Příklad 1.Najdi nejmenší číslo, které je možno rozložit na součin čtyř různých činitelů, znichž ani jeden se nerovná 12 . 3 . 4 . 5 = 120
Příklad 2Najdi nejmenší číslo, které je možno rozložit na součin čtyř různých prvočísel
2 . 3 . 5 . 7 = 210
Příklad 3.Jsou dána čísla 5, 6, 22, 35, 41. Najděte mezi nimi prvočísla.5 = 5 . 16 = 6 . 1, 6 = 2 . 322 = 22 . 1, 22 = 2 . 1135 = 1 . 35, 35 = 5 . 741 = 1 . 41Čísla 5 a 41 jsou prvočísla, čísla 6, 22 a 35 jsou čísla složená.
Příklad 4.Vypočítej součet a součin všech prvočísel větších než 20 a menších než 40.23 + 29 + 31 + 37 = 12023 . 29 . 31 . 37 = 765 049Součet je 120 a součin 765 049.
Příklad 13.V květinářství dostali 144 bílých a 192 červených karafiátů. Kolik kytic mohousvázat, má-li mít každá kytice stejný počet červených a stejný počet bílýchkarafiátů?Hledáme největšího společného dělitele144 = 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 3192 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 3D (144; 192) = 2 . 2 . 2 . 2 . 3 = 48Kolik bude v každé kytici bílých a kolik červených karafiátů?144 : 48 = 3192 . 48 = 4Mohou svázat 48 kytic. V každé budou tři bílé a 4 červené karafiáty. 5
Příklad 14.V den svých narozenin donesla Eva do školy tři druhy bonbónů. Čokoládových bylo 200, karamel 360 a ovocných 240. Bonbóny rozdělila tak, aby v každé hromádce byl od každého druhu nejvyšší možný počet. Všechny hromádky byly stejné. Kolik spolužáků podělila? Kolik bonbónů od každého druhu bylo v jedné hromádce?Hledáme největšího společného dělitele200 = 2 . 2 . 2 . 5 . 5360 = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 5240 = 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 5D ( 200; 360; 240 ) = 2 . 2 . 2 . 5 = 40Eva podělila 40 spolužáků. Kolik bonbónů od každého druhu bylo v jedné hromádce?200 : 40 = 5360 : 40 = 9240 : 40 = 6V každé hromádce bylo 5 čokoládových, 9 karamelových a 6 ovocných bonbónů.
Příklad 15.Klempíř měl rozstříhat pás plechu o rozměrech 380 cm a 60 cm na co největší čtverec tak, aby nevznikl žádný odpad. Vypočítej délku strany jednoho čtverce. Kolik čtverců nastříhal?380 = 2 . 190 = 2 . 2 . 5 . 1960 = 2 . 2 . 3 . 5D ( 380; 60 ) = 2 . 2 . 5 = 20Délka strany jednoho čtverce bude 20 cm.Kolik čtverců nastříhal?380 : 20 = 1960 : 20 = 33 . 19 = 57Klempíř nastříhal 57 čtverců.
Příklad 16.Žáci 7.A dostali celkem 416 učebnic a 896 sešitů a stejný počet knih. Kolik je ve třídě žáků, víme-li že je jich méně než 40?416 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 13896 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 7 D ( 416; 396 ) = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 3232 < 40Ve třídě je 32 žáků.
6
Příklad 17.Zahrada je dlouhá 56 m a široká 36 metrů. Jaká vzdálenost musíbýt mezi tyčkami plotu, má-li být v celých metrech a co největší? Kolik tyčekbudeme potřebovat?D ( 56, 36) = 4Největší vzdálenost mezi tyčkami je 4 m.Kolik tyček budeme potřebovat?o = 2 . (a + b)o = 2 . ( 56 + 36)o = 184 (m)x = 184 : 4 = 46Potřebujeme 46 tyček.
Příklad 18.Marek vyjel na třídenní výlet na kole. Každý den jel celý počet hodin stejnou průměrnou rychlostí. První den ujel 84 km, druhý den 48 km a třetí den 24 km. Vypočítej jeho průměrnou rychlost, víš-li, že byla menší než 20 km/h a větší než 10 km/h.84 = 2 . 2 . 3 . 748 = 2 . 2 . 2 . 2 . 314 = 2 . 2 . 2 . 3D (84; 48; 24) = 2 . 2 . 3 = 12 km/h.Marek jel průměrnou rychlostí 12 km/h.
Příklad 13.V 5. 00 hodin vyjely z konečné stanice čtyři autobusy. První linka má interval 15 minut,druhá 20 minut, třetí 25 minut a čtvrtá 45 minut. V kolik hodin vyjedou všechny linky opětspolečně?Hledáme nejmenší společný násobek15 = 3 . 520 = 2 . 2 . 545 = 3 . 3 . 525 = 5 . 5n ( 15; 20; 45; 25 ) = 2 . 2 . 3 . 3 . 5 . 5 = 900900 minut = 15 h5h + 15h = 20 hLinky vyjedou společně ve 20 hodin.
Příklad 14.Při veřejném vystoupení se cvičenci zařazují do pětistupů, šestistupů a trojstupů. Jakýmusí být nejmenší počet cvičenců?3 = 35 = 56 = 2 . 3n ( 3; 5; 6 ) = . 2 .3 . 5 = 30Nejmenší počet cvičenců je 30.
Příklad 15.Děti skládaly obdélníkové karty o rozměrech 210 mm a 140 mm tak, aby pokryly čtverec.Jaký nejmenší čtverec lze takto vytvořit? Z kolika kartiček se bude skládat?210 = 2 . 3 . 5 . 7140 = 2 . 2 . 5 . 7n ( 210; 140 ) = 2 . 2 . 3 . 5 . 7 = 420Nejmenší čtverec má stranu 420 mm dlouhou.Z kolika kartiček se bude skládat?420 : 210 = 2420 : 140 = 32 . 3 = 6Bude se skládat ze 6 kartiček.
Příklad 16.Švadlena odhadla počet metrů v balíku látky asi na 25. Pak zjistila, že může beze zbytkunastříhat látku buď na kostýmy po 3,6 m nebo na šaty po 2,1 metru nebo na haleny po 1,8metru. Kolik látky bylo v balíku?3,6 m = 360 cm2,1 m = 210 cm1,8 m = 180 cm360 = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 5210 = 2 . 3 . 5 . 7180 = 2 . 2 . 3 . 3 . 5n (360; 210; 180) = 2 . 2 . 2 .3 . 3 . 5 . 7 = 2520 cm = 25,2 mV balíku bylo 25,2 m látky.
11
Příklad 17.Ve 4,50 hodin vyjíždějí čtyři tramvaje na různé linky. První tramvaj se vrací nakonečnou za jednu hodinu, druhá za hodinu a půl, třetí za dvě hodiny a čtvrtáza 45 minut. V kolik hodin nejdříve vyjedou opět současně?60 = 2 . 2 . 3 . 590 = 2 . 3 . 3 . 5120 = 2 . 2 . 2. 3 . 545 = 3 . 3 . 5n (60, 90, 120, 45) = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 5 = 360 min4 h 50 min + 360 min = 10h 50 minTramvaje vyjedou současně nejdříve v 10 h 50 min.
Příklad 18.Kovbojové hlídali stádo krav. Jel kolem cizinec a ptal se na počet kusů stáda.Předák odpověděl: „Je jich méně než 800. Kdybych je seřadil do skupin po 3,4, 5, 6 nebo 8, vždy budou dvě krávy přebývat. Do skupin po 7 je však mohuseřadit beze zbytku.“ Kolik má stádo krav?n ( 3, 4 ,5 ,6 ,8 ) = 120Možnosti: 120 + 2, 240 + 2, 360 + 2, 480 + 2, 600 + 2, 720 + 2Pouze 602 je dělitelné 7, proto má stádo 602 krav.
Příklad 19.Nejmenší společný násobek dvou čísel je 180, největší společný dělitel je 6. Jedno není dělitelem druhého. Urči tato čísla.180 = 2 . 2 . 3 . 3 . 52 . 2 . 3 = 122 . 3 . 3 . 5 = 902 . 3 . 3 = 182 . 2 . 3 . 5 = 602 . 3 . 5 = 30Dvojice: 12 a 90, 18 a 60, 30 a 36 .
Příklad 20.Urči nejmenší celé číslo, které při dělení třemi dá zbytek 2, při dělení čtyřmi zbytek 3, a při dělení 5 zbytek 4.n ( 3; 4; 5 ) = 6060 : 4 = 1560 : 3 = 2060 : 5 = 1259 : 4 = 14 zb. 359 : 3 = 19 zb. 259 : 5 = 11 zb. 4Hledané číslo je 59.
12
Příklad 21.Milada a Marta četly stejnou knihu. Milada denně přečetla 15 stran, Marta 12 stran. Milada přečetla kmihu o 3 dny dříve. Kolik měla kniha stran?15 = 3 . 512 = 2 . 2 . 3n ( 15, 12) = 2 . 2 . 3 . 5 = 6060 : 15 = 460 : 12 = 5120 : 15 = 8120 . 12 = 10180 : 15 = 12180 : 12 = 1515 - 12 = 3 dnyKniha měla 180 stran.
Příklad 22. Zahradník má sázet na záhon střídavě řádek sazenic salátu a řádek sazenic zelí. Sazenice salátu se vysazují ve vzdálenosti 25 cm, sazenice zelí ve vzdálenosti 35 cm. Jaká musí být délka nejkratších řádků, aby byly vhodné pro výsadbu salátu i zelí?25 = 5 . 535 = 5 . 7n (25; 35) = 5 . 5 . 7 = 175 cmDélka nejkratších řádků je 175 cm.
13
Celá čísla jsou čísla, která nemají desetinnou část, obsahují v sobě přirozenáčísla, k nim inverzní (záporná) čísla a nulu.
Celá čísla
Celá čísla je množina, která obsahuje čísla …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … Množinuobvykle značíme písmenem Z, se zdvojenou prostřední čárou: , zněmeckého „Zahlen“ (čísla). Celá čísla je nekonečná a spočetná množina.Celá čísla mají například tyto vlastnosti:1.Jsou uzavřená na operacích sčítání a násobení, stejně jako přirozená čísla.To znamená, že pokud sečteme dvě celá čísla, získáme opět celé číslo.2.Na rozdíl od přirozených čísel jsou celá čísla uzavřená také na operacíodečítání. Přirozená čísla nebyla, protože rozdílem dvou přirozených číseljsme mohli získat číslo záporné. Což nám v případě celých čísel nevadí,protože ta záporná čísla obsahují.3.Stejně jako přirozená čísla nejsou uzavřená na operaci dělení. Stále platí, žemůžeme po dělení získat nějaké necelé číslo.4.Ke každému celému číslu c existuje inverzní číslo −c. Pokud máme číslo 10,je inverzní číslo −10. Pro 55 je to −55. A stejně tak se zápornými čísly: pro −13je inverzní prvek 13. Pokud máme celé číslo c a k němu inverzní číslo −c, pakjejich součtem získáme nulu: c+(−c)=0. Proto inverzním prvkem k nule je zasenula.Následující tabulka ukazuje zakladní vlastnosti násobení a sčítaní projakákoliv celá čísla a, b, c.
sčítání násobení
uzavřenost: a + b je celé číslo a × b je celé číslo
asociativita: a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × c
komutativita: a + b = b + a a × b = b × a
existence neutrálního prvku:
a + 0 = a a × 1 = a
existence inverzního prvku:
a + (−a) = 0
distributivita: a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
Bez dělitelů nuly:jestliže ab = 0, pak buď a = 0 nebo b = 0
V matematice se jako opačné číslo k číslu x označuje takové číslo, které popřičtení k x dává jako výsledek 0. Opačné číslo k číslu x se označuje jako −x;jedná se tedy o číslo, které se od původního čísla liší právě ve znaménku.Platí tedy, že x + (−x) = 0.
14
Racionální číslaRacionální čísla jsou všechna čísla, která lze zapsat jako podíl dvou celýchčísel, tj. ve tvaru zlomku.
Usměrňování zlomků
Násobení zlomků
Dělení zlomků
Sčítání zlomků
Odečítání zlomků
Křížové pravidlo
15
Desetinná čísla
Porovnávání desetinných čísel:1,09 < 1.1
2.215 < 2,21513,2 = 3,20
Sčítání a odečítání desetinných čísel
Při sčítání a odčítání desetinných čísel je velmi dobré zapsat si je pod sebe ato tak aby jejich desetinné čárky byly pod sebou. Při sčítání nebo odčítánípracujeme z oběma čísli na stejném řádu tedy sčítáme a odčítáme, desetiny zdesetinami a setiny ze setinami.
Zaokrouhlování je způsob zjednodušování nehezkých čísel na hezké.Například číslo 98 můžete zaokrouhlit na číslo 100 :-).
Zaokrouhlování čísel
Pokud chceme zaokrouhlit na desítky, koukneme se na číslici, které jeumístěno v jednotkách. Toto číslo poté zaokrouhlíme nahoru nebo dolůpodle výše popsaných pravidel. Pokud zaokrouhlujeme dolů, dosadíme namísto jednotek nulu a víc neděláme. Pokud nahoru, dosadíme nulu a kdesítkám přidáme jedničku. Takže když jsme zaokrouhlovali číslo 876 nadesítky, koukli jsme se na šestku. Ta se zaokrouhluje nahoru. Přičtemedesítku a na konec dáme nulu. Vychází nám 880. Při zaokrouhlování nastovky se musíme dívat na desítky. Jednotky nás nezajímají. Na místě desítekje sedmička. Ta se také zaokrouhluje nahoru. Takže na místo desítek ajednotek dáme nuly a ke stovkám přičteme jedničku. Vychází nám 900.Cvičně si ještě toto číslo můžeme zaokrouhlit na tisíce. Jako první sepodíváme o číslici zpět, tedy na stovky. Tam se nachází osmička (můžete si točíslo představit jako 0876 — nula tisíců). Osmička se zase zaokrouhlujenahoru, takže výsledek po zaokrouhlení bude 1000.
Zaokrouhlovat můžeme i desetinná čísla a opět v závislosti na tom, na jakýřád zaokrouhlujeme. Třeba číslo 96,6 můžeme na celé jednotky zaokrouhlitna 97. Stejně to funguje i při nižších číslech. Takže mějme číslo 0,327. Kdyžbudeme chtít toto číslo zaokrouhlit na setiny, koukneme na třetí číslo zadesetinnou čárkou, zjistíme, že je tam sedmička, ta se zaokrouhluje nahoru,takže zaokrouhlíme na 0,330. U desetinných čísel platí, že nemusíme na koncipsát nuly. Číslo 3,200 je stejné jako 3,2. Takže předchozí výsledek pozaokrouhlení můžeme přepsat na 0,33. Pokud bychom chtěli původní číslozaokrouhlit na desetiny, bude výsledek 0,3.
17
ProcentaProcenta obvykle označují nějakou relativní část z celku, přičemž celek jakotakový se vyjádří jako 100 %. Pokud máte v košíku deset jablek, tak 100 %jablek z tohoto košíku odpovídá deseti jablkům. Procenta se dají vždy přepsatdo zlomku. Jedno procento se rovná jedné setině celku. Deset procent serovná deseti setinám celku, neboli zkráceně jedné desetině. Padesát procentje padesát setin, zkráceně jedna polovina. 50 % jablek z předchozího košíkuje tedy polovina jablek, což je pět jablek.
Promile je tisícina z celku. Jinak se s promilí počítá úplně stejně jakos procenty.
Název Označení
Procento %
Základ z
Procentová část č
Počet procent p
Procento, základ
Slovem procento ( % ) označujeme 1/100 z libovolného celku. Tomuto celku říkáme základ a značíme jej z.
Příklad 1.Mějme v peněžence přebytečných 300 Kč a pokusme se určit 1% z této částky.Je-li 1% jednou setinou základu, stačí 300 Kč ( základ ) vydělit 100.1% ........... 300 Kč : 100 = 3 Kč1% z 300 Kč jsou 3 Kč.
Příklad 1.Dejme tomu, že v ČR je přibližně 7 000 000 oprávněných voličů. Jak bychom určili, kolik jich skutečně volilo?Řešení:Je zřejmé, že 7 000 000 voličů můžeme prohlásit za základ. Voleb se zúčastnila pouze část voličů ( říkáme jí procentová část a značíme č ), které odpovídá 72% obyvatel ( počet procent p ).Můžeme tedy zapsat:z = 7 000 000 ( obyv. ) ........ základp = 72% ........ počet procentč = ? ( obyv. ) ........ procentová částVšimněme si, že z a č vyjadřujeme ve stejných jednotkách. Jak budeme postupovat?Vycházejme z toho, co už umíme:je - li z = 7 000 000 obyvatel,pak 1% ........ 7 000 000 : 100 = 70 000 obyvatel,72% určím, násobím-li 1% . 7272% ......... 70 000 . 72 = 5 040 000 obyvatel.Voleb se zúčastnilo 5 040 000 oprávněných voličů.
č = ( z : 100 ) . p
Příklad 2.V roce 1991 se na gymnázium hlásilo 680 žáků. Počet zájemců klesl v roce 1992 o 15%. Kolik žáků se v roce 1992 hlásilo ke studiu?Řešení:z = 680 žákůp = 100 - 15 = 85%č = ?100% ........................... 680 žáků1% ................................ 680 : 100 = 6,885% .............................. 6,8 . 85 = 578 žákůV roce 1992 se ke studiu přihlásilo 578 žáků.
19
Počet procent
Příklad 1.Do třídy chodí 35 žáků. V době chřipek 7 žáků onemocnělo. Kolik to byloprocent z celkového množství žáků ve třídě?Řešení:35 žáků bude základ, 7 žáků procentová část, budeme počítat počet procentz = 35 žákůč = 7 žákůp = ?
Opět si nejprve určíme 1 %.1% ........ 35 : 100 = 0,35Vydělíme-li počet nemocných žáků 1%, vypočítáme počet procent.7 : 0,35 = 20%Ve třídě bylo nemocných 20% žáků.
p = č : ( z : 100 )
Příklad 2.Ve škole je 1 000 žáků, z toho 580 dívek.a) Kolik procent všech žáků školy tvoří dívky?b) Kolik procent tvoří chlapci?Řešení:a)z = 1 000 žákůč = 580 dívekp = ?100% .......................... 1 000 žáků1% .............................. 1 000 : 100 = 10p ................................. 580 : 10 = 58%Dívky tvoří 58% ze všech žáků školy.b) Jestliže základ je tvořen 100% a dívek je 58%, pak chlapci tvoří100% - 58% = 42 % ze všech žáků školy.
20
Výpočet základu
Příklad 1.Jedno procento z hrubého měsíčního příjmu učitele je 154 Kč. Jak vysoký měsíční plat má učitel?Řešení:Je-li 1% 154 Kč, stačí k určení základu vynásobit tuto hodnotu stem.1% ......... 154 Kč100% ......... 154 . 100 = 15 400 KčHrubý měsíční plat učitele je 15 400 Kč.
Příklad 2.Určeme hrubý měsíční výdělek šikovného řemeslníka, víme-li, že 40% jeho mzdy tvoří 8 400 Kč.Řešení:Je-li 40% 8 400 Kč, musí být tato částka procentovou částí. Budeme opět určovat základ.č = 8 400 Kčp = 40%z = ?Nejprve si určíme 1%.40% ......................... 8 400 Kč1% ............................ 8 400 : 40 = 210 Kčz = 100% ................. 210 . 100 = 21 000 Kč.Hrubý měsíční plat řemeslníka činí 21 000 Kč.
z = ( č : p ) . 100
Úrokový počet
Slovo úrok zní libě každému spořiteli. Je to částka, o kterou se každoročně zvýší jím uspořená suma na vkladní knížce. Méně příjemně zní podnikateli, který si od banky vypůjčil peníze a musí je splácet.Základu zde říkáme jistina a značíme ho ..... K0
procentové části říkáme úrok ..... Upočtu procent říkáme úroková míra .... p ( zapisujeme desetinným číslem).Pro složené úrokování pak platí vzorec:
Kn= K0 . ( 1 + p )n kde n je počet let.
Příklad.
Uložil jsem si 8000,- Kč. Kolik budu mít na vkladní knížce za 15 let, je-li úroková
míra 10%?
Řešení:
K0 = 8 000 Kč
p = 0,1 ( 10% = 0,1 základu )
n = 15
K15 = ?
K15 = 8 000 ( 1+ 0,1)15
K15 ≈ 33 418 Kč Za 15 let budu mít na vkladní knížce 33 418 Kč.
21
Úlohy o směsích
Zvláštním typem úloh, v nichž můžeme v některých případech využítprocenta, jsou úlohy o směsích. Úlohami o směsích se budeme zabývat vkapitole Rovnice, z tohoto důvodu zde neuvádíme i procvičovací příklady.Každý chemik či zahrádkář připravuje roztoky různé koncentrace a znalostúloh o směsích využívá.hmotnost roztoku prohlásíme za základ ( z )koncentraci roztoku za počet procent ( p )hmotnost složky v roztoku za procentovou část ( č )
Příklad 1.Připravte 8% roztok NaCl ve vodě. Hmotnost roztoku má být 1,5 kg. Kolik gramů NaCl potřebuješ?Řešení:z = 1,5 kg = 1 500gp = 8%č = ?100% ........................... 1 500 g1% ............................... 1 500 : 100 = 15 gč .................................. 15 . 8 = 120 gPotřebuji 120 g soli.
Příklad 2.Do 2 kg vody zamíchej 40 g modré skalice. Jakou koncentraci bude mít získaný roztok?Řešení:z = 2 040 gč = 40 gp = ?100% .......................... 2 040 g1% ............................... 2 040 : 100 = 20,4 gp ................................. 40 : 20,4 = 1,96%Získaný roztok bude mít koncentraci 1,96%
1 promile ( 1 ‰ ) je jedna desetina procenta nebo také jedna tisícina základu.
1 ‰ = z : 1000
22
Slovní úlohy
Příklad 1.Řezník zdražil 1 kg vepřového plecka z 60 Kč nejprve o 40%, a potom o 10%. Maso mu ale nikdo nekupoval, a tak jej musel slevit o 10%. Kolik nakonec maso stálo?Řešení:Úlohu musíme řešit ve třech krocích.1. z1 = 60 Kč
Cena po druhém zdražení byla 92,40 Kč.3. č2 = z3 = 92,40 Kč
p3 = 90%č3 = ?
100% ........ 92,40 Kč1% ........ 0,924
90% ........ 0,924 . 90 = 83,16 ≈ 83,20 KčŘezník nakonec prodával maso za 83,20 Kč.
Příklad 2.Zahradnictví potřebuje vypěstovat 18 000 sazenic salátu. Kolik semen musejí připravit, je-li klíčivost 85% a množství uhynulých rostlin z vyklíčených je 10%?Řešení:
Trojčlenka se používá při jednoduchých výpočtech přímé a nepříméúměrnosti. Většinou známe tři na sobě závislé údaje a máme vypočítat čtvrtý.V trojčlence musíme přímou a nepřímou úměru pečlivě rozlišit, má totižrozdílné výpočty. Přímá úměrnost znamená, že čím více je věcí A, tím více jevěcí B. Například čím více koupíme propisek, tím více nás to bude stát. Čímvíce lidí na zájezdu, tím větší zisky pro cestovku. Čím déle urážíte boxera, tímje větší šance, že vám rozbije hubu. Málokdy se stává, aby se vzrůstajícímpočtem koupených propisek klesala cena. Nepřímá úměra funguje přesněopačně. Čím více je věcí A, tím méně je věcí B. Typicky čím více lidí pracuje nastavbě altánku, tím dříve je altánek dokončen. Čím více stránek knihypřečtete, tím méně stránek vám zbývá do konce.
Příklady1. 20 slepic snese za tři týdny asi 360 vajec. Kolik vajec snese 15 slepic za 5 týdnů?2. Rolník si spočítal, že zásoba krmiva by pro jeho 20 krav stačila na 60 dnů. Rozhodl se, žeprodá dvě krávy a třetinu krmiva. Na jak dlouho vystačí krmivo pro zbytek rolníkova stáda?3. Při přepravě 4000 vajec do prodejny se poškodí průměrně 60 vajec. S jakou ztrátoumusí počítat vedoucí prodejny, který si objednal 7000 vajec?4. Ve městě vybudovali třípodlažní podzemní garáž a umožnili tak parkování 222 vozům. Vsousedním městě se rozhodli vybudovat pětipodlažní garáž o stejném půdorysu jako usousedů. Kolik aut tam bude moci parkovat?5. První kolo ozubeného soukolí má 60 zubů. Druhé kolo zapadající do prvního kola má 42zubů. Třetí kolo zapadající do druhého má kola má 15 zubů. První kolo se otočí sedmkrát.Kolikrát se současně otočí třetí kolo?6. Za tři hodiny opracoval truhlář na brusce 72 skříňových dveří a tím splnil denní normuna 36 %.c) Kolik dveří při stejném výkonu opracoval za 8 hodin?d) Na kolik procent splnil denní normu?7. Firma dostala od obecního úřadu zakázku na vydláždění chodníku. Slíbila, že práciprovede za 12 pracovních dnů. Mistr počítal s pěti dělníky, jeden z nich však onemocněl. Okolik dnů se práce na zakázce prodlouží?8. V devíti kilogramech „zvonoviny je 7 kg mědi, zbytek je cín. Kolik kg mědi a kolik cínu sespotřebovalo na ulití 5 zvonů? Každý ze dvou větších zvonů měl hmotnost 535 kg, každý zezbývajících třech menších měl hmotnost 286 kg.9. V trojúhelníku ABC má strana a délku 40 mm. Výška va k této straně měří 35 mm.Vypočtěte:a) Výšku vc ke straně c, je – li c=70mm.b) Délku strany b, je –li vb=25mm.10. Honzíkovy rodiče přijeli na víkend pomoci dědečkovi jednotit řepu. Pracovali spolu sbabičkou a dědečkem a každý z nich v sobotu vyjednotil 18 řádků. Stejný úsek pole jimzůstal na neděli. To navíc přijeli pomoci teta se strýcem. Kolik řádků řepy připadlo nakaždého dospělého v neděli?
24
Reálná čísla
Reálná čísla jsou všechna čísla, která můžeme napsat pomocí konečnéhonebo nekonečného desetinného rozvoje. Můžeme říci, že reálná čísla získámesjednocením racionálních a iracionálních čísel.
Reálná čísla značíme pomocí písmene R, obvykle se zdvojenou svislou čárou:.Pokud si představíte nekonečnou číselnou osu, pak reálná čísla představujívšechny možné vzdálenosti mezi dvěma body, které můžeme na osách nalézt.Reálnou čísla obsahují všechna přirozená čísla, celá čísla, racionální čísla airacionální čísla (Iracionální čísla jsou čísla s nekonečným desetinnýmrozvojem. Patří mezi ně některé známé konstanty jako Ludolfovo číslo neboEulerovo číslo e.)Většina funkcí, se kterými se běžně v matematice pracuje, má obvykle za svůjdefiniční obor právě množinu reálných čísel (například sinus a cosinus,lineární funkce) nebo nějakou její souvislou podmnožinu (napříkladlogaritmus).Příklady reálných čísel: 1, −3, 0,126, −42,47, e, 0, .
Vlastnosti
Reálná čísla jsou nekonečná nespočetná množina.Reálná čísla jsou uzavřená na operacích sčítání, odečítání, násobení a dělení.Pokud si vezmeme dvě reálná čísla a vynásobíme je, získáme opět reálnéčíslo.Reálné číslo je buď algebraické, tj. je kořenem nějakého mnohočlenu, nebotranscendentní, tj. není kořenem žádného mnohočlenu.Ke každému reálnému číslu existuje jeho absolutní hodnota, což představujevzdálenost od počátku číselné osy.Každé nezáporné reálné číslo má druhou odmocninu, které je také reálnéčíslo. Naopak, žádné záporné reálné číslo nemá jako druhou odmocninureálné číslo.
25
Absolutní hodnota
Absolutní hodnota z čísla je vždy číslo nezáporné, tedy větší nebo rovno nule.Pokud máme vypočítat absolutní hodnotu z čísla kladného, bude to vždy tosamé číslo. Budeme-li ovšem chtít zjistit absolutní hodnotu ze zápornéhočísla, bude to číslo opačné (tedy z x, kde x<0 bude absolutní hodnota −x.Absolutní hodnota se značí dvěma svislými čárami: |x|.
Ač se zdá, že počítání s absolutními hodnotami bude hračka, spíše opak jepravdou, většinou dokáží pěkně znepříjemnit jinak lehkou funkci. Viznapříklad lineární rovnice s absolutní hodnotou. Uveďme ještě několikpříkladů:
Absolutní hodnota má tyto vlastnosti, pro hodnoty a, b, c z množiny reálnýchčísel:
Zvlášť se počítá absolutní hodnota u komplexních čísel.
26
Interval
Interval je množina bodů, která se ohraničena dvěma krajními body. Dálerozlišujeme otevřené a uzavřené intervaly.
Uzavřený interval od jedné do dvou. Do intervalu spadají všechna reálná čísla
mezi jedničkou a dvojkou včetně jedničky a dvojky. (1,2>
Otevřený interval od jedné do dvou. Do intervalu spadají všechna reálná čísla
mezi jedničkou a dvojkou, ale samotná čísla jedna a dva tam nepatří. (1,2)
Interval je zleva uzavřený a zprava otevřený. Do intervalu spadají všechna čísla mezi nulou a jedničkou, včetně nuly samotné, ale jednička do intervalu
nepatří. <0,1)
Interval je zleva otevřený a zprava uzavřený. Do intervalu spadají všechny
čísla mezi čísly p a q, včetně čísla q, ale vyjma čísla p. (p,q>
Zleva uzavřený interval a zprava otevřený. Pokud máte v intervalu nekonečno, používajte z dané strany otevřený interval, nekonečno nemá nějaký krajní
konečný bod, uzavřený interval tam nemá smysl. <0,∞)
Zde následuje změna, nepracujeme s množinou reálných čísel, ale s množinou přirozených čísel. Máme z obou stran uzavřený interval a v daném
intervalu je tak celkem pět čísel: 1, 2, 3, 4 a 5. <1,5> N
Stejný případ jako před chvílí, pouze je interval zleva otevřený a tak jednička nepatří do intervalu a výčet všech prvků intervalu je: 2, 3, 4 a 5.
<1,5> N
27
Následující obrázek zachycuje zobrazení třech intervalů vždy od od dvou došesti, ale liší se v uzavřenosti stran. Takže popořadě budou zobrazeny tytointervaly:<2, 6 > (2,6> (2,6)
Umocňování je matematická funkce, která – jednoduše řečeno – slouží kezkrácenému zápisu násobení. Místo toho, abyste napsali a · a, napíšetejednoduše a2.
Jednoduché umocnění přirozeného čísla na přirozené číslo bychom mohli nadefinovat takto:
kde výraz a se nazývá základ mocniny a výraz, na které je základ umocněn (horní index), se nazývá exponent.
Pokud je a záporné číslo, tak nezapomeňte na to, jak se chová násobenízáporných čísel. Pokud vynásobíte dvě záporná čísla, vznikne vám číslokladné. Pokud toto číslo znovu vynásobíte záporným číslem, bude výsledekznovu záporný. Obecně řečeno, pokud je q sudé, pak bude výsledek kladný,pokud je lichý, pak bude záporný.
Odmocnina je částečná inverzní funkce k mocnině. Nejčatěji pracujeme sdruhou odmocninou, která hledá takové číslo, které když vynásobíme sesebou samým, tak získáme původní číslo, které jsme odmocnili.
Pro odmocninu se používá znak √, přičemž abychom nemuseli psát argumentodmocniny do závorek nějak takto: √(25), tak se nad celým argumentem(výrazem, který chceme domocnit) udělá vodorovná čára, takto: 25 = 5
Vícenásobná odmocnina
Podobně jako můžeme umocnit výraz na druhou, na třetí, na čtvrtou, můžememít i třetí a čtvrtou a nakonec n-tou odmocninu z reálného čísla. Zapisuje se toobvykle nad zobáček, takto:
Odmocnina ze záporného čísla
Exponent ve zlomku
Vzorce pro práci s mocninami a odmocninami
am · an = a(m+n)
(a · b)n = an · bn
am / an = a(m − n)
(an)2 = a2n Slovy řečeno a na entou a to celé na druhou se rovná a na dva krát en
