1
Téma 2:Průřezové charakteristiky
Pružnost a plasticita, 2. ročník bakalářského studia
• Momenty setrvačnosti a deviační momenty - pojem kvadratických momentů rovinných obrazců
• Centrální kvadratické momenty základních a složených průřezů• Kvadratické momenty k pootočeným osám• Polární moment setrvačnosti
2 / 43
Průřezy prutových konstrukčních prvků
Pojem kvadratických momentů rovinných obrazců
Výpočet deformovatelných prutů vyžaduje tzv. geometrické charakteristiky průřezu:
• Plocha A průřezu (Téma 9)• Statické momenty Sx a Sz průřezu k momentovým osám x a z• Souřadnice xT, zT těžiště T průřezu• Momenty setrvačnosti Ix, Iz k osám x, z• Deviační moment Dxz k osám x, z
Předpoklad: průřez tíhově homogenní, fiktivní měrná tíha γ = 1(bez fyzikálního rozměru)
3 / 43
Kvadratický moment rovinných obrazců
K výkladu kvadratických momentůObr. 5.1. / str. 57
Pojem kvadratických momentů rovinných obrazců
AA .1 γγ =→=V počátečním bodě dílku působí elementární fiktivní sila kolmá k rovině průřezu:
Plocha elementárního obdélníkového dílku: zxA d.dd =
Moment setrvačnosti (vždy kladné) a deviační moment (kladný či záporný) k osám x, z - osy setrvačnosti:
AAP dd.d == γ
=A
x AzI d.2 =A
z AxI d.2
=A
xz AzxD d..
Poznámka: elementy plochy násobeny kvadráty souřadnic x2 a z2 nebo součinemsouřadnic xz , proto kvadratické momenty průřezu, statické momenty – lineární
Rozměr [délka4], zpravidla m4 nebo mm4
2
4 / 43
Kvadratický moment rovinných obrazců
K výkladu kvadratických momentůObr. 5.1. / str. 57
Pojem kvadratických momentů rovinných obrazců
Ve stavební mechanice kvadratické momenty k osám xt, zt procházejícím těžištěm T – centrální osy setrvačnosti, centrální kvadratické momenty průřezu, hlavní osy setrvačnosti (mohou být pootočené).
( )
AccSIAc
AzcAzAczI
tt
t
xxA
At
AAtx
22
22
2d.
d..2d.d.
++=+
++=+=
Pravidlo o kvadratických momentech k rovnoběžně posunutým osám:Tt zzzc =−= Tt xxxd =−=
( )
AddSIAd
AxdAxAdxI
tt
t
zzA
At
AAtz
22
22
2d.
d..2d.d.
++=+
++=+=
( )( )
AdcSdScDAdcAzd
AxcAzxAdxczD
tttt xzzxAA
t
At
Att
Attxz
....d..d.
d..d..d.
+++=++
++=++=
5 / 43
Kvadratický moment rovinných obrazců
K výkladu kvadratických momentůObr. 5.1. / str. 57
Pojem kvadratických momentů rovinných obrazců
0==tt zx SSStatické momenty průřezu k těžištním osám průřezu:
AcIItxx .2+=
Výsledné tvary vztahů pro kvadratické momenty k osám x, zneprocházejícím těžištěm průřezu:
AdIItzz .2+=
AdcDDtt zxxz ..+=
Steinerova věta
Po úpravě lze použít rovněž:
AcII xx t.2−=
AdII zzt.2−=
AdcDD xzzx tt..−=
Jakob Steiner(1796-1863)
6 / 43
Centrální kvadratické momenty obdélníku
ObdélníkObr. 5.2. / str. 59
Centrální kvadratické momenty základních průřezů
0, =→≡≡→≡ xztt DzzxxTOZvoleno:
Výpočet hlavních centrálních momentů setrvačnosti:
3332
2
3
2
2
22
2
2
2
22
..121
88.
33.
d.ddd.
hbhhbzb
zzbzxzAzI
h
h
h
h
h
h
b
bAx
=
+=
=
==
==
−
−− −
hbI z ..121 3=Obdobně:
0d44
.21.d
2.
ddd..
2
2
222
2
2
2
2
2
2
2
2
=
−=
=
=
==
−− −
− −
h
h
h
h
b
b
h
h
b
bAxz
zbbzzxz
zxx.zAzxD
Důkaz nulového deviačního momentu:
3
7 / 43
Kvadratické momenty obdélníku ve složeném obrazci
ObdélníkObr. 5.2. / str. 59
Centrální kvadratické momenty základních průřezů
[ ]
==≡→≠
2,
2, bdhczxTO TT
Zvoleno:
Výpočet momentů setrvačnosti:
32
32 ..31..
4..
121. hbhbhhbAcII
txx =+=+=
22..41..
2.
20.. hbhbhbAdcDD
tt zxzx =+=+=
Steinerova věta
hbhbbhbAdIItzz ..
31..
4..
121. 3
232 =+=+=
8 / 43
Kvadratické momenty čtverce
ObdélníkObr. 5.2. / str. 59
Centrální kvadratické momenty základních průřezů
Čtverec o straně a: ahb ==
Výpočet hlavních centrálních momentů setrvačnosti:
4.121 aII zx ==
Kvadratické momenty čtverce k osámprocházejícím jeho stranami:
zx,
422
42 .31.
4.
121. aaaaAcII
txx =+=+=
42 .41.
2.
20.. aaaaAdcDD
tt zxzx =+=+=
4.31 aII xz ==
9 / 43
Zvoleno: O ve vrcholu trojúhelníku
Centrální kvadratické momenty pravoúhlého trojúhelníku
Pravoúhlý trojúhelníkObr. 5.3. / str. 59
Centrální kvadratické momenty základních průřezů
(a) (b)
Výpočet nejprve kvadratických momentů k vodorovné ose x a svislé ose z:
3
0
3
0 0
22
..41d..
ddd.d.
hbzzhb
zxzzxzI
h
h hbz
Ax
==
=
==
224
2
2
0
32
2
0
.
0
..81
4.
2d.
2
ddd.d..
hbhhbzz
hb
zxx.zzxzxD
h
h hzb
Axz
===
=
==
hbhhbzz
hb
zxxzxxI
h
h hbz
Az
..121
4.
3d..
3
ddd.d.
34
3
3
0
33
3
0 0
22
===
=
==
4
10 / 43
Centrální kvadratické momenty pravoúhlého trojúhelníku
Pravoúhlý trojúhelníkObr. 5.3. / str. 59
Centrální kvadratické momenty základních průřezů
(a) (b)
Výpočet centrálních momentů setrvačnosti (nejsou ale hlavní momenty):
323
2
..361..
21..
94..
41
.
hbhbhhb
AcII xxt
=−=
=−=
2222 ..721...
21..
31..
32..
81
..
hbhbbhhb
AdcDD xzzx tt
=−=
=−=
Steinerova věta
hbhbbhb
AdII zzt
..361..
21..
91..
121
.
323
2
=−=
=−=
hc .32= bd .
31=
11 / 43
Centrální kvadratické momenty rovnoramenného trojúhelníku
Rovnoramenný trojúhelníkObr. 5.4. / str. 60
Centrální kvadratické momenty základních průřezů
Rovnoramenný trojúhelník – lze rozdělit na dva symetrické pravoúhlé
33 ..361.
2.
361.2 hbhbIx =
=
hbhbI z ..481.
2.
121.2 3
3
=
=
Svislá osa symetrie – jsou zároveň hlavní momenty setrvačnosti a nulový deviační moment
Kvadratické momenty ve složeném obrazci – k vodorovným osám :xx,
33 ..41.
2.
41.2 hbhbI x == 33 ..
121.
2.
121.2 hbhbI
x==
Rovnostranný trojúhelník o straně b:
bh .23= 44 .01804,0.
963 bbII zx ===
12 / 43
[ ] 420
442π
0
34
2π
0
22
0
cos.
0
.81cos.
8d.cos.sin.
2
d.cos..cos..21.sin.
ddd.d..
rrr
rrr
zxx.zzxzxDr r
Axz
=−==
==
=
==
π
ϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
42π
0
42π
0
224
2π
0
22
0
cos.
0
22
.π.161
324sin
8.d.cos.sin.
d.cos..cos..sin.
ddd.d.
rrr
rrr
zxzzxzIr r
Ax
=
−==
==
=
==
ϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕ
Centrální kvadratické momenty čtvrtkruhu
ČtvrtkruhObr. 5.5. / str. 61
Centrální kvadratické momenty základních průřezů
SO ≡Zvoleno: Platí: ϕsin.rz = ϕϕ d.cos.d rz =
Moment setrvačnosti k vodorovné ose x:
Osa symetrie skloněná o 45o - zx II =
5
13 / 43
Centrální kvadratické momenty čtvrtkruhu
ČtvrtkruhObr. 5.5. / str. 61
Centrální kvadratické momenty základních průřezů
Kvadratické momenty k netěžištním osám tedy: 4.81 rDxz =4.π.
161 rII zx ==
Souřadnice těžiště: (Téma 9)
rrdc 4244,0π.3.4 ===
Plocha: 4.π 2rA =
Centrální kvadratické momenty k těžištním osám rovnoběžným s x, z:
44
2
2
242
.05488,0π94
16π.
4.π.
π.9.16.π.
161.
rr
rrrAcIII xzx tt
=
−=
=−=−==
442
2
24 .01647,0
π94
81.
4.π.
π.9.16.
81
..
rrrrr
AdcDD xzzx tt
−=
−=−=
=−=
14 / 43
Centrální kvadratické momenty půlkruhu
PůlkruhObr. 5.6.a. / str. 62
Centrální kvadratické momenty základních průřezů
(a)
Složený obrazec ze dvou čtvrtkruhů, které mají k obou osám stejné momenty setrvačnosti, ale deviační momenty s opačným znaménkem:
0=xzD44 .π.81.π.
161.2 rrII zx ===
Osa z – osa symetrie, hlavní centrální osa setrvačnosti tzz ≡
Hlavní centrální momenty setrvačnosti tedy:
444 .10976,0π98
8π.
π94
16π..2 rrrI
tx=
−=
−=
4.π.81 rII zzt
==
15 / 43
Centrální kvadratické momenty kruhu a mezikruží
KruhObr. 5.6.b. / str. 62
Centrální kvadratické momenty základních průřezů
(b)
MezikružíObr. 5.6.c. / str. 62
(c)
Kruh: složený obrazec ze dvou půlkruhů, kterákoliv těžištní osa je osou symetrie, moment setrvačnosti ke kterékoliv těžištní ose je hlavní centrální moment setrvačnosti
Mezikruží: složený obrazec z vnějšího kruhu o poloměru r1 a odečítaný vnitřní kruh o poloměru r0
44 .π.41.π.
81.2 rrII
tt zx === ( )40
41.π.
41 rrII
tt zx −==
6
16 / 43
Výpočet kvadratických momentů pomocí tabulek
Centrální kvadratické momenty základních průřezů
17 / 43
Výpočet kvadratických momentů pomocí tabulek
Centrální kvadratické momenty základních průřezů
18 / 43
Výpočet kvadratických momentů pomocí tabulek
Centrální kvadratické momenty základních průřezů
7
19 / 43
Výpočet kvadratických momentů pomocí tabulek
Centrální kvadratické momenty základních průřezů
20 / 43
Výpočet kvadratických momentů pomocí tabulek
Centrální kvadratické momenty základních průřezů
21 / 43
Výpočet kvadratických momentů pomocí tabulek
Centrální kvadratické momenty základních průřezů
8
22 / 43
Výpočet kvadratických momentů pomocí tabulek
Centrální kvadratické momenty základních průřezů
23 / 43
Výpočet kvadratických momentů pomocí tabulek
Centrální kvadratické momenty základních průřezů
24 / 43
Výpočet kvadratických momentů pomocí tabulek
Centrální kvadratické momenty základních průřezů
9
25 / 43
Centrální kvadratické momenty složených průřezů
Centrální kvadratické momenty složených průřezů
Průřezy složené z jednotlivých obrazcůPostup výpočtu:
a) zvolit pomocnou souřadnicovou soustavu zx,b) rozdělit složený obrazec na n jednodušších prvků i=1, …, nc) pro každý prvek určit Ai a souřadnice jeho těžiště v pomocné
souřadnicové soustavě (otvory mají plochu se znaménkem mínus)tt zx ,
d) určit plochu A celého průřezu (součtem Ai) , určit souřadnice těžištěcelého obrazce, kterým proložit centrální osy setrvačnosti průřezurovnoběžné s osami
TT zx ,
zx,tt zzxx ≡≡ ,
e) pro každý prvek určit ramena těžiště Ti Tii zzc −= Tii xxd −=
f) vypočítat centrální kvadratické momenty celého obrazce:
( )=
+=n
iiixx AcII
i1
2. ( )=
+=n
iiizz AdII
i1
2. ( )=
+=n
iiiizxxz AdcDD
ii1
..
(Otvory mají momenty setrvačnosti se znaménkem mínus, deviační momenty s opačným znaménkem)
26 / 43
Příklad 10.1
Zadání příkladu 10.1Obr. 5.7.a. / str. 64
Centrální kvadratické momenty složených průřezů
(a)Požadavek: Určit centrální kvadratické momenty setrvačnosti
Složený obrazec: ze tří jednoduchých prvků –pravoúhlý trojúhelník, obdélník a výřez tvaru půlkruhu
27 / 43
Příklad 10.1
Řešení příkladu 10.1Obr. 5.7.b. / str. 64
Centrální kvadratické momenty složených průřezů
(b)Postup výpočtu:a) Rozdělení na prvky
b) Určit plochy prvků a souřadnicejejich těžišť v pomocnésouřadnicové soustavě
c) Vypočítat plochu celého obrazcea souřadnice jeho těžiště
10
28 / 43
Příklad 10.1
Řešení příkladu 10.1Obr. 5.7.b. / str. 64
Centrální kvadratické momenty složených průřezů
(c)d) Kvadratické momenty prvků a ramenajejich těžišť
e) Centrální kvadratické momentyprůřezu dle:
( ) 4
1
2 m006641,0. =+==
n
iiixx AcII
i
( ) 4
1
2 m003921,0. =+==
n
iiizz AdII
i
( ) 4
1m001885,0.. =+=
=
n
iiiizxxz AdcDD
ii
29 / 43
Průřezy složené z válcovaných tyčí
+x+z
PU
zi
R
zT
T[xT,zY]
xT
PI zU
zI
Centrální kvadratické momenty složených průřezů
30 / 43
Kvadratické momenty k pootočeným osám
Geometrická transformacesouřadnic při pootočení os
Obr. 5.8. / str. 65
Kvadratické momenty k pootočeným osám
Geometrická transformace souřadnic při pootočení souřadnicových os:αα sin.cos. zxx −=′ αα cos.sin. zxz +=′
′=′A
x AzI d.2 ′=′A
z AxI d.2 ′′=′′A
zx AzxD d..Kvadratické momenty obrazce k pootočeným osám:
1. po dosazení:
( )
αααααα
ααα
α
αα
2sin.sin.cos.cos.2sin.sin.
d..cosd..cossin2
d..sin
d.cos.sin.
22
22
22
22
2
xzzx
xxzz
AA
A
Ax
DIIIDI
AzAzx
Ax
AzxI
++=
=++=
=++
+=
=+=
′
′=′A
x AzI d.2
11
31 / 43
2. po dosazení:
Kvadratické momenty k pootočeným osám
Kvadratické momenty k pootočeným osám
′=′A
z AxI d.2
′′=′′A
zx AzxD d..
( )
αααααα
αααααα
2sin.cos.sin.sin.2sin.cos.
d..sind..cossin2d..cosd.sin.cos.
2222
22222
xzzxxxzz
AAAAz
DIIIDI
AzAzxAxAzxI
−+=+−=
=+−=−= ′
3. po dosazení:
( )( )
( )
( ) ααααα
αααααα
αααα
2cos.2sin.21.2sin.
21.2cos.2sin
21.
d..cos..sind...cos.sind..cos.sin
dcos.sin..sin.cos.
2222
xzxzxxzz
AAA
Azx
DIIIDI
AzAzxAx
AzxzxD
+−=−+=
=−−+=
=+−=
′′
Důležité pootočení α os setrvačnosti, při kterém nabudou oba momenty setrvačnosti extrémních hodnot (maximální a minimální).
32 / 43
Kvadratické momenty k pootočeným osám
Kvadratické momenty k pootočeným osám
( )002
2cos.2.2sin.2cos.2.cos.sin.2.cos.sin.2.dd
===
=+−=++−=
′′′′
′
zxzx
xzxzxzzxx
DD
DIIDIII αααααααα
Derivace dle α obou momentů rovna nule:
Závěr: Oba momenty setrvačnosti nabývají extrémní hodnoty, když je deviační moment nulový. Jeden z nich je maximální, druhý minimální.
Hlavní osy setrvačnosti se sklonem α0:
( )zx
xzxzxz II
DDII−
==+− 22tg02cos.2.2sin. 000 ααα
Hlavní momenty setrvačnosti:
012 90±= αα
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )0
20
020
0000
2tg12tg.
2tg11..
21.
212sin.
2cos..21.
212sin.2cos1.
21.2cos1.
21.
αα
αα
αααα
++
+−++=+
+−++=+−++=′
xzzxzxxz
zxzxxzzxx
DIIIID
IIIIDIII
33 / 43
Kvadratické momenty k pootočeným osám
Kvadratické momenty k pootočeným osám
Po úpravě:
Znaménko před odmocninou: +-
( ) ( ) 222,1 .4.
21.
21
xzzxzx DIIIII +−±+=
max1 II =
min2 II =
Hlavní osy setrvačnosti se sklonem α0:
xz
x
DII −
= 2,12,1tgα
012 90±= ααmax1 I→α
min2 I→α
Poučka:Součet momentů setrvačnosti ke dvěma vzájemně kolmým osám setrvačnosti se při otáčení obou os kolem počátku nemění, zůstává konstantní (neměnný, invariantní).
21 IIIIII zxzx +=+=+ ′′
12
34 / 43
Příklad 10.2
Příklad 10.2Obr. 5.9.a. / str. 68
Kvadratické momenty k pootočeným osám
Požadavek: Určit hlavní centrální momenty setrvačnosti a sklony jim příslušných hlavních os
Postup:a) Centrální kvadratické momenty k
vodorovné a svislé oseb) Hlavní centrální momenty setrvačnostic) Sklon hlavních centrálních os
setrvačnosti
( ) ( ) 222,1 .4.
21.
21
xzzxzx DIIIII +−±+=
xz
x
DII −
= 2,12,1tgα
4max1 m0008779,0== II 4
min2 m0002189,0== II
35 / 43
Kvadratické momenty k pootočeným osám
Kvadratické momenty k pootočeným osám
-0,00040000
-0,00020000
0,00000000
0,00020000
0,00040000
0,00060000
0,00080000
0,00100000
-180
-160
-140
-120
-100 -80
-60
-40
-20 0 20 40 60 80 100
120
140
160
180
Ix(alfa)Dxz(alfa)Iz(alfa)
40,0007594m=xI 4m0002531,0=xzD 180180 ÷−=α40,0003375m=zI
36 / 43
Kvadratické momenty k pootočeným osám
Kvadratické momenty k pootočeným osám
-0,00040000
-0,00020000
0,00000000
0,00020000
0,00040000
0,00060000
0,00080000
0,00100000
-180
-160
-140
-120
-100 -80
-60
-40
-20 0 20 40 60 80 100
120
140
160
180
Ix(alfa)Dxz(alfa)Iz(alfa)
40,0007594m=xI 4m0002531,0=xzD40,0003375m=zI
41 m0008779,0=I
10,251 +=α4m000000,0=′′zxD
13
37 / 43
Kvadratické momenty k pootočeným osám
Kvadratické momenty k pootočeným osám
-0,00040000
-0,00020000
0,00000000
0,00020000
0,00040000
0,00060000
0,00080000
0,00100000
-180
-160
-140
-120
-100 -80
-60
-40
-20 0 20 40 60 80 100
120
140
160
180
Ix(alfa)Dxz(alfa)Iz(alfa)
40,0007594m=xI 4m0002531,0=xzD40,0003375m=zI
42 m0002189,0=I
90,642 −=α4m000000,0=′′zxD
38 / 43
Příklad 10.3
Příklad 10.3Obr. 5.9.b. / str. 68
Kvadratické momenty k pootočeným osám
Požadavek: Určit hlavní centrální momenty setrvačnosti a sklony jim příslušných hlavních os
Postup:a) Centrální kvadratické momenty k
vodorovné a svislé oseb) Hlavní centrální momenty setrvačnostic) Sklon hlavních centrálních os
setrvačnosti
( ) ( ) 222,1 .4.
21.
21
xzzxzx DIIIII +−±+=
xz
x
DII −
= 2,12,1tgα
48max1 mm10.3672,2== II 48
min2 mm10.2743,1== II
39 / 43
Příklad 10.4
Příklad 10.4Obr. 5.9.c. / str. 68
Kvadratické momenty k pootočeným osám
Požadavek: Určit hlavní centrální momenty setrvačnosti a sklony jim příslušných hlavních os
Postup:a) Centrální kvadratické momenty k
vodorovné a svislé oseb) Hlavní centrální momenty setrvačnostic) Sklon hlavních centrálních os
setrvačnosti
( ) ( ) 222,1 .4.
21.
21
xzzxzx DIIIII +−±+=
xz
x
DII −
= 2,12,1tgα
4max1 m007605,0== II 4
min2 m002957,0== II
14
40 / 43
Poloměr setrvačnosti
Kvadratické momenty k pootočeným osám
Geometrická charakteristika průřezu:AIi x
x =AIi z
z =
Hlavní centrální poloměry setrvačnosti:AIi max
max =AIi min
min =
Hlavní centrální poloměry setrvačnosti pro obdélníkový průřez :(šířka b, výška h)
Hlavní centrální poloměry setrvačnosti pro čtvercový průřez (strana a):
hhhhbhbi .2887,0.
121
12..12. 23
max ==== bi .2887,0min =
aii .2887,0minmax ==
Hlavní centrální poloměry setrvačnosti pro kruhový průřez:
24.π.4.π 2
2
4
minmaxrr
rrii ====
41 / 43
Polární moment setrvačnosti
K výkladu polárníhomomentu setrvačnosti
Obr. 5.10. / str. 71
Polární moment setrvačnosti
Polární moment setrvačnosti:(p je vzdálenost od pólu) =
Ap ApI d.2
Kvadratický moment, rozměr [délka4], zpravidla m4 nebo mm4
( ) zxxzAAA
p IIIIAzAxAzxI +=+=+=+= d.d.d. 2222
Poučka:Polární moment setrvačnosti k pólu O je roven součtu axiálních momentů setrvačnosti k jakýmkoli dvěma vzájemně kolmým osám setrvačnosti, které tímto pólem procházejí.
Ve stavařské praxi – pólem je výhradně těžiště průřezu, centrální polární moment setrvačnosti, využití u rotačně symetrických průřezů.
42 / 43
Příklad 10.6
Zadání příkladu 10.6Obr. 5.11. / str. 71
Polární moment setrvačnosti
Požadavek: Určit centrální polární moment setrvačnosti ocelové trubky
Řešení:44 .π.
21.π.
41.2 rrI p ==Centrální polární moment setrvačnosti pro kruh:
( )40
41.π.
21 rrI p −=
Centrální polární moment setrvačnosti pro mezikruží:
mm301 =rKonkrétně: mm240 =r
( ) 4544 mm10.5119,72430.π.21 =−=pI
15
43 / 43
Okruhy problémů k ústní části zkoušky
1. Centrální kvadratické momenty základních průřezů2. Centrální kvadratické momenty složených průřezů3. Kvadratické momenty k pootočeným osám4. Polární moment setrvačnosti
Podklady ke zkoušce