R. HLAVEK

Contribution à l'étude théorique et

expérimentale des déversoirs

à variation linéaire

1er Septembre 1959

B. R. G. G. M.

Bureau de Recherches

Géologiques, Géophysiques

ET Minières

Paris (XV), le 1er Septembre 1959

74, Rue de la Fédération

ÉTABLISSEMENT PUBLIC NATIONAL

ADRESSE TELEGR. , BURGEOLOS-PARIS

TÉLÉPHONE : SUF. 9400

R. C. SEINE 64 B .07

NRéf.

CONTRIBUTION A L'ETUDE THÉORIQUE ET EXPERIMENTALE

DES DÉVERSOIRS A VARIATION LINÉAIRE

R, HLAVEK

TABLE DES MATIERES

Page»

** Etudes théoriques ! historique, synthèse et compléments 1

Les déversoirs dits "Su tro-Weirs" 1

Les déversoirs dits en "Tour Eiffel" 3

1°- travaux de P. A. RÜUBINET 3

20- travaux de P. MOKIN 4

3°- travaux de L. HUGUES 6

4°- identité des résultats ô

Comparaison des travaux de G. Di RICCO et L, HUGUES 10

Les déversoirs en "Tour Eiffel" : problème de la section

équivalente 11

1°- section équivalente rectangulaire 12

2°- section équivalente circulaire 14

3°- conclusions - choix de la section équivalente 26

Les déversoirs en "Tour Eiffel" : existence d'un profil-type 27

Etudes expérimentales : exposé des résultats, discussion 26

1»- résultats de P, MORIN 2ô

2°- détail de nos résultats 29

3°- comparaison des résultats 33

o

/ ^

** Conclusions générales38

° Bibliographie40

Les déversoirs dont le débit varie linéairement avec la charge

ont fait l'objet de nombreux travaux. Ces déversoirs présentent en

effet, du fait même de leur définition, les avantages suivants :

- facilité des lectures et de l'enregistrement graphique,

- sensibilité constante à quelque charge que ce soit,

Aotre étude se limite aux écoulements en nappe libre à travers

des déversoirs en mince paroi verticale, la loi de variation du

débit étant linéaire.

Nous commençons par rappeler brièvement et successivement les

divers travaux publiés en la matière, pour en faire aussitôt la

synthèse. Ensuite, continuant en cela ce que nous pourrions appeler

l'école française, c'est à dire en nous appuyant sur les travaux de

P. .".iORIN ot L, HUGUES, nous apportons quelques compléments théoriques

Enfin nous donnons quelques résultats expérimentaux et des coaclu-

sions générales.

o

o o

- 1 -

ETUDES THÈ0RI{;^UES : historique, ayathèae et compléments

Après avoir rappelé l'identité des travaux de E,A. PRATT et G, Di

RICCO portant sur les "Sutro-Weirs" , nous mettons en évidence l'iden¬

tité des résultats obtenus par P. WOHIN et L, HUGUES pour les "déver¬

soirs en Tour Eiffel", En poussant plus loin les comparaisons, nous

démontrons la convergence de toutes ces études dans le cas des déver¬

soirs à profil asymptotique au seuil. Enfin nous étudions particuliè¬

rement le problème de la "section équivalente".

LES DEVERSOIRS DITS "SUTRO-'.VE 1RS" î une étude de H, H. SUTRO, parue en

1906, et dont nous n'avons pas la référence exacte, a été reprise en

1914 par E.A, PRATT C^J , puis en 1936 par E. SOUCEK, n,E. HOWE et

K.T. ilAVIS /~2_7 et en 1943 par E.G. SMITH C^J f*!"» récemment

R.A, LINCOLN /~4__7 ^ décrit trois déversoirs de ce type, adaptés par¬

ticulièrement aux mesures des débits dans de petites canalisations

d'évacuation d'eaux usées.

Ces résultats peuvent se résumer comme suit :

Le profil de 1 ' échancrure ,

symétrique par rapport à

l'axe OV t est défini par

jgg relations suivantes \

s~C°i

^

s

/-- '

_

¿^l

- - N.

0

6: ^

1

H

-iU

- pour ij< a ,>¿>b

- pour y:*' a ,^2. . b

t nou encore X. ,

K^l-aCL

1 - 2. . arcn

£ . arc dgyj-ti. I

les notations étant celles de

la figure ci-contre.

- 2 -

Le débit a pour expression Q= ©.b .\/ 2.g.a . (H - a/5 ) où Q ,

coefficient de débit, varie de 0,61. à 0,63 selon les valeurs de a.

ei de b (abaque à points alignés); il faut naturellement que H ^ o.

Ce débit peut encore s'écrire Q = m.H - n » le couple de

paramètres (i^,»^) étant alors déduit du couple de paramètres (a,b]

par les relations : a= 5.n/m.

b = m / 9.j6.g.n/m' =^ m / Q.JZ.g.cL

Des résultats semblables ont, par ailleurs, été obtenus par

G, Di RICCO /~5__7 qui, étudiant d'une manière très générale le tracé

d'un déversoir en mince paroi réalisant une loi de débit donnée :Q = f(H)

établit l'équation f^ , , \0 Z d / d Q Q A ^.

générale de défi- X=_^^. / SÏLJ.. dh

nition du profil :

Tr.^Z.^ dJ / dh Jy - h

9 étant toujours le coefficient de débit (soit constant, soit fonc¬

tion connue de H ) h étant une variable d'intégration correspondant à

l'intervalle [0,^l|] et les autres notations restant les mêmes.

Dans le cas particulier du déversoir à variation linéaire, la

solution est alors donnée (l) par un profil ainsi défini :

- pour y ^ a. , ^ = b

pour y ^ CL , X ^ b ±i..arc sin'f

Le débit s'écoulant à travers un tel profil ayant les mêmes

expressions que précédemment , soit :Q-9.b.v Z.g.a .[H-a/5] = inH-n.

cet auteur donne pour 0 la valeur moyenne de 0,6163.

(l) Remarquons que, à c6té de ces solutions rigoureuses, l'auteur a

étudié des contours polygonaux /T'^J/ "^ donnant que des solutionsapprochées, mais de construction plus facile; la section d'écoulement

peut alors être considérée comme la somme ou la différence de sec¬

tions élémentaires rectangulaires ou triangulaires. Le fonctionnement

en déversoir noyé a été lui aussi étudié ¿~à_/ par le même auteur.

- 3 -

Il est à peine besoin de souligner l'identité des résultats

obtenus d'abord par H. H. SUTRO et E.A. PRATT , puis par G. Di RICCO.

Nour remarquerons cependant que, si les auteurs américains ont sans

aucun doute donné les premiers ces résultats, les travaux de G. Di

RICCO sont certainement d'une portée théorique beaucoup plus géné¬

rale, sa première étude / 5__/ déjà citée, ayant été d'ailleurs com¬

plétée par une autre / bj dans laquelle l'auteur examine le cas où

@ est une fonction inconnue de H

LES DEVERSOIRS DITS EN " TOUR EIFFEL " : ces déversoirs ont été particu¬

lièrement étudiés d'abord par P. A, ROUBINET /~13_7 , Puis par P. MORIN

/ 9_J7, auquel nous prenons d'ailleurs cette dénomination de déversoirs

en "Tour Eiffel". Alors que ces auteurs se sont limités au cas particu¬

lier du déversoir à variation linéaire, L. HUGUES /~10__7 a étudié le

cas plus général d'une loi de débit quelconque. Naus exposons ci-après

l'essentiel des travaux de ces auteurs, en modifiant parfois les sym¬

boles utilisés dans les notes citées en références, afin de faciliter

leur comparaison.

l») Travaux de P. A. ROUBINET : cet auteur a déterminé un

demi-profil d'équation : x= «i/l.J^

la loi dé débit étant : Q = [m.aL.lëTâ ].H = ^. H

Il n'est pas sans intérêt de rappeler très

brièvement la méthode utilisée pour parvenir à

ce résultat. Cet auteur a considéré la formule

simplifiée du déversoir rectangulaire de largeur

L qui, pour une charge H , débite ;

^x Q- m.U.H. ^TTfîT (1)

1TV étant le coefficient de contraction.

Considérant que, si l'on appelle il la section de la veine à la

sortie du déversoir (P.A. ROUBINET précise d'ailleurs "nous négligeons,

pour simplifier, le léger abaissement de la veine au franchissement du

seuil"), l'équation ci-dessus peut s'écrire Q=: -m. II. \ls^^ (2) ,

l'auteur décide d'appliquer cette relation au cas étudié "par analogie".

- 4 -

Dans ces conditions, et compte tenu de la relation imposée Qm: J«.n ,

nous aurons l'égalité : Q.ii.M = m.rL.jïgJFT (3)

qui peut être satisfaite en posant : il « ot. [FT (4) , ce qui entraîne

J? = mc

- 5 -

Or nous avons : fi = 271(1)). dy =2.5 (2) et u =

xly).dy SO

Si l'on introduit la relation Q^^^.H (4) , il vient finalement }

Q.J^.H= 2.m.5.V2.â-(H-V/S)' (5)

d'où l'on tire , en revenant à ^ , l'équation différentielle :

y^.dS/dy -e.y.S + C.S*= O (6)

avec C -^ Q.Q.vn'IJk^ , et l'on démontre que, compte tenu des conditions

du problème, la relation cherchée est i.Jk^ 'I (71

6A.m^g x^

En fait cette relation elle-même n'est pas exacte, comme le si¬

gnale d'ailleurs P, MORIN, et en écrivant : Q «. w.il . J2.9.(H-H3 ) ,

l'on admet que le débit est le produit de la section contractée i'm.jQ. )

par la vitesse moyenne prise égale à la vitesse au centre de gravité

(v^âi^'y») ) . Or la vitesse moyenne est plus faible que la vi¬

tesse au centre de gravité et l'on pose alors i Q ft.TO.Îl.Jj.^.^H-y^)

Cette remarque étant faite, le raisonnement reste valable et la rela¬

tion y (xj est simplement corrigée du coefficient i3 pour devenir t

.|- 3.it^ ^ (ô]

Par ailleurs, nous devons préciser que dans l'expression du débit

utilisée par P. MORIN, soit Q , to.îI . j Z.^. [H - 3,) , le coefficient m

est appelé par cet auteur coefficient de contraction; en pratique, et

lorsque l'on ne procède qu'aux seules mesures de Q et de H , il

n'est pas possible de mesurer le coefficient de contraction, mais son

produit par le coefficient de vitesse, c'est à dire le coefficient de

débit 0 . Nous pouvons donc écrire Q partout où P. MORIN a écrit

m , ce qui permet de passer de (8) à y ^ ;^-AS- [9]

Il est intéressant maintenant de revenir sur les travaux de

P.A. ROUBINET et de remarquer que la formule (7) ci-dessus , (et la for¬

mule (ô) qui n'en diffère que par le coefficient j% ) est du même type

que celle trouvée par cet auteur et qui était, rappelons-le t

^ ^il.m*.g x^Il est facile de concilier les deux résultats en considérant

les formulés de départ des deux auteurs, à savoir :

Q* -m.il./îpT par P.A. ROUBINET et Q, m.IL. |iq.(H-yj) " par P,MORIK

- 6 -

et en remarquant que, dans le cas d'une courbe de la forme UsA/x^ ,

l'on a la relation » (^-yj ) * ¿H/5 , ce qui revient à dire que

l'on peut passer des valeurs de y trouvées par P. MORIN à celles trou¬

vées par P.A. ROUBINET à l'aide du coefficient ¿{5 et nous avons en

effet :3 L 6ii.n\':q X^ J 3i.Tn*.( TT-Ôit.flflig X^ J Ji.TTl*.^ X*

(Le coefficient Jh peut intervenir de la même manière pour corriger ces

formules) ,

La comparaison des formules de départ nous permet encore de re¬

marquer que, si les résultats de P.A. ROUBINET s'avèrent valables quant

â la forme du profil, ceci ne doit être attribué qu'au fait que, pour

une courbe de la forme y»A|x^ , le rapport (H-y )/ ^ «si cons¬

tant (et égal à Z\5 comme nous l'avons dit ci-dessus); en fait donc,

seule la démonstration de P. MORIN est rigoureuse.

Enfin, nous devons considérer que les essais expérimentaux per¬

mettent de calculer non pas le coefficient de contrattion -m. , mais

plutôt un coefficient -m' tel que l'on ait s V=.it\.|I]T . Dans la

note déjà citée /"l3_7 P»A. ROUBINET donnait la valeur inv « 0,54 comme

résultat de ses essais; n y aurait alors lieu de considérer que nous

avions en fait : i«v « o,5A . JsjT ^ o^66 .

3») Travaux de L. HUGUES : assimilant lui aussi l'écoule¬

ment par le déversoir à l'écoulement par un orifice cet auteur pose,

conformément à la formule dite de TORRICELLI, que la vitesse dans le

filet liquide amenant l'eau à l'élément vertical, dans le plan du dé¬

versoir, et d'aire dil =. 2.x.(iy est

déterminée par la distance (H -y] qui

sépare de la surface libre l'élément

considéré; cetie vitesse ayant alors

pour valeur ^ 2.g.^H- y ) le débit

a pour expression :

^Q^z.{z:^.j\.^ .ài^ (ly

X étant la fonction f(lj) à déter¬

miner.

- 7 -

L'auteur étudie le cas le plus général d'une loi de débit

Q,^(h) qu'il met sous la forme i Q, 2.j^.^ . $(H) [Z]

Hy) sera la solution deDans ces conditions, la relation x«

l'équation intégrale linéaire :

$(H) = Alyl./iT^. dy 13)-'o

L'auteur démontre que cette solution est t rx>« . ru ^n. ,

4(H) « K H , u désignant un nombre positif,

tf.|\_ -n-K-lZ-n-l) ¡^ ^m dhDans le cas où

cette solution s'écrit

et en posant

devient

t-H/y et

i{y), t\.K.(1tv-1) A^ yIL-îli

la solution

15)

L'intégrale eulérienne An est convergente pour 'T\.>0 et,

pour "n y M 2. le profil existe; dans le cas où l'on a $(H)«K.M ,

c'est à dire pour n»-1 , la solution devient x^Ç^y)» Z.K /'n.[n /j\

En tenant compte du fait que l'on peut écrire :

Q » ^.^f¿f . i[W) « 2.J27.[K.H] * A.H

d'où K^y&/2.Jz!^ , cette solution devient finalement

b-Jk'

a.-n^g tS-(6)

En fait, les contractions dues à la traversée du déversoir ne

peuvent pas être négligées, la section passant alors de dil à

4/.dil ( \{/ < 1 , étant le coefficient de contraction); de même, les

frottements n'étant pas négligeables, la vitesse n'est pas ^¿3(H-y]

mais bien to 1 2..q .( H-ij) ( i^

- 6 -

- Si 0 varie avec y , l'équation intégrale linéaire ne

peut être résolue, car nous avons à déterminer deux relations,

0(y) et fiy) à l'aide d'une seule équation.

L, HUGUES

4«) Identité des résultats de P.A, ROUBINET, P. MORIN et

: nous avons déjà vu que les résultats obtenus par P.A.

ROUBINET trouvaient une explication rigoureuse, pour ne pas dire utae

justification, dans les travaux de P. MORIN, aboutissant à l'équation :

3-5.J,»

6i).g.JiVG^ x'

De leur côté, les résultats généraux de L, HUGUES nous permettent

d'écrire i , J^^ '^

Ces deux expressions ne. peuvent être équivalentes que si nous

avons : yi -\-^

Or, nous pouvons retrouver cette valeur en revenant sur la défi¬

nition du coefficient P (l) : soit

un orifice de section H. de lar-

tranche d'aire dn^b(h).dh

sidérant la charge h.

geur variable b , et placé en paroi

latérale verticale. Admettons tout d'a¬

bord, pour simplifier l'exposé, qu'il

s'agisse d'écoulement sans contraction;

le débit sera alors donné par x

Q «^or. dil ^Jèjh'.dil =y b(h). JE.^.h '. dhla vltesseVétant constante dans une

Or l'on peut poser par ailleurs, en con-

sur le centre de gravité G- de l'aire Si :

q^p.si.f^,

(l) Il est certain que, malgré la différence des deux raisonnements,

les deux résultats doivent à priori être identiques. Nous avons cepen¬

dant pensé que le calcul direct de B était une confirmation intéres¬

sante à présenter.

- 9 -

Nous pouvons déduire de ces deux relations :

/blbl.Jh'.dh

(Si l'on considère un écoulement avec contraction, nous aurons :

- q^Q.jlI^.áíl au lieu de 9 = /j2jh.da,

. - Q ^Q.p.ü.{2V^\ au lieu de Q = y5.Îl./2.g.h

ce qui montre que, toutes choses étant égales d'ailleurs, la valeur de

y3> ne change pas, que les écoulements soient avec ou sans contrac¬

tion.)

Dans les conditions qui sont les nôtres, nous avons avec les

notations ci-contre t /H

fi-

or, nous avons

'J"

H

i

» ^^

B

1

r-

hj

/^O

i/

-

A' -

\ ^- ^ J

.

h

y

^ i.^

par ailleurs, il est facile de montrer

que, pour une courbe d'équation y^/\|x^

1 on a

L^X il=2../x.ciy ^A.JÂTT et h^.2.H/3

Dans ces conditions, il vient finalement : B =^a.H H-h

dh

et l'on trouve, tous calculs faits t

^fJiCela suffit à démontrer que les résultats de P. MORIN et de

L. HUGUES sont non seulement de la même forme, mais encore identiques,

et que l'on peut utiliser indifféremment l'une ou l'autre de ces for¬

mes, théoriquement du moins; en pratique, et nous examinerons la ques¬

tion plus loin, l'expression de P, MORIN paraît préférable.

Ce résultat met enfin en évidence une propriété des profils de

la forme y^i^A/x^ puisque, pour de tels profils, le coefficient fi

étant constant, ne dépend ni de la charge h ni même du paramètre A

caractérisant un profil donné. C'est là une propriété remarquable que

nous aurons à utiliser dans la suite de l'étude, et qui paratt devoir

être soulignée.

- 10 -

COMPARAISON DES TRAVAUX DE G. Di RICCO ET L, HUGUES i nous avons, dans

les paragraphes précédents, démontré l'identité des résultats de

H. H, SUTRO et G.Di RICCO dans le domaine des "Sutro-Weirs" , ainsi que

celle des résultats de P, MORIN et L, HUGUES dans le domaine des dé¬

versoirs en "Tour Eiffel",

Si nous revenons à l'équation générale de G,Di RICCO qui, rappe¬

lons-le, donne la largeur X de l'échancrure à la cote y par l'équa¬

tion Z^ d. f^ d(Q/e) 1 , dh et si nous y faisons : Q ^Jk.hn.^[â^ dyy^ dh NÎyTTT ^

en admettant que G soit une constante, hypothèse régulièrement admise

dans tout ce qui a été exposé précédemment, nous avons :

i^2.X = _l^[^ ^ dhK,^ dy Vo e .víyTír

équation très facile à résoudre et d'où nous tirons finalement :

^ Suit u_ ^ -^- ^>< soit y ,

Nous retrouvons là tout simplement la forme déduite des résultats

généraux de L, HUGUES (l).

Les expressions très diverses que nous avons passées en revue

peuvent donc finalement être considérées comme théoriquement équiva¬

lentes, sous réserve des modifications que nous avons apportées à cer¬

taines d'entre elles. Ajoutons toutefois que nous préférons aux formes

en Arc sin Ja(L| les expressions du type A|oc , ne serait-ce que

pour de simples questions de calcul des profils...

Il importe toutefois de préciser qu'il existe une différence théo¬

rique due à ce que :

- les "Sutro-Weirs" ont des profils non asymptotiques à la crête

du déversoir, et leur loi de débit est, nous l'avons vu, du type :

Q a m.H - n

- les déversoirs en "Tour Eiffel" ont des profils asymptotiques

à la crête du déversoir et leur loi de débit est du type : Q^A.H

(l) L'on peut encore remarquer que, en identifiant Q..^.H d'une

part et QcYti H-iî\ d'autre part (expression du débit selon G,Di RICCO) ,

l'on obtient et T[\ = ^ , d'où a=3.'a(m= O et b ^^/Q.Jz^ (x

qui tend vers , ce qui correspond à la branche asymptotique à

Cx de la courbe y A/x^ .

- 11 -

Cette différence disparaît dans la pratique, puisqu'il n'est pas

possible de réaliser la partie asymptotique du profil, La solution pro¬

posée par P.A. ROUBINET dans l'étude déjà citée /~13j7 était de ne

faire partir le profil qu'à partir d'une certaine hauteur h» prise vo¬

lontairement faible (par exemple égale au l/lOO^ de la charge maximum )

la largeur x, de l'échancrure à cette cote étant maintenue constante

pour y compris entre h, et 0 ; les résultats des essais ont montré

qu'alors la loi de débit était de la forme : Qa^.H - cte , Nous

exposons ci-après la méthode proposée par P. MORIN pour tourner cette

difficulté, en y ajoutant quelques compléments que nous avons établis

en la matière.

LES DEVERSOIRS EN "TOUR EIFFEL" ; PROBLEME DE LA SECTION EQUIVALENTE t

dans l'étude déjà citée £^^J ** WORIN propose de remplacer toute la

partie de la courbe située au-dessous d'une cote y*y, par une "sec¬

tion équivalente", c'est à dire fournissant le même débit. L'auteur

considère que, pour obtenir cette équivalence, il suffit que :

- les centres de gravité coïncident,

- les sections d'écoulement soient égales.

En fait, il faudrait, en toute rigueur, compléter ces conditions

par les exigences suivantes i

- égalité des coefficients /^ (ce qui complète la condi¬

tion de coïncidence des centres de gravité),

- égalité des coefficients de débit 3 (ce qui complète

la condition d'égalité des sections d'écoulement).

- 12 -

Ces conditions supplémentaires ne pouvant guère être introduites

dans nos calculs, nous nous en tiendrons, dans la suite de ces lignes,

aux conditions fondamentales de coïncidence des centres de gravité et

d'égalité des aires; les conditions d'égalité des coefficients /3 et 6

seront cependant reprises lors de la discussion des résultats expéri¬

mentaux.

Seul le rectangle avait été étudié par P, MORIN /~9_7 comme sec¬

tion équivalente, le cercle n'étant évoqué que comme une possibilité;

nous avons étudié particulièrement les différents cas d'emploi d'une

section circulaire éijulvalente. L'ensemble de ces résultats se décom¬

pose comme suit :

1**) Section équivalente rectangulaire.asaeei^aaMgaaeagiiii mm ¡ummm^^^BimaamaamtsmmBaamm

Si nous considérons le profil inter¬

rompu en A et B, points définis par

la droite d'équation vj^y , deux cas

sont possibles, selon que ces points A

et B sont sommets de rectangle, ou

seulement sur l'arête supérieure.

11- A et B sur l'arête supérieure du rectangle -(Cas de figure Cl))

Dans ce cas, nous nous imposons deux

conditions, pour deux paramètres à dé¬

terminer; nous devons donc toujours

pouvoir déterminer un rectangle équiva¬

lent, quelle que soit la valeur de y .

L'on montre facilement /~9_J7 que

ce rectangle a pour caractéristiques

ho = 4.y /5 ^c= 5.

- 13 -

Nous pouvcma remarquer à ce propos que l'arête inférieure dn rec¬

tangle se trouve au-dessous de l'axe ûx et que, daas ces conditions,

la loi de débit Q^A.h devient Q,yfe(H~yj,3)

12- A et B sommets du rectangle - (Cas de figure (V) ) : le rectangle

dépend de deux paramètres qui sont sa

largeur Xo et sa hauteur h^ Or,

nous nous Imposons trois conditions,

à savoir :

- coïncidence des centres de gra¬

vité,

- égalité des aires,

- coïncidence des points A et B

avec les sommets du rectangle

(ceci ne constitue en fait qu'une

seule condition).

Nous rendons donc le problème impossible d'une manière quelconque

et nous pouvons tout au plus espérer trouver des valeurs particulières

de u pour lesquelles cette construction est possible.

En fait, ee cas est toujours impossible. En effet, la section

mouillée S\_ entre 0 et q^ est, pour la courbe u - A /x

*- a:

SI. ^ 2

y^ est, pour la courbe

..dy = /jjA.y,' =AA/^,

Or, si A et B sont sommets du rectangle, cela revient à écrire

^.-2.x , donc l'aire SI'' du rectangle serait il'=^, . h. =r 2 x. h,

La condition d'égalité SI . = Si' donne AA/x. -2.x. h.

d'où h, =,2A|tc/ = 2,y^ Le rectangle est donc symétrique par

rapport à Ox et son centre de gravité est sur eet axe| le eeatre

de gravité de l'aire définie par la courbe ty^Ajx^ entre i) ^ O

o^ y**^. étant évidemment au-dessus de cet axe, la coaditlom de

colncldenee des centres de gravité ne peut donc être satisfaite en

même temps que les deux autres t le caa de figure (?) est Inpossibla.

- 14 -

2*) Section équivalente circulaire.

Ici encore nous avons deux cas possibles selon que le c-ercle

passe ou non par les points A et B .

21- Cas où le cercle ne passe pas par A et B : le cercle étant défini

par son rayon R et la cote a de son centre, nous pourrons donc

toujours trouver un cercle équivalent, puisque nous ne nous Imposons

fjue les deux conditions relatives aux aires et aux centres de

gravité. Plusieurs cas de figure sont cependant possibles selon les

valeurs respectives de a et de y^

211- £a£ £Ù_ M>a _-i_(£*8 ¿*_''^iflL"í.®(¿) ) ' ®" adoptant les nota¬

tions de la figure \ZJ et en rappelant

que la distance CG, séparant le centre

C du cercle du centre de gravité G

de la surface 5 limitée par le cer¬

cle et la droite y '^ y. > est :

C&= _2.R^.sin^0 /5.5

les trois inconnues a , f^ et 6

sont liées par les trois équations ci-

dessous :

(1) a + R-.cose = y^

(2) R^[(K-0) 4 sine.cosQ ] = S = 4.jA.y/^/iAK

(3) a - 2.f^'. sin'e/3.5 , yj5

Ce système étant complété par l'inégalité

(4) R.sinô > x

qui caractérise le fait que nous sommes dans le cas de figure (V) .

Cette inégalité (4) peut êltre exploitée de la façon suivante :

l'équation (3) peut s'écrire 5.(3a-yJ - 2.K^.sin^Q

or l'inégalité (4) peut s'écrire R^sin^6 > -xJ" et, en rappelant

que 5=AA|x, , il vient finalement : . 2 A^ 4 x.a >

e.h.xl

- 15 -

Par ailleurs, nous avons : a< y^

permet d'écrire le système d'inégalités t

par définition, ce qui

, et

X^ 6.Ax^

nous donne, par rapprochement des termes extrêmes i

X,

- 16 -

nous pouvons dire que, pour G

de 3/J^ à A/JK^ , et se

présente donc sous l'aspect

ci-contre.

Pour que nous puissions

avoir une solution G^ , Il

faut naturellement que les deux

courbes se coupent, c'est à dire

que nous ayions :

5/J27 > /Âî^x! > l^lj^

ce qui donne {

(6)

variant

i^ii

3//2ir^

Mi?,

)

0

m.o

.i

.0,5

de 0 à

i,.,^Ar

v/a/2

4îliZ * y

3.(05 9[2(x-9)^

x^

11 .

décroît

sin 29j i Isin'e

sin IB]'"-

1 ^^-v

!>r/21 ^.

'itA/9 < X, X, , qui nous avait permis d'écrire x. < ^2A ,

ne caractérise pas vraiment le cas de figure (z) , Nous reviendrons

là-dessus aux §§212 et 214.

- 17 -

212- £a¿ £Ù__ j^ _ X.

Etant donné que les équations (3') et (4') sont respectivement

identiques aux équations (3) et (4) nous aurons encore :

2A'-4 xt

Par ailleurs, nous avons

définition.

a> y.

6A.x^

(ou a> A/x^ ) par

Dans ces conditions, deux classements sont à priori possibles, à

savoir t

Z AH xtclassement 1a >

A>

qui

6Ax^

nous donne le même résultat qu'au § 211, soit XI^k ZA (oa y,^jA|/i )

Il semblerait donc que, le cas de figure Çzj étant possible, comme

nous l'avons montré au début du § 211, et le cas de figure (V) étant

aussi possible, comme nous venons de le démontrer, un paradoice doive

être levé. Nous le lèverons au § 214.

classement 2 :

6Ax.^

A f qui

nous donne le résultat opposé au précédent, soit x,>JZA (ou y^

-lo

an raisonnement analogue à celui que nous avons développé au § 211,

trouver l'équation :(51) fm _¿.sin^6 - 5.cos6.[2.6- sinZB]

V2.x ' ~'[2.6-sin2ô]"^

Ici encore la solution

de la droi te

0 (y \ est donnée par l'intersection

y =A

2x!

avec la courbe d'équation y./i.^in'^e-5.cosG.[2.G-sin29]

[2.0 -sin 26] 511

dont nous étudierons ici encore la variation dans le domaine

û < Q < + Ti(2 ; tous calculs faits l'on trouve que cette équation

admet pour dérivée : ' C.^inQ [e.sinZB 4 2.6^ - /i.sin^Q j

^ ' [2.6- s^nZe j^'2-

dont on démontre facilement qu'elle est toujours positive ou nulle

dans l'intervalle étudié : y est donc constamment croissante dans le

même intervalle. Pour 0=0 , y se présente sous la forme indétermi¬

née 0/0 , de même que y . Ces indéterminations peuvent être le¬

vées facilement, en remarquant en particulier pour y , que

A sin'G = 5 sinQ -sin5ô , et en utilisant les développements limités, l'on

trouve finalement : y ^

Au

Ceci permet de dire que, pour 6 = 0 , nous avons y-0 et y _* 4 00 .

La fonction étant continue et définie pour ©4 0 , nous pouvons dire

G variant de 0 à +n/2, y croît de û à ^ />F^ «* se

^ 3(os0.l2(n-9)isin2ejili.sin'e

que pour

présente donc sous l'aspect ci-contre.'* ^'N^i^

Notons ici que, d'après ce que nous '^"' -^^

avons montré plus haut, y peut être

confondue avec la parabole à axe hori¬

zontal 5.>Î3^/lO , l'erreur relative

étant de /i9^/105 ; c'est à dire que

l'erreur relative reste inférieure à

l/lOO tant que e

- 19 -

Pour que nous puissions avoir une solution ô^ il faut naturel¬

lement que les deux courbes se coupent, c'est à dire que nous ayions :

ce qui donne :

(6') n.|2T//, s: 4 oo

Nous pouvons dire dans ces conditions que :

- pour x^ _ Tt.^2.A //» , nous avona Q^+T\jZ ; nous

avons déjà trouvé cette solution au § 211 et nous la détaillerons au

§ 213.

- pour "^0 + '^^ » nous retrouvons 9=0 , ce qui

n'est plus impossible, comme dans le cas de figure \3j , mais corres¬

pond à P^ -.. 4 oo , le cercle devenant alors l'axe Ox .

- pour ^.^¡î^jh < Xj ^ 4- co , 05 étant déterminé , R peut

être calculé à partir de (2') el a à partir de {!?),

213- Ça£ ohMo_j=^_ * la figure peut se déduire des figures

(T) ou Q) indifféremment, en y faisant Q-+Tt/2. ', aux §§211 et 212,

nous avons trouvé ce cas limite, correspondant à x,»ri.>jZA/A .

Il est cependant facile d'établir directement ces résultats :

-en effet, si 9.41112 , nous avons sinô.'l , cos 9,0 ,

et la surface S prend la valeur particulière S«ti R^/2.

- or, nous avons par ailleurs S«A.A/x, d'où R - Ô.A/tt.x,

- enfin, (3) ou (3*) deviennent, puisque sin 0 - -1 et

y,-'^ y»-'^'/^ ^ n"" / [^^^il) = 2.R|tt d'où R=.iT.A/2.x^

avons

- en égalant les deux valeurs de F^ ainsi trouvées, aous

«ti.'^Ta/ A et R^L.^jni^ =-l6.x. j^^

214- £o£cl,us^i£n¿ x dans ces conditions, il devient clair que

la valeur X. «^JTA ne constitue pas une limite significative, c'est

à dire que l'inégalité R . sin Q >- "x, ne permet pas de distinguer

leseas de figure (T) et (T) . Par contre, la valeur x,^ii Jz.A/A

constitue une limite significative et correspond au cas de 0»4-íif¿

(et y««^ ). Cette limite pouvait d'ailleurs être trouvée directement

- 20 -

en utilisant la méthode développée au § 213, et en considérant tout

simplement que le cas y.^*^ constitue évidemment une limite entre

les cas où \i et ceux où y^ _v[5.^J.9 ^ noua avons toujours des solutions ;

a) pour Xo quelconque dans l'intervalle \ -i-oo ,Yt.J2XA j

il existe à chaque fois une solution correspondante (§ 212) et nous

soimnes dans le cas de figure (4y ,

b) pour x^ = "n.jZ.A//( , tout est déterminé ( R^/t.JzT/n

et Cl = y^ ) (§ 213).

c) pour x^ quelconque dans l'intervalle |"n.J2.A //i , Jt^.A/^ j

il existe à chaque fois une solution correspondante (§ 211) et nous

sommes dans le cas de figure (3) .

- pour ^'^o ^^J'^^Jil^ «i.ii_u'JL-.5_£*£««®_£2lîiil2îi*

Remarquons toutefois qu'une certaine imprécision demeure pour

Tf, :jjfc ^7T.A/9 ; nous venons de dire que, pour Xo > 9 < > 0 , mais encore 0c :=- £. ^ Arc tq ïa_' ' ^ ^ y. -a

Cette Inégalité, qui n'est somme toute qu'une autre forme de l'inéga¬

lité R . sin 0 >'X, , ne pouvant pas être introduite dans les rai¬

sonnements développés aux §§211 et 212, il reste donc à choisir des

valeurs de X^ nettement supérieures à ^^.A/S , et à vérifier,

lorsque 9c et Q sont connus, que l'on a bien 0c > Arc tn ^'y -a

- 21 -

22- Cas où le cercle passe par A et B ; en faisant passer le cercle

par les points A et B, nous nous Imposons une condition supplémentaire

et nous pouvons tout au plus espérer trouver des valeurs particulières

de y telles que toutes les conditions puissent être satisfaites.

Nous reprendrons, dans le même ordre, les trois cas possibles

selon les valeurs relatives de y et de a .

221- Cas où yj>_a_ - j[Cjs_d5 XiStuü^^ ' avec les noia-0

tions de la figure ci-contre, nous

avons les relations suivantes t

a 4- R cos 0 .= y-^ o

R. ^in ô - X, ,|Â/i7o

R'.[(-rt-9) 4 sinQ.cosQ ], 5=.4.A/xo »/».«/Â!7.a - 2.RV sin'e/3.5 = y^/3

Les équations (fi) et (10) donnent : a - A. [A.] '^_ .^ ,d'où3.5 \ yJ 5

a, yJ3 4 A/6.y',

Cette dernière relation, combinée avec l'équation (7) donne

R.cos 9 , 2.y./3 -A/6.y^

En remarquant que R.SinQ - >|Ajy^ , il vient ig Q . , "-^ '^'>4A^-xl

et, en posant tg9_t , nous avons t.x^ 4- 6.A.x^ -/i.A^.t = 0 , d'où,

en prenant la racine > 0 (11) xUa[/9±WI1z1tge

Par ailleurs (9) donne (Tt-9 ) 4 sinQ.cosô^ A.^^A.yJ/ R^ et, en rappe-

R . sin 0 . ÎÂ/y^ , nous trouvons :

(12) (lr-9) 4sinQ.cosÔ = A-A.sin^ô/xt

lant que

En reportant la valeur de X de l'équation (U) dans 1 ' équ ati on ( 12

nous avons, tous calculs faits : r ,

l (13) (tt-Q) = sinZG A .^ ^9 4 A.t9^9 '

- 22 -

La solution Q¿ de l'équation (13) correspond donc à l'intersec¬

tion des courbes y^(d] et \ii{^) d'équations :

- 4^(9)- sin 2eIl4^/Â~4lq^

Une étude rapide de ^î[^) montre que pour 0-0 , nous avons y ^=0 ,

mais que pour Q^-^'ull , y^i^) ^e présente sous la forme indéter¬

minée Oxoo . Cette indétermination peut être levée en posant, pour

Q _» +-n/2. (par valeurs inférieures) s/^jh 4 tg^Q ia tg 9 , d'où :

sin 2.9 (/9/ÂTtq^ ) i/i2.sin^9 et finalement ,y^=sin29 4 sinZG. (/^lAvt^) -^ Z

La fonction y^iO) ne nous intéresse que pour 0 < 0

- 23 -

Enfin, compte tenu de l'équation (7) et des valeurs trouvées

ci-dessus pour x^ et R , il vient la relation

(16) Q == 0,6251A .yK

ou loga = (logA)/5 4 ï,79A59

En conclusion, nous pouvons dire que, pour une valeur donnée de A

le cas de figure (^ n'est possible que pour X. = 0,767 95 . ^A

les paramètres définissant le cercle, soient le rayon R et la cote

a (lu centre, étant alors définis par les relations (15)et (16) ci-

dessus .

y_

- 24 -

Ceci permet de conclure rapidement que

- pour 0=0 y y^ = 0 et y¡ 4 1

- pour 0 » 47^/2 .42. et y, = 4 2. (les indétermina

tions, de la forme Oxoo , étant levées comme dans le § précédent).

L'on constate que ^,[^) et M/,(^) » admettent toutes deux la

bissectrice comme tangente au départ; si nous prenons 0 coimne in^

finiment petit principal, nous avons

_ sin 2G \A 29

2 9L

'kLA _.

2

A 4l.itg^Ô2. 9

- et finalement y^(9) la 2.9 L.Îa 4 i^^) _ ^ 1 = 9 4 ?^

Dans ces conditions, la courbe

ci-contre .

La seule solution possible

est 0=0 , c'est à dire que

le cas de figure (ó) ne peut se

réaliser que pour R cxd

( R » 'X. /Vin Q ) , le cercle se

confondant alors avec l'axe Ox

Nous sommes ramenés au cas de

la courbe y>A/x^dans sa totalité.

y^{9] se présente sous l'allure

.i,f

,^- V y, . sin 20. [JWSS^^ 7/

y.-^

iJ ,= sin 2d.[fili7t^.l]

iiSls.Q rodioni

223 ^a£ jOÙ__ _y_=^Q;. _ : le système d'équation devient

(7") a.y

(6") R»oc.

(9") S = 7i,RV2 -A.7A7¿;,A.A|x.

(10-) a - 2.RV3.S - y./5

puisque pour y^»a , nous devons avoir 0=: + tt/2-

L'on peut écriret a= yJ5+2.R'/3.5 = yj3 4 2.R'/3.(tT.R^|2)

yj3 + A.R/3.n «y. R = -n.A)2.x K^ = n^.AVA.x;

- 25 -

L'on peut écrire aussi Tt.R^/Z - A.A /x _ R"" . a.A|ïï.x.

En égalant les deux valeurs de ñ l'on trouve : x

Par contre en écrivant par exemple :

R". Ti^.AyA.xt , xt -* T^^'fJJz

Ces deux valeurs de x, étant différentes, le cas de y^-a est

donc impossible.

224- Coiiclusion£ : en résumé, lorsque nous imposons au cercle

de passer par les points A et B, il n'existe qu'une seule solution pour

chaque valeur du paramètre A ; c'est alors le cas de figure (s) qui

est valable, soit y > a ,

Notons ici que, si nous considérons la famille des courbes d'é¬

quation y=.A/x^, et que nous donnions

au paramètre A les valeurs A, ,A^,A2...

...Ap , les points A et B correspon¬

dants s'aligneront sur deux droites

passant par l'origine et de pente

m= i 1, 69565 /o,7679S

puisque ces points sont tels que nous

ayions : - x. - i 0,76795. ^Â"

_ y. - 4 ^,69565 .'jV

Par ailleurs, nous pouvons remarquer que, la courbe y - A j tc

ayant pour dérivée y'. -2.A |x' , la tangente à y.AJx^ en B

est caractérisée par une pente constante égale à

y^- _2 / (0,76795)' , -A,A^62 .de

ce qui entraîne : P* 65,623 erodes . cte

Enfin, pour ce qui est du cercle, nous avons, au signe près, et

en appelant m^ la pente de la tangente en B

mo= tg (ii|2.-c

- 26 -

d'où m. = lM^21ll!___-.0,7160= cte1 -(0,65514). (0,7è79S)^

dL4 60, kM erodes -etc

Nous pouvons donc dire que la solution trouvée présente les

caractéristiques remarquables suivantes t

- Si Ao est une valeur donnée du paramètre A

le point de rencontre du cercle avec la courbe y»A/x ,

le centre du cercle correspondant et

si nous considérons d'autres valeurs

A^,Ai, Ap du paramètre ,

auxquelles correspondent autant de

points ( B^,C.,), ( B2,Ct)

( Bp,Cp) , nous pouvons dire que

les triangles OBoC, , OB.,Ci ,

0 B ,, sont sembla-

bles.

- Aux points 5,

A >.A,

Bq étant

étant

...Dp..,, (et aux points A

Apqui leur sont associés) , les tangentes au cercle d'une

part, et à la courbe y.A/x^ , font entre elles un angle i^ cons¬

tant, tel que (^#1^5,756 Grades (puisque oi# 60, JjM ûrûdts et j5=)^65,825 ôrodts ]

3*) Conclusions - choix de l.a.section égulvaje^^.

Nous pouvons donc, pour une valeur donnée du paramètre A , con¬

sidérer deux cas t

a) si nous admettons que le profil de la section équivalente se rac¬

corde aux points A et B par des tronçons de droite parallèles à la

crête du déversoir, nous avons toujours une solution, pour une valeur

de X, quelconque :

- quelle que soit cette valeur, dans le cas d'une section

rectangulaire (voir § 11);

- à condition que cette valeur soit supérieure à uae cer¬

taine limite, dans le cas d'une section circulaire; trois cas de fi¬

gure sont alors possibles (§§ 211,212 et 213),

- 27 -

b) si nous Imposons au profil de passer par les points A et B, sans

tronçons de raccord, la section équivalente ne peut être rectangu¬

laire, et, pour une section circulaire, nous n'avons qu'une seule

solution possible pour chaque valeur de A. (voir §§ 221 et 224).

Compte tenu des propriétés géométriques qui en facilitent la

construction, les profils de cette dernière catégorie semblent devoir

être préférés. De plus, le remplacement d'un rectangle par un cercle

doit avoir d'heureux effets sur le coefficient de débit de l'ensemble;

il ne nous a malheureusement pas été possible de faire les essais coii>-

paratifs des deux sections équivalentes.

LES aÈVLRSOIRS L\ "TOUR EIFFEL" : EXISTENCE D'UN PUOFIL TYPE î nous avons

démontré que le profil pouvait être exprimé sous les deux formes théo¬

riquement identiques î

x''.y 3.^^ _ A^

Il y a toutefois lieu de considérer que, dans le cas où la par¬

tie asymptotique est remplacée par une section équivalente, le coeffi¬

cient A n'est plus égal à IL. iàT , mais est inférieur à cette

valeuri nous ne pouvons plus alors écrire : x.y»u A'l.^.T\\Q'

mais seulement : '3c*:y ^ Sh6A.9.j3»-.0^

Nous remarquons donc que l'expression de P. MORIN présente l'avan¬

tage d'être applicable à l'interprétation des résultats expérimentaux;

alors que l'expression de L. HUGUES ne l'est pas.

En principe le paramètre significatif sera le rapport Á.Jp.Q ,

puisque -x^U ="S.M^ peut s'écrire :

Ceci nous permet de remarquer que tous les profils ^(y) s®

déduisent les uns des autres grâce à une simple affinité par rapport

à l 'axe 0"^

Valeurs de log /^^coj

il

yom

2,0

2,2

2,42,6

2,8

3,0

3,2 i

3,4

3,6

3,8

i 4,0

4,2

4,4

4,6

4,8

5,0

5,2

5,45,6

5,86,0

6,2

6,4S,6

6,8

7,0 ,

7,2

7,47,6

7,88,0

8,2

8,48,6

8,8

9,0

9,2

9,49,6

9,8

10,0

10,2

10,410,6

10,8

11,0

11,2

J

1,.

1,68.91266.842

64.95363.215

61.6051,60.107

58 . 706

57.38956.148

_ 54.9741,53.860

52.801

51.79150.82549.901

1,49.015

48.16347.344

46.55445.792 ii

1,45.056 i

44.344 !

43.654 142.986 {

42.338 I1,41.708 1

41.097 140.502 139.923 i

_ 39.359 11,38.809 i

38.273. 137-749 î37.238 i

36.739 11,36.251

35.774

35.307

34.850

34.402

1,33.963

33.533

33.112

32.698

32.292

1,31.89431.502

1

_om

y

11,411,6

11,8

12,0

i 12,2

12.412,6 i

12,8

13,0

13,2

13,413,6

13,8

14,0

: 14,2

14,414,6

: 14,8

15,0

15,2

15,415,6

15,816,0

16,2

16,416,6

16,8

17,0

17,2

17,417,6

! 17,8

18,0

18,2

18,418,6

18,8

19,0

19,2

19,4i 19,6

19,8

20,0

20,2

20,420,6

!

loeí^.o.)

1,31.118

30.740

30.3691,30.004

29.64529.292

28.94528,603

1,28.266

27.93527.608

27.286

26.969

1,26.65726.34926.04525.746

25.450

1,25.15924.87124.58724.307

24.030

1,23.757

23.48723.221

22.958_ 22.698

1,22.441

22,18721.93621.688

_ 21.442

1,21.200

20.960

20.722

20.488

20.2551,20.026

19.798

19.573

19.350

_ 19.130

1,18,912

18.696

18.482

18,270

om

y

20,8

21,0

21,2

21,421,6

21,8

22,0

22,2

22,422,6

22,8

23,0

23,2

23,423,6

23,824,0

24,2

24,424,6

24,8

25,0

25,2

25,425,6

25,826,0

26,2

26,426,6

26,8

27,0

27,2

27,4

27,6

27,8

28,0

28,2

1 28,428,6

28,8

29,0

29,2

29,4

29,6

29,8

30,0

l

- 2Ô -

Finalement, si nous appelons (cj^oo le "profil type", tel que la

valeur correspondante da paraaibtre soit ^/ft.6=i00 , et {^) p 1^

profil tel que nous ayions {Al ¡ Pi.Q)^ p , noui aurons, pour une lalnie

valeur de y , la relation : oc ^ | x^^^ = p j AOO>\oo

Le tableau ci-contre donne les valeurs de log Íx^oq] pour

toutes les valeurs de y allant, de 2 en 2 mai, depuis 2 cm jusqu'à

30 cm.

o L, TU D L S ii X P L UI ..iL-.MT A LES î exposé des résultats, discussion.

Aires un bref rappel des résultats obtenus par f. ..lük'l.., nous

développons les résultats de nos propres essais et analysons ensuite

les raisons qui permettent d'expliquer les écarts observés entre ces

diverses experiences.

1") résultats de P. LiU:;iu : dans la note déjà citée ¿^7

l'axiteur décrit les expériences faites avec deux plaques déversoirs

ayant respectiveiuent conuae valeurs du p.iraiactre A

A^ = i,A75 A2,=0,a66

Ces plaques rectangulaires (25 X 20 cm) étaient en duralumin de

2 latn d'épaisseur ; les essais ont pcr.ds 'c calculer le coefficient

dit de contraction m dont les valeurs étaient :

- plaque A (paramètre A-, ) (débit capable : 6 à 125 l/m)

-m =0,76

- plaque B (paramètre Aj, ) (débit capable : 3 à 30 l/m)

-m =0,73

P. .\iO;£lN en déduit un coefficient ex!>ériraental moyen ^m -j^ 0,75.

Vue détr.ilîce de 1 • ccoul

B

1

:

1

*

:«

1

3

î

*

*

«

ï

t«

1*

t

t

:*

«a

«

^rnn*

îk

3

:

20 \

22

24

26

28

3C

32

34

36

3''^

40

42

44

46

48

50

52

54

56

58

60

64

68

72

76

jI

tIm

a

t«

*

Profil 1

U,66

13,93

13.39

1^,00

1^.39

llf97

11.59

11, -^5

1C,93

IC , 'S

10,37

1C,1P

9t^9

9.67

9,46

9.^7

9,09

C,76

9,61

ô,47

8,20

7.95

7,73

7,52

i Profil £

8

i 19.55

î 13,64

1 17,85j 17,15

i 16,52

i 15,96

1 15.46

i 11,99

j 14,57

i 14, IB

1 13, 8r^

i 13,49

1 13.18

j l-^ïSo

1 1-^,6?

j 1^.37

1 1-^.13

j 11,00

1 11. -'3j 11.48

j 11.291 10,93

1 10,60

i 10,30

i 10,03

: Profil 3 I

*

*

«

1

ît

1

i*

*

29.33 i

27.96 i

26,77 j

-^5,7-^ j

24.79 j

23,95 j

23,19 i

22,49 i

21,36 i

?1,?3 1

-^0,74 î

20,24 i

19.77 i

19.34 118,93 i

18,55 i

18,19 1

17,35 1

17.53 1

17,22 j

16,93 1

16,39 1

15,91 j15,46 î

*

15,04 j*

.rnn

iprofin ÎProfilS. iprofilS î

80

86

92

SQ

104

110

120

130

140

150

I''ou

170

lOo

190

?0C

210

?'50

230

240

250

260

270

I 2S0

î 290

i 7,33

I 7,07

I 6,84

I 6,62

j 6,43

\ 6,25

I 5,99

\ 5.75r: r ^

5.35

5,18

5.03

4.39

4.76

: 300

^ I '4,i,.q.

\ 4,52

I 4,42*

I 4,32

i 4,23

\ 4.15I 4,07I 3,99

j 3,92

I 3.85

i 3.79

9,78

9.43

9,1-^

8,33

8,57

8,34

7.9s

7,67

7,39

7,14

6,91

6,71

6,34

6,13

^3,23

5,39

3,77

5.64

5,53

X

A

X

X

i 14,66*

i 1;.14

î 13,67

I 13,-^5

i 12, 3o

I 1:^50

i 11,97

i 11,5^'

: 11,0c

I 10,71

i 1C,37 _1 1G,06 i

I 9,70j 9,51

I 9.^7j 9.2;

I 8,34I '^ , '-' 5

I S, ;6«

j 8,29

I 8,13

I 7.9s

I 7,84

7,70

7,57

- 29 -

2") détail de nos résultats : nous avons fait cons-

t ru i re trois plaques déversoirs de parambtres :

A, . h,5Q0h A,-7,bi*52 A,=17,Z01b

(correspondant à des valeurs Á ¡ ¡^.Q , respectivement égales à 300,

100 et 600)^

Les prof ils ont été réalisés dans des plaques de laiton de 2 lam

d'épaisseur, el de forue rectangulaire (30 x 40 cm pour les profils

1 et 3, 30 X 33 cm pour le profil 2).

Les sections équivalentes ont été choisies rectangulaires. Pour

les trois profils nous avons pris y^ ~ 2 cm, d*où la hauteur

du rectangle ; ha = ¿i.L)J3 =. 2 , ô66 cnj la largeur Z^ du rectangle di-

fère selon les profils puisque, rappelons-le, nous avons ;

/?.o = 5 Xo ^ ^ yA.y^ , et les différentes valeurs de -Ç«

sont respectivement :

(i/^ =. 4.4 cm , [i,]^= 5,805 cm , (^^3= 6,8 cm

Les essais ont été faits au Laboratoire d'Hydraulique de l'tcole

Nationale du Génie Rural, dont nous n'avons utilisé que le canal vitré

à inclinaison variable (pentes pouvant varier de - 3 >. à + 15 %) »

La photographie la donne une vue d'ensemble de ce canal d*une

longueur totale de 8 m, 50, dont ó m, 75 sont vitrés (en 5 panneaux),

d'une largeur intérieure de 0 m, 30 et d'une profondeur de ü m, 50. Lea

photographies 2a, 2b et 2d nous montrent les feuillures à blocage

d'écran per'^iettant la fixation des diverses plaques dont on veut faire

l'essai (l)* Ce canal, pourvu de dispositifs d'uniformisation à l'a¬

mont (photographie Ib) et à l'aval (photos le et ld),peut être alimen¬

té à un débit compris entre 0 et 300. l/sec<

(1) l'on remarquera, sur les photos, la présence d'un châssis de bois

destiné à permettre l'essai de nos plaques, d'une largeur de Om,30

dans un canal de rnSme largeur. Cette dimension nous était Imposée

pour des raisotss matérielles particulières.

Photographies la, Ib, le - Id

r

la : Vrue générale d'un essai Ib : Panneau de contrôle des niveaux

r

le : !)é*versoir en place dans lecanal

ld : dispositif de mesure du débit

Photographies 2a, 2b, 2c & 2d

2a i Vue aval de l'écoulement 2 b : Vue amont de 1 • 6 cou le nient

2c : Vue latérale de l'écoulement 2d : Vue de dessus de 1 * écoïil eraent

Des prises de pression établies dans le fvjnd du canal (photo le

et vue détaillée de l'écoulement) penne tten t , soi t de lire directement

les niveaux sur un panneau de contrôle P , soit de renvoyer ces

niveaux sur une pointe de mesure M donnant le 1/10° de mra .

(photo 1 b) .

Le débit peut être mesuré, soit par empotement dans un bac de

110 litres (photo Id) pour les petits débits ( < 7 l/sec) , soit

par un Venturi placé sur la conduite d'alimentation du canal (et dont

le dispositif de lecture V est visible sur la photo Ib) pour les

débits supérieurs à 7 l/sec.

.\os trois séries d'essais ont été faites avec pente nulle du

canal, lecture directe des niveaux au 1/2 mra près, mesure de débits

soit par empotement avec erreur de 0,2 litre (entre 100 et 110 litres)

et 2/10° de seconde, soit par Venturi (avec emploi de la courbe d'éta¬

lonnage du Laboratoire). Les profils étaient placés à l'extrémité

aval du troisième paaneau vitré, soit 4,05 mètres après la sortie du

dispositif amont d'uniformisation.

Les essais ont été faits :

- pour le profil 2, (qui fut en fait le premier expéri¬

menté) à charge décroissante et par couples de mesures correspondant

à deux états très voisins .

- pour les profils 1 et 3, à charges croissante, puis

décroissante, et avec étalement des mesures.

Les résultats sont consignés dans le tableau c- 1 les graphi ¿ues

RÉSULTATS DES ESSAIS

1*»- Tableau

-31a -

1 PROHL

Charge

(en cm.)

27,70

23,20

20,30

16,25

12,38

9,22

5,94

2,66

6,33

6,43

12,96

13,28

16,85

17,05

21,90

27,65

29,35

Débitq

(en ils.)

4,86

4,12

3,62

2,90

2,24

1,64

1,05

0,45

1,15

1,52

2,38

2,42

3,09

3,09

3,94

4,93

5,21

n i^/^.o=

Volume

empotell.j

105,0

103,5

105,2

102.7

104,8

104,2

105,4

103,5

105,0

101,8

102,8

103,0

102,0

102,5

103,7

109,0

102,0

Temps

,500)

de

remplissage (s.)

21"

25"

29"

35"

46"

63"»

100"

230"

91"

66"

43"

42"

33"

33

26"

22"

19"

5/l0«»

1/10»

1/40"

4/10»

9/10*

5/10»

5/10»

-

2/10»

8/10»

I/IO»»

6/10'»

2/10»

S/IO»

1/10»

6/10*

PRon'L a (Ji/yS.Q

Charge

(en cm.)

23,45

23,55

19,30

19,40

17,05

17,00

12,90

12,85

9,55

9,45

5,60

5,60

2,90

2,90

2,60

2,60

ÛéÔLt Q i^olume Temp

fen l.js.j empctéfl.) remplà

5,57

5,56

4,68

4,70

4,13

4,14

3,16

3,18

2,28

2,27

1,49

1,49

0,66

0,66

0,603

0,606

103,6

103,95

103,5

103,4

104,0

103,9

103,3

103,8

103,6

103,9

103,5

103,0

106,0

106,1

103,9

104,3

18"

18"<

22"

22"

25"

25"

32"

33"

45"

45"

69"

69"

160"

161"

172"

172"

= 400j

s de

sage (s. }

6/10»

Í5/100»

1/10»

-

2/10*

I/IO»

9/10»

1/10»

4/10»

7/10»

4/10»

-

2/10»

2/10»

4/10»

-

PROFÍL 5 (J^/^.0^600)

Charge

(en cm.)

4,01

8,96

13,78

17,32

25,36

30,0

24,82

20,30

17,32

11,84

7,08

4,70

3,02

Débit Q

(en L/s.)

1,35

3,18

4,91

6,0

8,9(1)

10,6(1)

8,9(1)

7,5(1)

6,05

4,26

2,45

1,63

1,05

Volume Temps de

empote (L) remplissage (s.)

103

103,3

107,5

101,5

(1)

(1)

(1)

(1)

104,0

101,8

103,0

102,5

105,5

77" 6/10»

32" 6/10»

21" 9/10»

16" 9/10»

(1)

(1)

(1)

(1)

17" 2/10»

23" 8/10»

42" -

62" 9/10»

103" -

1) Ces débits ont été mesurés

directement au Venturi*

-31 b -

RESULTANTS DES ESSAIS

2»- Graphiques

Lm_;__,_4.

.9.

smm^smw^W^ms'^'^^^^^'

mU'sec.rtrrrr

"I"-':;;'"

p£S\ MAi^EÎMSWi^ñsmasl,, Z^^ Prûf// ^

\c> série (^s obsermfipos à chaf^ i^ssàniiem- '^---km'-' SS

-^S..S .. .\ - -i-"-'--;-; ' ;" 'i-^ . ._-,:-''\.i.ii 'of^cmjÁsmfemS:-^i^m''-S^^

/['iwdicejY presse quiete débit a «le raesufé ou Venturi ^^¡ti;,[^;- ]: :

5i

7

-+- \ i-

t

.... ' \ '

-.Sr--:;

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1- . -

y.'S;-: t__.--__

i ' : :-4"- -r^ ^ -;-

' - 1 ' " - ' '

-'-^-"^:|=[

mmx

;ij:i-:ti-i

:irH!!-

"-imi-

2^ :3b^: en cm^

- 32 -

Il semble que les couples de mesures (Q,ti ) obtenus à charge

décroissante soient léjoreraent mieux alignés que les couples obtenus

à charge croissante, ceci sans doute à cause de la stabilisation plus

rapide, dans le premier cas que dans le second. Le défaut d'alignement

des points obtenus avec le profil 2, pourtant essayé uniquement à char¬

ge décroissante, peut être attribué aux imperfections qui se sont atta¬

chées à ce premier essai , et dont nous avons tenu compte pour amé¬

liorer les conditions d'essais des profils l et 3.

Il ressort de ces essais que :

1°- les relations ^[W] sont bien linéaires et de la for'-ie générale :

2® les valeurs du coefficient de débit 0 peuvent être calculées

comme suit :

- des graphiques nous pouvons déduire les valeurs réelles

de /fe. , soient :

profil 1 Q= 4,45 l/s pour H = 25 cm > Ài = 1 7Ô cro^/s

profil 2 Q= 0,05 l/s pour H = 25 cm _^ J?5,= 242 cra^/s

profil 3 Q= 6,83 l/s pour H = 25 cm _^ Á,- 353 cm-/s

- or, les profils 1,2,3 étaient caractérisés par les va¬

leurs suivantes :

(j.//i.9)^= 300 , (^//iO)^= 400 , (i.//i0)^= 600

- nous pouvons donc calculer le produit /3.Q , et nous

trouvons :

(;3.el^ = 0,593 , (p,8)^= 0,605 , (^ô)^- U,5ô6

- il nous reste cependant à séparer l'un de l'autre les

coefficients /!> et Q . Ceci n'est guère possible, du moins dans le

cadre des essais très rapides que nous avo.is réalisés. Nous pouvons

cependant penser que le remplacement de la partie asymptotique à la

crête par un rectangle a pour effet un accroissement du coefficient

f!) de l'ensemble par rapport à la valeur /3 = ît. /5/32 # 0,962

- 33 -

correspondant au profil complet; en effet si, selon .îLiiTi^X (l), nous

considérons un orifice rectangulaire de hauteur H , h étant la charge

sur le centre de gravité, nous avons :

- pour h /H = 0,5 _» ]^ = 0,944

- pour h/ H = 0,588 __^ ¡^ = 0,964

- pour h/H > 1,11 _» /^ > 0,99

et, avec nos notations, soient y la charge et ho la hauteur du rec¬

tangle ( h = A.ü /3 ), nous avons " ^ 3 . y - l| . ^j. ¿ou^gg nos

plaques étaient telles que y = 2 cm, d'où nous concluons :

- h/H = 0,5 pour y = 2 cm (= yj_^ jb = 0,944

- h| H = 0,5ôô pour y = 2,235 cm _^ /3 = 0,964

-h/H>l,ll pour Lj> 3,626 cm _» jî > 0,99

Ceci nous permet de constater que, pour tous nos essais, l'orifice

rectangulaire étant toujours noyé, nous avions sans doute, pour le rec¬

tangle, ft > 0,964 ; cette valeur étant elle-même supérieure à

y5 =7\ /5|32. , nous sommes fondés à affirmer que la valeur du coeffi¬

cient ft de l'ensemble est, dans les conditions de nos essais, toujours

supérieure à 0,96.

tn tenant compte de ces remarques, le coefficient de débit est

compris entre deux limites, correspondant l'une à ft = 1 , et l'autre

a. ft = 0,96. Dans ces conditions nos résultats se présentent sous la

forme suivante :

-0,593 < Ô^ < 0,6ia ; 0,605 < 9;^< 0,630 ; C, 505 < Ô3< 0,612

- soit en moyenne 0,595 < 0 < 0,620

3**) Comparaison des résultats : les résultats de P.

MOlilX et les nôtres diffèrent donc très sensiblement puisque :

- selon les résultats de P. iiORIX 0=.m^O,75

- selon nos résultats 0,595 < 0 < 0,620

(1) d'après L.J. TISON, "Cours d ' liydrauli (jue " Tome I, page 108

- 34 -

Les divor;:; causes po.siLîo.;, pcraettaat d'expliquer c t écart iiupor

t£;;t , süi.t álüdif'es ci-après î

A- '"arac t .''ris t i-jues (ie I :i paroi ei -.Uî orofil : les déversoirs étaient

dans les deux cas en paroi r.!ince : plaques de 2 ni.; d'.'paisseur avec

profils à bord droit. Les écov;le;ients .'taieai de plus non noyés.

- .;ins nos essais la faca av-ûl seule était polie, la face

aï"Oit étant resiée brute (ou du i^ioins dans l'étal naturel du laiton).

¡)an=; lo3 essais de i'. ^iU.li:: la f.^cs a.îoît n'était c . r taineiaent pas

d'une rîHjOiîité particnli bremcnt élevéa (cannelures, grains de (¡uart2

collés, etc..) et nous pouvous lonc penser '.¡uo la surface du duralUí'.iiü

ét..;it fiûit jOlie, soit plus probable ont brute. Ltant donné tjue la rv-

yositc de l;i f.nce .TTiOnt accroît le uo.bi î , nous pouvons admettre que

nos résultats s ¿at au cioins coi.iparables à ceux de i'. .¡C.-il.'J dans la

première hypothèse (faces ainoat brutes dans le-i deux cas) sinon supé¬

rieures dans la deuxièrae hypothèse (face ai.iont brute dans nos essais

et polie dans ceux de ;'. o:!I.\).

- El l'on cürj£idere le rapport ç de l'aire Sic du rectanoîe

(équivalent) à l'aire totale -^(y) » et coiiîpte tenu de la relation :

ç^ = ilo /-^ = 2c/-x y/y , nciiE pcuv cr.2 observer que ces rapports

sont plus élevés dans nos expériences -ue daus celles de i'. . L.îI' .

Nous dvioas en effet :

- dans les essais de P. .;0;î,' ( profil .;

( profil 3

( profils î '; 3

( profil 2

- dans nos essais

e

e

ç

e

= o,irjCi

= C,174

_ A > ^ 7V^ J £- -.î f

= C,315

Or, lorsque ç«s-ilo/il aug;nente, îe r i >port h/H défini précé-

de:^:;:ent diminue, et, par voie de conséquence le coefficient ft de

l'enseuible diminue de mène. Donc, le coeff ici ent ji) étant plus faible

pour nos essais que pour ceux de P. -'iU.;i.''J , les valeurs de Q sont,

toutes choses étant égales d'ailleurs, plus élevées dans nos essais

que dans ceux cie P. MORIN,

- 35 -

B- Caractéristiques des dispositifs d'^^ssai : la comparaison des

deux dispositifs e.st en fait particulièrement délicate car ceux-ci

sont fondamentalement différents ;

- les mesures de P. MORIN ont été faites sur des plaques

fixées en paroi latérale d'un bac alimenté par un dispositif tranquil-

lisateur (compartiment d'arrivée de l'eau avec vanne de fond alimen¬

tant le bac du déversoir).

- nos essais ont été faits en canal à fond plat avec

4 m, 05 d'approche, et dispositif d 'uniform! l on (guideau métalli¬

que ) .

Si nous reprenons en détail ces dispositifs, nous constatons que

a) en ce qui concerne le champ des vitesses ;

- Dans les essais de P. AiOHIN, l'alimentation du bac de

mesure se faisant par le fond, les vit esses peuven t conseiver une com¬

posante verticale non négligeable et nous en voyons la preuve dans les

remous superficiels qui apparaissent sur une photographie faisant par¬

tie de l'étude citée [_ 9_7. Ce pliénomène entraîne un accroissement des

vitesses suj'S rf icie i les qui se traduit lui-!:¡eme par un accroissement

du débit.

- l/'ans nos essais le dispositif se rapproche énormément

d'un déversoir liLHlîOCK,

- En fait de nombreuses études, et en particulier celles

de REHBOCK, ont permis de constater que, si les résultats de B.\ZIN

pouvaient être considérés comme généralement trop élevés, de 1 à 5 ^1

selon les auteurs et les conditions, l'écart devait être attribué aux

grandes vitesses superficielles réalisées dans les déversoirs BAZIN,

en canal long (23 raètres); au contraire les autres auteurs, dont

RLUBOCK, travaillaient plus généralement avec des canaux courts (moins

de 7 m) et utilisaient des dispositifs d'uniformisation des vitesses.

Dans ces conditions, et considérant que le dispositif de P. MORIN fa¬

vorise particulièrement les vitesses superficielles, nous verrons dans

la différence de répartition des vitesses à l'amont du déversoir une

explication des écarts enregistrés.

- 36 -

b) en ce qui concerne la hauteur de pelle :

- Dans les essais de P. .UORIN la hauteur de pelle p

était certainenent supérieure à la charge h la plus forte; dans ces

conditions nous pouvons dire que le rapport h / ( h + p) était com¬

pris entre 0 et 0,5 au maximum»

- Dans nos essais nous avions p = 42 à 47 imn, et fina¬

lement le rapport h /ih + p) était compris

entre 0 et 0,83 pour le profil 2

entre 0 et 0,88 pour les profils l et 3.

- Or toutes les expériences montrent que le coefficient

de débit augmente avec h / ih+p] .11 ressort de ceci que nos es¬

sais devaient, toutes choses étant égales d'ailleurs, nous donner des

résultats plus élevés que ceux de P, .MORIN, c'est à dire que, si les

conditions avaient été les mêmes quant à la hauteur de pelle, l'écart

aurait été encore plus grand entre les valeurs du coefficient de débit,

c) en ce qui concerne les dimensions latérales respectives de l'é

chancrure et du dispositif d'essai ;

- Il a été démontré que, pour un déversoir rectangulaire

de largeur .Z , placé dans un canal de largeur L , le coefficient de

débit augmentait avec le rapport ^ / L .

- Par analogie, nous pouvons penser que nos essais ayant

été faits avec des valeurs de 1/L nettement supérieures à celles de

P, .UORIN (l) , l'écart observé entre les valeurs du coefficient de

débit aurait été encore plus grand si les conditions avaient été les

mêmes quant au rapport S/L »

C- Considérations de similitude : dans la théorie des écoulements à

surface libre (orifices et déversoirs), et en particulier d'après les

lois de la similitude, l'on démontre qu'il est possible d'obtenir des

courbes d'érjal coefficient de débit 0 en fonction du nombre de

REYNOLDS J^e et du raiiport 1) / H ''^ , où t) est la viscosité ciné¬

matique et H la charge.

(l) dans nos essais nous avions L - largeur de la i)laque, alors quedans ceux de P. .'.lORIN, la largeur L était: L^^i, (largeur de laplaque.)

- 37 -

- Dans le nombre de REYNOLDS ^^='^-°- , nous pouvons pren-

dre, au lieu de la vitesse réelle V dans la section contractée, vi¬

tesse difficilement mesurable, la valeur >/2.9..H , puisque, dans de

tels systèmes, la loi de REECH-FROUDE doit être aussi vérifiée, ce qui

revient à poser '^/J9.-!~t = cte .

- Les deux séries d'essais ayant été faites avec de l'eau ,

et à la température ambiante, les variations de "v) sont pratiquement

négligeables, d'un essai à l'autre.

- Par contre, et pour toutes les raisons exposées précé¬

demment, les essais ont été faits dans des conditions tellement diffé¬

rentes que nous ne pouvons guère envisager d'utiliser l'ensemble des

résultats en vue de tracer les courbes d'égale valeur de 9 ; de plus

il y a lieu de remarquer que, pour une étude de ce ge^re, lu précision

des mesures doit être maximum, ce qui n'était pas absolument nécessai¬

re pour nous, compte tenu du but recherché (démonstration de la linéa¬

rité de Q(H) et recherche de la valeur moyenne de G ).

- Nous pouvons toutefois remarquer que la plus forte va¬

leur de 0 observée l'a été avec le profil 2, alors même que c'est ce

profil qui a été essayé avec la charge maximum la plus faible. Ce fait

pourrait correspondre à la loi bien établie selon laquelle le coeffi¬

cient de débit varie en sens inverse de la charge. 11 ne faut cepen¬

dant pas négliger le fait que le rapport c^.H./íl vaut 0,315 pour le

profil 2, et seulement 0,257 pour les profils l et 3 , ce qui entraîne

un coefficient ft plus faible, donc un coefficient de débit 9 plus

élevé; nous ne pouvons donc pas savoir si cet accroissement de 9 pour

le profil 2 est du soit à la faible charge H , soit à la forte valeur

du rapport ç , l'hypothèse la plus probable étant que ces deux phé¬

nomènes jouent simultanément.

D- Conclusions t nous pouvons affirmer que l'écart entre les résul¬

tats de P. -MORIN et les nôtres est certainement supérieur à celui qui

existe entre les valeurs 0 = 0,75 et 6= 0»62,

- d'une part en raison de ce que, dans les essais de P.

MORIN, ce n'est pas en fait G qui est déterminé, mais bien le pro¬

duit ft .Q ; comme nous avons ft^i nous pouvons écrire :

0 = 0,75 / ]5 > 0,75

- 38 -

- d'autre part, et pour toutes les raisons développées aux

§§ A et B, nous pouvons affirmer que nos essais ont été faits dans

des conditions propres à accroître le coefficient de débit 0 : si

nous nous mettions dans les conditions des essais de P. MORIN, nous ne

pourrions trouver que des valeurs inférieures de et nous pouvons

donc écrire G < 0,62 .

- Nous pouvons donc conclure que l'écart entre les résultats

est certainement supérieur à 21 jS ( = 0,75 - 0,62 ) et plus vraisera-

0,62

blablement de l'ordre de 25 >. De tels écarts sont signalés comme

possibles par L.J. TISON qui les attribue aux accroissements des vi¬

tesses superficielles, explication que nou? retiendrons, et qui attire

une fois de plus l'attention sur l'importance bien connue des condi-

ti ons d ' essais .

CONCLUSIONS GENERALES i sur le plan théorique le plus général, nous avons

démontré que toutes les formules, parfois très différentes d'expres¬

sion, étaient en fait strictement identiques, sous réserve de modifi¬

cations généralement peu importantes, ou du moins non fondamentales

à apporter à chacune d'elles afin de tenir corapte des différences

existant entre les hypothèse de base. Cette unité ne doit pas nous

étonner mais elle nous autorise à préférer, le fond étant le même, la

forme des expressions de P. MORIN et L. HUGUES, en raison même de leur

simplicité; pour les mêmes raisons nous préconisons le remplacement

de la partie asymptotique de y = A/x par un orifice circulaire. Aux

travaux citées, il convient d'ajouter pour être complet, ceux de Von

ROTHER /"ll^./, ir^^J

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à la réalisation, pour le modèle, de la même loi hauteur-débit qae

dans la nature*

- Sur le plan expérimental, et plus particulièrement ea

ce qui concerne la détermination du coefficient de débit 6 , nous

avons démontré que les déversoirs en "Tour Eiffel** qui, si l*oa en

Jugeait par les résultats de P» UORIN ( Q 4^ 0,75 ) , se distinguaient

nettement des Sutro-Weirs ( 6^0,62 ) , ne 8*écartent de eeux

- 40 -

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