A2, A3 jsou nezávislé, P (A1) = 0,4, P (A2) = 0,4, P (A3) = 0,25. Vypočtětepravděpodobnost nastoupení alespoň jednoho z jevů A1, A2, A3.

5. Do obchodu s potravinami dodávají rohlíky stejného druhu 3 pekárny v počtech500, 1000 a 1500 kusů denně. Zmetkovitost jejich dodávek je postupně 5%, 4% a3%. Jejich dodávky jsou v obchodě smíchány do celkové zásoby. Určete pravděpo-dobnost, žea) náhodně vybraný rohlík z celkové zásoby je zmetek,b) tento rohlík (zmetek) byl dodán první pekárnou,c) tento rohlík (zmetek) byl dodán druhou pekárnou,d) tento rohlík (zmetek) byl dodán třetí pekárnou.

Řešení.A.a) nepravda; b) nepravda; c) pravda; d) nepravda; e) pravda; f) pravda; g) nepravda;h) nepravda; i) pravda.B.1. a) padne číslo větší než 1; padnou čísla 2 nebo 3 nebo 6; padne číslo menší než 6;nepadne číslo dělitelné třemi; b) padne číslo 2; padne číslo dělitelné třemi; padnečíslo 3 nebo 5; padne číslo 1 nebo 4 nebo 5; c) padne sudé číslo menší než 5; padnečíslo větší než 3;

2. a) 0,264; b) 0,495; c) 0,736;3. 0,1;4. 0,73;5. a) 0,03667; b) 0,22727; c) 0,36364; d) 0,40909.


2 NÁHODNÁ VELIČINA

V předchozí kapitole jsem se seznámili s pojmy náhodný pokus, náhodný jev a prav-děpodobnost náhodného jevu. Při řešení úloh z oblasti pravděpodobnosti nahrazujemepůvodní náhodné jevy určitými hodnotami proměnlivé veličiny, kterou nazveme ná-hodná veličina. V této kapitole se zaměříme právě na otázky spojené s náhodnými ve-ličinami, na jejich popis pomocí funkcí (distribuční funkce, pravděpodobnostní funkce,funkce hustoty pravděpodobnosti) a číselných charakteristik (např. střední hodnotaa rozptyl).

Cílem kapitoly je:

• zavést pojem náhodná veličina,• ukázat popis náhodné veličiny pomocí distribuční funkce, pravděpodob-nostní funkce a funkce hustoty pravděpodobnosti,

• definovat číselné charakteristiky náhodné veličiny.

2.1 Náhodná veličina

Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodukostkou padne 6, při zvážení zjistíme hmotnost bochníku chleba 805 g, při měřenímaximální rychlosti automobilu Škoda Fábia zjistíme hodnotu 181,3 km/h). Náhodnouveličinou budeme rozumět číselné ohodnocení výsledku náhodného pokusu.

2.1.1 Definice. Náhodná veličina je reálná funkce X(ω) definovaná na množiněelementárních jevů Ω. Každému elementárnímu jevu ω z množiny elementárních jevůΩ přiřazuje právě jedno reálné číslo X(ω) = x. Obor hodnot veličiny X je množinaM = x;X(ω) = x.

Náhodné veličiny značíme velkými písmeny z konce abecedy X, Y, . . . (příp.X1, X2, . . . ) a jejich konkrétní realizace malými písmeny x, y, . . . . Pomocí náhod-ných veličin můžeme zavést náhodné jevy např. X = x0, což znamená, že náhodnávečina X nabývá hodnoty x0, X ≤ x0, znamenajicí, že náhodná veličina X nabýváhodnoty menší nebo rovné hodnotě x0, zápisem x1 < X < x2 pak rozumíme jev, kdynáhodná veličina X nabývá hodnot z intervalu (x1, x2) a podobně.Náhodnou veličinou je např. životnost výrobku, která může teoreticky nabýt jakékoli

nezáporné hodnoty, doba čekání na obsluhu, u níž je rovněž M = x;x > 0, početporuch na zařízení během 100 hodin provozu, kde M = x;x = 0, 1, 2, 3, . . . .


Podle oboru hodnot M rozdělujeme náhodné veličiny na

• nespojité (diskrétní) . . .M je konečná nebo spočetná množina,

• spojité . . .M je uzavřený nebo otevřený interval.

2.1.2 Příklad.Diskrétní náhodná veličina: počet členů domácnosti (M = 1, 2, . . . ), počet poruchstroje během jedné pracovní směny (M = 0, 1, 2, . . . ), počet rozbitých lahví v zásilce1000 lahví (M = 0, 1, 2, . . . , 1000), počet narozených chlapců mezi 500 novorozeňaty(M = 0, 1, 2, . . . , 500), apod.Spojitá náhodná veličina: hmotnost rohlíku (M = (0,∞)), množství alkoholu v desti-látu měřené v procentech (M = (0, 100)), hodnota elektrického napětí v rozvodné síti(M = 〈0,∞)), doba čekání na vlak metra, který jezdí v pravidelných 10minutovýchintervalech (M = 〈0, 10)) apod.


1. Rozhodněte, zda se jedná o spojitou nebo diskrétní náhodnou veličinu a určete jejíobor hodnot.a) součet ok při hodu 3 hracími kostkami,b) čekání na tramvaj, která jezdí v pravidelných 5minutových intervalech,c) počet vyklíčených semen z 50 zasazených,d) počet zákazníků u benzínového čerpadla za den,e) výkon v běhu na 400 metrů,f) koncentrace prachu v ovzduší (v procentech).

2. Z oblasti vlastní profesní nebo zájmové činnosti stanovte diskrétní, případně spojiténáhodné veličiny, jejichž obory jsoua) (0,∞),b) 1, 2, . . . ,c) 〈0, 30),d) 0, 1, 2, . . . , n, kde n je přirozené číslo.

Řešení.1. a) diskrétní M = 3, 4, 5, . . . , 18; b) spojitá M = 〈0, 5); c) diskrétní M == 0, 1, 2, . . . , 50; d) diskrétníM = 0, 1, 2, . . . , ; e) spojitáM = (0,∞); f) spojitáM = (0, 100).

2. a) např. výkon ve vrhu koulí; b) např. počet hodů kostkou, které je třeba provést,dokud nepadne šestka; c) např. doba čekání na autobus, který jezdí v pravidel-ných intervalech délky 30 minut; d) např. počet hodů, v nichž na minci padne líc,opakujeme-li hod n-krát.


2.2 Distribuční funkce náhodné veličiny

Pro úplný popis náhodné veličiny je nutné znát nejen množinu hodnot M , alei pravděpodobnosti výskytu těchto hodnot (zákon rozdělení pravděpodobností náhodnéveličiny).

Zákon rozdělení pravděpodobností – pravidlo, které každé množině B hodnot ná-hodné veličiny přiřazuje pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnotyz množiny B.

Popis náhodné veličiny provádíme nejčastěji pomocí funkcí a pomocí charakteristik.Budeme definovat

• distribuční funkci F (x),• pravděpodobnostní funkci p(x),• funkci hustoty pravděpodobnosti f(x).

Dále zavedeme

• charakteristiky polohy,• charakteristiky variability,• charakteristiky koncentrace.

2.2.1 Definice. Distribuční funkce F (x) náhodné veličiny X přiřazuje každémureálnému číslu x pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnoty menšínebo rovné číslu x, tedy

F (x) = P (X ≤ x).

Uvedeme některé důležité vlastnosti distribuční funkce F (x):

1. pro každé reálné číslo x platí 0 ≤ F (x) ≤ 1,2. F (x) je neklesající, zprava spojitá funkce,

3. pro každou distribuční funkci platí

limx→−∞

F (x) = 0, limx→∞

F (x) = 1,

pokud je obor možných hodnot M = x;x ∈ (a, b〉, potom F (a) = 0 a F (b) = 1,

4. pro každá reálná čísla x1 a x2 platí P (x1 < X ≤ x2) = F (x2)− F (x1).

Pomocí distribuční funkce se popisují diskrétní i spojité náhodné veličiny.


2.3 Pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny

Pro popis diskrétní (nespojité) náhodné veličiny se používá pravděpodobnostnífunkce.

2.3.1 Definice. Pravděpodobnostní funkce p(x) náhodné veličiny X přiřazuje kaž-dému reálnému číslu x pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude této hodnoty,tedy

p(x) = P (X = x).

Zmíníme některé důležité vlastnosti pravděpodobnostní funkce p(x):

1. pro každé reálné číslo x platí 0 ≤ p(x) ≤ 1,

2. součet pravděpodobností přes celý obor hodnot náhodné veličiny je roven 1, tedy∑x∈M

p(x) = 1,

3. pro každé reálné číslo x platí

F (x) = P (X ≤ x) =∑xi≤x

p(xi), (2.1)

4. pro každá 2 reálná čísla x1 a x2 (x1 ≤ x2) platí

P (x1 ≤ X ≤ x2) =x2∑

xi=x1

p(xi).

Pravděpodobnostní funkci p(x) můžeme vyjádřit

• tabulkou,x x1 x2 . . . xi . . .

∑p(x) p(x1) p(x2) . . . p(xi) . . . 1

• grafem [x, p(x)] (viz obr. 2.1),

• matematickým vzorcem, např.

p(x) =

π(1− π)x pro x = 0, 1, 2, . . . ,0 jinak,

kde π je daná pravděpodobnost.


Obr. 2.1 Graf pravděpodobnostní funkce

2.3.2 Příklad. Střelec má celkem 3 náboje a střílí na cíl až do prvního zásahu nebo do-kud nevystřílí všechny náboje. Pravděpodobnost zásahu cíle při jednom výstřelu je 0,6.Náhodná veličina X představuje počet vystřelených nábojů. Popište tuto náhodnouveličinu pomocí pravděpodobnostní a distribuční funkce. Jaká je pravděpodobnost, žepočet vystřelených nábojů nebude větší než 2?

Řešení. Jedná se o diskrétní náhodnou veličinu, která může nabývat pouze hodnot1, 2 nebo 3. Obor hodnot této náhodné veličiny je tedy M = 1, 2, 3. Určíme nyníhodnoty pravděpodobnostní funkce:p(1) = P (X = 1) = 0,6,p(2) = P (X = 2) = 0,4 · 0,6 = 0,24,p(3) = P (X = 3) = 0,4 · 0,4 · 0,6 + 0,4 · 0,4 · 0,4 = 0,4 · 0,4 = 0,16.Hodnota pravděpodobnostní funkce v bodě 1 odpovídá tomu, že cíl je zasažen při 1.výstřelu, hodnota pravděpodobnostní funkce v bodě 2 odpovídá možnosti, že 1. střelaje mimo, 2. výstřelem zasáhne cíl, hodnota v bodě 3 (byly použity všechny 3 náboje)odpovídá tomu, že cíl byl buď zasažen až 3. výstřelem, nebo nebyl zasažen vůbec.Výsledky shrneme do tabulky.

x 1 2 3∑

p(x) 0,6 0,24 0,16 1

Pravděpodobnostní funkci můžeme pomocí vzorce vyjádřit

p(x) =

0,6 · 0,4x−1 pro x = 1, 2,0,42 x = 3,0 jinak.

V případě diskrétní náhodné veličiny získáme hodnoty distribuční funkce pomocí vzorce(2.1). Určíme nyní některé hodnoty funkce F (x):F (0) = P (X ≤ 0) = 0,F (1) = P (X ≤ 1) = p(1) = 0,6,


F (1,5) = P (X ≤ 1,5) = P (X ≤ 1) = p(1) = 0,6,F (2) = P (X ≤ 2) = p(1) + p(2) = 0,84,F (3) = P (X ≤ 3) = p(1) + p(2) + p(3) = 1,F (4) = P (X ≤ 4) = p(1) + p(2) + p(3) = 1.Tyto výsledky můžeme shrnout do vzorce

F (x) =

0 pro x < 1,0,6 1 ≤ x < 2,0,84 2 ≤ x < 3,1 x ≥ 3.

Lze je také vyjádřit tabulkou.

x 1 2 3∑

p(x) 0,6 0,24 0,16 1F (x) 0,6 0,84 1 —

Grafy pravděpodobnostní a distribuční funkce jsou zobrazeny na obr. 2.2.

Obr. 2.2 Pravděpodobnostní a distribuční funkce

Vypočítáme nyní pravděpodobnost, že počet vystřelených nábojů nebude většínež 2:P (X ≤ 2) = F (2) = P (X = 1) + P (X = 2) = p(1) + p(2) = 0,6 + 0,24 = 0,84.


1. Pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny X nabývá hodnoty p(x) = 0,02 0,070,18 0,25 0,30 0,18 pro x = −1, 0, 1, 2, 3, 4 a p(x) = 0 jinak.a) Určete distribuční funkci. Nakreslete graf pravděpodobnostní a distribučnífunkce.

b) Vypočítejte pravděpodobnosti P (X < 3), P (X ≥ 0) a P (0 ≤ X < 4).


2. Pro distribuční funkci náhodné veličiny X platí

F (x) =

0 pro x < 0,0,125 0 ≤ x < 1,0,5 1 ≤ x < 2,0,875 2 ≤ x < 3,1 x ≥ 3.

a) Určete pravděpodobnostní funkci. Nakreslete graf pravděpodobnostní a distri-buční funkce.

b) Vypočítejte pravděpodobnosti P (X < 2), P (X ≥ 1) a P (1 ≤ X < 3).

3. Hráč hází třikrát kostkou. Nechť náhodná veličina X představuje počet hodů, přinichž padne šestka.a) Popište tuto náhodnou veličinu pomocí pravděpodobnostní a distribuční funkce,nakreslete jejich graf.

b) Jaká je pravděpodobnost, že při 3 hodech kostkou padne šestka alespoň jeden-krát?

4. Střelec střílí 5krát na terč. Za každý zásah získá 3 body, nezasáhne-li cíl, ztrácí 1bod. Pravděpodobnost zásahu při jednom výstřelu je 2/3. Určete zákon rozdělenípočtu bodů, které může střelec získat (pravděpodobnostní funkci).

5. Je dána funkce

p(x) =

k · 0,4x pro x = 1, 2, 3, . . . ,0 jinak.

a) Stanovte konstantu k ∈ R tak, aby p(x) byla pravděpodobnostní funkcí diskrétnínáhodné veličiny X.

b) Vypočtěte pravděpodobnosti P (X < 4), P (X ≥ 5), P (−1 < X ≤ 2).

Řešení.1. a) 0 pro x < −1; 0,02 pro −1 ≤ x < 0; 0,09 pro 0 ≤ x < 1; 0,27 pro 1 ≤ x < 2; 0,52pro 2 ≤ x < 3; 0,82 pro 3 ≤ x < 4; 1 pro x ≥ 4; b) 0,52; 0,98; 0,80;

2. a) 0,125 pro x = 0; 0,375 pro x = 1; 0,375 pro x = 2; 0,125 pro x = 3; 0 jinak; b)0,5; 0,875; 0,75;

3. a) p(x): 125/216 pro x = 0, 25/72 pro x = 1, 5/72 pro x = 2 a 1/216 pro x = 3,0 jinak; F (x): 0 pro x < 0, 125/216 pro 0 ≤ x < 1, 25/27 pro 1 ≤ x < 2, 215/216pro 2 ≤ x < 3 a 1 pro x ≥ 3; b) 91/216;

4. p(x): 1/243 pro x = −5, 10/243 pro x = −1, 40/243 pro x = 3, 80/243 pro x = 7,80/243 pro x = 11, 32/243 pro x = 15;

5. a) 3/2; b) 0,936; 0,0256; 0,84.


[Kříž 1]: str. 42–48, části úloh týkající se pravděpodobnostní a distribučnífunkce a výpočtu pravděpodobností.


2.4 Funkce hustoty pravděpobnosti náhodné veličiny

Vedle distribuční funkce je pro popis spojité náhodné veličiny používána funkcehustoty pravděpobnosti.

2.4.1 Definice. Funkce hustoty pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny X jenezáporná funkce f(x) taková, že

F (x) =

x∫−∞

f(t)dt, x ∈ R. (2.2)

Funkce hustoty pravděpodobnosti f(x) má tyto vlastnosti:

1.∞∫−∞

f(x)dx =∫M

f(x)dx = 1,

2. f(x) = dF (x)dx= F ′(x), pro všechna x, kde derivace existuje,

3. P (x1 ≤ X ≤ x2) = P (x1 < X < x2) = P (x1 < X ≤ x2) = P (x1 ≤ X < x2) =

= F (x2)− F (x1) =x2∫x1

f(x)dx.

Odtud plyne, že pro spojitou náhodnou veličinu je vždy P (X = x) = 0. Funkci f(x)můžeme například vyjádřit vzorcem

f(x) =

15e−x−2

5 pro x > 2,0 x ≤ 2,

jejíž graf je zachycen na obr. 2.3.

Obr. 2.3 Graf funkce hustoty pravděpodobnosti


2.4.2 Příklad. Náhodná veličina X má rozdělení popsané funkcí hustoty pravděpo-dobnosti

f(x) =

cx2(1− x) pro 0 < x < 1,0 jinak.

Určete konstantu c tak, aby funkce f(x) byla funkcí hustoty pravděpodobnosti. Sta-novte příslušnou distribuční funkci. Určete pravděpodobnost P (0,2 < X < 0,8).

Řešení. Pro funkci hustoty musí platit, že∫M

f(x)dx = 1. Určíme tedy integrál

1∫0

cx2(1− x)dx = c

1∫0

(x2 − x3)dx = c

[x3

3− x4

4

]10

= c

[13− 14

]=

c

12= 1,

odkud dostáváme c = 12.Vztah mezi distribuční funkcí a funkcí hustoty je dán rovnicí (2.2). Pro 0 < x < 1

platí

F (x) =

x∫0

12t2(1− t)dt = 12

x∫0

(t2 − t3) = 12

[t3

3− t4

4

]x

0

= 12

[x3

3− x4

4

]= 4x3 − 3x4.

F (x) =

0 pro x ≤ 0,

x3(4− 3x) 0 < x < 1,1 jinak.

Obr. 2.4 Funkce hustoty pravděpodobnosti a distribuční funkce

Nejprve určíme pravděpodobnost P (0,2 < X < 0,8) pomocí funkce hustoty prav-děpodobnosti

P (0,2 < X < 0,8) =

0,8∫0,2

12x2(1− x)dx =[4x3 − 3x4

]0,80,2= 0,792.


Známe-li distribuční funkci, je výpočet snadnější

P (0,2 < X < 0,8) = F (0,8)− F (0,2) = 0,83(4− 3 · 0,8)− 0,23(4− 3 · 0,2) = 0,792.

2.4.3 Příklad. Náhodná veličina X má rozdělení popsané distribuční funkcí

F (x) =

0 pro x ≤ 0,

1− e−x x > 0.

Určete funkci hustoty pravděpodobnosti.

Řešení. Pro funkci hustoty pravděpodobnosti platí f(x) = dF (x)dx. Pomocí derivací

dostáváme(

ddx(1− e−x) = e−x

)f(x) =

0 pro x ≤ 0,

e−x x > 0.


1. Náhodná veličina X má distribuční funkci

F (x) =

0 pro x ≤ 1,

x−14 1 < x < 5,1 x ≥ 5.

a) Určete funkci hustoty pravděpodobnosti a obě funkce zobrazte graficky.b) Určete pravděpodobnosti P (X < 3), P (2 ≤ X < 4), P (0 < X < 2) a P (X = 3).

2. Rozdělení náhodné veličiny X je dáno funkcí hustoty pravděpodobnosti

f(x) =

c− 2x pro 0 < x < 1,0 jinak.

a) Určete konstantu c a nakreslete graf funkce f(x).b) Určete distribuční funkci a nakresle její graf.c) Spočítejte pravděpodobnosti P (X ≥ 0,5) a P (0 < X ≤ 0,75).

3. Je dána funkce hustoty

f(x) =

cx4pro x > 1,

0 jinak.

a) Určete konstantu c a nakreslete graf funkce f(x).b) Určete distribuční funkci a nakresle její graf.c) Spočítejte pravděpodobnosti P (X ≥ 2), P (X > 1,5) a P (2 < X ≤ 3).


4. Distribuční funkce Rayleighova rozdělení spojité náhodné veličiny má tvar

F (x) =

C − e−

x2

2σ2 pro x > 0,0 x ≤ 0.

Určete konstantu C ∈ R a funkci hustoty pravděpodobnosti f(x).

5. Náhodná veličina X má rozdělení popsané distribuční funkcí

F (x) =

1− e−

x−12 pro x > 1,

0 x ≤ 1.

a) Určete funkci hustoty této náhodné veličiny a zobrazte ji graficky.b) Vypočítejte pravděpodobnosti P (X < 2), P (1 < X < 3), P (x > 4).

Řešení.1. a) f(x): 1/4 pro 1 < x < 5, 0 jinak; b) 0,5; 0,5; 0,25; 0;2. a) c = 2; b) F (x): 0 pro x ≤ 0, 2x− x2 pro 0 < x < 1, 1 pro x ≥ 1; c) 0,25; 0,9375;3. a) c = 3; b) F (x): 0 pro x ≤ 1, 1− 1/x3 pro x > 1; c) 0,125; 0,296; 0,088;

4. C = 1, f(x): 0 pro x ≤ 0, xσ2

e−x2

2σ2 pro x > 0;

5. a) f(x): 12e−x−1

2 pro x > 1, 0 pro x ≤ 1; b) 0,393; 0,632; 0,223.


[Kříž 1]: str. 50–56, části úloh týkající se funkce hustoty pravděpodobnosti,distribuční funkce a výpočtu pravděpodobností.

2.5 Charakteristiky polohy

Distribuční funkce (resp. pravděpodobnostní funkce nebo funkce hustoty pravdě-podobnosti) podává o náhodné veličině úplnou informaci. Známe-li tuto funkci, víme,jakých hodnot může tato náhodná veličina nabývat a jaké jsou pravděpodobnosti od-povídající těmto hodnotám. V praxi je užitečné znát nějaké koncentrovanější a pře-hlednější vyjádření této informace. K takovému popisu se používají číselné hodnotyoznačované jako číselné charakteristiky. Budeme mluvit o charakteristikách polohy,variability a koncentrace.Nejdůležitějšími charakteristikami polohy jsou střední hodnota, kvantily (medián,

horní a dolní kvartil, . . . ) a modus.


2.5.1 Definice. Střední hodnota E(X) náhodné veličiny X (někdy označovánajako µ) představuje číslo, které charakterizuje polohu hodnot náhodné veličiny na čí-selné ose s ohledem na jejich pravděpodobnosti. V případě diskrétní náhodné veličinyje definována vztahem

E(X) =∑M

xip(xi), (2.3)

pro spojitou náhodnou veličinu vztahem

E(X) =∫M

xf(x)dx (2.4)

za předpokladu, že uvedená řada resp. integrál konverguje absolutně.

Střední hodnota je také v literatuře označována jako očekávaná hodnota.

Uvedeme nyní stručně některé vlastnosti střední hodnoty:

1. střední hodnota konstanty k je rovna této konstantě

E(k) = k,

2. střední hodnota součinu konstanty k a náhodné veličiny X je rovna součinu kon-stanty k a střední hodnoty náhodné veličiny X

E(kX) = kE(X), (2.5)

3. střední hodnota součtu náhodných veličin X1, X2, . . . , Xn je rovna součtu středníchhodnot těchto veličin

E(X1 +X2 + · · ·+Xn) = E(X1) + E(X2) + · · ·+ E(Xn), (2.6)

4. jsou-li náhodné veličiny X1, X2, . . . , Xn nezávislé (viz poznámka 2.5.2), pak středníhodnota jejich součinu je rovna součinu jejich středních hodnot

E(X1X2 · · ·Xn) = E(X1) · E(X2) · · ·E(Xn).

2.5.2 Poznámka k nezávislosti náhodých veličin.Náhodné veličiny X1, X2, . . . , Xn jsou nezávislé právě tehdy, když pro libovolná číslax1, x2, . . . , xn ∈ R platí

P (X1 ≤ x1, X2 ≤ x2, . . . , Xn ≤ xn) = P (X1 ≤ x1) · P (X2 ≤ x2) · · ·P (Xn ≤ xn).

Mějme náhodný vektor X = (X1, X2, . . . , Xn), jehož složky X1, X2, . . . , Xn jsou ná-hodné veličiny. Nechť F (x) = F (x1, x2, . . . , xn) = P (X1 ≤ x1, X2 ≤ x2, . . . , Xn ≤ xn)je sdružená distribuční funkce a F (x1), F (x2), . . . , F (xn) jsou distribuční funkce ná-hodných veličin X1, X2, . . . , Xn. Náhodné veličiny X1, X2, . . . , Xn jsou nezávislé právětehdy, když

F (x1, x2, . . . , xn) = F (x1) · F (x2) · · ·F (xn).


Je-li X náhodný vektor, jehož složky jsou diskrétní náhodné veličiny, funkce p(x) == p(x1, x2, . . . , xn) = P (X1 = x1, X2 = x2, . . . , Xn = xn) je sdružená pravděpodob-nostní funkce a p(x1), p(x2), . . . , p(xn) jsou pravděpodobnostní funkce náhodných veli-čin X1, X2, . . . , Xn, pak platí:Náhodné veličiny X1, X2, . . . , Xn jsou nezávislé právě tehdy, když

p(x1, x2, . . . , xn) = p(x1) · p(x2) · · · p(xn).

Je-li X náhodný vektor, jehož složky jsou spojité náhodné veličiny, funkce f(x) == f(x1, x2, . . . , xn) je sdružená funkce hustoty pravděpodobnosti a f(x1), f(x2), . . . , f(xn)jsou funkce hustoty pravděpodobnosti náhodných veličin X1, X2, . . . , Xn, pak platí:Náhodné veličiny X1, X2, . . . , Xn jsou nezávislé právě tehdy, když

f(x1, x2, . . . , xn) = f(x1) · f(x2) · · · f(xn).

2.5.3 Definice. 100P% kvantil xP náhodné veličiny s rostoucí distribuční funkcíF (x) je taková hodnota náhodné veličiny, pro kterou platí

P (X ≤ xP ) = F (xP ) = P, 0 < P < 1.

Obr. 2.5 Kvantil xP

Kvantil x0,50 se nazývá medián Me(X), platí tedy P (X ≤ Me(X)) = P (X ≥≥ Me(X)) = 0,50. Kvantil x0,25 se nazývá dolní kvartil, kvantil x0,75 je horní kvartil.Vybrané kvantily důležitých rozdělení jsou tabelovány.

2.5.4 Definice. Modus Mo(X) náhodné veličiny X je hodnota této veličiny s nej-větší pravděpodobností (pro diskrétní náh. veličinu), resp. hodnota, ve které máfunkce f(x) maximum (pro spojitou náh. veličinu).

Náhodná veličina může mít 2 i více modů.


2.5.5 Příklad. Určete střední hodnotu a modus náhodné veličiny udávající početvystřelených nábojů (viz příklad 2.3.2), je-li

p(x) =

0,6 · 0,4x−1 pro x = 1, 2,0,42 x = 3,0 jinak.

Řešení. Střední hodnota je pro diskréní náhodnou veličinu dána vztahem (2.3), mů-žeme tedy psát

E(X) =3∑

i=1

xip(xi) = 1 · 0,6 · 0,40 + 2 · 0,6 · 0,41 + 3 · 0,42 = 1,56.

Modus určuje hodnotu náhodné veličiny s největší pravděpodobností, což je v našempřípadě Mo(X) = 1, neboť největší hodnota pravděpodobnostní funkce je p(1) = 0,6.Prakticky lze výsledky interpretovat takto: střední hodnota 1,56 představuje „prů-

měrnýÿ počet vystřelených nábojů, pokud budeme daný pokus neustále opakovat; mo-dus 1 vyjadřuje skutečnost, že nejčastěji bude vystřelen 1 náboj.

2.5.6 Příklad. Náhodná veličina X má rozdělení popsané funkcí hustoty pravděpo-dobnosti (viz příklad 2.4.2)

f(x) =

12x2(1− x) pro 0 < x < 1,

0 jinak.

Určete střední hodnotu a modus této náhodné veličiny.

Řešení. Střední hodnota je pro spojitou náhodnou veličinu dána vztahem (2.4), mů-žeme tedy psát

E(X) =

1∫0

xf(x)dx =

1∫0

x · 12x2(1− x)dx = 12

[x4

4− x5

5

]10

=35= 0,6.

Modus u spojité náhodné veličiny určuje maximum funkce hustoty pravděpodobnosti.Budeme hledat maximum funkce f(x) na intervalu (0, 1), řešíme d

dx[12x2(1− x)] =

= 12(2x − 3x2) = 0, odkud x(2 − 3x) = 0, tedy x = 0 nebo x = 2/3. Funkce hustotypravděpodobnosti nabývá svého maxima v bodě x = 2/3 (viz graf f(x) na obr. 2.4),proto má modus hodnotu Mo(X) = 2/3.

2.5.7 Příklad. Určete medián, horní a dolní kvartil náhodné veličiny X s distribučnífunkcí

F (x) =

1− 1

x3pro x > 1,

0 x ≤ 1.

Řešení. Pro kvantil náhodné veličiny X platí F (xP ) = P . V našem případě

1− 1x3P= P,


odkud dostáváme

xP =1

3√1− P

.

Dosazováním do daného vzorce získáme kvantily:

medián x0,50 =1

3√1− 0,50

.= 1,260,

dolní kvartil x0,25 =1

3√1− 0,25

.= 1,101,

horní kvartil x0,75 =1

3√1− 0,75

.= 1,587.

Tomu lze rozumět takto: x0,50 = 1,260 je hodnota náhodné veličiny X, pro kterou platíP (X ≤ 1,260) = 0,50, tedy že náhodná veličina X s 50% pravděpodobností nepřekročíhodnotu 1,260; analogicky x0,25 nebo x0,75.


1. Určete střední hodnotu a modus náhodné veličiny X s pravděpodobnostní funkcídanou tabulkou:

x −1 0 1 2 3 4p(x) 0,02 0,07 0,18 0,25 0,30 0,18

2. Vypočítejte střední hodnotu náhodné veličiny udávající počet ok padnutých při 1hodu hrací kostkou.

3. Pravděpodobnost zásahu cíle při každém ze 4 výstřelů je 0,8. Určete střední hod-notu a modus náhodné veličiny udávající počet zásahů cíle.

4. Určete střední hodnotu, medián, a horní decil (kvantil x0,90) náhodné veličinys funkcí hustoty pravděpodobnosti

f(x) =

3x2 pro 0 < x < 1,0 jinak.

5. Vypočítejte střední hodnotu, medián, a horní kvartil (kvantil x0,75) náhodné veli-činy s distribuční funkcí

F (x) =

0 pro x ≤ 0,x2 0 < x < 1,1 x ≥ 1.

6. Určete střední hodnotu, medián a modus náhodné veličiny s funkcí hustoty prav-děpodobnosti

f(x) =

34(1− x2) pro −1 < x < 1,0 jinak.


Řešení.1. 2,28; 3;2. 3,5;3. 3,2; 3 a 4;4. 0,75; 0,794; 0,965;5. 0,667; 0,707; 0,866;6. 0; 0; 0.


[Kříž 1]: str. 42–48, části úloh týkající se výpočtu charakteristik polohy,[Kříž 1]: str. 50–56, části úloh týkající se výpočtu charakteristik polohy.

2.6 Charakteristiky variability

Základní a nejpoužívanější charakteristiky variability jsou rozptyl a směrodatnáodchylka.

2.6.1 Definice. Rozptyl D(X) náhodné veličiny X (někdy označovaný jako σ2) jeobecně definován vztahem

D(X) = E[X − E(X)]2

.

V případě disktrétní náhodné veličiny určíme rozptyl ze vztahu

D(X) =∑M

[xi − E(X)]2p(xi),

pro spojitou náhodnou veličinu

D(X) =∫M

[x− E(X)]2f(x)dx.

Rozptyl je číslo, které charakterizuje proměnlivost hodnot náhodné veličiny kolemjejí střední hodnoty s přihlédnutím k jejich pravděpodobnostem. Uveďme nejdůležitějšívlastnosti rozptylu:

1. rozptyl konstanty k je roven nule

D(k) = 0,

2. rozptyl součinu konstanty a náhodné veličiny X je roven součinu konstanty k2 arozptylu náhodné veličiny X

D(kX) = k2D(X), (2.7)


3. rozptyl součtu nezávislých náhodných veličin X1, X2, . . . , Xn je roven součtu roz-ptylů těchto náhodných veličin

D(X1 +X2 + · · ·+Xn) = D(X1) +D(X2) + · · ·+D(Xn), (2.8)

4. D(X) ≥ 0 pro každou náhodnou veličinu,5. rozptyl náhodné veličiny X je možné spočítat pomocí tzv. výpočetního tvaru

D(X) = E(X2)− E(X)2,

neboť D(X) = E[X − E(X)]2 = E[X2 − 2XE(X) + E(X)2] = E(X2) −− E[2XE(X)] + E[E(X)2] = E(X2)− 2E(X)E(X) + E(X)2 = E(X2)− E(X)2.Výpočetní tvar rozptylu pro diskrétní náhodnou veličinu je potom

D(X) =∑M

x2i p(xi)− E(X)2,

pro spojitou náhodnou veličinu užijeme

D(X) =∫M

x2f(x)dx− E(X)2.

2.6.2 Definice. Směrodatná odchylka σ(X) náhodné veličiny X (někdy označo-vaná jako σ) je definována jako odmocnina z rozptylu

σ(X) =√

D(X).

Čím větší je rozptyl (směrodatná odchylka), tím horší vypovídající schopnosto vlastnostech náhodné veličiny má její střední hodnota. Směrodatná odchylka jevyjádřena ve stejných jednotkách jako náhodná veličina X, rozptyl je ve čtvercíchjednotek.

Obr. 2.6 Vzájemný vztah mezi střední hodnotou a rozptylem


2.6.3 Příklad. Určete rozptyl a směrodatnou odchylku náhodné veličiny udávajícípočet vystřelených nábojů (viz příklad 2.3.2).

Řešení. Střední hodnotu této náhodné veličiny jsme spočítali v příkladě 2.5.5, má hod-notu E(X) = 1,56. Pro výpočet rozptylu použijeme výpočetní tvar D(X) = E(X2)−− E(X)2, musíme nejprve určit hodnotu

E(X2) =∑M

x2i p(xi) =3∑

i=1

x2i p(xi) = 12 · 0,6 + 22 · 0,24 + 32 · 0,16 = 3,

potomD(X) = E(X2)− E(X)2 = 3− 1,562 = 0,5664.

Směrodatná odchylka je odmocnina z rozptylu

σ(X) =√

D(X).= 0,753.

2.6.4 Příklad. Určete rozptyl a směrodatnou odchylku náhodné veličiny X z příkladu2.4.2).

Řešení. Střední hodnota této náhodné veličiny byla určena v příkladě 2.5.6, má hod-notu E(X) = 3/5. Podobně jako v předcházejícím příkladě použijeme výpočetní tvarrozptylu D(X) = E(X2)− E(X)2, tedy

E(X2) =∫M

x2f(x)dx =

1∫0

x2 · 12x2(1− x)dx = 12

[x5

5− x6

6

]10

=25= 0,4,

potom

D(X) =25−(35

)2=125= 0,04.

Směrodatná odchylka je rovna

σ(X) =√

D(X) =15= 0,2.


Při řešení následujících úloh využijte výsledky odpovídajících úloh z 2.5.8.

1. Určete rozptyl a směrodatnou odchylku náhodné veličiny X s pravděpodobnostnífunkcí danou tabulkou (viz 2.3.3 příklad 1):

x −1 0 1 2 3 4p(x) 0,02 0,07 0,18 0,25 0,30 0,18


2. Vypočítejte rozptyl a směrodatnou odchylku náhodné veličiny udávající počet okpadnutých při 1 hodu hrací kostkou.

3. Pravděpodobnost zásahu cíle při každém ze 4 výstřelů je 0,8. Určete rozptyl asměrodatnou odchylku náhodné veličiny udávající počet zásahů cíle.

4. Určete rozptyl a směrodatnou odchylku náhodné veličiny s funkcí hustoty pravdě-podobnosti

f(x) =

3x2 pro 0 < x < 1,0 jinak.

5. Vypočítejte rozptyl a směrodatnou odchylku náhodné veličiny s distribuční funkcí

F (x) =

0 pro x ≤ 0,x2 0 < x < 1,1 x ≥ 1.

6. Určete rozptyl a směrodatnou odchylku náhodné veličiny s funkcí hustoty pravdě-podobnosti

f(x) =

34(1− x2) pro −1 < x < 1,0 jinak.

Řešení.1. 1,582; 1,258;2. 2,917; 1,708;3. 0,64; 0,8;4. 0,038; 0,194;5. 0,056; 0,236;6. 0,2; 0,447.


[Kříž 1]: str. 42–48, části úloh týkající se výpočtu charakteristik variablity,[Kříž 1]: str. 50–56, části úloh týkající se výpočtu charakteristik variablity.

2.7 Charakteristiky koncentrace

Nyní se budeme zabývat charakteristikami popisujícími tvar rozdělení, předevšímsymetrii a špičatost. Tyto charakteristiky jsou definovány pomocí momentů.


2.7.1 Definice. Obecný moment r-tého stupně µ′r(X) náhodné veličiny X je defi-nován vztahem

µ′r(X) = E(Xr) pro r = 1, 2, . . . .

V případě disktrétní náhodné veličiny jej určíme ze vztahu

µ′r(X) =∑M

xri p(xi),

pro spojitou náhodnou veličinu potom platí

µ′r(X) =∫M

xrf(x)dx.

2.7.2 Definice. Centrální moment r-tého stupně µr(X) náhodné veličiny X je de-finován vztahem

µr(X) = E[X − E(X)]r pro r = 1, 2, . . . .

V případě disktrétní náhodné veličiny jej určíme ze vztahu

µr(X) =∑M

[xi − E(X)]rp(xi),

pro spojitou náhodnou veličinu potom platí

µr(X) =∫M

[x− E(X)]rf(x)dx.

Z daných definic je zřejmé, že střední hodnota je 1. obecný moment, rozptyl je2. centrální moment. Při výpočtu centrálních momentů 3. a 4. stupně je často výhod-nější použít vzorce (viz [Anděl])

µ3(X)=E(X3)− 3E(X2)E(X) + 2E(X)3, (2.9)

µ4(X)=E(X4)− 4E(X3)E(X) + 6E(X2)E(X)2 − 3E(X)4. (2.10)

2.7.3 Definice. Koeficient šikmosti α3(X) je definován vztahem

α3(X) =µ3(X)σ(X)3

.


Podle hodnot koeficientu šikmosti můžeme poznat, zda je rozdělení symetrické nebo jezešikmené. Je-li

• α3(X) = 0, je rozdělení symetrické,

• α3(X) < 0, je rozdělení zešikmené doprava, tj. protáhlejší směrem nalevo,

• α3(X) > 0, je rozdělení zešikmené doleva, tj. protáhlejší směrem napravo.

2.7.4 Definice. Koeficient špičatosti α4(X) je definován vztahem

α4(X) =µ4(X)σ(X)4

− 3.

Podle hodnot koeficientu špičatosti můžeme poznat, zda je rozdělení ploché nebo špi-čaté. Má-li veličina X symetrické rozdělení a je-li α4(X) > 0 (resp. α4(X) < 0),znamená to, že na svých koncích je pravděpodobnostní funkce p(x) nebo hustota prav-děpodobnosti f(x) této veličiny X větší (resp. menší) než hustota pravděpodobnostinormálního rozdělení (viz 4.3) se stejnou střední hodnotou a rozptylem. Pro normálnírozdělení je α4(X) rovno nule. Koeficient špičatosti se používá i pro nesymetrická roz-dělení.

2.7.5 Poznámka. Pro zjednodušení zápisu budeme dále místo σ(X), µ3(X), µ4(X),α3(X) a α4(X) psát σ, µ3, µ4, α3 a α4.

Obr. 2.7 Význam koeficientů šikmosti a špičatosti

2.7.6 Příklad. Vypočitejte koeficient šikmosti a špičatosti náhodné veličiny udávajícípočet vystřelených nábojů (viz příklad 2.3.2).

Řešení. K výpočtu koeficientu šikmosti a špičatosti je třeba nejprve určit 3. a 4.centrální moment. Střední hodnotu této náhodné veličiny jsme spočítali v příkladě


2.5.5, má hodnotu E(X) = 1,56, směrodatná odchylka je σ = 0,753 (viz příklad 2.6.3).

µ3 =3∑

i=1

[xi−E(X)]3p(xi) = (1−1,56)3 ·0,6+(2−1,56)3 ·0,24+(3−1,56)3 ·0,16.= 0,393

µ4 =3∑

i=1

[xi−E(X)]4p(xi) = (1−1,56)4 ·0,6+(2−1,56)4 ·0,24+(3−1,56)4 ·0,16.= 0,756

Je možné pro výpočet také použít vztahů (2.9) a (2.10). Koeficient šikmosti je potomroven

α3 =µ3σ3

.= 0,922,

Koeficient špičatosti

α4 =µ4σ4− 3 .= −0,644.

Můžeme tedy říci, že rozdělení náhodné veličiny je zešikmeno doleva a je plošší než nor-mální rozdělení. Uvedené výpočty jsou provedené s plnou přesností, nepoužívá se zao-krouhlení. Použité hodnoty jsou µ3 = 0,392832, µ4 = 0,75597312 a σ = 0,7525955 . . . .

2.7.7 Příklad. Určete koeficient šikmosti a špičatosti náhodné veličiny X z příkladu2.4.2.

Řešení. Střední hodnota této náhodné veličiny byla určena v příkladě 2.5.6, má hod-notu E(X) = 3/5. Směrodatnou odchylku jsme spočítali v příkladu 2.6.4 a je rovna1/5. Určíme nejprve potřebné centrální momenty.

µ3 =

1∫0

[x− 0,6]312x2(1− x)dx = · · · = − 2875

,

µ4 =

1∫0

[x− 0,6]412x2(1− x)dx = · · · = 338750

.

Pro výpočet momentů můžeme použít vzorce (2.9) a (2.10). Z dřívějších výpočtů víme,že E(X2) = 2

5 . Určíme tedy obecné momenty E(X3) a E(X4):

E(X3) =

1∫0

x3 · 12x2(1− x)dx = 12

1∫0

(x5 − x6)dx = 12

[x6

6− x7

7

]10

=27,

E(X4) =

1∫0

x4 · 12x2(1− x)dx = 12

1∫0

(x6 − x7)dx = 12

[x7

7− x8

8

]10

=314

.


Pomocí zmiňovaných vzorců obdržíme

µ3 =27− 3 · 2

5· 35+ 2 ·

(35

)3= − 2875

,

µ4 =314− 4 · 2

7· 35+ 6 · 2

5·(35

)2− 3 ·

(35

)4=338750

.

Koeficient šikmosti je potom roven

α3 =µ3σ3= −27

.= −0,286,

koeficient špičatosti

α4 =µ4σ4− 3 = − 9

14.= −0,643.

Rozdělení náhodné veličiny je zešikmeno doprava, na svých koncích je hustota pravdě-podobnosti menší než hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny s normálním rozděle-ním se stejnou střední hodnotou a směrodatnou odchylkou jako má veličina X (funkcehustoty pravděpodobnosti náhodné veličiny X je nulová pro x 6∈ (0, 1)).


Pří řešení následujících úloh využijte výsledky odpovídajících úloh z 2.5.8 a 2.6.5.

1. Určete koeficient šikmosti a špičatosti náhodné veličiny X s pravděpodobnostnífunkcí danou tabulkou:

x −1 0 1 2 3 4p(x) 0,02 0,07 0,18 0,25 0,30 0,18

2. Vypočítejte koeficient šikmosti a špičatosti náhodné veličiny udávající počet okpadnutých při 1 hodu hrací kostkou.

3. Pravděpodobnost zásahu cíle při každém ze 4 výstřelů je 0,8. Určete koeficientšikmosti a špičatosti náhodné veličiny udávající počet zásahů cíle.

4. Určete koeficient šikmosti a špičatosti náhodné veličiny s funkcí hustoty pravděpo-dobnosti

f(x) =

3x2 pro 0 < x < 1,0 jinak.

5. Vypočítejte koeficient šikmosti a špičatosti náhodné veličiny s distribuční funkcí

F (x) =

0 pro x ≤ 0,x2 0 < x < 1,1 x ≥ 1.


6. Určete koeficient šikmosti a špičatosti náhodné veličiny s funkcí hustoty pravděpo-dobnosti

f(x) =

34(1− x2) pro −1 < x < 1,0 jinak.

Řešení.1. −0,448; −0,463;2. 0; −1,960;3. 0,75; 0,0625;4. −0,861; 0,095;5. −0,566; −0,6;6. 0; −0,857.


[Kříž 1]: str. 42–48, části úloh týkající se výpočtu charakteristik koncentrace,[Kříž 1]: str. 50–56, části úloh týkající se výpočtu charakteristik koncentrace.



Klíčová slova:

náhodná veličina, diskrétní a spojitá náhodná veličina, obor hodnot náhodné veli-činy, zákon rozdělení pravděpodobností, distribuční funkce, pravděpodobnostní funkce,funkce hustoty pravděpodobnosti, charakteristiky polohy (střední hodnota, modus,kvantil), variability (rozptyl, směrodatná odchylka) a koncentrace (koeficient šikmostia špičatosti)

Základní úlohy:

• Popis rozložení náhodné veličiny pomocí funkcí.• Výpočet pravděpopodobností pomocí distibuční funkce, pravděpodobnostní funkcea funkce hustoty pravděpodobnosti.

• Výpočet číselných charakteristik náhodných veličin.


[Kříž 2]: str. 14–19,[Cyhelský]: str. 104–130, odstavce 6.1, 6.2, 7.1, 7.2,[Hindls]: str. 62–73, odstavce 3.3–3.5.



1. Rozhodněte, která z náhodných veličin je spojitá a která diskrétní: počet dětí v do-mácnosti, počet překlepů na 100 stranách strojopisu, hmotnost jablka, věk matu-rantů, výška smrku, doba čekání na číšníka v restauraci, počet zásahů cíle při 10výstřelech, životnost autobaterie.

2. Rozhodněte, která tvrzení jsou pravdivá:a) Distribuční funkce je rostoucí funkce.b) Distribuční funkce je neklesající funkce.c) Hodnota pravděpodobnostní funkce může být větší než 1.d) Hodnota funkce hustoty pravděpodobnosti může být větší než 1.e) Hodnota distribuční funkce může být větší než 1.f) Je-li rozdělení náhodné veličiny symetrické, pak α3 = 0.g) Je-li rozdělení náhodné veličiny symetrické, pak E(X) = x0,50.h) Má-li náhodná veličina symetrické rozdělení a jedním modem, pak je její středníhodnota rovna mediánu a zároveň modu.



1. Pravěpodobnostní funkce náhodné veličiny X je dána tabulkoux 0 1 2 3 4 5

∑p(x) 0,10 0,15 0,2 0,15 0,25 0,15 1

a) Určete distribuční funkci této náhodné veličiny a obě funkce zobrazte graficky.b) Vypočítejte pravděpodobnosti P (X ≤ 3), P (X > 4), P (1 < X ≤ 4).c) Určete střední hodnotu, rozptyl, směrodatnou odchylku, modus, koeficienty šik-mosti a špičatosti dané náhodné veličiny.

2. Při hodu dvěma hracími kostkami budeme sledovat náhodnou veličinu součet okna obou kostkách.a) Popište tuto náhodnou veličinu pomocí pravděpodobnostní a distribuční funkce.b) Jaká je pravděpodobnost, že součet ok na obou kostkách bude 6 až 9, nebudevětší než 8, bude větší než 10?

c) Určete střední hodnotu, rozptyl, směrodatnou odchylku, modus, koeficienty šik-mosti a špičatosti dané náhodné veličiny.

3. Je dána hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny X ve tvaru

f(x) =

e2−x pro x > 2,0 jinak.

a) Určete distribuční funkci náhodné veličiny X a obě funkce zobrazte graficky.b) Vypočítejte pravděpodobnosti P (X < 5), P (0 < X < 5), P (X ≥ 4).c) Určete střední hodnotu a rozptyl této náhodné veličiny.d) Odvoďte obecný vztah pro výpočet kvantilů a určete medián a 95% kvantil.

4. Je dána distribuční funkce spojité náhodné veličiny X

F (x) =

0 pro x ≤ 0,

C(1− cosx) 0 < x < π,1 x ≥ π.

a) Určete konstantu C ∈ R.b) Určete funkci hustoty pravděpodobnosti.c) Vypočítejte pravděpodobnosti P (0 < X < π

4 ), P (π4 < X < π

2 ), P (π2 < X < π).

d) Určete střední hodnotu, medián, modus, rozptyl, směrodatnou odchylku, koefi-cienty šikmosti a špičatosti této náhodné veličiny.

Řešení.A.1. spojitá: hmotnost jablka, výška smrku, doba čekání na číšníka v restauraci, životnostautobaterie; diskrétní: počet dětí v domácnosti, počet překlepů na 100 stranáchstrojopisu, věk maturantů, počet zásahů cíle při 10 výstřelech;

2. a) nepravda; b) pravda; c) nepravda; d) pravda; e) nepravda; f) pravda; g) pravda;h) pravda.


B.1. a) F (x): 0 pro x < 0; 0,10 pro 0 ≤ x < 1; 0,25 pro 1 ≤ x < 2; 0,45 pro 2 ≤ x < 3;0,60 pro 3 ≤ x < 4; 0,85 pro 4 ≤ x < 5; 1 pro x ≥ 5; b) 0,6; 0,15; 0,6; c) 2,75; 2,488;1,577; 4; −0,196; −1,118;

2. a) p(x): 1/36 pro x = 2, 1/18 pro x = 3, 1/12 pro x = 4, 1/9 pro x = 5, 5/36pro x = 6, 1/6 pro x = 7, 5/36 pro x = 8, 1/9 pro x = 9, 1/12 pro x = 10, 1/18pro x = 11, 1/36 pro x = 12; F (x): 0 pro x < 2, 1/36 pro 2 ≤ x < 3, 1/12 pro3 ≤ x < 4, 1/6 pro 4 ≤ x < 5, 5/18 pro 5 ≤ x < 6, 5/12 pro 6 ≤ x < 7, 7/12 pro7 ≤ x < 8, 13/18 pro 8 ≤ x < 9, 5/6 pro 9 ≤ x < 10, 11/12 pro 10 ≤ x < 11, 35/36pro 11 ≤ x < 12, 1 pro x ≥ 12; b) 5/9; 13/18; 1/12; c) 7; 5,833; 2,415; 7; 0; −0,634;

3. a) F (x): 1 − e2−x pro x > 2, 0 jinak; b) 0,950; 0,950; 0,135; c) 3; 1; d) xP = 2 −− ln(1− P ); 2,693; 4,996;

4. a) 0,5; b) f(x): 12 sin x pro 0 < x < π, 0 jinak; c) 0,146; 0,354; 0,5; d) π2 ;

π2 ;

π2 ; 0,467;

0,684; 0; −0,806.


3 MODELY DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

Následující kapitola je věnována čtyřem základním modelům disktrétní náhodnéveličiny. Jedná se Poissonovo, alternativní, binomické a hypergeometrické rozdělení.

Cílem kapitoly je:

• seznámit se se základními modely diskrétní náhodné veličiny,• popsat dané modely pomocí pravděpodobnostních a distribučních funkcía číselných charakteristik,

• naučit se řešit pravděpodobnostní úlohy pomocí zmíněných modelů.

3.1 Poissonovo rozdělení

Poissovovo rozdělení Po(λ) je možné použít jako model náhodné veličiny, kteránabývá hodnot 0, 1, 2, . . . a udává buď počet událostí, k nimž dojde v časovém intervaludélky t nebo počet výskytů daných prvků v geometrické oblasti o pevné velikosti,jestliže k událostem či výskytům dochází jednotlivě a nezávisle na sobě. Parametrrozdělení λ > 0 udává střední počet událostí resp. výskytů.

3.1.1 Definice. Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení Po(λ), právě kdyžmá pravděpodobnostní funkce tvar

p(x) =

λx

x! e−λ pro x = 0, 1, 2, . . . ,0 jinak.

Skutečnost, že náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení s patrametrem λ zapíšemeX ∼ Po(λ).Následující tabulka uvádí hodnoty některých číselných charakteristik Poisssonova

rozdělení.

E(X) D(X) α3(X) α4(X) Mo(X)

λ λ 1√λ

1λ

λ− 1 ≤ Mo(X) ≤ λ

Příklady náhodných veličin s Poissonovým rozdělením: počet poruch stroje zasměnu, počet nehod na jistém místě za rok, počet zákazníků v obchodě během 1 ho-diny, počet vad na povrchu výrobku, počet vad v balíku látky, počet bublin na tabuliskla apod. Hodnoty pravděpodobnostní funkce Poissonova rozdělení jsou pro některéhodnoty λ tabelovány (viz Tabulka I v příloze).

3.1.2 Příklad. Během 1 hodiny spojí sekretářka řediteli v průměru 6 hovorů. Potře-bujeme sledovat zatížení sekretářky ve 20-ti minutových intervalech. Popište náhodnou


veličinu udávající počet spojených telefonních hovorů během 20 minut pomocí prav-děpodobností a distribuční funkce. Dále určete pravděpodobnost, že během 20 minutsekretářka spojí a) alespoň 1 hovor, b) nejvýše 2 hovory, c) jeden nebo 2 hovory. Určetestřední hodnotu, rozptyl, směrodatnou odchylku, modus, koeficient šikmosti a špiča-tosti sledované náhodné veličiny.

Řešení. Náhodná veličina X udává počet spojených telefonních hovorů za 20 minut.Může nabývat hodnot 0, 1, 2, . . . . Předpokládejme, že je možné ji modelovat pomocíPoissonova rozdělení. Parametr λ udává střední hodnotu náhodné veličiny s Poissono-vým rozdělením, tedy střední počet telefonátů během 20 minut, což je 2 (za 1 hodinuje jich průměrně 6). Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení X ∼ Po(2).Pravděpodobnostní funkce má tvar

p(x) =

2x

x! e−2 pro x = 0, 1, 2, . . . ,0 jinak.

Například hodnotu p(x) v bodě x = 3 určíme jako p(3) = 23

3! e−2 .= 0,1804. Hod-

noty pravděpodobnostní funkce (pro x = 0, 1, . . . , 7) jsou spolu s hodnotami distibučnífunkce uvedeny v tabulce:

x 0 1 2 3 4 5 6 7 ∞p(x) 0,1353 0,2707 0,2707 0,1804 0,0902 0,0361 0,0120 0,0034 → 0F (x) 0,1353 0,4060 0,6767 0,8571 0,9473 0,9834 0,9955 0,9989 → 1Grafy pravděpodobnostní funkce a distribuční funkce jsou zobrazeny na obrázku 3.1.

Obr. 3.1 Pravděpodobnostní a distribuční funkce rozdělení Po(2)

Nyní spočítáme pravděpodobnosti, že během 20 minut sekretářka spojía) alespoň 1 hovor

P (X ≥ 1) = 1− P (X < 1) = 1− P (X = 0) = 1− p(0) = 1− 0,1353 .= 0,865,

b) nejvýše 2 hovoryP (X ≤ 2) = F (2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = p(0) + p(1) + p(2) == 0,1253 + 0,2707 + 0,2707

.= 0,677,


c) jeden nebo 2 hovoryP (X = 1∨X = 2) = P (X = 1)+P (X = 2) = p(1)+p(2) = 0,2707+0,2707

.= 0,541.

Dále určíme některé číselné charakteristiky:• střední hodnota Poissonova rozdělení je rovna E(X) = λ = 2,• rozptyl má hodnotu D(X) = λ = 2,• směrodatná odchylka σ(X) =

√D(X) =

√λ =

√2

.= 1,414,

• pro modus platí λ − 1 ≤ Mo(X) ≤ λ, tedy 2 − 1 ≤ Mo(X) ≤ 2, Mo(X) = 1 a 2(viz tabulka pravděpodobnostní funkce),

• koeficient šikmosti α3 = 1√λ= 1√

2

.= 0,707,

• koeficient špičatosti α4 = 1λ= 12 = 0,5.

3.1.3 Poznámka. Hodnoty pravděpodobnostní a distribuční funkce Poissonova roz-dělení je možné v Excelu získat pomocí funkce POISSON, která má 3 parametry: prvníparametr je hodnota náhodné veličiny X, druhý parametr je střední hodnota (tedy λ) aposlední parametr je logická proměnná (pravda–nepravda nebo 0–1) určující, zda budespočtena pravděpodobnostní funkce (parametr je 0) nebo distribuční funkce (parametrje 1). Hodnotu pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny s Poissonovým rozděleníms parametrem λ = 2 v bodě x = 1 získáme příkazem POISSON(1;2;0)

.= 0,27067,

hodnotu distribuční funkce pak příkazem POISSON(1;2;1).= 0,40601.


1. Při provozu balicího automatu vznikají během směny náhodné poruchy. Ze zku-šenosti víme, že během jedné směny dojde v průměru ke 2 poruchám. Jaká jepravděpodobnost, že během 24 hodin (třísměnného provozu) nedojde ani jednouk poruše?

2. Informační kancelář navštíví v průměru 20 osob za hodinu. Jaká je pravděpodob-nost, že během 15 minut nepřijde do kanceláře nikdo? Předpokládejte, že početosob, které navštíví kancelář, se řídí Poissonovým rozdělením.

3. Na telefonní ústřednu přijde během 8 hodin v průměru 360 žádostí o spojení. Jakáje pravděpodobnost, že během příštích 10 minut přijdoua) 4 žádosti o spojení,b) nejvýše 4 žádosti o spojení?

4. Semena určité rostliny jsou znečištěna malým množstvím plevele. Je známo, že na1 m2 vyrostou v průměru 4 rostlinky plevele.a) Popište náhodnou veličinu udávající počet rostlinek plevele na 1 m2 pomocípravděpodobnostní a distribuční funkce a zobrazte je graficky.

b) Určete pravděpodobnost, že na náhodně vybrané ploše 1 m2 nebude žádný ple-vel, vyrostou nejvýše 3 rostlinky plevele, budou více než 3 rostlinky plevele.

c) Určete střední hodnotu, rozptyl, směrodatnou odchylku, modus, koeficient šik-mosti a špičatosti sledované náhodné veličiny.


5. Při korekruře nové knihy se nalezne v průměru 40 chyb na 100 stran.a) Jaká je pravděpodobnost, že na náhodně vybraných 20 stranách knihy budevíce než 5 chyb, nepřekročí počet chyb 10, bude 5 až 10 chyb?

b) Určete střední hodnotu počtu chyb a nejpravděpodobnější počet chyb na těchto20 stranách.

Řešení.1. 0,00248;2. 0,00674;3. a) 0,073; b) 0,132;4. a) p(x): 4

x

x! e−4 pro x = 0, 1, 2, . . . ; 0 jinak; b) 0,018; 0,433; 0,567; c) 4; 4; 2; 3 a 4;

0,5; 0,25;5. a) 0,809; 0,816; 0,716; b) 8; 7 a 8.


[Kříž 1]: str. 56–59.

3.2 Alternativní rozdělení

Některé náhodné pokusy mohou mít jen 2 různé výsledky: pokus je úspěšný a pokusje neúspěšný. Náhodná veličina udávající počet úspěchů v jednom pokusu se nazýváalternativní. Tato veličina nabývá hodnot 0 a 1. Pravděpodobnost úspěchu je dánaparametrem π (0 < π < 1).

3.2.1 Definice. Náhodná veličina X má alternativní rozdělení A(π), právě kdyžmá pravděpodobnostní funkce tvar

p(x) =

πx(1− π)1−x pro x = 0, 1,

0 jinak.

Následující tabulka uvádí hodnoty některých číselných charakteristik alternativníhorozdělení.

E(X) D(X) α3(X) α4(X)

π π(1− π) 1−2π√π(1−π)

1−6π(1−π)π(1−π)

Příklady: počet zmetků při náhodném výběru 1 výrobku, počet zásahů při jednomvýstřelu, počet spojení při 1 telefoním volání, indikuje nastoupení či nenastoupenínáhodného jevu.

3.2.2 Příklad. Určete střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny s alternativnímrozdělením X ∼ A(π).


Řešení. K odvození použijeme definiční vztahy pro střední hodnotu a rozptyl diskrétnínáhodné veličiny. Pro střední hodnotu diskrétní náhodné veličiny s alternativním roz-dělením platí

E(X) =∑M

xip(xi) = 0 · (1− π) + 1 · π = π.

Rozptyl nespojité náhodné veličiny daného rozdělení získáme ze vztahu

D(X)=∑M

[xi − E(X)]2p(xi) = (0− π)2(1− π) + (1− π)2π =

=π2(1− π) + (1− π)2π = π(1− π)(π + 1− π) = π(1− π).

3.3 Binomické rozdělení

Náhodná veličina, kterou je možné modelovat pomocí binomického rozdělení, udávápočet úspěchů v posloupnosti n nezávislých alternativních pokusů, přičemž úspěchv každém pokusu nastává s pravděpodobností π (0 < π < 1).

3.3.1 Definice. Náhodná veličina X má binomické rozdělení B(n, π), právě kdyžmá pravděpodobnostní funkce tvar

p(x) =

(nx

)πx(1− π)n−x pro x = 0, 1, . . . , n,0 jinak.

Následující tabulka uvádí hodnoty některých číselných charakteristik binomickéhorozdělení.

E(X) D(X) α3(X) α4(X) Mo(X)

nπ nπ(1− π) 1−2π√nπ(1−π)

1−6π(1−π)nπ(1−π) (n+ 1)π − 1 ≤ Mo(X) ≤ (n+ 1)π

Mají-li veličiny X1, . . . , Xn stejné alternativní rozdělení s parametrem π a jsounezávislé, potom veličina X = X1 + X2 + · · · + Xn má binomické rozdělení B(n, π),s parametry n a π. Alternativní rozdělení je tedy speciálním případem binomickéhorozdělení pro n = 1.Příklady náhodných veličin s binomickým rozdělením: počet padnutých šestek v pěti

hodech hrací kostkou, počet vadných výrobků z celkového počtu 100 výrobků, je-li prav-děpodobnost výskytu vadného výrobku 0,005, počet spojení při n telefonních voláních,počet zásahů při n výstřelech apod.

3.3.2 Poznámka. Poissonovo rozdělení je limitním případem binomického rozdělení.Jestliže n →∞ a π → 0, pak nπ → λ. Hodnoty pravděpodobnostní funkce binomickéhorozdělení je možné aproximovat pomocí hodnot pravděpodobnostní funkce Poissonovarozdělení. Při řešení úloh je pak dostačující, aby n > 30, π < 0,1, pak platí(

n

x

)πx(1− π)n−x ≈ λx

x!e−λ.


3.3.3 Příklad. Pravděpodobnost, že narozené dítě je chlapec je 0,51. Jaká je pravdě-podobnost, že mezi pěti po sobě narozenými dětmi budou a) právě 3 děvčata, b) nejvýše3 chlapci? Určete pravděpodobnostní a distribuční funkci náhodné veličiny udávajícípočet chlapců mezi pěti po sobě narozenými dětmi. Jaký je nejpravděpodobnější početnarozených chlapců? Určete střední hodnotu, rozptyl a směrodatnou odchylku danénáhodné veličiny.

Řešení. Náhodná veličina X udává počet chlapců mezi pěti po sobě narozenýmidětmi. Tato náhodná veličina může nabývat hodnot 0, 1, 2, . . . , 5. Považujme narozenídítěte za nezávislý náhodný pokus, ve kterém se narodí chlapec s pravděpodobností0,51. Náhodnou veličinu lze popsat pomocí binomického rozdělení X ∼ B(5; 0,51).Pravděpodobnostní funkci můžeme zapsat ve tvaru

p(x) =

(5x

)· 0,51x · 0,495−x pro x = 0, 1, . . . , 5,

0 jinak,

její hodnoty jsou uvedeny v tabulce.

x 0 1 2 3 4 5p(x) 0,0282 0,1470 0,3060 0,3185 0,1657 0,0345F (x) 0,0282 0,1752 0,4813 0,7998 0,9655 1,0000

Grafy pravděpodobnostní funkce a distribuční funkce jsou zobrazeny na obrázku 3.2.

Obr. 3.2 Pravděpodobnostní a distribuční funkce rozdělení B(5; 0,51)

Nyní určíme pravděpodobnost, že mezi pěti po sobě narozenými dětmi budou

a) právě 3 děvčata, tzn. právě 2 chlapciP (X = 2) = p(2)

.= 0,306,

b) nejvýše 3 chlapciP (X ≤ 3) = F (3) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) = p(0) ++ p(1) + p(2) + p(3) = 0,0282 + 0,1470 + 0,3060 + 0,3185

.= 0,800.


Nejpravděpodobnější počet narozených chlapců určuje modus a ten můžeme určit zevztahu (n+1)π−1 ≤ Mo(X) ≤ (n+1)π, tedy (5+1)·0,51−1 ≤ Mo(X) ≤ (5+1)·0,51,což je 2,06 ≤ Mo(X) ≤ 3,06 odkud dostáváme Mo(X) = 3. Nejpravděpodobnějšíhodnotu můžeme samozřejmě najít přímo v tabulce pravděpodobnostní funkce. Středníhodnota je pro binomické rozdělení rovna E(X) = nπ = 5 · 0,51 = 2,55, lze tedy přidlouhodobém sledování porodnosti očekávat „v průměruÿ 2,55 chlapce z 5 narozenýchdětí. Rozptyl je roven D(X) = nπ(1− π) = 5 · 0,51 · (1− 0,51) .

= 1,250 a směrodatnáodchylka σ =

√D(X)

.= 1,118.

3.3.4 Poznámka. Hodnoty pravděpodobnostní a distribuční funkce binomickéhorozdělení je možné v Excelu získat pomocí funkce BINOMDIST, která má 4 para-metry: první parametr je hodnota náhodné veličiny X, druhý parametr počet pokusů(tedy parametr n), třetí parametr udává pravděpodobnost úspěchu v 1 pokuse (pa-rametr π) a poslední parametr je logická proměnná (pravda–nepravda nebo 0–1) ur-čující, zda bude spočtena pravděpodobnostní funkce (parametr je 0) nebo distribučnífunkce (parametr je 1). Hodnotu pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny s bino-mickým rozdělením s parametry n = 5 a π = 0,51 v bodě x = 2 získáme příka-zem BINOMDIST(2;5;0,51;0)

.= 0,30601, hodnotu distribuční funkce pak příkazem

BINOMDIST(2;5;0,51;1).= 0,48125.


1. Házíme třikrát hrací kostkou. Nechť náhodná veličina X udává počet padnutýchšestek.a) Popište náhodnou veličinu pomocí pravděpodobnostní a distribuční funkce azobrazte je graficky.

b) Určete pravděpodobnost, že šestka padne jedenkrát nebo dvakrát, alespoň jed-nou, nejvýše dvakrát.

c) Určete střední hodnotu, modus, rozptyl, směrodatnou odchylku, koeficient šik-mosti a špičatosti sledované náhodné veličiny.

2. Zasadíme 10 semen určité rostliny a předpokládáme, že z každého semene je možnévypěstovat zdravou rostlinu s pravděpodobností 80%.a) Jaký je nejpravděpodobnější počet zdravých rostlin a jaká je pravděpodobnost,že tento počet vypěstujeme?

b) Určete pravděpodobnost, že počet zdravých rostlin bude alespoň 5, nejvýše 9,od 4 do 8.

3. Pracovnice obsluhuje 800 vřeten, na které se navíjí příze. Pravděpodobnost přetr-žení příze na každém z vřeten během směny je 0,005. Jaká je pravděpodobnost, žese během směny roztrhne příze na více než 2 vřetenech? Ověřte, zda je možné prav-děpodobnostní funkci aproximovat Poissonovým rozdělením. Pokud ano, proveďtevýpočet pomocí Poissova rozdělení.

4. Letecká společnost provozuje na určité lince letadlo pro 120 cestujících. I když je nakaždý let všech 120 míst rezervováno, průměrně se 3% cestujících k letu nedostaví


a letadlo létá často s prázdnými místy. Společnost proto rozhodla přijímat rezervaciod 122 cestujících na týž let. Jaká je pravděpodobnost, že nebudou uspokojenivšichni cestující, kteří se dostaví k letu?

5. Student má psát test, na který se nepřipravoval, takže odpovědi (formou ano–ne)bude volit náhodně. Test se skládá z 20 otázek a pro úspěšné absolvování je třebaalespoň 15 správných odpovědí. Jaká je pravděpodobnost, že student test splní?

Řešení.1. a) p(x):

(3x

) (16

)x (56

)3−xpro x = 0, 1, 2, 3; 0 jinak; b) 0,417; 0,421; 0, 995; c) 0,5; 0;

0,417; 0,645; 1,033; 0,4;2. a) 8; 0,302; b) 0,994; 0,893; 0,623;3. 0,76263; Po(4); 0,76190;4. 0,116;5. 0,021.


[Kříž 1]: str. 59–62.

3.4 Hypergeometrické rozdělení

Máme N objektů, mezi nimiž jeM se sledovanou vlastností (např. 4 vadné výrobkyv sérii 200 kusů, 6 čísel ze 49, na která sázející Sportky vsadil, . . . ). Vybereme náhodněbez vracení n objektů. Náhodná veličina X, která udává počet vybraných objektů sesledovanou vlastností, má hypergeometrické rozdělení.

3.4.1 Definice. Náhodná veličina X má hypergeometrické rozdělení Hg(N, M, n),právě když má pravděpodobnostní funkce tvar

p(x) =

(Mx )(N−Mn−x )(Nn)

max0, n−N +M ≤ x ≤ minn, M, x ∈ N0,0 jinak.

Následující tabulka uvádí hodnoty některých číselných charakteristik hypergeome-trického rozdělení.

E(X) D(X) α3(X) Mo(X) pozn.

nπ nπ(1− π)N−nN−1

(1−2π)(N−2n)(N−2)σ a− 1 ≤ Mo(X) ≤ a π = M

N, a = (M+1)(n+1)

N+2

Příklady: počet vadných výrobků mezi n náhodně vybranými výrobky z dodávky,číselné loterie, Sportka, 5 ze 40, 10 šťastných čísel, apod.


3.4.2 Poznámka. Zlomek nNvyjadřuje tzv. výběrový podíl. Je-li tento podíl menší než

0,05, lze hypergeometrické rozdělení aproximovat binomickým rozdělením s parametryn a π = M

N, tedy (

Mx

)(N−Mn−x

)(Nn

) ≈(

n

x

)πx(1− π)n−x.

Je-li rozsah N velký a n relativně malé, potom rozdíl mezi výběrem bez vracení (roz-dělení Hg(N, M, n)) a s vracením (rozdělení B(n, π)) je zanedbatelný. Je-li navíc π == M

N< 0,1 a n > 30, je možné hypergeometrické rozdělení aproximovat Poissonovým

rozdělením, kde λ = nMN, tedy (

Mx

)(N−Mn−x

)(Nn

) ≈ λx

x!e−λ.

3.4.3 Příklad. Výrobky jsou dodávány v sériích po 100 kusech. Výstupní kontrolaprohlíží z každé série 5 různých náhodně vybraných výrobků a přijímá ji, jestliže mezinimi není žádný zmetek. Očekáváme, že série obsahuje 4% zmetků. Určete pravdě-podobnostní a distribuční funkci náhodné veličiny udávající počet zmetků ve výběru.S jakou pravděpodobnostní nebude série přijata? Spočítejte střední hodnotu a směro-datnou odchylku této náhodné veličiny. Zjistěte, zda jsou splněny podmínky aproximacebinomickým rozdělením.

Řešení. V sériích po 100 kusech se očekává 4% zmetků, což je 4. Náhodnou veličinuudávající počet zmetků mezi 5 vybranými výrobky můžeme popsat pomocí hypergeo-metrického rozdělení X ∼ Hg(100, 4, 5). Tato náhodná veličina může nabývat hodnot0, 1, 2, 3 a 4. Pravděpodobnostní funkce má tvar

p(x) =

(4x)( 965−x)(1005 )

pro x = 0, 1, 2, 3, 4,

0 jinak,

její hodnoty jsou uvedeny v tabulce.

x 0 1 2 3 4p(x) 0,8119 0,1765 0,0114 2,4 · 10−4 1,3 · 10−6F (x) 0,8119 0,9884 0,9998 0,999999 1

Grafy pravděpodobnostní funkce a distribuční funkce jsou zobrazeny na obrázku 3.3.Určíme pravděpodobnost, se kterou nebude série přijata, tzn. že bude obsahovat

alespoň 1 zmetek, tedy P (X ≥ 1) = 1−P (X < 1) = 1−P (X = 0) = 1−p(0).= 0,188.

Střední hodnota hypergeometrického rozdělení je E(X) = nMN= 0,2, což znamená, že

lze dlouhodobě očekávat „průměrněÿ 0,2 zmetku v 1 sérii. Směrodatná odchylka má

hodnotu σ =√

D(X) =√

nMN(1− M

N)N−n

N−1.= 0,429.


Obr. 3.3 Pravděpodobnostní a distribuční funkce rozdělení Hg(100, 4, 5)

Jelikož je výběrový podíl nN= 0,05 (viz poznámka 3.4.2, π = M

N= 0,04), mů-

žeme hypegeometrické rozdělení aproximovat binomickým rozdělením B(5; 0,04). Po-mocí aproximace tímto rozdělením by série nebyla přijata s pravděpodobnostíP (X ≥ 1) = 1− P (X < 1) = 1− P (X = 0) = 1−

(50

)· 0,040 · 0,965 .

= 0,185.

3.4.4 Poznámka. Hodnotu pravděpodobnostní funkce hypergeometrického rozděleníje možné v Excelu získat pomocí funkce HYPERGEOMDIST, která má 4 parame-trů: první parametr je hodnota náhodné veličiny X, druhý parametr určuje velikostvýběru (tedy parametr n), třetí parametr udává počet prvků se sledovanou vlast-ností (parametr M) a poslední parametr udává celkový rozsah souboru (parametrN). Hodnotu pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny s hypergeometrickým roz-dělením s parametry N = 100, M = 4 a n = 5 v bodě x = 0 získáme příkazemHYPERGEOMDIST(0;5;4;100)

.= 0,81188.


1. Ve Sportce se z osudí obsahujícího 49 čísel losuje bez vracení 6 čísel. Sázející označína sázence 6 čísel. Označme jako náhodnou veličinu počet těch čísel mezi vytaže-nými, na která si hráč vsadil.a) Popište náhodnou veličinu pomocí pravděpodobnostní a distribuční funkcea zobrazte je graficky.

b) Určete pravděpodobnost, že hráč uhodne všech 6 čísel.c) S jakou pravděpodobností hráč nevyhraje (uhodne nejvýše 2 čísla)?d) Určete střední hodnotu a modus sledované náhodné veličiny.

2. Určitý typ součástek je dodáván v sériích po 200 kusech. Při přejímací kontrole jez každě série náhodně vybráno 5 výrobků, které se zkouškou znehodnotí. Série jepřijata, jestliže mezi kontrolovanými výrobky není žádný vadný. Předpokládejme,že v sérii je 10 vadných výrobků.


a) Popište náhodnou veličinu udávající počet vadných vybraných výrobků pomocípravděpodobnostní a distribuční funkce a zobrazte je graficky.

b) S jakou pravděpodobností bude série přijata?c) Určete střední hodnotu, rozptyl, směrodatnou odchylku a modus počtu zmetkůve výběru.

d) Prověřte, zda jsou splněny podmínky pro aproximaci rozdělení náhodné veličinyjiným typem rozdělení.

3. V dodávce 80 polotovarů je 8 kusů vadných. Náhodně vybereme najednou 5 polo-tovarů k další kompletaci. Jaká je pravděpodobnost, že mezi vybranými polotovarybude nejvýše jeden vadný?

4. Ze skupiny 30 studentů, kteří se přihlásili do kurzu, má 6 výborný prospěch. Dokurzu má být náhodně vylosováno 20 studentů. Jaká je pravděpodobnost, že dokurzu budou zařazenia) všichni výborní studenti,b) alespoň 3 výborní studenti?

5. V osudí je 20 červených a 30 modrých míčků. Náhodně vybereme 8 míčků. Jaká jepravděpodobnost, že mezi vybranými míčky budou 4 modré, když provádímea) výběry bez vracení,b) výběry s vracením?

Řešení.1. a) p(x):

(6x

)( 436−x

)/(496

)pro x = 0, 1, . . . , 6; jinak 0; b) 7,151 · 10−8; c) 0,981; d) 0,735;

0;2. a) p(x):

(10x

)( 1905−x

)/(2005

)pro x = 0, 1, . . . , 5; jinak 0; b) 0,772; c) 0,25; 0,233; 0,482;

0; d) B(5; 0,05);3. 0,924;4. a) 0,065; b) 0,924;5. a) 0,247; b) 0,232.


[Kříž 1]: str. 62–65.



Klíčová slova:

diskrétní náhodná veličina, Poissonovo rozdělení, alternativní rozdělení, binomickérozdělení, hypergeometrické rozdělení

Základní úlohy:

• Řešení pravděpodobnostních úloh.• Určování charakteristik daných rozdělení.• Rozpoznání vhodného modelu náhodné veličiny.


[Kříž 2]: str. 19–22,[Cyhelský]: str. 149–161, odstavce 8.1, 8.2, 8.4,[Hindls]: str. 77–83.



1. Rozhodněte, která tvrzení jsou pravdivá:a) Alternativní rozdělení je speciálním případem binomického rozdělení.b) Binomické rozdělení je vždy možné aproximovat Poissonovým rozdělením.c) Náhodná veličina s Poissonovým rozdělením má střední hodnotu rovnu rozptylu.d) Náhodná veličina udávající počet úspěchů v n závislých pokusech má binomickérozdělení.

e) Hypergeometrické rozdělení je možné, při splnění jistých podmínek, aproximovatrozdělením binomickým.

f) Hypergeometrické rozdělení je možné, při splnění jistých podmínek, aproximovatrozdělením Poissovovým.

g) Každá náhodná veličina s binomickým rozdělením má vždy pouze 1 modus.


1. K automatu na prodej nápojů přijde v průměru 30 zákazníků za 1/2 hodiny. Jakáje pravděpodobnost, že během příštích 5 minuta) přijde k automatu právě 1 zákazník?b) přijdou k automatu nejvýše 2 zákazníci?c) přijdou k automatu alespoň 3 zákazníci?


d) Určete střední hodnotu, modus, rozptyl, směrodatnou odchylku počtu zákaz-níků, kteří přijdou k automatu během 5 minut.

2. Střelec střílí 10 krát na terč. Pravděpodobnost zásahu terče při 1 výstřelu je 80%.Předpokládejte, že výstřely jsou navzájem nezávislé. Jaká je pravděpodobnost,a) že střelec mine terč nejvýše 1 krát?b) že střelec mine terč alespoň 2 krát?c) že střelec nemine ani jednou?d) Určete střední hodnotu, modus, rozptyl, směrodatnou odchylku, koeficient šik-mosti a špičatosti počtu výstřelů mimo terč.

3. Statisticky bylo zjištěno, že v závodě vyrobí v průměru na každých 100 výrobků 5zmetků. Nechť náhodná veličina udává počet zmetků v dodávce 10 kusů. Jaká jepravděpodobnost, žea) v dodávce bude nejvýše 1 zmetek?b) bude více než 1 zmetek?c) bude právě 1 zmetek?d) Určete střední hodnotu, modus, rozptyl, směrodatnou odchylku sledované ná-hodné veličiny.

Řešení.A.1. a) pravda; b) nepravda; c) pravda; d) nepravda; e) pravda; f) pravda; g) nepravda.B.1. a) 0,034; b) 0,125; c) 0,875; d) 5; 4 a 5; 5;

√5

.= 2,236;

2. a) 0,376; b) 0,624; c) 0,107; d) 2; 2; 1,6; 1,265; 0,474; 0,025;3. a) 0,923; b) 0,077; c) 0,339; d) 0,5; 0; 0,432; 0,657.


4 MODELY SPOJITÉ NÁHODNÉ VELIČINY

V této kapitole probereme čtyři nejčastěji se vyskytující modely spojité ná-hodné veličiny. Věnovat se budeme rovnoměrnému, exponenciálnímu, normálnímua logaritmicko-normálnímu rozdělení. Na závěr se seznámíme se třemi speciálnímimodely, které mají zcela výsadní postavení ve statistice.

Cílem kapitoly je:

• seznámit se se základními modely spojité náhodné veličiny,• popsat dané modely pomocí funkcí hustoty, distribučních funkcí a číselnýchcharakteristik,

• ukázat si, jak se řeší pravděpodobnostní úlohy pomocí těchto modelů.

4.1 Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení R(α, β) se používá jako model náhodné veličiny tehdy, kdyžmá náhodná veličina konstantní hustotu pravděpodobnosti na intervalu (α, β), kde αi β jsou reálná čísla. To znamená, že pro libovolné intervaly shodné délky má náhodnáveličina stejnou pravděpodobnost – porovnejte s geometrickou definicí pravděpodob-nosti (viz modul 1.5).

4.1.1 Definice. Spojitá náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení R(α, β),právě když funkce hustoty pravděpodobnosti má tvar

f(x) =

1

β − αpro α < x < β,

0 jinak.

Potom distribuční funkce je popsaná rovnicemi

F (x) =

0 pro x ≤ α,

x− α

β − αα < x < β,

1 x ≥ β.

Grafy obou funkcí jsou na obrázku 4.1. Následující tabulka uvádí hodnoty některýchčíselných charakteristik rozdělení R(α, β).

E(X) D(X) α3(X) α4(X) kvantily xP Me(X)

α+β2

112(β − α)2 0 −1,2 α+ P (β − α) α+β

2


Obr. 4.1 Funkce hustoty a distribuční funkce rovnoměrného rozdělení R(α, β)

4.1.2 Poznámka. Příklady náhodných veličin s rovnoměrným rozdělením: tímto roz-dělením se zpravidla řídí doba čekání na uskutečnění jevu, který se opakuje v pravi-delných intervalech (např. doba čekání na vlak metra, doba čekání na dodávku zboží,pokud se pravidelně opakuje, . . . ), chyby při zaokrouhlování čísel, chyby při odečítáníúdajů z měřících přístrojů (s lineární stupnicí) apod.

4.1.3 Příklad. Pro x ∈ (α, β) odvoďte rovnici distribuční funkce rozdělení R(α, β).

Řešení. K odvození F (x) použijeme obecnou definici distribuční funkce podle vztahu(2.2). Funkce hustoty je na intervalu (α, β) dána rovnicí f(x) = 1

β−α, potom pro dis-

tribuční funkci platí

F (x) =

x∫−∞

f(t)dt =

x∫α

1β − α

dt =1

β − α[t]xα =

x− α

β − α.

4.1.4 Příklad. Při zaokrouhlování čísla na 2 desetinná místa se dopouštíme chyby,která je náhodnou veličinou s funkcí hustoty pravděpodobosti f(x) = 1/0,01 a pro-storem hodnot M = (−0,005; 0,005). Jaká je pravděpodobnost, že absolutní chybanepřekročí hodnotu 0,002? Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku sledovanéchyby.

Řešení. Hledanou pravděpodobnost lze vypočítat pomocí distribuční funkce i po-mocí funkce hustoty. Hledanou pravděpodobnost vyjádříme pomocí distribuční funkce:P (|X| < 0,002) = P (−0,002 < X < 0,002) = F (0,002)− F (−0,002) = 0,002−(−0,005)

0,01 −− −0,002−(−0,005)

0,01 = 0,4. Pomocí funkce hustoty dostaneme: P (−0,002 < X < 0,002) =

=∫ 0,002−0,002

10,01dx = 1

0,01 [x]0,002−0,002 = 0,4. Pro střední hodnotu platí E(X) = α+β

2 =

= −0,005+0,0052 = 0. Tomu lze rozumět tak, že při zaokrouhlování se vzniklé chyby „vy-

rovnávajíÿ. Pro výpočet směrodatné odchylky musíme nejprve znát rozptyl: D(X) == 112(β − α)2 = 0,012

12 . Odtud dostaneme σ(X) =√

D(X).= 2, 887 · 10−3.



1. Dokažte, že pro rovnoměrné rozdělení R(α, β) platía) E(X) = α+β

2 ,b) D(X) = 1

12(β − α)2,c) xP = α+ P (β − α),d) Me(X) = α+β

2 .

2. Náhodná veličina X má distribuční funkci

F (x) =

0 pro x ≤ −4,

x+ 46

−4 < x < 2,

1 x ≥ 2.

a) Určete funkci hustoty pravděpodobnosti, střední hodnotu, rozptyl, medián a30% kvantil této náhodné veličiny.

b) Určete pravděpodobnost, že náhodná veličina bude nabývat hodnot větších než−3, menších než 0, od −1 do 1.

3. Autobusy MHD jezdí v pravidelných intervalech po 15 minutách. Cestující přijde nazastávku v libovolném okamžiku. Sledujme náhodnou veličinu představující dobučekání na příjezd autobusu.a) Popište tuto náhodnou veličinu pomocí funkce hustoty a distribuční funkce,funkce vyjádřete matematicky i graficky.

b) Určete pravděpodobnost, že cestující bude čekat na spoj nejvýše 5 minut, právě10 minut, nejméně 3 minuty, 3 až 10 minut.

c) Určete střední hodnotu, medián, rozptyl, směrodatnou odchylku a 90% kvantildoby čekání na autobus.

4. Prodejna očekává dodávku zboží v době od 7 do 9 hodin. Uskutečnění dodávky jestejně možné kdykoliv během tohoto intervalu. Označme jako náhodnou veličinudobu čekání na dodávku.a) Popište náhodnou veličinu dobu čekání pomocí funkce hustoty a distribučnífunkce, funkce vyjádřete matematicky i graficky.

b) Určete pravděpodobnost, že prodejna bude čekat na dodávku nejvýše 40 minut,právě 1 hodinu, minimálně 1/2 hodiny, minimálně 20 minut, nejvýše ale 80minut.

c) Určete střední hodnotu, medián, rozptyl, směrodatnou odchylku a 20% kvantildoby čekání na dodávku.

5. Při vážení nemáme závaží menší než 1 gram. Jestliže výsledek vážení ukáže hmot-nost mezi 15 a 16 gramy, odhadneme hmotnost na 15,5 gramu. Tento odhad jezatížen chybou, která je náhodnou veličinou s konstantní hustotou pravděpodob-nosti v intervalu od −0,5 do 0,5 gramu.


a) Určete hustotu pravděpodobnosti, distribuční funkci, střední hodnotu a rozptylchyby odhadu.

b) Jaká je pravděpodobnost, že absolutní chyba tohoto odhadu nepřekročí hodnotu0,3 gramu?

Řešení.2. a) f(x): 1/6 pro −4 < x < 2; 0 jinak; −1; 3; −1; −2,2; b) 0,833; 0,667; 0,333;3. a) f(x): 1/15 pro 0 < x < 15; 0 jinak; F (x): 0 pro x ≤ 0; x/15 pro 0 < x < 15; 1pro x ≥ 15; b) 0,333; 0; 0,8; 0,467; c) 7,5; 7,5; 18,75; 4,330; 13,5;

4. a) f(x): 1/2 pro 0 < x < 2; 0 jinak; F (x): 0 pro x ≤ 0; x/2 pro 0 < x < 2; 1 prox ≥ 2; b) 0,333; 0; 0,75; 0,5; c) 1; 1; 0,333; 0,577; 0,4;

5. a) f(x): 1 pro −0,5 < x < 0,5; 0 jinak; F (x): 0 pro x ≤ −0,5; x+ 0,5 pro−0,5 < x < 0,5; 1 pro x ≥ 0,5; 0; 0,083; b) 0,6.


[Kříž 1]: str. 65–67.

4.2 Exponenciální rozdělení

Exponenciální jednoparametrické rozdělení E(λ) je duální rozdělení k Poissonovurozdělení Po(λ), se kterým jsme se seznámili v minulé kapitole. Toto rozdělení mánáhodná veličina X, která vyjadřuje dobu čekání mezi dvěma realizacemi jevu, jehožčetnost výskytu má Poissonovo rozdělení. Popisuje tedy chování kladné náhodné veli-činy pro x > 0. My si zavedeme obecnější dvouparametrické exponenciální rozděleníE(α, δ), které popisuje chování kladné náhodné veličiny, která může nabývat hodnotx > α. Parametr α > 0 představuje počáteční dobu, během níž sledovaný jev nastatnemůže, parametr δ > 0 je nositelem informace o variabilitě sledované veličiny.

4.2.1 Definice. Spojitá náhodná veličina X má exponenciální rozdělení E(α, δ),právě když má funkce hustoty pravděpodobnosti tvar

f(x) =

1δe−

x−αδ pro x > α,

0 x ≤ α.

Potom distribuční funkce je popsaná rovnicemi

F (x) =

1− e−


0 x ≤ α.


Obr. 4.2 Funkce hustoty a distribuční funkce exponenciálního rozdělení Ex(α, δ)

Grafy obou funkcí jsou na obrázku 4.2. Následující tabulka uvádí hodnoty některýchčíselných charakteristik rozdělení E(α, δ):

E(X) D(X) α3(X) α4(X) kvantily xP Me(X)

α+ δ δ2 2 6 α− δ ln(1− P ) α+ δ ln 2

4.2.2 Poznámka. Příklady náhodných veličin s exponenciálním rozdělením: toto roz-dělení zpravidla dobře popisuje životnost zařízení, u něhož dochází k poruše z náhod-ných příčin (rozdělení „bez pamětiÿ, životnost je vlastně doba „čekání na poruchuÿ).Dále se často používá v teorii spolehlivosti, v teorii hromadné obsluhy, v teorii obnovyapod.

4.2.3 Příklad. Pro x > α odvoďte obecný vztah pro střední hodnotu E(X).

Řešení. K odvození E(X) použijeme obecnou definici střední hodnoty podle vztahu(2.4):

E(X)=∫M

xf(x)dx =∞∫α

x · 1δe−

x−αδ dx =

∣∣∣∣∣u′ = e−x−α

δ v = x

u = −δ · e−x−αδ v′ = 1

∣∣∣∣∣ = [−x · e−x−αδ

]∞α+

+∞∫α

e−x−α

δ dx = −(lim

x→∞x

e−x−α

δ− α

)− δ ·

[e−

x−αδ

]∞α=

=−(0− α)− δ · (0− 1) = α+ δ

4.2.4 Příklad. Střední doba čekání zákazníka na obsluhu v určité prodejně je 2 minuty.Předpokládejme, že náhodná veličina X doba čekání na obsluhu má exponenciálnírozdělení. Jaká je pravděpodobnost, že náhodný zákazník bude obsloužen v době kratšínež 1,5 minuty? Jaký podíl zákazníků bude čekat déle než 2 minuty? Určete mediánsledované veličiny.


Řešení. Protože α = 0 (minimální doba čekání na obsluhu) a δ = 2, je hledaná

pravděpodobnost P (X < 1,5) = F (1,5) =[1− e−

x−αδ

]x=1,5

= 1 − e−1,52

.= 0,528.

Zákazník bude obsloužen v době kratší než 1,5 minuty s pravděpodobností 0,528. Určitpodíl zákazníků čekajících déle než 2 minuty také znamená určit pravděpodobnost

P (X > 2) = 1 − P (X ≤ 2) = 1 − F (2) = 1 −[1− e−

x−αδ

]x=2= e−1

.= 0,368. Téměř

37% zákazníků bude čekat déle než 2 minuty. Medián je 50% kvantil a určíme jej zevztahu Me(X) = α + δ ln 2 = 2 · ln 2 .

= 1,386. To tedy znamená, že 50% zákazníkůbude obslouženo přibližně do 1 minuty a 23 vteřin.


1. Dokažte, že pro exponenciální rozdělení E(α, δ) platía) F (x) = 1− e−


b) D(X) = δ2,c) xP = α− δ ln(1− P ).

2. Náhodná veličina X má funkci hustoty pravděpodobnosti

f(x) =

1100

e−x100 pro x > 0,

0 x ≤ 0.

a) Určete distribuční funkci, střední hodnotu, směrodatnou odchylku, medián a95% kvantil této náhodné veličiny.

b) Určete pravděpodobnost, že náhodná veličina X bude nabývat hodnot většíchnež 120, menších než 75, hodnot od 75 do 120.

3. Žárovky mají průměrnou životnost 2 tisíce hodin. Předpokládejme, že doba, pokterou žárovka svítí, je náhodná veličina, která má exponenciální rozdělení.a) Popište tuto náhodnou veličinu pomocí funkce hustoty a distribuční funkce.b) Určete pravděpodobnost, že žárovka vydrží v provozu nejvýše 1 tisíc hodin, vícenež 2,5 tisíce hodin, 1–2,5 tisíce hodin.

c) Určete střední hodnotu, směrodatnou odchylku, medián a 90% kvantil životnostižárovek.

4. Předpokládejme, že doba mezi příjezdy nákladních automobilů s betonovou směsína stavbu je náhodnou veličinou, která má exponenciální rozdělení. Minimální dobamezi příjezdy jednotlivých vozidel na stavbu je 5 minut, průměrná doba je 10 minut.a) Popište tuto náhodnou veličinu pomocí funkce hustoty a distribuční funkce.b) Jaká je pravděpodobnost, že doba mezi příjezdy jednotlivých vozidel bude menšínež 7 minut, větší než 11 minut, 7 až 11 minut?

c) Určete střední hodnotu, směrodatnou odchylku, medián a 20% kvantil dobymezi příjezdy automobilů.


5. Pravděpodobnost, že v bance budeme obslouženi v době kratší než 7 minut, je0,4682. Předpokládejme, že doba, za kterou je zákazník v této bance obsloužený, seřídí exponenciálním rozdělením s parametrem α = 1 minuta. Jaká je střední dobaobsluhy v této bance?

Řešení.2. a) F (x): 1 − e−x/100 pro x > 0; 0 pro x ≤ 0; 100; 100; 69,315; 299,573; b) 0,301;0,528; 0,171;

3. a) f(x): 12e−x/2 pro x > 0; 0 pro x ≤ 0; F (x): 1 − e−x/2 pro x > 0; 0 pro x ≤ 0;

b) 0,393; 0,287; 0,320; c) 2; 2; 1,386; 4,605;4. a) f(x): 15e

−(x−5)/5 pro x > 5; 0 pro x ≤ 5; F (x): 1 − e−(x−5)/5 pro x > 5; 0 prox ≤ 5; b) 0,330; 0,301; 0,369; c) 10; 5; 8,466; 6,116;

5. 10,5 min.


[Kříž 1]: str. 68–70.

4.3 Normální rozdělení

Normální rozdělení – také Gaussovo rozdělení – má mimořádný význam v teoriipravděpodobnosti i v matematické statistice. Je použitelné všude tam, kde kolísání ná-hodné veličiny je způsobeno součtem velkého počtu nepatrných a vzájemně nezávislýchvlivů. Uvažuje se tedy v situacích, kdy se ke konstantě µ ∈ R, vyjadřující správnoupolohu náhodné veličiny, přičítá velké množství náhodných veličin (vlivů) nepatrněkolísajících kolem nuly. Vzniká tak proměnlivost náhodné veličiny charakterizovanáčíslem σ ∈ (0,∞).Klasickým typem veličin, které se řídí tímto rozdělením, jsou náhodné chyby. Proto

se toto rozdělení někdy označuje jako zákon chyb. Významnost normálního rozděleníspočívá také v tom, že je limitním rozdělením. To znamená, že za určitých podmínekformulovaných centrální limitní větou (viz 5.3) se k němu blíží řada jiných (spojitýchi diskrétních) rozdělení.

4.3.1 Definice. Spojitá náhodná veličina X má normální rozdělení N(µ, σ2),právě když funkce hustoty má tvar

f(x) =1

σ√2π

e−(x−µ)2

2σ2 pro x ∈ R. (4.1)

Distribuční funkce je definovaná rovnicí

F (x) =

x∫−∞

f(t)dt =1

σ√2π

x∫−∞

e−(t−µ)2

2σ2 dt pro x ∈ R. (4.2)


Grafy obou funkcí jsou na obrázku 4.3.

Obr. 4.3 Funkce hustoty a distribuční funkce normálního rozdělení N(µ, σ2)

O grafu funkce hustoty se hovoří jako o Gaussově křivce. Gaussova křivka s inflex-ními body x = µ ± σ je symetrická kolem bodu x = µ, v němž také dosahuje svéhomaxima 1

σ√2π. Tvar obou funkcí závisí na parametru σ2.

Následující tabulka uvádí hodnoty některých číselných charakteristik rozděleníN(µ, σ2):

E(X) D(X) α3(X) α4(X) kvantily xP Me(X) Mo(X) Poznámka

uP je kvantilµ σ2 0 0 µ+ σuP µ µrozdělení N(0, 1)

4.3.2 Poznámky.1. Např. pro rozdělení náhodné veličiny X ∼ N(50, 25) z obr. 4.4 to znamená, žestřední hodnota E(X) = µ = 50, rozptyl D(X) = σ2 = 25, medián Me(X) a modusMo(X) jsou také rovny parametru µ = 50. Z obrázku je také zřejmé, že parametr µurčuje, kde má křivka funkce hustoty maximum, jeho hodnota je 1

σ√2π= 15√2π

.= 0,08.

Parametr σ naproti tomu určuje, jak jsou po obou stranách od µ vzdálené inflexní bodyx = µ± σ = 50± 5, tedy jak je křivka roztažena do šířky.2. Příklady náhodných veličin s normálním rozdělením: už bylo zmíněno, že normálnírozdělení mají náhodné chyby při fyzikálních (ale obecně jakýchkoliv) měřeních. Dáleje možné normální rozdělení zpravidla očekávat u veličin vznikajících pod vlivem ba-listických zákonů (výsledky střeleb). Na normální rozdělení je možné narazit v řadětechnických, ekonomických, biologických, společenských a dalších situací. Za určitýchpodmínek mají obecně normální rozdělení také náhodné veličiny vznikající jako součtyresp. průměry jiných náhodných veličin (spojitých i diskrétních) s libovolným rozděle-ním.3. Výpočet hodnot distribuční funkce F (x) je problematický, Gaussův pravděpodob-nostní integrál není analyticky vyjádřitelný (neexistuje k němu primitivní funkce), vy-


jadřuje se nekonečným rozvojem řady. Pomocí vhodného počítačového programu lzetedy numerickou metodou hodnoty distribuční funkce získat. Ukážeme si, jak je možnék tomu využít známý program MS Excel.

4.3.3 Příklad. Mějme náhodnou veličinu X ∼ N(50, 25). Jaká je pravděpodobnost,že tato veličina nabude hodnoty a) menší než 41, b) větší než 59, c) v mezích od 42 do56?

Řešení.a) Máme určit P (X < 41) = F (41). Hodnotu distribuční funkce v bodě 41 ur-číme v programu MS Excel pomocí funkce NORMDIST: P (X < 41) = F (41) == NORMDIST(41; 50; 5; 1)

.= 0,03593;

b) P (X > 59) = 1 − P (X < 59) = 1 − F (59) = 1 − NORMDIST(59; 50; 5; 1) = 1 −− 0,96407 .

= 0,03593;c) P (42 < X < 56) = F (56)− F (42) = NORMDIST(56; 50; 5; 1)−− NORMDIST(42; 50; 5; 1) = 0,88493− 0,05480 .

= 0,83013.

Obr. 4.4 Funkce hustoty normálního rozdělení N(50, 25)

4.3.4 Poznámky k užití Excelu.1. Funkce NORMDIST (Vložit / Funkce / Statistické) má 4 parametry: první parametrje hodnota náhodné veličinyX, pro kterou počítáme distribuční funkci, druhý je středníhodnota daného rozdělení, třetí je směrodatná odchylka daného rozdělení a čtvrtý jepravdivostní hodnota 1, kterou vložíme vždy, když chceme určit hodnotu distribučnífunkce F (x). Pokud zde vložíme pravdivostní hodnotu 0, funkce vrátí hodnotu funkcehustoty f(x).2. Obráceně je možné určit k dané pravděpodobnosti hodnotu náhodné veličiny, tj.P% kvantil, pomocí funkce NORMINV, která má tři parametry: první parametr jepravděpodobnost P , se kterou náhodná veličina nepřekročí hledanou hodnotu kvantilu,druhý je střední hodnota daného rozdělení a třetí je směrodatná odchylka danéhorozdělení.


4.4 Normované normální rozdělení

S potřebou stanovit hodnotu distribuční funkce nebo konkrétní kvantil normálníhorozdělení s parametry µ a σ2 se v praktické statistice setkáváme neobyčejně často. Protoje nutné se vypořádat i se situací, kdy počítačové stanovení distribuční funkce resp.kvantilu k dispozici nemáme. V tom případě pro stanovení hodnot distribuční funkceči kvantilu používáme statistické tabulky (viz tabulky II a III). Tyto tabulky jsou všaksestavené pro hodnoty distribuční funkce normované náhodné veličiny U .

4.4.1 Poznámka. Normováním náhodné veličiny (libovolné) se rozumí odečtenístřední hodnoty od každé její hodnoty a vydělení tohoto rozdílu směrodatnou odchyl-kou. Vznikne tak nová náhodná veličina ve tvaru

U =X − E(X)

σ(X),

která se označuje jako normovaná náhodná veličina.Pro normovanou náhodnou veličinu platí následující tvrzení:

4.4.2 Věta. Má-li náhodná veličina X rozdělení se střední hodnotou E(X) = µa rozptylem D(X) = σ2, potom normovaná náhodná veličina U = X−µ

σmá rozdělení

se střední hodnotou E(U) = 0 a rozptylem D(U) = 1.

Důkaz. Z vlastností střední hodnoty a rozptylu plyne pro U = X−µσ

E(U) = E(

X−µσ

)= E(X)−µ

σ = µ−µσ = 0,

D(U) = D(

X−µσ

)= D(X)−0

σ2= σ2

σ2= 1.

Toto tvrzení platí pro jakékoliv libovolné rozdělení. Pro normální rozdělení platínavíc další důležité tvrzení:

4.4.3 Věta. Má-li spojitá náhodná veličina X normální rozdělení N(µ, σ2) s funkcíhustoty (4.1) a distribuční funkcí (4.2), potom normovaná náhodná veličina U = X−µ

σ

má normované normální rozdělení N(0, 1) s funkcí hustoty pravděpodobnosti

φ(u) =1√2π

e−u2

2 pro u ∈ R

a s distribuční funkcí

Φ(u) =

u∫−∞

φ(t)dt =1√2π

u∫−∞

e−t2

2 dt pro u ∈ R.


Důkaz. Do rovnice distribuční funkce F (x) = 1σ√2π

x∫−∞

e−(t−µ)2

2σ2 dt zavedeme substituci u =

= x−µσ , kterou se hodnota určitého integrálu nemění. Potom dostaneme rovnici distribuční

funkce Φ(u) = 1√2π

u∫−∞

e−t2

2 dt, ze které je zřejmé, že funkce je funkcí hustoty náhodné veli-

činy U .

Následující tabulka uvádí hodnoty některých číselných charakteristik rozděleníN(0, 1):

E(U) D(U) α3(U) α4(U) kvantily uP Me(U) Mo(U)

0 1 0 0 tabelované 0 0

Grafy funkce hustoty φ(u) a distribuční funkce Φ(u) jsou na obrázku 4.5. Normovanénormální rozdělení má parametry µ = 0 a σ2 = 1, Gaussova křivka s inflexními bodyu = µ ± σ = 0 ± 1 je symetrická kolem bodu u = µ = 0, v němž také dosahuje svéhomaxima 1√

2π

.= 0,40.

Obr. 4.5 Funkce hustoty a distribuční funkce normovaného normálního rozdělení N(0, 1)

4.4.4 Poznámky.1. Vybrané hodnoty distribuční funkce Φ(u) jsou tabelované v tabulce II. Hodnotě uje vždy přiřazená hodnota Φ(u). V tabulkách nalezneme pouze hodnoty distribučnífunkce pro nezáporné u. Chceme-li určit distribuční funkci pro záporné u, využijemevztah

Φ(−u) = 1− Φ(u).

V Excelu lze hodnotu distribuční funkce určit pomocí funkce NORMSDIST(u), kterámá pouze jeden parametr u. Ověřte si určení distribuční funkce Φ(−0,63)• pomocí tabulek: Φ(−0,63) = 1− Φ(0,63) = 1− 0,73565 = 0,26435;• v Excelu: NORMSDIST(−0,63) .

= 0,26435.


2. Vybrané hodnoty kvantilů uP jsou tabelované v tabulce III. Hodnotě P je vždypřiřazená hodnota uP . V tabulkách nalezneme pouze hodnoty kvantilů pro P ≥ 0,5.Potřebujeme-li kvantil pro P < 0,5, využijeme základní vlastnost kvantilů N(0, 1)vyjádřenou vztahem

uP = −u1−P .

V Excelu určíme hodnotu kvantilu uP pomocí funkce NORMSINV(P ), která má pouzejeden parametr P . Ověřte si určení 4% kvantilu u0,04• pomocí tabulek: u0,04 = −u1−0,04 = −u0,96 = −1,751;• v Excelu: u0,04 = NORMSINV(0,04)

.= −1,751.

3. Z tabulek hodnot distribuční funkce Φ(u) rozdělení N(0, 1) určíme také hodnotydistribuční funkce F (x) rozdělení N(µ, σ2) pomocí vztahu

F (x) = Φ(u) = Φ

(x− µ

σ

). (4.3)

Pomocí tohoto vztahu je možné stanovit hodnotu distribuční funkce pro libovolné xa libovolné parametry µ a σ2.

4.4.5 Příklad. Předpokládejme, že hmotnost vejce je náhodná veličina, která mápřibližně normální rozdělení se střední hodnotou 50 g a směrodatnou odchylkou 5 g.Vejce patří do třídy A, jestliže jeho hmotnost je v mezích 55 až 60 g. Kolik vajectřídy A můžeme očekávat v dodávce 1000 vajec? Jistý odběratel má zájem o 30%vajec s nejnižší hmotností. Jakou nejvyšší hmotnost vajec bude v dodávce očekávat?Výsledky konfrontujte s obr. 4.4.

Řešení. Budeme vycházet z toho, že náhodně vybrané vejce bude třídy A, tedy po-třebujeme určit pravděpodobnost P (55 < X < 60). Předpokládáme X ∼ N(50, 25) aužijeme vztah (4.3):P (55 < X < 60) = F (60)−F (55) = Φ

(60−505

)−Φ

(55−505

)= Φ(2)−Φ(1) = 0,97725−

− 0,84134 = 0,13591.Při výpočtu v Excelu dostaneme:P (55 < X < 60) = NORMDIST(60; 50; 5; 1) − NORMDIST(55; 50; 5; 1) .

= 0,97725 −− 0,84134 = 0,13591.Očekávaný počet vajec třídy A v dodávce je tedy 1000 · 0,13591 .

= 136. Dále se zají-máme o hodnotu náhodné veličiny, která nebude s 30% pravděpodobností překročena,tedy o 30% kvantil. K jeho určení užijeme vztah x0,30 = µ+σ ·u0,30 = µ+σ · (−u0,70) == 50− 5 · 0,524 .

= 47,380.Při výpočtu v Excelu dostaneme: x0,30 = NORMINV(0,30; 50; 5)

.= 47,378.

Rozdílné výsledky (o 0,002) lze vysvětlit tím, že Excel počítal s hodnotou kvantilus plnou přesností, kdežto hodnota kvantilu z tabulek je zaokrouhlená. Odběratel můžev dodávce očekávat vejce s hmotností přibližně do 47,4 g.

4.4.6 Příklad. Určete pravděpodobnost, že náhodná veličina X s normálním rozdě-lením N(µ, σ2) nabude hodnot z intervalu (µ− 3σ, µ+ 3σ).

Řešení. P (µ−3σ < X < µ+3σ) = F (µ+3σ)−F (µ−3σ) = Φ(

µ+3σ−µσ

)−Φ

(µ−3σ−µ

σ

)=

= Φ(3)− Φ(−3) = Φ(3)− [1− Φ(3)] = 2 · Φ(3)− 1 = 2 · 0,99865− 1 .= 0,997.


Tento výsledek je pro statistiku významnější, než se na první pohled zdá. Říká nám,že pokud má náhodná veličina normální rozdělení (bez ohledu na parametry), potoms pravděpodobností 0,997 se budou hodnoty této veličiny nacházet v intervalu µ± 3σ.Trochu konkrétněji: pokud provedeme reálně 1000 měření sledované náhodné veličiny,lze očekávat, že mimo tento interval budou průměrně 3 naměřené hodnoty.


1. Odvoďte vztah pro určení kvantilu xP = µ+ σ · uP .

2. Určete pro N(0, 1) z tabulek Φ(1,57), Φ(−2,25), u0,975, u0,10.3. Určete pravděpodobnost, že náhodná veličina X s normálním rozdělením N(µ, σ2)nabude hodnot z intervalu a) (µ−σ, µ+σ), b) (µ−2σ, µ+2σ). Výsledky praktickyinterpretujte.

4. Měření je doprovázeno systematickými a náhodnými chybami. Měřící přístroj jezatížen systematickou chybou 0,5 m a náhodné chyby mají normální rozdělení sesměrodatnou odchylkou 0,3 m.a) Určete pravděpodobnost, že chyba měření nepřekročí v absolutní hodnotě 1 m.b) Určete hodnotu měřené veličiny, která nebude s pravděpodobností 0,90 překro-čena.

5. Doba, kterou potřebují studenti na vypracování zkouškového testu, má normálnírozdělení se střední hodnotou 50 min. a směrodatnou odchylkou 10 min.a) Kolik procent studentů dokončí test do hodiny?b) Jaká doba je nutná k tomu, aby test dokončilo alespoň 90% studentů?

6. Firma poskytuje na své výrobky záruční dobu 2 roky. Na každém výrobku, kterýprodá, má firma zisk 520 Kč. Pokud zákazník vrátí vadný výrobek v záruční době,firma vymění výrobek za nový, čímž ztratí 1000 Kč. Předpokládejme, že životnostvýrobku se řídí normálním rozdělením se střední hodnotou 5,6 roku a směrodatnouodchylkou 1,7 roku a víc než 1 výměna nepřichází v úvahu.a) Vypočítejte pravděpodobnost, s jakou se výrobek během záruční doby porouchá,a určete průměrný zisk za prodaný kus.

b) Určete, jak by se musela změnit záruční doba, aby průměrný zisk z prodanéhovýrobku činil alespoň 508 Kč.

Řešení.2. 0,94179; 0,01222; 1,960; −1,282;3. a) 0,683; b) 0,954;4. a) 0,953; b) 0,884;5. a) 84,1; b) 63;6. a) 0,017; 503; b) 21 měsíců.


[Kříž 1]: str. 70–73.


4.5 Logaritmicko-normální rozdělení

Logaritmicko-normální rozdělení je důležité rozdělení pro jednostranně ohraničenádata. Úzce je spjato s logaritmickou transformací normálního rozdělení. Nechť X jenezáporná náhodná veličina. Má-li náhodná veličina lnX normální rozdělení N(µ, σ2),potom náhodná veličina X má logaritmicko-normální rozdělení LN (µ, σ2) (viz odstavec4.5.2 poznámka 1).

4.5.1 Definice. Spojitá náhodná veličina X má logaritmicko-normální rozděleníLN (µ, σ2), právě když funkce hustoty pravděpodobnosti má tvar

f(x) =

1

xσ√2π

e−(ln x−µ)2

2σ2 pro x > 0,

0 x ≤ 0.

Distribuční funkce je definovaná rovnicí

F (x) =

x∫0

f(t)dt pro x > 0,

0 x ≤ 0.

Grafy funkce hustoty a distribuční funkce tohoto rozdělení jsou na obrázku 4.6.Zobrazené rozdělení má parametry µ = 0 a σ2 = 1.

Obr. 4.6 Funkce hustoty a distribuční funkce logaritmicko-normálního rozdělení LN (0, 1)

Následující tabulka uvádí hodnoty některých číselných charakteristik rozděleníLN (µ, σ2) – ozn. ω = eσ2 :

E(X) D(X) α3(X) α4(X) kvantily xP Mo(X)

eµ+σ2/2 e2µ+σ2(ω − 1)√

ω − 1(ω + 2) ω4 + 2ω3 + 3ω2 − 6 eµ+σuP eµ−σ2


4.5.2 Poznámky.1. Uvažujme náhodnou veličinu X = eY , která je rostoucí funkcí náhodné veličiny Ys normálním rozdělením N(µ, σ2). Použitím jednoduché transformace y(x) = lnx prox > 0 potom dostaneme funkci hustoty f(x) z definice 4.5.1 logaritmicko-normálníhorozdělení. Parametry tohoto rozdělení

µ = E(lnX) a σ2 = D(lnX)

jsou shodné s parametry rozdělení náhodné veličiny Y = lnX ∼ N(µ, σ2).2. Při popisu náhodné veličiny X ∼ LN (µ, σ2) postupujeme tak, že ji transformujemena náhodnou veličinu lnX ∼ N(µ, σ2); potom pro normovanou náhodnou veličinu Uplatí

U =lnX − µ

σ∼ N(0, 1).

Platí tedy F (x) = Φ(u) = Φ( lnx−µ

σ

), kde Φ(u) je distribuční funkce rozdělení N(0, 1)

a u = lnx−µσ.

3. Logaritmicko-normální rozdělení se v praxi uplatňuje jako model příjmových a mzdo-vých rozdělení, v oblasti normování práce, doby obnovy, opravy, výměny zařízení, veli-kosti částic sypkých materiálů, v teorii spolehlivosti a v dalších situacích. Toto rozdě-lení je často vhodné pro popis nízkých koncentrací, malých hmotností, krátkých délekapod.4. V Excelu lze hodnotu distribuční funkce určit pomocí funkce LOGNORMDIST,která má 3 parametry: první parametr je hodnota náhodné veličiny X, pro kteroupočítáme distribuční funkci F (x), druhý je střední hodnota rozdělení lnX (tedy para-metr µ) a třetí je směrodatná odchylka rozdělení lnX (tedy parametr σ).Ověřte si určení distribuční funkce F (4) pro rozdělení LN (2; 0,49)

• pomocí tabulek: F (4) = Φ(ln 4−20,7

).= Φ(−0,88) = 1 − Φ(0,88) = 1 − 0,81057 =

= 0,18943;• v Excelu: F (4) = LOGNORMDIST(4; 2; 0,7) .

= 0,19032. Tento výpočet je provedens úplnou přesností.

5. P% kvantil pro logaritmicko-normální rozdělení je možné určit v Excelu pomocífunkce LOGINV(P ;µ;σ).Ověřte si určení 30% kvantilu x0,30 pro rozdělení LN (2; 0,49)• pomocí výpočtu: x0,30 = eµ+σ·u0,30 = e2−0,7·0,524

.= 5,12023;

• v Excelu: x0,30 = LOGINV(0,3; 2; 0,7).= 5,11880. Tento výpočet je proveden s úpl-

nou přesností.

4.5.3 Příklad. Na základě dlouhodobého pozorování víme, že hmotnost balíku zasí-laného poštou je náhodná veličina s logaritmicko-normálním rozdělením LN (1,6; 0,16).Jaký je podíl balíků o hmotnosti nad 10 kg? Určete střední hodnotu, směrodatnouodchylku a medián hmotnosti balíků.

Řešení. Parametry rozdělení naší náhodné veličiny jsou µ = 1,6 a σ2 = 0,16, tedyσ = 0,40. Hledaná pravděpodobnost je P (X > 10) = 1−P (X ≤ 10) = 1−F (10) = 1−− Φ

(ln 10−1,60,40

).= 1− Φ(1,76) = 1− 0,98080 .

= 0,039. Při přepravě balíků se vyskytují


necelé 4% balíků o hmotnosti nad 10 kg. Prověřte si tento výsledek také výpočtemv Excelu.Střední hodnotu naší veličiny určíme ze vztahu E(X) = eµ+σ2/2 = e1,6+0,16/2 == e1,68

.= 5,366. Prakticky to znamená, že dlouhodobě je průměrná hmotnost balíků

přibližně 5,40 kg.Dále určíme pomocný parametr ω = eσ2 = e0,16

.= 1,1735. Pro rozptyl platí D(X) =

= e2µ+σ2(ω − 1) = e3,2+0,16 · 0,1735 .= 4,995. Odtud dostaneme směrodatnou odchylku

σ(X) =√

D(X).= 2,235.

Medián je 50% kvantil, který dostaneme ze vztahu Me(X) = eµ = e1,6.= 4,953.

To znamená, že 50% balíků dosahuje hmotnosti těsně pod 5 kg. Prověřte si i tentovýsledek výpočtem v Excelu.


1. Odvoďte vztah pro určení kvantilu xP = eµ+σuP .

2. Náhodná veličina X má logaritmicko-normální rozdělení LN (3,5; 0,36).a) Vypočítejte hodnotu distribuční funkce F (x) v bodě x = 16, střední hodnotu,směrodatnou odchylku, modus, 5% kvantil a koeficient šikmosti této náhodnéveličiny.

b) Určete pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnoty menší než 20,větší než 30, od 20 do 30. Co platí pro součet těchto pravděpodobností a proč?

3. Bylo zjištěno, že velikost částic štěrku (v mm) určitého typu je náhodná veličina,která má logaritmicko-normální rozdělení s parametry µ = 2,5 a σ2 = 0,16.a) Určete podíl štěrku o velikosti 10–15 mm v jedné dodávce.b) Vypočítejte střední hodnotu, směrodatnou odchylku, medián, koeficient šik-mosti a špičatosti velikosti částic štěrku.

4. Bylo zjištěno, že doba potřebná k provedení opravy přístroje (v hod.) má logarit-micko-normální rozdělení s parametry µ = 2,3 a σ2 = 0,64.a) Určete pravděpodobnost, že oprava určitého přístroje bude trvat minimálně 15hod.

b) Vypočítejte střední hodnotu, rozptyl, směrodatnou odchylku, medián a modusdoby trvání opravy.

5. Předpokládejme, že odstupy mezi jedoucími vozidly na dálnici (ve vteřinách) před-stavují náhodnou veličinu, která má logaritmicko-normální rozdělení s parametryµ = 1,27 a σ2 = 0,49.a) Určete podíl vozidel, jejichž odstupy budou 4 až 5 vteřin.b) Vypočítejte střední hodnotu, rozptyl, směrodatnou odchylku, medián, modus akoeficient šikmosti odstupu jedoucích vozidel.

Řešení.2. a) 0,113; 39,646; 26,098; 23,104; 12,343; 2,260; b) 0,200; 0,564; 0,236;


3. a) 38,6%; b) 13,197; 5,497; 12,182; 1,322; 3,260;4. a) 0,305; b) 13,736; 169,139; 13,005; 9,974; 5,259;5. a) 11,7%; b) 4,549; 13,087; 3,618; 3,561; 2,181; 2,888.


[Kříž 1]: str. 73–74.

4.6 Rozdělení některých funkcí náhodných veličin

Pro řešení řady praktických statistických úloh mají zvláštní význam rozdělení urči-tých funkcí normálně rozdělených náhodných veličin. Jedná se o rozdělení χ2 (Pearso-novo1), t (Studentovo) a F (Fisherovo-Snedecorovo2). U všech těchto rozdělení budemeznačit náhodné veličiny i jejich hodnoty stejně, a to symboly používanými právě projednotlivá rozdělení, tj. χ2, t a F .

4.6.1 Definice. Uvažujme nezávislé náhodné veličiny U1, U2, . . . , Uν , z nichž každámá rozdělení normované normální rozdělení N(0, 1), potom součet čtverců těchtoveličin, tj. veličina

χ2 = U21 + U22 + · · ·+ U2ν =ν∑

i=1

U2i

má rozdělení χ2 – Pearsonovo rozdělení – s ν stupni volnosti.

Obr. 4.7 Funkce hustoty a distribuční funkce Pearsovova χ2 rozdělení pro stupně volnostiν = 5 a 16

1čti „chí kvadrátÿ rozdělení, resp. „Pírsnovoÿ rozdělení2čti „Fišerovo-Snedekorovoÿ rozdělení


4.6.2 Poznámky.1. Počtem stupňů volnosti ν se rozumí počet nezávislých sčítanců v součtu. Rozděleníχ2 závisí na tomto jediném parametru ν. Pearsonovo rozdělení o ν stupních volnostiznačíme χ2(ν), má-li veličina χ2 rozdělení χ2(ν), zapíšeme χ2 ∼ χ2(ν). Funkci hustotypravděpodobnosti χ2 rozdělení uvádět pro jeho složitost nebudeme. Pro střední hod-notu a rozptyl veličiny χ2 platí E(χ2) = ν a D(χ2) = 2ν. S rostoucím počtem stupňůvolnosti se rozdělení χ2 blíží k rozdělení normálnímu. Porovnejte funkce hustoty roz-dělení χ2 pro ν = 5 a ν = 16 na obr. 4.7.2. Distribuční funkce tohoto rozdělení F (χ2) bývá tabelována pro různé stupně vol-nosti a různé hodnoty χ2. Zejména z praktických důvodů jsou však důležitější kvantilytohoto rozdělení, tj. hodnoty χ2P , které splňují pro daný počet stupňů volnosti vztahP (χ2 ≤ χ2P ) = P . V tabulce V jsou uvedené kvantily χ2P (ν) pro ν = 1, 2, . . . , 30 apro vybrané pravděpodobnosti P . Pro určení kvantilů je možné v Excelu použít funkciCHIINV(1− P ; ν). Ověřte si určení kvantilů χ20,05(16) a χ20,95(5)• v tabulkách: χ20,05(16) = 7,96 a χ20,95(5) = 11,1;• v Excelu: χ20,05(16) = CHIINV(0,95; 16)

.= 7,962

a χ20,95(5) = CHIINV(0,05; 14).= 11,070.

3. S rostoucím ν se rozdělení veličiny√2χ2−

√2ν − 1 blíží k normovanému normálnímu

rozdělení N(0, 1). Jestliže n > 30, potom lze tedy ze vztahu√2χ2P −

√2ν − 1 ≈ uP

odvodit vztah pro stanovení přibližné hodnoty P% kvantilu s ν stupni volnosti ve tvaru

χ2P (ν) ≈12

(√2ν − 1 + uP

)2,

kde uP je kvantil rozdělení N(0, 1). Porovnejte hodnotu kvantilu χ20,975(60) určenou

• výpočtem: χ20,975(60) ≈ 12

(√2 · 60− 1 + u0,975

)2= 12

(√119 + 1,96

)2 .= 82,802;

• v Excelu: χ20,975(60) = CHIINV(0,025; 60).= 83,298.

4.6.3 Definice. Uvažujme dvě nezávislé náhodné veličiny U a χ2, přičemž veličinaU má normované normální rozdělení N(0, 1) a veličina χ2 má Pearsonovo rozděleníχ2(ν) s ν stupni volnosti, potom veličina

t =U√

χ2

ν

má t – Studentovo rozdělení – s ν stupni volnosti.


Obr. 4.8 Funkce hustoty a distribuční funkce Studentova t rozdělení pro stupně volnostiν = 2 a 20

4.6.4 Poznámky.1. Počet stupňů volnosti je jediný parametr tohoto rozdělení. Studentovo rozdělení o νstupních volnosti značíme t(ν), má-li veličina t rozdělení t(ν), zapíšeme t ∼ t(ν). Funkcihustoty pravděpodobnosti t-rozdělení uvádět pro jeho složitost nebudeme. Důležitouvlastností tohoto rozdělení je, že funkce hustoty je symetrická podle nuly. Pro středníhodnotu a rozptyl veličiny t platí E(t) = 0 pro ν > 1 a D(t) = ν

ν−2 pro ν > 2.S rostoucím počtem stupňů volnosti se rozdělení t blíží k normovanému normálnímurozdělení. V praktických situacích lze už pro ν > 30 považovat rozdělení N(0, 1) zadostatečnou aproximaci rozdělení Studentova. Porovnejte funkce hustoty rozdělení t(ν)pro ν = 2 a ν = 20 na obr. 4.8.2. Pro různé pravděpodobnosti P a různé stupně volnosti ν jsou tabelované kvantilytP tohoto rozdělení, tj. hodnoty tP , které splňují pro daný počet stupňů volnosti vztahP (t ≤ tP ) = P . V tabulce IV jsou uvedené kvantily tP (ν) pro ν = 1, 2, . . . , 30 a provybrané pravděpodobnosti P > 0,5. Kvantily tP pro P < 0,5 dostaneme s využitímsymetrie rozdělení podle bodu t = 0 ze vztahu

tP (ν) = −t1−P (ν).

Pro určení kvantilů tP (ν) je možné v Excelu použít funkci TINV(2 · (1−P ); ν). Ověřtesi určení kvantilů t0,95(20) a t0,05(20)• v tabulkách: t0,95(20) = 1,725 a t0,05(20) = −t0,95(20) = −1,725;• v Excelu: t0,95(20) = TINV(0,10; 20)

.= 1,725

a t0,05(20) = −t0,95(20) = −TINV(0,10; 20).= −1,725.

3. Už víme, že s rostoucím ν se Studentovo rozdělení blíží k normovanému normálnímurozdělení N(0, 1). Jestliže je tedy ν > 30, potom lze kvantily tP nahradit kvantily uP

rozdělení N(0, 1), tj. platítP (ν) ≈ uP .

Porovnejte hodnotu kvantilu t0,99(120) určenou


• výpočtem: t0,99(120) ≈ u0,99 = 2,326;• v Excelu: t0,99(120) = TINV(0,02; 120)

.= 2,358.

4.6.5 Definice. Uvažujme dvě nezávislé náhodné veličiny χ21 a χ22, z nichž prvnímá rozdělení χ2 s ν1 stupni volnosti a druhá má rozdělení χ2 s ν2 stupni volnosti,potom veličina

F =χ21ν1:χ22ν2

má rozdělení F – Fisherovo-Snedecorovo rozdělení – s ν1 a ν2 stupni volnosti.

Obr. 4.9 Funkce hustoty a distribuční funkce Fisherova-Snedecorova F rozdělení pro stupněvolnosti ν1 = 3 a ν2 = 50 resp. ν1 = 30 a ν2 = 20

4.6.6 Poznámky.1. Toto rozdělení má dva parametry, stupně volnosti. Fisherovo rozdělení s ν1 aν2 stupni volnosti značíme F (ν1, ν2), má-li veličina F rozdělení F (ν1, ν2), zapíšemeF ∼ F (ν1, ν2). Funkci hustoty pravděpodobnosti F -rozdělení uvádět pro jeho složitostnebudeme. Pro střední hodnotu veličiny F platí E(F ) = ν2

ν2−2 pro ν2 > 2. Fischerovorozdělení je asymetrické. Na obr. 4.9 jsou zobrazené funkce hustoty pro stupně volnostiν1 = 3 a ν2 = 50 resp. ν1 = 30 a ν2 = 20.2. Pro dané pravděpodobnosti P > 0,5 a stupně volnosti ν1 a ν2 jsou tabelovanékvantily FP tohoto rozdělení, tj. hodnoty FP , které splňují pro dané stupně volnostivztah P (F ≤ FP ) = P . V tabulkách VI/1 a VI/2 jsou uvedené kvantily FP (ν1, ν2)pro pravděpodobnosti P = 0,95 a P = 0,975. Kvantily FP pro P < 0,5 dostanemes využitím vztahu

FP (ν1, ν2) =1

F1−P (ν2, ν1).

Pro určení kvantilů FP (ν1, ν2) je možné v Excelu použít funkci FINV(1 − P ; ν1; ν2).Ověřte si určení kvantilů F0,95(20, 15) a F0,025(14, 24)• v tabulkách: F0,95(20, 15) = 2,328 a F0,025(14, 24) = 1

F0,975(24;14)= 12,789

.= 0,359;


• v Excelu: F0,95(20, 15) = FINV(0,05; 20; 15).= 2,328

a F0,025(14, 24) = FINV(0,975; 14; 24).= 0,359.

3. Problém při určování kvantilů může nastat v případě, kdy máme k dispozici pouzetabulky hodnot kvantilů, ve kterých budou naše stupně volnosti ν1 resp. ν2 ležetmezi hodnotami uvedenými v záhlaví nebo legendě tabulky. V praktických situa-cích bude často možné se spokojit s určením intervalu, ve kterém hledaný kvantilbude ležet. V tabulkách nalezneme maximální a minimální hodnotu kvantilu od-povídající tabelovaným stupňům volnosti; tyto dvě hodnoty potom tvoří hraniceintervalu, ve kterém hledaný kvantil bude ležet. Ověřte si, že např. pro kvantilF0,975(42, 38) platí F0,975(42, 38) ∈ (1,803; 2,009). Přesnou hodnotu lze však získatv Excelu: F0,975(42, 38) = FINV(0,025; 42; 38) = 1,886.


1. Náhodná veličina t má Studentovo rozdělení t(ν).a) Určete 99% kvantily pro ν = 4 a 23.b) Určete 2,5% kvantily pro ν = 5 a 27.c) Určete přibližně hodnoty kvantilů t0,10(45) a t0,95(126).

2. Náhodná veličina t má Studentovo rozdělení t(24).a) Určete 2,5% a 97,5% kvantily náhodné veličiny t.b) Určete pravděpodobnost P (t > −2,064).

3. Náhodná veličina χ2 má Pearsonovo rozdělení χ2(ν).a) Určete 95% kvantily pro ν = 3 a 26.b) Určete 10% kvantily pro ν = 6 a 24.c) Určete přibližně hodnoty kvantilů χ20,975(80) a χ20,05(120).

4. Náhodná veličina χ2 má Pearsonovo rozdělení χ2(15).a) Určete 5% a 95% kvantily náhodné veličiny χ2.b) Určete pravděpodobnost P (χ2 < 7,26).

5. Náhodná veličina F má Fisherovo rozdělení F (ν1, ν2).a) Určete F0,95(8, 15) a F0,975(9, 4).b) Určete F0,05(22, 4) a F0,025(10, 20).c) Určete F0,95(55, 40) a F0,975(30, 34).

6. Náhodná veličina F má Fisherovo rozdělení F (12, 7).a) Určete 5% a 95% kvantily náhodné veličiny F .b) Určete pravděpodobnost P (F < 4,666).

Řešení.1. a) 3,747; 2,500; b) −2,571; −2,052; c) −1,282; 1,645;2. a) −2,064; 2,064; b) 0,975;3. a) 7,81; 38,9; b) 2,20; 15,7; c) 106,14; 95,42;4. a) 7,26; 25,0; b) 0,05;


5. a) 2,641; 8,905; b) 0,355; 0,292; c) (1,637; 1,693); (1,943; 2,074);6. a) 0,343; 3,575; b) 0,975.


[Kříž 1]: str. 75–76.



Klíčová slova:

spojitá náhodná veličina, rovnoměrné rozdělení, exponenciální rozdělení, normálnírozdělení, normované normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení, kvantilyv tabulkách, Pearsonovo rozdělení, Studentovo rozdělení, Fisherovo-Snedecorovo roz-dělení

Základní úlohy:

• Popis spojité náhodné veličiny pomocí funkce hustoty a distribuční funkce.• Určování číselných charakteristik a jejich interpretace.• Řešení pravděpodobnostních úloh.• Pochopení vztahu mezi normálním a normovaným normálním rozdělením.• Určování kvantilů z tabulek a v Excelu.


[Kříž 2]: str. 22–31,[Cyhelský]: str. 166–185, odstavce 9.1, 9.2, 9.4, 9.5 a 9.6,[Hindls]: str. 84–95.



1. Rozhodněte, která tvrzení jsou pravdivá:a) Pro spojitou náhodnou veličinu je P (X = 0) > 0.b) Rovnoměrné rozdělení je symetrické podle střední hodnoty.c) Distribuční funkce exponenciálního rozdělní je pro x > α konvexní.d) Střední hodnota náhodné veličiny s normálním rozdělením je vždy rovna nule.e) Pravděpodobnost, že náhodná veličina X s normálním rozdělením N(7, 4) na-bude hodnoty z intervalu (5, 9) je 0,683.

f) Studentovo rozdělení se při rostoucím počtu stupňů volnosti blíží k rozděleníN(0, 1).

g) Logaritmicko-normální rozdělení je vždy zešikmené doleva.


1. Při zaokrouhlování čísla na 1 desetinné místo se dopouštíme chyby, která je náhod-nou veličinou s rovnoměrným rozdělením.


a) Určete parametry α a β tohoto rozdělení a popište náhodnou veličinu pomocífunkce hustoty.

b) Jaká je pravděpodobnost, že absolutní chyba při zaokrouhlování nepřekročí hod-notu 0,03?

2. Dlouhodobým pozorováním jsme zjistili, že v určité prodejně je podíl zákazníků,kteří jsou obslouženi do 3 minut, 40%. Předpokládejme, že doba čekání na obsluhuje náhodná veličina s exponenciálním rozdělením.a) Určete parametry α a δ tohoto rozdělení a popište náhodnou veličinu pomocídistribuční funkce.

b) Jaká je střední doba čekání na obsluhu a jaká bude doba čekání, kterou polovinazákazníků nepřekročí.

c) Jaký podíl zákazníků bude čekat na obsluhu déle než 6 minut.

3. Máslo se strojově porcuje a balí na automatu. Dlouhodobým pozorováním bylozjištěno, že linka produkuje balíčky másla s průměrnou hmotností 246 gramů asměrodatnou odchylkou 8 gramů. Předpokládejme, že hmotnost másla je náhodnáveličina s normálním rozdělením.a) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná kostka másla bude mít hmotnostmenší než 250 gramů?

b) Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraná kostka másla bude mít hmotnostvětší než 240 gramů.

c) Jaký je v celé produkci másla podíl balení, která projdou výstupní kontrolou,pokud je povolená tolerance od stanovené hmotnosti 250 gramů ± 10 gramů?

4. Odhadujeme, že průměrná mzda v jistém odvětví je 25,305 tisíce Kč se směrodatnouodchylkou 3,774 tisíce Kč. Předpokládejme, že rozdělení mezd se řídí logaritmicko-normálním rozdělením.a) Určete oba parametry rozdělení LN (µ, σ2).b) Jaká je pravděpodobnost, že mzda náhodně vybraného pracovníka tohoto od-větví překročí 30 tisíc Kč?

c) Jaký je podíl pracovníků tohoto odvětví, jejichž mzda je 20–26 tisíc Kč?

Řešení.A.1. a) nepravda; b) pravda; c) nepravda; d) nepravda; e) pravda; f) pravda; g) pravda.B.1. a) −0,05; 0,05; f(x): 1/10−1 pro x ∈ (0,05; 0,05); 0 jinak; b) 0,6;2. a) 0; 5,87; F (x): 1− e−x/5,87 pro x > 0, 0 jinak; b) 5,87 (5:52:12); 4,0688; c) 40;3. a) 0,691; b) 0,773; c) 0,733;4. a) 3,22; 0,022; b) 0,111; c) 53,7%.


5 TEORETICKÉ ZÁKLADY STATISTIKY

V předcházejících dvou kapitolách (3. a 4. kapitola) jsme se zabývali teoretickýmimodely rozdělení náhodných veličin. Každou náhodnou veličinu jsme popisovali speci-álně definovanými funkcemi a teoretickými charakteristikami (viz 2. kapitola). V prak-tické statistice se setkáváme se situacemi, kdy náhodné pokusy (viz 1. kapitola) opa-kujeme nezávisle na sobě a dostáváme tak nezávislé výsledky těchto pokusů. Z taktonapozorovaných – naměřených hodnot lze sestavit rozdělení relativních četností a in-formaci o tomto rozdělení shrnout do číselných charakteristik. Takové rozdělení a jemuodpovídající charakteristiky budeme označovat jako empirický model rozdělení relativ-ních četností.

Při dodržování jistých podmínek bude možné očekávat, že empirický model (rozdě-lení četností a empirické charakteristiky) se bude blížit teoretickému modelu (rozdělenípravděpodobností a teoretické charakteristiky), a to tím více, čím větší bude početrealizovaných pokusů. Tato ústřední myšlenka se nejčastěji vyslovuje v podobě tzv.zákona velkých čísel a v podobě limitních vět. Skutečnost, že ze všech teoretických mo-delů rozdělení náhodných veličin má zvláštní postavení normální rozdělení, se odrazítaké v tom, že mezi teoretickými základy statistiky si uvedeme i větu o normálnímrozdělení.

Cílem kapitoly je:

• seznámit se se zákonem velkých čísel,• seznámit se s centrální limitní větou, která tvoří teoretické základy statistikyv situacích, kdy u náhodné veličiny nelze předpokládat normalitu,

• vytvořit teoretické základy fungování statistiky za předpokladu, že normálnírozdělení sledované veličiny je opodstatněné.

5.1 Zákon velkých čísel

Už bylo naznačeno, že v praktické statistice půjde o to, abychom prostřednictvímempirického modelu odhadli model teoretický, nebo alespoň některou jeho důležitoučást. O kvalitě takového odhadu bude za jistých podmínek rozhodovat i počet prove-dených pokusů. Jinak řečeno, při dodržování jistých podmínek bude možné očekávat,že se empirický model bude blížit teoretickému modelu tím více, čím větší bude početrealizovaných pokusů. Toto je obecné vyjádření zákona velkých čísel.

Je nutné si však uvědomit, že přibližování empirických vlastností modelu vlastnos-tem teoretickým nemá charakter matematické konvergence, ale konvergence pravděpo-dobnostní.


5.1.1 Definice. Uvažujme posloupnost náhodných veličin X1, X2, . . . , Xn a reálnéčíslo c. Tato posloupnost konverguje podle pravděpodobnosti ke konstantě c, jestližepro každé ε > 0 platí

limn→∞

P (|Xn − c| < ε) = 1.

5.1.2 Poznámky.1. Pravděpodobnostní konvergencí rozumíme tedy skutečnost, že při vzrůstajícím počtupokusů se pravděpodobnost větších odchylek empirických hodnot od teoretických stále

zmenšuje. Pro pravděpodobnostní konvergenci budeme používat označení XnP→ c.

2. Budeme-li tedy hodnoty náhodných veličin X1, X2, . . . , Xn chápat jako výsledkynezávislých náhodných pokusů – empirických (naměřených či zjištěných) hodnot, anáhodnou veličinu X jako jejich teoretický protějšek, můžeme pravděpodobnostní kon-vergenci také rozumět tak, že empirické charakteristiky se s rostoucím počtem hodnotblíží svým teoretickým protějškům.

Zákon velkých čísel se uvádí v různých podobách, podle toho, o které charakteris-tice pojednává. Nejjednodušší formou je Bernoulliova věta3, která uvádí vztah mezirelativní četností a pravděpodobností.

5.1.3 Věta. (Bernoulliova) Mějme posloupnost vzájemně nezávislých náhodnýchveličin X1, X2, . . . , Xn, které mají stejné alternativní rozdělení A(π), 0 < π < 1.Potom pro náhodnou veličinu počet nastoupení sledovaného jevu A v n nezávislýchpokusech X =

∑ni=1Xi platí

limn→∞

P

(∣∣∣∣Xn − π

∣∣∣∣ < ε

)= 1 pro každé ε > 0.

5.1.4 Poznámka. Bernoulliovu větu je možné jednoduše vyslovit takto: Pokud rostepočet provedených pokusů, potom relativní četnost jevu A v posloupnosti nezávislýchpokusů pravděpodobnostně konverguje k pravděpodobnosti π, tj.

X

n

P→ π.

Praktický význam této věty tedy spočívá v tom, že při velkém počtu pokusů mů-žeme odhadovat pravděpodobnost nastoupení jevu A jeho relativní četností. To lzetaké vnímat jako důležitou souvislost pojmů relativní četnost na straně empirické apravděpodobnost na straně teoretické.

5.1.5 Příklad. Při předvolebním průzkumu se z celkového počtu 2360 respondentůvyslovilo ve prospěch politické strany A 194 respondentů. Interpretujte relativní četnosthlasů pro stranu A.3čti „bernuliovaÿ věta


Řešení. Relativní četnost hlasů pro stranu A je podíl 1942360.= 0,0822. Je blízký číslu π,

které představuje neznámou pravděpodobnost – neznámý skutečný podíl voličů volícíchstranu A. Pokud by se konaly volby v době průzkumu, bylo by možné očekávat přibližně8,22% hlasů pro stranu A.

5.2 Součet nezávislých náhodných veličin

Při popisu teoretických modelů jsme zatím uvažovali pouze jedinou náhodnou veli-činu a tu jsme popisovali pomocí funkcí a číselných charakteristik. V různých praktic-kých situacích však narazíme na posloupnosti náhodných veličin, u kterých nás budezajímat rozdělení součtu nebo průměru n nezávislých náhodných veličin. V některýchpřípadech se přesné rozdělení tohoto součtu stanoví snadno (např. pro veličiny majícíPoissonovo rozdělení), častěji je však stanovení tohoto přesného rozdělení obtížné. Prodostatečně velká n lze však za dosti obecných podmínek aproximovat toto rozdělenírozdělením normálním.

5.2.1 Věta. Uvažujme posloupnost nezávislých náhodných veličin X1, X2, . . . , Xn.Jestliže n →∞, potom náhodné veličiny

X = X1 +X2 + · · ·+Xn =n∑

i=1

Xi, (5.1)

X =X

n=1n

n∑i=1

Xi (5.2)

mají za velmi obecných podmínek přibližně normální rozdělení. Říkáme, že normálnírozdělení je limitním zákonem rozdělení a že náhodné veličiny X resp. X mají tzv.asymptoticky normální rozdělení.

5.2.2 Poznámky.1. Veličinu X definovanou vztahem (5.1) budeme nazývat součet n nezávislých ná-hodných veličin (nebo také úhrn), a veličinu X definovanou vztahem (5.2) budemenazývat průměr n nezávislých náhodných veličin. V některých praktických situacíchbude vhodnější použít stejnou veličinu (5.2), avšak ve tvaru X/n, kterou budeme ozna-čovat jako podíl (ve smyslu relativní četnosti).2. Předpoklad n → ∞ ve větě 5.2.1 představuje v reálných situacích požadavek nadostatečně velké n. Tomu je možné rozumět takto: Čím větší bude n, tím více se buderozdělení obou veličin (5.1) a (5.2) blížit normálnímu rozdělení. To, zda bude odchylkaskutečného rozdělení od normálního rozdělení přijatelná, bude vždy záležet na praktickésituaci. Bude proto vhodné v konkrétních případech také určit n, pro které aproximacibudeme akceptovat.


5.2.3 Věta. Mějme nezávislé náhodné veličiny X1, X2, . . . , Xn, z nichž každá mástřední hodnotu rovnou číslu µ a rozptyl rovný číslu σ2. Potoma)

E(X) = nµ a D(X) = nσ2, (5.3)

b)

E(X) = E

(X

n

)= µ a D(X) = D

(X

n

)=

σ2

n. (5.4)

Důkaz. Podle předpokladu pro nezávislé náhodné veličinyXi platí E(Xi) = µ aD(Xi) = σ2

pro i = 1, 2, . . . , n. Potoma) pro veličinu (5.1), tj. X = X1 +X2 + · · ·+Xn,podle (2.6) platí E(X) = E(X1) + E(X2) + · · ·+ E(Xn) = µ+ µ+ · · ·+ µ = nµ,podle (2.8) platí D(X) = D(X1) +D(X2) + · · ·+D(Xn) = σ2 + σ2 + · · ·+ σ2 = nσ2,

b) pro veličinu (5.2), tj. X = Xn =

1n

∑ni=1Xi,

podle (2.5) platí E(X) = E(

Xn

)= 1

nE(X) = 1nnµ = µ,

podle (2.7) platí D(X) = D(

Xn

)= 1

n2D(X) = 1

n2nσ2 = σ2

n .

5.2.4 Příklad.a) Uvažujme dodávku 500 kusů výrobků stejného typu. Podíl vadných výrobků tohototypu na výrobě jsou 3%. Pravděpodobnost vadného výrobku v dodávce je tedyπ = 0,03. Nechť alternativní náhodné veličiny Xi představují počet vadných kusůu každého výrobku v dodávce – hodnota 0 znamená dobrý výrobek a hodnota1 znamená vadný výrobek. Tyto náhodné veličiny jsou nezávislé. Potom náhodnáveličina X = X1+X2+ · · ·+X500 představuje celkový počet vadných výrobků v celédodávce. Tato veličina má binomické rozdělení B(500; 0,03) se střední hodnotouE(X) = nπ = 500 · 0,03 = 15 a rozptylem D(X) = nπ(1− π) = 500 · 0,03 · 0,97 == 14,55.

b) Mezi studenty přijímanými ke studiu na fakultě je dlouhodobě 10% takových, kteříjsou přijímáni bez přijímacích testů. Letos bude přijato 300 uchazečů. Nechť ná-hodné veličiny Xi představují přijetí resp. nepřijetí uchazeče bez testů – z povahyvěci vyplývá, že Xi mají alternativní rozdělení a jejich hodnoty 0 a 1 znamenajíuchazeč nepřijat resp. přijat bez testů. Tyto veličiny jsou rozhodně nezávislé. Po-tom náhodná veličina X = X1+X2+ · · ·+X300 představuje celkový počet uchazečůpřijatých bez testů. Tato veličina má binomické rozdělení B(300; 0,10) se středníhodnotou E(X) = nπ = 300 · 0,10 = 30 a rozptylem D(X) = nπ(1 − π) == 300 · 0,10 · 0,90 = 27. Potom náhodná veličina X/n představuje podíl uchazečůpřijatých bez testů. Tato veličina má střední hodnotuE(

Xn

)= 1

nE(X) = 1

nnπ = π = 0,1 a rozptyl

D(

Xn

)= 1

n2D(X) = 1

n2nπ(1− π) = π(1−π)

n= 0,1·0,9

300 = 0, 0003.


c) Cesta z domu do školy trvá studentovi v průměru 40 minut, odhad směrodatnéodchylky je 6 minut. Během semestru musí student tuto cestu absolvovat 75krát.Dobu denně strávenou cestou do školy můžeme považovat za náhodnou veličinuXi pro i = 1, 2, . . . , 75 se střední hodnotou E(Xi) = 40 a směrodatnou odchylkouσ(Xi) = 6. Předpokládejme, že všechny tyto náhodné veličiny mají stejné rozdělení(vzhledem k dalším úvahám není vůbec důležité, jaké rozdělení tyto veličiny sku-tečně mají). Potom náhodná veličina X = X1+X2+ · · ·+X75 představuje celkovoudobu strávenou cestou do školy. Tato veličina má rozdělení se střední hodnotouE(X) = nµ = 75 · 40 = 3000 a rozptylem D(X) = nσ2 = 75 · 62 = 2700 (středníhodnota je v minutách, rozptyl je ve čtvercích minut). Potom náhodná veličina Xpředstavuje průměrnou dobu strávenou denně cestou do školy. Tato veličina mástřední hodnotu E(X) = µ = 40 a rozptyl D(X) = σ2

n= 3675 = 0,48.

5.2.5 Příklad. S využitím Excelu budeme demonstrovat rozdělení náhodné veli-činy X s rovnoměrným rozdělením R(0, 10) a rozdělení součtu náhodných veličinX1, X2, . . . , Xn pro n = 3 a 10, které pocházejí ze stejného rozdělení.

Řešení. Po otevření prázdného excelovského listu otevřeme okno s generátorem pseu-donáhodných čísel (Nástroje / Analýza dat / Generátor pseudonáhodných čísel4).V tomto okně nastavíme Počet proměnných: 10, Počet náhodných čísel: 150, Typ rozdě-lení: Rovnoměrné, Parametry Od: 0, Do: 10, Základ generátoru: 121, Výstupní oblast:$A$1. Po potvrzení nastavení se v prvních 150 řádcích a 10 sloupcích vygeneruje 1500čísel (v oblasti A1:J150), která lze považovat za náhodný výběr z rovnoměrného roz-dělení R(0, 10).

Obr. 5.1 Nastavení parametrů v okně Generátor pseudonáhodných čísel

4náhodná čísla vytvořená uměle


Vygenerované hodnoty rozdělíme do 10 intervalů 0–1, 1–2, . . . , 9–10. Hranice in-tervalů 1, 2, . . . , 10 vložíme do 1 sloupce (např. L1:L10). Rozdělení čísel do našichintervalů provedeme pomocí funkce ČETNOSTI(Data; Hodnoty), kde Data je datováoblast (A1:J150) a Hodnoty je vektor hranic (L1:L10). Protože funkce vrací matici,musí být zadaná jako maticový vzorec, tj. stiskem kláves CTRL+SHIFT+ENTER.Výsledné četnosti zobrazíme do 1 sloupce (např. M1:M10). Tyto četnosti zobrazímegraficky pomocí sloupcového grafu, viz obr. 5.2.

Obr. 5.2 Rozdělení četností dat z rovnoměrného rozdělení R(0, 10)

Dále na pozici sloupce D vložíme prázdný sloupec (Vložit / Sloupec). Data v kaž-dém jednom řádku sloupců A, B a C nyní sečteme pomocí funkce SUMA, jedná sevždy o součet 3 hodnot. Součty umístíme např. do nového sloupce D (oblast D1:D150)a rozdělíme je pomocí funkce ČETNOSTI do 10 intervalů 0–3, 3–6, . . . , 27–30. Hraniceintervalů 3, 6, . . . , 30 vložíme do 1 sloupce (např. M11:M20). Výsledné četnosti zob-razíme do 1 sloupce (např. N11:N20). Tyto četnosti také zobrazíme graficky pomocísloupcového grafu, viz obr. 5.3.

Obr. 5.3 Rozdělení četností součtů dat z rovnoměrného rozdělení R(0, 10) pro n = 3

A konečně pro původně vygenerovaná data provedeme v každém jednom řádkusoučet hodnot pomocí funkce SUMA, jedná se vždy o součet 10 hodnot. Tyto součty


umístíme do sloupce L (oblast L1:L150) a rozdělíme je pomocí funkce ČETNOSTIdo 10 intervalů 25–30, 30–35, . . . , 70–75. Hranice intervalů 30, 35, . . . , 75 vložíme do1 sloupce (např. M1:M10). Výsledné četnosti zobrazíme do 1 sloupce (např. N1:N10).Tyto četnosti také zobrazíme graficky pomocí sloupcového grafu, viz obr. 5.4.

Obr. 5.4 Rozdělení četností součtů dat z rovnoměrného rozdělení R(0, 10) pro n = 10

Na obr. 5.2 je zřetelně vidět, že vygenerovaná data pocházejí z rovnoměrného rozdě-lení na intervalu 0–10. Na obrázcích 5.3 a 5.4 jsou zobrazené součty sestrojené z původ-ního rovnoměrného rozdělení pro n = 3 a n = 10; pro tyto výběry je vidět, že rozděleníčetností je pro větší n poměrně blízké rozdělení normálnímu. A to je východisko proúvahy o centrální limitní větě.

5.3 Centrální limitní věta

Normálním rozdělením jako limitním rozdělením, k němuž se za určitých podmínekblíží řada jiných rozdělení, se zabývá centrální limitní věta. Podstatou centrální limitnívěty je tvrzení, že náhodná veličina X, která vznikla jako součet velkého počtu vzá-jemně nezávislých veličin X1, X2, . . . , Xn, má za velmi obecných podmínek přibližněnormální rozdělení.Dále se budeme věnovat z praktických důvodů dvěma formulacím centrální limitní

věty, které se liší podmínkami, jejichž splnění se požaduje. Nejjednodušším tvarem cen-trální limitní věty je Moivre-Laplaceova5 věta, jistým zobecněním je Lévy-Lindebergovavěta.

5.3.1 Věta. (Moivre-Laplaceova) Nechť náhodná veličina X (viz (5.1)) je součet nnezávislých náhodných veličin X1, X2, . . . , Xn, z nichž každá má alternativní rozdě-lení A(π) se stejným parametrem π, 0 < π < 1. Náhodná veličina X má binomickérozdělení B(n, π) se střední hodnotou E(X) = nπ a rozptylem D(X) = nπ(1− π).

5čti „moávr-laplasovaÿ


Potom pro normovanou náhodnou veličinu

U =X − nπ√nπ(1− π)

(5.5)

platí limitní vztahlim

n→∞P (U ≤ u) = Φ(u),

kde Φ(u) je distibuční funkce normovaného normálního rozdělení N(0, 1).

5.3.2 Poznámky.1. Moivre-Laplaceova věta tedy říká, že při dostatečně velkém počtu nezávislých po-kusů konverguje binomické rozdělení k rozdělení normálnímu. Řekneme, že veličina Xs binomickým rozdělením má asymptoticky normální rozdělení, nebo také že veličina(5.5) má přibližně rozdělení N(0, 1). A zapíšeme

U =X − nπ√nπ(1− π)

≈ N(0, 1).

Pro určení pravděpodobnosti P (X ≤ x) potom užijeme distribuční funkci rozděleníN(0, 1):

P (X ≤ x) = F (x) ≈ Φ

(x− nπ√nπ(1− π)

).

2. Aproximace binomického rozdělení normálním rozdělením je zpravidla vhodná, kdyžpro rozptyl platí D(X) > 9, tj.

nπ(1− π) > 9. (5.6)

Odtud lze určit n, pro které lze aproximaci akceptovat. Např. pro π = 0,4 dostanemen ≥ 38, pro π = 0,03 dostaneme n ≥ 310.

5.3.3 Věta. (Moivre-Laplaceova věta pro podíl) Nechť náhodná veličina X (viz(5.1)) je součet n nezávislých alternativních veličin X1, X2, . . . , Xn, které mají stejnýparametr π, 0 < π < 1, a náhodná veličina X

nmá střední hodnotu E

(Xn

)= π a

rozptyl D(

Xn

)= π(1−π)

n. Potom pro normovanou náhodnou veličinu

U =Xn− π√

π(1− π)

√n (5.7)


n→∞P (U ≤ u) = Φ(u),

kde Φ(u) je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení N(0, 1).


5.3.4 Poznámka. Tato věta říká, že při dostatečně velkém počtu nezávislých pokusůkonverguje rozdělení veličiny X

nk normálnímu rozdělení, tedy že má asymptoticky

normální rozdělení. Také lze říci, že veličina (5.7) má přibližně normální rozděleníN(0, 1). A zapíšeme

U =Xn− π√

π(1− π)

√n ≈ N(0, 1).

Pravděpodobnost P(

Xn≤ p)lze potom přibližně vyjádřit pomocí rozdělení N(0, 1):

P

(X

n≤ p

)= F (p) ≈ Φ

(p− π√π(1− π)

√n

).

Zobecněním věty Moivre-Laplaceovy je věta Lévy-Lindebergova. Náhodnou veliči-nou X je v tomto případě součet n nezávislých náhodných veličin, které mají libovolnýidentický zákon rozdělení pravděpodobností. Věta neklade žádné předpoklady na typrozdělení pravděpodobností, sledovaná náhodná veličina může být diskrétní i spojitá.Větu uvedeme ve dvou tvarech, které se od sebe liší možnostmi praktického uplatnění,a to pro součet a pro průměr.

5.3.5 Věta. (Lévy-Lindebergova věta pro součet) Nechť náhodná veličina X (viz(5.1)) je součet n nezávislých náhodných veličinX1, X2, . . . , Xn , které mají libovolnýidentický zákon rozdělení s konečnou střední hodnotou E(Xi) = µ a konečnýmrozptylem D(Xi) = σ2. Potom pro střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny Xplatí

E(X) = nµ a D(X) = nσ2

a pro normovanou náhodnou veličinu

U =X − nµ√

nσ2(5.8)


n→∞P (U ≤ u) = Φ(u),


5.3.6 Poznámky.1. Lévy-Lindebergova věta pro součet říká, že pro dostatečně velký počet nezávislýchpokusů konverguje veličina X =

∑ni=1Xi k normálnímu rozdělení, má tedy asympto-

ticky normální rozdělení. Odtud také plyne, že veličina (5.8) má přibližně normálnírozdělení N(0, 1); zapíšeme

U =X − nµ√

nσ2≈ N(0, 1).


Pro výpočet pravděpodobnosti P (X ≤ x) potom užijeme distribuční funkci rozděleníN(0, 1):

P (X ≤ x) = F (x) ≈ Φ(

x− nµ√nσ2

).

2. Aproximace součtu n nezávislých náhodných veličin normálním rozdělením platí prodostatečně velké n; v praktických situacích se nejčastěji doporučuje n > 30. Totéž platítaké pro průměr n nezávislých náhodných veličin.

5.3.7 Věta. (Lévy-Lindebergova věta pro průměr) Nechť náhodná veličina X (viz(5.2)) je průměr n nezávislých náhodných veličinX1, X2, . . . , Xn, které mají libovolnýidentický zákon rozdělení s konečnou střední hodnotou E(Xi) = µ a konečnýmrozptylem D(Xi) = σ2. Potom pro střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny Xplatí

E(X) = µ a D(X) =σ2

n


U =X − µ

σ

√n (5.9)


n→∞P (U ≤ u) = Φ(u),


5.3.8 Poznámka. Také Lévy-Lindebergova věta pro průměr hovoří o tom, že veličinaX = 1

n

∑ni=1Xi má asymptoticky normální rozdělení a veličina (5.9) má přibližně

normální rozdělení N(0, 1), což zapíšeme

U =X − µ

σ

√n ≈ N(0, 1).

Pravděpodobnost P (X ≤ x) přibližně určíme pomocí distribuční funkce rozděleníN(0, 1):

P (X ≤ x) = F (x) ≈ Φ(

x− µ

σ

√n

).

5.3.9 Poznámka k opravě na spojitost. Používáme-li normální rozdělení jakoaproximaci pro rozdělení diskrétní náhodné veličiny, doporučuje se, zejména u silnějiasymetrických rozdělení, provést tzv. opravu na spojitost, která tuto aproximaci zlep-šuje. Při výpočtu pravděpodobností P (X ≤ x) resp. P (X ≥ x) pomocí normální


aproximace jsou totiž výsledky podhodnocené. Naopak při výpočtu pravděpodobnostíP (X < x) resp. P (X > x) pomocí normální aproximace jsou výsledky nadhodnocené.Podstata výpočtů pravděpodobností pomocí opravy na spojitost spočívá v tom,

že výpočet pravděpodobnosti pro argument x provedeme přibližně pomocí argumentux+ 0,5 resp. x− 0,5. Příklady provedených korekcí ukazuje tabulka:

před opravou X < 3 X ≤ 3 X = 5 X ≥ 7 X > 7po opravě X < 2,5 X < 3,5 4,5 < X < 5,5 X > 6,5 X > 7,5

5.3.10 Příklad. Uvažujme dodávku 500 kusů výrobků stejného typu. Podíl vadnýchvýrobků tohoto typu na výrobě jsou 3% (srovnej příklad 5.2.4a). Určete pravděpodob-nost, že v dodávce bude počet vadných výrobků od 10 do 20 kusů.

Řešení. Náhodná veličina počet vadných výrobků v dodávce má binomické rozdělenís parametry n = 500 a π = 0,03. Určení hledané pravděpodobnosti pomocí pravděpo-dobnostní funkce binomického rozděleníP (10 ≤ X ≤ 20) =

∑20i=10

(500i

)· 0, 03i · 0, 97500−i = p(10) + p(11) + · · ·+ p(20)

.= 0,853

je však pro ruční výpočet příliš náročný.Protože nπ(1 − π) = 500 · 0,03 · 0,97 = 14,55 > 9, nahradíme binomické rozdělení

rozdělením normálním s parametry µ = nπ = 500 · 0,03 = 15 a σ2 = nπ(1−π) = 14,55a podle Moivre-Laplaceovy věty (viz 1. poznámka 5.3.2) vypočítáme přibližně

P (10 ≤ X ≤ 20) = F (20)− F (10) ≈ Φ(20−15√14,55

)−Φ

(10−15√14,55

).= Φ(1,31)−Φ(−1,31) =

= 2 · Φ(1,31)− 1 = 2 · 0,90490− 1 .= 0,810.

Výpočet pravděpodobnosti je možné provést také s opravou na spojitost:

P (10 ≤ X ≤ 20) ≈ P (9,5 < X < 20,5) = F (20,5) − F (9,5) ≈ Φ(20,5−15√14,55

)−

− Φ(9,5−15√14,55

).= Φ(1,44)− Φ(−1,44) = 2 · Φ(1,44)− 1 = 2 · 0,92507− 1 .

= 0,850.

5.3.11 Příklad. Mezi studenty přijímanými ke studiu na fakultě je dlouhodobě 10%takových, kteří jsou přijímáni bez přijímacích testů. Letos bude přijato 300 uchazečů(srovnej příklad 5.2.4b). Jaká je pravděpodobnost, že podíl studentů, kteří budou letospřijati bez přijímacích testů, bude mezi 9 a 13%?

Řešení. Tato veličina má binomické rozdělení B(300; 0,10) se střední hodnotouE(X) = 30 a rozptylem D(X) = 27. Potom náhodná veličina X/n představuje po-díl uchazečů přijatých bez testů. Tato veličina má střední hodnotu E(X/n) = 0,10a rozptyl D(X/n) = 0,0003. Protože D(X) > 9, je možné rozdělení veličiny X/naproximovat normálním rozdělením a pro určení hledané pravděpodobnosti použítveličinu (5.7):

P (0,09 < Xn

< 0,13) = F (0,13)−F (0,09) ≈ Φ(0,13−0,10√0,10·0,90

√300)−Φ

(0,09−0,10√0,10·0,90

√300)=

= Φ(1,73) − Φ(−0,58) = Φ(1,73) − [1 − Φ(0,58)] = 0,95818 + 0,71904 − 1 .= 0,677.


5.3.12 Příklad. Cesta z domu do školy trvá studentovi v průměru 40 minut, odhadsměrodatné odchylky je 6 minut. Během semestru musí student tuto cestu absolvovat75krát (srovnej příklad 5.2.4c). Jaká je pravděpodobnost, že doba strávená cestou doškoly během celého semestru nepřekročí 49 hodin?

Řešení. Náhodná veličina doba potřebná na cestu do školy je spojitá veličina se středníhodnotou E(X) = 40 a směrodatnou odchylkou σ(X) = 6. Protože počet opakovánínáhodné veličiny X je n = 75 > 30, není rozdělení náhodné veličiny důležité.Sledovaná veličina celková doba potřebná na cestu do školy, označme ji M = X1 +

+ X2 + · · · + X75, je součtem n náhodných veličin X. Tato veličina má rozdělení sestřední hodnotou E(M) = nµ = 75 · 40 = 3000 a rozptylem D(M) = nσ2 = 75 · 62 == 2700. Protože n > 30, je možné rozdělení veličiny M podle Lévy-Lindebergovy věty5.3.5 aproximovat normálním rozdělením. Nejprve ještě převedeme 49 hodin na 2940minut a pro určení hledané pravděpodobnosti použijeme veličinu (5.8):

P (M ≤ 2940) = F (2940) ≈ Φ(2940−3000√2700

).= Φ(−1,15) = 1 − Φ(1,15) = 1 −

− 0,87493 .= 0,125.

Přesvědčte se sami, že ke stejnému výsledku dospějete, když parametry vyjádřítev hodinách.

5.3.13 Příklad. Na základě dlouhodobého pozorování lze předpokládat, že životnostzářivky je náhodná veličina, která má exponenciální rozdělení s parametry α = 0 aδ = 12 tisíc hodin. Určete pravděpodobnost, že průměrná životnost zářivek v dodávce100 kusů překročí 13 tisíc hodin.

Řešení. Náhodná veličina životnost zářivky je spojitá veličina se střední hodnotouE(X) = α + δ = 0 + 12 = 12 a rozptylem D(X) = δ2 = 122 = 144. Potom podleLévy-Lindebergovy věty 5.3.7 pro dostatečně velké n platí, že průměrná životnost máasymptoticky normální rozdělení se střední hodnotou E(X) = µ = 12 a rozptylemD(X) = σ2

n= 144100 = 1,44. Protože n > 100, lze pro určení pravděpodobnosti použít

veličinu (5.9):P (X > 13) = 1− P (X ≤ 13) = 1− F (13) ≈ 1− Φ

(13−1212

√100) .= 1− Φ(0,83) = 1−

− 0,79673 .= 0,203.


1. Náhodné veličiny Xi, i = 1, 2, . . . , n, jsou nezávislé a stejně rozdělené veličiny sestřední hodnotou µ = 5 a směrodatnou odchylkou σ = 2. Je-li n = 400, určetea) x tak, aby se v intervalu (µ−x;µ+x) nacházel jejich průměr s pravděpodobností0,995,

b) pravděpodobnost, že jejich průměr padne do intervalu (4,719; 5,281),c) x tak, aby se v intervalu (nµ−x;nµ+x) nacházel jejich součet s pravděpodob-ností 0,975,

d) pravděpodobnost, že jejich součet padne do intervalu (1910,4; 2089,6).


2. Pravděpodobnost zásahu cíle při jednom výstřelu je 0,8. Jaká je pravděpodobnost,že se počet zásahů při 200 výstřelech nebude lišit od střední hodnoty počtu zásahůo více než 10 zásahů? Výpočet proveďtea) bez opravy na spojitost,b) s opravou na spojitost.

3. Pravděpodobnost, že na určitém stroji bude vyroben vadný výrobek, je 0,08. Jakáje pravděpodobnost, že z 500 nezávisle vyrobených kusů za směnu bude vadnýcha) maximálně 6%,b) minimálně 4,5%?

4. Průměrná spotřeba studené vody v jedné domácnosti je 92 m3 za rok, směrodatnáodchylka je 24 m3. Jaká je pravděpodobnost, že v 750 domácnostech budea) celková spotřeba 68 až 71 tisíc m3,b) průměrná spotřeba vyšší než 90 m3?

5. Počet chyb na jedné straně skripta je náhodná veličina se střední hodnotou 1,2 asměrodatnou odchylkou 0,75. Jaká je pravděpodobnost, že ve skriptu o 165 stranáchbude více než 200 chyb?

Řešení.1. a) 0,281; b) 0,995; c) 89,60; d) 0,975;2. a) 0,923; b) 0,937;3. a) 0,049; b) 0,998;4. a) 0,935; b) 0,989;5. 0,417.


[Kříž 1]: str. 76–81.

5.4 Věta o normálním rozdělení

Centrální limitní věta se obecně zabývá případy, kdy se sledované náhodné veli-činy neřídí normálním rozdělením. Nečiní dokonce ani žádnou podmínku, že teoretickýmodel musíme znát. Pouze je potřebné, aby náhodné veličiny X1, X2, . . . , Xn byly ne-závislé a rozdělení těchto veličin byla shodná. V praktických situacích ale často budenormální rozdělení sledované náhodné veličiny přijatelným modelem. Proto nebudeúčelné pro popis součtu a průměru náhodných veličin X1, X2, . . . , Xn použít centrálnílimitní větu. V těchto případech budeme využívat jako metodu nebo jako teoretickévýchodisko použitých metod tzv. větu o normálním rozdělení.


5.4.1 Věta. (O normálním rozdělení pro součet) Nechť náhodná veličina X ==∑n

i=1Xi je součet n nezávislých náhodných veličin X1, X2, . . . , Xn, které majíshodné normální rozdělení s parametry µ a σ2. Potom pro střední hodnotu a rozptylnáhodné veličiny X platí

E(X) = nµ a D(X) = nσ2


U =X − nµ√

nσ2(5.10)

platíP (U ≤ u) = Φ(u),


5.4.2 Poznámka. Věta o normálním rozdělení pro součet říká, že pro jakýkoliv početnezávislých pokusů má veličina X =

∑ni=1Xi normální rozdělení s parametry nµ a nσ2.

Odtud také plyne, že veličina U = X−nµ√nσ2

∼ N(0, 1). Pro výpočet pravděpodobnostiP (X ≤ x) potom užijeme distribuční funkci rozdělení N(0, 1):

P (X ≤ x) = F (x) = Φ

(x− nµ√

nσ2

).

5.4.3 Věta. (O normálním rozdělení pro průměr) Nechť náhodná veličina X == X

n= 1

n

∑ni=1Xi je průměr n nezávislých náhodných veličin X1, X2, . . . , Xn, které

mají shodné normální rozdělení s parametry µ a σ2. Potom pro střední hodnotu arozptyl náhodné veličiny X platí

E(X) = µ a D(X) =σ2

n


U =X − µ

σ

√n (5.11)

platíP (U ≤ u) = Φ(u),



5.4.4 Poznámka. Věta o normálním rozdělení pro průměr říká, že pro jakýkolivpočet nezávislých pokusů má veličina X = X

n= 1

n

∑ni=1Xi normální rozdělení s pa-

rametry µ a σ2

n. Odtud také plyne, že veličina U = X−µ

σ

√n ∼ N(0, 1). Pro výpočet

pravděpodobnosti P (X ≤ x) potom užijeme distribuční funkci rozdělení N(0, 1):

P (X ≤ x) = F (x) = Φ

(x− µ

σ

√n

).

5.4.5 Příklad. Na jistém typu obráběcích strojů se sleduje délka konkrétní pracovníoperace, která má normální rozdělení se střední hodnotou 21 minut a směrodatnouodchylkou 1,3 minuty. a) Jaká je pravděpodobnost, že na náhodně vybraném strojinepřekročí pracovní operace 20 minut? b) S jakou pravděpodobností bude při obrábění10 kusů obrobků stačit celková doba 200 minut?

Řešení.a) U náhodné veličiny délka pracovní operace předpokládáme normální rozdělení sestřední hodnotou µ = 21 min. a směrodatnou odchylkou σ = 1,3 min. Pro hledanoupravděpodobnost platí:

P (X ≤ 20) = Φ(20−211,3

).= Φ(−0,77) = 1− Φ(0,77) = 1− 0,77935 .

= 0,221.

b) Při obrábění 10 kusů nás zajímá náhodná veličina celková doba obrábění – označímeji M – která má normální rozdělení se střední hodnotou nµ = 10 · 21 = 210 min. asměrodatnou odchylkou σ

√n

.= 4,111 min. K určení naší pravděpodobnosti užijeme

veličinu (5.10):

P (M ≤ 200) = Φ(200−210√10·1,69

).= Φ(−2,43) = 1− Φ(2,43) = 1− 0,99245 = 0,00755.

Porovnejte oba výsledky a vysvětlete, co prakticky znamenají.

5.4.6 Příklad. Výška postavy u dívek ve věku 10 let má normální rozdělení se středníhodnotou 141 cm a směrodatnou odchylkou 4 cm. Uvažujme 5. ročník na ZŠ, ve kterémje 14 dívek. a) Jaký je podíl dívek větších než 140 cm? b) S jakou pravděpodobnostípřekročí průměrná výška dívek v 5. ročnících 140 cm?

Řešení.a) O náhodné veličině výška postavy 10letých dívek je známo, že má normální rozdě-lení s parametry µ = 141 a směrodatnou odchylkou σ = 4. Určit podíl dívek většíchnež 140 cm znamená určit pravděpodobnost toho, že náhodná veličina X > 140:P (X > 140) = 1−P (X ≤ 140) = 1−Φ

(140−1414

)= 1−Φ(−0,25) = Φ(0,25) .

= 0,599.

b) K určení pravděpodobnosti, s jakou průměrná výška překročí 140 cm, užijeme veli-činu (5.11):P (X > 140) = 1 − P (X ≤ 140) = 1 − Φ

(140−1414

√14) .= 1 − Φ(−0,94) =

= Φ(0,94).= 0,826.

Porovnejte oba výsledky a vysvětlete, co prakticky znamenají.Při praktickém užívání statistiky budeme potřebovat ještě dvě speciální funkce

náhodných veličin, o kterých pojednává následující věta o normálním rozdělení.


5.4.7 Věta. Mějme posloupnost normálně rozdělených nezávislých náhodných ve-ličin X1, X2, . . . , Xn s parametry µ a σ2. Nechť

X =1n

n∑i=1

Xi a S2 =1

n− 1

n∑i=1

(Xi −X)2

jsou funkce těchto náhodných veličin, potom veličina

t =X − µ

S

√n (5.12)

má Studentovo t-rozdělení s n− 1 stupni volnosti a veličina

χ2 =(n− 1)S2

σ2(5.13)

má Pearsonovo χ2 rozdělení s n− 1 stupni volnosti.

5.4.8 Poznámka. Obě veličiny – Studentova i Pearsonova – se užijí v praktickéstatistice při konstrukci intervalových odhadů a při odvozování kritérií pro testováníparametrů µ a σ2 normálního rozdělení. Této problematice se budeme věnovat v nava-zujícím dílu této učební pomůcky.

5.4.9 Příklad. a) Určete pravděpodobnost toho, že Studentova náhodná veličina t(18)nepřekročí hodnotu 1,734. b) Jakou hodnotu bude s touto pravděpodobností nabývatparametr µ veličiny t (viz (5.12)), když X = 12,4 a S = 1,8?

Řešení.a) Ze zadání úlohy je zřejmé, že určit máme jednostrannou pravděpodobnost pro Stu-dentovu veličinu s 18 stupni volnosti a že hodnota 1,734 je kvantilem této veličiny.Máme tedy určit P (t < 1,734) = F (1,734). K tomu využijeme• tabulky hodnot kvantilů Studentova rozdělení: v řádku ν = 18 nalezneme hod-notu 1,734 a v záhlaví tabulky odečteme příslušnou pravděpodobnost 0,950. Platítedy P (t < 1,734) = 0,950 a kvantil t0,95(18) = 1,734;

• funkci TDIST v Excelu: P (t < 1,734) = F (1,734) = 1−TDIST(1,734; 18; 1) .= 0,950,

protože funkce TDIST(tP ; ν; 1) dává P (t > tP ).b) Je-li P (t < 1,734) = 0,950, potom s touto pravděpodobností platí

12,4− µ

1,8

√19 < 1,734;

řešením této nerovnice je µ > 11,684.



1. Měření výrobku je doprovázeno náhodnými chybami, které mají normální rozděleníse směrodatnou odchylkou 4 mm. Určetea) pravděpodobnost, že chyba měření nepřekročí v absolutní hodnotě 2 mm,b) pravděpodobnost, že průměrná chyba 32 měření nepřekročí v absolutní hodnotě2 mm,

c) počet měření, aby se jejich aritmetický průměr neodchyloval od správné hodnotyo více než ±1 mm s pravděpodobností minimálně 0,95.

2. Při zjišťování sklizňových ztrát se zjišťuje hmotnost nesklizených zrn na ploše 1 m2,u které se předpokládá normální rozdělení s parametry µ = 11 a σ = 1,6 gramů.Určetea) podíl metrových ploch, na kterých ztráty nepřekročí 10 gramů,b) pravděpodobnost toho, že na ploše 5× 5 m nepřekročí ztráty 270 gramů.

3. Doba ošetření pacienta u lékaře je náhodná veličina, u které lze předpokládat nor-mální rozdělení se střední hodnotou 14 minut a směrodatnou odchylkou 5 minut.Jaká je pravděpodobnost, žea) náhodně vybraný pacient stráví na vyšetření více než 20 minut,b) celková doba vyšetření u 24 objednaných pacientů překročí 6 hodin?

4. Určete pravděpodobnost toho, že Pearsonova náhodná veličina χ2(18) překročí hod-notu 9,39. Jakou hodnotu bude s touto pravděpodobností nabývat parametr σ2

veličiny χ2 (viz (5.13)), když S2 = 2,56?

Řešení.1. a) 0,383; b) 0,995; c) 62; pomůcka µ = 0;2. a) 0,264; b) 0,264;3. a) 0,115; b) 0,164;4. 0,95; 4,907.



Klíčová slova:

zákon velkých čísel, pravděpodobnostní konvergence, Bernoulliova věta, součetnezávislých náhodných veličin, centrální limitní věty, Moivre-Laplaceova věta, Lévy-Lindebergova věta pro součet a průměr, oprava na spojitost, věta o normálním rozdělenípro součet, pro průměr, pro Studentovu a Pearsonovu veličinu

Základní úlohy:

• Pochopení významu zákona velkých čísel.• Pochopení významu součtu nezávislých náhodných veličin pro statistiku.• Řešení pravděpodobnostních úloh s využitím centrálních limitních vět a věty onormálním rozdělení.

• Pochopení rozdílů mezi centrálními limitními větami a větou o normálním rozdě-lení.


[Kříž 2]: str. 31–35,[Cyhelský]: str. 188–193,[Hindls]: str. 96–99.



1. Rozhodněte, která tvrzení jsou pravdivá:a) Relativní četnost jevu A v posloupnosti nezávislých pokusů je rovna pravděpo-dobnosti nastoupení jevu A.

b) Binomické rozdělení nelze vždy aproximovat normálním rozdělením.c) Součet n nezávislých náhodných veličin s identickým rozdělením a střední hod-notou µ a rozptylem σ2 má střední hodnotu nµ a rozptyl nσ2.

d) Součet n nezávislých náhodných veličin s identickým rozdělením a střední hod-notou µ a rozptylem σ2 má asymptoticky normální rozdělení.

e) Průměr n nezávislých náhodných veličin s identickým rozdělením a střední hod-notou µ a rozptylem σ2 má střední hodnotu µ/n a rozptyl σ2/n.

2. a) Vysvětlete základní rozdíl mezi Moivre-Laplaceovou větou a Lévy-Lindebergovouvětou pro součet.

b) Vysvětlete základní rozdíl mezi Lévy-Lindebergovou větou pro průměr a větouo normálním rozdělení pro průměr.

c) O jakých veličinách pojednává věta o normálním rozdělení pro t a χ2? Jaký jejejí význam?



1. Nechť náhodná veličinaX je součet n nezávislých náhodných veličinX1, X2, . . . , Xn,s alternativním rozdělením, které mají stejný parametr π, 0 < π < 1. Dokažte, ženáhodná veličina P = X/n má střední hodnotu E(P ) = π a rozptyl D(P ) = π(1−π)

n.

2. Ve volbách dalo 52% voličů hlas koaličním stranám. Jaká je pravděpodobnost,že při průzkumu veřejného mínění o rozsahu 2600 respondentů získala převahuopozice?

3. Životnost tužkové baterie má exponenciální rozdělení s parametry α = 0 a δ = 45hodin. Určete pravděpodobnost, žea) náhodně vybraná baterie bude fungovat déle než 50 hodin,b) průměrná životnost 100 baterií v zásilce bude větší než 50 hodin.

4. Jistý člověk jezdí do zaměstnání i zpět metrem v době, kdy vlaky metra jezdív pravidelných 6minutových intervalech. Jaká je pravděpodobnost, že celková dobačekání na metro při cestách do zaměstnání a zpět během 1 měsíce (21 pracovníchdní) budea) delší než 100 minut,b) 1,5 až 2 hodiny?

5. Dlouhodobým pozorováním bylo zjištěno, že doba potřebná k nalezení a odstraněníporuchy stroje má střední hodnotu 30 minut a směrodatnou odchylku 12 minut.Určetea) dobu, kterou si vyžádá nalezení a odstranění poruchy u 40 strojů, požadujeme-li,aby tato doba nebyla s pravděpodobností 0,95 překročena,

b) pravděpodobnost, že průměrná doba nalezení a odstranění poruchy u 40 strojůnepřekročí 32 minut.

6. Z chovného rybníka bylo vyloveno 15 kaprů a po zvážení byli puštěni zpět. Na zá-kladě naměřených hmotností byla odhadnuta střední hodnota 2,2 kg a směrodatnáodchylka 0,6 kg. Předpokládejme, že hmotnost kaprů se řídí normálním rozděle-ním. Do rybníka bylo vysazeno 1500 ks kapřího plůdku a počítá se s 10% úmrtností.Jaká je pravděpodobnost, žea) náhodně vylovený kapr bude vážit méně než 2 kg,b) při výlovu celého rybníka získáme alespoň 3000 kg kaprů?

Řešení.A.1. a) nepravda; b) pravda; c) pravda; d) pravda; e) nepravda.B.2. 0,021;3. a) 0,329; b) 0,133;4. a) 0,990; b) 0,297;5. a) 1324; b) 0,853;6. a) 0,371; b) 0,087.

126


Seznam literatury

[Anděl] ANDĚL, J. Základy matematické statistiky. 1. vyd. Praha : Matfyzpress,2005. 358 s. ISBN 80-86732-40-1.

[Budíková] BUDÍKOVÁ, M., MIKOLÁŠ, Š., OSECKÝ, P. Teorie pravděpodobnostia matematická statistika. 2. vyd. Brno : PřF MU, 1998. 127 s. ISBN80-210-1832-1.

[Cyhelský] CYHELSKÝ, L., HINDLS, R., KAHOUNOVÁ, J. Elementární statis-tická analýza. 2. vyd. Praha : Management Press, 1999. 319 s. ISBN80-7261-003-1.

[Hebák] HEBÁK, P., KAHOUNOVÁ, J. Počet pravděpodobnosti v příkladech5. vyd. Praha : Informatorium, 2005. 310 s. ISBN 80-733-040-7.

[Hindls] HINDLS, R., SEGER, J. Statistické metody v tržním hospodářství.1. vyd. Praha : Victoria Publishing, 1995. 435 s. ISBN 80-7187-058-7.

[Kahounová] KAHOUNOVÁ, J., BÍLKOVÁ, D. Počet pravděpodobnosti 2. vyd.Praha : Oeconomica, 2007. 153 s. ISBN 80-245-0714-9.

[Karpíšek] KARPÍŠEK, Z. Matematika IV – Statistika a pravděpodobnost. 1. vyd.Brno : FSI VUT, 2002. 169 s. ISBN 80-214-2055-3.

[Kříž 1] KŘÍŽ, O. Sbírka úloh ze statistiky I. 1. vyd. Vyškov : VVŠ PV, 1999.117 s. ISBN 80-7231-033-X.

[Kříž 2] KŘÍŽ, O., NEUBAUER, J. Sylaby přednášek ze statistiky. 1. vyd. Vyš-kov : VVŠ PV, 2003. 104 s.

[Marek] MAREK, L. Statistika pro ekonomy – aplikace. 1. vyd. Praha : Profes-sional Publishing, 2005. 420 s. ISBN 80-8619-68-1.

[Otipka] OTIPKA, P., ŠMAJSTRLA, V. Pravděpodobnost a statistika. 1. vyd.Ostrava : VŠB, 2006. 266 s. ISBN 80-248-1194-4.

[Pavlík] PAVLÍK, J. Aplikovaná statistika. 1. vyd. Praha : VŠCHT, 2005. 172 s.ISBN 80-7080-569-2.

128


STATISTICKÉ TABULKY

I. Hodnoty pravděpodobnostní funkce Poissonova rozdělení

II. Hodnoty distribuční funkce rozdělení N(0, 1)

III. Kvantily normálního rozdělení N(0, 1)

IV. Kvantily tP Studentova rozdělení t s ν stupni volnosti

V. Kvantily χ2P Pearsonova rozdělení χ2 s ν stupni volnosti

VI. Kvantily FP Fisher-Snedecorova rozdělení F s ν1 a ν2 stupni volnosti


Tabulka I

Hodnoty pravděpodobnostní funkce Poissonova rozdělení

λx 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,70 0,90484 0,81873 0,74082 0,67032 0,60653 0,54881 0,496591 0,09048 0,16375 0,22224 0,26813 0,30327 0,32929 0,347612 0,00452 0,01637 0,03334 0,05362 0,07581 0,09878 0,121663 0,00015 0,00109 0,00333 0,00715 0,01263 0,01976 0,028394 0,00005 0,00025 0,00071 0,00158 0,00296 0,004975 0,00001 0,00005 0,00016 0,00035 0,000696 0,00001 0,00003 0,00008

λx 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,40 0,44933 0,40657 0,36788 0,33287 0,30119 0,27253 0,246601 0,35946 0,36591 0,36788 0,36616 0,36143 0,35429 0,345232 0,14379 0,16466 0,18394 0,20139 0,21686 0,23029 0,241663 0,03834 0,04940 0,06131 0,07384 0,08674 0,09979 0,112784 0,00767 0,01111 0,01533 0,02030 0,02602 0,03243 0,039475 0,00123 0,00200 0,00307 0,00446 0,00625 0,00843 0,011056 0,00016 0,00030 0,00051 0,00082 0,00125 0,00183 0,002587 0,00001 0,00003 0,00007 0,00013 0,00021 0,00034 0,000518 0,00002 0,00003 0,00005 0,000099 0,00001 0,00001

λx 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,50 0,22313 0,13533 0,08208 0,04979 0,03020 0,01831 0,011111 0,33469 0,27067 0,20521 0,14936 0,10569 0,07326 0,049992 0,25102 0,27067 0,25652 0,22404 0,18496 0,14652 0,112483 0,12551 0,18045 0,21376 0,22404 0,21578 0,19537 0,168724 0,04707 0,09022 0,13360 0,16803 0,18881 0,19537 0,189815 0,01412 0,03609 0,06680 0,10082 0,13217 0,15629 0,170836 0,00353 0,01203 0,02783 0,05041 0,07710 0,10420 0,128127 0,00075 0,00343 0,00994 0,02160 0,03855 0,05954 0,082368 0,00014 0,00086 0,00311 0,00810 0,01686 0,02977 0,046339 0,00002 0,00019 0,00086 0,00270 0,00656 0,01323 0,0231610 0,00004 0,00021 0,00081 0,00230 0,00529 0,0104211 0,00001 0,00005 0,00022 0,00073 0,00192 0,0042612 0,00001 0,00005 0,00021 0,00064 0,0016013 0,00001 0,00006 0,00020 0,0005514 0,00001 0,00006 0,0001815 0,00001 0,0000516 0,00002


Tabulka I – dokončení

λx 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 12,00 0,00674 0,00248 0,00091 0,00033 0,00012 0,00004 0,000011 0,03369 0,01487 0,00638 0,00268 0,00111 0,00045 0,000072 0,08422 0,04462 0,02234 0,01073 0,00500 0,00227 0,000443 0,14037 0,08923 0,05213 0,02863 0,01499 0,00756 0,001774 0,17547 0,13385 0,09123 0,05725 0,03374 0,01891 0,005315 0,17547 0,16062 0,12772 0,09160 0,06073 0,03783 0,012746 0,14622 0,16062 0,14900 0,12214 0,09109 0,06305 0,025487 0,10444 0,13768 0,14900 0,13959 0,11712 0,09008 0,043688 0,06528 0,10326 0,13038 0,13959 0,13176 0,11260 0,065529 0,03627 0,06884 0,10140 0,12408 0,13176 0,12511 0,0873610 0,01813 0,04130 0,07098 0,09926 0,11858 0,12511 0,1048411 0,00824 0,02253 0,04517 0,07219 0,09702 0,11374 0,1143712 0,00343 0,01126 0,02635 0,04813 0,07276 0,09478 0,1143713 0,00132 0,00520 0,01419 0,02962 0,05037 0,07291 0,1055714 0,00047 0,00223 0,00709 0,01692 0,03238 0,05208 0,0904915 0,00016 0,00089 0,00331 0,00902 0,01943 0,03472 0,0723916 0,00005 0,00033 0,00145 0,00451 0,01093 0,02170 0,0542917 0,00001 0,00012 0,00060 0,00212 0,00578 0,01276 0,0383218 0,00004 0,00023 0,00094 0,00289 0,00709 0,0255519 0,00001 0,00008 0,00040 0,00137 0,00373 0,0161320 0,00003 0,00016 0,00062 0,00186 0,0096821 0,00001 0,00006 0,00026 0,00089 0,0055322 0,00002 0,00011 0,00040 0,0030223 0,00001 0,00004 0,00017 0,0015724 0,00001 0,00007 0,0007925 0,00003 0,0003826 0,00001 0,0001727 0,0000828 0,0000329 0,00001


Tabulka II

Hodnoty distribuční funkce normálního rozdělení N(0, 1)

u φ(u) u φ(u) u φ(u) u φ(u)0,00 0,50000 0,40 0,65542 0,80 0,78814 1,20 0,884930,01 0,50399 0,41 0,65910 0,81 0,79103 1,21 0,886860,02 0,50798 0,42 0,66276 0,82 0,79389 1,22 0,888770,03 0,51197 0,43 0,66640 0,83 0,79673 1,23 0,890650,04 0,51595 0,44 0,67003 0,84 0,79955 1,24 0,892510,05 0,51994 0,45 0,67364 0,85 0,80234 1,25 0,894350,06 0,52392 0,46 0,67724 0,86 0,80511 1,26 0,896170,07 0,52790 0,47 0,68082 0,87 0,80785 1,27 0,897960,08 0,53188 0,48 0,68439 0,88 0,81057 1,28 0,899730,09 0,53586 0,49 0,68793 0,89 0,81327 1,29 0,901470,10 0,53983 0,50 0,69146 0,90 0,81594 1,30 0,903200,11 0,54380 0,51 0,69497 0,91 0,81859 1,31 0,904900,12 0,54776 0,52 0,69847 0,92 0,82121 1,32 0,906580,13 0,55172 0,53 0,70194 0,93 0,82381 1,33 0,908240,14 0,55567 0,54 0,70540 0,94 0,82639 1,34 0,909880,15 0,55962 0,55 0,70884 0,95 0,82894 1,35 0,911490,16 0,56356 0,56 0,71226 0,96 0,83147 1,36 0,913090,17 0,56749 0,57 0,71566 0,97 0,83398 1,37 0,914660,18 0,57142 0,58 0,71904 0,98 0,83646 1,38 0,916210,19 0,57535 0,59 0,72240 0,99 0,83891 1,39 0,917740,20 0,57926 0,60 0,72575 1,00 0,84134 1,40 0,919240,21 0,58317 0,61 0,72907 1,01 0,84375 1,41 0,920730,22 0,58706 0,62 0,73237 1,02 0,84614 1,42 0,922200,23 0,59095 0,63 0,73565 1,03 0,84850 1,43 0,923640,24 0,59483 0,64 0,73891 1,04 0,85083 1,44 0,925070,25 0,59871 0,65 0,74215 1,05 0,85314 1,45 0,926470,26 0,60257 0,66 0,74537 1,06 0,85543 1,46 0,927860,27 0,60642 0,67 0,74857 1,07 0,85769 1,47 0,929220,28 0,61026 0,68 0,75175 1,08 0,85993 1,48 0,930560,29 0,61409 0,69 0,75490 1,09 0,86214 1,49 0,931890,30 0,61791 0,70 0,75804 1,10 0,86433 1,50 0,933190,31 0,62172 0,71 0,76115 1,11 0,86650 1,51 0,934480,32 0,62552 0,72 0,76424 1,12 0,86864 1,52 0,935740,33 0,62930 0,73 0,76730 1,13 0,87076 1,53 0,936990,34 0,63307 0,74 0,77035 1,14 0,87286 1,54 0,938220,35 0,63683 0,75 0,77377 1,15 0,87493 1,55 0,939430,36 0,64058 0,76 0,77637 1,16 0,87698 1,56 0,940620,37 0,64431 0,77 0,77935 1,17 0,87900 1,57 0,941790,38 0,64803 0,78 0,78230 1,18 0,88100 1,58 0,942950,39 0,65173 0,79 0,78524 1,19 0,88298 1,59 0,94408


Tabulka II – dokončení

u φ(u) u φ(u) u φ(u) u φ(u)1,60 0,94520 2,00 0,97725 2,40 0,99180 3,10 0,999031,61 0,94630 2,01 0,97778 2,41 0,99202 3,12 0,999101,62 0,94738 2,02 0,97831 2,42 0,99224 3,14 0,999161,63 0,94845 2,03 0,97882 2,43 0,99245 3,16 0,999211,64 0,94950 2,04 0,97932 2,44 0,99266 3,18 0,999261,65 0,95053 2,05 0,97982 2,45 0,99286 3,20 0,999311,66 0,95154 2,06 0,98030 2,46 0,99305 3,22 0,999361,67 0,95254 2,07 0,98077 2,47 0,99324 3,24 0,999401,68 0,95352 2,08 0,98124 2,48 0,99343 3,26 0,999441,69 0,95449 2,09 0,98169 2,49 0,99361 3,28 0,999481,70 0,95543 2,10 0,98214 2,50 0,99379 3,30 0,999521,71 0,95637 2,11 0,98257 2,52 0,99413 3,32 0,999551,72 0,95728 2,12 0,98300 2,54 0,99446 3,34 0,999581,73 0,95818 2,13 0,98341 2,56 0,99477 3,36 0,999611,74 0,95907 2,14 0,98382 2,58 0,99506 3,38 0,999641,75 0,95994 2,15 0,98422 2,60 0,99534 3,40 0,999661,76 0,96080 2,16 0,98461 2,62 0,99560 3,42 0,999691,77 0,96164 2,17 0,98500 2,64 0,99585 3,44 0,999711,78 0,96246 2,18 0,98537 2,66 0,99609 3,46 0,999731,79 0,96327 2,19 0,98574 2,68 0,99632 3,48 0,999751,80 0,96407 2,20 0,98610 2,70 0,99653 3,50 0,999771,81 0,96485 2,21 0,98645 2,72 0,99674 3,55 0,999811,82 0,96562 2,22 0,98679 2,74 0,99693 3,60 0,999841,83 0,96638 2,23 0,98713 2,76 0,99711 3,65 0,999871,84 0,96712 2,24 0,98745 2,78 0,99728 3,70 0,999891,85 0,96784 2,25 0,98778 2,80 0,99744 3,75 0,999911,86 0,96856 2,26 0,98809 2,82 0,99760 3,80 0,999931,87 0,96926 2,27 0,98840 2,84 0,99774 3,85 0,999941,88 0,96995 2,28 0,98870 2,86 0,99788 3,90 0,999951,89 0,97062 2,29 0,98899 2,88 0,99801 3,95 0,999961,90 0,97128 2,30 0,98928 2,90 0,99813 4,00 0,999971,91 0,97193 2,31 0,98956 2,92 0,99825 4,05 0,999971,92 0,97257 2,32 0,98983 2,94 0,99836 4,10 0,999981,93 0,97320 2,33 0,99010 2,96 0,99846 4,15 0,999981,94 0,97381 2,34 0,99036 2,98 0,99856 4,20 0,999991,95 0,97441 2,35 0,99061 3,00 0,99865 4,25 0,999991,96 0,97500 2,36 0,99086 3,02 0,99874 4,30 0,999991,97 0,97558 2,37 0,99111 3,04 0,99882 4,35 0,999991,98 0,97615 2,38 0,99134 3,06 0,99889 4,40 0,999991,99 0,97670 2,39 0,99158 3,08 0,99897 4,45 1,00000

Pro u < 0 jsou hodnoty distribuční funkce dány vztahem Φ(−u) = 1− Φ(u).


Tabulka III

Kvantily uP normálního rozdělení N(0, 1)

P uP P uP P uP P uP

0,50 0,000 0,75 0,674 0,950 1,645 0,975 1,9600,51 0,025 0,76 0,706 0,951 1,655 0,976 1,9770,52 0,050 0,77 0,739 0,952 1,665 0,977 1,9950,53 0,075 0,78 0,772 0,953 1,675 0,978 2,0140,54 0,100 0,79 0,806 0,954 1,685 0,979 2,0340,55 0,126 0,80 0,842 0,955 1,695 0,980 2,0540,56 0,151 0,81 0,878 0,956 1,706 0,981 2,0750,57 0,176 0,82 0,915 0,957 1,717 0,982 2,0970,58 0,202 0,83 0,954 0,958 1,728 0,983 2,1200,59 0,228 0,84 0,994 0,959 1,739 0,984 2,1440,60 0,253 0,85 1,036 0,960 1,751 0,985 2,1700,61 0,279 0,86 1,080 0,961 1,762 0,986 2,1970,62 0,305 0,87 1,126 0,962 1,774 0,987 2,2260,63 0,332 0,88 1,175 0,963 1,787 0,988 2,2570,64 0,358 0,89 1,227 0,964 1,799 0,989 2,2900,65 0,385 0,900 1,282 0,965 1,812 0,990 2,3260,66 0,412 0,905 1,311 0,966 1,825 0,991 2,3660,67 0,440 0,910 1,341 0,967 1,838 0,992 2,4090,68 0,468 0,915 1,372 0,968 1,852 0,993 2,4570,69 0,496 0,920 1,405 0,969 1,866 0,994 2,5120,70 0,524 0,925 1,440 0,970 1,881 0,995 2,5760,71 0,553 0,930 1,476 0,971 1,896 0,996 2,6520,72 0,583 0,935 1,514 0,972 1,911 0,997 2,7480,73 0,613 0,940 1,555 0,973 1,927 0,998 2,8780,74 0,643 0,945 1,598 0,974 1,943 0,999 3,090

Pro P < 0,5 jsou hodnoty kvantilů dány vztahem uP = −u1−P .


Tabulka IV

Kvantily tP (ν) Studentova rozdělení

Pν 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 0,9991 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 318,32 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 22,333 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 10,214 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 7,1735 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 5,8936 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,2087 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,7858 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 4,5019 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,29710 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,14411 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,02512 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,93013 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,85214 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,78715 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,73316 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,68617 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,64618 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,61019 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,57920 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,55221 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,52722 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,50523 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,48524 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,46725 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,45026 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,43527 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,42128 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,40829 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,39630 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,385

Pro P < 0,5 jsou hodnoty kvantilů dány vztahem tP = −t1−P .


Tabulka V

Kvantily Pearsonova χ2(ν) rozdělení

Pν 0,001 0,005 0,010 0,025 0,050 0,1001 1,571 · 10−6 3,927 · 10−5 1,571 · 10−4 9,821 · 10−4 3,932 · 10−3 1,579 · 10−22 0,0020 0,0100 0,0201 0,0506 0,103 0,2113 0,0243 0,0717 0,115 0,216 0,352 0,5844 0,0908 0,207 0,297 0,484 0,711 1,065 0,210 0,412 0,554 0,831 1,15 1,616 0,381 0,676 0,872 1,24 1,64 2,207 0,598 0,989 1,24 1,69 2,17 2,838 0,857 1,34 1,65 2,18 2,73 3,499 1,15 1,73 2,09 2,70 3,33 4,1710 1,48 2,16 2,56 3,25 3,94 4,8711 1,83 2,60 3,05 3,82 4,57 5,5812 2,21 3,07 3,57 4,40 5,23 6,3013 2,62 3,57 4,11 5,01 5,89 7,0414 3,04 4,07 4,66 5,63 6,57 7,7915 3,48 4,60 5,23 6,26 7,26 8,5516 3,94 5,14 5,81 6,91 7,96 9,3117 4,42 5,70 6,41 7,56 8,67 10,118 4,90 6,26 7,01 8,23 9,39 10,919 5,41 6,84 7,63 8,91 10,1 11,720 5,92 7,43 8,26 9,59 10,9 12,421 6,45 8,03 8,90 10,3 11,6 13,222 6,98 8,64 9,54 11,0 12,3 14,023 7,53 9,26 10,2 11,7 13,1 14,824 8,08 9,89 10,9 12,4 13,8 15,725 8,65 10,5 11,5 13,1 14,6 16,526 9,22 11,2 12,2 13,8 15,4 17,327 9,80 11,8 12,9 14,6 16,2 18,128 10,4 12,5 13,6 15,3 16,9 18,929 11,0 13,1 14,3 16,0 17,7 19,830 11,6 13,8 15,0 16,8 18,5 20,6


Tabulka V – dokončení

Pν 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 0,9991 2,71 3,84 5,02 6,63 7,88 10,82 4,61 5,99 7,38 9,21 10,6 13,83 6,25 7,81 9,35 11,3 12,8 16,34 7,78 9,49 11,1 13,3 14,9 18,55 9,24 11,1 12,8 15,1 16,7 20,56 10,6 12,6 14,4 16,8 18,5 22,57 12,0 14,1 16,0 18,5 20,3 24,38 13,4 15,5 17,5 20,1 22,0 26,19 14,7 16,9 19,0 21,7 23,6 27,910 16,0 18,3 20,5 23,2 25,2 29,611 17,3 19,7 21,9 24,7 26,8 31,312 18,5 21,0 23,3 26,2 28,3 32,913 19,8 22,4 24,7 27,7 29,8 34,514 21,1 23,7 26,1 29,1 31,3 36,115 22,3 25,0 27,5 30,6 32,8 37,716 23,5 26,3 28,8 32,0 34,3 39,317 24,8 27,6 30,2 33,4 35,7 40,818 26,0 28,9 31,5 34,8 37,2 42,319 27,2 30,1 32,9 36,2 38,6 43,820 28,4 31,4 34,2 37,6 40,0 45,321 29,6 32,7 35,5 38,9 41,4 46,822 30,8 33,9 36,8 40,3 42,8 48,323 32,0 35,2 38,1 41,6 44,2 49,724 33,2 36,4 39,4 43,0 45,6 51,225 34,4 37,7 40,6 44,3 46,9 52,626 35,6 38,9 41,9 45,6 48,3 54,127 36,7 40,1 43,2 47,0 49,6 55,528 37,9 41,3 44,5 48,3 51,0 56,929 39,1 42,6 45,7 49,6 52,3 58,330 40,3 43,8 47,0 50,9 53,7 59,7


Tabulka VI/1

Kvantily F0,95(ν1, ν2) Fisher-Snedecorova rozdělení

ν1ν2 1 2 3 4 5 6 7 8 91 161,45 199,50 215,71 224,58 230,16 233,99 236,77 238,88 240,542 18,513 19,000 19,164 19,247 19,296 19,330 19,353 19,371 19,3853 10,128 9,552 9,277 9,117 9,014 8,941 8,887 8,845 8,8124 7,709 6,944 6,591 6,388 6,256 6,163 6,094 6,041 5,9995 6,608 5,786 5,410 5,192 5,050 4,950 4,876 4,818 4,7736 5,987 5,143 4,757 4,534 4,387 4,284 4,207 4,147 4,0997 5,591 4,737 4,347 4,120 3,972 3,866 3,787 3,726 3,6778 5,318 4,459 4,066 3,838 3,688 3,581 3,501 3,438 3,3889 5,117 4,257 3,863 3,633 3,482 3,374 3,293 3,230 3,17910 4,965 4,103 3,708 3,478 3,326 3,217 3,136 3,072 3,02011 4,844 3,982 3,587 3,357 3,204 3,095 3,012 2,948 2,89612 4,747 3,885 3,490 3,259 3,106 2,996 2,913 2,849 2,79613 4,667 3,806 3,411 3,179 3,025 2,915 2,832 2,767 2,71414 4,600 3,739 3,344 3,112 2,958 2,848 2,764 2,699 2,64615 4,543 3,682 3,287 3,056 2,901 2,791 2,707 2,641 2,58816 4,494 3,634 3,239 3,007 2,852 2,741 2,657 2,591 2,53817 4,451 3,592 3,197 2,965 2,810 2,699 2,614 2,548 2,49418 4,414 3,555 3,160 2,928 2,773 2,661 2,577 2,510 2,45619 4,381 3,522 3,127 2,895 2,740 2,628 2,544 2,477 2,42320 4,351 3,493 3,098 2,866 2,711 2,599 2,514 2,447 2,39321 4,325 3,467 3,073 2,840 2,685 2,573 2,488 2,421 2,36622 4,301 3,443 3,049 2,817 2,661 2,549 2,464 2,397 2,34223 4,279 3,422 3,028 2,796 2,640 2,528 2,442 2,375 2,32024 4,260 3,403 3,009 2,776 2,621 2,508 2,423 2,355 2,30025 4,242 3,385 2,991 2,759 2,603 2,490 2,405 2,337 2,28226 4,225 3,369 2,975 2,743 2,587 2,275 2,388 2,321 2,26627 4,210 3,354 2,960 2,728 2,572 2,459 2,373 2,305 2,25028 4,196 3,340 2,947 2,714 2,558 2,445 2,359 2,291 2,23629 4,183 3,328 2,934 2,701 2,545 2,432 2,346 2,278 2,22330 4,171 3,316 2,922 2,690 2,534 2,421 2,334 2,266 2,21140 4,085 3,232 2,839 2,606 2,450 2,336 2,249 2,180 2,12460 4,001 3,150 2,758 2,525 2,368 2,254 2,167 2,097 2,040120 3,920 3,072 2,680 2,447 2,290 2,175 2,087 2,016 1,959∞ 3,842 2,996 2,605 2,372 2,214 2,099 2,010 1,938 1,880

Pro P = 0,05 jsou hodnoty kvantilů dány vztahem F0,05(ν1, ν2) = 1F0,95(ν2,ν1)

.


Tabulka VI/1 – dokončení

ν1ν2 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞1 241,9 243,9 245,9 248,0 249,0 250,1 251,1 252,2 253,2 254,32 19,40 19,41 19,43 19,44 19,45 19,46 19,47 19,48 19,49 19,503 8,786 8,745 8,703 8,660 8,639 8,617 8,594 8,572 8,549 8,5274 5,964 5,912 5,858 5,803 5,774 5,746 5,717 5,688 5,658 5,6285 4,735 4,678 4,619 4,558 4,527 4,496 4,464 4,431 4,398 4,3656 4,060 4,000 3,938 3,874 3,842 3,808 3,774 3,740 3,705 3,6697 3,637 3,575 3,511 3,445 3,411 3,376 3,340 3,304 3,267 3,2308 3,347 3,284 3,218 3,150 3,115 3,079 3,043 3,005 2,967 2,9289 3,137 3,073 3,006 2,937 2,901 2,864 2,826 2,787 2,748 2,70710 2,978 2,913 2,845 2,774 2,737 2,700 2,661 2,621 2,580 2,53811 2,854 2,788 2,719 2,646 2,609 2,571 2,531 2,490 2,448 2,40512 2,753 2,687 2,617 2,544 2,506 2,466 2,426 2,384 2,341 2,29613 2,671 2,604 2,533 2,459 2,420 2,380 2,339 2,297 2,252 2,20614 2,602 2,534 2,463 2,388 2,349 2,308 2,266 2,223 2,178 2,13115 2,544 2,475 2,404 2,328 2,288 2,247 2,204 2,160 2,114 2,06616 2,494 2,425 2,352 2,276 2,235 2,194 2,151 2,106 2,059 2,01017 2,450 2,381 2,308 2,230 2,190 2,148 2,104 2,058 2,011 1,96018 2,412 2,342 2,269 2,191 2,150 2,107 2,063 2,017 1,968 1,91719 2,378 2,308 2,234 2,156 2,114 2,071 2,026 1,980 1,930 1,87820 2,348 2,278 2,203 2,124 2,083 2,039 1,994 1,946 1,896 1,84321 2,321 2,250 2,176 2,096 2,054 2,010 1,965 1,917 1,866 1,81222 2,297 2,226 2,151 2,071 2,028 1,984 1,938 1,890 1,838 1,78323 2,275 2,204 2,128 2,048 2,005 1,961 1,914 1,865 1,813 1,75724 2,255 2,183 2,108 2,027 1,984 1,939 1,892 1,842 1,790 1,73325 2,237 2,165 2,089 2,008 1,964 1,919 1,872 1,822 1,768 1,71126 2,220 2,148 2,072 1,990 1,946 1,901 1,853 1,803 1,749 1,69127 2,204 2,132 2,056 1,974 1,930 1,884 1,836 1,785 1,731 1,67228 2,190 2,118 2,041 1,959 1,915 1,869 1,820 1,769 1,714 1,65429 2,177 2,105 2,028 1,945 1,901 1,854 1,806 1,754 1,698 1,63830 2,165 2,092 2,015 1,932 1,887 1,841 1,792 1,740 1,684 1,62240 2,077 2,004 1,925 1,839 1,793 1,744 1,693 1,637 1,577 1,50960 1,993 1,917 1,836 1,748 1,700 1,649 1,594 1,534 1,467 1,389120 1,911 1,834 1,751 1,659 1,608 1,554 1,495 1,429 1,352 1,254∞ 1,831 1,752 1,666 1,571 1,517 1,459 1,394 1,318 1,221 1,000


Tabulka VI/2

Kvantily F0,975(ν1, ν2) Fisher-Snedecorova rozdělení

ν1ν2 1 2 3 4 5 6 7 8 91 647,79 799,50 864,16 899,58 921,85 937,11 948,22 956,66 963,282 38,506 39,000 39,165 39,248 39,298 39,331 39,355 39,373 39,3873 17,443 16,044 15,439 15,101 14,885 14,735 14,624 14,540 14,4734 12,218 10,649 9,979 9,605 9,365 9,197 9,074 8,980 8,9055 10,007 8,434 7,764 7,388 7,146 6,978 6,853 6,757 6,6816 8,813 7,260 6,599 6,227 5,988 5,820 5,696 5,600 5,5237 8,073 6,542 5,890 5,523 5,285 5,119 4,995 4,899 4,8238 7,571 6,060 5,416 5,053 4,817 4,652 4,529 4,433 4,3579 7,209 5,715 5,078 4,718 4,484 4,320 4,197 4,102 4,02610 6,937 5,456 4,826 4,468 4,236 4,072 3,950 3,855 3,77911 6,724 5,256 4,630 4,275 4,044 3,881 3,759 3,664 3,58812 6,554 5,096 4,474 4,121 3,891 3,728 3,607 3,512 3,43613 6,414 4,965 4,347 3,996 3,767 3,604 3,483 3,388 3,31214 6,298 4,857 4,242 3,892 3,663 3,501 3,380 3,285 3,20915 6,200 4,765 4,153 3,804 3,576 3,415 3,293 3,199 3,12316 6,115 4,687 4,077 3,729 3,502 3,341 3,219 3,125 3,04917 6,042 4,619 4,011 3,665 3,438 3,277 3,156 3,061 2,98518 5,978 4,560 3,954 3,608 3,382 3,221 3,100 3,005 2,92919 5,922 4,508 3,903 3,559 3,333 3,172 3,051 2,956 2,88020 5,872 4,461 3,859 3,515 3,289 3,128 3,007 2,913 2,83721 5,827 4,420 3,819 3,475 3,250 3,090 2,969 2,874 2,79822 5,786 4,383 3,783 3,440 3,215 3,055 2,934 2,839 2,76323 5,750 4,349 3,751 3,408 3,184 3,023 2,902 2,808 2,73124 5,717 4,319 3,721 3,379 3,155 2,995 2,874 2,779 2,70325 5,686 4,291 3,694 3,353 3,129 2,969 2,848 2,753 2,67726 5,659 4,266 3,670 3,329 3,105 2,945 2,824 2,729 2,65327 5,633 4,242 3,647 3,307 3,083 2,923 2,802 2,707 2,63128 5,610 4,221 3,626 3,286 3,063 2,903 2,782 2,687 2,61129 5,588 4,201 3,607 3,267 3,044 2,884 2,763 2,669 2,59230 5,568 4,182 3,589 3,250 3,027 2,867 2,746 2,651 2,57540 5,424 4,051 3,463 3,126 2,904 2,744 2,624 2,529 2,45260 5,286 3,925 3,343 3,008 2,786 2,627 2,507 2,412 2,334120 5,152 3,805 3,227 2,894 2,674 2,515 2,395 2,299 2,222∞ 5,024 3,689 3,116 2,786 2,567 2,408 2,288 2,192 2,114

Pro P = 0,025 jsou hodnoty kvantilů dány vztahem F0,025(ν1, ν2) = 1F0,975(ν2,ν1)

.


Tabulka VI/2 – dokončení

ν1ν2 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞1 968,6 976,7 984,9 993,1 997,2 1001,4 1005,6 1009,8 1014,0 1018,32 39,40 39,41 39,43 39,44 39,45 39,46 39,47 39,48 39,49 39,503 14,42 14,34 14,25 14,17 14,12 14,08 14,04 13,99 13,95 13,904 8,844 8,751 8,657 8,560 8,511 8,461 8,411 8,360 8,309 8,2575 6,619 6,525 6,428 6,329 6,278 6,227 6,175 6,123 6,069 6,0156 5,461 5,366 5,269 5,168 5,117 5,065 5,015 4,959 4,905 4,8497 4,761 4,666 4,568 4,467 4,415 4,362 4,309 4,254 4,199 4,1428 4,295 4,200 4,101 4,000 3,947 3,894 3,840 3,784 3,728 3,6709 3,964 3,868 3,769 3,667 3,614 3,560 3,506 3,449 3,392 3,33310 3,717 3,621 3,522 3,419 3,365 3,311 3,255 3,198 3,140 3,08011 3,526 3,430 3,330 3,226 3,173 3,118 3,061 3,004 2,944 2,88312 3,374 3,277 3,177 3,073 3,019 2,963 2,906 2,848 2,787 2,72513 3,250 3,153 3,053 2,948 2,893 2,837 2,780 2,720 2,659 2,59614 3,147 3,050 2,949 2,844 2,789 2,732 2,674 2,614 2,552 2,48715 3,060 2,963 2,862 2,756 2,701 2,644 2,585 2,524 2,461 2,39516 2,986 2,889 2,788 2,681 2,625 2,568 2,509 2,447 2,383 2,31617 2,922 2,825 2,723 2,616 2,560 2,502 2,442 2,380 2,315 2,24718 2,866 2,769 2,667 2,559 2,503 2,445 2,384 2,321 2,256 2,18719 2,817 2,720 2,617 2,509 2,452 2,394 2,333 2,270 2,203 2,13320 2,774 2,676 2,573 2,465 2,408 2,349 2,287 2,223 2,156 2,08521 2,735 2,637 2,534 2,425 2,368 2,308 2,247 2,182 2,114 2,04222 2,700 2,602 2,498 2,389 2,332 2,272 2,210 2,145 2,076 2,00323 2,668 2,570 2,467 2,357 2,299 2,239 2,176 2,111 2,042 1,96824 2,640 2,541 2,437 2,327 2,269 2,209 2,146 2,080 2,010 1,93525 2,614 2,515 2,411 2,301 2,242 2,182 2,118 2,052 1,981 1,90626 2,590 2,491 2,387 2,276 2,217 2,157 2,093 2,026 1,955 1,87827 2,568 2,469 2,364 2,253 2,195 2,133 2,069 2,002 1,930 1,85328 2,547 2,448 2,344 2,232 2,174 2,112 2,048 1,980 1,907 1,82929 2,529 2,430 2,325 2,213 2,154 2,092 2,028 1,959 1,886 1,80730 2,511 2,412 2,307 2,195 2,136 2,074 2,009 1,940 1,866 1,78740 2,388 2,288 2,182 2,068 2,007 1,943 1,875 1,803 1,724 1,63760 2,270 2,169 2,061 1,945 1,882 1,815 1,744 1,667 1,581 1,482120 2,157 2,055 1,945 1,825 1,760 1,690 1,614 1,530 1,433 1,310∞ 2,048 1,945 1,833 1,709 1,640 1,566 1,484 1,388 1,268 1,000



Rejstřík

BBayesův vzorec, 38

Ccharakteristikykoncentrace, 61polohy, 53variability, 58

Dde Morganova pravidla, 15

Ffaktoriál, 7formule úplné pravděpodobnosti, 37funkcedistribuční, 45hustoty pravděpodobnosti, 50pravděpodobnostní, 46

Jjevelementární, 12jistý, 12nemožný, 12

jevynezávislé, 30

Kkoeficientšikmosti, 62špičatosti, 63

kombinacebez opakování, 10s opakováním, 10

kombinatorika, 7kombinační číslo, 7konvergence podle pravděpodobnosti,

108kvantil, 55

Mmedián, 55

modus, 55momentcentrální, 62obecný, 62

Nnezávisléjevy, 30náhodné veličiny, 54

náhodná veličina, 43nespojitá (diskrétní), 44obor hodnot, 43spojitá, 44

náhodnýjev, 12pokus, 12

Ooprava na spojitost, 116

Ppermutacebez opakování, 9s opakováním, 9

pravděpodobnostaxiomatická definice, 18geometrická definice, 24klasická definice, 19náhodného jevu, 18podmíněná, 27

pravidloo násobení pravděpodobností, 29o sčítání pravděpodobností, 32

Rrozděleníalternativní, 73, 74binomické, 74, 78exponenciální, 86Fisherovo-Snedecorovo, 102hypergeometrické, 77logaritmicko-normální, 96

144 REJSTŘÍK

normované normální, 92normální, 89Pearsonovo, 99Poissonovo, 70, 74, 78rovnoměrné, 83Studentovo, 100

rozptyl, 58

Ssměrodatná odchylka, 59součet nezávislých náhodných veličin,

109střední hodnota, 54

Vvariacebez opakování, 9s opakováním, 9

větaBernoulliova, 108centrální limitní, 113Lévy-Lindebergovapro průměr, 116pro součet, 115Moivre-Laplaceova, 113pro podíl, 114o normálním rozdělenípro průměr, 120pro součet, 120pro veličiny t a χ2, 122

Zzákladní prostor, 12zákonrozdělení pravděpodobností, 45velkých čísel, 107

Date post:	19-Jan-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	8 times
Download:	0 times

PREPRINT PRAVDĚPODOBNOST A NÁHODNÁ VELIČINAk101.unob.cz/~neubauer/pdf/skripta_preprint.pdf2...

Documents