Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava
Pružnost a plasticita, 2.ročník bakalářského studia
Téma 8Přetvoření nosníkůnamáhaných ohybem I.
• Základní vztahy a předpoklady řešení
• Metoda přímé integrace diferenciální rovnice ohybové čáry• Clebschova metoda
• Přetvoření nosníků od nerovnoměrného oteplení
2 / 35
Přetvoření konzoly
Průhyb
0,00
0,00
0,00
0,01
0,02
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,08
0,0
0,2
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
2,00
Délka nosníku
Průh
yb
a
F
l
b
Přetvoření (deformace) - geometrické změny rozměrů a tvaru těles
Přetvoření nosných konstrukcí namáhaných ohybem
3 / 35
Přetvoření prostého nosníku
Průhyb
0,00
0
0,04
8
0,09
2
0,12
5
0,14
7
0,15
4
0,14
7
0,12
5
0,09
2 0,04
8 0,00
0
0,0
0,3
0,00
0,60
1,20
1,80
2,40
3,00
3,60
4,20
4,80
5,40
6,00
Délka nosníku
Průh
yb
ba
l
q = konst.
Přetvoření nosných konstrukcí namáhaných ohybem
4 / 35
Základní typy namáhání – prostý ohyb
Princip ohybové zkoušky
Základní vztahy a předpoklady řešení
5 / 35
Základní typy namáhání – prostý ohyb
Ohybová zkouška
Základní vztahy a předpoklady řešení
6 / 35
Přetvoření betonového průvlaku
Nerespektování přetvoření betonového průvlaku, foto: Prof. Ing. Radim Čajka, CSc.
Přetvoření nosných konstrukcí namáhaných ohybem
7 / 35
Havárie přetížení sněhem, Divišov
Nadměrné přetvoření střechy vlivem extrémního zatížení sněhem, foto: Prof. Ing. Radim Čajka, CSc.
Přetvoření nosných konstrukcí namáhaných ohybem
8 / 35
Havárie přetížení sněhem, Divišov
Přetvoření nosných konstrukcí namáhaných ohybem
Nadměrné přetvoření střechy vlivem extrémního zatížení sněhem, foto: Prof. Ing. Radim Čajka, CSc.
9 / 35
Přetvoření konzoly jeřábové dráhy
Porušení štítové stěny vlivem nerespektovánípřetvoření konzoly jeřábové dráhy, hala Baška
Přetvoření nosných konstrukcí namáhaných ohybem
10 / 35
Přetvoření konzoly jeřábové dráhy
Porušení štítové stěny vlivem nerespektovánípřetvoření konzoly jeřábové dráhy, hala Baška
Přetvoření nosných konstrukcí namáhaných ohybem
11 / 35
Základní typy namáhání – prostý ohyb
Zkouška betonových trámů, ČVUT, Praha
Základní vztahy a předpoklady řešení
12 / 35
Základní typy namáhání – prostý ohyb
Zkouška betonových trámů, ČVUT, Praha
Základní vztahy a předpoklady řešení
13 / 35
Základní typy namáhání – prostý ohyb
Zkouška betonových trámů, ČVUT, Praha
Základní vztahy a předpoklady řešení
14 / 35
Základní typy namáhání – prostý ohyb
Zkouška betonových trámů, ČVUT, Praha
Základní vztahy a předpoklady řešení
15 / 35
Přetvoření nosníků namáhaných ohybem
Základní vztahy a předpoklady řešení
Nutno zjišťovat z důvodů:• posudek dle mezního stavu použitelnosti• výpočet staticky neurčitých konstrukcí
Ohybová čáraJe-li nosník dostatečně štíhlý, určuje deformační stav křivka, do níž přejde původně přímá osa nosníku vlivem zatížení.
ba
r
x
l
zq
yϕ
x
wz,
tečna
( )xw
w ... průhyb (kladný směr dolů)r ... poloměr křivosti
yϕ ... pootočení
16 / 35
Ohybová čára
Základní vztahy a předpoklady řešení
ba
r
x
l
zq
yϕ
x
wz,
tečna
( )xw
yϕ [rad] ... směry -+
teorie malých deformací: lw << wxw
yy ′==≈ddtanϕϕ
vztah pro křivost z matematiky: ( )23
21
1
w
wr ′+
′′−=
r ... poloměr křivosti v rovině xzznaménko mínus znamená, že střed křivosti leží nad nosníkem
17 / 35
Poměrné přetvoření za ohybu
xz
xd
A BC E
zA BC ED
ϕd
xdΔxdx′d
r
... poloměr křivostirrz
rz
xx
x ==Δ
=ϕϕε
d.d.
dd
ErzExx .. == εσ
Ex
xσε = →
Dle Hookova zákona
Základní vztahy a předpoklady řešení
Téma č.6
Z toho plyne
y
y
IEM
r .1=→( ) AzM
Axy d.∫= σ
18 / 35
Vztahy mezi statickými a přetvárnými veličinami
Základní vztahy a předpoklady řešení
( )23
21
1
w
wr ′+
′′−=
y
y
IEM
r .1=
Teorie malých deformací: 1<<′w 02 ≅′w→
wr
′′−=1
→y
y
IEM
w.
−=′′ → wIEM yy ′′−= .. Diferenciálnírovnice II.řádu
ba
zq
yϕtečna
( )xw
Diferenciální podmínky rovnováhy přímého nosníku
Ohyb ve svislé rovině xz : zz q
xV
−=d
dz
y Vx
M=
dd
Při ... konst.yIE. →(Schwedlerovy vztahy – Téma č.1)
→
wIEM yy ′′−= ..
wIEV yz ′′′−= ..
IV.. wIEq yz =
wy ′=ϕ
( ) ?=xw
19 / 35
Deformace od změny teploty
dy
dx
( )CT oΔ
dx’
dy’
TTTzTyTx Δ=== .,,, αεεε 0=== zxyzxy γγγ
αt … součinitel tepelné roztažnosti [oC-1]
αt =5.10-6 oC-1Zdivoαt =10.10-6 oC-1Betonαt =3.10-6 oC-1Dřevoαt =12.10-6 oC-1Ocel
Přetvoření nosníků od nerovnoměrného oteplení
Téma č.2
20 / 35
Nerovnoměrné oteplení
Přetvoření nosníků od nerovnoměrného oteplení
x
2h
xd
A B
C E
A B
C ED
ϕd
xd
r
2h
ϕd
2T
1T
TΔ21 TTT −=Δ
sT
2TΔ
−
2TΔ 2
21 TTTs+
=
2h
2.d. TxDE TΔ
=α
rx
ASAB dd ==ϕ
2
2.d.d h
Tx
DBDE T
Δ==α
ϕ
... přírůstek spodních vláken
hT
rw T Δ−=−=′′
.1 αhxT
rx T d..d Δ=α
21 / 35
Přímá integrace diferenciální rovnice ohybové čáry
Metoda přímé integrace diferenciální rovnice ohybové čáry
Staticky určité případy ohýbaných nosníků
yy MwIE −=′′..
1d... CxMwIE yy +−=′ ∫
[ ] 21.d.d... CxCxxMwIE yy ++−= ∫ ∫ 21,CC ... integrační konstanty
Integrační konstanty se určí z deformačních okrajových podmínek
ba a b
0=w 0=w 0,0 =′= ww
0=′w
osa
sym
etrie
22 / 35
Příklad 1
Metoda přímé integrace diferenciální rovnice ohybové čáry
ba
aM
azRbzR
Reakce:
( )↓=l
MR aaz ( )↑=
lMR a
bz
Vnitřní síly:
( ) konst.=−= azLx RV
( ) aa
aazLx Mx
lMMxRM +−=+−= ..
V -
V +
aM
azR−
Řešení:
( ) aa
xy Mxl
MMwIE −=−=′′ ...
xx
l
Zadání: určete rovnici ohybové čáry
2x integrace
23 / 35
Příklad 1 – určení integračních konstant C1 a C2
Metoda přímé integrace diferenciální rovnice ohybové čáry
( ) aa
y Mxl
MxMwIE −=−=′′ ...
1
2
.2
... CxMxl
MwIE aa
y +−=′
21
23
.2
.6
... CxCxMxl
MwIE aa
y ++−=
Okrajové deformační podmínky
( ) 00 ==xw
( ) 0==lxw
00.20.
60... 21
23
=++−= CCMl
MwIE aa
y 02 =C
00.2
.6
... 1
23
=++−= lClMll
MwIE aa
y
3.
1lMC a=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=+−=
61
21..
2.
6.
1 lMlMlMC aaa
→
Integrace
2 neznámé integrační konstanty lze určitz deformačních okrajových podmínek:
→
ba
aM
azRbzR
xx
l
→
24 / 35
Příklad 1 – výsledné rovnice ohybové čáry a pootočení
Metoda přímé integrace diferenciální rovnice ohybové čáry
Výsledné rovnice (po dosazení):
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+−=
3.
26.
..
3.
2.
6..
.1 2323 xlx
lx
IEMxlMxMx
lM
IEw
y
aaa
a
yx
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+−=′
32.
.3..
2..
.1 22 lx
lx
IEMlMxMx
lM
IEw
y
aaa
a
yx
lx ,0∈
Ohybová čára
Pootočení – sklon tečny ohybové čáry
Platí pro:
Závěry:
• Vzrůstající řád polynomůjednotlivých veličin
• Největší průhyb v místě kde jenulová první derivace, tj.pootočení (stejně jakonejvětší M tam, kde V=0)
Inte
grac
eM
Der
ivac
e
1º q=konst.q=0
2º
3º
1º
2º
0º
1º
Polynomstupně
n
n+1
n+2
V
q
4º 3º 2º
5º 4º 3º
ϕ
w
n+3
n+4
25 / 35
Příklad 1 s konkrétními vstupními údaji
Metoda přímé integrace diferenciální rovnice ohybové čáry
ba
aM
azRbzR
xx
l
Rovnice ohybové čáry
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−=
3.
26.
.
23 xlxl
xIE
Mwy
ax
0,00
0
0,01
8
0,03
0
0,03
7
0,03
9
0,03
9
0,03
5 0,02
8 0,02
0 0,01
0 0,00
0
0,00
0,60
1,20
1,80
2,40
3,00
3,60
4,20
4,80
5,40
6,00
Délka nosníku
Průh
yb
Zadání:
m6=l kNm15=aMMPa210000=E
cm5=b
cm10=h
(ocel)
lx ,0∈Graf pro:
Průhyb:
26 / 35
Příklad 1 s konkrétními vstupními údaji
Metoda přímé integrace diferenciální rovnice ohybové čáry
ba
aM
azRbzR
xx
l
Rovnice pro pootočení
Zadání:
m6=l kNm15=aMMPa210000=E
cm5=b
cm10=h
(ocel)
lx ,0∈Graf pro:
Pootočení:
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−=′
32.
.
2 lxl
xIE
Mwy
ax
0,03
4
0,02
5
0,01
6
0,00
8
0,00
1
-0,0
04
-0,0
09
-0,0
15
-0,0
17
-0,0
17
-0,0
13
0,00
0,60
1,20
1,80
2,40
3,00
3,60
4,20
4,80
5,40
6,00
Délka nosníku
Poot
očen
í
Maximální průhyb
27 / 35
Příklad 1 s konkrétními vstupními údaji
Metoda přímé integrace diferenciální rovnice ohybové čáry
ba
aM
azRbzR
xx
l
Určení maximálního průhybu:
0=′w
032
..
2
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
lxl
xIE
M
y
a → 03
.21 2 =+−
lxxl
.1
.2
llx .57735,1.3311 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
llx .422649,0.3312 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
Nereálný kořen (mimo nosník)
( )
y
a
y
a
y
ax
IElM
IElM
xlxl
xIE
Mww
...06415,0
...
273
3.
26.
.22
222
32
max 2
≅=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−==
Po dosazení do rovnice ohybové čáry:
( ) mm59,392max == xww
Kvadratickárovnice (2 kořeny)
Maximální průhyb:
28 / 35
Clebschova metoda určování rovnice ohybové čáry
Clebschova metoda
Rudolf FriedrichAlfred Clebsch
(1833 – 1872)
ba
1
l
x
wz,
2 j 1+j n...
1aja
M F 1q 2q
Při složitějších případech zatížení (nespojitém) nebo při podepřenínosníku mimo jeho konce nelze průběh M vyjádřit jediným výrazem.
Metoda pro určení rovnice ohybové čáry staticky určitých případů ohýbaných nosníkůse složitějším zatížením.
29 / 35
Podstata Clebschova způsobu integrace
Clebschova metoda
ba
1
l
x
wz,
2 j 1+j n...
1aja
M F 1q 2q
• Integrace provádí zvlášť v jednotlivých intervalech
• Počet intervalů: n → počet integračních konstant: n2 ( )njCC jj ..1, 21 =
2 v místě podepření, 2.(n-1) na hranicích intervalů• Okrajové podmínky:
( ) ( )jj ajaj ww 1+=n2 → ( ) ( )jj ajaj ww 1+′=′( ) 00 ==xw ( ) 0==lxw
Celkem tedy:
Analýza:
(podmínky spojitosti)Náročné úlohy, s využitím výpočetní techniky
30 / 35
Zásady při řešení dle Clebschovy metody
Clebschova metoda
ba
l
x
wz,
1a
3a
2F 1q1F
2a
4a
azR
Clebschova metoda výhodná pro ruční výpočet → pouze 2 neznámé
Zásady při řešení dle Clebschovy metody:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
.2
....2
42
32211
axqaxqaxFaxFxRM azx−
+−
−−−−−=1ax > 2ax >
3ax > 4ax >
a) při sestavování M(x) nutno převzít M z předchozího intervalu a doplnit o účinek nového zatížení. Pak lze M(x) vyjádřit jedním aritmetickým výrazem.
využití fiktivního zatížení v posledním členu výrazu
31 / 35
Zásady při řešení dle Clebschovy metody
Clebschova metoda
( ) ( ) ( ) ( )1
34
33
22
2
21
1
2
3.2.
3.2.
2.
2.
2.. CaxqaxqaxFaxFxRwEI azy +
−−
−+
−+
−+−=′
1ax > 2ax > 3ax > 4ax >
b) při integrování neodstraňovat závorky u dvojčlenů (x-aj) a považovat je za samostatnou proměnnou – Clebschův způsob integrace.
( ) ( ) ( ) ( )21
44
43
32
2
31
1
3
.4.6
.4.6
.3.2
.3.2
.3.2
.. CxCaxqaxqaxFaxFxRwEI azy ++−
−−
+−
+−
+−=
1ax > 2ax > 3ax > 4ax >
ba
l
x
wz,
1a
3a
2F 1q1F
2a
4a
azR
32 / 35
Příklad 2
Clebschova metoda
a b
F q
2l
2l
c
x.konst=yEJ
( ) xFM Lx .−=
( ) 22
..
2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−−=
lxqxFM L
x
2lx <
2lx >
( ) 22
..
2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−−=
lxqxFM L
x
2lx >
Ohybový moment:
Clebschův způsob integrace:
1
3
2
62
.
2.. C
lxqxFwEI y +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+=′
2lx >
21
4
3
.24
2.
6.. CxC
lxqxFwEI y ++
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+=
2lx >
( )xMwIE y −=′′..
→
Zadání:
Lze vyjádřit 1 výrazem:
Důležitá volba!
Pouze 2 neznámé
33 / 35
Příklad 2 – určení integračních konstant C1 a C2
Clebschova metoda
ab
F q
2l
2l
c
Z okrajových podmínek:
( ) 0=′ =lxw
( ) 0==lxw
06
2.
2. 1
3
2
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+ C
llqlF
1
3
2
62
.
2.. C
lxqxFwEIy +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+=′
2lx > → → 48
.2. 32
1lqlFC −−=→
21
4
3
.24
2.
6.. CxC
lxqxFwEI y ++
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+=
2lx > → 0.
242
.
6. 21
4
3
=++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+ ClC
llqlF →
48.
384.
2.
6.
4433
2lqlqlFlFC +−+−=→ →
384..7
3. 43
2lqlFC +=
34 / 35
Příklad 2 – výsledky
Clebschova metoda
ab
F q
2l
2l
c
Výsledné tvary rovnic:
48.
2.
62
.
2..
32
3
2 lqlFlxq
xFwEIy −−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+=′
2lx >
384..7
3.
48..
2..
242
.
6..
4332
4
3 lqlFxlqxlFlxq
xFwEI y ++−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+=
2lx >
Maximální průhyb:
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+== = 384
..73..1 43
0maxlqlF
EIww
yx
-0,0
81
-0,0
80
-0,0
78
-0,0
74
-0,0
69
-0,0
62
-0,0
53 -0,0
31 -0,0
17 0,00
0
-0,0
43
0,00
0,30
0,60
0,90
1,20
1,50
1,80
2,10
2,40
2,70
3,00
0,16
4 0,14
0 0,11
6 0,09
4 0,07
2 0,05
3
0,03
5
0,02
1
0,01
0
0,00
3
0,00
0
0,00
0,30
0,60
0,90
1,20
1,50
1,80
2,10
2,40
2,70
3,00
Ohybová čára
Pootočení
35 / 35
Okruhy problémů k ústní části zkoušky
1. Schwedlerovy vztahy, diferenciální rovnice ohybové čáry
2. Nerovnoměrné oteplení nosníků3. Metoda přímé integrace diferenciální rovnice
ohybové čáry staticky určitých nosníků4. Clebschova metoda určování rovnice ohybové
čáry staticky určitých nosníků
Podklady ke zkoušce