Pružnost a plasticita, 2.ročník bakalářského...

Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Pružnost a plasticita, 2.ročník bakalářského studia

Téma 6Normálová napětí v prutech namáhaných na ohyb

• Základní vztahy a předpoklady řešení• Výpočet normálového napětí• Dimenzování nosníků namáhaných na ohyb

• Ohyb nosníků v pružnoplastickém oboru• Složené namáhání prutu

2 / 84

Pruty namáhané na ohyb

Základní vztahy a předpoklady řešení

ba

M

l

M

MM

M

V

Při ohybu prutu vznikají v jeho průřezech ohybové momenty a zpravidla i posouvající síly.

Prostý ohyb

0, yz MV0 zxy MMVNV rovině xz platí:

Rovinný ohyb: vnitřní i vnější síly leží v rovině xy nebo xz – hlavní roviny.

0, zy MV0 yxz MMVNV rovině xy platí:

3 / 84

Základní typy namáhání – prostý ohyb

Princip ohybové zkoušky


4 / 84


Ohybová zkouška


5 / 84


Ohybová zkouška


6 / 84


Ohybová zkouška


7 / 84


Ohybová zkouška


8 / 84


Ohybová zkouška


9 / 84


Ohybová zkouška


10 / 84


Ohybová zkouška


11 / 84


Ohybová zkouška


12 / 84


Vzorek po ukončení ohybové zkoušky


13 / 84


Zlomená keramická stropnice Hurdis po zatěžovací zkoušce ohybemfoto: Doc. Ing. Václav Cepek, CSc.


14 / 84


Ověření odolnosti vláknobetonů a drátkobetonů při působení vysokých teplotfoto: Zuzana Ševčíková, studentka oboru Stavební hmoty a diagnostika staveb


15 / 84


Ověření odolnosti vláknobetonů a drátkobetonů při působení vysokých teplotfoto: Zuzana Ševčíková, studentka oboru Stavební hmoty a diagnostika staveb


16 / 84


Zkouška drátkobetonových trámů, ČVUT, Praha


17 / 84


Zkouška betonových trámů, ČVUT, Praha


18 / 84




19 / 84




20 / 84




21 / 84

Základní předpoklady

b) podélná vlákna na sebe vzájemně netlačí

0 zy

a) průřezy rovinné a kolmé k ose prutu před deformací zůstávají rovinnými a kolmými k deformované ose (Bernoulliova hypotéza)

Předpoklad má povahu deformačně – geometrickou.

a

M

b

M

z

x

zy

y

z

Daniel Bernoulli(1700 - 1782)


22 / 84

Poměrné přetvoření za ohybu

Výpočet normálového napětí

xz

xd

A BC E

zA BC ED

d

xdxdxd

r... poloměr křivostir

d.d rABx 2.ro

d.d zrCEx

d.ddd zxxDEx

rz

rz

xx

x

d.d.

dd

ErzExx ..

Ex

x

Podle Hookova zákona

23 / 84

Vztahy mezi vnitřními silami a napětími v průřezu prutu

(str.8 učebnice, téma č.1)

+z

+x

+y

N

zV

yV

Průřez prutuTěžiště průřezu

Střednice prutu

y

z

AN x d d ANA

xd

AVA

xyy d

AVA

xzz d

xxy

xz

AzyzVyVMA

xyxzyzx d ....

AzzNMA

xy d ..

AyyNMA

xz d ..

obdobně

Vztahy mezi vnitřními silami a napětími v průřezu

Působiště výslednice vnitřních sil

24 / 84

Závěry vyplývající z odvození


Vztahy, které obsahují

ANA

xd

AyMA

xz d .

x ErzExx ..

0.d.. yA

SrEAz

rENAzS

Ay d

Statický moment A k ose y je nulový, neboť osa průřezu prochází těžištěm. Potvrzení předpokladu, že neutrálná osa prochází těžištěm, kde .0x

1.

3. AzyDA

yz d . 0.d .. yzA

z DrEAzy

rEM

Dyz … deviační moment k hlavním osám setrvačnosti.

25 / 84

Určení normálového napětí za ohybu


AzMA

xy d . yA

y IrEAz

rEM .d . 2 2. AzI

Ay d 2

yy IrEM .

z toho plyne

y

y

IEM

r .1

Dle Hookova zákona

ErzExx ..

y

yx I

zM .

Normálové napětí x probíhají lineárně po výšce nosníku a extrémní hodnoty vznikají v krajních bodech.

xz

x

maxz

y

max

Vztahy, které obsahují x ErzExx ..

26 / 84

Závěry a omezená platnost odvozeného vztahu


y

yx I

zM .

• Vztah platí pro případ prostého ohybu, stálého průřezu a h << l.

xz

x

max

ha

Raz

b

Rbz

• Tvar průřezu se deformuje v souladuPříčné deformace nemají u nosníků velký význam.

xzy .y

z• Pokud je , vztah je pouze přibližný. Vz způsobuje smykovénapětí, zkosení, a tím i ztrátu rovinnosti průřezu. Je-li l > 5h, lzepoužít s dostatečnou přesností.

0zV

l

(tlak)

(tah)

27 / 84

Omezená platnost odvozeného vztahu


x

a

Raz

b

Rbzl

Vztah neplatí v místě náhlých průřezových změn.

hy

yx I

zM .

28 / 84

Omezená platnost odvozeného vztahu


x

a

Raz

b

Rbzl

Vztah neplatí u stěn, kde l < 3h . Blíže

předmět Pružnost a plasticita II.

h

z

Průběh hlavního napětí 1

-1,4

158

-1,1

979

-1,5

275

-1,8

632

-1,0

186 1,

9644

9,19

22

6,00 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00

[m]

[kN

/m2 ]

(tah)

(tlak)

y

yx I

zM .

29 / 84

Výpočet extrémních normálových napětí za ohybu


x1c

2,cx

z

y

1,cx

2c

Neutrálná osa v těžišti průřezu

1,11, .

cy

y

y

ycx W

Mc

IM

2,22, .

cy

y

y

ycx W

Mc

IM

Výpočet průřezových modulů u jednoduchých průřezů

b

h

11, c

IW y

cy 2

2, cI

W ycy

3..121 hbI y

hbI z ..121 3

2..

61

2hbh

IW y

y

hbbI

W yz ..

61

2

2

d64. 4dI

32.

2

3ddIW

… Průřezové moduly ke krajním vláknům [m3]

0x

30 / 84

Návrh a posouzení v pružném oboru

Dimenzování nosníků namáhaných na ohyb

Posouzení návrhudle MS únosnosti

Návrh nosné konstrukce

Realizace

Dimenzování

dEd fWM ,, min

dRdEd fWMM .min

RdMzvětšit

d

Ed

fMW min

M

kd

ff

dEd MM max

Předpoklad posouzení:u materiálu je stejná pevnost v tahu a tlaku, zanedbán vliv smykových napětí

1Rd

Ed

MM

31 / 84

San Sebastian, Auditorium, Španělsko

Ukázky konstrukcí s převažujícím namáháním na ohyb

Prostorový rám

32 / 84

San Sebastian, Auditorium, Španělsko


33 / 84

Pavilon C, Brněnské výstaviště


Prostorový rám se skořepinovou nádstavbou

34 / 84



35 / 84



36 / 84



37 / 84

Tramvajový most, Brno – Pisárky


Železobetonový předpjatý tramvajový most:• Specifický svým prostorovým zakřivením,

stoupáním a nestejnoměrnou tloušťkou• Šířka 9 m

38 / 84

Maloměřický most, Brno – Husovice


Trojkloubový oblouk z roku 1928:• 3 oblouky o rozpětí 33 m s průřezem 1 m2

• Mezilehlá mostovka

39 / 84



Trojkloubový oblouk z roku 1928:• 3 oblouky o rozpětí 33 m s průřezem 1 m2

• Mezilehlá mostovka

40 / 84



Vnitřní momentový kloub

41 / 84

Rámová ocelová konstrukce průmyslové haly


Rozpětí 20,5 m

42 / 84

Rámová ocelová konstrukce průmyslové haly


43 / 84

Hala pro výrobu komponent jaderných elektráren, Vítkovice


• Půdorys 130 x 320 m• Jeřáby o nosnosti 80 a 200 t• Poddolované území

44 / 84

Rámová ocelová konstrukce dvojhalí, Vítkovice


• Rozpětí 30 a 24 m• Jeřáby o nosnosti 80 a 50 t• Poddolované území

45 / 84

Víceúčelová hala, Frýdek - Místek


• Čtvercový půdorys o straně 82,26 m, výška 31,06 m• Hlavní nosný prvek střechy 2 rámy tvaru A• Rozpětí 118,12 m, vzdálenost 10,2 m• Průřez truhlíkový 3,65 m x 0,8 m

46 / 84

Víceúčelová hala, Frýdek - Místek


Rámová ocelová konstrukce

47 / 84

Tribuna fotbalového stadiónu na Bazalech, Ostrava


• Poddolované území

48 / 84

Tribuna fotbalového stadiónu na Bazalech, Ostrava


Detail momentového kloubu

49 / 84

Most přes řeku Ostravici, Černá louka, Ostrava


Gerberův nosník:• 3 pole• 2 vnitřní momentové klouby

50 / 84

Most přes řeku Ostravici, Černá louka, Ostrava


Gerberův nosník:• 3 pole• 2 vnitřní momentové klouby

51 / 84

Most přes řeku Ostravici, Ostrava - Kunčice


• Langerův nosník (trám vyztužený obloukem)• Rozpětí 100 m

52 / 84

Posluchárny VŠB-TU, budova C, Ostrava


53 / 84



54 / 84



• Průměr budovy 50 m• 15 radiálně umístěných plnostěnných svařovaných nosníků,

ve středu vetknuty do prstence uzavřeného průřezu

55 / 84

Výzkumné energetické centrum, VŠB-TU Ostrava


Stropní konstrukce:• Ocelové válcované profily I• Trapézový plech• Betonová podlaha

56 / 84



Stropní konstrukce:• Ocelové válcované profily I• Trapézový plech• Betonová podlaha

57 / 84



Konzola ochozu:• Ocelový svařovaný a

válcovaný profil I• Trapézový plech• Betonová podlaha

58 / 84



Konzola ochozu:• Ocelový svařovaný a

válcovaný profil I• Trapézový plech• Betonová podlaha

59 / 84

Svislý, vodorovný a prostorový ohyb

y

yx I

zMz

.

z

zx I

yMy .

Svislý ohyb

Vodorovný ohyb

z

z

y

yx I

yMI

zMzy ..

, působí My i Mz – složené namáhání prutu (prostorový ohyb)

Složené namáhání prutu

60 / 84


y

yx I

zMz

.

z

zx I

yMy .

Svislý ohyb

Vodorovný ohyb

z

z

y

yx I

yMI

zMzy ..

,

Souřadnicový systém a znaménková konvence pro prut namáhaný prostorovým ohybem


Prostorový ohyb

61 / 84


y

yx I

zMz

.

z

zx I

yMy .

Svislý ohyb Vodorovný ohyb

z

z

y

yx I

yMI

zMzy ..

,


Prostorový ohyb

Průběhy normálového napětí x

62 / 84

Prostorový ohyb a osové namáhání

AN

x

Prostý tlak

z

z

y

yx I

yMI

zMANzy ..

,



Průběhy normálového napětí x

z

z

y

yx I

yMI

zMzy ..

,

Prostorový ohyb

63 / 84

Mimostředný tah a tlak

z

z

y

yx I

yMI

zMANzy ..

,



zy eNM .

Účinek My a Mz lze nahradit posunutím Nmimo těžiště T

Schéma prutu namáhaného mimostředným tahem

yz eNM .

y

ie

zie

ANzy

z

y

y

zx ..1., 22

Normálové napětí xpak lze určit:

64 / 84

Výpočet úseků neutrálné osy


Pro neutrálnou osu platí:

Schéma prutu namáhaného mimostředným tahem

0..1., 22

y

ie

zie

ANzy

z

y

y

zx

splněno pro

0..1 22 yie

zie

z

y

y

z

Úseky yn a zn, které neutrálná osa vytíná na hlavních centrálních osách průřezu:

0z 0.

1 2 z

y

iye

y

zn e

iy2

0yz

yn e

iz

2

0.1 2 y

z

ize

65 / 84

Jádro průřezu

Jádro průřezu je oblast v okolí těžiště, v níž musí působit výslednice vnitřních sil, aby normálové napětí x mělo v celém průřezu stejné znaménko.

Např.:

y

z

3b

3b

3b

3h

3h

3h

Řešení: Nechť se neutrálná osa průřezu pouze dotýká

y

zn e

iy2

2hzn

12..12. 23

2 hhb

hbAI

i yy

6hez

12

22 biz

a)

b) 2hzn

6hez

2byn

6bey c)

d) 2byn

6bey Neutrálná osa a)

nz

ze

N

z

yn e

iz

2

Nutno určit u materiálů, kde ct ff


66 / 84

Jádro průřezu


Obdélníkový průřezs vyznačeným působištěm

posunuté zatěžovací síly F a neutrálnou osou, která se

dotýká průřezu(působiště zatěžovací síly F leží

na okraji jádra průřezu)

Tlačený sloup obdélníkového průřezu s vyznačenou neutrálnou osou(působiště zatěžovací síly F leží mimo jádro průřezu)

67 / 84

Ideálně pružno-plastický materiál

x

x

TAH

= arctan E

TLAK

fy

0

Y

Y’

A,C

B

úsekY-Y’ Hookův zákon

Y-A Plastický stav – volný nárůst deformací

A-B Odlehčení

B-C Opětovné zvýšení napětí

p e

p … plastická (trvalá) deformacee … pružná deformace

-fy

Ohyb nosníků v pružnoplastickém oboru

Téma č.1

68 / 84

Ohyb nosníku v pružnoplastickém oboru


x

x

fy

0

Y

krajní vlákna průřezu

stav I.

Ideálně pružnoplastický materiál, obdélníkový průřez

z

y

b

h

PrůřezPracovní diagram

ydydyelRdEd fhbfWMM ...61. 2

, M

ykyd

ff

ydx fmax,Normálové napětí v krajních vláknech

x

ydf

EdM

Průběh x

tlak

tah

max,x

y

Edx W

Mmax,

69 / 84



x

x

fy

0

Y


z

y

b

h x

ydfelRdM ,

Průřez Průběh x Pracovní diagram

ydydyelRd fhbfWM ...61. 2

, M

ykyd

ff

ydx fmax,

tlak

tah

ydf

zplastizování el

stav II.


Normálové napětí v krajních vláknech

70 / 84

Zvyšuje-li se stále zatížení , vznikají plastické oblasti: 1 – v tahu, 2 – v tlaku. Zbytek průřezu stále pružné chování.



stav III.


x

x

fy

0

Y


z

y

b

h x

ydfplelRdM ,,


elRdEd MM ,

tlak

tah

ydf

zplastizování

Bernouliho hypotéza platí i nadále, x je stále lineární. V bodě A je

AA A

2

1

Ef yd

x

el,pl

71 / 84



stav IV.


x

x

fy

0

Y


z

y

b

h x

ydfplRdM ,


tlak

tah

ydf

zplastizování

1A

2A

pl

Průřez je zplastizován, vznik tzv. plastického kloubu, únosnost v ohybu je vyčerpaná.

0d ANA

x 0.d d 21

21

AAfAfAf ydA

ydA

yd

A1 , A2 … plochy průřezu v plastickém stavu.Neutrálná osa půlí plochu průřezu.(u nesymetrických průřezů se při plastizování posouvá) 221

AAA

72 / 84




yyydA

ydA

ydA

xplRd SSfAzfAzfAzM 21, .d .d .d .21

yy SS 21 021 yy SS plyydyydplRd WfSfM ,1, ..2.

yply SW 1, .2 … plastický průřezový modul [m3]

stav IV.

x

x

fy

0

Y


z

y

b

h x

ydfplRdM ,


tlak

tah

ydf

zplastizování

1A

2A

pl

Průřez je zplastizován, vznik tzv. plastického kloubu, únosnost v ohybu je vyčerpaná.

73 / 84




stav IV.

x

x

fy

0

Y


z

y

b

h x

ydfplRdM ,


tlak

tah

ydf

zplastizování

1A

2A

pl

211 ..

81

4..

24. hbhbhhAS y

Plastická rezerva obdélníkového průřezu

221, ..

41..

81.2.2 hbhbSW yply

Konkrétně:

5,146

..61

..41

2

2

,

, hb

hb

WW

ely

ply 50%

74 / 84

Příklad 1



z

y

b

h

ydfplelRdM ,,

tlak

tah

ydf

zplastizování

2

1

Zadání: Určete Wy,el,pl pro průřez se zplastizovanými krajními čtvrtinami

4h

4h

x

222

,,,, ..163..

241

84.

4..2

2..

61 hbhbhhhbhbWWW plyelyplely

2,, ..

4811 hbW plely

stav Wy [m3]

II.

III.

IV.

2..4811 hb

2..61 hb

2..41 hb

2..61,0 hb

2..62291,0 hb

2..25,0 hb

Řešení:

Výsledek:(platí pouze pro případ

zplastizování krajních čtvrtin!!!)plyW ,

elyW ,

75 / 84

Příklad 2.1



Zadání:

Řešení:

Určete maximální zatížitelnost nosníku qd [kN/m] za předpokladu:a) maximální normálové napětí x = fyd

b

Rbz

a

Raz l

qd = ?

m 6l mm 20b mm 80h

b

h

MPa 235ykf 15,10 M

2,max,, ..

81 lqMM eldyelEd 352

, m10.31,2..61 hbW ely

MPa 35,2040

M

ykyd

ff

ely

elSdydx W

Mf

,

,max,

ely

eldyd W

lqf

,

2,

.8.

kN/m 97,0..82

,,

lWf

q elyydeld

Vstupní údaje:

76 / 84

Příklad 2.2



Zadání:

Řešení:

Určete maximální zatížitelnost nosníku qd [kN/m] za předpokladu:b) dojde k zplastizování krajních čtvrtin průřezu

b

Rbz

a

Raz l

qd = ?

b

h

15,10 MVstupní údaje:

2,,,, ..

81 lqM pleldplelEd 352

,, m10.39,2..4811 hbW plely

MPa 35,2040

M

ykyd

ff

plely

pleld

plely

plelSdydx W

lqWM

f,,

2,,

,,

,,max, .8

. kN/m 33,1

..82

,,,,

lWf

q plelyydpleld

m 6l mm 20b mm 80h MPa 235ykf

77 / 84

Příklad 2.3



Zadání:

Řešení:

Určete maximální zatížitelnost nosníku qd [kN/m] za předpokladu:c) dojde k úplnému zplastizování průřezu

b

Rbz

a

Raz l

qd = ?

m 6l mm 20b mm 80h

b

h

MPa 235ykf 15,10 MVstupní údaje:

2,, ..

81 lqM pldplEd 352

, m10.2,3..41 hbW ply

MPa 35,2040

M

ykyd

ff

ply

pld

ply

plSdyd W

lqWM

f,

2,

,

,

.8.

kN/m 45,1..82

,,

lWf

q plyydpld

78 / 84

Příklad 2 - shrnutí



x

x

fy

0

Y

c)

Pracovní diagram

b)a)

z

y x

ydfelRdM ,

ydf

a)

b)

c)

z

y x

ydf

plelRdM ,,

ydf

z

y x

ydfplRdM ,

ydfzplastizování

stav Wy [m3] qd [kN/m]

a) 2,13.10-5 0,97

b) 2,93.10-5 1,33

c) 3,20.10-5 1,45

Plastická rezerva obdélníkového průřezu

5,197,045,1

,

, eld

pld

qq

50%

79 / 84

Ukázka studie plastizování prostého nosníku


Profil I – zatížení osamělým břemenem, autor: Prof. Ing. Jan Hudák, CSc.

80 / 84

Ukázka studie plastizování prostého nosníku


Profil I – zatížení spojité, autor: Prof. Ing. Jan Hudák, CSc.

81 / 84

Ukázka studie plastizování důlní výztuže


Autor: Ing. Ivan Kološ, Ph.D.

82 / 84

Ukázka úplného zplastizování průřezu


Destrukce ocelové konstrukce zastřešení stadionu, foto: Prof. Ing. Radim Čajka, CSc.

83 / 84

Ukázka úplného zplastizování průřezu


Destrukce ocelové konstrukce zastřešení stadionu, foto: Prof. Ing. Radim Čajka, CSc.

84 / 84

Okruhy problémů k ústní části zkoušky

Podklady ke zkoušce

1. Ohyb nosníků v pružném stavu2. Ohyb nosníků v pružnoplastickém oboru3. Neutrálná osa, průřezový modul, ohyb prutů

nesymetrického průřezu4. Návrh a posudek prutu namáhaného ohybem5. Svislý, vodorovný a prostorový ohyb6. Mimostředný tah a tlak7. Jádro průřezu

Date post:	26-Jan-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	0 times
Download:	0 times

Pružnost a plasticita, 2.ročník bakalářského...

Documents