PRUŽNOST A PEVNOST I PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKYpruznost.unas.cz/PP_I_19_20.pdf · 1. Prostý...

Únor 2020

PRUŽNOST A PEVNOST I

PODKLADY PROPŘEDNÁŠKY

Jan Řezníček

ÚSTAV MECHANIKY, BIOMECHANIKY A MECHATRONIKY ODBOR PRUŽNOSTI A PEVNOSTI

PRUŽNOST A PVNOST I PODKLADY PRO PŘEDNÁKY BALALÁŘSKÉ STUDIJNÍ PROGRAMY TZSI a STR

přednáší

Jan Řezníček

akademický rok

2019/2020

Praha 1. února 2020

11. přepracovaná a doplněná verze (pro LS akademického roku 2015/2016) - text neprošel jazykovou ani redakční úpravou © Jan Řezníček, Fakulta strojní ČVUT v Praze 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018, 2019 a 2020.

PRUŽNOST A PEVNOST 1 3

Přednášky z PP I (211 1051) Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti LS akademického roku 2019/2020 Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky

KDO PSAL HISTORII PRUŽNOSTI A PEVNOSTI

1452 – 1519 Leonardo da Vinci 1564 – 1642 Galileo Galilei 1620 – 1684 Edme Mariotte 1635 – 1703 Robert Hooke 1623 – 1662 Blasie Pascal 1642 – 1727 Isaac Newton 1654 – 1705 Jakob Bernoulli 1700 – 1782 Daniel Bernoulli 1707 – 1783 Leonard Euler 1717 – 1783 Jean-Baptiste d'Alembert 1736 – 1806 Charles-Augustin de Coulomb 1749 – 1827 Piere Simon Laplace 1773 – 1829 Thomas Young 1781 – 1840 Simeon Denis Poisson 1797 – 1886 Adhémar Jean-Claude de Saint-Vénant 1814 – 1885 Henri Edouard Tresca 1818 - 1889 James Prescott Joule 1819 – 1914 August Wöhler 1820 – 1872 William John Macquorn Rankin 1821 – 1891 Dmitrij Ivanovič Žuravskij 1823 – 1892 Enrico Betti 1823 – 1892 Johann Wilhelm Schwedler 1824 – 1887 Gustav Robert Kirchhoff 1830 – 1903 Antonio Luigi Giuseppe Cremona 1831 – 1879 James Clerk Maxwell 1833 – 1872 Alfred Clebsch 1835 – 1888 Emil Winkler 1835 – 1918 Christian Otto Mohr 1841 – 1912 Josef Šolín 1871 – 1945 Boris Grigorgijevič Galerkin 1872 – 1950 Tytus Maksymilian Huber 1878 – 1972 Štěpán Prokofjevič Timošenko 1878 – 1909 Walther Ritz 1883 – 1953 Richard von Mises 1885 – 1951 Heinrich Hencky 1847 – 1884 Carlo Alberto Castigliano 1875 – 1953 Ludwig Prandtl 1880 – 1942 Viktor Felber 1905 – 1956 Ferdinand Budinský 1908 – 1968 Lev Davidovič Landau 1918 – 1991 Emanuel Hájek 1919 – 2000 Clifford Ambrose Truesdell 1921 – 2009 Olgierd (Oleg) Cecil Zienkiewicz



Vážené kolegyně a vážení kolegové, dostalo se mi té cti, že mohu vést na Fakultě strojní Českého vysokého učení technického v Praze přednášky z předmětu Pružnost a pevnost I pro studenty bakalářských studijních programů „Teoretický základ strojního inženýrství“ a „Strojírenství“. Při přípravě podkladů pro tento předmět jsem vycházel ze zkušeností, které mám z minulých let s novou formou výuky pružnosti a pevnosti na FS ČVUT v Praze. Text, který máte před sebou, jsou vlastně „slepé“ přednášky, které vám studentům mají usnadnit práci při tvorbě vlastních zápisků z přednášek tak, aby vás při této činnosti nic výrazně nerušilo. Tím mám na mysli zdlouhavé „obkreslování“ obrázků z tabule, kdy já mám představu, co chci nakreslit, ale nepovede se mi to vždy úplně přesně. Vy si to obkreslujete jak s mojí nepřesností, tak si k tomu často přidáte ještě své vlastní, a pak při učení ke zkoušce přemýšlíte, co že to vlastně ten obrázek znamená. Zde máte všichni stejné podklady a je jen na vás, jak s nimi naložíte. Pokud alespoň jednomu z vás tyto podklady usnadní učení a pomohou udělat zkoušku z pružnosti, tak to nebyla zbytečná práce. Najdete-li v textu nebo ve vzorcích chyby, které jsem při autokorektuře přehlédl a za které se předem omlouvám, budu vám vděčný, pokud mě na ně upozorníte, abych je mohl opravit.

Přednášky kromě slepých obrázků a hlavních nadpisů obsahují pro objasnění problematiky i řadu komentářů, poznámek, doplňujících obrázků a také vzorových příkladů. Některé z nich jsou kompletně celé vypočítané, u jiných je jen naznačeno řešení. Ne všechny z uváděných příkladů budu na přednáškách počítat. Spíš jsem je do tohoto textu umístil pro vaše samostudium.

V celém textu pak budu používat pro zvýraznění jednotlivých částí tyto symboly: Zásadní odvození Vzorový příklad Souhrnná tabulka Intermezzo důležité pro pochopení je vhodné ho pochopit srovnání důležitých potřebné informace a také se to zkouší!!! nebo se hned zeptat!!! pojmů a hodnot z matematiky a fyziky

Většinu kapitol se pokusím uvést jednoduchými příklady z praxe, abych osvětlil jednak praktickou aplikaci probírané problematiky a jednak abych ukázal cestu od reálné součásti k výpočtovému modelu.

Ještě bych vám všem chtěl popřát hodně úspěchů během celého vašeho studia. Pokud budete během následujících let na fakultě cokoliv potřebovat – a to nejen z Pružnosti a pevnosti I nebo následně Pružnosti

a pevnosti II – tak jsem vám k dispozici, protože jednou jste MOJI STUDENTI, a to je pro mě závazek i do budoucna, kdy vás již nebudu učit a budeme se jen potkávat na chodbách naší fakulty nebo na studijním oddělení.

: 224 352 424 : 725 351 511 : [email protected] : www.facebook.com/Pruznost

V Praze v sobotu dne 1. února 2020

P O T

MF



P R U Ž N O S T A P E V N O S T

Přednáší: Jan Řezníček, studijní oddělení místnost 45 (místnost proděkana pro pedagogickou činnost)

Skripta: Michalec, J. a kol.: Pružnost a pevnost I, skriptum FS ČVUT Šubrt, L., Řezníček, J., Růžička, M.: Příklady z pružnosti a pevnosti I, skriptum FS ČVUT Zdroje informací:

www.mechanika.fs.cvut.cz

www.facebook.com/Pruznost

www.pruznost.unas.cz



Zařazení pružnosti a pevnosti: Pružnost a pevnost jako přírodní věda je součástí FYZIKY, resp. její části MECHANIKY Klasická pružnost a pevnost vs. moderní výpočtové (numerické) metody

Historie pružnosti a pevnosti: Pružnost a pevnost jako přírodní věda platí od vzniku světa, a tak historie v našem pojetí pojednává pouze o úrovni poznání resp. vývoji pružnosti a pevnosti jako vědního oboru. Proto seznam jmen uvedený na začátku těchto přednášek je jen výběrem těch nejvýznamnějších vědců, kteří nejvíce ovlivnili pružnost a pevnost.

Základní pojmy:

1) Síly povrchové Intenzita vnitřní síly = napětí - osamělé spojitě rozložené 2) Síly objemové (tíhová síla tělesa v gravitačním poli)

1) Zatížení statické/quazistatické (žádné nebo velmi pomalé změny) 2) Zatížení dynamické (děje s rychle se měnícím zatížením)

1) Zatížení místně stálé (upevnění stroje k základu) 2) Zatížení pohyblivé (pojezd mostového jeřábu)

Statická rovnováha vnějších sil (všech): Všechna uvažovaná zatížení musí splňovat podmínku statické rovnováhy vnějších sil (včetně sil reakčních vznikajících v uložení tělesa). Složité soustavy se převedou postupným uvolňováním na jednoduché při zachování původních okrajových podmínek. V případě nerovnoměrného pohybu tělesa nebo soustavy se do stavu rovnováhy zahrnují i setrvačné síly (d´Alambertův princip). Se zatížením povrchovými i objemovými účinky bez vlivu na samotné těleso se zabývá mechanika tuhých těles, kterou již znáte z předmětu Mechanika I, kdežto mechanika poddajných těles se zabývá i chováním samotného poddajného tělesa a řeší změny, ke kterým v takovém tělese dochází právě v důsledku vnějších sil a případných setrvačných účinků.

VNITŘNÍ SÍLY: Poddajné těleso se vlivem vnějších sil, které musí být podle předchozího předpokladu v rovnováze, deformuje a tím vznikají v tělese VNITŘNÍ SÍLY.

04

1

i

iF

0)(

21 A

FdFF

Je-li v rovnováze celé těleso, je také v rovnováze i každá jeho odříznutá část. Musí tedy být v rovnováze i samotná část . Rovnováhu v tomto případě zajišťují vnitřní účinky působící v místě řezu.

DVnější - zatěžující Vnitřní

SÍLY

1 2

F1

F2

F3

F4

n

t

1

F1

F2

dA

dN

dT dF



Intenzita vnitřní síly napětí [Nm-2] [Pa] ... pascal resp. [Nmm-2] [MPa] ... megapascal

obecné normálové smykové

dA

dF

dA

dN

dA

dT

Poznámka: Zejména v anglosaské odborné literatuře se zásadně uvádí mechanické napětí v základních jednotkách Nm-2 resp. Nmm-2 (např. automobilky Ford nebo BMW uvádějí ve všech technických předpisech a dílenských manuálech pevnosti šroubů v Nmm-2). Jednotky Pa resp. MPa případně kPa jsou používány pro označování tlaků plynů a kapalin.

DEFORMACE TĚLESA:

[1] [1] poměrné prodloužení (kladné) zkos poměrné zkrácení (záporné) (změna kolmosti hran elementu)

0

resp. dx

dx ve starších knihách se používá výraz „poměrné posunutí“

PRUŽNOST TĚLESA = schopnost tělesa vrátit se po odlehčení do původního stavu

TUHOST TĚLESA = odolnost tělesa proti deformaci

ZÁKLADNÍ PŘEDPOKLADY ŘEŠENÍ ÚLOH PP:

1. Předpoklad malých deformací (v relaci s ostatními rozměry) 2. Platnost lineární závislosti mezi napětím a deformací (Hookův zákon) 3. Platnost Saint-Vénantova principu (změna zatížení se roznese na „malé“ vzdálenosti do celého průřezu

součásti a ovlivní tak jen malou oblast, kterou zanedbáme) 4. Existence ideálního materiálu - homogenní (bez vměstků, otvorů, ...) - isotropní (ve všech směrech stejné vlastnosti)

Skutečná součást Experiment velice často provádíme přímo na

skutečné součásti nebo na skutečném modelu, který však nemusí být totožný s výpočtovým

modelem. Proto mohou být mezi experimentem a výpočtem značné rozdíly

Výpočtový model Pro výpočty v pružnosti a pevnosti využí-

váme tzv. výpočtový model, který vznikne za použití různých zjednodušujících předpokladů

(čím větší je zjednodušení tím nepřesnější jsou výsledky vzhledem ke skutečnosti)

F



Doplňující skripta s příklady: Řezníčkovi, J. a J.: Pružnost a pevnost v technické praxi – Příklady I, skriptum FS ČVUT Řezníčkovi, J. a J.: Pružnost a pevnost v technické praxi – Příklady III, skriptum FS ČVUT Příkladů výpočtových modelů lze určitě najít celou řadu. Vždy však není úplně jednoduché sestavit ten model tak, aby byl „rozumně“ řešitelný a přitom stále odpovídal skutečnosti. Řadu výpočtových modelů ke zcela známým a v běžném životě používaným věcem jsme se pokusili sestavit ve skriptech Jan a Jitka Řezníčkovi: „Pružnost a pevnost v technické praxi – Příklady I“ a „Příklady III“, Nakladatelství ČVUT v Praze, 2005 a 2007. Jak se nám to povedlo, to již musíte posoudit vy sami.

Poznámka: Skripta „Pružnost a pevnost v technické praxi – Příklady II“ jsou určena až pro předmět Pružnost a pevnost II.

O B S A H P Ř E D N Á Š E K P P I :

1. Prostý tah/tlak a základní pojmy pružnosti a pevnosti 10 2. Napětí a přetvoření 32 3. Deformační energie při obecné napjatosti 41 4. Teorie (hypotézy) pevnosti/pružnosti 45 5. Krut kruhového a mezikruhového profilu 54 6. Ohyb nosníků 63 7. Kombinované namáhání 96 8. Křivé pruty a rámy 105 Doslov 120



Takto označené vsuvky nebo poznámky jsou vloženy do textu jaksi navíc a pokud by vás jejich obsah urážel svojí jednoduchostí, tak je s klidným svědomím

přelepte, přeškrtejte, … . Moje zkušenosti ze zkoušek z pružnosti a pevnosti případně dalších předmětů však ukazují, že nejjednodušší věci se nejrychleji zapomínají. A je smutné, když dobře zahájený příklad nejste schopni dopočítat jen proto, že vám schází „nějaká drobnost“ z matematiky nebo fyziky. Já pak musím tento příklad hodnotit jako nedokončený nebo dokonce nevyřešený. Z tohoto důvodu se několikrát v těchto přednáškových podkladech uchýlím k této formě připomenutí potřebných znalostí a těm, které tím urážím, se předem omlouvám – PROMIŇTE!

MATEMATICKÉ INTERMEZZO V průběhu výuky pružnosti a pevnosti stejně jako i jiných předmětů se budou používat pojmy „malé deformace“, „malé úhly“ a spousta dalších „malých“ veličin. Připomeňme si proto, co již o malých velikostech víme z matematiky:

1. Malý úhel ( 0): sin ; cos 1 ; tan (někdy lze ale také s výhodou použít i vztahy: sin 0 ; tan 0)

2. Délka skutečného oblouku: s[m] = R[m][1] 3. Délka malého oblouku: ds[m] = R[m]d[1] Protože platí: tan d = ds/R ds = Rd a podle 1. platí: tan d d 4. Malá deformace (u 0): u << 1 (1 – u) 1 ; u2 0

5. Diferenciál: ds a dm jsou malé veličiny prvního řádu avšak nenulové (lze jimi například dělit rovnici) dsdm součin dvou nebo více diferenciálů je diferenciální veličina vyššího řádu,

kterou lze zanedbat (dsdm 0)

MF

s

R

ds d

R

Není třeba uvažovat dráhu po kružnici, ale stačí jí nahradit tečnou v původním místě

(kolmice k rameni R)

MF



1. PROSTÝ TAH/TLAK A ZÁKLADNÍ POJMY P&P

Vypočtěte statickou bezpečnost tažného lana lanovky na Petřín a stanovte deformační energii akumulovanou v tomto ocelovém lanu. Pohotovostní hmotnost každého z vozů je mv = 12 360 kg a vzhledem k možnosti přepravy až 100 cestujících plus obsluha je normované užitečné zatížení jednoho vozu mu = 8 080 kg. Průměr DL tažného lana je 35,3 mm (aktivní plocha průřezu použitého lana je cca 450 mm2). Lano je vyrobeno z drátků o jmenovité pevnosti Rm = 1 570 Nmm-2 (Pt) a výrobcem udá- vaná jmenovitá únosnost lana je přibližně Fmax = 700 kN. Šikmá délka lanové dráhy je s = 510,4 m při výškovém rozdílu horní a dolní stanice h = 130,45 m. Průměrná velikost úhlu celé dráhy tedy bude = 14,8°. Délka tažného lana (včetně volných částí procházejících strojovnou v horní stanici lanové dráhy) je pak = 540 m.

Lopatkový kompresor motoru GEnx se otáčí rychlostí n [min-1] a za provozu dochází ke změně teploty o T [K]. Stanovte prodloužení a maximální namáhání jeho lopatek, je-li průměr rotorového disku D [mm] a vnější průměr obvodu lopatek DL [mm]. Lopatky jsou vyrobeny z uhlíkového kompozitu (hustota [kgm-3], lineární teplotní roztažnosti f [K-1] a m = [K-1] a moduly pružnosti Ef [Nmm-2] a Ef = [Nmm-2]). V rámci zjednodušení pro tvorbu výpočtového modelu zanedbáme změnu poloměru středového disku a tvar lopatky nahradíme prutem stálého průřezu (výroba lopatky viz: https://www.youtube.com/watch?v=eoNySabChvA )

D

D

L

Boeing 787-10

T1

G1 N1

T1

DL

Lanovka na Petřín



Prut: Osa prutu:

-

- NORMÁLOVÁ SÍLA = výslednice sil kolmá k průřezu prutu TAH „+“ TLAK „–“ Saint-Vénantův princip: JEDNOOSÁ NAPJATOST:

Rovnice rovnováhy:

Řešení METODOU ŘEZU (zavedl Leonard Euler):

Napětí v místě řezu:

zde ale platí:

F A0

F

x

R

R = F

F

N(x)

N(x)

F

N(x) (x)

F

F

F malé



Změna zatížení: Změna průřezu:

Změna zatížení i průřezu:

F A1

A2

N(x)

(x)

(x)

F1

F2

(x)

F1

F2

N(x)

A1

A2 F2

N(x) (x)

F1

A0

F2

F2



PŘETVOŘENÍ (deformace) PŘI TAHU/TLAKU:

před po

TAHOVÁ ZKOUŠKA MATERIÁLU – PRACOVNÍ DIAGRAM (běžná konstrukční ocel)



TAHOVÁ ZKOUŠKA MATERIÁLU – PRACOVNÍ DIAGRAM (litina)

TAHOVÁ ZKOUŠKA MATERIÁLU – PRACOVNÍ DIAGRAM (slitinové oceli)



HOOKŮV ZÁKON (popis lineární části tahového diagramu) E ... MODUL PRUŽNOSTI – zavedl později Thomas Young (někdy nazýván Youngův modul)

TABULKA (HODNOTY MODULU PRUŽNOSTI OCELI 17 021):

Teplota T [°C] 20 150 300 500

Modul pružnosti E [Nmm-2] 2,1105 2,0105 1,9105 1,7105

DEFORMACE – VYUŽITÍ HOOKOVA ZÁKONA PODDAJNOST TUHOST Deformace vyvolaná změnou teploty (lineární teplotní roztažnost):

T



POISSONOVO ČÍSLO: ZÁKLADNÍ ELASTICKÉ CHARAKTERISTIKY KAŽDÉHO MATERIÁLU:

ODVOZENÍ:

POMĚRNÁ ZMĚNA OBJEMU (při tahu/tlaku): [1]

Jednoosá napjatost (platí Hookův zákon a Poissonův vztah): K … modul objemové pružnosti [Nmm–2]

O



ODVOZENÍ: DEFORMAČNÍ ENERGIE PŘI TAHU/TLAKU Hustota deformační energie (dříve měrná deformační energie)

O



ZÁKON O SUPERPOZICI NAPĚTÍ A POSUVŮ: Superpozice napětí: Superpozice posuvů (přetvoření) PROMĚNNÝ PRŮŘEZ:



PODMÍNKA PEVNOSTI A PODMÍNKA TUHOSTI Pevnostní podmínka:

TABULKA (VYBRANÉ HODNOTY BEZPEČNOSTI DLE NOREM): Součást Tlakové nádoby Elektrický výtah

Díl válcový plášť kulové dno lano Materiál ocel dural ocel dural ocel

Bezpečnost kK 1,6 - 1,5 - 8 26

(podle uspořádání) Bezpečnost

kP 2,6 4,0 2,4 3,5

Tuhostní podmínka:

ODVOZENÍ: CASTIGLIANOVA VĚTA

ODVOZENÍ: MOHRŮV INTEGRÁL PRO TAH/TLAK

T

O

O



PŘÍKLAD 1.1 (napětí a deformace prutu od síly):

Dáno: a = 10 mm; = 1 m; F = 1104 N; E = 2105 Nmm–2

Určit: (x); u(x); u; u (bod leží ve 3/5 délky od dolního kraje)

Metoda řezu: Odřízneme část prutu v místě x a odstraněnou část nahradíme vnitřní silou N(x). Musí platit princip statické rovnováhy: Je-li v rovnováze těleso jako celek, musí být v rovnováze každá jeho odříznutá část. Tuto rovnováhu zaručuje právě náhradní vnitřní účinek v místě řezu. Statická rovnice rovnováhy bude mít tvar: x: F – N(x) = 0 N(x) = F = N(3/5) = F a N() = F = R.

Napětí vyjádříme ze známého vztahu jako podíl síly ku ploše, na kterou působí:

Deformaci (prodloužení) vyjádříme za pomoci Hookova zákona:

Posunutí obecného bodu vyjádříme pomocí integrálu deformace: .

Velikost integrační konstanty C určíme z okrajové podmínky (ve vetknutí se prut neprodlouží):

. Výsledná rovnice posuvu bude mít tvar:

Výsledek resp. znamená, že výsledná deformace je proti kladnému směru souřadnice x. Prodloužení prutu pak můžeme vyjádřit jako:

.

P

F

x

N(x) (x) (x) u(x)



PŘÍKLAD 1.2 (vliv vlastní tíhy):

Dáno: A; ; E;

Určit: N(x); (x); (x); u(x) a

V tomto případě si ukážeme oba přístupy – metodou řezu i metodou přes diferenciál objemu:

1. METODA ŘEZU:

2. METODA DIFERENCIÁLNÍ (pomocí diferenciální rovnice):

Předpokládáme proměnné napětí , a proto v místě x působí napětí (x) kdežto v místě (x působí již napětí (x) + d. I tento element musí být ve stavu statické rovnováhy, a tak musí platit:

,

kde: , a .

Výsledná rovnice rovnováhy po dosazení bude:

.

To je obyčejná diferenciální rovnice se separovanými proměnnými, kterou můžeme řešit integrací levé a pravé strany při dodržení okrajové podmínky:

.

Okrajová podmínka musí zaručit, že na volném nezatíženém konci není prut namáhán:. Odtud vychází: .

A výsledný tvar bude: .

Další postup je stejný jako v případě použití metody řezu: (x) (x) u(x) .

P

x

B

x

dx

B



PŘÍKLAD 1.3 (I-profil – pevnostní a tuhostní podmínka):

Dáno: F1 = 4104 N; F2 = 7104 N; 1 = 300 mm; 2 = 100 mm; materiál: ocel

11 370 (E 2105 Nmm–2; Pt = 370 Nmm–2 a Kt = 200 Nmm–2); kKmin = 1,5 a D = 0,2 mm (vlastní tíhu tyče neuvažujte!).

Určit: Navrhněte vhodný normalizovaný I-profil, který vyhoví pevnostní i tuhostní podmínce.

P

F1 F1

F2 F2

F1 + F2

P P



ZVLÁŠTNÍ PŘÍPADY ŘEŠENÍ: Některé úlohy tahu a tlaku lze řešit snadno, některé obtížněji a některé přímo řešit nejde!

1. prut bez uvažování vlastní tíhy zatížený na konci osamělou silou

Řešitelné Řešitelné Neřešitelné!!!

.)(0

konstA

Fx

)()(

xA

Fx

)()(

xA

Fx

x = 0: 1

)0(A

F x 0: (0)

x = : 2

)(A

F x = :

2

)(A

F

0AE

F

dx

xAE

F

0 )(

2. prut s uvažováním vlastní tíhy bez zatížení osamělou silou

Řešitelné Řešitelné

xgA

xAg

A

xGx

0

0

0

)()( xg

xA

xxAg

xA

xGx

3

1

)(

)(31

)(

)()(

g )(max g

3

1)(max

E

gdx

E

xg

2

2

0

E

gdx

E

xg

63

1 2

0

.

F A0 F A1

A2

F A1 0

A2

x x x

A0

x

A1 0

A2

x



PŘÍKLAD 1.4 (deformační energie):

Dáno: F1; F2; 1; 2; A a E (vlastní tíhu tyče neuvažujte!)

Určit: Celkovou deformační energii U akumulovanou v tyči.

PŘÍKLAD 1.5 (využití deformační energie k řešení dynamických účinků):

Dáno: ; h; E; A.

Určit: Napětí v tyči v okamžiku dopadu závaží

P

P

F1

1

F2

2

x 1

x 2

P

h l D

YN

WP

UDYN

P

K

D



PŘÍKLAD 1.6 (využití Castiglianovy věty k řešení deformace prutové soustavy): Dáno: prutová soustava (pruty a ), h, , F a EA = konst.

Určit: Vodorovný a svislý posuv styčníku B: uB, vB a pB.

.

P

F

B

h



pB2 = uB

2 + vB2

Pro informaci - možnost využití metody fiktivní síly Nedoporučuji používat. Je to zdlouhavé a výhodnější je využití metody jednotkové síly.

Pokud bychom chtěli i při výpočtu vodorovné deformace použít Castiglianovu větu, musíme si k soustavě připojit fiktivní sílu F, kterou ve výsledku položíme rovnou nule.

0

.

FF

celkB

Uu

Nejprve musíme nově určit síly v prutech pro zatížení silami F a F:

Ftan1

FN a

sin2

FN .

Energie akumulovaná v soustavě tedy opět bude: 22

222

11

12

121. 2

1

2

1

AE

N

AE

NUUUcelk

.

Po dosazení ale dostáváme složitější vztah: Ucelk. = f(F2; F2; FF)

3

22

23

2

3

2

2

. sintantan2

tan2

1

sintantan

2

FFF

AE

hFF

AE

hUcelk

FFF

.

0tan

2

tan20

2 2.

F

FF

AE

hUcelk 2

0

.

tan

1

AE

hFUu celk

BFF

.

Poznámka: Znaménko „+“ (plus) ve výsledku znamená, že výsledná deformace uB bude mít shodný smysl se zvoleným směrem fiktivní síly F.

I s pevností si člověk užije – ulomit se může všechno.

F

F

uB

v B

B

B´

pB



STATICKY NEURČITÉ ÚLOHY – TAH/TLAK staticky určité: Úlohy staticky neurčité: Statická neurčitost: Prutové konstrukce (viz mechanika/statika): hpni 22

...

n ...

p ...

h ...

i > 0 úloha má i-stupňů volnosti jedná se o mechanizmus (neřešíme!!!) i = 0 úloha nemá žádný stupeň volnosti jedná se o staticky určitou úlohu (SUÚ) a k jejímu řešení

stačí statické rovnice rovnováhy i < 0 součásti je odebíráno více stupňů volnosti než sama má jedná se i-krát staticky neurčitou

úlohu (SNÚ), kde se vyskytuje o i více neznámých než je nezávislých statických rovnic rovnováhy 1. SILOVÁ METODA

Obecný postup řešení: 0. rozhodnutí 1. uvolnění 2. nahrazení 3. doplnění 4. řešení



Postup řešení staticky neurčité úlohy (tah/tlak): Dáno: prut (část a část ), a, b,, F a EA = konst. (obě vetknutí

jsou dokonale tuhá) Určit: Reakce ve vetknutích B a C: RB a RC.

UVOLNĚNÍ NAHRAZENÍ DOPLNĚNÍ Fyzikální rovnice = Hookův zákon Statická rovnice: 2. CASTIGLIANOVA VĚTA:

Má-li být funkce MINIMEM, musí být druhá derivace KLADNÁ

q.e.d.*)

*) Zkratka z latiny pro quod erat demonstrandum, což v překladu znamená „což bylo dokázati“ a česká zkratka c.b.d.



TABULKA (VOLBA ZNAMÉNEK VE FYZIKÁLNÍ ROVNICI AE

F

):

připojená síla F

předpokládaná

deformace

TAH „+“

TLAK „“

PRODLOUŽENÍ „+“

ZKRÁCENÍ „“

Zahrnutí vlivu teploty:

PŘÍKLAD 1.7 (staticky neurčitý tah/tlak s vlivem teploty):

Dáno: , , t, , EA = konst. (všechny tři pruty jsou

vyrobeny ze stejného polotovaru).

Určit: Síly v prutech N1, N2 a N3.

P

C

C

C

C´

T



PŘÍKLAD 1.8 (staticky neurčitý tah/tlak s vlivem teploty):

Dáno: 1, 2, D1, D2 t, , E = konst. (obě části jsou

vyrobeny ze stejného materiálu).

Určit: Napětí v jednotlivých částech prutu 1 a 2.

UVOLNĚNÍ NAHRAZENÍ DOPLNĚNÍ Fyzikální rovnice = Hookův zákon

PŘÍKLAD 1.9 (staticky neurčitý tah/tlak):

Dáno: , a, t, , EA = konst. (všechny pruty jsou vy-

robeny ze stejného polotovaru).

Určit: Síly v jednotlivých prutech N1, N2 a N3.

P

P



Fyzikální rovnice = Hookův zákon

MONTÁŽNÍ VŮLE m:

PŘÍKLAD 1.10 (staticky neurčitý tah/tlak s vůlí):

Dáno:a, b,m (m << a, b), F a EA = konst. (vetknutí jsou dokonale tuhá)

Určit: Provést diskusi a reakce ve vetknutích B a C: RB a RC. Diskuse: 1) 2) 3) UVOLNĚNÍ NAHRAZENÍ DOPLNĚNÍ Fyzikální rovnice = Hookův zákon

Kontrola výsledků (diskuse na závěr):

P



2. NAPĚTÍ A PŘETVOŘENÍ

Lepení je dnes považováno za velice moderní, progresivní a relativně levnou metodu spojování strojních součástí. Porovnejte únosnosti čtyř lepených spojů kovových součástí obdélníkového průřezu o rozměrech bh = 40 20 mm.

Ve variantě I se jedná o lepení „na tupo“ pod úhlem I = 90°, ve variantě II svírají lepené plochy s vodorovnou osou úhel II = 45°, ve variantě III svírají lepené plochy s vodorovnou osou úhel III = 15° a ve variantě IV je spoj přesazen na délce a = 100 mm. Spoj je vždy zatížen vodorovnými silami F, které působí v ose součásti.

Použité lepidlo K-Akryl 32 je metyl-kyano-akrylát vytvrzovaný vzdušnou vlhkostí, který má manipulační pevnost po necelé minutě po aplikaci a po 12 hodinách vykazuje pevnost v tahu N = 16 20 MPa a pevnost ve střihu T = 25 32 MPa (pro další výpočet pak budeme používat minimální hodnoty):

N min = 16 MPa a T min = 25 MPa.

Druhy napjatosti:

Napjatost v bodě:

Rozklad napětí: Každé ze tří obecných napětí x, y a z rozložíme na tři složky (jedno normálové napětí a dvě napětí smyková ). Vzniklých devět složek napětí můžeme zapsat do tenzoru napětí:

zzyzx

yzyyx

xzxyx

T

občas se užívá zápis

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

T

výhodný pro počítačové zpracování

III = 15°

F F

h

I

II

III

IV F F

h

a

I = 90°

F F

h

KAkryl 32

II = 45°

F F

h

KAkryl 32

KAkryl 32

KAkryl 32



Z devíti složek napětí je jen 6 nezávislých, protože platí zákon o sdružených smykových napětích (bude odvozeno později), kde při použití jedno indexového zápisu dostáváme:

xy = yx = z

yz = zy = x zx = xz = y

(bude odvozeno později)

JEDNOOSÁ/PŘÍMKOVÁ NAPJATOST:

Šikmý řez:

Spojením dvou kolmých dvojic řezů můžeme popsat obecnou rovinnou napjatost:

SDRUŽENÁ SMYKOVÁ NAPĚTÍ:

Znaménka smykových napětí:

zxy

xyz

yzx

T



ROVINNÁ NAPJATOST

všechna napětí MUSÍ ležet v jedné rovině:

ODVOZENÍ: ROVINNÁ NAPJATOST – MOHRŮVA KRUŽNICE

Řešení v rovině x-y:

MATEMATICKÉ INTERMEZZO: Z matematiky víme, že platí: xxx cossin22sin ; xxx 22 sincos2cos a 1cossin 22 xx .

2

2cos1sin 2

; 2

2cos1cos2

; 2

2sincossin

.

O

MF



Grafická interpretace = MOHROVA KRUŽNICE

Střed Mohrovy kružnice: S

Poloměr Mohrovy kružnice: r

Obecná konstrukce Mohrovy kružnice pro = 0 (bude tedy rovina totožná s rovinou ).

Konstrukce skutečné roviny v Mohrově kružnici: Pravidlo vynášení smykových napětí: MOHROVA KRUŽNICE:



PŘÍKLAD 2.1 (ROVINNÁ NAPJATOST – Mohrova kružnice): Dáno: x = 50 Nmm–2, y = –30 Nmm–2, z = –30 Nmm–2, = 30° (od roviny proti směru hodinových ručiček) Určit: Napětí v rovině : normálové a smykové ) – početně i graficky.

Pokud bychom omylem otáčeli v Mohrově kružnici opačným směrem, řešili bychom zcela jinou úlohu!!!

P



EXTRÉMY MOHROVY KRUŽNICE: – hlavní napětí (1 a 2) – maximální smykové napětí (max).

Hlavní napětí Maximální smykové napětí:



MOHRŮV DIAGRAM PROSTOROVÉ NAPJATOSTI JEDNOOSÁ NAPJATOST:

Nemožné



DVOJOSÁ NAPJATOST: PROSTÝ SMYK: Existuje pouze jedno smykové napětí z = (x = y = z = y = z = 0)

TABULKA (MODULY PRUŽNOSTI VE SMYKU VYBRANYCH MATERIÁLŮ): Materiál ocel měď hliník

Modul G [Nmm-2] (7,8 8,5)104 4,5104 2,7104 Mohrův diagram čistého smyku:

T



PŘETVOŘENÍ (DEFORMACE) PŘI TROJOSÉ (PROSTOROVÉ) NAPJATOSTI ROZŠÍŘENÝ HOOKŮV ZÁKON: Mohrova kružnice pro deformace – Mohrův diagram přetvoření:



3. DEFORMAČNÍ ENERGIE

při jednoosé, dvojosé a trojosé napjatosti PROSTÝ TAH/TLAK VÍCEOSÁ NAPJATOST (rovinná, prostorová) A) jen normálová napětí

1) dvojosá (rovinná) napjatost:



2) trojosá (prostorová) napjatost analogicky B) jen čistý smyk C) obecná napjatost – působí vše Využití poměrné změny objemu = (x + x + x):



Zvláštní případ (budeme využívat při kombinovaném namáhání, např. ohyb + krut, …):

ODVOZENÍ: POMĚR MODULŮ PRUŽNOSTI (E/G) POMOCÍ DEFORMAČNÍ ENERGIE Čistý smyk Hlavní napětí při čistém smyku (x = y = z = x = y = 0 ; z = ) (1 = + ; 2 = 0 ; 3 = ) HUSTOTA DEFORMAČNÍ ENERGIE NA ZMĚNU OBJEMU A ZMĚNU TVARU Změna objemu – Změna tvaru – 1. Normálová napětí:

= +

Poměrná změna objemu: Rozšířený Hookův zákon (zatím stačí jen vztah mezi a ):

O



= = 0 ZMĚNA OBJEMU ZMĚNA TVARU

2. Smyková napětí:

Poměrná změna objemu: Rozšířený Hookův zákon (nyní stačí jen vztah mezi a ): Čistý smyk (x = y = z = x = y = 0 ; z = 1 = + ; 2 = 0 ; 3 = ): VÝSLEDEK: Hustota deformační energie na změnu objemu (jen od tahových napětí): Hustota deformační energie na změnu tvaru (jak od tahových tak i od smykových napětí):



4. TEORIE (HYPOTÉZY) PEVNOSTI/PRUŽNOSTI

Podle vhodných teorií (hypotéz) pružnosti a pevnosti stanovte bezpečnosti k prostorové napjatosti, která vzniká v temeni hlavy kolejnice v místě styku kola dvojkolí lokomotivy s kolejnicí. Mez kluzu oceli, ze které je kolejnice vyrobena, uvažujte Re = 400 Nmm-2.

Z numerické analýzy pomocí metody konečných prvků (MKP) této kontaktní úlohy vyplývá, že jednotlivé složky napětí jsou: 1 = 800 Nmm-2 , 2 = 900 Nmm-2 a 3 = 1 100 Nmm-2 .

MEZNÍ STAV - Rozeznáváme mezní stav: 1. 2. 3. 4. Chování materiálu: TVÁRNÝ STAV KŘEHKÝ STAV

Lokomotiva 230 081-2



Haighův prostor (Bernard Parker Haigh): Rovinná napjatost - zobrazení v rovině (3 = 0): Zatěžovací křivka X Prosté zatěžování MÍRA BEZPEČNOSTI: PODMÍNKY PEVNOSTI Mezní stav pružnosti: Mezní stav pevnosti: Jednoosá tahová zkouška:

a) houževnaté materiály: b) křehké materiály:



JEDNOOSÁ NAPJATOST: Pevnostní podmínka (již u tahu a tlaku): Houževnaté materiály Křehké materiály PROSTOROVÁ NAPJATOST: Mezní stav pružnosti: Mezní stav pevnosti: Určení mezního stavu: 1) FYZIKÁLNĚ: 2) EXPERIMENTÁLNĚ: 3) HYPOTETICKY (teoreticky):

PRINCIP VŠECH HYPOTÉZ (TEORIÍ) PRUŽNOSTI A PEVNOSTI JE REDUKCE

Obecný stav napjatosti v bodě: Výsledek tahové zkoušky materiálu x , y , z , x , y a z x U, K a P

0 0



4.1 Houževnaté materiály (materiály v houževnatém stavu) 1) Hypotéza maximálního smykového napětí (MAX):

Naznačeno již roku 1773 Charles-Augustinem de Coulombem (1736 – 1806), zavedeno v roce 1868 Henri Edouardem Trescou (1814 – 1885) a okolo roku 1900 upraveno ještě Jamesem J. Guestem.

TAH: TLAK: PROSTOROVÁ NAPJATOST: Pozor!!! Pro rovinnou napjatost platí 3 = 0!!! Užití teorie maximálního smykového napětí (MAX): výhody nevýhody



Haighova plocha pro teorii maximálního smykového napětí (MAX): 2) Hypotéza energetická (H.M.H.):

Formulováno nejprve Jamesem Clerkem Maxwellem (1831 – 1879) a pak počátkem XX. stol. třemi vědci současně: Maksymilianem Huberem (1872 - 1950), Richardem von Misesem (1883 – 1953) a Heinrichem Henckym (1885 – 1951)

TAH/TLAK: PROSTOROVÁ NAPJATOST:



Užití energetické teorie (H.M.H.): výhody nevýhody Haighova plocha pro energetickou teorii (H.M.H.): Srovnání teorií maximálního smykového napětí (MAX) a energetické (H.M.H.):



4.2 Křehké materiály (materiály v křehkém stavu) 1) Hypotéza maximálního normálového napětí (MAX):

Nejstarší pevnostní hypotéza formulována již okolo 1840 Williamem J. Macquornem Rankinem (1820 – 1872).

TAH: TLAK: PROSTOROVÁ NAPJATOST: Pozor: Pro rovinnou napjatost platí 3 = 0!!! Haighova plocha pro teorii maximálního normálového napětí (MAX):



2) Hypotéza Mohrova: Formulována okolo 1880 Christianem Ottem Mohrem (1835 – 1918).

Použití: Mezní bod: Mezní čára:

Coulombova aproximace – nahrazení obecné mezní čáry přímkou Haighova plocha pro teorii Mohrovu:



PŘÍKLAD 4.1 (TEORIE PEVNOSTI): Dáno: x = 100 Nmm–2, y = 60 Nmm–2, z = –20 Nmm–2, x = –30 Nmm–2 (y = z = 0). 1) materiál je konstrukční ocel - K = 240 Nmm–2 2) materiál je litina - Pt = 280 Nmm–2 a Pd = 420 Nmm–2

Určit: V případě 1) bezpečnost k mezi kluzu kK

2) výslednou bezpečnost vůči mezi pevnosti kP

1a) Teorie MAX:

1b) Teorie energetická (H.M.H.):

2a) Teorie maximálního normálového napětí (MAX):

2b) Teorie Mohrova

P



5. KRUT KRUHOVÉHO A MEZIKRUHOVÉHO PROFILU

Vypočtěte statickou bezpečnost spojovacího hřídele přední brzdy závodního vozu Lotus 72C, který tvoří trubka s vnějším průměrem D = 40 mm a tloušťce stěny t = 10 mm vyrobená z vysokopevnostní oceli s mezí kluzu Re = 380 Nmm-2. Hřídel spojuje kolo s brzdovým kotoučem umístěným pro snížení

neodpružených hmot uvnitř rámu karoserie. Hmotnost vozu Lotus 72 připra- veného na trénink budeme uvažovat m = 700 kg a

vnější průměr předních kol DP = 600 mm. Ve výpočtu budeme předpokládat při intenzivním

brzdění rozložení brzdného účinku 70% a 30% na přední a zadní nápravě.

Poznámka: Při tréninku na Velkou cenu Itálie na okruhu v Monze dne 5. září 1970 byl pro dosažení maximální možné rychlosti nasazen vůz Lotus bez přítlačných ploch. Pravděpodobně defekt přední brzdy nebo zavěšení předního kola byl během intenzivního brzdění při nájezdu do Parabolické zatáčky příčinou nehody, kdy rakouský pilot Jochen Rindt utrpěl zranění, kterým později podlehl. Stanovte základní charakteristiky pružícího členu podvozku železničního vagónu typu Eas-u, který se v ČD používá k přepravě zejména sypkých materiálů. Každé ze čtyř dvoukolí tohoto vagónu je uloženo pomocí dvou pružících členů, které tvoří dvě v sobě zasunuté pružiny – viz obrázek. Dále stanovte maximální statické namáhání pružin pro zcela naplněný vagón (vliv příčných sil na pružiny neuvažujte a předpokládejte pružinu jako tenkou, těsně vinutou). Celková váha rámu a prázdné korby vagónu je mV 16 250 kg a podle tabulky je maximální přípustná hmotnost nákladu mN = 57 500 kg. Celková tíha, kterou podvozek vagónu přenáší na kolejový svršek je tedy: G = (mV + mN)g = (16 250 + 57 500)9,81 = 723 487 N.

Monza 1970

Vagón ČD Eas-u



Krut je vyvolán dvojicemi sil – KROUTICÍMI MOMENTY MK [Nm] resp. [Nmm] a [kNm]. ROZDĚLENÍ KRUTU: a) podle typu průřezu: b) podle zachycení deformací: DEPLANACE = Platí Saint-Vénantův princip – řešíme řezy v dostatečné vzdálenosti od působišť momentů.

ODVOZENÍ: KRUT PRUTŮ KRUHOVÉHO A MEZIKRUHOVÉHO PRŮŘEZU VZTAH SMYKOVÉHO NAPĚTÍ A KROUTICÍHO MOMENTU MK:

O



Zákon o sdružených smykových napětí platí i při krutu: Výpočet konstanty „c“: POLÁRNÍ KVADRATICKÝ MOMENT PRŮŘEZU: (je aditivní) Maximální smykové napětí: PRŮŘEZOVÝ MODUL V KROUCENÍ: (!!! NENÍ aditivní !!!) PEVNOSTNÍ PODMÍNKA PŘI KRUTU: Určení D musí vycházet z některé teorie pružnosti (rovinná napjatost): TRESCOVA TEORIE ENERGETICKÁ TEORIE (MAX) (H.M.H.)



VZTAH NATOČENÍ KONCŮ HŘÍDELE A KROUTICÍHO MOMENTU MK: TUHOSTNÍ PODMÍNKA PŘI KRUTU: Výpočet polárního kvadratického momentu průřezu JP a průřezového modulu průřezu v kroucení WK pro kruhový a mezikruhový průřez: KRUH: MEZIKRUH: Poznámka: Tenkostěnná trubka je zvláštním případem mezikruhového průřezu (zjednodušení díky tomu, že platí: s << r; R)



ODVOZENÍ: DEFORMAČNÍ ENERGIE PŘI KRUTU: Užití Castiglianovy věty při krutu: STATICKY NEURČITÉ ÚLOHY: Řešení je obdobné jako u TAHU/TLAKU OBECNÝ POSTUP ŘEŠENÍ: 0. rozhodnutí 1. uvolnění 2. nahrazení 3. doplnění 4. řešení

FYZIKÁLNÍ INTERMEZZO: Vztah mezi výkonem P [kW], otáčkami n [min-1], krouticím momentem MK [Nmm] a natočením [rad] resp. [°] je často uváděn pro hřídel délky l, o průřezovém momentu JP, vyrobeného z materiálu o modulu pružnosti G ve tvaru:

61055,9

KMnP odkud

n

PM K 61055,9 , a tedy

nJG

Prad

P

61055,9

][ , resp. nJG

P

P

51067,1

][ .

O

MF



PŘÍKLAD 5.1 (KRUT):

Dáno: M1, M2, a, b, c, (), D, G

Určit: maximální smykové napětí po celé délce prutu (hřídele)max(x)

UVOLNĚNÍ NAHRAZENÍ DOPLNĚNÍ Fyzikální rovnice (Hookův zákon pro krut): Maximální smyková napětí v jednotlivých úsecích budou: Ze statické rovnice MŮŽEME dopočítat druhý reakční moment:

P



ODVOZENÍ: TĚSNĚ VINUTÉ VÁLCOVÉ PRUŽINY: Rozklad síly Rozklad momentu

Napětí v těsně vinutých válcových pružinách:

Poznámka: Pro D/d 10 a pro „velké“ stoupání již nelze použít tuto teorii, a tak někteří autoři uvádějí vztah pro maximální smykové napětí i (interní) zahrnující vliv jak ohybu tak i posouvající síly:

3π

8

d

DFnomi

, resp.

35,2

d

DFnomi .

TABULKA (HODNOTY SOUČINITELE PODLE GEOMETRIE PRUŽINY):

D/d 0° = 15° = 30° 3 1,514 1,441 1,241 4 1,367 1,306 1,136 6 1,233 1,182 1,039 8 1,170 1,124 0,993

10 1,134 1,091 0,966

O

i

i

T



Deformace těsně vinutých válcových pružin:

Castiglianova věta: Deformační energie akumulovaná v celé válcové pružině (pouze od krutu – zbytek zanedbáme): Zjednodušíme výraz protože vše je podle předpokladu po celé délce konstantní: Tuhost těsně vinuté válcové pružiny:

Poznámky: 1. Při uvažování všech vnitřních účinků je v literatuře uváděn vztah pro výpočet skutečné deformace vinuté válcové pružiny y

jako funkce deformace vypočtené podle teorie těsně vinutých válcových pružin y0 a součinitele , který zahrnuje vliv reálné geometrie pružiny:

0yy ,

kde: 4

3

0

8

dG

iDFy

a

222

2

25,01

sincos6,01

D

d

D

d .

2. U dlouhých pružin nebo pružin s velkým stoupáním také může v průběhu zatěžování dojít ke ztrátě stability a vybočení celé pružiny – komplikovaný výpočet (NEŘEŠÍME!).

3. V literatuře lze najít i vztahy pro řešení jiných typů vinutých pružin (spirálné, kuželové, ...).

PŘÍKLAD 5.2 (PRUŽINY):

Dáno: D1, d1, i1, D2, d2, i2, G1= G2 = G a m.

Určit: 1 a 2 (napětí v pružinách po jejich spojení).

Řešení: Statická rovnice rovnováhy: Deformační podmínka:

P

před

před

po



Číselný výpočet pro:

D1 = 30 mm, d1 = 2,5 mm, i1 = 9, D2 = 20 mm, d2 = 1,5 mm, i2 = 12, G = 0,81105 Nmm–2 (ocel), m = 3 mm



6. OHYB NOSNÍKŮ

6.1 Nosník a jeho vlastnosti

Posuďte, kolikrát se zvětší ohybová tuhost ocelového nosníku I 200, jestliže jeho stojina bude rozříznuta v podélném směru (viz obrázek), oba díly vůči sobě budou posunuty (ve stojině vzniknou šestiúhelníkové otvory) a nosník bude v dotykových místech svařen (výška pásnice nosníku se tak výrazně zvětší). Stanovte, jak se úpravou změní maximální ohybové napětí v profilu, je-li délka pole = 10 m a zatížení je uprostřed pole osamělou silou

F = 15 kN. Možnou ztrátu stability ohýbaného profilu nebudeme ve výpočtu uvažovat.

Stanovte namáhání listového pera podvozku dvounápravového železničního vagónu typu Eu. Dvoukolí je uloženo pomocí dvou listových per. Základní rozměry tohoto listového pera jsou: vzdálenost čepů (podpěr) = 1 200 mm, šířka jednoho listu b = 140 mm a výška uprostřed pera h = 160 mm (h0 20 mm).

Podle tabulkových hodnot na vagónu je jeho celková hmotnost mV 12 840 kg a maximální hmotnost nákladu mN = 27 000 kg. Celková tíha, kterou podvozek vagónu přenáší na kolejový svršek je tedy: G = (mV + mN)g = 390 830 N. Při uvažování rovnoměrného rozložení síly bude: F = G/4 .

x z

y

A

A

B

B

svařeno

rozříznuto

x z

y

F

Vagón ČD Eu

Hlavní nádraží - Praha



Nosník = Zatížení nosníku:

1)

2)

3) Nosník MUSÍ být uložený uložení nosníku – základní typy: 1) 2) 3) Zvláštní případy (např. ve stavitelství, ...) Podle uložení dělíme nosníky na:

STATICKY URČITÉ STATICKY NEURČITÉ



Nosník:

Ohyb:

Stopa ohybového momentu:

POSOUVAJÍCÍ SÍLA T(x) A OHYBOVÝ MOMENT MO(x):

Metoda řezu (zavedl Euler):

POSOUVAJÍCÍ SÍLA:

OHYBOVÝ MOMENT:

Statické rovnice odříznuté části:



Posouvající síla:

Ohybový moment:

Princip akce a reakce:

POSTUP ZLEVA:

POSTUP ZPRAVA:

Zavedení kladných směrů jednotlivých účinků:

PŘÍKLAD 6.1 (PRŮBĚH T(x) A Mo(x) METODOU ŘEZU):

Dáno: qo a . Určit: T(x), Mo(x) a Mo max.

P

T(x)

Mo(x)



PŘÍKLAD 6.2 (PRŮBĚH T(x) A Mo(x) METODOU ŘEZU):

Dáno: F a . Určit: T(x), Mo(x) a Mo max.

Vztah mezi Mo(x), T(x) a q(x) (Schwedlerova věta):

ODVOZENÍ: SCHWEDLEROVA VĚTA

Výhody: Nevýhody:

P

O

T(x)

Mo(x)



PŘÍKLAD 6.3 (PRŮBĚH T(x) A Mo(x) SCHWEDLEROVOU VĚTOU):

Dáno: qo a . Určit: T(x), Mo(x) a Mo max.

DŮSLEDKY PLATNOSTI SCHWEDLEROVY VĚTY:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

P

T(x)

Mo(x)



TABULKA (ZÁKLADNÍ TYPY NOSNÍKŮ – 33):

Osamělá síla F Osamělý moment M Spojité zatížení qo

Poznámka:

Jako jste se zhruba ve třetí třídě naučili vyjmenovaná slova po B, F, L, M, P, S, V a Z (a těch je podstatně víc než 9), je velice výhodné se naučit těchto devět případů „vyjmenovaných“ nosníků s jejichž pomocí lze sestavit prakticky jakékoliv běžné zatížení nosníku. Vzpomeňte na zákon o superpozici deformací v elastickém stavu, který jsme zavedli na začátku jako jeden ze základních principů řešení úloh v pružnosti a pevnosti (výsledný průběh posouvající síly T(x) resp. ohybového momentu Mo(x) lze získat součtem průběhů určených od jednotlivých silových účinků).

M

a

–M

–M/

M

–M

0

qo

–qo2/2

–qo

qo

a

+qoa

–qoa2/(2)

–qoa2/2

M

a b

–Mb/

+M/l

+Ma/

= a + b

F

–F

–F

F

a

–Fa

+F

–Fa/

F

a b

+Fb/

–Fa/ +Fab/

= a + b

T

qo

+qo/2

–qo/2

+qo2/8



6.2 Geometrické charakteristiky průřezu

Tah/tlak: Krut: Ohyb: (OSOVÉ) KVADRATICKÉ MOMENTY PRŮŘEZU:

DEVIAČNÍ MOMENT PRŮŘEZU:

(OSOVÉ) KVADRATICKÉ POLOMĚRY PRŮŘEZU:

Základní definice: ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI: 1) Aditivnost:

0

0

0 0



2) Poloha souřadnicových os:

a) CENTRÁLNÍ KVADRATICKÝ MOMENT PRŮŘEZU: b) OSA SYMERTIE PRŮŘEZU (musí procházet těžištěm T):

3) Vztah osových a polárního kvadratického momentu průřezu:

4) Posunutí souřadnicového systému (Steinerova věta):

ODVOZENÍ: STEINEROVA VĚTA (Huygens–Steinerův teorém podle Christiaana Huygense and Jakoba Steinera)

0

0

O

T0

0´



5) Pootočení souřadnicového systému: 6) Hlavní kvadratické momenty průřezu:

T0



TABULKA (PRAVIDLO VYNÁŠENÍ ÚHLU ):

yz

yz

JJ

Dtg

2

2

PŘÍKLAD 6.4 (PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY): Dáno: b, h. Určit: Jz, Jy a jz, jy (kvadratické momenty a kvadratické poloměry)

P

T



PŘÍKLAD 6.5 (PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY): Dáno: D.

Určit: Jz, Jy a jz, jy (kvadratické momenty a kvadratické poloměry)

Obecný postup výpočtu hlavních centrálních kvadratických momentů průřezu:

Dáno: Rozměry průřezu a původní poloha souřadnicových os.

Řešení: 1. Rozdělíme průřez na i jednoduchých obdélníků (i = 3),

2. Pomocí statických momentů určíme polohu těžiště celého průřezu

T (zT, yT)

3. Vypočteme jednotlivé

osové kvadratické mo-menty jednotlivých částí (z definice),

4. Přepočteme osové kva-dratické momenty a devi-ační moment pomocí Steinerovy věty k tě-žištním osám a získáme:

JzT, JyT a DyTzT

5. Pomocí Mohrovy kružnice (vzorce)

určíme velikosti hlavních centrálních

kvadratických mo- mentů (J1 a J2) a

polohu hlavních centrálních os ().

6. Vše zakreslíme do původního průřezu.

0 0

T

0

T

T1

T3

T2

T

P

d

si

n

z dA

D/2

d

D



6.3 Napětí při ohybu: Prostý ohyb – platí Bernoulliho hypotéza

ODVOZENÍ: BERNOULLIHO HYPOTÉZA ROZLOŽENÍ NAPĚTÍ PŘI OHYBU

Poloha neutrálné osy on:

O



Sklon neutrální osy on: Rozdělení ohybových napětí = co to je „c“: Extrémy ohybových napětí: PEVNOSTNÍ PODMÍNKA PŘI OHYBU: Průřezový modul v ohybu [m3] resp. [mm3] – !!!NENÍ ADITIVNÍ!!! Nevýhodné profily Výhodné profily

PRŮŘEZOVÉ MODULY V OHYBU Woz: h D d/D

b



Nosník stálé pevnosti:

ODVOZENÍ: DEFORMAČNÍ ENERGIE PŘI OHYBU:

O



ODVOZENÍ:

VLIV POSOUVAJÍCÍ SÍLY T(x) – Žuravského vzorec (Дмитрий Иванович Журавский, 1821 – 1891)

Vliv T(x) je většinou malý a ve výpočtech ho zanedbáváme, ale musíme být schopni ho popsat, abychom mohli rozhodnout, kdy ho skutečně můžeme zanedbat.

Rozložení smykových napětí po průřezu (Žuravskij) – řešíme obdélník h 2b:

Předpoklady: 1)

2)

Odvození vychází z rovnováhy odříznuté části průřezu:

Aplikace na obdélník b h:

Obdobné výpočty i pro jiné profily:

O



Důsledky uvažování smykových napětí:

SMYKOVÉ ČÁRY:

ODVOZENÍ: DEFORMAČNÍ ENERGIE PŘI SMYKU OD T(x) – pro obdélník b h:

Další profily (bez odvození):

Kruhový profil : 1,127

30 I-profily: 8,34,2

Obecný vzorec pro nosníky neproměnného průřezu o ploše A:

)(

2

2

2 )(Az

dAyb

S

J

A

z z

y y

D Rozměry dle normy

O



VSUVKA DEFORMAČNÍ ENERGIE SHRNUTÍ

Probrány všechny základní způsoby namáhání:

Základem výpočtu je hustota deformační energie, která vychází (za použití Hookova zákona) ve tvaru:

22

2

1

2

1

2

1 EE

resp. 22

2

1

2

1

2

1 GG

.

TABULKA (DEFORMAČNÍ ENERGIE OD JEDNOTLIVÝCH ÚČINKŮ):

DEFORMAČNÍ ENERGIE OD ZÁKLADNÍCH TYPŮ NAMÁHÁNÍ PRUTU DÉLKY

Namáhání Zatížení Modul pružnosti Průřezová charakteristika Celková deformační energie

Tah/tlak N(x) síla

E modul v tahu

)( A

dAA

plocha

)(

2

)(

)(

2

1

dxxAE

xNUN

Ohyb Mo(x) moment

)(

2

A

z dAyJ

osový kvadratický moment

)(

2

)(

)(

2

1

dxxJE

xMU

z

oM o

Krut MK(x) moment

G modul ve smyku

)(

2

A

p dAJ

polární kvadratický moment

)(

2

)(

)(

2

1

dxxJG

xMU

p

KM K

Smyk T(x) síla

)( A

dAA

plocha

)(

2

)(

)(

2

dxxAG

xTUT

Pozor při sčítání jednotlivých energií

V případě shodného typu napětí (např. při kombinaci tahu a ohybu) musí pro výslednou energii U platit:

oo MNMNcelk UUUU ,. ,

protože výsledné napětí je dáno jako součet a energie závisí na kvadrátu tohoto součtu:

ooo MNMNMN 2222 . )

!!!POZOR!!! Celková energie není prostým součtem dílčích energií: oMNcelk UUU . .

Naopak při kombinaci různých typů napětí (např. při kombinaci tahu s krutem nebo kombinaci ohybu se smykem) můžeme energie U od jednotlivých účinků sčítat, protože normálová napětí a smyková napětí nejsou spolu vázána:

KMNcelk UUU . resp. TMcelk UUUo.

POHÁDKOVÉ A MATEMATICKÉ INTERMEZZO ) Zde si opět připomeňte pohádku o dědkovi, bábě, vnučce, psovi, kočce a myši, jak tahali řepu! A nebo si vzpomeňte na součtové vzorce: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 a (a – b)2 = a2 – 2ab + b2.

T

MF



6.4 Deformace nosníků:

Deformace:

1) ANALYTICKÝ DVA PŘÍSTUPY ŘEŠENÍ: 2) ENERGETICKÝ

1a) DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PRŮHYBOVÉ ČÁRY (Bernoulli):

ODVOZENÍ: (BERNOULLIHO) DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PRŮHYBOVÉ ČÁRY (nebudeme již uvažovat vliv posouvající síly resp. smyku)

Vztah pro napětí: Hookův zákon: Definice osové deformace:

Definice křivosti (z analytické matematiky):

Tato rovnice (Bernoulliova) vyhovuje většině nosníků „normálních“ rozměrů. Pokud však bude nosník extrémně dlouhý ( >> h) jako jsou např. planžety, budou i deformace velké, křivka již nebude plochá a

O



k řešení těchto případů bude třeba použít složité eliptické integrály, což zjevně překračuje rozsah tohoto předmětu i možnosti aplikace matematických nástrojů z 1. ročníku. Postup řešení:

1.

2.

3.

4. 1b) ÚPLNÁ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PRŮHYBOVÉ ČÁRY (spojení Bernoulliho rovnice průhybové čáry

se Schwedlwrovou větou jako první provedl Euler):

ODVOZENÍ: ÚPLNÁ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PRŮHYBOVÉ ČÁRY Schwedlerova věta: Bernoulliho diferenciální rovnice průhybové čáry: Postup: 1. 2. 3. 4. V obou případech je jedním z nejdůležitějších okamžiků výpočtu sestavení „správných“ okrajových podmínek, které odpovídají jednak způsobu uložení a jednak způsobu zatížení řešeného nosníku.

O



TABULKA (ZÁVĚRY MATEMATICKÉ ANALYZY DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE): Veličina [rozměr]

Je rovna nebo odpovídá Proč?

v(x) [mm]

vI(x) [1] [rad]

vII(x) [mm–1]

vIII(x) [mm–2]

vIV(x) [mm–3]

PŘÍKLAD 6.6 (ANALYTICKÉ ŘEŠENÍ DEFORMACÍ NOSNÍKU):

Dáno: qo, , EJz = konst.

Určit: v(x) a (x)

Bernoulliho diferenciální rovnice Úplná diferenciální rovnice průhybové čáry přímého nosníku

P

T



Okrajové podmínky: (pro v nebo ) (pro v, , Mo nebo T)

1. 1. 2. 2. Odkud vychází: 3. 4. Odkud vychází: Hledané funkce jsou: Hledané funkce jsou: Mám-li hotové analytické řešení v(x), (x), Mo(x) nebo T(x), stačí do rovnic pouze dosadit souřadnici x 0 ; a je to! Dostáváme přímo velikost hledané veličiny v místě „x“.

Např. uprostřed nosníku, kde x = /2 vychází:

z

o

z

o

JE

q

JE

qv

4

3

34

384

5

242

122

242

)2/(

a pro kontrolu: m]mm[N

]mm[N42

41

00244

262

)2/(33

23

z

o

z

o

JE

q

JE

q

a pro kontrolu: 1]mm[N

]mm[N42

31

822

22

)2/(2

2

ooo

qqM a pro kontrolu: mN][m]mN[ 21

oo qqT 0

22)2/( a pro kontrolu: N[m]]mN[ 1

Řešením úplné diferenciální rovnice dostávám úplně všechno, ale je to úplně nejpracnější způsob!!

[1] [rad]



PŘÍKLAD 6.7 (ÚPLNÁ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PRŮHYBOVÉ ČÁRY):


Určit: v(x) a (x)

P



PŘÍKLAD 6.8 (BERNOULLIHO DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PRŮHYBOVÉ ČÁRY):

Dáno: F, (), a, b, EJz = konst.

Určit: v(x) a (x).

P



Deformační energie a průhyb a natočení nosníků (vektorový – Newtonský – přístup je nahrazen skalárním) 2a) MOHRŮV INTEGRÁL (aplikace Castiglianovy věty na energii při ohybu): Castiglianova věta: Deformační energie při ohybu:

PŘÍKLAD 6.9 (MOHRŮV INTEGRÁL):

Dáno: F, , EJz = konst.

Určit: vF a F (průhyb a natočení pod silou F)

P



Pro určení vF by šlo přímo použít Castiglianovu větu: PŘÍKLAD 6.10 (MOHRŮV INTEGRÁL):

Dáno: M, , EJz = konst.

Určit: A (natočení v podpěře A)

P



PŘÍKLAD 6.11 (CASTIGLIANOVA VĚTA/MOHRŮV INTEGRÁL):

Dáno: qo, , EJ1, EJ2

Určit: vC a C (průhyb a natočení v místě C).

P



PRO INFORMACI – učilo se současně s Mohrovou metodou fiktivního nosníku

2b) GRAFICKO ANALYTICKÁ METODA (Vereščaginova metoda výpočtu Mohrova integrálu):

MATEMATICKÉ INTERMEZZO

TABULKA (PŘÍKLADY NĚKTERÝCH TVARŮ – OBSAHY A POLOHY TĚŽIŠTĚ):

Tvar

Plocha ba ba 2

1 ba

3

1 ba

1n

1 ba

1n

n

a2

1 a

3

1 a

4

1 a

2n

1 a

2n2

1n

a

2

1 a

3

2 a

4

3 a

2n

1n a

2n2

3n

T

xT xT

a

b T

xT xT

a

b T

xT xT

a

b n° V

T

xT xT

a

b 2° V T

xT xT

a

b n° V

xT

xT

MF

T



SOUČINITELE PODDAJNOSTI PŘI OHYBU (příčinkové činitele): Vzájemnost prací) = základní princip P&P

ODVOZENÍ: BETTIHO VĚTA

1. nejprve F v bodě M a pak Q v bodě N 2. nejprve Q v bodě N a pak F v bodě M

PRO DVA OBECNÉ SILOVÉ SYSTÉMY F A Q PLATÍ PRINCIP VZÁJEMNOSTI PRACÍ DVOU SYSTÉMŮ SIL PŘI PŘETVÁŘENÍ PRUŽNÉHO TĚLESA:

Výpočet pomocí PODDAJNOSTÍ ij: MAXWELLOVA VĚTA O VZÁJEMNOSTI POSUVŮ: Výhodné využití při řešení nosníků (poddajnosti nahrazujeme „příčinkovými činiteli“):

ij

N

mm ...

ij

N

1 ...

ij

mmN

mm ...

ij

mmN

1 ...

) Již v roce 1864 odvodil tento princip pro dvě síly James Clerk Maxwell (1831 – 1879) a následně ho v roce 1872 zobecnil

Enrico Betti (1823 – 1892).

O



Využití a výpočty příčinkových činitelů: 1. systém představuje jednotkový účinek v místě hledané deformace 2. systém představuje soustava ostatních sil F1 ... Fn Skutečný nosník: Výpočet např. C1 x2

x x1

1 A B C Mo(x)

Mo(x) Mo(x2) Mo(x1)

"1"

mo(x)

mo(x) mo(x2) mo(x1)

K výpočtu C1 užijeme Mohrův integrál:

...

2

11

3

2

21

2

11

3

1

2

11

3

1

1

3/

0

222

3/2

2/

2

11

2/

0

1

1C

dxxx

xdxxx

xdxx

JE z

Odkud vychází:

.1944

25 3

1CzJE



STATICKY NEURČITÉ NOSNÍKY): Přímý nosník zatížený rovinným ohybem = ROVINNÉ TĚLESO má TŘI stupně volnosti (třetím stupněm volnosti je posun u(x) ve vodorovném směru x, který je tak malý, že ho nebudeme uvažovat). Pro nosník lze ale napsat pouze DVĚ NEZÁVISLÉ statické rovnice, protože složková rovnice do směru x je splněna automaticky Fx: 0 = 0 (většinou používáme složkovou rovnici do směru y a jednu momentovou nebo používáme dvě momentové rovnice).

neuvažujeme Volný konec:

Kloubová podpěra:

neuvažujeme

Posuvná podpěra:

Pevné vetknutí:

OBECNÝ POSTUP ŘEŠENÍ:

0. rozhodnutí

1. uvolnění

2. nahrazení

3. doplnění

4. řešení Silové účinky nahrazující odebrané vazby a deformační podmínky: - bez uvažování horizontálních sil (Fx: 0 = 0):

Posuvná podpěra: Kloubová podpěra: Vetknutí:

) Někteří autoři používají u všech staticky neurčitých úloh univerzální definici: „Ve staticky neurčité úloze je více neznámých

silových účinků než kolik jsme schopni sestavit nezávislých statických rovnic“.



PŘÍKLAD 6.12 (STATICKY NEURČITÝ NOSNÍK):


Určit: Mo(x) (průběh momentu po celé délce prutu).

P



PŘÍKLAD 6.13 (STATICKY NEURČITÝ NOSNÍK):


Určit: vhodně uvolněte, napište deformační podmínku a nakreslete momentové plochy.

PŘÍKLAD 6.14 (STATICKY NEURČITÉ NOSNÍKY):

qo F Dáno: qo,(F, M), , a, EJz = konst.

a a Určit: uvolněte, napište deformační podmínku

a nakreslete momentové plochy. M

Všechny tři příklady je vhodné uvolnit odebráním kloubové podpěry, jejím nahrazením osamělou silou RB a připojením deformační podmínky vB = 0, která zaručí shodné chování uvolněné i původní soustavy.

qo F M vB = 0 vB = 0 vB = 0 RB RB RB

+RB +RB +RB

–qoa(a/2+) –F(a+) –M

+qoa2/4 +Fa/2 +M/2

–qoa2/2 –Fa –M

P

P

a



7. KOMBINOVANÉ NAMÁHÁNÍ Určete všechna zatížení a popište všechna namáhání, která působí na střední hřídel převodovky.

Šroubem se šestihrannou hlavou jsou spojena dvě přírubová hrdla. Vypočtěte, kolikrát se zvětší maximální napětí ve šroubu max oproti nominálnímu napětí nom, nebude-li při dotahování dodržena rovinnost dosedacích ploch hlavy šroubu a matice – viz obrázek.

Tah/tlak () Krut () Ohyb () Smyk od T () Předpoklady: 1. 2. 3.

FT1

FO1

FR1

FT2

FO2

FR2

y x

z

varianta I

varianta II



Rozdělení vnitřních účinků: SÍLY: MOMENTY:

Fx Mx

Fy My

Fz Mz Obvykle značíme: Fx = N ; Fy = Tz ; Fz = Tz ; Mx = MK ; My = Moy a Mz = Moz.

Normálová napětí :

Smyková napětí : Kombinace:



7.1 Prostorový/šikmý ohyb (ohyb + ohyb): a) Stopa ohybového momentu StMo NENÍ totožná ani s jednou z hlavních os setrvačnosti. b) Neutrální osa on NEMUSÍ být kolmá ke stopě StMo.

OHYB

Maximální napětí při šikmém ohybu/dimenzování: Poloha neutrální osy:



Grafická (skalární) konstrukce neutrální osy:

Pevnostní podmínka/podmínky při šikmém ohybu: 1. HOUŽEVNATÝ MATERIÁL 2. KŘEHKÝ MATERIÁL

Postup řešení: 1. 2.

a)

b)

3.

4.

5. 6.

TAH+TAH

TLAK+TLAK



PŘÍKLAD 7.1 (ŠIKMÝ OHYB): Dáno: D = 120 Nmm–2, E = 2,1105 Nmm–2,

= 0,3 m, b = 30 mm; h = 60 mm; F = 1 000 N.

Určit: red (a provést pevnostní kontrolu). Deformace při šikmém ohybu:

P



7.2 Excentrický tah/tlak (ohyb + tah/tlak): a) Síla F působí kolmo k průřezu b) Síla F nepůsobí v těžišti průřezu působí-li na hlavní centrální ose ROVINNÝ OHYB nepůsobí-li na hlavní centrální ose ŠIKMÝ OHYB POZOR! Neutrální osa on se posouvá mimo těžiště.

PŘÍKLAD 7.2 (EXCENTRICKÝ TLAK):

Dáno: Dt = 150 Nmm–2, Dd = 200 c, a = 20 mm; F = 10 000 N.

Určit: k (bezpečnost vzhledem k dovoleným hodnotám).

P

a

a a

y

z

F

TAH

TLA

K

ohyb

tlak F

F

N

on

StMo



7.3 Ohyb + krut Budeme řešit jen kruhový nebo mezikruhový průřez, kde jsou poměrně jednoduché vztahy pro výpočet smykových napětí . Rovinná napjatost: Teorie (hypotézy) pevnosti: MAX: MOHR: MAX: Energetická (H.M.H.): Houževnatý materiál – úprava vztahů pro kruhový a mezikruhový průřez:

TAH+SMYK

TLAK+SMYK



PŘÍKLAD 7.3 (OHYB A KRUT):

Dáno: D = 200 Nmm–2, F = 1 000 N, a = 500 mm; = 1 000 mm.

Určit: dD (dovolený – vyhovující – průměr hřídele).

7.4 Tah/tlak + krut Budeme opět řešit jen kruhový nebo mezikruhový průřez, kde jsou poměrně jednoduché vztahy pro výpočet smykových napětí . Rovinná napjatost: Teorie (hypotézy) pevnosti (jen pro houževnatý materiál): MAX: Energetická (H.M.H.): Úprava vztahů pro kruhový a mezikruhový průřez:

TAH+SMYK

P



Praktický postup: 1. 2. 3. 4.

a) b) c)

PŘÍKLAD 7.4 (TAH A KRUT):

Dáno: D = 70 Nmm–2, m = 500 kg, MK = 6 000 Nmm.

Určit: dD (dovolený – vyhovující – průměr hřídele).

P



8. KŘIVÉ PRUTY A RÁMY (analogie s přímými nosníky staticky určitými a staticky neurčitými)

Stanovte namáhání závěsu kabinové lanové dráhy, který je vyroben z dutého čtvercového profilu. Zatížení je způsobeno jednak hmotností kabiny a jednak šesti cestujícími, jejichž hmotnost musíme uvažovat včetně lyžařského vybavení uvažovat.

Kabina lanové dráhy, detail jejího závěsu na nosném laně a výpočtový model

Stanovte teoreticky maximální namáhání křivého prutu, který tvoří nosnou konstrukci historické haly Hlavního nádraží v Praze.

33,3 m

S

R

Hlavní nádraží v Praze

Mt. Elmo - Itálie 600

R600 A

10

0

90

F

RA

A-A

A

z

H H H H

2ꞏR 2ꞏR

qo qo

V=qoꞏR 2ꞏV=2ꞏqoꞏR V=qoꞏR



8.1 Křivé pruty

ROZDĚLENÍ KŘIVÝCH PRUTŮ (A RÁMŮ)

1. PODLE CELKOVÉ GEOMETRIE

tenké křivé pruty R tlusté křivé pruty R (málo zakřivené) h (silně zakřivené) h Předpokládáme, že neutrální plocha prochází T Předpokládáme, že neutrální plocha je mimo T

ODVOZENÍ LINEÁRNÍHO ROZLOŽENÍ ODVOZENÍ NELINEÁRNÍHO ROZLOŽENÍ Z pod. dx vypočteme osovou deformaci o: Z délek částí oblouků určíme osovou def. o:

dxdx

)(

odx

dx

d

d

ds

dso

)()(

Při platnosti Hookova zákona určíme osové (ohybové) napětí o jako funkci polohy :

)()( oo E

cE

o )( )()( oo E

d

dEo

)()(

Z momentové rovnováhy oo MdA )( určíme konstantu c resp. člen (d/d):

z

o

J

Mc

eAE

M

d

d o

A získáme tak výsledný vztah, který se pro tenké a tlusté křivé pruty velice podstatně liší:

z

oo J

M)(

eA

M oo )(

Dále uvažujeme pouze tenké (málo zakř ivené) kř ivé pruty ( i rámy)

R

e o

Mo Mo

ds

ds+ds ds

d +d

d

T

T

R

e

ds = d

R

h

Mo Mo

< 8 (10 i 5)

dx

dx

T

T

= R

T

on

T

8 (10 i 5)

R ( „“)

Mo Mo

o střednice on

1



2. PODLE USPOŘÁDÁNÍ

rovinné křivé pruty prostorové křivé pruty

3. PODLE ULOŽENÍ

Volný kraj B neodebírá žádný stupeň volnosti Podpěra A (vetknutí) odebírá vždy 3°volnosti (dva posuvy a natočení) Křivý prut (těleso) v rovině má celkem 3°volnosti (posuvy x a y a natočení )

3 – 2 – 2 = –1 (1 staticky neurčité)

3 – 1– 2 = 0 (staticky určité)

3 – 2 – 3 = –2 (2 staticky neurčité)

Ry Ry Rx

Ry

M

Rx

F1 F2 M

qo

F

F

x

r

y

z

F

A

B

F M

A B

qo

A

B

qo

A

B

F

A B

M

A

B

qo

A B



MATEMATICKÉ INTERMEZZO Řada křivých prutů, které budeme řešit, je tvořena částmi kruhových oblouků (nejčastěji ½ nebo ¼ kružnice). Při řešení pomocí Mohrova integrálu je třeba integrovat různé kombinace goniometrických funkcí. Proto si zde připomeneme vzorečky, které nám tyto výpočty zjednoduší.

Funkce sinus:

1sin2π

0

d , 1sinπ

2π

d , 1sin2π3

π

d , 1sinπ2

2π3

d .

2sinπ

0

d , 2sinπ2

π

d , 1sin2π3

0

d , 0sinπ2

0

d .

Funkce cosinus:

1cos2π

0

d , 1cosπ

2π

d , 1cos2π3

π

d , 1cosπ2

2π3

d .

0cosπ

0

d , 0cosπ2

π

d , 1cos2π3

0

d , 0cosπ2

0

d .

Funkce sinus na druhou:

4

π1

2

π

2

1sin

2π

0

2 d a 2

π1π

2

1sin

π

0

2 d .

Funkce cosinus na druhou:

4

π1

2

π

2

1cos

2π

0

2 d a 2

π1π

2

1cos

π

0

2 d .

Součin funkcí sinus a cosinus:

2

1

212π;00

cos;sindcossin

1

0

21

0

2π

0

t

dttdtdt

Součtové vzorce:

sincoscossin)sin( ; sinsincoscos)cos( .

cossin2)2sin( ; 1cos2)2cos( 2 .

MF

/2

3/2 2 .

+1

1

+1

1

/2

3/2 2

+1

1

+1

1

/2

+1

/4

/2

+1

/4

/2

+1

/4

/2

+1

/4



PŘÍKLAD 8.1 (KŘIVÝ PRUT – STATICKY UČITÝ):

Dáno: Kloubově uložený křivý prut, který má tvar polokružnice o poloměru r, je zatížen osamělým momentem M. Prut je vyroben z tyče o modulu E a kvadratickém momentu průřezu J.

Určit: Natočení B vrchního bodu křivého prutu a posunutí uA pravé posuvné podpěry.

pole mezhorní

mezdolníds Mo(s) )(sm Bm

o )(sm Afo

A-B

B-C

A

B

C

″1″

1

1 2

M

A

B

C RCy

1 2

RAy

P M

B

A

B

C r

uA



Poznámka:

Na webových stránkách https://www.engilab.com existuje ke stažení program EngiLab Beam.2D, který také existoval ve verzi EngiLab Beam.2D ML včetně české mutace. Jedná se o program umožňující lineární statickou analýzu přímých nosníků a křivých prutů.

Free ML-verze byla omezena počtem elementů, na které lze prut rozdělit. Maximálně bylo možné využít 20 elementů, což však je pro běžné pedagogické účely dostatečné. V tomto programu (ve verzi pro Windows XP) jsem vytvořil model předchozího křivého prutu jako „lomený“ prut tvořený 19 uzly a 18 tyčovými elementy. Nahoře ve středu prutu (uzel 10) je prut v souladu s předchozím zadáním zatížen osamělým momentem M. Po výpočtu je vykreslen průběh deformace, který je ve shodě s předchozími výsledky (bod A se neposune a bod B se pootočí ve směru hodinových ručiček.

Současně jsem vytvořil i další úlohy, které se liší pouze uložením od staticky určitého prutu až po 3x staticky neurčitý prut.

Křivé pruty najdeme všude kolem nás – zejména u dřevostaveb



PŘÍKLAD 8.2 (KŘIVÝ PRUT – STATICKY URČITÝ):

Dáno: Vetknutý lomený křivý prut o délkách polí a h

je vyroben z ocelové tyče o modulu E a čtvercovém průřezu o straně a je zatížen na svém volném konci v bodě A osamělým momentem M.

Určit: Průhyb vA a úhel natočení A volného konce křivého prutu a maximální namáhání.

.

.

P A B

C

h

v A

A

M

A B

C

M M

AMi

A B

C

″1″

A B

C

″1″



FYZIKÁLNÍ INTERMEZZO Řada křivých prutů, které budeme řešit, bude ohřátá o T oproti původnímu stavu. V případě staticky určitých úloh vyvolá toto ohřátí deformaci a v případě staticky neurčitých úloh vyvolá toto ohřátí vnitřní účinky v důsledku zabránění volným deformacím. Toto vše souvisí s teplotní roztažností materiálů, kterou lze u běžných konstrukčních materiálů popsat pomocí součinitele lineární teplotní roztažnosti , který považujeme pro daný materiál za konstantní. Všichni zajisté znáte vzorec pro prodloužení prutu při jeho ohřátí:

)(

)(

dxxTT

a pro konstantní ohřev T(x) = konst. dostáváme:

TT .

Ze zkušenosti od zkoušek dobře vím, že tento vztah ovládáte, ale o hodně horší to je s jeho aplikací, takže se to pokusím shrnout:

1. Teplotní deformace se vždy vztahuje k počátku resp. k nějakému pevnému bodu

2. Teplotní deformace nastává ve všech směrech stejně a záleží jen na původní velikosti

3. Teplotní deformace v určitém směru je vždy závislá na kolmé vzdálenosti vyšetřovaného místa a vztažného bodu (počátek resp. pevný bod).

Protože délka x (vzdálenost míst A a B ve vodorovném směru)je ve všech

třech případech stejná teplotní deformace do vodorovného směru:

xT T

Při určení posunutí od teploty ve vodorovném směru T nehraje roli tvar

tělesa ale pouze a jen jeho rozměr do vodorovného směru x.

Obdobně bude u křivých prutů rozhodující kolmá vzdálenost řešeného místa od vztažného resp. pevného bodu. Zde uvedu některé příklady pro objasnění výpočtu teplotních deformací.

Celková změna délky prutu je =TR,

ale to v tomto případě není vůbec důležité.

POZOR!! Teplota neovlivňuje natočení ve vetknutí!!

x T

A B

T

T2R 2R

R T

0 =

0

T

h

T

h

T

T

h1

T

(h1–

h 2)

T

T h2

MF



PŘÍKLAD 8.3 (KŘIVÝ PRUT – STATICKY NEURČITÝ OHŘÁTÝ):

Dáno: Tenký křivý prut je na obou krajích vetknutý. Tvoří ho půlkružnice o poloměru R. Prut je vyroben z materiálu o modulu pružnosti E a součiniteli teplotní roztažnosti . Tyč má čtvercový průřez o straně a a je celý ohřátý o T.

Určit: Reakční účinky v uložení (RAx; RAy a RBx; RBy) a místo a velikost největšího namáhání o max tohoto tenkého křivého prutu.

Řešení: Tato úloha je obecně 1 staticky neurčitá: 3 – 2 – 2 = –1.

UVOLNĚNÍ NAHRAZENÍ DOPLNĚNÍ ŘEŠENÍ staticky určitý prut přidáme reakci RAx deformační podmínka

0 ART AAA uuu

nebo

rTR

U

Ax

2

Z rovnováhy do svislého směru a při zachování symetrie prutu musí platit: RAy = RBy = 0.

Tabulka funkcí dosazených do Mohrova integrálu:

pole horní

ídolnds Mo(s) )(sm Af

o

A-B

tento křivý prut je tvořen částí kruhového oblouku, proto použijeme přímo

řešení pomocí Mohrova integrálu.

T C

B A

T C

B A RAx

o max

o max

C

P

ds

B A RAx "1"

d

Rsin

A

T

C

B r



8.2 Rámy (tenké)

RÁM = obecný křivý prut se spojenými konci Určete maximální namáhání rámu sedačkové lanovky při zatížení dvěma lyžaři každý, znáte-li jejich hmotnost, materiál a rozměry rámu sedačky.

Sedačková lanovka, detail jedné sedačky a výpočtový model

Stanovte maximální namáhání a maximální deformaci bezpečnostního oblouku vozu Ferrari 156 Dino při zatížení osamělou silou v ose oblouku.

Ferrari 156 Dino, celkový pohled na trubkovou konstrukci a výpočtový model bezpečnostního rámu

(a)

a/4 a/4 a/2

a/2

RA RB

F F

a

EJ1

EJ2

d

D

F

R/2

R

(4R

)

R

45°

(4R)

Ferrari 156



ROVINNÝ RÁM:

PROSTOROVÝ RÁM: Způsob řešení:

Prvky ovlivňující stupeň statické neurčitosti rámu (tenkého rovinného):

bod A n u t v

NA TA

MA

A



1. Rám je zatížen různými silami F1 až F4 a dvěma různými spojitými zatíženími q1 a q2.

Tento rám nemá žádnou osu symetrie, bude 3 neurčitý a řešíme ho „vcelku“. Deformační podmínky pro bod A budou:

0

AM

U , 0

AN

U a 0

AT

U.

Získáme tak soustavu 3 rovnic pro 3 hledané neznámé: MA , NA a TA.

2. Rám je zatížen dvěma stejnými silami F a spojitým zatížením qo.

Tento rám má jednu osu symetrie, bude 2 staticky neurčitý a stačí řešit jen jeho jednu polovinu. Sílu TA určíme ze symetrie a z rovnováhy: TA = 0.

a současně

Deformační podmínky pro bod A tak stačí jen: . Získáme tak soustavu 2 rovnic pro 2 hledané zbývající neznámé: MA a NA.

3. Rám je zatížen jednou silou F a spojitým zatížením qo.

Tento rám má jednu osu symetrie, bude 2 staticky neurčitý a stačí řešit jen jeho jednu polovinu. Sílu TA určíme opět ze symetrie a z podmínky rovnováhy v bodě A po spojení obou částí k sobě: TA = F/2.

a současně

bod A

F F

qo

bod A

F1 F2

F3

F4

q1

q2

F

qo

TA = 0

NA = ?

MA = ?

bod A

F

qo qo

TA = F/2 NA = ?

MA = ?

F3

F4

TA

NA

MA

F1 F2

q1

q2

symetrie rovnováha(akce a

k )

symetrie rovnováha

F



a) Rám můžeme uvolnit i opačně (vetknout v bodě A a řešit v bodě B). Toto uvolnění není z hlediska pracnosti výhodné, ale je možné. V tom případě nesmíme zapomenout, že na původním rámu v bodě B n epůsobila žádná osamělá síla (spojité zatížení je po celé délce), a tak opět

4. Rám je zatížen dvěma silami F.

Tento rám má dvě osy symetrie, bude 1 staticky neurčitý a stačí řešit jen jeho jednu čtvrtinu. Sílu TA určíme opět ze symetrie a z rovnováhy v bodě A: TA = F/2. Sílu NA určíme ze symetrie a z rovnováhy: NA = 0.

a současně

Zbývá tedy jediný neznámý moment MA, a ten určíme z

deformační podmínky:

. 5. Rám je zatížen čtyřmi silami F. v tomto případě se již nesnižuje statická neurčitost, jen by stačila řešit pouze jedna osmina rámu (většinou však řešíme celou čtvrtinu),) stanovíme pomocí tří statických rovnic rovnováhy složkových nebo momentových)

qo TB = 0

NB = ?

MB = ?

bod A

F

F

TA = F/2

NA = 0

MA = ?

F

F

F F

TA = F/2 NA = F/2

MA = ?

symet rovnováha



6. Rám s poddajnou příčkou (EA ) je zatížen dvěma silami F. Tento rám má dvě osy symetrie, ale ještě má jednu příčku a bude tedy 2 staticky neurčitý. Stačí sice řešit jen jeho jednu čtvrtinu, ale příčka vnáší další neznámou

i na příčce. Sílu NB určíme ze symetrie a z rovnováhy: NB = 0.

Zbývají tedy dva neznámé vnitřní účinky - moment MB a reakce v příčce Rpř.. Ty určíme ze dvou deformačních podmínek:

PŘÍKLAD 8.4 (TENKÝ RÁM SE DVĚMA OSAMI SYMETRIE):

Dáno: Tenký rám tvoří dvě polokružnice spojené přímými částmi a v protilehlých bodech A a E je zatížen osamělými silami F.

Určit: Zvětšení AE střední vzdálenosti AE v důsledku zatížení silami F, znáte-li rozměr r a je-li EJz = konst..

2r

r r F F A

B C D

E

bod B

F F

příčka

a NB = 0

TB = ?

MB = ?

TB = Rpř.

a/2

EA/2 uvažujeme jen ¼ příčky, protože

zbývající čtvrtiny patří k dalším

čá t děl éh

Na celou příčku tedy

působí na obou koncích síly o

a

2TB

2TB

P

B

NA = 0 MA

TA = F/2 A

C

x

"1"

r



Poznámka:

Druhý způsob uvolnění: Křivý prut vetkneme v bodě A a do bodu C připojíme vnitřní silové účinky NC, TC a MC a doplníme deformační podmínku: C = 0 .

Ze symetrie k vodorovné ose vychází NC = F/2 a ze symetrie ke svislé ose a ze zákona akce a reakce vychází TC = 0.

Deformační podmínku vyjádříme opět pomocí Mohrova integrálu přes pole CBA:

0][]"1[")]cos1(2

[][]"1["][1

2π

00

drrF

MdxMJE

r

zCCC

)π2(2

)π2(

rF

MC .

Správnost výsledku ověříme pomocí momentové rovnice v místě A ze složek v místě C:

0 ACC MrNM rFrFrF

M A

π2

2

2)π2(2

)π2( (odpovídá předchozímu výsledku).

B NC = F/2

MC

TC = 0

A

C

"1"

B

TA = F/2

C

"1"

A

MA = 2Fr 2+



DOSLOV

Vážené kolegyně a vážení kolegové,

rád jsem s vámi trávil každý týden pondělní dopoledne a případně pondělní pozdní odpoledne. Moje přání bylo, předat vám co nejvíce informací, které by vám alespoň trochu usnadnily přípravu ke zkoušce z Pružnosti a pevnosti 1. Také jsem vám chtěl ukázat, že pružnost není žádným strašákem, ale jedním z mnoha předmětů na naší škole. Doufám, že jsem vás moc nenudil a splnil předsevzetí, že chci ať se bavíte společně se mnou, s pány Hookem, Eulerem, Bernoullim a hlavně s pružností. Snad jste alespoň občas poznali, jak může být pružnost a pevnost zajímavou vědní disciplínou. Pokud jsem někoho z vás oslovil natolik, že se rozhodl pro další studium pružnosti na oboru Aplikovaná mechanika tak, jak se to povedlo panu profesoru Hájkovi v mém případě, jsem rád dvojnásob a již se těším na další setkání s vámi. Dalším pokračováním je v bakalářských studijních programech TZSI a STR hned v příštím semestru předmět Pružnost a pevnost II, který je také součástí teoretického základu a je tedy vyučován v obou úrovních. Nezapomeňte, že moje nabídka z první přednášky na pomoc při řešení vašich osobních a studijních problémů není časově omezená, a tak si můžete přijít problémy vyříkat, i když už nebudete „moji“ studenti, protože chtě nechtě „mými“ studenty budete stále, ať vás učím nebo ne. Všem vám přeji hodně úspěchů v nastávajícím zkouškovém období, a to nejen při zkoušce z Pružnosti a pevnosti IA nebo jen Pružnosti a pevnosti I, ale i z ostatních předmětů, které jsou neméně důležité pro vaše další studium. Hlavně vám přeji pevné zdraví, protože bez něho to nejde. O prázdninách si pak odpočiňte, neubližujte si a po prázdninách dorazte s novou sílou.

učitel Pružnosti a pevnosti I

KDOPAK VÁS TO VLASTNĚ UČIL? Narodil jsem se v roce 1957. Základní devítiletou školu a gymnázium jsem absolvoval v Benešově. V letech 1976 - 1981 jsem studoval na Fakultě strojní ČVUT v Praze obor Aplikovaná mechanika. Od roku 1982 učím na FS hlavně předměty: Pružnost a pevnost I a II, Pevnost letadel a motorů, Experimentální analýza napětí, Vybrané statě z mechaniky a pružnosti a nově také Experimentální metody certifikace strojů. V letech 1983 - 1984 jsem absolvoval stáž ve výpočetním oddělení SVÚSS v Praze Běchovicích, kde jsem se věnoval výpočtům potrubí. Po vzniku Fakulty dopravní na ČVUT v Praze jsem v letech 1995 - 1998 učil předmět Pružnost a pevnost i budoucí dopravní bakaláře.

Jan Řezníček PRUŽNOST A PEVNOST I – PŘEDNÁŠKY LS 2019/2020 Podklad pro přednášky vbakalářských studijních programech TZSI a STR Předměty Pružnost a pevnost 1 (211 1051) a Pružnost a pevnost 1A (211 A051)

Fakulta strojní České vysoké učení technické vPraze, Technická 4, 166 07 Praha 6, Vystaveno dne 1. února 2020 na: http://www.pruznost.unas.cz

Vydání jedenácté přepracované (první vydání akademický rok 2009/2010) 120 stran, 356 obrázků, 36 příkladů a 10 tabulek.

Date post:	29-Feb-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	10 times
Download:	0 times

PRUŽNOST A PEVNOST I PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKYpruznost.unas.cz/PP_I_19_20.pdf · 1. Prostý...

Documents