doc. Ing. Martin Krejsa, Ph.D. Katedra stavební mechaniky

Pružnost a

plasticita II 3. ročník bakalářského studia

1

Numerické řešení nosníku

na pružném podkladu

10

Winklerův model podloží

Emil Winkler

1835-1888

yxwCyxp ,,

p(x,y) ... reakce podloží [kN.m-2]

C ... modul stlačitelnosti podkladu [kN.m-3]

w(x,y) ... přetvoření základové konstrukce [m]

p(x,y)

q(x,y)

q(x,y)

q(x,y) ... plošné zatížení na základ [kN.m-2]

3 www.fast.vsb.cz

Winklerův model podloží

EI

xqxw

EI

bC

x

xw

4

4

d

d

b ... šířka základu [m]

EI … konst.

Schwedlerovy vztahy

2

2

d

d

x

xwEIxM

x

xwx

d

d

?xw

3

3

d

d

x

xwEIxV

4

4

d

d

x

xwEIxq

Pro pružné podloží 4

4

d

d

x

xwEIxpxq

byxpxp ,

4 www.fast.vsb.cz

Metoda sítí (metoda konečných diferencí)

x

yy

x

yy

x

yy

x

y iiiiii

i

2d

d 1111

11 iiii xxxxx 112 ii xxx

2

11

11

2

2 2

d

d

x

yyy

x

x

yy

x

yy

x

y iii

iiii

i

3

21122

21

2

12

2

1

2

2

1

2

3

3

2

22

2

22

2

d

d

d

d

d

d

x

yyyy

x

x

yyy

x

yyy

x

x

y

x

y

x

y iiii

iiiiiiii

i

4

2112

2

2

21

2

11

2

12

2

1

2

2

2

2

1

2

2

4

4

464

22.2

2

d

d

d

d2

d

d

d

d

x

yyyyy

x

x

yyy

x

yyy

x

yyy

x

x

y

x

y

x

y

x

y

iiiii

iiiiiiiii

iii

i

1.

2.

3.

4.

5 www.fast.vsb.cz

Teoretické řešení základového pásu

EI

xqw

EI

bC

x

wwwwwi

iiiii

4

2112 464

EI

xqxw

EI

bC

x

xw

4

4

d

d

2

2

d

d

x

xwEIxM

3

3

d

d

x

xwEIxV

Výpočet průhybu

Výpočet vnitřních sil

2

11 2

x

yyyEIM iii

i

3

2112

2

22

x

yyyyEIV iiii

i

6 www.fast.vsb.cz

Zadání příkladu

Statické schéma:

l = 6 m

F = 1000 kN

Řez pásem

b = 1 m

h = 0,5 m E = 2.104 MPa

C = 36 MPa.m-1 = 36000 kN.m-3

Materiálové charakteristiky

7 www.fast.vsb.cz

Rozdělení na diference

Statické schéma

l = 6 m

F = 1000 kN

x = 1 m x x x x x

i = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2

8 www.fast.vsb.cz

Sestavení soustavy lineárních rovnic

Bod 0:

EI

xqw

EI

bC

x

wwwww

04

21012 464i = 0 q = 0

0464 210

4

12

www

EI

xbCww

9 www.fast.vsb.cz

Statické schéma

l = 6 m

F = 1000 kN

x = 1 m x x x x x

i = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2

EI

xqw

EI

bC

x

wwwwwi

iiiii

4

2112 464

Sestavení soustavy lineárních rovnic

Bod 1:

EI

xqw

EI

bC

x

wwwww

14

10123 464i = 1 q = 0

0464 101

4

23

www

EI

xbCww

10 www.fast.vsb.cz

Statické schéma

l = 6 m

F = 1000 kN

x = 1 m x x x x x

0 i = 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2

EI

xqw

EI

bC

x

wwwwwi

iiiii

4

2112 464

Sestavení soustavy lineárních rovnic

Bod 2:

EI

xqw

EI

bC

x

wwwww

24

01234 464i = 2 q = 0

0464 012

4

34

www

EI

xbCww

11 www.fast.vsb.cz

Statické schéma

l = 6 m

F = 1000 kN

x = 1 m x x x x x

0 1 i = 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2

EI

xqw

EI

bC

x

wwwwwi

iiiii

4

2112 464

Sestavení soustavy lineárních rovnic

Bod 3:

EI

xqw

EI

bC

x

wwwww

34

12345 464i = 3

0464 123

4

45

www

EI

xbCww

12 www.fast.vsb.cz

Statické schéma

l = 6 m

F = 1000 kN

x = 1 m x x x x x

0 1 2 i = 3 4 5 6 7 8 -1 -2

EI

xqw

EI

bC

x

wwwwwi

iiiii

4

2112 464

x

Fq

Sestavení soustavy lineárních rovnic

Bod 4:

EI

xqw

EI

bC

x

wwwww

44

23456 464i = 4

0464 234

4

56

www

EI

xbCww

13 www.fast.vsb.cz

Statické schéma

l = 6 m

F = 1000 kN

x = 1 m x x x x x

0 1 2 3 i = 4 5 6 7 8 -1 -2

EI

xqw

EI

bC

x

wwwwwi

iiiii

4

2112 464

q = 0

Sestavení soustavy lineárních rovnic

Bod 5:

EI

xqw

EI

bC

x

wwwww

54

34567 464i = 5

0464 345

4

67

www

EI

xbCww

14 www.fast.vsb.cz

Statické schéma

l = 6 m

F = 1000 kN

x = 1 m x x x x x

0 1 2 3 4 i = 5 6 7 8 -1 -2

EI

xqw

EI

bC

x

wwwwwi

iiiii

4

2112 464

q = 0

Sestavení soustavy lineárních rovnic

Bod 6:

EI

xqw

EI

bC

x

wwwww

64

45678 464i = 6

0464 456

4

78

www

EI

xbCww

15 www.fast.vsb.cz

Statické schéma

l = 6 m

F = 1000 kN

x = 1 m x x x x x

0 1 2 3 4 5 i = 6 7 8 -1 -2

EI

xqw

EI

bC

x

wwwwwi

iiiii

4

2112 464

q = 0

Soustava lineárních rovnic

0464 456

4

78

www

EI

xbCww

0464 345

4

67

www

EI

xbCww

0464 234

4

56

www

EI

xbCww

EIx

xFwww

EI

xbCww

4

123

4

45 464

0464 012

4

34

www

EI

xbCww

0464 101

4

23

www

EI

xbCww

0464 210

4

12

www

EI

xbCwwBod 0:

Bod 1:

Bod 2:

Bod 3:

Bod 4:

Bod 5:

Bod 6:

7 rovnic / 11

neznámých

Nutno

sestavit 4

okrajové

podmínky

16 www.fast.vsb.cz

Okrajové podmínky

1012

1010 20

2www

x

wwwEIM

01223

210120

3

21120

4402

222

2

22

wwwwx

wwwwwEIV

x

wwwwEIV

17 www.fast.vsb.cz

Statické schéma

l = 6 m

F = 1000 kN

x = 1 m x x x x x

i = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2

Bod 0:

i = 0

02

2

11

x

wwwEIM iii

i 02

223

2112

x

wwwwEIV iiii

i

Okrajové podmínky

5672

5676 20

2www

x

wwwEIM

65483

455686

3

45786

4402

222

2

22

wwwwx

wwwwwEIV

x

wwwwEIV

18 www.fast.vsb.cz

Statické schéma

l = 6 m

F = 1000 kN

x = 1 m x x x x x

0 1 2 3 4 5 i = 6 7 8 -1 -2

Bod 6:

i = 6

02

2

11

x

wwwEIM iii

i 02

223

2112

x

wwwwEIV iiii

i

Výsledná soustava

lineárních rovnic

0242 456

4

www

EI

xbC

0452 345

4

6

www

EI

xbCw

0254 01

4

23

ww

EI

xbCww

0242 0

4

12

w

EI

xbCww

7 rovnic / 7

neznámých

Kořeny soustavy

– průhyb v

bodech

0 až 6

101 2 www

0122 44 wwww

567 2 www

6548 44 wwww

Z okrajových

podmínek

19 www.fast.vsb.cz

Bod 0:

Bod 1:

Bod 2:

Bod 3:

Bod 4:

Bod 5:

Bod 6:

0464 012

4

34

www

EI

xbCww

EIx

xFwww

EI

xbCww

4

123

4

45 464

0464 234

4

56

www

EI

xbCww

Maticový zápis soustavy lineárních rovnic

0

0

0

0

0

0

2420000

2541000

1464100

0146410

0014641

0001452

0000242

4

6

5

4

3

2

1

0

4

4

4

4

4

4

4

EIx

xF

w

w

w

w

w

w

w

EI

xbC

EI

xbC

EI

xbC

EI

xbC

EI

xbC

EI

xbC

EI

xbC

20 www.fast.vsb.cz

Příklad: nosník na pružném podkladu,

sestavení a řešení lineárních rovnic

21 www.fast.vsb.cz

Kořeny w [m]

1,3740E-03 w0

3,6945E-03 w1

5,8963E-03 w2

7,2222E-03 w3

5,8963E-03 w4

3,6945E-03 w5

1,3740E-03 w6

bod w0 w1 w2 w3 w4 w5 w6 PS

0 2,1728 -4,0000 2,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 -2,0000 5,1728 -4,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

2 1,0000 -4,0000 6,1728 -4,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,0000 1,0000 -4,0000 6,1728 -4,0000 1,0000 0,0000 0,0048

4 0,0000 0,0000 1,0000 -4,0000 6,1728 -4,0000 1,0000 0,0000

5 0,0000 0,0000 0,0000 1,0000 -4,0000 5,1728 -2,0000 0,0000

6 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 2,0000 -4,0000 2,1728 0,0000

Výpočet reakcí Statické schéma

l = 6 m

F = 1000 kN

x = 1 m x x x x x

0 1 2 3 4 5 6

iQ iQ iQ

06

0

i

iiz QFlpFR

22 www.fast.vsb.cz

yxwCyxp ,, byxpxp ,

ii wbCp … reakce podloží [kN/m]

xpQ ii … reakce v uzlech 1..5 [kN]

2

xpQ ii

… reakce v krajních uzlech 0 a 6 [kN]

Výpočet vnitřních sil

2

11 2

x

wwwEIM iii

i

3

2112

2

22

x

wwwwEIV iiii

i

21

1 1

lxFxxQM i

i

j

Qiji j

2

lxi

FQVi

j

ji 1

2

lxi

2. podle principů

statiky 23 www.fast.vsb.cz

Statické schéma

l = 6 m

F = 1000 kN

x = 1 m x x x x x

0 1 2 3 4 5 6

jQ jQ jQ

1. podle diferenčních

vztahů

Příklad: nosník na pružném podkladu,

výpočet reakcí a složek vnitřních sil

24 www.fast.vsb.cz

xQi [m] xi [m]

p0 49,4649 Q0 24,7325 0,2500 0,0000

p1 133,0022 Q1 133,0022 1,0000 1,0000

p2 212,2658 Q2 212,2658 2,0000 2,0000

p3 259,9990 Q3 259,9990 3,0000 3,0000

p4 212,2658 Q4 212,2658 4,0000 4,0000

p5 133,0022 Q5 133,0022 5,0000 5,0000

p6 49,4649 Q6 24,7325 5,7500 6,0000

S 1000,0000

Reakce Qi [kN]pi [kN/m]

V iL [kN] V iP [kN]

M0 0,0000 V0 0,0000

M1 18,5494 V1 91,2336

M2 176,2841 V2 263,8676

M3 546,2846 V3 500,0000 -500,0000

M4 176,2841 V4 -263,8676

M5 18,5494 V5 -91,2336

M6 0,0000 V6 0,0000

M i [kNm]

Podle principů statiky

M0 0,0000 V0 0,0000

M1 24,7325 V1 91,2336

M2 182,4672 V2 263,8676

M3 552,4677 V3 0,0000

M4 182,4672 V4 -263,8676

M5 24,7325 V5 -91,2336

M6 0,0000 V6 0,0000

M i [kNm]

Pomocí diferenčních vztahů

V i [kN]

Numericky:

Příklad: nosník na pružném podkladu,

průběh posunutí a reakcí

25 www.fast.vsb.cz

Graficky:

Příklad: nosník na pružném podkladu,

průběh složek vnitřních sil

26 www.fast.vsb.cz