Shodná zobrazení
Shodné zobrazení (shodnost)Shodné zobrazení (shodnost)
Definice:Prosté zobrazení v rovině nazýváme shodným zobrazením (shodnost), právě když pro každé dva body X, Y roviny a jejich obrazy X´, Y´ v tomto zobrazení platí:
X´Y´ = XY
Dělení shodností: Přímá shodnost Nepřímá shodnost
Přímá shodnost
Nepřímá shodnost (zrcadlový obraz)
BA
C
LK
M
Platí:
AB = KL
BC = LM
AC = KM
BA
C
KL
M Platí:
AB = KL
BC = LM
AC = KM
SHODNÁ ZOBRAZENÍ
Identické Identické zobrazenízobrazení (identita) (identita)
zvláštní případ shodnosti přiřazuje bodu X dané roviny bod X´s ním
totožný: X´ = X
SHODNÁ ZOBRAZENÍ
Shodné zobrazení, které není identitou, lze realizovat pohybem (přemístěním).
Př. 1:
SHODNÁ ZOBRAZENÍ
Př. 2:
Obr. :přímá shodnost
Pouhým otočením či posunutím vzoru (ABC) dostaneme obraz (KLM).
Obr. : nepřímá shodnost
Obraz (KLM) dostaneme překlopením, tedy zrcadlovým obrazem (ABC).
BA
C
LK
M
SHODNÁ ZOBRAZENÍ
BA
C
KL
M
Platí:
AB = KL
BC = LM
AC = KM
zrcadlo
Platí:
AB = LK
BC = KM
AC = LM
Typy shodných zobrazení:
Středová souměrnost Osová souměrnost Posunutí Otočení
SHODNÁ ZOBRAZENÍ
Středová souměrnostStředová souměrnost
Definice:
Nechť je dán bod S. Středová souměrnost se středem S je shodné zobrazení, které každému bodu X přiřadí jeho obraz, bod X´ tak, že platí:1) pro X S; X´leží na přímce XS a X´S=XS2) pro X = S; X´ = X =S
Zápis: S(S): X→ X´
Obraz bodu: S(N):A → A´
Postup konstrukce:1. A,N2. ⇥ AN3. n; n(N; AN )4. A´; A´ n AN⇥
x
A´
x
A
x
N
Z definice víme:
1. AN = A´N
2. N je střed úsečky AA´
n
STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST
Obraz úsečky: S(N):AB → A´B´
Postup konstrukce:1. AB,N2. ⇥ AN3. n; n(N; AN )4. A´; A´ n AN⇥5. BN⇥6. m; m(N; BN )7. B´; B´ m BN⇥8. A´B´
x
A´
x
A
x
N
Z definice víme:
1. AN = A´N 1. BN = B´N
2. N je střed úsečky AA´ 2. N je střed úsečky AB´
nx
B
x B´
m
STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST
Obraz kružnice: S(N):k(O,r) → k´(O´, r)
X O X
N
X O´
k´Postup konstrukce:1. k(O,r), N2. přímka ON3. m; m(N,ON)4. O´; O´ n přímka ON5. k´; k´(O´,r)Přesnější konstrukce6. X; X k (libovolný)7. X´; S(N): X → X8. k´; k´(O´,X´O)
X
X
X
X´
STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST
Z definice víme:1. ON = O´N 2. N je střed úsečky OO´3. Kružnice jsou shodné a tedy jejich poloměry jsou shodné. (každý bod kružnice k se zobrazí na bod kružnice k´)
k
m
Obraz útvaru: S(N):u → u´
C
A
B
X
N
X
C´
X
B´X A´
Postup konstrukce:1. ABC, N2. A´; S(N):A → A´3. B´; S(N):B → B´4. C´; S(N):C → C´5. A´B´C´
STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST
Množinou obrazů všech bodů útvaru U je útvar U´, který je s útvarem U shodný. Stačí nám tedy, pokud zobrazíme vrcholy útvaru a tyto obrazy vrcholů spojíme.
Př.: S(N): ABC → A´B´C´
Osová souměrnostOsová souměrnost
Definice:Definice:
Nechť je dána přímka o. Osová souměrnost s osou o je shodné zobrazení, které každému bodu X přiřadí jeho obraz bod X´ tak, že platí:
1) pro X o; X´leží na kolmici k ose o a osa o půlí úsečku X´X (tj. oX= oX´2) pro X o; X´= X
Zápis: O(o): X → X´
Zobrazení bodu: O(o):A A´
Postup konstrukce:1. A, o2. p; p o; Ao3. P; Po p4. k; k(P; XP) 5. A´; A´ p k
X
A
X
A´o
p
k
OSOVÁ SOUMĚRNOST
Z definice víme:
1.A´ leží na přímce kolmé k ose o.
2. Osa o půlí úsečku AA´.
X
P
Obraz úsečky: O(o):AB → A´B´
Postup konstrukce:1.AB, o2.a; a o; Ao3.P; P a o4.k; k(P; XP) 5.A´; A´ a k6.b; b o; Bo7.Q; Qo p8.l; l(Q; XQ) 9.B´; B´ b l10.A´B´
X
A
o ak
X
B
X
P b
l
X
Q
X
A´
X
B´
OSOVÁ SOUMĚRNOST
Z definice víme:
1.A´ leží na přímce kolmé k ose o. 3.B´ leží na přímce kolmé k ose o.
2. Osa o půlí úsečku AA´. 4. Osa o půlí úsečku AA´.
Obraz kružnice: O(o):k(S,r) → k´(S´, r)OSOVÁ SOUMĚRNOST
Postup konstrukce:1. k(S,r), o2. p; p o; S o3. P; P p o4. l; l(P; SP) 5. S´; S´ l p6. k´; k´(S´, r)Přesnější konstrukce:6. X ; X k (X je libovolný)7. O(o):X → X´8. k´; k´(S´,S´X´)
Z definice víme:
1. O´ leží na přímce kolmé k ose o.
2. Osa o půlí úsečku OO´.3. Kružnice jsou shodné a tedy jejich poloměry jsou shodné. (každý bod kružnice k se zobrazí na bod kružnice k´)
xS
k
o
xP
l
p
xS´
k´
xX
xX´
Obraz útvaru: O(o):u → u´OSOVÁ SOUMĚRNOST
BA
C
o
Postup konstrukce:1. ABC, N2. A´; O(o):A → A´3. B´; O(o):B → B´4. C´; O(o):C → C´5. A´B´C´
x
C´
x
x A´
= B´
Množinou obrazů všech bodů útvaru U je útvar U´, který je s útvarem U shodný. Stačí nám tedy, pokud zobrazíme vrcholy útvaru a tyto obrazy vrcholů spojíme.
Př.: O(o): ABC → A´B´C´
PosunutíPosunutí
Definice:Definice:
Nechť je dána orientovaná úsečka AB. Posunutí je shodné zobrazení, které každému, bodu X přiřadí jeho obraz, bod X´ tak, že XX´ = AB, XX´AB a jsou souhlasně orientované.
Předpis: T(AB): X → X´
Zobrazení bodu: T(AB): X X´
Postup konsturkce:
1. AB, X
2. ⇥ XY; XY AB
3. k; k(X, AB)
4. X´; X´ k p
POSUNUTÍ
Z definice víme:
1. XX´ a AB jsou souhlasně orientované
2. XX´ = AB
xA
xB
xX
xY
x X´
k
POSUNUTÍ
Postup konstrukce:1. AB, KL2. ⇥ KX; KX AB3. k; k(K, AB)4. K´; K´ k ⇥ KX5. ⇥ LY; LY AB 6. l; l(L, AB)7. L´; L´ l LY⇥8. K´L´
Obraz úsečky: T(AB):KL → K´L´
xA
xB
xK
xL
x K´
x L´
k l
xX
xY
Z definice víme:
1. KK´ a AB jsou souhlasně orientované. LL´ a AB jsou souhlasně orientované.
2. KK´ = AB , , LL´ = AB.
Obraz kružnice: T(AB):k(S,r) → k´(S´, r)
Postup konstrukce:1. AB, k (S,r)2. ⇥ SX; SX AB3. l; l(S, AB)4. S´; S´ l SX5. k´; k´( S´, r)Přesnější konstrukce:5. K; K k (K libovolný)6. ⇥ KY; KY AB7. m; m(K, AB)8. K´; K´ m KY9. k´; k´(S, SK)
Z definice víme:
1. SS´ je souhlasně orientovaná s AB
2. SS´ = AB. 3. Kružnice jsou shodné a tedy jejich poloměry jsou shodné. (každý bod kružnice k se zobrazí na bod kružnice k´)
xA
xB
x S
x S´
k´k
xK
xY
xX
l
m
xK´
POSUNUTÍ
POSUNUTÍ
Obraz útvaru: T(AB):u → u´
M
K
L
Postup konstrukce:1. KLM, AB2. K´; T(AB): K → K´3. L´; T(AB): L → L´4. M´;T(AB): M → M´5. K´L´M´
xA
xB
M´
x
xK´
xL´
Množinou obrazů všech bodů útvaru U je útvar U´, který je s útvarem U shodný. Stačí nám tedy, pokud zobrazíme vrcholy útvaru a tyto obrazy vrcholů spojíme.
Př.: T(AB): KLM → K´L´M´
OtočeníOtočení
Definice::
Nechť je dán bod S a úhel α. Otočení v rovině kolem středu S o úhel α v daném smyslu (kladném, resp. záporném) je shodné zobrazení, které každému bodu X přiřadí jeho obraz X´ tak, že platí:
1. je – li X S, leží X´na polopřímce SY, která je ramenem úhlu XSY a přitom XSY = α Ů SX´ = SX2. X = S, je X´ = X
Zápis: R(S, α): X → X´
OTOČENÍ
Zobrazení bodu: R(S, α): X → X´
Postup konstrukce:1. S, α, X2.2. ⇥ SX3. XSY; XSY = α4. k; k(S,SX)5. X´; X´ k ⇥ SY
x
X
x
S
α
k
x
X´ x
Y
Z definice víme:
1. XSX´ = α
(tj. X´ leží na rameni SY úhlu XSY , který je stejně
velký, jako úhel α)
2. SX´ = SX
OTOČENÍ
Zobrazení bodu: R(S, α): AB A´B´OTOČENÍ
Postup konstrukce:1. S, α, AB2.2. ⇥ SA3. ASX; ASX = α4. k; k(S,SA)5. A´; A´ k ⇥ SA6.6. ⇥ SB7. BSY; BSY = α8. l; l(S,SB)9. B´; B´ l ⇥ SB10. A´B´
x
S
αk
l
Z definice víme:
1. ASA´ = α
(tj. X´ leží na rameni SX úhlu ASX , který je stejně velký, jako úhel α)
2. SA´ = SA
3. BSB´ = α
(tj. X´ leží na rameni SX úhlu BSY , který je stejně velký, jako úhel α)
4. SB´ = SB
xA
x Bx
A´
x B´
xX
xY
OTOČENÍ
Obraz kružnice: R(S, α): k(O,r) → k´(O´,r)Z definice víme:1. XSX´ = α
(tj. X´ leží na rameni SY úhlu XSY , který je stejně velký, jako úhel α)2. SX´ = SX 3. Kružnice jsou shodné a tedy jejich poloměry jsou shodné. každý bod kružnice k se zobrazí na bod kružnice k´)
Postup konstrukce:1. S, α, k(O,r)2. ⇥ SO3. OSX; OSX = α4. m; m(O,OS)5. O´; O´ m ⇥ SA6. k´; k´(O´,r)Přesnější konstrukce:6. K; K k (libovolný)7. ⇥ SK8. KSY; KSY = α9. n; n(S,SK)10. K´; K´ n SK11. k´; k´(O´,K´O´)
α
x O
xS
xK
x Y
xX
xO´
xK´
k´
k
n
m
OTOČENÍ
Obraz útvaru: R(S, α): u → u´Množinou obrazů všech bodů útvaru U je útvar U´, který je s útvarem U shodný. Stačí nám tedy, pokud zobrazíme vrcholy útvaru a tyto obrazy vrcholů spojíme.
Př.: P(S KLM → K´L´M´
Postup konstrukce:1. KLM, S, 2. K´; R(S, α): K → K´3. L´; R(S, α): L → L´4. M´; R(S, α): M → M´5. K´L´M´
M
K
L
xS
α
x L´
M´x
K´x
Konec prezentace
Děkuji za pozornost.