PRUŽNOST A PLASTICITA

Ing. Lenka LausováLPH 407/1

tel. 59 732 1326

lenka.lausova@vsb.cz

http://fast10.vsb.cz/lausova

Povinná literatura

http://mi21.vsb.cz/modul/pruznost-plasticita

Doporučená literatura

Benda: Stavební statika I.,VŠB-TU Ostrava 2005

Šmířák:Pružnost a plasticita I., VUT Brno 1999

Šmířák, Hlavinková: Pružnost a plasticita I, Příklady, VUT Brno 2000

Podmínky zápočtu: - Stavební statika- aktivní účast- znalosti (body)

Základní typy namáhání

1. Osové namáhání 2. Ohyb 3. Kroucení 4. Smyk

ba

F

+

Normálová síla N ≠ 0

ba-

tah

tlak

FRax

Rax

NN

NN

pro průřez platí: N ≡≡≡≡ Nx

1. Osové namáhání 2. Ohyb 3. Kroucení 4. Smyk

Ohybový moment My , Mz ≠ 0

b

Rbz

a

Raz

FM M

b

Rbz

a

Raz FM M

tah

tah

tlak

tlak

-

+

Základní typy namáhání

pro rovinu xz platí: M ≡≡≡≡ My

1. Osové namáhání 2. Ohyb 3. Kroucení 4. Smyk

Kroutící (torzní)

moment T ≠ 0

+y

+z+x

1

2 3

F1

F2

F3

Vnitřní síly na prutu 2 od vnějšího zatížení:

F1: N, Mz

F2: Vy, Mz

F3: Vz, Mx, My

nv = 6 Např. prostorově lomený nosník

Základní typy namáhání

Při kroucení platí: T ≈ Mx

1. Osové namáhání 2. Ohyb 3. Kroucení 4. Smyk

Posouvající síla Vy , Vz ≠ 0

ba

VV

RbzRaz

F

VV-+

Základní typy namáhání

pro rovinu xz platí: V ≡≡≡≡ Vz

Název Vnitřní síla Napětí

(intenzita vnitřních sil)

Osové namáhání

(tah, prostý tlak)N σx

Ohyb My σx

Smyk Vz τxy, τxz

KrouceníT

(někdy také značení Mx)τ

Základní typy namáhání v rovině xz:

Výchozí předpoklady klasické lineární pružnosti:

Kapitola 1.2. skript včetně poznámek

Tyto předpoklady jsou velmi hrubým obrazem objektivní skutečnosti,

umožňují ale uplatnění některých zásadních matematicko-fyzikálních

principů ve výpočtech jako např. principu superpozice (skládání

účinků), který je založen na linearitě všech matematických závislostí.

Základní zákony statiky

1) Princip akce a reakce: Každá akce vyvolává

reakci stejně velikou, ale opačného smyslu. Tlačí-li těleso tíhy G na podložku (základ), musí tato působit na těleso

stejně velikou, ale opačného smyslu.

2) Princip superpozice (skládání) účinků (platí pouze v

lineární oblasti): Rozdělíme-li obecnou soustavu sil

působící na těleso do dílčích silových soustav (dále jen SS) 1, 2, ... n , od každé stanovíme účinky R1, R2, ... Rn , pak

výsledný účinek obdržíme vektorovým součtem účinků od

jednotlivých dílčích SS.

3) Princip úměrnosti: Působí-li na těleso SS F1 , F2 , ... , Fn

vyvolávající výsledný účinek R , potom SS k.F1 , k.F2 , ... ,

k.Fn vyvolává výsledný účinek k.R pro k = konst.

Princip superpozice a úměrnosti - zopakovat

Issac Newton(1642 - 1727)

Složené typy namáhání

Základní typy namáhání:a) prosté (osové, ohyb, kroucení, smyk)

b) složené

Kombinace základních případů namáhání:

• prostorový (obecný) ohyb

• excentrický tah a tlak

(kombinace ohybu s tahem nebo tlakem)

• kroucení s tahem nebo tlakem a s ohybem

Díky principu superpozice, který platí v lineárněpružném oboru, pak lze řešit složené případy

namáhání rozkladem na základní stavy a výsledné

účinky složit – superponovat.

Schwedlerovy vztahy

Teorie vychází ze Schwedlerových vztahů, zopakovat ze stavební statiky,nebo kapitola 1.3.2 ve skriptech:

Saint - Venantův princip lokálního účinku

F

F oblast poruchy

neovlivněná část

F

q

oblast blízkého okolí

Usnadňuje řešení napjatosti

těles.

• Rovnovážná soustava ovlivní stavnapjatosti jen v blízkém okolí

• Ve vzdálenějších bodech má zanedbatelnéúčinky

Používá se:

a) ke zjednodušení povrchového zatíženíjeho náhradou - staticky ekvivalentním, pro

výpočet výhodnějším zatížením

(spojité zatížení na malé ploše lze nahradit osamělým břemenem)

Jean Claude Saint-Venant(1797-1886)

F

Po provedení výpočtu, zejména jsou-li vyčíslena i napětí v

průřezech, je nutno provést korekce napětí s ohledem na provedenéidealizace.

b) skutečné rozměry prutu můžeme idealizovat do střednice.

(síla působí na střednici prutu nikoliv na horní nebo spodní líc)

Raz Rbz

F

Raz Rbz

oblast blízkého okolí, nutno provést korekci

Saint - Venantův princip lokálního účinku

Materiál

Lineárně pružný materiál – Hookeův zákon – dnešní hodina

Nepružný materiál – Plasticita – částečně dnešní hodina

Zatížení

Vnější silové zatížení – částečně dnešní hodina

Zatížení teplotou – dnešní hodina

Základní pojmy předmětu Pružnost a plasticita

Napětí (míra intenzity vnitřních sil) – dnešní hodina

Deformace – dnešní hodina

Stabilita (štíhlé tlačené pruty – kapitola 9. skript)

Popuštění podpor (předmět SSKI)

Napětí: vektor, charakterizovaný svými složkami.

Rozměr napětí:

Měrná jednotka: Pascal ... [Pa]

2m

NPa =

22

6

mm

N

m

MNPa10MPa ===

2

3

m

kNPa10kPa ==

Důležité!!!

Vnitřní síly, napětí

Indexy napětí

Znaménková konvence:Pravidlo pravé ruky

Konvence dle Stavební statiky

Stav napjatosti tělesa

Znaménková konvence,

indexy u napětí

Stav napjatosti tělesa

Vzájemnost smykových napětí Deformace a posuny v tělese

Poměrné deformace (přetvoření)

Posuny (přemístění) konkrétních bodů zkoumaného tělesa

Poměrné deformace (přetvoření)Délkové poměrné deformace

Poměrné deformace (přetvoření)

Úhlové poměrné deformace

Posuny (přemístění) konkrétních bodů zkoumaného tělesa Geometrické rovnice

Popisují vztahy mezi

složkami poměrných deformací tělesa a

složkami posunůlibovolných bodův tomto tělese.

Fyzikální rovnice

Popisují vztahy mezi

napětími a deformacemi.(Hookeův zákon)

Vysvětlíme na osově

namáhaném prutu.

1. Vnější zatížení Osa x vždy osa prutu – pozor u sloupu!!!

R

+N

Vnější osové zatížení F → vnitřní síla N →normálové napětí σx

(intenzita vnitřních sil)[MPa]

Tah, tlak – pozor jednotky!!! (řády)

x

lF

Př.: Jak velké napětí vznikne, je-li N=10kN a A=10cm2?

a) Napětí taženého (tlačeného) prutu

Zatížení osově namáhaného prutu – napětí a deformace

b) deformace taženého (tlačeného) prutu(geometrické rovnice) naučit kap.1.3 učebnice

rozměrové změny:

l

lx

∆ε =

xzy υεεε −==

deformace podélná(bezrozměrná veličina)

deformace příčná

b´ = b+∆b

h´ = h+∆h

b

by

∆ε =

h

hz

∆ε =

l´= l + ∆l

50,≤≤≤≤ν

Poissonův součinitel příčné deformace

(jedna ze tří materiálových konstant)Kruhový průřez průměr d?

x

F

l ∆l

z

b

h

b´

h´y

Materiál - Pracovní diagramy oceli a betonu vyjadřují vztah napětí – deformace: kapitola 2.2 skript nebo Stavební hmoty

Plasticita: schopnost materiálu deformovat se trvale bez porušení.

Tažnost: plastické protažení přetržené tyče (vzdálenost /OT/), ocel 15%.

Pružná oblast

Pracovní diagram ideálně pružno-plastického materiálu

++++ε = ε = ε = ε = ∆l/l

++++σσσσ

fy

fy

mez kluzu

εelast. εplast.

Pružno-plastická oblastPružno-plastická oblast

TAH

TLAKεel.= σB/E

Y A=C

BσB

εplast.

εB,celk.

Y

F → N → σσσσ

xl

∆l

Odvození pro tah a prostý tlak σσσσ - normálové napětí

εεεε - poměrná podélná deformace

−−−−σσσσ

−−−−εεεε

Oblast platnosti

Hookeova zákona

Lineárně pružný materiál - Hookův zákon v tahu

TAH

αααα = arctg Eσσσσx ... normálové napětí [Pa]

εεεεx ... poměrné deformace (prodloužení,zkrácení)[-]

E ... Youngův modul pružnosti v tahu a tlaku [Pa]

(druhá ze tří materiálových konstant)

Hookeův zákon - fyzikální vztahy mezi napětími a deformacemi, závisí na fyzikálních a mechanických vlastnostech materiálu, platí pouze v lineární oblasti

Y

++++σ σ σ σ =Ν/Α=Ν/Α=Ν/Α=Ν/Α

fy

mez kluzu

εelast.

Pružná oblast

Oblast platnosti

Hookeova zákona

A

Nx =σ

EA

Nll =∆

l

lx

∆ε =

do Hookeova zákona dosadit:

E.xx ε=σ

ε

σσσσ

εεεε = ∆l/l

E==ε

σϕtan

Odvození pro tah a prostý tlak

Hookeův zákon

jiné zněníHookeova zákona

αααα = arctan G

ττττxz ... smykové napětí [Pa]

γγγγxz ... zkosení

G ... modul pružnosti ve smyku [Pa]

ττττxz

γγγγxz

G==γ

τϕtan

Gxzxz γτ = (((( ))))υG

E++++==== 12

(třetí ze tří materiálových konstant)

Lineárně pružný materiál - Hookův zákon ve smyku

Hookeův zákon - fyzikální vztahy mezi napětími a deformacemi, závisí na fyzikálních a mechanických vlastnostech materiálu, platí pouze v lineární oblasti

Materiálové konstanty

2) Změna teploty

TTzTyTxT ∆αεεε ===

Tα - součinitel teplotní roztažnosti [°C-1]

lTl T ..∆α∆ =

není-li bráněno deformaci → napětí = 0 → neplatí Hookeův zákon

bude vysvětleno zachvíli

+∆T

εxT = ∆l/l = ∆b/b = ∆h/h = ∆d/d

l´= l + ∆l

b´ = b+∆b

h´ = h+∆h

a) napětí

b) deformace

ba

Nosník se v podpoře b posune,nevznikne N ani napětí Určete rozměrové změny a napětí v oceli a v betonu. Konstrukce dle

obrázku.

Příklad domácí úkol

1

2

h1=

0,5m

h2=

0,2m

P1=150kN

P2=165kN P2

a = 0,15m

b =

0,1

m

d1 = 0,03mE1 = 210 000MPaν1 = 0,3

E2=33 500MPaν2 = 0,2

N

--

ocel

beton

d´= 30,009mm, a´= 150,029mm, b´= 100,019mm,

h1´=499,495mm, h2´=199,809mm, h´= 699,304mm

σ1= -212,21MPa, σ2= -32,0MPa … normálové napětí

Okruhy problémů k ústní části zkoušky

1. Pružnost a pevnost ve stavebním inženýrství

Výchozí předpoklady klasické lineární pružnostiPojem plasticita, teorie malých deformací,teorie II.řádu

Napětí, stav napjatosti tělesa

2. Vztahy mezi napětími a vnitřními silami v průřezu prutu, diferenciální

podmínky rovnováhyZákladní typy namáhání - prosté a složené

Saint - Venantův princip lokálního účinku

3. Deformace a posuny v tělese, geometrické rovnice

Hookeův zákon, lineárně pružný materiál, fyzikální konstanty

4. Pracovní diagramy stavebních materiálů

Nepružný a ideálně pružno-plastický materiál, tažnost

5. Deformace od změny teploty

6. Napětí při osovém tahu a tlaku

7. Přetvoření taženého a tlačeného prutu

8. Materiálové konstanty