Tomáš Karel

LS 2012/2013

Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201.

Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji.

Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál – není v nich obsaženo

zdaleka všechno, co byste měli umět. Dalším studijním materiálem je učebnice, cvičebnice a také poznámky z přednášek a cvičení!

5.11.2013 Tomáš Karel - 4ST201 2

cv. Program cvičení

1. Úvod, popisná statistika

2. Popisná statistika

3. Míry variability, pravděpodobnost

4. Pravděpodobnost, náhodné veličiny a jejich charakteristiky

5. Pravděpodobnostní rozdělení

6. Pravděpodobnostní rozdělení, odhady parametrů

7. TEST, Testování hypotéz

8. Chí – kvadrát test dobré shody, kontingenční tabulky, ANOVA

9. Regrese

10. Regrese, korelace

11. TEST, časové řady (bazické a řetězové indexy)

12. Časové řady

13. Indexní analýza

Příklady spojitých náhodných veličin:

• X = výška náhodně vybraného studenta, 100 cm < x < 220 cm;

• X = čas, který náhodně vybraný student stráví denně na facebooku, 0 ≤ x ≤ 24 hodin;

• X = doba, kterou musíme čekat na obsluhu u baru v El magicu

• X = maximální rychlost automobilu, kterou automobil dosáhne na dálnici

Jednotlivé náhodné veličiny mají různá pravděpodobnostní rozdělení

Jak popsat rozdělení pravděpodobnosti pro spojitou náhodnou veličinu?

Distribuční funkce F(x)

Distribuční funkce F(x) udává pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnoty menší nebo rovné hodnotě x

Hustota pravděpodobnosti f(x)

Hustota pravděpodobnosti f(x) je taková funkce, že pro

libovolné a < b platí:

b

a

f (x)dx P(a X b) F(b) F(a)

“Sumace byla u spojité NV zaměněna za integraci, pravděpodobnostní funkce za hustotu pravděpodobnosti”

Střední hodnota

Rozptyl

Kvantily (pouze pro spojité NV)

100p% kvantil pravd. rozdělení spojité NV je takové číslo xp pro které platí:

px

p pP(X x ) f (x)dx F(x ) p

Normální rozdělení

Normované normální rozdělení

Logaritmicko normální rozdělení

Chí-kvadrát

Studentovo

Fisherovo

významné rozdělení v teorii pravděpodobnosti a matematické statistiky,

mnohé NV v ekonomii, technice a přírodních vědách mají přibližně normální rozdělení (zákon chyb)

aproximují (nahrazují) se jím některá nespojitá rozdělení

hustota pravděpodobnosti:

střední hodnota:

rozptyl:

kvantily:

2

2

2

)(

2

1)(

x

exf x

)(XE

2)( XD

pp ux

Příklady využití:

◦ tělesná výška, teplota, hmotnost

◦ chyby měření

◦ velikost chodidla

Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný muž bude mít výšku v rozmezí 170 až 185 cm? Předpokládejme přitom, že výška mužů má normální rozdělení s parametry:

μ = 180

σ2=49 =>

2 49 7

Pro výpočet využijeme transformaci na normované normální rozdělení

Takto transformovaná veličina se označuje jako U a má normální rozdělení s parametry

μ = 0 a σ2 =1.

N(0;1) -> NORMOVANÉ NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ

hodnoty kvantilů normovaného normálního rozdělení jsou tabelovány v tabulkách (např. příloha učebnice Hindls a kol.) resp. na

http://statistika.vse.cz/download/materialy/tabulky.pdf

Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná žena bude mít výšku v rozmezí 160 a 175 cm? Předpokládejme přitom, že výška žen má normální rozdělení s parametry

μ = 170 a σ2 = 36.

Náhodná veličina X má normální rozdělení s parametry μ = 10 a σ2 = 25. Určete následující pravděpodobnosti a kvantily:

a) P(X < 5)

b) P(8<X<12)

c) P(X >18)

d) P(X = 5)

e) X0,975

f) X0,05