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Proyecto “Algebra Lineal para Todos” Profesor José Arturo Barreto Gutiérrez CaracasWeb !!! " a b a c o " c o # "$e !!! " # ip r of e "c o # " $e !!!" a br a % a d a b r a " c o# " $e

Aplicaciones de las &atrices a la 'oluci(n de Proble#as de )edes *léctr icas

) esu#en

'e #uestra co#o obtener+ siste#as de ecuaciones lineales ,ue per#itan calcular intensidades de corrientes en los ra#ales del #is#o y diferencias de $olta-es entre nodos+ a

 partir de datos co#o fuerzas electro#otrices de bater.as /$olta-es0 y resistencias+ encircuitos eléctricos en for#a de red" 'e e1plica el #étodo de soluci(n de ecuacioneslineales si#ult2neas+ deno#inado desco#posici(n L3" 'e aplican los #étodos de an2lisisde corrientes por bucles y an2lisis de $olta-es por nodos+ concluyéndose ,ue el #étodo dean2lisis de corrientes por bucles produce #atrices diagonal do#inantes y positi$o definidasy ,ue en cual,uiera de estos #étodos+ la #atriz del siste#a de ecuaciones es una #atrizsi#étrica+ no singular+ con soluci(n 4nica" 'e #uestra ade#2s ,ue estos  procedi#ientoslle$an a e1presiones #atriciales de la ley de 56#+ co#o )7 8 9+ en el caso del an2lisis de

corrientes por bucles y '98 7+ en el caso del an2lisis de $olta-es por nodos" Por supuesto,ue esta es otra for#a e,ui$alente de la ley de 56#+ ya ,ue co#o ' es una #atriz nosingular+ 9 8 ':;7" 9 e 7 son $ectores de $olta-es y corrientes respecti$a#ente"

Cap.tulo 7"

;" Plantea#i ento del  pro ble#a

Las #atrices tienen un n4#ero cada $ez #as creciente de aplicaciones en la soluci(n de proble#as en Ciencia y Tecnolog.a"

'e aplicar2n a,u. al c2lculo de corrientes en una “red eléctrica”" 'e dar2 trata#ientoespecial al rec2lculo de las intensidades de las corrientes en cada “bucle” de la red cuandose #odifican las fuerzas electro#otrices de las fuentes+ debido a fallas o ca#bios en las#is#as"

7lustrare#os esto a a partir de un e-e#plo

*l siguiente diagra#a presenta un #odelo sencillo de una red eléctrica constituida  por  bater.as+ cables y resistencias"

http://www.abaco.com.ve/http://www.miprofe.com.ve/http://www.abrakadabra.com.ve/http://www.abrakadabra.com.ve/http://www.miprofe.com.ve/http://www.abrakadabra.com.ve/http://www.abaco.com.ve/

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A partir de las leyes de ?i; @ i @ iD 8 ;

@ i; E ?i @ iD 8

@ i; @ i E ;?iD 8

*l siste#a de ecuaciones en for#a #atricial ser.a )7 8 9 /*1presi(n #atricial de la ley de56#0+ en donde

   >? @ B @ B   i;     F;  

  

          ) 8

  @ B? @;

7 8

 i

 9 8

 F 

 

  

 

  

  @ B @; ;?    i

D

 F D

Las filas de la &atriz ) pro$ienen de las su#as de las resistencias en el bucle i+ los cualesson los ele#entos de la diagonal r 

ii + los otros ele#entos de la fila+ los r i- + i  -

corresponden a las resistencias co#unes al ra#al frontera entre los  buclessigno negati$o"

i+  -+ i  - con

*l proble#a ,ue se plantea es recalcular el $ector colu#na 7+ a partir de ca#bios en el$ector colu#na de las fuerzas electro#otrices /$olta-es0 9+ debido a fallas en las fuentes u

otros ca#bios posible#ente inesperados"

3na #anera ,ue pareciera natural es recalcular 7 a partir de la ecuaci(n 7 8 ) :;9+ ya ,ue la#atriz ) sie#pre es no singular+ #étodo ,ue se considera incon$eniente por razones ,ue secitar2n en el estudio"

'e plantear2+ la con$eniencia de utilizar la desco#posici(n L3 en su lugar"

" 5b -eti$o s del  pr oye cto

";" 5b-eti$o gener al

Presentar de una #anera e-e#plar y sencilla la utilizaci(n de #étodos #atriciales+co#o alternati$a con$eniente en la soluci(n de proble#as de redes eléctricas"

"" 5b-eti$os es pec.ficos

"";" Hescribir las condiciones ,ue 6acen ,ue el #étodo de Gauss y ladesco#posici(n L3+ sean estables en el caso de los proble#as de redes eléctr icas+en donde no es necesario apelar a #étodos #as sofisticados co#o la escogencia del

 pi$ote+ ,ue obligar.an a efectuar interca#bio de filas"

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""" &ostrar en base a e-e#plos concretos de proble#as de redes eléctricas eldesarrollo de la desco#posici(n L3"

""D" 7lustrar con e-e#plos la si#etr.a de las #atrices ,ue se presentan al aplicar 

las leyes de

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siste#as de ecuaciones si#ult2neas+ al estudio de la diagonal do#inancia y de losauto$alores de las #atrices obtenidas para co#probar ,ue son positi$o definidas "

Ca p.tul o "

&ar co te(r i co

Antecedentes de la in$ e stigaci(n

*l #étodo ,ue se utiliza co#un#ente para resol$er siste#as de ecuaciones+ siguiendo el progra#a de 2lgebra Lineal es el #étodo de Gauss" Por ello+ ser2 dif.cil encontrar en proyectos y tesis desarrollados en la uni$ersidad+ aplicaciones en donde se utilicenalgorit#os de desco#posici(n+ tal co#o la desco#posici(n L3 a,u. presentada"

*sta es una de las razones ,ue #oti$an este proyecto" &ostrar co#o se aplica ladesco#posici(n L3 en un proble#a espec.fico"

Para plantear el siste#a de ecuaciones si#ult2neas ,ue per#itir2 resol$er el circuito+  paracalcular intensidades de corriente y $olta-es+ se aplican dos #étodos

K *l an2lisis nodal del 9olta-eK An2lisis de corrientes por bucles

7ntr oducci(n

Cir cuito s *lé ctr i co s An2l isis  o dal de 9o lta -e"

*n este #étodo+ se producen y resuel$en siste#as de ecuaciones en los cuales lasinc(gnitas son los $olta-es en los “nodos  principales” del cir cuito" A partir de estos$olta-es nodales+ se deter#inan posterior#ente las intensidades de las corrientes en losdiferentes ra#ales del circuito"

Los pasos en el #étodo de an2lisis nodal son los siguientes

K 'e cuenta el n4#ero de nodos principales o “uniones” del circuito" 'ea n dic6on4#ero"

K 'e nu#eran los nodos co#o ;+ + " " " + n y los dibu-a#os en el diagra#a delcircuito" Los $olta-es en estos nodos se deno#inan 9;+ 9+ " " " + 9n+ respecti$a#ente"

K 'e esco-e uno de estos nodos co#o la referencia o “tierra” y se le asigna un $olta-ede "

K *n cada nodo e1cepto en el nodo de referencia escribi#os las leyes de la corrientede

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Por e-e#plo+ para el nodo a la iz,uierda+

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*l resultado+ después de la si#plificaci(n+ es un siste#a de # ecuaciones con #

$olta-es nodales desconocidos /donde # es #enor en ; ,ue el n4#ero de nodos #8 n : ;0" Las ecuaciones son de la siguiente for#a

donde G;;+ G;+ " " " + G## y 7;+ 7+ " " " + 7# son constantes"

*l siste#a de ecuaciones para los # $olta-es nodales 9;+ 9+ " " " + 9# se resuel$eutilizando el #étodo de eli#inaci(n de Gauss o desco#posici(n L3"

An2l isis de corr ientes  por   b ucles

*n este #étodo se producen y resuel$en siste#as de ecuaciones en los cuales las incognitasson corrientes en bucles" Las corrientes en los diferentes ra#ales del circuito se

deter#inan posterior#ente a partir de las anteriores"

Los pasos en el #étodo de las corrientes por bucles son

K Contar el n4#ero de corrientes de bucles re,ueridas" *ste n4#ero se lla#ar2 #"

K 'e escogen # corrientes de bucles independientes" Lla#e#oslas 7;+ 7+ " " " + 7# y sedibu-an el el diagra#a del circuito para cada bucle" *l resultado+ después desi#plificaci(n+ es un siste#a de n ecuaciones lineales en n corrientes de  bucledesconocidas+ en la siguiente for#a

donde ) ;;+ ) ;+ " " " + ) ## y 9;+ 9+ " " " + 9# son constantes"

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K 'e resuel$e el siste#a de e,uaciones en las # corrientes de bucle 7;+ 7+ " " " + 7#utilizando el #étodo de eli#inaci(n de Gauss+ la desco#posici(n L3 o cual,uier otro #étodo"

*-e#plificare#os ladesco#posici(n L3 de una#atriz+ y su aplicaci(n+ to#ando

co#o base la #atriz de loscoeficientes del siste#a deecuaciones lineales si#ult2neascorrespondiente al e-e#plo con elcual inicia#os este estudio"

*ncontrare#os la desco#posici(n L3 “sobrescrita” de la #atriz   >?

 @ B @ B 

) 8   @B

  @ 

B

? @; @; ;?

Tal #atriz se obtiene por el #étodo del an2lisis de corrientes por bucles+ después de lasi#plificaci(n del #is#o"

 (tese ,ue los n4#eros >?+ ?+ ;? de la diagonal son la su#a de las resistencias en cadauno de los bucles" Los n4#eros Q y Q y Q; corresponden a las resistencias ,ue se6allan en ra#ales co#unes a los bucles $ecinos"

*sta es la raz(n por la cual la #atriz+ en el caso obtenida por el #étodo del an2lisis de

corrientes por bucles es diagonal#ente do#inante"

La positi$idad de los ele#entos de la diagonal+ obtenidos por el an2lisis de corrientes  por  bucles+ -unto con la diagonal do#inancia+ lle$an a lo ,ue la #atriz obtenida sea positi$odefinida y ,ue sus auto$alores sean positi$os" *llo garantiza ade#2s ,ue los pi$otes ,ueaparecen en el #étodo de Gauss sean diferentes de y la #atriz sea in$ertible""

Co#o tal #atriz es positi$o definida+ siguiendo los pasos del #étodo de Gauss con  pi$oteo parcial+ escoge#os co#o pi$ote el ele#ento de la pri#era colu#na con #ayor $alor absoluto" *s decir ,ue r ;; 8 >? ser2 nuestro pi$ote" o es necesario+ dada la positi$idad de

este ele#ento+ interca#biar filas" Por ello afir#a#os ,ue las caracter.sticas de las #atrices

 

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,ue aparecen en los proble#as de redes electricas fa$orecen no s(lo al #étodo de Gauss+sino ta#bién a la desco#posici(n L3+ co#o se $er2"

Las operaciones por filas ser2nR; S R; + B

R E >?

R; S R + BRD E >?

R; S RD " Con esta

si#bolog.a se=ala#os ,ue la ;ra" Rila+ R; + ,uedar2 sin alteraci(n+ #as ,ue la da" fila+ R

'er2 ree#plazada por su su#a con

”$eces” la ;ra" fila y ,ue la tercera fila ser2>?

ree#plazada por su su#a con

”$eces” la ;ra" fila">?

 

 

  

>? @ B

@ 

Producire#os una nue$a #atriz sobreescrita  @ B D?D; @ ??D

 

" 

  >? >? D

  @ B 

@ ??D ;DU

    >? D ;U

La parte de la #atriz anterior ,ue ir2 a de$enir en una #atriz triangular superior + es precisa#ente la #atriz ,ue se obtiene en el proceso de Gauss+ o sea 6asta el #o#ento

   >?

   

@ BD?D;

@ 

@ ??D

3; 8 

>? D

 

  @ ??D 

;DU

 

  

D ;U La siguiente #atriz ,ue al final se transfor#ar2 en la #atriz L+ se e1traer2 as. de la #atrizsobrescrita"

 

 

             @ L ; 8

    >?;

 

  @ B

 

;  

   >?

Los ele#entos de la pri#era colu#na+ sal$o el ; de la diagonal+ son precisa#ente loscocientes de los n4#eros ,ue e1ist.an en sus respecti$as posiciones+ di$ididos por el pi$ote"

Al e1a#inar el ele#ento en la posici(n /+0 de la #atriz sobrescrita+ ,ue es el #is#o ,ueel /+0 de 3 ; encontra#os ,ue no s(lo es diferente de + sino ,ue es positi$o y de #21i#o

$alor absoluto en la colu#na+ ya ,ueD?D;

8 I>"> y>?

??D8;>"I" Por lo tanto este  pi$ote+

D,ue ser.a escogido al utilizar el #étodo de Gauss con pi$oteo parcial+ est2 precisa#ente en

;

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la diagonal" o se necesita de #anera alguna interca#bio de filas para segurar laestabilidad del algorit#o"

'obre 3 ;+ calcula#os el cociente@ ??D

  DD?D;

>?

8

@ ;D?

"D?D;

Al sustituir en 3;+ siguiendo el proceso de GaussRD E ;D?

D?D;

R S RD + se obtiene

   >?

3 8    

@ BD?D;

>?

@ 

@ ??D

D  

    ID;

    D?D;

La #atriz L+ triangular inferior ser.a 

 

        

L 8  @ B

;      >?

  @ B 

@ ;D?

    >? D?D;

    

>? @ B

@ 

La #atriz L3+ sobrescrita ser.a  @ B D?D; @ ??D

    >? >? D  

 @ B 

@;D? ID;

    >? D?D; D?D;

   >? 

@ B @ B 

'e puede $erificar ,ue L3 8 ) 8   @ B

  @ B

? @;  "

@; ;?

*sta es la desco#posici(n L3 de nuestra #atriz de las resistencias"

3na $ez obtenida la desco#posici(n L3+ el proble#a planteado )7 8 9+ se resuel$e co#oL37 8 9+ ree#plazando y 8 37+ para resol$er pri#ero el siste#a de ecuaciones

/;0 Ly 8 9 y después/0 37 8 y

;

;

   

 

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*stos dos 4lti#os siste#as se resuel$en f2cil#ente" Por ello+ estos c2lculos se  puedenefectuar a un costo #enor+ para recalcular las intensidades 7+ al $ariar los $olta-es de 9+ sinutilizar la #atriz in$ersa"

Al obser$ar las #atrices L y 3+ encontradas+ co#o estas son #atrices triangulares+ susdeter#inantes son el producto de los ele#entos de la diagonal+ por lo tanto det/L0 8 ;+ ya,ue los ele#entos de su diagonal son ;s"

V det/30  + ya ,ue todos los ele#entos de la diagonal+ ,ue fueron precisa#ente los pi$otes en el proceso de Gauss+ son diferentes de " *n este e-e#plo es claro ,uedet/)08ID;  "

La sobreescritura a,u. presentada se utiliza para a6orrar #e#oria de al#acena#iento en elco#putador en el caso de siste#as de cientos o #iles de inc(gnitas"

Hef inici( n de tér#inos  b2sico s

Le y es  d e 

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&a t r  iz   p o si t i$ o  d e f  i n id a  *s a,uella #atriz para la cual la for#a cuadr2tica 1TA1 es positi$a para todo $alor de 1+ es decir ,ue 1

TA1 + para todo $ector 1" 'e caracteriza

 por,ue todos sus $alores propios son positi$os"

& é t o do d e  G a u ss c o n  p i $ o t eo  p a r  ci a l  3na $ariaci(n del #étodo de Gauss+ donde en el i:ési#o paso+ se utiliza co#o pi$ote+ el ele#ento de #(dulo #21i#o en la colu#na i+interca#biando filas de ser necesario"

Ca p.tul o 79

&ar co &etodo l(g ico

Los pasos seguidos en este estudio fueron

K *studio de bibliograf.a e1istente en la biblioteca de la 3ni$ersidad Rer#.n Toro"K )e$isi(n de art.culos disponibles en la WebK Co#paraci(n de los resultados con resultados te(ricos conocidos

*n este tipo de proyecto+ el #arco #etodol(gico es relati$a#ente sencillo ya ,ue no seutilizan encuestas+ entre$istas+ ni datos obtenidos en el ca#po+ por basarse en #odeloste(ricos+ no estad.sticos" Por lo tanto no e1isten for#atos para encuestas+ ni tie#pos" 'usfases estu$ieron deter#inadas s(lo por la disponibilidad de infor#aci(n en Biblioteca einternet"

Para el c2lculo de las soluciones de los siste#as de ecuaciones y el c2lculo de $alores

 propios+ se utilizaron Applets de Ja$a disponibles en la Web"

Ca p.tul o 9

Hise=o

*-e#plo ; Calcule las corrientes ,ue fluyen en cada ra#al del circuito+ utilizando an2lisis

de corrientes por bucles

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'oluci(n

K *l n4#ero de corrientes de bucles re,uerido es D"

K 'e escoger2n las corrientes de bucle o corrientes de red+ se=aladas en el gr2fico"

K 'e escriben las leyes de 9olta-e de

K Oe a,u. los resultados

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5 bser $aciones

K La #atriz es diagonal do#inante"K 'us auto$alores al ser calculados por #étodos nu#éricos son

X; 8 ;IB+BD + X   8 I+IUB+

XD 8 ?>+U> "

Por lo tanto son positi$os+ de donde se concluyeK *l deter#inante de la #atriz+ ,ue es el producto de sus auto$alores+ es positi$o K La #atriz es in$ersible+ o no singular+ por ello la soluci(n es 4nica"K Por tener sus auto$alores positi$os+ la #atriz es Positi$o Hef inida"

*-e#plo Oalle las corrientes ,ue fluyen en cada ra#al del siguiente circuito"

'oluci(n

K *l n4#ero de corrientes de bucle re,ueridas es D"

K *scogere#os las corrientes de bucle se=aladas arriba"

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K 'e escriben las leyes de $olta-e de and 7D 8 : ;"B

K Oe a,u. la soluci(n+ en el diagra#a"

5 bser $aciones

K La #atriz es diagonal do#inante"K 'us auto$alores al ser calculados por #étodos nu#éricos son

X; 8 I>+I; + X   8 UD+;+

XD 8 ?I+>I "

Por lo tanto son positi$os+ de donde se concluye

K *l deter#inante de la #atriz+ ,ue es el producto de sus auto$alores+ es positi$o K La #atriz es in$ersible+ o no singular+ por ello la soluci(n es 4nica"

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K Por tener sus auto$alores positi$os+ la #atriz es Positi$o Hef inida"

*-e#plo D

3tilice an2lisis nodal para 6allar el $olta-e en cada nodo del circuito"

'olucion

K  ote ,ue el “par de nodos” en la base es real#ente un nodo e1tendido" He tal#anera ,ue el n4#ero de nodos es D"

'e nu#erar2n los nodos co#o se #uestra a la derec6a"

'e escoger2 el nodo co#o elnodo de referencia y se le asignar2un $olta-e de "

K 'e escribir2n las leyes de corrientede

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*-e#plo I 3tilice an2lisis nodal para 6allar el $olta-e en cada nodo del circuito"

'olution

K *l n4#ero de nodos es I"

K 'e nu#eran los nodos co#o se #uestra""

K 'e escoger2 al nodo co#o nodo de referencia+ asign2ndole $olta-e "

K

'e escriben las leyes de corriente de

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K Al resol$er el siste#a de ecuaciones se 6allan los siguientes $olta-es

9; 8 :D" $olts+ 9D 8 ?D">I $olts y 9I 8 ";U $olts

5 bser $aciones

K La #atriz es diagonal do#inante"K 'us auto$alores al ser calculados por #étodos nu#éricos son

X; 8 +;D?> + X   8 +?>>+

XD 8 +;?> "

Por lo tanto son todos positi$os+ de donde se concluyeK *l deter#inante de la #atriz+ ,ue es el producto de sus auto$alores+ es positi$o K La #atriz es in$ersible+ o no singular+ por ello la soluci(n es 4nica"K Por tener todos sus auto$alores positi$os+ la #atriz Positi$o Hef inida

*-e#plo 3tilizar an2lisis nodal para encontrar el $olta-e en cada nodo del circuitosiguiente"

'oluci(n

K *l n4#ero de nodos es I"

K 'e nu#eran los nodos co#o se #uestra"

K 'e escoge el nodo I co#o nodo de referencia asign2ndole $olta-e "

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K 'e escribel las leyes de corriente de

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de colu#nas" Las #atrices positi$o definidas son #uy con$enientes para laestabilidad de los c2lculos"

K *l #étodo del an2lisis de $olta-es por nodos produ-o ta#bién #atrices diagonal

do#inantes y positi$o definidas"K Todos los auto$alores calculados fueron diferentes de + garantizando la no

singularidad y la posibilidad de utilizar el #étodo de Gauss o la desco#posici(nL3+ sin ,ue sea necesario efectuar interca#bio de filas"

) eco#en daciones

K Algorit#os tan i#portantes co#o la desco#posici(n L3+ ,ue es una e1tensi(ndel #étodo de Gauss+ deber.a estar incorporado al progra#a de 2lgebra lineal+ya ,ue es un buen e-e#plo de la i#portancia de los algorit#os dedesco#posici(n de #atrices y sus aplicaciones"

K *n el curso de Zlgebra Lineal deben incorporarse aplicaciones co#o las ,ue se presentan en este proyecto"

K Los c2lculos pueden 6acerse por #edio de pa,uetes nu#éricos co#o &atLab o por #edio de calculadoras progra#ables+ las cuales tienen i#portantesaplicaciones en el estudio de cursos de ingenier.a"