Pružnost a plasticita

Ing. Lenka Lausová, Ph.D.

Katedra stavební mechaniky (228)

místnost: LPH 407/1

http://fast10.vsb.cz/lausova

Úvod do pružnosti a plasticity

Téma 1

Úvod opakování Základů stavební mechaniky

Určení reakcí a vnitřních sil vybraných staticky a kinematicky určitých konstrukcí

Vnitřní síly přímého prutu

Vnější zatížení a reakce jsou vnější síly.

Jejich působením vznikají uvnitř nosníku (prutu) vnitřní síly.

Jinými slovy: Účinek vnějších sil se přenáší po celém prutu pomocí vnitřních sil tak, aby nejen

celý prut, ale také každá jeho dílčí část byly v rovnováze.

Obecnou výslednici vnitřních sil rozkládáme na tři složky:

v ose prutu - normálová síla N [kN]

kolmo na osu prutu - posouvající síla V [kN]

ohybový moment M [kNm]

Rozdíl mezi statickým momentem a ohybovým momentem:

Statický moment M [kNm] vnější síla (moment), má otáčivý účinek (má tendenci otáčet celým prutem)

Ohybový moment M [kNm] vnitřní síla (moment), má deformační účinky (ohýbá prut)

+↺

Vnitřní síly je možné počítat zleva nebo zprava (z kratší nebo jednodušší strany) a vynášíme graficky pod

schéma nosníku

Složitější nebo důležité hodnoty počítáme vedle obrázku

Obvykle N síly a V síly stačí graficky, M - ohybové momenty uvádíme početně a graficky

2

b

Rbz

a

Raz

F=10kN

2 3

7

kNFRaz 10

kNFRbz 10

F=10kN

-

+

+

10

10

20

Rax

20

0axR

=0

c d

1°

0°

0°

1°

caV

cbV

dcV

dbV

Příklad 1

N[kN]

V

[kN]

M

[kNm]

0°

:0, xiF

:0, ziF

Podmínky rovnováhy

:0, aiM

:0, biM

Kontrola:

Rax = 0

- F . 2 - F . 5 + Rbz .7 = 0

- F . 2 - F . 5 + Raz .7 = 0

-Raz - Rbz + F + F = 0

Reakce:

b

Rbz

a

Raz

M=8 kNm

3 1

4

kNl

MRaz 2

kNl

MRbz 2

+

2

kNm 6caM

kNm 2cbM

+

-

0 0

0axR

Rax

=0

c

1°

0°

1°

Příklad 2

N[kN]

V

[kN]

M

[kNm]

2

:0, xiF

:0, ziF

:0, aiM

:0, biM

Kontrola:

Rax = 0

M - Raz .10 = 0

M - Rbz .10 = 0

- Raz + Rbz = 0

Podmínky rovnováhy

Reakce:

6

Rbx =0

Rbz =2 kNRaz=2 kN

a b

M=12kNm

2

12

-

=0

1°

0°

Příklad 3

N

[kN]

V

[kN]

M

[kNm]

+

kNl

MRaz 2

kNl

MRbz 2

0axR

:0, xiF

:0, ziF

:0, aiM

:0, biM

Kontrola:

Rbx = 0

-M + Raz .10 = 0

- M + Rbz .10 = 0

Raz - Rbz = 0

Podmínky rovnováhy

Reakce:

MM L

x

a

l

b

MbM=6kNm

- Ohybové momenty

0 bxbz RR

MMM xa 0

MMM lxb

MMb

-6

0

0

0°

Příklad 4

N

[kN]

V

[kN]

M

[kNm]

Podmínky rovnováhy

Reakce:

:0, xiF

:0, ziF

-Mb + M = 0:0, biM

ba

M=10kNm

2 2

c

F=10kN

2d

a=60°

-

5

-

+

Příklad 5

N

[kN]

V

[kN]

M

[kNm]

Rax=5

Rbz =1,83Raz =10,49

66,8

83,1o0

o0

-

o1

o1o1

66,3

66,1332,17

Fz =8,66 kN

Fx=5 kN

𝑀𝑐 = 𝑀𝑏 = 0kN

𝑀𝑎𝐿 = −𝐹𝑧 ∙ 2 = −17,32 kNm

𝑀𝑑𝑎𝐿 = −𝐹𝑧 ∙ 4 + 𝑅𝑎𝑧 ∙ 2 = −13,66 kNm

𝑀𝑑𝑏𝐿 = −𝐹𝑧 ∙ 4 + 𝑅𝑎𝑧 ∙ 2 + 𝑀

𝑀𝑑𝑏𝐿 = 𝑀𝑑𝑎 +𝑀 = −3,66 kNm

Výpočet zprava:

𝑀𝑎𝑃 = −𝑅𝑏𝑧 ∙ 4 − 𝑀 = −17,32 kNm

𝑀𝑑𝑎𝑃 = −𝑅𝑏𝑧 ∙ 2 − 𝑀

𝑀𝑑𝑏𝑃 = −𝑅𝑏𝑧 ∙ 2 = −3,66 kNm

𝑀𝑑𝑎𝑃 = 𝑀𝑑𝑏 −𝑀 = −13,66 kNm

:0, xiF

:0, ziF

:0, aiM

:0, biM

Kontrola:

- Rax +Fx = 0

Fz . 2 – M - Rbz .4 = 0

Fz . 6 - M - Raz .4 = 0

-Raz + Rbz = 0

Reakce:

Ohybové momenty M [kNm]:

Rovnoměrné spojité zatížení = konstantní spojité zatížení

Matematické vyjádření:

Ohybový moment M [kNm]: je „integrace“ posouvající síly → průběh M na úseku pod q je polynom 2°.Vliv části spojitého zatížení q na velikost M pod tímto zatížením:

Výpočet zleva i zprava:

Vnitřní síly přímého prutu zatíženého rovnoměrným spojitým zatížením

Řešení vnitřních sil založeno na stejném principu jako u bodového zatížení:rozdíl pouze u výpočtu vnitřních sil na úseku, kde působí spojité zatížení (tzv. pod spojitým zatížením).

𝑞 𝑥 = 𝑞 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. kN/m ,

Posouvající síla V [kN]: je „integrace“ spojitého zatížení → průběh V síly na úseku pod q je polynom 1°.Výpočet V síly pod spojitým zatížením ve vzdálenosti x od počátku působení zatížení:

Výpočet zleva:

Výpočet zprava: znaménka jsou v souladu se znaménkovou konvencí pro V síly

𝑉 𝑥 = −𝑞 ∙ 𝑥

𝑉 𝑥 = +𝑞 ∙ 𝑥

Schwedlerovy vztahy (integračně-derivační schéma):

𝑀 𝑥 = −𝑞 ∙𝑥2

2

Platí i obráceně: Posouvající síla je „derivace“ ohybového momentu → v místě, kde hodnota V=0, je nejen extrém M ale současně vrchol jeho parabolického průběhu → parabola tam má vodorovnou tečnu.

průběh q je polynom 0°.

𝑞 𝑥 = 𝑞 (0°)

𝑉 𝑥 = ∓ 𝑞 ∙ 𝑥 (1°)

𝑀 𝑥 = −𝑞 ∙𝑥2

2(2°)in

teg

race

𝑥

q.x

𝑥𝑀 𝑥 = −𝑞. 𝑥 ∙

𝑥

2= −𝑞 ∙

𝑥2

2

𝑉 𝑥 = −𝑞. 𝑥

𝑥

2

de

riva

ce

𝑞

3

a b

Rax= 0

Raz =7,35 Rbz =13,65

q = 3kN/m

c

7

7,35

-13,65

1°

V

[kN]

0°

n

xnL xn

P

x

n

xnL xn

P

x

Poloha nebezpečného průřezu xn:

𝑥𝑛𝐿 =

𝑉𝑐𝑞=7,35

𝑞= 2,45 m

𝑥𝑛𝑃 =

𝑉𝑏𝑞

=13,65

𝑞= 4,55 m

4,35

2,45 = =4,55

1° 2°

22,05

M

[kNm] Mn

Ohybové momenty M [kNm]:

𝑀𝑎 = 𝑀𝑏 = 0

𝑀𝑐𝐿 = 𝑅𝑎𝑧 ∙ 3 = 22,05 kNm

𝑀𝑐𝑃 = 𝑅𝑏𝑧 ∙ 7 − 𝑄 ∙ 3,5 = 22,05 kNm

:0, xiF

:0, ziF

:0, aiM

:0, biM

Kontrola:

Rax = 0

- Q . (3+3,5) + Rbz .10= 0

-Raz - Rbz + Q = 0

Reakce:

Q . (3,5) - Raz .10= 0

Q = 3 . 7 = 21 kN

𝑀𝑛𝑃 = 𝑅𝑏𝑧 ∙ 𝑥𝑛

𝑝−𝑞 ∙ (𝑥𝑛

𝑝)2

6 ∙ 𝑙

Příklad 6

Ohybové momenty M [kNm]

𝑀𝑎 =0

𝑀𝑐𝐿 = −𝑄 ∙ 3 = −36 kNm

Rbx = 5kN

a

Rbz =12kN

Mb = 72kNm

b

9

6 3

q = 2 kN/m

Q = 12 kN

cdF=5kN

5N

[kN]

𝑀𝑏,𝑜ℎ𝑦𝑏.𝑚𝑜𝑚. = −𝑀𝑏,𝑟𝑒𝑎𝑘𝑐𝑒 = −72 kNm

1°-6

V

[kN]

𝑀𝑐𝑃 = −𝑀𝑏 + 𝑅𝑎𝑧 ∙ 3 = −72 + 12 ∙ 3 = −36 kNm

Výpočet ohybového momentu pod q zleva :

3

-120°

2°

1°-72

-36-9

M

vodorovná tečna Tečna k parabole

plynulé pokračování lineárního průběhu

[kNm]

Průběh M na úseku pod q (mezi body a-c) je parabola 2°. Vrchol paraboly (vodorovná tečna) je tam, kde V=0 (bod a), tím získáme tvar paraboly.V bodě c končí spojité zatížení, úsek mezi body c-b nezatížen, proto zde průběh M lineární (1°). Přechod je plynulý. Pomyslné pokračování lineárního průběhu je tečna k parabole v místě přechodu (tady bod c).

𝑀 𝑥𝐿 = −𝑞 ∙

𝑥2

2𝑀𝑑

𝐿 = −𝑞 ∙32

2= −9 kNm

Výpočet ohybového momentu pod q zprava :

𝑀 𝑥𝑃 = −𝑀𝑏 + 𝑅𝑏𝑧 ∙ 3 + 𝑥 − 𝑞 ∙

𝑥2

2

𝑀𝑑𝐿 = −72 + 12 ∙ 3 + 3 − 𝑞 ∙

32

2= −9 kNm

Příklad 7 Reakce: :0, xiF :0, ziF :0, biM

8 2

10

a b

Rbz =15

q = 2,4 kN/m

4 1Q1 Q2

Rax= 0

Raz= 9

N

[kN]

= 0

n

9

-10,2

4,8

xnPxn

L

1°

V

[kN]

1°

Ohybové momenty

2°

- 4,82°

M

- 1,2

[kNm]

𝑀𝑎 = 𝑀𝑐 =0

𝑀𝑏𝐿 = 𝑅𝑎𝑧 ∙ 8 − 𝑄1 ∙ 4 = −4,8 kNm

𝑀𝑏𝑃 = −𝑄2 ∙ 1 = −4,8 kNm

2,4

16,875 kNm

𝑀𝑛𝐿 = 𝑅𝑎𝑧 ∙ 𝑥𝑛

𝐿 − 𝑞 ∙𝑥𝑛𝐿 2

2= 16,875 kNm

𝑀𝑛𝑃 = −𝑄2 ∙ 1 + 𝑥𝑛

𝑃 +𝑅𝑏𝑧∙ 𝑥𝑛𝑃 − 𝑞 ∙

𝑥𝑛𝑃 2

2

𝑀𝑛 = 16,875 kNm

𝑀𝑑𝑃 = −𝑞 ∙

𝑥2

2

𝑀𝑑𝑃 = −𝑞 ∙

12

2= −1,2 kNm

(v polovině převislého konce)

c

𝑀𝑛𝑃 = +𝑅𝑏𝑧 ∙ 𝑥𝑛

𝑃 − 𝑞 ∙𝑥𝑛𝑃 + 2 2

2nebo:

d

Poloha nebezpečného průřezu:

𝑥𝑛𝐿 =

𝑉𝑎𝑞=9

𝑞= 3,75 m

𝑥𝑛𝑃 =

𝑉𝑏𝑎𝑞

=10,2

𝑞= 4,25 m

Příklad 8 Reakce: :0, xiF

:0, ziF

:0, biM:0, aiM

Kontrola:

+

6 2

3

a b

Rbz=8,589

q = 2 kN/mQ2= 4 kN

cRbx=2

Raz= 4,875

d

60°

Px= 2

Pz= 3,464 kN

1

3

N

[kN]

e

-2

-4,589

-

+

--3,464

1,411

n

4,0

a bc edV

[kN]

xnPxn

L

f

1°1°

+2°

2°

na bc e

d

Mn

-3,464

0,77

-4,0

- -

Ohybové momenty M [kNm]

𝑀𝑎𝐿 = −𝑃𝑧 ∙ 1 = −3,464 kNm

𝑀𝑑𝐿 = −𝑃𝑧 ∙ 4 + 𝑅𝑎𝑧 ∙ 3 = 0,77 kNm

M

[kNm]

𝑀𝑏𝑃 = −𝑄2 ∙ 1 = −4 kNm

1°0°

0°

1°

Poloha nebezpečného průřezu:

𝑥𝑛𝐿 =

𝑉𝑑𝑞=1,411

𝑞= 0,705 m

𝑥𝑛𝑃 =

𝑉𝑏𝑑𝑞

=4,589

𝑞= 2,295 m

Q1 = 3[m] . 2[kN/m] = 6 kNQ2 = 2[m] . 2[kN/m] = 4 kNPx = P . cos60° = 2 kNPz = P . sin60° = 3,464 kN

𝑀 𝑥 = −𝑃𝑧 ∙ 4 + 𝑥 + 𝑅𝑎𝑧 ∙ 3 + 𝑥 − 𝑞 ∙𝑥2

2

𝑀𝑛 = −𝑃𝑧 ∙ 4 + 𝑥𝑛𝐿 + 𝑅𝑎𝑧 ∙ 3 + 𝑥𝑛

𝐿 − 𝑞 ∙𝑥𝑛𝐿 2

2

𝑀𝑛 = 1,267 kNm

Příklad 9

Reakce: :0, xiF

:0, ziF

:0, biM:0, aiM

Kontrola:

Q1= 6 kN

Rovnoměrné spojité zatížení = konstantní spojité zatížení (opakování)

Matematické vyjádření:

Vnitřní síly přímého prutu zatíženého spojitým zatížením

𝒒 𝒙 = 𝒒 = 𝒌𝒐𝒏𝒔𝒕. 𝐤𝐍/𝐦 ,

Schwedlerovy vztahy (integračně-derivační schéma):

průběh q je polynom 0°

𝑞 𝑥 = 𝑞 (0°)

𝑉 𝑥 = ∓ 𝑞 ∙ 𝑥 (1°)

𝑀 𝑥 = −𝑞∙𝑥2

2(2°)in

teg

race

𝑥

q.x

𝑥𝑀 𝑥 = −𝑞. 𝑥 ∙

𝑥

2= −

𝑞 ∙ 𝑥2

2

𝑉 𝑥 = −𝑞. 𝑥

𝑥

2

de

riva

ce

𝑞

Trojúhelníkové spojité zatížení = spojité zatížení s lineárním průběhem hodnot q

Matematické vyjádření: 𝒒 𝒙 = 𝒒 ∙𝒙

𝒍𝐤𝐍/𝐦 𝐩𝐨𝐥𝐲𝐧𝐨𝐦 𝟏°

𝒒(𝒙)𝒒

𝒍𝑥

𝑉 𝑥 = ∓𝑞 ∙ 𝑥2

2 ∙ 𝑙(2°)

inte

gra

ce

de

riva

ce

𝑀(𝑥) = −𝑞 ∙ 𝑥3

6 ∙ 𝑙(3°)

𝑞 𝑥 =𝑞 ∙ 𝑥

𝑙(1°)

𝑥

𝑥

3෩𝑸 =

𝟏

𝟐𝒒(𝒙) ∙ 𝒙

𝑉 𝑥 = ∓1

2· 𝑞(𝑥) ∙ 𝑥 = ∓

𝑞 ∙ 𝑥2

2 ∙ 𝑙

𝑀 𝑥 = −1

2𝑞(𝑥) ∙ 𝑥 ∙

𝑥

3=

= −1

2𝑞 ∙

𝑥

𝑙∙ 𝑥 ∙

𝑥

3= −

𝑞∙𝑥3

6∙𝑙

𝑥𝑛 =2 ∙ 𝑉 ∙ 𝑙

𝑞

𝑥𝑛 =𝑉

𝑞

𝑉𝑛 = 𝑉(𝑞=0) ∓𝑞 ∙ 𝑥𝑛

2

2 𝑙= 0 ⇒

𝑉𝑛 = 𝑉 ∓ 𝑞 ∙ 𝑥𝑛 = 0 ⇒

• l je délka trojúhelníku

• V síla ve špici

trojúhelníka (q=0)

Červeně označené vztahy umět nazpaměť

q=0

Ohybový moment M [kNm]: je „integrace“ posouvající síly → průběh M na úseku pod q je polynom 3°.Vliv části spojitého zatížení q na velikost M pod tímto zatížením:

Výpočet zleva (špička vlevo) i zprava (špička vpravo):

Vnitřní síly přímého prutu zatíženého trojúhelníkovým spojitým zatížením

Trojúhelníkové spojité zatížení = spojité zatížení s lineárním průběhem hodnot q

Matematické vyjádření:

Řešení vnitřních sil založeno na stejném principu jako u rovnoměrného spojitého zatížení:rozdíl pouze u výpočtu vnitřních sil na úseku, kde působí trojúhelníkové spojité zatížení (tzv. pod spoj. zatížením).

𝑞 𝑥 = 𝑞 ∙𝑥

𝑙kN/m 𝑝𝑜𝑙𝑦𝑛𝑜𝑚 1°

Posouvající síla V [kN]: je „integrace“ spojitého zatížení → průběh V síly na úseku pod q je polynom 2°.Vliv části spojitého zatížení q na velikost V síly pod tímto zatížením:

Ze Schwedlerových vztahů vyplývá (integračně derivační schéma):

𝑀 𝑥 = −𝑞 ∙ 𝑥3

6 𝑙

Platí i obráceně: Posouvající síla je „derivace“ ohybového momentu → v místě, kde hodnota V = 0, je nejen extrém M ale současně vrchol jeho parabolického průběhu → parabola tam má vodorovnou tečnu.

𝑞𝑥 𝑞

𝑙𝑥

Vztah pro qx je odvozen z podobnosti trojúhelníku a platí pouze pro řešení ze strany, kde je q = 0, tedy od špičky trojúhelníku,

proto veškeré výpočty vnitřních sil pod trojúhelníkovým zatížením je nutné počítat pouze z jedné strany:od „špičky trojúhelníku“

Spojité zatížení je „derivace“ posouvající síly → v místě, kde hodnota q = 0, má parabola průběhu V sil vodorovnou tečnu.

znaménka jsou v souladu se znaménkovou konvencí pro V síly, tzn:špička vlevo, výpočet zleva, znaménko -špička vpravo, výpočet zprava, znaménko + 𝑉 𝑥 = ±

𝑞 ∙ 𝑥2

2 𝑙

Ohybové momenty M [kNm]:

𝑀𝑎 = 𝑀𝑏 = 0

𝑀𝑐𝐿 = 𝑅𝑎𝑧 ∙ 3 = 14,7 kNm

Výpočet zleva:

𝑀𝑐𝑃 = 𝑅𝑏𝑧 ∙ 7 − 𝑄 ∙ 2, 33 = 14,7 kNm

Výpočet zprava:

1° 3°14,7

M

[kNm]Mn

3

a b

Rax= 0

Raz =4,9 Rbz =5,6

q = 3kN/m

c

7

Q =10,5 kN

4,9

-5,62°

V

[kN]

0°

n

xn

n

= 0

[kN]

N

x2 =d

= 5,112

1°

4, 662, 33

0 0

Hodnotu V síly a M ohybového momentu pod spojitým

zatížením je nutné počítat od špičky trojúhelníka (v

tomto případě zprava)

• l je délka trojúhelníku

• V je posouvající síla ve špici trojúhelníkového

zatížení, tady v podpoře b

Poloha nebezpečného průřezu xn:

𝑥𝑛 =2 · 𝑉 ∙ 𝑙

𝑞=

2 ∙ 5,6 ∙ 7

3= 5,112 m

𝑀𝑛𝑃 = 𝑅𝑏𝑧 ∙ 5,112 −

3 ∙ 5,1123

6 ∙ 7= 19,1 kNm

Příklad 10: Reakce: :0, xiF

:0, ziF

:0, biM:0, aiM

Kontrola:

Ohybové momenty

𝑀𝑛 = −𝑃𝑧 ∙ 4 + 𝑥𝑛 + 𝑅𝑎𝑧 ∙ 3 + 𝑥𝑛 −𝑞 ∙ 𝑥𝑛

3

6 𝑙

𝑀𝑛 = −1,93 kNm

N

[kN] -2

1°1°

-

3°2°

a bc ed

-1,93

-3,464

-2,231-4,0

- -M

[kNm]

+

-

+

-

-3,464

0,411

n

a bc edV

[kN]

xn

2°

0°

0°

1°

Vodor. tečna

6 2

3

a bcRbx=2dPx= 2

Pz= 3,464 kN

1

3

e

q = 2 kN/m1°

x

Rbz =6,589Raz= 3,875

𝑀𝑓 = −2 ∙ 12

2= −1,0 kNm

f

-1,0

-2,589

Q1 = 2.3/2 = 3 kNQ2 = 2.2 = 4 kNPx = P . cos60° = 2 kNPz = P . sin60° = 3,464 kN

𝑀𝑎𝐿 = −𝑃𝑧 ∙ 1 = −3,464 kNm

𝑀𝑑𝐿 = −𝑃𝑧 ∙ 4 + 𝑅𝑎𝑧 ∙ 3 = −2,231 kNm

𝑀𝑏𝑃 = −𝑄2 ∙ 1 = −4 kNm

𝑀𝑐 = 𝑀𝑒 =0

𝑥𝑛 =2 · 𝑉𝑑 ∙ 𝑙

𝑞=

2 ∙ 0,411 ∙ 3

2= 1,11 m

Příklad 11

Reakce: :0, xiF

:0, ziF

:0, biM:0, aiM

Kontrola:

𝑀𝑎 =0

𝑀𝑐𝐿 = −𝑄 ∙ 4 = −24 kNm

Rbx = 5kN

a

Rbz =6kN

Mb = 42kNm

b

9

6 3

cdF=5kN

5N

[kN]

𝑀𝑏,𝑜ℎ𝑦𝑏.𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡 = −𝑀𝑏,𝑟𝑒𝑎𝑘𝑐𝑒 = −42 kNm

V

[kN]

𝑀𝑐𝑃 = −𝑀𝑏 + 𝑅𝑏𝑧 ∙ 3 = −42 + 6 ∙ 3 = −24 kNm

3°

1°-42

-24-7,5

M

vodorovná tečna

[kNm]

Průběh M na úseku pod q (mezi body a-c) je parabola 3°. Vrchol paraboly (vodorovná tečna) je tam, kde V=0 (bod a), tím získáme tvar paraboly.V bodě c končí spojité zatížení, úsek mezi body c-b nezatížen, proto zde průběh M lineární (1°). Přechod je plynulý. Pomyslné pokračování lineárního průběhu je tečna k parabole v místě přechodu (tady bod c).

𝑀 𝑥𝑃 = −𝑀𝑏 + 𝑅𝑏𝑧 ∙ 3 + 𝑥 −

𝑞 ∙ 𝑥3

6 𝑙

𝑀𝑑𝑃 = −42 + 6 ∙ 3 + 3 −

2 ∙ 33

6 ∙ 6= −7,5 kNm

q = 2 kN/m

Q = 6 kN

3

2 4

2°-4,5 -60°-6

pro bod d je x=3

x1°

Ohybové momenty M [kNm]:

x

0

𝑉𝑑𝑃 = 𝑉𝑐 +

𝑞 ∙ 𝑥2

2 𝑙= −6 +

𝑞 ∙ 32

2 ∙ 6= −4,5 kN

Výpočet V a M pod spojitým zatížením zprava

Posouvající síla:

Příklad 12Reakce: :0, xiF :0, ziF :0, biM

vodorovná tečna

Trojúhelník zrcadlově otočenvnitřní síly pod q nutno řešit zleva

𝑀𝑐𝐿 = −𝑄 ∙ 2 = −12 kNm

Rbx = 5kN

a

Rbz =6kN

Mb = 30kNm

b

9

6 3

cdF=5kN

5N

[kN]

V

[kN]

3°

1°-30

-12-1,5

M

Tečna k parabole, plynulé pokračování lineárního průběhu

[kNm] 𝑀 𝑥𝐿 = −

𝑞 ∙ 𝑥3

6 𝑙

𝑀𝑑 = −𝑞 ∙ 𝑥3

6 𝑙= −

2 ∙ 33

6 ∙ 6= −1,5 kNm

q = 2 kN/m

Q = 6 kN

3

4 2

2°-1,5

-60°-6

x

Posouvající síla:Vodorovná tečna k parabole V síly je v místě, kde q = 0, tady v bodě a.

𝑉 𝑥𝐿 = −

𝑞 ∙ 𝑥2

2 𝑙

𝑉𝑑 = −𝑞 ∙ 𝑥2

2 𝑙= −

2 ∙ 32

2 ∙ 6= −1,5 kN

Ohybový moment:Vodorovná tečna k parabole M je v místě, kde q = 0, tady opět v bodě a.

vodorovná

tečna

1°

Příklad 13 Reakce: :0, xiF :0, ziF :0, biM