PRŮMYSLOVÉ

PROCESY

Přenos hybnosti IIProudění nenewtonských kapalin potrubím

Prof. Ing. Tomáš Jirout, Ph.D.

(e-mail: Tomas.Jirout@fs.cvut.cz, tel.: 2 2435 2681)

Základní reologické modely

1 – newtonská kapalina

2 – binghamská látka

3 – pseudoplastická kapalina

4 – dilatantní kapalina

2

Newtonské kapaliny: )f(T

Mocninové kapaliny:

11

:2II2

mm

KK

Binghamské látky:

2

0:2

10

pro

2

00 :

2

1pro

:2

p

Základní rovnice pro proudění

v potrubí kruhového průřezu

Rovnice kontinuity pro nestlačitelné kapaliny

0 u 0

11

z

zr

uu

rur

rr

Cauchyova rovnice

fpuut

u

zzzz

rzz

zzz

rz g

zrr

rrz

p

z

uu

u

r

u

r

uu

t

u

11

Tenzor rychlosti deformace – jediná nenulová složkar

uzrzzr

d

d

2

1

l

p

z

pr

rrrz

d

d1r

Cr

l

prz

1

2

v ose potrubí (r = 0) musí být napětí konečné konstanta C1 = 0

rl

prz

2

Nenulová složka napětí

Proudění mocninových kapalin

Konstitutivní rovnice 1

22m

IIK

2

d

d

2

1:

r

uII z

rl

p

r

u

r

uK z

m

zrz

2d

d

d

d1

Po integraci a zavedení okrajové podmínky uz (r = R) = 0

Rychlostní profil

rlK

p

r

um

z

2d

d

mmm

zz

R

rR

lK

Rp

m

mu

/1/1

121

Rychlostní profil při laminárním proudění mocninových kapalin v potrubí

kruhového průřezu

mmm

zz

R

rR

lK

Rp

m

mu

/1/1

121

Objemový průtok

R R

mmmm

m

zz rrrR

lK

p

m

mrruV

0 0

/12/1

/1

d21

2d2

Střední objemová rychlost

3

/1

213R

lK

Rp

m

mV

m

z

d

lK

dp

m

m

R

Vu

m

z

/1

2 4132

Ztráta mechanické energie

2

41322

u

d

l

d

lK

d

u

m

mpe

m

zz

n

m

mm

m

Rem

m

du

K

m

m 1268

8262

Pro je třeba Reynoldsovo

číslo definovat

164

neR

K

du

m

meR

mmm

n

2

268

Závislost součinitele tření na Reynoldsově čísle Ren´ a indexu toku m

pro mocninové kapaliny

neR

64

2,175,0

2/1

75,0

2,026,0log

21

mm

meR

m

m

n

K

du

m

meR

mmm

n

2

268 kmeRf n ,, ?

Pro hydraulicky hladké trubky

Rabinowitschova rovnice

R

z

u

z

R

z

R

z rdr

uru

rrurruV

z 0

2

0 2

0

2

0

dd

d22

2d2

max

rl

prz

2

Rl

pR

l

p zs

22

rzz

rzdr

du

p

lV

s

d8

0

2

3

3

uvuvvu dd

Proudění binghamských kapalin

Konstitutivní rovnice 2

0:2

1pro0

2

00 :

2

1pro

:2

22

p

2

d

d

2

1:

r

uII z

0pro0d

d rz

z

r

u

00 pro

d

d

rz

p

rzz

r

u

Rychlostní profil při proudění binghamské kapaliny trubkou kruhového

průřezu

rl

p

dr

duzprz

20

rRrRl

pu

pp

zz

022

4

zp

lr

l

pr

000

0 2

2

Rrr 0

0max, rruu zz

0

00

022

3

3

dd08

s

rz

p

rzrzrzrz

p

lV

Objemový průtok – dosazení konstitutivní rovnice do Rabinowitschovy rovnice

4

00

4

3

1

3

41

128 ssp

z

l

dpV

Ztráta mechanické energie

4

00

2

2 3

1

3

41

32 ssp

z

l

dp

R

Vu

2

2

u

d

lpz

pd /

36

42

3

64

6

1

64

1

p

ppRe

HeHeReRe

p

p

duRe

2

2

0

p

dHe

Závislost součinitele tření v potrubí na Reynoldsově čísle Rep a

Hedstrmově čísle He

p

p

duRe

2

2

0

p

dHe

Pro Hedstrmovo číslo 0He přejde rovnice (2.1 – 29) ve známý vztah platný při

laminárním proudění newtonských kapalin:

Re

64

Pokud jde o turbulentní proudění binghamských kapalin, shoduje se většina autorů

v závěru, že součinitel tření nezávisí příliš na Hedstrmově čísle a k jeho určení je možno užít

vztahů platných pro newtonské kapaliny. Na základě toho byla sestavena korelace pro

vyjádření součinitele třecí ztráty:

12/1

5,1

22

12

288

ba

Re

c

p

,

kde 16

9,0

2 27,07

ln457,2

k

Rea

p

16

22

37530

pRe

cb

9,011,1

2 105,01

pRe

Hec

Obecná metoda výpočtu ztrátylaminární proudění nenewtonských kapalin potrubím

3

0

2

3

3 4d

8

Rdr

du

p

lV rz

zrz

s

srzrzrz

s

s

s

R

VD

2

0

1

2

33fdf

44

Konzistenční proměnné