STANOVENÍ TUHOSTI, TLUMENÍ A PŘÍDAVNÉ HMOTNOSTI … · osa x leží ve směru osy hřídele a...

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚBRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ

ENERGETICKÝ ÚSTAV

FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING

ENERGY INSTITUTE

STANOVENÍ TUHOSTI, TLUMENÍ A PŘÍDAVNÉHMOTNOSTI TENKÉ KAPALINOVÉ VRSTVY VTĚSNÍCÍ SPÁŘE

ASSESSMENT OF STIFFNESS, DAMPING AND ADDED MASS IN THIN LIQUID LAYER IN

SEALING GAP

DIPLOMOVÁ PRÁCEMASTER'S THESIS

AUTOR PRÁCE Ing. VOJTĚCH KOHUTAUTHOR

VEDOUCÍ PRÁCE doc. Ing. VLADIMÍR HABÁN, Ph.D.SUPERVISOR

BRNO 2012

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství

Energetický ústavAkademický rok: 2012/2013

ZADÁNÍ DIPLOMOVÉ PRÁCE

student(ka): Ing. Vojtěch Kohut

který/která studuje v magisterském navazujícím studijním programu

obor: Fluidní inženýrství (2301T036)

Ředitel ústavu Vám v souladu se zákonem č.111/1998 o vysokých školách a se Studijním azkušebním řádem VUT v Brně určuje následující téma diplomové práce:

Stanovení tuhosti, tlumení a přídavné hmotnosti tenké kapalinové vrstvy v těsnící spáře

v anglickém jazyce:

Assessment of stiffness, damping and added mass in thin liquid layer in sealing gap

Stručná charakteristika problematiky úkolu:

Znalost dynamických vlastností těsnících spár je důležitá pro správný dynamický návrhvysokootáčkových čerpadel. Diplomant se bude zabývat experimentálním stanovenímdynamických vlastností těsnící spáry.

Cíle diplomové práce:

Úkolem diplomanta bude navrhnout experimentální zařízení, provést experiment a vyhodnotittuhosti, tlumení a přídavné hmotnosti tenké kapalinové vrstvy v závislosti na statickém průtoku,otáčkách a excentricitě.

Seznam odborné literatury:

Bude úkolem diplomanta provést literární rešerši problematiky.

Vedoucí diplomové práce: doc. Ing. Vladimír Habán, Ph.D.

Termín odevzdání diplomové práce je stanoven časovým plánem akademického roku 2012/2013.

V Brně, dne

L.S.

_______________________________ _______________________________doc. Ing. Zdeněk Skála, CSc. prof. RNDr. Miroslav Doupovec, CSc., dr. h. c.

Ředitel ústavu Děkan fakulty

III

Abstrakt Cílem této diplomové práce je navrhnout metodiku experimentálního vyhodnocení přídavné

hmotnosti, tuhosti a tlumení, kterými působí kapalinová vrstva na rotor v těsnící spáře.

Těsnící spáry jsou významným konstrukčním prvkem hydrodynamických strojů. Jejich

správný návrh, včetně stanovení přídavných účinků je nezbytný pro celkový dynamický návrh

stroje. Součástí práce je rešerše problematiky dynamiky rotorů a přídavných účinků kapaliny.

Byl navržen experiment pro stanovení přídavných účinků, který je založen na vyhodnocení

dynamiky rotoru z měřených radiálních sil. Z výsledků experimentu byly stanoveny

dynamické vlastnosti suchého a mokrého rotoru zkušebního zařízení.

Klíčová slova Těsnící spára, Hydrodynamické stroje, Přídavné účinky kapaliny, Dynamika rotorových

soustav, Fourierova transformace

Abstract The main purpose of this master’s thesis is to propose the methodology suitable for

experimental evaluation of additional mass, stiffness and damping by which a liquid layer in

the sealing gap affects the rotor. Sealing gaps are important structural elements of

hydrodynamic machines. An appropriate design of a sealing gap including the additional

effects determination is an inevitable part of the machine overall dynamic design. The thesis

also provides a literature search in the field of rotor dynamics and additional effects of

a liquid. The designed experiment aiming to determine additional effects of the liquid is based

on rotor dynamics evaluation by means of the radial forces measurement. The experiment

results were used to determine dynamic properties of dry and wet rotor of the testing device.

Keywords Sealing gap, Hydrodynamic machines, Additional effects of liquid, Dynamics of Rotating

Systems, Fourier transform

Citace KOHUT, V. Stanovení tuhosti, tlumení a přídavné hmotnosti tenké kapalinové vrstvy v těsnící

spáře. Brno: Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství, 2012. 65 s.

Vedoucí diplomové práce doc. Ing. Vladimír Habán, Ph.D..

V


Prohlášení

Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci vypracoval samostatně pod vedením doc. Ing.

Vladimíra Habána, Ph.D.

…………………………

Ing. Vojtěch Kohut

12. října 2012

Poděkování

Rád bych poděkoval doc. Ing. Vladimíru Habánovi, Ph.D. za odbornou pomoc při tvorbě této

práce.

© Vojěch Kohut, 2012.

Tato práce vznikla jako školní dílo na Vysokém Učení Technickém v Brně, Fakultě Strojního

Inženýrství. Práce je chráněna autorským zákonem a její užití bez uděleného oprávnění

autorem je nezákonné, s výjimkou zákonem definovaných případů.


1

Obsah

Úvod ........................................................................................................................................... 3

1 Základy dynamiky rotorů ................................................................................................... 4

1.1 Úvod do problematiky kmitání rotorových soustav .................................................... 4

1.1.1 Modely rotorů ....................................................................................................... 4

1.1.2 Lavalův (Jeffcottův) rotor .................................................................................... 6

1.1.3 Stodolův rotor ....................................................................................................... 7

1.2 Chod Lavalova rotoru v tuhých ložiskových podpěrách ............................................. 8

1.2.1 Odvození pro pevný souřadný systém ................................................................. 8

1.2.2 Odvození pro spolurotující souřadný systém ..................................................... 12

1.3 Netlumený Lavalův rotor uložený v pružných ložiskových podpěrách .................... 13

1.4 Problematika tlumení ................................................................................................. 17

1.4.1 Vnější tlumení a jeho vliv na kmitání rotorů ...................................................... 17

1.4.2 Vnitřní (materiálové) tlumení ............................................................................. 21

1.4.3 Kmitání rotorů s uvažováním vnitřního i vnějšího tlumení ............................... 22

1.5 Zobecnění pohybové rovnice pro translační kmity pevného tělesa ........................... 24

2 Vzájemná interakce kapaliny a tělesa .............................................................................. 25

2.1 Nestacionární translační pohyb tuhého tělesa v kapalině. ......................................... 25

2.1.1 Těleso konající translační kmity v kapalině ....................................................... 25

2.1.2 Těleso konající translační kmity v proudící kapalině ......................................... 29

2.2 Interakce rotoru a kapaliny v těsnící spáře ................................................................ 31

2.2.1 Proudění kapaliny těsnící spárou........................................................................ 31

2.2.2 Přídavné účinky kapaliny v těsnící spáře na rotor .............................................. 32

3 Experiment pro ověření přídavných účinků kapalinové vrstvy těsnících spár ................. 34

3.1.1 Zařízení k experimentálnímu ověření přídavných účinků .................................. 34

3.2 Realizace měření ........................................................................................................ 37

3.3 Měřící technika .......................................................................................................... 40

3.3.1 Měřené veličiny .................................................................................................. 40

3.3.2 Měřicí technika použitá pro měření hydraulických veličin ................................ 40

3.3.3 Měření silových veličin ...................................................................................... 41

VUT-EU-ODDI-13303-09-12

2

4 Vyhodnocení výsledků získaných experimentem ............................................................ 43

4.1 Frekvenční analýza naměřených signálů ................................................................... 43

4.1.1 Fourierova transformace .................................................................................... 44

4.1.2 Zpracování měřených dat ................................................................................... 45

4.2 Stanovení silového působení ..................................................................................... 47

4.2.1 Grafy vynuceného kmitání rotoru ...................................................................... 49

4.3 Teoretické určení vlastního kmitání .......................................................................... 52

4.3.1 Určení tuhosti uložení ........................................................................................ 53

4.3.2 Vypočet vlastních tvarů kmitání rotoru .............................................................. 55

4.4 Shrnutí výsledků měření ............................................................................................ 56

Závěr ......................................................................................................................................... 57

Literatura .................................................................................................................................. 58

Seznam symbolů a zkratek ....................................................................................................... 59


3

Úvod

Těsnící spáry jsou důležitým konstrukčním prvkem hydrodynamických strojů. Ty se jako

všechny rotační stroje skládají z rotoru a statoru, které vůči sobě musí být těsněny s ohledem

na objemové ztráty ve stroji. Objemové ztráty vznikají zpětným prouděním kapaliny ve stroji

(např. z výtlaku do sání čerpadla). Správný návrh spár je proto nezbytnou součástí návrhu hydrodynamických strojů, neboť pomáhá tyto ztráty omezit. Velice důležitá je z tohoto

pohledu geometrie těsnící spáry, která se volí s ohledem na co nejmenší objemové ztráty,

jichž se dosahuje především změnou vůle ve spáře. Úkolem těsnících kruhů je omezit ztrátový průtok mezi jednotlivými stupni, nebo mezi výtlakem a sáním – podle toho, kde se daný těsnící kruh nachází. Vůle přitom musí mít takový rozměr, aby v žádném provozním stavu nemohlo dojít k zadření rotoru.

Zjistilo se však, že těsnící spára má vliv také na dynamické vlastnosti stroje. Ve spáře je při provozu trvale se pohybující kapalinová vrstva. Dochází v ní tak k vzájemné interakci kapaliny a rotujícího hřídele. V důsledku této interakce působí na hřídel rotující v kapalině přídavné účinky – přídavná hmotnost, tuhost a tlumení, které výrazně ovlivňují výsledné dynamické vlastnosti rotoru. Znalost přídavných účinků je proto nesmírně důležitá pro

správný dynamický návrh stroje, neboť je potřeba zabránit nežádoucím jevům, jako vzniku

samobuzeného kmitání rotorů, které je provozně nepřípustné a má za následek často i těžké havárie strojů.

Správné stanovení vlastních frekvencí, při kterých dochází k samobuzenému kmitání a vyšetření dalších dynamických vlastností je nezbytné především při návrhu

vysokootáčkových čerpadel a obecně strojů velkých výkonů, neboť poruchy těchto strojů mohou mít velké ekonomické i bezpečnostní dopady. Takové stroje jsou navíc dimenzovány,

z důvodů co nejvyšší účinnosti, s podstatně menší rezervou vůči těmto nebezpečným stavům než stroje malé. Jsou rovněž konstruovány z vysokopevnostních materiálů, které mají nízký útlum, takže je pravděpodobnější vznik samobuzeného kmitání při provozu.

Vysokootáčková čerpadla bývají často článková, jejich rotory velmi štíhlé a projevuje se

u nich množství lehce zatlumených kritických frekvencí v provozní oblasti. Skutečné vlastní frekvence se však budou vlivem přídavných účinků kapaliny lišit od těch získaných bez uvažování proudící kapaliny.

Dodnes přitom není metodika stanovení přídavných účinků plně prozkoumaná, především s ohledem na složitost proudění v těsnící spáře. Je známo, že velikost přídavných účinků kapaliny velmi závisí na konstrukci spáry, tlakovém spádu, otáčkách rotoru, vlastnostech kapaliny aj.

Intenzivně se touto problematikou zabývá řada firem, které podnikají v oblasti

vysokotlakých čerpadel. Výroba čerpadel pro klasickou i jadernou energetiku a teplárenství tvoří významnou část produkce mnoha společností, takže firmy vynakládají úsilí na výzkum a vývoj těchto strojů. Problematiku se nyní snaží řešit také Odbor fluidního inženýrství Victora Kaplana. V rámci výzkumu vznikla i tato diplomová práce.

VUT-EU-ODDI-13303-09-12

4

1 Základy dynamiky rotorů

Práce se zabývá problematikou stanovení dynamických vlastností rotorů, proto je účelné věnovat pozornost základům teorie dynamiky rotorových soustav. Rotory a hřídele jsou

základní součástí nejen čerpadel, ale mnoha různých strojů jako vodní turbiny, parní a plynové turbiny, kompresory, ventilátory, elektromotory a generátory, převodovky a mnoho dalších strojů. Problematika dynamiky rotorů je proto velice rozsáhlá, zde jsou uvedeny pouze

základy této teorie. [1]

Úspěšné zvládnutí dynamiky je však nutnou podmínkou správného návrhu a konstrukce soustrojí, jehož hlavní částí je rotor. S postupujícím technickým rozvojem jsou v posledních letech na stavbu a provoz rotačních strojů kladeny značné požadavky. Stále se zvyšují nároky na výkon, účinnost, bezpečnost, spolehlivost, snižování energetické náročnosti, či účinky na životní prostředí apod. [2]

1.1 Úvod do problematiky kmitání rotorových soustav

Ačkoliv se zdá rotačně symetrický rotor bez problémů, zvláště pak ve srovnání s pístovými stroji, u nichž jsou dynamické poměry podstatně složitější, lze u nich pozorovat problémy, jako např. vznik samobuzeného kmitání, otázka stability aj.

Chod rotačně symetrického rotoru je klidný, neobjevuje se buď žádné, nebo pouze

minimální kolísání krouticího momentu. Přesto dochází u rotorů ke kmitání, buzenému především nevyvážeností, ale i dalšími vlivy, jak bude dále vysvětleno.

Kmitání rotorů je jednou z hlavních příčin mnoha nežádoucích účinků, jako je hluk

rotujícího stroje, nadměrné chvění, neklidný chod, nebo průhyby a deformace, vedoucí mnohdy až k haváriím strojů. [1]

1.1.1 Modely rotorů

Pro objasnění základních charakteristik chování rotorových soustav existuje několik teoretických modelů rotorů. Jednotlivé modely na určité úrovni rozlišení odpovídají svými definovanými vlastnostmi skutečnému chování reálných rotorů. Mohou tak být použity pro sestavení výpočtových modelů jednoduchých strojů.

Ohybově tuhý rotor

Nejjednodušším modelem rotoru je absolutně tuhý rotor. Vychází z předpokladu, že tuhost rotoru je tak velká, že deformace hřídele jsou zanedbatelné. Bez uvažování pružných deformací, splývá střed rotačně symetrického hřídele s osou ložisek. Chod ohybově tuhého

rotačně symetrického rotoru je klidný, neobjevuje se kolísání krouticího momentu. Rotací vyvolané odstředivé síly jsou ve vzájemné rovnováze.

Ve skutečnosti ale, v důsledku výrobních nepřesností, není rozložení hmoty zcela rotačně symetrické. Těžiště rotoru není totožné s počátkem souřadného systému definovaného, tak že osa x leží ve směru osy hřídele a osy y a z ve střední rovině kotouče, viz Obr. 1 (str. 5).

V těžišti na rotor působí odstředivá síla o velikosti . [1]

Tato síla pak vyvolá reakce v ložiskách, ve kterých je rotor uložen. Ze vztahu je zřejmé, že tato síla roste se čtvercem otáček. Reakční síly v ložiskách jsou z hlediska pozorovatele

periodické a vyvolávají příčné kmitání rotoru.


5

Tyto síly lze eliminovat připojením vývažků ve dvou libovolných vyvažovacích rovinách (tzv. vyvažování rotoru). [1]

Obr. 1: Souřadný systém v nepohyblivé rovině y-z pro tuhý rotor bez rotace (a) a ohybově

pružný rotor (nebo rotující tuhý rotor, kdy deformace je v ložiskách) (b)

Ohybově pružný (měkký) rotor

Naproti tomu model ohybově pružného rotoru bere již v úvahu pružné deformace rotoru. Jejich následkem vznikají přídavné odstředivé síly. Celková odstředivá síla je pak

. Zde člen vyjadřuje pružnou deformaci rotoru. Střed rotoru již není v ose ložisek, ale je oproti němu posunut o hodnotu . Přitom se předpokládá prohnutí hřídele ve směru vyosení těžiště. [1]

Obr. 2: Silové působení na ohybově pružný rotor [1]

Lze pak sestavit rovnici silové rovnováhy ve tvaru: , neboť vratná síla hřídele je v rovnováze se silou odstředivou, je ohybová tuhost hřídele.

Z rovnice pak plyne vztah pro deformaci hřídele:

VUT-EU-ODDI-13303-09-12

6

Veličina značí vlastní úhlovou rychlost netlumeného kmitání soustavy, danou

hmotností kotouče a tuhostí hřídele . Vlastní frekvence kmitání je .

Z rovnice (1) vyplývá, že výchylka hřídele, a tedy i odstředivá síla nejprve s otáčkami hřídele rostou se čtvercem otáček, tedy úměrně se složkou odstředivé síly , protože účinek deformačního člene je velice malý. S rostoucími otáčkami však vliv

deformace roste a velikost odstředivé síly i průhybu roste mnohem rychleji než s druhou

mocninou otáček, až při nastanou tzv. kritické otáčky, při nichž jsou výchylka rotoru

i síla nekonečně velké. Podaří-li se kritické otáčky rychle překonat, což je při velkém zrychlení možné, výchylky i síla opět velice rychle klesají. Při velmi vysokých otáčkách se pak těžiště stále více blíží k ose ložisek a velikost síly se blíží asymptoticky k hodnotě ,

resp. velikost výchylky hřídele k hodnotě vyosení . Tento jev se nazývá samostředění rotoru.

Obr. 3: Výchylka rotující odstředivé síly u tuhého a pružného rotoru

Z tohoto rozboru také plyne, že do jistých otáček jsou pružné deformace natolik malé, že můžeme daný rotor považovat za tuhý.

1.1.2 Lavalův (Jeffcottův) rotor Je nejjednodušším modelem ohybově pružného rotujícího hřídele. Soustava se skládá

z pružného nehmotného hřídele uloženého ve dvou ložiskách a hmotného, absolutně tuhého kotouče. Soustava je symetrická vzhledem k rovině kolmé na osu hřídele, střednicová rovina kotouče je kolmá k ose hřídele. Silové a momentové zatížení působí v místě kotouče, v důsledku symetrie soustavy mohou síly působit pouze ve směru kolmém na střednici kotouče a momenty pouze ve směru jeho střednice.


7

Uložení Lavalova rotoru může být absolutně tuhé nebo také poddajné, zahrnující vliv poddajnosti a tlumení vazbových prvků (ložiska, ucpávky apod.) i ložiskových těles. Celá soustava může být netlumená nebo tlumená vnějším i vnitřním tlumením.

Obr. 4: Lavalův (Jeffcottův) rotor [2]

Přestože se na první pohled jedná o velké zjednodušení oproti skutečnosti, lze na Lavalově rotoru demonstrovat mnoho důležitých jevů, objevujících se v praxi. Můžeme na něm sledovat vliv nevyváženosti rotoru, uložení v pružných podpěrách, kluzných ložiskách, vnější a vnitřní tlumení, gyroskopický moment a mnoho dalších. Tyto vlivy by se daly těžko stanovit

pro skutečné rotory. Další rozbor dynamických vlastností rotorů zde bude vyšetřen právě na

modelu Lavalova rotoru.

Obr. 5: Dokonale vyvážený Lavalův rotor uložený v absolutně tuhých ložiskách (a), tuhý rotor v poddajných ložiskách (b) a s uvažováním poddajnosti hřídele i ložisek. Pro ideálně vyvážený hřídel splývá střed hřídele a těžiště v jeden bod. [3]

1.1.3 Stodolův rotor

Stodolův rotor je rovněž modelem rotoru tvořeného nehmotným pružným hřídelem a absolutně tuhým kotoučem. Hřídel je uložen v jednom ložisku. Kotouč je nasazen na opačném konci hřídele. Jeho střednicová rovina nemusí být kolmá k ose hřídele.

Obr. 6: Stodolův rotor [2]

VUT-EU-ODDI-13303-09-12

8

Síly a momenty zatěžující kotouč mohou působit v libovolném směru. Stejně jako u Lavalova rotoru i u Stodolova rotoru může být uložení absolutně tuhé nebo poddajné a soustava může být netlumená nebo tlumená.

Je třeba také poznamenat, že skutečný rotor je kontinuem a má nekonečný počet vlastních frekvencí a tvarů kmitů, což uvedené modely rotoru nezohledňují. V praxi jsou ale podstatné

pouze nejnižší vlastní frekvence.

1.2 Chod Lavalova rotoru v tuhých ložiskových podpěrách

V předchozí části byl definován teoretický model Lavalova rotoru. V definici rotoru je

zahrnut poměrně široký rozsah podmínek, jako vliv tuhosti uložení, tlumení apod., z nichž

některé můžeme zanedbat. Zde budou jednotlivé vlivy stručně analyzovány. Netlumený Lavalův rotor v tuhých ložiskových podpěrách

Za předpokladu, že Lavalův rotor je uložen v ložiskových podporách, které jsou ve

srovnání s hřídelem tuhé, tlumící síly nebudou uvažovány. Dané předpoklady dobře splňují rotory uložené ve valivých ložiskách a rotující v plynném prostředí. Dále předpokládáme, že se kotouč nenašikmí při zatížení příčnými silami (vliv našikmení kotouče bývá totiž běžně velmi malý). [1]

1.2.1 Odvození pro pevný souřadný systém

Pro rotor nejprve zavedeme nepohyblivý kartézský souřadný systém. Osa leží ve směru osy hřídele, osy a leží ve střední rovině kotouče (viz Obr. 7).

Obr. 7: Lavalův rotor v pevném souřadnicovém systému [1]

Pro rotor lze sestavit podmínku silové rovnováhy mezi setrvačnými silami kotouče a vratnými pružnými silami hřídele. Označíme-li hmotnost hřídele , lze napsat:


9

Obr. 8: Kotouč v nepohyblivé rovině y-z

Pro souřadnice těžiště platí v zavedeném souřadném systému:

Po provedených derivacích můžeme dosadit do rovnice (2) a vyjádřit tak pohybové rovnice pouze v závislosti na průhybu hřídele H, což je praktičtější, neboť průhyb hřídele lze měřit.

V rovnicích je zaveden ještě vztah pro vlastní úhlovou rychlost kmitání:

K úplnému popisu pohybu kotouče schází ještě rovnice rovnováhy momentů vzhledem k ose procházející těžištěm kolmo na rovinu kotouče. Protože uvažujeme ustálený stav, při němž se kotouč otáčí konstantní úhlovou rychlostí, hnací i odporové momenty jsou

v rovnováze, momentová rovnice odpadá, resp. je řešena rovnicí , viz níže. [1] Pro ustálený stav můžeme tedy psát: , , . Pak platí:

Uvažujeme tedy dále pouze translační kmity rotoru.

Protože je libovolná integrační konstanta, volbou vhodného časového počátku ji můžeme anulovat ( ). Pak:

Pro další úpravu je účelné převést souřadný systém do komplexní roviny, kdy reálnou část představuje souřadnice ve směru osy y a imaginární část souřadnice ve směru osy z. Tato

úprava podstatně zjednoduší zápis i matematické operace s rovnicemi.

Zavedeme tedy substituci:

VUT-EU-ODDI-13303-09-12

10

Dostaneme následující tvar pohybové rovnice:

a s využitím Eulerových vztahů :

Jedná se o nehomogenní lineární diferenciální rovnici. Obecné řešení této rovnice sestává z řešení homogenního a řešení partikulárního .

Homogenním řešením této rovnice je:

kde a jsou komplexní integrační konstanty, které lze určit z počátečních podmínek – výchylek a rychlostí v čase .

Řešení homogenního tvaru se skládá ze dvou navzájem protiběžných kruhových pohybů s úhlovou rychlostí . Jejich superpozicí vznikne elipsa s hlavní poloosou

a vedlejší poloosou . Při přejde rovnice v přímku. Smysl pohybu závisí na tom, který poloměr je větší – tedy na počátečních podmínkách.

Obecně je tedy rovnice (10) parametrickým vyjádřením elipsy a bod H opisuje eliptickou

dráhu. Homogenní řešení rovnice (9) představuje vlastní kmitání, které následkem malého tlumení, ve výpočtu zanedbaného, pomalu doznívá. Je tedy pouze přechodovým dějem, trvale zůstane pouze vynucené kmitání.

Partikulární řešení diferenciální rovnice pak lze vzhledem k tvaru pravé strany nalézt ve tvaru a po dosazení:

Když zavedeme tzv. poměrné naladění:

přejde rovnice (11) do tvaru:

Jedná se o vynucené kmitání vyvolané nevyvážeností rotoru, které se superponuje na vlastní kmity. Protože vlastní kmity postupně odezní, dále bude uvažováno pouze vynucené kmitání.

Protože výraz představuje jednotkový vektor rotující úhlovou rychlostí , platí pro

amplitudu výchylky vynucených kmitů:

Rovnice (13) představuje parametrické vyjádření kružnice o poloměru , kterou obíhá střed hřídele H s úhlovou frekvencí .


11

Frekvence vynuceného krouživého kmitání souhlasí s úhlovou frekvencí hřídele .

Amplitudy jsou úměrné excentricitě a závisí na úhlové frekvenci rotoru . Pro , kdy

souhlasí frekvence a , narůstají amplitudy výchylek nad všechny meze. Stav, kdy ,

se označuje jako kritické otáčky rotoru a je pro rotor mimořádně nebezpečný. Provozně nebezpečné je celé pásmo v jejich blízkosti, neboť výkmity výchylek jsou neúnosně velké a mohlo by dojít k trvalým deformacím nebo i k vymezení vůle.

Neboť pro souřadnice těžiště platí, že:

dostaneme po dosazení také závislost výchylky těžiště na .

Pro amplitudu výchylky těžiště platí:

Těžiště kotouče opisuje obdobně jako střed hřídele kružnici o poloměru s úhlovou rychlostí . Střed kotouče H i těžiště obíhají po soustředných kružnicích. Body H a T

i počátek leží stále na jedné přímce. Hřídel rotuje v tomto statickém prohnutí, je namáhán pouze staticky, bez střídavých

ohybových namáhání. [1] Z rovnic (13) – (17) a Obr. 9 je dobře patrný fakt, že v oblasti pod kritickými otáčkami je

výchylka těžiště větší o excentricitu než výchylka středu hřídele H. Po překročení kritických otáček se však situace skokově změní a výchylka těžiště je o menší než výchylka středu hřídele. Při velmi vysokých otáčkách (ω ) se těžiště limitně blíží spojnici ložisek O. Průhyb rotoru je pak roven excentricitě . Jde o již zmíněné samostředění rotoru. Stabilita

tohoto jevu je způsobena Coriolisovým zrychlením. [1]

Obr. 9: Závislost amplitud vynucené výchylky těžiště a středu hřídele na naladění

VUT-EU-ODDI-13303-09-12

12

Vliv vlastní tíže kotouče

Uvedené rovnice platí jen pro svisle uložené hřídele nebo při zanedbání tíhového zrychlení. U vodorovně uložených hřídelů se projeví vliv vlastní tíže.

Pokud je rotor uložen horizontálně směřuje tíhová síla ve směru osy v pevném souřadném systému zavedeném v předchozí části. Proto je rovnice (9) rozšířena o vliv tíže.

Řešení diferenciální rovnice sestává z již uvedených řešení homogenního ( )

a partikulárního ( ), navíc se však objeví další partikulární člen , vyjadřující vliv tíže.

Po dosazení řešení do rovnice (18) dostáváme:

Člen je na čase i na úhlové rychlosti nezávislý a znamená konstantní

posunutí o hodnotu statického průhybu hřídele vlivem tíže.

1.2.2 Odvození pro spolurotující souřadný systém

Často, např. při vyšetřování vnitřních třecích sil, je účelné použít souřadnicový systém, který rotuje spolu s hřídelem úhlovou rychlostí . Oproti pevnému je tento souřadný systém pootočen za určitý čas o úhel . V podstatě se na systém díváme, jako bychom rotovali spolu s kotoučem.

Obr. 10: Spolurotující souřadný systém – osy y' a z'

rotují spolu s kotoučem

Mezi pevným a rotujícím souřadným systémem platí transformační vztahy:

a naopak

Abychom do spolurotujícího souřadného sytému převedli rovnici (9), resp. (18), musíme nejprve derivovat dvakrát podle času rovnici (22) pro :


13

Výrazy v závorce v rovnici (24) odpovídají v uvedeném pořadí zrychlení relativnímu, Coriolisovu a odstředivému.

Po dosazení rovnic (22), (23) a (24) do rovnice (18) a následném dělení výrazem :

Řešení diferenciální rovnice se skládá opět z řešení homogenního a partikulárního, při uvažování tíže u horizontálně uložených hřídelů počítáme ještě s ještě dalším partikulárním

členem, obdobně jako u pevného souřadného systému.

Obecné řešení homogenního tvaru rovnice je:

Pro partikulární řešení zjistíme, že a při zavedení poměrného útlumu :

Vzhledem k tomu, že řešení homogenní rovnice vyjadřuje přechodový děj, který časem odezní, uvažujeme dále pouze partikulární řešení. Z něj vyplývá, že poloha nevývažku je v rotujícím souřadném systému konstantní, nezávisí na úhlové rychlosti. Z pohledu hřídele se tak jedná o statické zatížení.

Vzdálenost k počátku je stejná jako v pevném souřadném systému. V něm však nevývažek rotuje po kruhové dráze.

Pro úplnost ještě zbývá určit vliv tíže, který je dán:

V rotujícím souřadném systému, na rozdíl od pevného systému, představuje tíže dynamické zatížení o úhlové rychlosti rotoru, rotující v opačném směru než hřídel.

1.3 Netlumený Lavalův rotor uložený v pružných ložiskových podpěrách

Výše uvedené vztahy vycházejí z předpokladu hřídele uloženého v absolutně tuhých ložiskových podpěrách. Tento předpoklad platí prakticky v případech, kdy tuhost hřídele je

alespoň o řád nižší, než je tuhost uložení. V případě, že je uložení méně tuhé, projeví se významně poddajnost ložisek, což má vliv na kritické otáčky.

Obvykle nejsou tuhosti ve vertikálním a v horizontálním směru stejné, uložení je tzv. anizotropní. Rotační symetrie je při běžných konstrukcích ložiskových stojanů porušena patkami. Nejčastěji bývá tuhost v horizontálním směru menší než tuhost ve směru vertikálním ( bývá cca ). Naproti tomu u vertikálně uložených rotorů jsou tuhosti velice podobné, takže lze považovat uložení za izotropní.

VUT-EU-ODDI-13303-09-12

14

V důsledku anizotropie uložení se u hřídele objeví dvojí kritické otáčky, nejčastěji těsně sousedící, které jsou nižší než u tuze uložených rotorů. Zatímco u tuhého uložení (a také u izotropně pružného) obíhá střed hřídele vlivem nevyváženosti kruhovou dráhu, u anizotropního uložení se pohybuje po dráze eliptické. V závislosti na otáčení může tuto elipsu obíhat ve smyslu, ale také proti smyslu otáčení hřídele.

Obr. 11: Pružně uložený Lavalův rotor [1]

Rovnice silové rovnováhy jsou analogické s rovnicí (2) na str. 8:

Zde členy a představují tuhosti do směrů os y a z. Ve směru osy působí tíhové

zrychlení. Tuhosti uložení jsou řazeny s tuhostí hřídele k sériově (viz Obr. 12), takže z nich

dostaneme výrazy pro tuhosti a v místě upevnění kotouče.

Obr. 12: Řazení tuhostí u pružně uloženého Lavalova rotoru

Pro sériově řazené tuhosti ve směru osy platí:

Z toho pak určíme tuhost a analogicky tuhost :

Pro další odvození uvažujeme stejně jako u tuhého uložení ustálený stav, tj. předpokládáme:

přičemž integrační konstantu můžeme vhodnou volbou časového počátku anulovat.


15

Stejně tak pro vzájemnou polohu souřadnic těžiště a středu hřídele platí:

Takže po dosazení do (31):

a další úpravě:

Úplným řešením těchto diferenciálních rovnic je superpozice řešení homogenního i partikulárního tvaru rovnice. Když rovnou zanedbáme homogenní řešení, představující volné kmitání, které následkem velmi malého tlumení po čase dozní, zůstanou nám pouze rovnice popisující ustálený vynucený pohyb:

Člen představuje statické buzení, dále s ním již počítat nebudeme.

Vlastní úhlové rychlosti jsou dvě, a , které nejsou pro

anizotropní uložení z důvodu rozdílné tuhosti v horizontálním a ve vertikálním směru totožné. Vzniknou tak dvojí kritické otáčky, nižší než kritické otáčky rotoru v tuhém uložení.

Obr. 13: Výchylky a v závislosti na ω

VUT-EU-ODDI-13303-09-12

16

Střed hřídele H se pohybuje po eliptické dráze. Rovnici elipsy, kterou opisuje lze dostat úpravou rovnic (38):

Poloosy této elipsy jsou ve směrech souřadnicových os a platí pro ně:

Pro vyšetření smyslu pohybu středu hřídele H je účelné převést nyní problém do komplexní roviny – . Proto vyjádříme výchylky a jako komplexní veličinu .

Výraz můžeme převést pomocí Eulerových vztahů:

Pak:

První výraz vyjadřuje v komplexní rovině kružnici o poloměru a se souhlasným smyslem otáčení vůči rotaci hřídele. Druhý výraz je pak vyjádřením kružnice o poloměru

s opačným smyslem rotace vůči otáčení hřídele. Superpozicí obou kruhových pohybů vznikne elipsa, jejíž smysl otáčení je závislý na velikosti poloměrů a . Mohou nastat tyto tři případy:

elipsa rotující ve smyslu otáčení hřídele – tzv. souběžná precese

elipsa rotující proti smyslu otáčení hřídele – tzv. protiběžná precese

oscilace po přímce ( elipsa)

Abychom získali amplitudu souběžného i protiběžného precesního pohybu, dosadíme výrazy pro a do rovnice (41).


17

Za předpokladu, že tuhost ve směru osy je menší než ve směru osy y, je .

Z rovnice (44) lze pak vyšetřit následující: V pásmu se kotouč pohybuje po eliptické dráze souběžně s otáčkami hřídele,

převládá souběžná precese (složka protiběžného pohybu se však vyskytuje také). V otáčkovém pásmu mezi oběma kritickými otáčkami převládá protiběžná

precese, kotouč obíhá elipsu v opačném smyslu vůči smyslu rotace hřídele.

V bodě, kdy otáčky dosáhnou hodnoty , se vyskytuje pouze

protiběžná precese, neboť . Tehdy se kotouč pohybuje po kruhové dráze o poloměru proti smyslu otáčení hřídele.

Zatímco pro menší otáčky je a elipsa má hlavní poloosu ve směru osy y, kde

je větší výchylka, pro tyto otáčky , jsou obě poloosy stejně veliké, což potvrzuje, že se jedná o kružnici. Pro větší otáčky je pak a hlavní poloosa elipsy leží ve směru osy z. Viz také Obr. 12, str. 15.

V pásmu , při větších otáčkách, než jsou druhé kritické otáčky, převládá opět souběžná precese a kotouč se pohybuje souběžně s hřídelem.

Při velmi vysokých otáčkách se opět , pak dle rovnice (44)

a . Eliptická dráha se mění opět v kruhovou s poloměrem rovným hodnotě vyosení těžiště kotouče .

Při rezonančních stavech a se mění souběžný pohyb v protiběžný

a naopak. Elipsy zdegenerují ( resp. ) a výchylky vynuceného netlumeného kmitání dosahují nekonečně vysokých hodnot.

1.4 Problematika tlumení

Výše uvedené vztahy pro kmitání Lavalova rotoru platí pouze za předpokladu, že zanedbáme vliv tlumení. V praktických úlohách to má své opodstatnění, neboť u hřídelů uložených ve valivých ložiskách má tlumení minimální vliv. Sice snižuje amplitudy výchylek v rezonanci na konečné hodnoty, které ale přesto zůstávají natolik veliké, že ustálený provoz v rezonanci nebo v její těsné blízkosti není možný, mohlo by dojít k vymezení vůlí mezi rotorem a statorem. Tudíž i u tlumených systémů musíme přejíždět rezonanční oblast rychle. Při malém tlumení je poloha kritických otáček takřka totožná s netlumeným systémem, proto

ji lze s dostatečnou přesností určit výpočtem netlumeného systému. Na první pohled by se zdálo, že tlumení snižuje výchylky kmitání a stabilizuje tak rotor,

což je většinou pravda. Přesto však dochází k situacím, kdy se vlivem tlumení kmitání systémů zvětšuje. To je důsledek jiného druhu tlumení – tzv. vnitřního tlumení, způsobeného deformací hřídele za rotace. Podrobněji bude tento jev probrán dále.

1.4.1 Vnější tlumení a jeho vliv na kmitání rotorů

Vnější tlumení vzniká pohybem rotujícího hřídele ve viskózním prostředí, které ho obklopuje. Síly vyvolané tlumením prostředí jsou úměrné rychlosti pohybu hřídele a působí proti směru pohybu rotoru.

VUT-EU-ODDI-13303-09-12

18

Pro vyšetření vlivu tlumení zavedeme do pohybové rovnice rotoru v pevném souřadném systému člen vnějšího tlumení označený jako .

V rovnicích se předpokládají tuhosti i tlumení stejné jak v horizontálním, tak i vertikálním směru.

Rovnici (45) převedeme pro další vyšetření do komplexní roviny a dostaneme výraz:

kde opět . Při porovnání s rovnicí (18) (str. 12) je patrné, že zde přibyl další člen úměrný rychlosti pohybu.

Řešení této diferenciální rovnice lze najít za použití Laplaceovy transformace bez

uvažování počátečních podmínek. Nejprve bude uvažován homogenní tvar rovnice (46).

Pro netriviální řešení . Potom lze psát charakteristickou rovnici:

jejímž řešením je komplexní proměnná s.

Pro výraz nyní zavedeme veličinu vyjadřující míru tlumení, tzv. poměrný

útlum. Poměrný útlum je materiálovou konstantou, vyjadřuje poměr tlumení vůči kritickému

tlumení , což je nejnižší tlumení při kterém mají vlastní čísla imaginární část rovnou nule, jak vyplývá z rovnice (49).

Rovnice (49) vyjádřená pomocí poměrného útlumu má potom tvar:

Imaginární část , která vyjadřuje vlastní úhlovou rychlost (resp. frekvenci) tlumeného

kmitání, se označuje také jako . Mezi vlastními úhlovými rychlostmi netlumeného systému a systému s uvažovaným tlumením platí vztah:


19

Oproti netlumenému systému jsou kritické otáčky vlivem tlumení sníženy. Protože vnější tlumení bývá nepatrné ( <<1), je hodnota prakticky shodná s .

Vlastní homogenní řešení rovnice (46) má tvar:

Zde a jsou opět integrační konstanty, které lze určit z počátečních podmínek. Komplexní proměnná je tzv. vlastní číslo. Jeho imaginární část tedy obecně

vyjadřuje úhlovou rychlost kmitání. Oproti netlumenému systému však obsahuje navíc také reálnou část, která se projevuje při

kmitání tak, že s časem se mění amplituda výchylek, která je při zanedbání tlumení s časem konstantní.

Jak vyplývá z rovnice (51) při dosažení a překročení kritického útlumu ( , nebude

vlastní číslo obsahovat imaginární část, pohyb bude aperiodický. U systému tlumeného vnějším tlumením mohou tedy nastat případy:

a) – systém kmitá s vlastní úhlovou rychlostí . Průběh pohybu kotouče je

popsán obdobně jako u netlumeného systému elipsou, avšak se s časem se zmenšujícími poloosami. Vlivem reálného členu vlastního čísla se pohyb utlumuje, až v průběhu času vymizí. Při nulovém tlumení je reálná část vlastního čísla nulová, amplituda

kmitání se s časem nemění, systém kmitá s vlastní úhlovou rychlostí . Rovnice (53)

popisuje vlastní kmity netlumeného rotoru.

Obr. 14: Srovnání kmitání netlumeného systému

(čárkovaně) a systému s malým tlumením (plná čára)

b) – vlastní číslo má pouze reálnou část , která je při působení vnějšího

tlumení vždy záporná. Nikdy nedojde ke kmitavému ději. Systém se z vychýleného stavu vrátí do původní polohy.

c) – obdobně jako u b) je vlastní číslo s reálné, protože řešením rovnice (48) je:

Obě vlastní čísla i jsou záporná reálná čísla, takže pohyb bude opět aperiodický s klesající výchylkou.

VUT-EU-ODDI-13303-09-12

20

Obr. 15: Výchylka rotoru v závislosti na čase při aperiodickém pohybu (b) a (c)

Při velkém vnějším tlumení tedy nebude soustava vůbec kmitat, ale vrátí se do původní polohy.

Vlastní kmitání u systému tlumeného pouze vnějším tlumením tak po čase vždy odezní. Ustálený kmitavý pohyb buzený nevývažkem je popsán partikulárním řešením rovnice (46).

Řešení nalezneme opět podle tvaru pravé strany:

Po dosazení do (46):

A pomocí zavedených veličin a lze vyjádřit jako:

Pokud nebudeme uvažovat tlumení ( ), přejde rovnice ve vztah pro výchylku

vynuceného kmitání netlumeného systému (viz rovnice (14), str. 10):

Amplituda je stále úměrná excentricitě , ale protože je komplexním číslem

s nenulovou imaginární složkou, nebude výchylka středu kotouče přesně ve směru .

Body O, H a T tak již neleží na přímce jako u netlumeného systému. Vektory excentricity

a výchylky svírají fázový úhel , pro který platí:

Fázový úhel je funkcí poměrného útlumu a naladění. Oproti netlumenému systému, kde se mění při překročení kritických otáček skokově o 180°, se při mění úhel spojitě.

Poloměr kruhové dráhy, po které se střed kotouče H pohybuje, je:


21

Velikost výchylky vynuceného kmitání tak i v rezonanci nabývá konečných hodnot, a to

maximálně asi . Při malém tlumení nejsou, až na oblast rezonance, velké odchylky

mezi tlumeným a netlumeným systémem. U větších tlumení jsou velikosti výchylek ve větším rozsahu nižší než u netlumeného systému a maxima výchylek jsou posunuta do větších .

Pro úplnost je uvedena závislost výchylky těžiště, pro kterou platí dle již uvedených vztahů:

Také vzájemná poloha těžiště a středu hřídele se na rozdíl od netlumeného systému, kde se

při těžiště náhle překlopí směrem k ose ložisek, mění spojitě s rostoucími otáčkami (pomalu se přesouvá směrem dovnitř).

1.4.2 Vnitřní (materiálové) tlumení

Vnitřní tlumení je, na rozdíl od vnějšího, vyvoláno deformací hřídele při kmitání. Lze si je

dobře představit, tak že předpokládáme, že vlákna materiálu mají kromě pružných také tlumící vlastnosti. Materiálové tlumení je tedy stejně jako tuhost vlastností materiálu a geometrických rozměrů rotoru.

Obr. 16: Model pro znázornění působení viskózního materiálového tlumení u Lavalova

rotoru [1]

U nerotujícího hřídele má vnitřní tlumení stejný účinek jako vnější, působí proti směru pohybu. Jestliže ale hřídel rotuje, pak působí zcela rozdílně. Zatímco síly vybuzené vnějším tlumením jsou úměrné absolutním rychlostem v pevném souřadném systému, tlumící síly materiálového tlumení jsou úměrné relativním rychlostem v souřadném systému rotujícím spolu s hřídelí úhlovou rychlostí .

Pro odvození účinků vnitřního tlumení je tak potřeba vyjít z pohybové rovnice platné pro

rotující souřadný systém (25) dle kapitoly 1.2.2, do které zavedeme člen vnitřního tlumení, označený .

Pro zjištění vlivu tlumení materiálu nás bude zajímat homogenní řešení této rovnice. Položíme tedy buzení rovno nule. Po Laplaceově transformaci bez uvažování počátečních podmínek a podělení získáme charakteristickou rovnici:

Kde .

VUT-EU-ODDI-13303-09-12

22

Řešením rovnice je:

Při uvažování malého ( můžeme upravit výraz pod odmocninou tak, že

čtverec rozšíříme výrazem a dostaneme přibližné řešení pro oba kořeny.

Zatímco u kořene je reálná část vždy záporná, takže je člen vždy stabilní, u kořene

tomu tak být nemusí. Kořen bude mít kladnou reálnou část, když . Potom bude

homogenní řešení (66) s časem růst právě kvůli členu .

V oblasti nad kritickými otáčkami tedy není možný stabilní běh rotoru s ohledem na vnitřní tlumení materiálu. Nelze překročit vlastní frekvenci, neboť bezprostředně za ní dochází k samobuzenému kmitání, pokud není tlumeno dostatečně velkým vnějším tlumením, jak bude odvozeno dále.

Obr. 17: Samobuzené kmitání rotoru při nestabilním běhu (výchylky amplitud vlastního kmitání s časem rostou)

1.4.3 Kmitání rotorů s uvažováním vnitřního i vnějšího tlumení

Pro zahrnutí vlivu vnějšího tlumení do rovnice (63) je potřeba převést pohybovou rovnici rotoru s vnějším tlumením (46) do rotujícího souřadného systému podle transformačních vztahů:

a přidat člen vyjadřující vliv vnitřního tlumení.


23

Pro vyšetření z hlediska stability kmitání nás bude zajímat homogenní tvar diferenciální rovnice, z nějž získáme charakteristickou rovnici:

Pro její dva kořeny lze získat přibližné řešení:

Homogenní řešení se uplatní tehdy, pokud:

Tehdy bude totiž reálná část vlastního čísla kladná a systém se stane nestabilním. Stabilní běh rotoru je možný až do mezních otáček , které jsou ale díky působení

vnějšího tlumení větší než kritické otáčky , jak je tomu u systému pouze s vnitřním tlumením. Mezní otáčky, do kterých je možný stabilní běh, získáme z rovnice (72), kterou

vydělíme výrazem a upravíme:

Závisí tedy pouze na poměru vnějšího a vnitřního tlumení, ne na jejich absolutních velikostech (viz Obr. 17).

Obr. 17: Hranice stability při působení vnitřního i vnějšího tlumení

Pro zjištění vlivu nevyváženosti a vlastní tíhy rotoru rovnici (63) nejprve transformujeme

do pevného souřadného systému:

Pak lze najít partikulární řešení vyjadřující vliv buzení nevyvážeností, které je totožné s řešením systému pouze s uvažováním vnějšího tlumení (rovnice (58)).

VUT-EU-ODDI-13303-09-12

24

Vnitřní tlumení tak na amplitudu kmitavého pohybu vybuzeného nevyvážeností vliv nemá. Partikulární řešení rovnice (74) vyjadřující vliv vlastní tíže rotoru je:

Zde je rozdíl oproti dosud odvozenému. Zatímco u netlumeného systému a při uvažování pouze vnějšího tlumení se rotor pouze staticky prohne (rovnice (20)), zahrneme-li také působení vnitřního tlumení, závisí klidová poloha rotoru také na úhlové rychlosti . [1]

1.5 Zobecnění pohybové rovnice pro translační kmity pevného tělesa

V mnoha případech (například při vyšetřování přídavných účinků) je účelné vyjádřit pohybové rovnice (69), případně (74), popisující pohyb rotoru ve spolurotující i pevné souřadné soustavě, v maticovém tvaru.

Zde takto upravíme pohybovou rovnici (74) pro pevný souřadný systém. Nejprve rovnici

upravíme, tak aby měla rozměr síly – vynásobíme ji . Uvažujeme obecnou souřadnici polohy :

Rovnice (77) je vyjádřena v komplexní rovině, takže ji rozložíme na jednotlivé složky:

Výraz na pravé straně rovnice (74) představuje budící sílu, kterou označíme . Pro její složky pak platí:

Pak lze rovnice (78) zapsat maticově:

nebo také:

, a jsou matice hmotnosti, tlumení a tuhosti rotoru, je tzv. cirkulační matice, je

vektor budící síly a je vektor deformačních posuvů. Cirkulační matice je antisymetrická. To je důvodem nestability řešení soustavy v některých případech. [2]

Oproti tvaru rovnice (80), kde vystupují posunutí pouze ve dvou směrech a , je tvar

rovnice (81) obecnější. Vektor deformačních posuvů i vektor buzení může mít v prostoru tři složky. Matice jsou obecně třetího stupně. Rovnice (81) je zobecněním pohybové rovnice na

kmitání jakéhokoliv pevného tělesa za předpokladu lineární teorie – tedy malých translačních kmitů.

Analogicky bychom postupovali i při odvození maticového tvaru pohybové rovnice ve

spolurotující souřadné soustavě. [2]


25

2 Vzájemná interakce kapaliny a tělesa

V předchozí kapitole byl vyšetřeno chování rotorových soustav při různých provozních stavech a podmínkách. Většinou byla přijata řada zjednodušujících předpokladů, které více či méně odpovídají realitě. Zatím nebyl příliš uvažován vliv prostředí, v němž se rotující soustava pohybuje.

Při pohybu pevného tělesa (tedy i rotoru) v tekutém prostředí (kapalině, či plynu), je toto těleso vždy ovlivněno daným prostředím a jeho vlastnostmi. V dosavadních úvahách byl zahrnut pouze vliv tlumení viskózního prostředí, ve kterém se hřídele pohybují.

Pohyb pevného tělesa v tekutině je však ovlivněn více faktory, než jen tlumením. Vliv

tekutého prostředí zahrnuje přídavné účinky, které vystupují v pohybové rovnici pevného tělesa jako přídavná hmotnost, přídavné tlumení a přídavná tuhost. Při pohybu v plynném

prostředí jsou vlivy prostředí, včetně tlumení často zanedbatelné. Naproti tomu při pohybu pevného tělesa v kapalině tyto přídavné účinky již mnohdy zanedbat nelze, protože mají značný vliv na pohyb tělesa. Vyšetřování interakce tělesa s tekutinou je tak důležitou úlohou

v inženýrské praxi.

2.1 Nestacionární translační pohyb tuhého tělesa v kapalině.

Zahrnutí přídavných účinků do pohybové rovnice pevného tělesa lze nejsnáze objasnit na

jednoduchém případě, kterým je nestacionární translační pohyb tuhého tělesa v kapalině. V předchozí části byla v maticovém tvaru odvozena rovnice pro pohybu tělesa v tekutině

v pevném souřadném systému. Pokud neuvažujeme materiálové tlumení, které je u strojů pracujících v kapalném prostředí oproti vnějšímu tlumení zanedbatelné, lze psát:

a ve složkovém tvaru:

2.1.1 Těleso konající translační kmity v kapalině

Pro řešení pohybu tuhého tělesa v kapalině je třeba zavést následující předpoklady: Těleso o hmotnosti , uložené vazbami s tuhostí a tlumením , je buzeno silou

a vykonává malé translační kmity kolem rovnovážné polohy. Je ohraničeno kapalinou, která je uzavřena v nepropustné, nepohyblivé hranici . O kapalině předpokládáme, že je

nestlačitelná, neviskózní a nepohybuje se. Díky předpokladu malých translačních kmitů lze

použít lineární teorii jako v první kapitole.

Pro elementární sílu od kapaliny působící na element plochy pevného tělesa obecně

platí:

Zde je tenzor napětí popisující působení plošných sil v každém bodě tekutiny. Je zde

zaveden jednotkový vektor orientovaný směrem do kapaliny (viz Obr. 18 na další straně).

je tenzor napětí v tečném směru, je tlak v kapalině.

VUT-EU-ODDI-13303-09-12

26

Operátor se nazývá Kroneckerovo delta, může nabývat hodnot pro nebo 1 pro

. je elementární plocha tělesa, na kterou působí elementární síla .

Obr. 18: Elementární síla působící na těleso od kapaliny

Protože předpokládáme neviskózní kapalinu, odpadá z rovnice (84) člen , představující

tečné složky vektoru napětí (viskózní síly). Pak je elementární síla působící na plochu rovna:

kde je vektor vnější normály směřující ven z kapaliny.

Síla od kapaliny se projeví v pohybové rovnici pevného tělesa (83) jako silová zátěž na pravé straně rovnice.

Při uvažování účinků prostředí tedy v rovnicích přibude další neznámá – tlak kapaliny.

Aby bylo možné rovnici řešit, je nutné přidat další rovnice popisující proudění kapaliny, kterými jsou rovnice kontinuity pro nestlačitelnou kapalinu:

a pohybové rovnice kapaliny – Navier-Stokesovy rovnice:

V rovnicích vystupuje kromě již uvedených členů hustota kapaliny , vektor tíhového zrychlení a vektory rychlosti proudění kapaliny , . Souřadnice , jsou obecnými

souřadnicemi objemu kapaliny. Aby nedošlo k záměně s obecnou souřadnicí kapaliny, je

vhodné označit deformační posuvy v pohybové rovnici (86) .

V rovnici (88) lze dle předpokladů zanedbat člen s , protože nyní uvažujeme neviskózní

kapalinu. Jelikož těleso vykonává malé pohyby, rychlosti okolní kapaliny jsou rovněž malé, pak lze zanedbat rovněž nelineární člen. Také zanedbáme tíhové zrychlení, které na hydrodynamiku nebude mít vliv a rovnice (88) se zjednoduší na tvar:


27

Nyní má soustava stejný počet rovnic jako neznámých, abychom ji mohli řešit, je třeba zadat ještě počáteční a okrajové podmínky.

Deformační posuvy pevného tělesa a jejich derivace jsou označeny a .

Když rovnici kontinuity zderivujeme podle času a dosadíme do ní z pohybové rovnice kapaliny (89):

Protože výraz je nenulový, lze psát:

Rovnice (93) se nazývá Laplaceova rovnice pro stanovení tlakové funkce. Analogicky jsou upraveny i okrajové podmínky:

Díky tomu je počet neznámých zredukován, neboť k řešení soustavy nyní stačí znát pouze tlakové pole, řešené Laplaceovou rovnicí. Jedná se tedy o určitou úlohu. Pro její řešení je ale potřeba rovnice dále upravit. Tlak je funkcí jak polohy, tak času. Navrhneme substituci

tlakové funkce, tak abychom mohli tlak řešit pouze na základě tvaru oblasti. Vyjádříme tlak jako součin dvou nezávislých funkcí, funkce závislé pouze na poloze označené a zrychlení

, závislého jen na čase.

Tuto substituci dosadíme do Laplaceovy rovnice (93):

Protože , ani nejsou závislé na poloze, lze je vytknout před derivaci podle :

Po zkrácení nenulovými členy dále dostáváme rovnici, ve které vystupuje tlaková funkce

pouze jako funkce tvaru oblasti:

VUT-EU-ODDI-13303-09-12

28

Stejně jako Laplaceova rovnice tlakové funkce jsou upraveny i okrajové podmínky:

Při znalosti tvaru tělesa známe vektory i a rovnice můžeme vyřešit. Řešení pak

dosadíme do pohybové rovnice tělesa:

Výraz na pravé straně rovnice představující přídavný silový účinek kapaliny je závislý na zrychlení , proto po převedení na levou stranu rovnice můžeme psát:

V pohybové rovnici přibyl další člen závislý na zrychlení . Tento člen je tenzor přídavné

hmotnosti kapaliny, který nazveme :

Z rovnice lze usoudit, že přídavná hmotnost kapaliny ovlivňuje vlastní úhlovou rychlost systému, jak lze snadno vidět na případu jednoosého kmitání netlumené soustavy. Homogenní tvar rovnice (102) pro tento případ je:

z čehož plyne pro vlastní úhlovou rychlost a frekvenci vztah:

Přídavná hmotnost kapaliny tedy snižuje vlastní frekvenci tělesa kmitajícího v kapalině. Z pohybové je zřejmé, že přídavná hmotnost závisí na vlastnostech kapaliny a tvaru

oblasti, nikoliv na čase. Volbou tvaru pevného tělesa a hranice tak lze přídavnou hmotnost výrazně ovlivnit. Lze to dobře vidět na jednoduchém, ale v praxi poměrně užitečném příkladu čepu rotujícího v tenké kapalinové vrstvě.

Předpokládáme čep kruhového průřezu o poloměru uložený soustředně v pevné oblasti rovněž kruhového průřezu o poloměru . Mezi čepem a hranicí je kapalinový film o tloušťce

(viz Obr. 19). Kapalinu považujeme za nestlačitelnou a neviskózní. Pak lze pro

přídavnou hmotnost odvodit vztah:


29

Protože čep se může pohybovat pouze v rovině - , jsou v rovnici (105) pouze dva volné indexy a a matice přídavné hmotnosti má pak 4 členy. Při námi zadané geometrii soustavy

zjistíme, že mimodiagonální členy jsou rovny nule a matice přídavných hmotností má dva

nenulové diagonální členy, které jsou stejné. Za předpokladu pro ně platí:

Obr. 19: Čep kmitající v kapalinovém filmu a závislost přídavné hmotnosti na tloušťce

filmu δ

Z rovnice (105) i Obr. 18 je patrné, že přídavná hmotnost od kapalinového filmu je tím větší, čím je menší vůle.

2.1.2 Těleso konající translační kmity v proudící kapalině

Stejnou metodiku lze použít pro řešení problému pevného tělesa, buzeného vnější silou, kmitajícího v kapalině, která proudí rychlostí . Předpokládáme nevířivé proudění kapaliny,

tedy translační pohyb i pro kapalinu. Ostatní předpoklady zůstavují stejné. V pohybové rovnici kapaliny pak přibude nelineární člen konvektivního zrychlení, protože

rychlost kapaliny již nelze zanedbat:

Z rovnice lze při uvažování stacionárního (v čase neměnného), nevířivého proudění odvodit vztah:

Výraz v závorce je konstanta, kterou označíme jako dynamický tlak:

Indexy 0 v rovnici vyjadřují, že se jedná o stacionární stav proudění.

VUT-EU-ODDI-13303-09-12

30

Při zobecnění na nestacionární případ lze pak vyjádřit tlakové a rychlostní pole:

kde , jsou ustálené složky a , nestacionární složky rychlosti, resp. dynamického tlaku. Při nestacionárním proudění pak platí pro tlak rovnice:

Takto vyjádřený tlak je třeba zavést do pohybové rovnice tělesa:

Řešení rovnice je ekvivalentní úlohou jako v předchozím případě. Zavedeme tedy pro

tlakovou funkci stejnou substituci:

Pokud vyjádříme pomocí této substituce všechny členy rovnice (111), dostaneme pro tlak:

Při nestacionárním proudění kapaliny kolem tělesa, tak závisí tlak nejen na zrychlení, ale i na rychlosti a statické složce rychlosti proudění. Když tlak dosadíme do pohybové rovnice, dostaneme:

Jednotlivé přídavné účinky jsou vyjádřeny členy:

Matice jsou uvedeny v tomto pořadí: matice přídavných hmotnosti, matice přídavného lineárního tlumení a matice nelineárního tlumení (projeví se při větších amplitudách). Pokud je člen tlumení , dojde u tělesa k samobuzenému kmitání (viz kapitola 1.4)

Na těleso kmitající v kapalině působí vždy přídavná hmotnost i přídavné tlumení. U některých případů jako jsou kluzná ložiska, hydrodynamické tlumiče, těsnící spáry atd. se

přidává i přídavná tuhost, která závisí na úhlové rychlosti rotace hřídele.


31

2.2 Interakce rotoru a kapaliny v těsnící spáře

Jak bylo zmíněno v úvodu, hydrodynamická těsnící spára je konstrukční prvek

hydrodynamických strojů, který má zamezit objemovým ztrátám při proudění kapaliny ve stroji (např. proudění kapaliny z výtlaku do sání čerpadla). Nachází se mezi těsnícími kruhy rotoru a statoru stroje.

Těsnící spárou tak za chodu stroje proudí kapalina a jako u všech těles pohybujících se v kapalném prostředí ve spáře dochází ke vzájemné interakci kapaliny a rotujícího hřídele.

Přídavné účinky (hmotnost, tuhost i tlumení) kapaliny významně ovlivňují dynamické vlastnosti rotoru. Velikost přídavných účinků závisí u těsnících spár především na otáčkách rotoru, precesním pohybu rotoru, vlastnostech kapaliny, tvaru a rozměrech těsnící spáry. [4]

Z toho pohledu má velký význam geometrie těsnící spáry, která se volí především s ohledem na minimalizaci objemových ztrát.

2.2.1 Proudění kapaliny těsnící spárou

Působením tíhové a radiální síly oběžného kola dochází u hřídele ke vzniku excentricity a natočení hřídele. Pro jednoduchost se těsnící spára nahrazuje excentricky vyoseným válcovým mezikružím. Na obrázku je znázorněna zjednodušená geometrie hladké těsnící spáry – válcové mezikruží.

Obr. 20: Hladká těsnící spára

I ve zjednodušeném případě válcového mezikruží je proudění kapaliny poměrně složité. Kapalina proudí ve směru axiálním vlivem rozdílu tlaků před a za spárou, obvodové proudění je způsobeno rotací hřídele. Slabé proudění je i v radiálním směru – je způsobeno precesním pohybem hřídele, při kterém se střed hřídele pohybuje po eliptické dráze, v důsledku čehož dochází ke zvětšování a zmenšování velikosti spáry po obvodu.

Pokud proudění v radiálním směru zanedbáme je proudění kapaliny spárou superpozicí jednotlivých stavů – axiálního, tangenciálního i radiálního proudění. Dochází při něm ke vzniku tzv. Taylor – Couetteho vírů. [5]

VUT-EU-ODDI-13303-09-12

32

Hydrodynamická těsnící spára může být i složitějšího tvaru (např. labyrintová, závitová apod.), než na Obr. 20. Umístěním různých drážek v těsnících kruzích lze totiž zvýšit odporový součinitel těsnící spáry a tím snížit ztrátový průtok spárou, Zhoršují se však dynamické účinky spáry. Správně navržená spára by měla oba tyto požadavky sladit. [4] [5]

2.2.2 Přídavné účinky kapaliny v těsnící spáře na rotor

Pro teoretické stanovení přídavných účinků kapalinového filmu v těsnící spáře jsou výchozími vztahy Navier-Stokesovy rovnice s uvažováním turbulentního proudění, rovnice

kontinuity a okrajové podmínky. Pokud předpokládáme turbulentní proudění viskózní kapaliny s laminární podvrstvou, pak

pro sílu na povrchu tělesa platí:

Matice vyjadřuje viskózní síly.

Matematický model pro stanovení přídavných účinků působících na rotor při uvažování v těsnící spáře je již značně složitější. Zahrnuje řadu koeficientů, závislých na proudění ve spáře i na geometrií spáry. Obecně však platí, že účinkem kapalinových vrstev působí na rotor přídavná síla:

Předpokládáme-li rotor, který vykonává rotační pohyb v kapalině úhlovou rychlostí

a zároveň precesní pohyb po kruhové dráze úhlovou rychlostí vzhledem k souřadnému systému x, y (viz Obr. 21) lze vyjádřit silové působení v maticovém tvaru [4]:

Obr. 21: Silové působení na rotor v hydrodynamické těsnící spáře


33

Porovnáním jednotlivých členů matice lze získat jejich vzájemné vztahy:

Pak pro složky sil a platí:

Jednotlivé koeficienty matic , a lze získat experimentálně, nebo na pomocí výpočtového modelování proudění.

Přídavné účinky jsou ovlivněny řadou faktorů, jako jsou tlakový spád na spáře, délka těsnící spáry, radiální vůle ve spáře (tloušťka kapalinové vrstvy), otáčky rotoru, precesní pohyb rotoru, viskozita kapaliny, vznik kavitace aj.

Existují i jiné numerické modely pro řešení problematiky dynamických vlastností těsnících spár, které zavádějí různé zjednodušující předpoklady a jejichž výsledky se tak mohou značně lišit. Přesnost jednotlivých metod se ověřuje experimentálně.

VUT-EU-ODDI-13303-09-12

34

3 Experiment pro ověření přídavných účinků kapalinové vrstvy těsnících spár

Pro stanovení přídavných účinků kapalinové vrstvy v těsnící spáře byl na zkušebně Odboru

fluidního inženýrství Victora Kaplana FSI VUT v Brně proveden experiment na navrženém zkušebním zařízení. Účelem experimentu je stanovení přídavných účinků ze sil působících na

hřídel zkušebního zařízení.

3.1.1 Zařízení k experimentálnímu ověření přídavných účinků

Experiment pro zjištění přídavných účinků kapalinové vrstvy byl realizován na

experimentálním zařízení, skládajícím se z přípravku s vlastní těsnící spárou a z měřící části. Jako měřící část experimentálního zařízení byl použit zkušebním kozlík vybavený

tenzometrickými snímači výrobce HBM, které umožňují měření statických i dynamických složek radiálních a axiálních sil.

Obr. 22: Řez měřícím kozlíkem

Uvnitř kozlíku je hřídel, sloužící k přenosu krouticího momentu přes spojku. Je uložená ve dvou radiálních ložiskových tělesech, která jsou uchycena na tenzometrických snímačích. Na

každém z těles je čtveřice snímačů, tedy dohromady osm tenzometrů pro snímání radiálních sil. Axiální síla je pak snímána jedním tenzometrem umístěným za axiálním ložiskovým tělesem.

Při proudění kapaliny skrz těsnící spáru působí na rotor hřídele experimentálního zařízení radiální síla a axiální síla, způsobená rozdílem tlaků před a za spárou. Tenzometrické snímače zachytí působící síly ve formě deformací. Snímané hodnoty deformací jsou tenzometry převedeny na elektrické veličiny, které jsou pak v počítači převedeny na síly.


35

Pro vyhodnocení experimentu je

podstatné pouze měření radiálních sil, takže axiální síla snímána nebyla.

K měřicímu kozlíku byl připojen pro tento experiment navržený přípravek, na kterém měly být simulovány podmínky při proudění kapaliny těsnící spárou.

Obr. 23 (vpravo): Model zkušebního kozlíku v programu Inventor

Obr. 24 (dole): Návrh přípravku pro experimentální určení vlivu těsnící spáry

VUT-EU-ODDI-13303-09-12

36

Těsnící spára se skládá z rotorové a statorové části. Navržený přípravek (viz Obr. 24 na

předchozí stránce) představuje pouze rotorovou část těsnící spáry. Statorová část spáry byla zajištěna těsnícím kruhem spirály čerpadla BETA 26 dostupného na zkušebně. Spirála se

přírubou připojila k měřícímu kozlíku. Přípravek tak rotoval uvnitř spirály nasazený na hřídeli kozlíku na místě oběžného kola.

Přípravek byl vyroben dle mého návrhu v dílnách Odboru fluidního inženýrství Victora

Kaplana v dubnu 2012. Poté byl nasunut na hřídel měřícího kozlíku a zajištěn šroubem. Na

kozlík byla připevněna spirála čerpadla, čímž vznikla mezi těsnícím kruhem spirály a diskem

přípravku spára. Rozměry přípravku jsou navrženy tak, aby radiální vůle mezi kotoučem přípravku

a těsnícím kruhem spirály byla cca 0,1 mm a vůle v axiálním směru byla cca 0,5 mm. Po

připojení přípravku k měřícímu kozlíku nebylo ovšem možné radiální vůli přesně změřit. Tento přípravek představoval pouze provizorní zkušební řešení, protože z důvodu zpoždění

nebylo možné provádět v dubnu experiment na zkušebním zařízení, které bylo navrženo ve

společnosti Sigma Lutín, a.s.

Tento přípravek byl vyroben a dodán teprve během léta. První experiment s ním tak bylo

možné provést až v září 2012. Zařízení bylo dodáno včetně kompletní výkresové dokumentace. Skládá se z rotorové a statorové části těsnící spáry, které jsou přírubou připojeny k měřicímu kozlíku. Ve statorové části jsou výměnná excentrická pouzdra. Před spárou i za spárou jsou poměrně rozlehlé oblasti, sloužící k uklidnění proudění. Rotorová část je tvořena paprskovým kolem, vyrobeným z lehké slitiny. Na kole je nalisován tenký ocelový proužek kvůli zvýšení odolnosti a tuhosti. Kolo by mělo mít co největší tuhost, zároveň by ale mělo svou vahou co nejméně ovlivňovat radiální snímače. Kolo je po připojení k měřicímu kozlíku letmo uloženo na hřídeli kozlíku a je zakrytováno, aby se zamezilo porušení tlakového spádu na spáře. [5]

Obr. 25: Řez měřicím zařízením včetně připojeného přípravku k experimentálnímu ověření

přídavných účinků kapalinové vrstvy od Sigmy Lutín (v levé části obrázku) [5]


37

3.2 Realizace měření

Samotné měření proběhlo v několika dnech. Byla naměřeno a zaznamenáno množství měřených bodů. Hlavní část měření probíhala v laboratoři Odboru fluidního inženýrství Victora Kaplana ve dnech 23. 4. – 30. 4. a 1. 6. 2012. Data byla měřena při různých provozních stavech.

Dodatečné měření s přípravkem dodaným Sigmou Lutín pak bylo provedeno 1. 9. 2012.

I z něj vzešla řada měřených bodů. Předpokládá se, že se v měření bude pokračovat dále. Měření probíhalo tak, že pomocí rázu na rotor bylo vyvoláno kmitání rotoru, které

způsobilo silové reakce v ložiskách. Ty byly tenzometry zaznamenány a uloženy do počítače pro další zpracování. K rázu byla použita palička s gumovou, nebo hliníkovou násadou. Náraz byl proveden do vybraných míst rotoru.

Radiální tenzometry ložiska A i ložiska B byly pro měření předpjaty na přibližně stejnou hodnotu (ovšem jinou pro tenzometry ložiska A a tenzometry ložiska B, z důvodu jiného měřicího rozsahu tenzometrů). Axiální tenzometr byl odpojen. Z důvodu působení axiální síly na disk experimentálního přípravku byl také předpjat tak, aby byl disk schopen rotace.

Aby byly vyvozeny podmínky srovnatelné s prouděním tekutiny měřící spárou, bylo měřící zařízení umístěno do měřícího okruhu se sacím kotlem. Potřebné parametry (průtok a tlak) byly zajištěny čerpadlem Lowara 00372.

K pohonu hřídele měřícího kozlíku byl použit stejnosměrný dynamometr 1 DS 1036-kV se

zabudovanými snímači pro měření krouticího momentu a otáček, spojený s hřídelí přes pružnou spojku. Měřící okruh byl osazen měřicími přístroji pro měření hydraulických veličin.

Parametry okruhu:

Průměr sacího potrubí: 125 mm. Průměr výtlačného potrubí: 100 mm.

Výškový rozdíl výtlačného a sacího tlakového čidla: 166 mm. Hustota čerpané kapaliny: 998 kg/m3

.

Teplota čerpané kapaliny 19,7 °C.

Obr. 26: Připojení měřícího zařízení k měřícímu okruhu

VUT-EU-ODDI-13303-09-12

38

Měření sil bylo provedeno při různém nastavení parametrů okruhu. Nejprve byla měřena řada bodů na měřícím kozlíku nepřipojeném spojkou k dynamometru. Nejdřív v nezavodněném okruhu, kdy se sledovalo vybuzení přípravku na vzduchu. Pak byl systém zavodněn a byly sledovány síly ve stojící kapalině. Poté byl hřídel kozlíku sespojkován

s dynamometrem (viz Obr. 26 na předchozí straně) a měřena další řada bodů jak na vzduchu, tak se zavodněným okruhem. Následovala řada bodů měřených při tlaku na výtlaku 240 kPa a průtoku cca 1 l/s, nejprve při otáčkách dynamometru 0 ot/min, 1500 ot/min a 3000 ot/min.

Potom obdobně při parametrech 410 kPa na výtlaku a průtoku cca 1,7 l/s.

Vyšších tlaků v okruhu nebylo lze dosáhnout vzhledem k axiálním posuvům disku. Stejně tak nebylo měřeno při otáčkách vyšších než 3000 ot/min s ohledem na vlastní frekvenci rotoru a bezpečnost měření. Nakonec bylo zkontrolováno, zda nedošlo k posunutí sil při statickém stavu systému, jak se vzduchem, tak s vodou.

Přitom bylo k vybuzení kmitů použito dvou různých paliček, jedné s gumovou násadou

a druhé s násadou hliníkovou. Boucháno bylo jednak na spojku v horizontálním i ve vertikálním směru, jednak na hřídel, přibližně do středu mezi ložisky, kde konstrukce měřicího kozlíku dovolovala pouze údery v horizontálním směru. Každé jednotlivé měření bylo provedeno třikrát, aby byla snížena pravděpodobnost chybné interpretace výsledků. Každý měřený bod je uložen v počítači jako samostatný soubor. Bylo tak získáno značné

množství naměřených bodů. Bohužel ani přes počet měření, nebylo možné z dat naměřených při určitých „provozních

stavech“ získat rozumné závěry. Šlo především o body měřené na vzduchu, kdy byly signály výrazně zašuměné. Proto bylo měření opakováno při změněných podmínkách. Jednak jsme se

pokoušeli měřit bez nasazené spirály (tedy pouze na disku rotujícím ve vzduchu), a to bez připojení hřídele kozlíku k dynamometru, s nasazenou spojkou při otáčkách 0 ot/min, 1500 ot/min i 3000 ot/min. Také jsme zkoušeli odpojit ze zařízení axiální ložisko, což dovolovalo měřit pouze statický stav bez otáček, protože nebylo možné připojit kozlík k dynamometru.

Protože z většiny měřených bodů stále nebylo možné vyhodnotit výsledky, bylo provedeno

další měření s nasazeným sklíčidlem na disk. Cílem této úpravy bylo zvýšit hmotnost disku a tím snížit frekvenci vlastního kmitání systému.

Obr. 27: Měření se sklíčidlem nasazeným na disku přípravku


39

Během léta 2012 bylo vyrobeno a dodáno také zařízení navržené společností Sigma Lutín,

se kterým se původně počítalo při experimentu (viz Obr. 28 a Obr. 29). V září 2012 pak bylo provedeno zkušební měření s tímto zařízením. Zařízení je podstatně větší. Jeho hmotnost

odpovídá zhruba hmotnosti sklíčidla nasazeného na disku přípravku v předchozím měření. S tímto přípravkem pak bylo provedeno další měření. Měření budou dále pokračovat.

Obr. 28 (nahoře) a 29 (dole): Montáž nového přípravku pro experimentální ověření přídavných účinků kapalinové spáry

Datum Specifikace

Počet

zaznamenaných

bodů

23. 4.2012 Se spirálou 108

25. 4.2012 Bez spirály 65

30. 4.2012 Bez axiálního ložiska 30

1. 6.2012 Se sklíčidlem 16

1. 9.2012 Nový přípravek 36

Tab. 1: Stručný přehled měření a počtu měřených bodů

VUT-EU-ODDI-13303-09-12

40

3.3 Měřící technika

3.3.1 Měřené veličiny

V předchozí kapitole bylo zmíněno, že pro stanovení silového působení na přípravek byly měřeny radiální síly osmi tenzometry HBM.

Kromě sil pak byly měřeny také tyto veličiny: p1 tlak před sacím hrdlem čerpadla kPa

p2 tlak za výtlačným hrdlem čerpadla kPa

Q průtok l/s

n otáčky čerpadla ot/min

Mk krouticí moment na hřídeli čerpadla N.m

t teplota vody v sacím kotli ˚C

3.3.2 Měřicí technika použitá pro měření hydraulických veličin

p1 - snímač tlaku DMP 331, výrobce BD SENZORS, s.r.o., Uh. Hradiště, měřicí rozsah

250 kPa (A), přesnost ±0,25%, proudový výstup 0-20 mA, v.č. 03 22 630

p2 - snímač tlaku DMP 331, výrobce BD SENZORS, s.r.o., Uh. Hradiště, měřicí rozsah

1000 kPa (A), přesnost ±0,25%, proudový výstup 0-20 mA, v.č. 01 68 495

Q - indukční průtokoměrná souprava typ KROHNE SC 100 AS DN 80, výrobce

KROHNE, měřicí rozsah 0-40 l/s, přesnost ± 0,5 % z měřené hodnoty, proudový

výstup 0-20 mA, v.č. A9551092

n - optoelektrický snímač otáček, který je součástí soupravy dynamometru, měřicí rozsah

3000 ot/min, přesnost ±0,1%.

Mk - tenzometrický snímač, který je součástí soupravy dynamometru, měřicí rozsah

200 N.m, přesnost ±0,5%.

t - teploměr Ni 1000 s vestavěným převodníkem, výrobce HIT Uherské Hradiště,

přesnost ±0,2%, proudový výstup 4-20 mA, v.č. LA 339

Snímače tlaku p1 a p2 byly napájeny stabilizovaným zdrojem stejnosměrného proudu

TESLA BK 123, UN=18 V, v.č. 921 820.

Elektrické signály snímačů p1, p2, Q, n, Mk a t byly zpracovávány počítačem s měřicí

kartou PCL 812-PG, vybaveným měřícím softwarem pro měření energetických a kavitačních

charakteristik hydraulických zařízení.


41

3.3.3 Měření silových veličin

Pro měření všech silových veličin byly použity tenzometrické snímače sily výrobce HBM.

Elektrické signály ze všech snímačů radiální síly byly zpracovány měřícím systémem

SPIDER 8 výrobce HBM. Snímač axiální síly nebyl připojen. Typ snímačů, výrobní číslo,

maximální zatížení a tomu odpovídající výstupy snímačů, včetně označení kanálu v systému

SPIDER 8, jsou uvedeny v následující tabulce.

Kanál Název TYP Výr.

číslo

Vstup

max.

Výstup

max.

kg mV/V

1 AX1 U2 B 4063 1000 2

2 AY1 U2 43101 1000 2

3 AX2 U2 B 4064 1000 2

4 AY2 U2 43102 1000 2

5 BX1 U2 97146 500 2

6 BY1 U2 97145 500 2

7 BX2 U2 97159 500 2

8 BY2 U2A C84627 500 2

Tab. 2: Tenzometrické snímače použité při experimentu

Obr. 30: Schéma zapojení tenzometrů [6]

VUT-EU-ODDI-13303-09-12

42

Pro záznam dat byla nastavena maximální frekvence vzorkování tj. 9600 Hz. Doba

ustáleného měření a tedy i počet vzorků jednotlivých měření byly různé. Krátce po úderu

paličkou bylo měření manuálně ukončeno z důvodu úspory dat, protože pro vyhodnocení byla

zajímavá pouze data bezprostředně po úderu.

Obr. 31: Měřicí systém Spider 8 od HBM [7]

Data jsou uložena v počítači v souborech formátu *.sp8 (data ze systému Spider 8). Každý

měřený bod představuje jeden soubor.

Obr. 32: Připojení experimentálního zařízení k měřicímu systému


43

4 Vyhodnocení výsledků získaných experimentem

Data získaná měřením byla uložena do počítače ve formátu *.sp8. Tato data představují

časový záznam sil působících v radiálních ložiskách a měřených jednotlivými tenzometry. Pro

řešení úlohy je vhodné tento časový záznam převést do frekvenční oblasti. To bylo provedeno

pomocí softwaru Parametr.exe, dostupného na Odboru Fluidního inženýrství.

Tenzometry v ložiskách A i B jsou umístěny diagonálně (o 45° odchýleny od vodorovného

směru), takže měří síly v diagonálních směrech. Pokud chceme určit reakce v ložiskách

v horizontálním a vertikálním směru, je třeba přepočítat zaznamenané síly do těchto směrů,

označených x a y dle zavedeného souřadného systému (viz Obr. 33).

Obr. 33: Orientace a pojmenování tenzometrů

Rovnice pro výpočet reakcí v ložiskách A a B v souřadném systému podle Obr. 33.

Co se týče orientace sil měřených tenzometry, pokud na tenzometrickou krabici působí

tlak, je odezva tohoto tenzometrického zesilovače kladná a naopak.

Výpočet reakci podle těchto rovnic je již součástí programu Parametr.exe.

4.1 Frekvenční analýza naměřených signálů

Průběhu sil je přirozeně zaznamenám v závislosti na čase. Pro další vyhodnocení dat je

účelné převést tento záznam z časové oblasti do oblasti frekvenční. Ta je pro zobrazení periodických, či kvaziperiodických signálů vhodnější, neboť je pro jejich analýzu mnohem přehlednější než časová oblast. [8]

Časový průběh jakéhokoliv měřeného signálu lze rozložit na soubor harmonických funkcí, lišících se amplitudou, úhlovou frekvencí a svou počáteční fází, tak že jejich součet dá originál. Pokud se u tohoto souboru harmonických funkcí znázorní závislost amplitudy a počáteční fáze na frekvenci, je signál zobrazen ve frekvenční oblasti.

Signál představující periodickou funkci spojitou v čase lze přímo rozložit na kombinaci harmonických signálů (tj. funkcí sinus a cosinus). Tento rozklad se nazývá Fourierova řada. Pro obecné, neperiodické funkce se pak používá tzv. Fourierova transformace.

VUT-EU-ODDI-13303-09-12

44

Obr. 34: Úplný časový záznam síly zobrazený v programu Parametr.exe

4.1.1 Fourierova transformace

Pomocí Fourierovy transformace (FT) tedy lze vypočítat rozklad na harmonické složky u obecného (periodického i neperiodického) signálu a převést jej tak z časové do frekvenční oblasti. Signál může být obecně v čase spojitý, nebo diskrétní.

Při rozkladu periodického signálu na Fourierovu řadu je získané frekvenční spektrum složené z izolovaných složek, protože obsahuje pouze frekvence, které jsou násobky základní frekvence opakování signálu.

Naproti tomu při Fourierově transformaci je získané spektrum spojitou funkcí frekvence,

protože rozklad obsahuje obecně složky o všech frekvencích s infinitezimální amplitudou. Tato přímá Fourierova transformace je definována vztahem:

Harmonické funkce sinus a cosinus jsou zde vyjádřeny jako funkce komplexní exponenciály .

Ve vztahu je obrazem signálu vyjádřen jako spektrum úhlové rychlosti . Protože , pokud chceme vyjádřit obraz signálu přímo jako frekvenční spektrum, vypadá

rovnice (123) následovně:


45

Originály signálu lze pak získat z obrazů zpětnou Fourierovou transformací.

Pro FT musí ještě platit tzv. Parsevalova rovnost, která vyjadřuje, že celková energie

v časové i frekvenční oblasti je stejná. [8]

Při zpracování signálu počítačem jsou k dispozici jen vzorky funkce v diskrétních časových okamžicích. Vychází se tedy z těchto navzorkovaných hodnot, které tvoří originální posloupnost . Pro jejich zpracování se využívá tzv. diskrétní Fourierovy transformace (DFT). Originál i obraz pak mají samozřejmě diskrétní průběh. Po formální stránce je integrál v rovnici (124) nahrazen sumací s dělením odpovídajícím periodě vzorkování. V praxi se používá DFT u níž sumace probíhá pouze v mezích od do ,

kde N je počet vzorků. [9]

Přímá DFT pro záznam o konečném počtu vzorků N je definována vztahem:

Pro zpětnou DFT platí:

Analogicky jako u přímé FT pro diskrétní Fourierovu transformaci platí rovnost:

Výpočet DFT podle definičního vztahu (100) je časově náročný. Vyžaduje totiž provést

komplexních součinů a komplexních součtů. Byla proto vyvinuta metoda výpočtu DFT, která výpočet značně zrychlí, volbou zvláštní délky záznamu N. K výpočtu pak stačí provést menší počet komplexních součinů i komplexních součtů. Tento algoritmus se nazývá rychlá Fourierova transformace (FFT). [10]

4.1.2 Zpracování měřených dat

Pro zápis hodnot byla nastavena maximální frekvence vzorkování . I pro

relativně krátkou dobu měření to představuje značný počet vzorků ( ).

Z hlediska vyhodnocení jsou zajímavé vzorky v časové oblasti bezprostředně po nárazu, kdy se kmitání způsobené úderem postupně utlumuje.

Oproti úplnému časovému záznamu je pro zpracování dat vybrán kratší časový úsek (viz

Obr. 35).

VUT-EU-ODDI-13303-09-12

46

Obr. 35: Vybraný úsek časového záznamu síly

Tento úsek je převeden to frekvenční oblasti. Software Parametr.exe používá pro převod z časové do frekvenční oblasti diskrétní Fourierovu transformaci (DFT). Na počtu vzorků vybraného časového úseku závisí frekvenční krok obrazu ( ).

Z celkového časového záznamu byl vždy vybrán časový úsek o délce 1 s, aby po převodu do frekvenční oblasti byl frekvenční krok 1 Hz.

Vzorky pro DFT jsou dány zvoleným oknem v programu. Zvolené frekvence byly

nastaveny v rozmezí od 10 Hz do 250 Hz.

Obr. 36: Záznam síly v závislosti na frekvenci po provedené DFT


47

4.2 Stanovení silového působení

Z frekvenční analýzy signálu byly získány závislosti silového působení vybuzeného nárazem paličky na hřídel přípravku. Přesněji byly získány závislosti amplitudy i fáze složek

sil , , a v ložiskách A i B do směrů x a y, v závislosti na frekvenci.

Program Parametr.exe umožňuje export dat (jak naměřených v časové dimenzi, tak transformovaných DFT do oblasti frekvenční) do programu MS Excel, ve kterém bylo provedeno další zpracování. Na následujících grafech je zobrazena ukázka vykreslení sil ve frekvenční oblasti po exportu, včetně určení průběhu radiální síly z amplitud a fází jednotlivých sil.

Graf 1: Amplitudy sil v ložisku A vykreslené po exportu dat

Graf 2: Amplitudy sil v ložisku B vykreslené po exportu dat

Z grafů je dobře patrná otáčková frekvence rotoru (50 Hz u měření s hřídelem rotujícím na 3000 ot/min), kdy jsou amplitudy sil nejvyšší. Výrazný je rovněž její dvojnásobek

a trojnásobek.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 50 100 150 200 250

|F

x|;

|F

y|

[N]

f [Hz]

Fxa

Fya

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 50 100 150 200 250

|F

x|;

|F

y|

[N]

f [Hz]

Fxb

Fyb

VUT-EU-ODDI-13303-09-12

48

Ze záznamu amplitud a fází pro každý snímač lze sestavit grafy závislosti průběhu radiální síly.

Pro složky sil do směrů x a y platí:

Zde je zaznamenaná počáteční fáze složky , je počáteční fáze složky , je

obecný úhel, který volíme v rozsahu od 0 do 360°, čímž získáme průběh složek sil během jedné otáčky (viz Graf 3).

Graf 3: Průběh radiálních sil v ložisku A i B během jedné otáčky

Na grafu je znázorněn průběh radiální síly v obou ložiskách při pohledu od dynamometru.

Graf je vykreslen v souřadném systému tenzometrů, tedy kladný směr osy x je nahoru, kladný směr osy y doleva.

Totožný průběh bude mít i výchylka středu hřídele, protože se nachází ve směru síly a je

s ní svázána přes tuhost tenzometrů. Grafem je tak popsán také precesní pohyb hřídele.

Z počáteční výchylky a směru lze určit, zda se jedná o souběžný, nebo protiběžný precesní pohyb hřídele. Hřídel se otáčel ve směru hodinových ručiček

Tvar precesní rotace je obecně eliptický. Je superpozicí dvou kruhových pohybů s opačným smyslem otáčení, jak bylo odvozeno v kapitole 1.3.

Směr rotace v ložisku A nemusí souhlasit se směrem rotace v ložisku B. Může tak nastat případ, kdy se v jednom ložisku objeví souběžná precese a ve druhém protiběžný precesní pohyb, což lze vidět na následujících grafech

-200

0

200

-2000200

A

B


49

4.2.1 Grafy vynuceného kmitání rotoru Ze souborů, u nichž byly signály jasně čitelné a daly se dobře odečíst amplitudy sil, jsou

sestaveny grafy. Jedná se o otáčkové frekvence rotoru. Na grafech je znázorněn průběh sil pro

různé otáčky a průtoky. Lze vidět, že při nižším průtoku se u hřídele objeví v jednom ložisku protiběžná precese.

Graf 4: Graf 5:

Otáčky: 1500 ot/min Otáčky: 1500 ot/min

Průtok: 1 l/s Průtok: 1,7 l/s

Tlak na výtlaku: 240 kPa Tlak na výtlaku: 410 kPa

Frekvence: 25 Hz Frekvence: 25 Hz

Graf 6: Graf 7:

Otáčky: 3000 ot/min Otáčky: 3000 ot/min

Průtok: 0,94 l/s Průtok: 1,68 l/s

Tlak na výtlaku: 240 kPa Tlak na výtlaku: 410 kPa

Frekvence: 50 Hz Frekvence: 50 Hz

-100

0

100

-1000100

A

B

-200

0

200

-2000200

A

B

-200

0

200

-2000200

A

B

-100

0

100

-1000100

A

B

VUT-EU-ODDI-13303-09-12

50

Z počátečních fází a amplitud sil v ložiskách A a B lze sestavit tvary vynucených kmitů rotoru na otáčkové frekvenci v závislosti na otáčkách a statickém průtoku. Při otáčkách 1500

ot/min i 3000 ot/min předpokládáme, že rotor kmitá jako tuhý, takže výsledné tvary kmitu

lineárními křivkami.

Průtok: 1 l/s

Směr x

Směr y

Průtok: 1,7 l/s

Směr x

Směr y

Obr. 37: Tvary kmitu vynuceného kmitání rotoru na otáčkách 1500 ot/min


51

Průtok: 0,94 l/s

Směr x

Směr y

Průtok: 1,68 l/s

Směr x

Směr y

Obr. 38: Tvary kmitu vynuceného kmitání rotoru na otáčkách 3000 ot/min

VUT-EU-ODDI-13303-09-12

52

4.3 Teoretické určení vlastního kmitání

Přes počet provedených měření se nepodařilo určit u záznamů z měření suchého hřídele

(ve vzduchu), ani z nerotujícího mokrého hřídele (v kapalině) vlastní frekvence. Záznamy byly výrazně zašuměné.

Pro porovnání s daty naměřenými při rotaci hřídele v kapalině byl vytvořen výpočtový model soustavy, který umožňuje teoretický výpočet vlastních frekvencí a zobrazení tvarů vlastních kmitů.

Zjednodušený teoretický model hřídele měřicího zařízení byl vytvořen v softwaru

Project.exe, který je rovněž dostupný na Odboru Fluidního inženýrství. Model je složen z 11 uzlových bodů, mezi kterými je 10 polí. Je možné přidávat nová pole

a uzly, či editovat stávající. Jednotlivým polím lze zadávat geometrické rozměry i jiné vlastnosti (viz Tab. 3). V uzlech lze pak zadat okrajové podmínky pro hřídel. Jsou tak určeny

vlastnosti uložení hřídele (uzly 4 a 7) i budící síla (uzel 9). V uzlu 11 je modelována hmotnost odpovídající hmotnosti přípravku navrženého v Sigmě Lutín (příp. sklíčidlu).

Obr. 39: Model hřídele měřicího kozlíku

Jednotlivá pole modelu (vždy mezi dvěma uzly) jsou zadána následovně:

Pole Délka Průměr Průměr ot. Hustota E J

1 0.08 0.032 0 7900 2.10E+11 5.147E-08

2 0.063 0.04 0 7900 2.10E+11 1.257E-07

3 0.045 0.05 0 7900 2.10E+11 3.068E-07

4 0.06 0.05 0 7900 2.10E+11 3.068E-07

5 0.115 0.09 0 7900 2.10E+11 3.221E-06

6 0.1 0.05 0 7900 2.10E+11 3.068E-07

7 0.1 0.05 0 7900 2.10E+11 3.068E-07

8 0.095 0.06 0 7900 2.10E+11 6.362E-07

9 0.017 0.139 0 7900 2.10E+11 1.832E-05

10 0.06 0.139 0 1 2.10E+11 1.832E-05

Tab. 3: Hodnoty zadané pro teoretický model hřídele

Veličina je Youngův modul pružnosti v tahu. Pro ocel je . je

kvadratický moment průřezu v ohybu, pro který platí:


53

U Pole 10 je zadána zanedbatelná hustota (program neumožňuje zadat nulovou hustotu), protože hmotnost přípravku je dána zadanou vazbou v uzlu 11.

U každého uzlového bodu modelu lze zadat tuhost, tuhost natočení, sílu a moment. V našem případě jsme v uzlech 4 a 7, které odpovídají uložení v ložiskách A a B (model je

orientován tak, že ložisko A je vpravo a ložisko B vlevo) zadali tuhost. Tuhost lze zadat jako

obecný polynom, ve kterém je zahrnut i vliv hmotnosti ložiskových těles: )

Tuhost uložení představuje člen , člen úměrný nebyl uvažován. Člen , který je úměrný druhé mocnině vlastního čísla představuje hmotnost ložiskových těles, kterou musíme

zadat jako záporné číslo, protože .

Hmotnosti ložiskových těles byly zjištěny pomocí geometrického modelu měřicího kozlíku jako .

Tuhosti uložení byly určeny experimentálně. Uzlem 9 je zadána budící síla. Protože nás zajímají tvary vlastních kmitů a ne amplitudy je

v modelu zadána jednotková budící síla. V uzlu 11 je zadána hmotnost sklíčidla nasazeného na kotouči ve vzdálenosti

60 mm od hrany disku (pole 9), což je změřená vzdálenost těžiště sklíčidla. Tato hmotnost

přibližně odpovídá také hmotnosti experimentálního přípravku vyrobeného v Sigmě Lutín.

Systém je kontinuem, má tedy nekonečně mnoho stupňů volnosti a vlastních frekvencí, z nichž jsou pro nás zajímavé pouze první dvě, při kterých můžeme model ještě považovat za tuhý rotor, jak bude také patrné z vypočtených tvarů vlastních kmitů. Při nižších frekvencích lze očekávat, že rotor bude kmitat jako tuhý, neboť jeho tuhost je řádově větší než tuhost uložení.

4.3.1 Určení tuhosti uložení

Aby bylo možné zadat do teoretického modelu parametry co nejlépe odpovídající skutečnosti, byly zjištěny tuhosti uložení hřídele měřicího kozlíku. Bylo provedeno měření, při němž byly tenzometry předpjaty na stejné hodnoty a ze změny síly zaznamenávané tenzometry při definovaném posuvu byla určena výsledná tuhost uložení.

Bylo vždy pootočeno o polovinu otáčky šroubu, což při známem stoupání závitu šroubů pro nastavení předpjetí na tenzometrech 1 mm činí definovaný posuv 0,5 mm. Byly měřeny posuvy jak v kladném, tak v záporném směru.

Ze známého posunutí a tenzometry naměřeného rozdílu síly lze pak určit tuhost.

Protože posuv byl nastavován vždy na jednom tenzometru, ale týkal se celé soustavy, je potřeba započítat při výpočtu celkovou tuhost ve směru posuvu. Z hlediska posunutí jsou tuhosti obou tenzometrů řazeny sériově a pro celkovou tuhost tedy platí:

kde je tuhost jednoho tenzometru (viz Obr. 40 na další straně).

VUT-EU-ODDI-13303-09-12

54

Obr. 40: Tuhosti tenzometrů jsou z hlediska nastaveného posunutí řazeny sériově.

Pro sílu pak plyne:

kde je námi definované posunutí. Ze vztahu nyní vyplývá pro tuhost jednoho

tenzometru rovnice:

Z tuhosti jednoho tenzometru potom lze vypočítat celkovou tuhost uložení. Nesmíme

zapomenout, že z hlediska hřídele představují tenzometry paralelně řazené tuhosti. Potom se celková tuhost rovná:

Obr. 41: Tuhosti tenzometrů jsou z hlediska uloženého hřídele řazeny paralelně.

Pro tenzometry byly tak experimentálně určeny tyto hodnoty tuhostí:

Tenzometr Posun Tuhost

- mm N/mm

AX 0.5 6392.085

AX -0.5 5566.552

AY 0.5 4795.192

AY -0.5 5109.887

BX 0.5 4454.293

BX -0.5 4541.102

BY 0.5 4728.34

BY -0.5 4661.249

Tab. 4: Naměřené tuhosti tenzometrů měřicího kozlíku

U prvních dvou zjištěných tuhostí, které jsou posunuté oproti ostatním, zřejmě došlo k dosednutí disku, proto dále nebyly uvažovány a byly považovány za chybu.

Dle měření jsme pro model zadávali tuhost .


55

4.3.2 Vypočet vlastních tvarů kmitání rotoru

Po zadání potřebných hodnot do teoretického modelu v softwaru Project.exe byly nalezeny

teoretické tvary vlastních kmitů hřídele měřicího kozlíku:

Obr. 42: První vlastní tvar kmitu f=28,5Hz.

Z prvního tvaru kmitu je patrné, že hřídel kmitá kolem bodu umístěného přibližně ve středu mezi ložisky A a B. Zde je tedy uzlový bod. Rázem doprostřed hřídele pak nelze toto kmitání vybudit.

Dobře je splněn výchozí předpoklad tuhého rotoru, protože průběh výchylky je po délce téměř lineární. Rotor tedy kmitá jako tuhý. Veškeré deformace předpokládáme v ložiskách.

Obr. 43: Druhý vlastní tvar kmitu f=81Hz.

I pro druhý vlastní tvar kmitání platí předpoklad tuhého rotoru. Lze vidět, že hřídel kmitá kolem uzlu, který je přibližně v těžišti přípravku.

VUT-EU-ODDI-13303-09-12

56

Obr. 44: Třetí vlastní tvar kmitu f=216Hz.

Třetí vlastní frekvence je již poměrně vysoká. Rotor již zde nelze považovat za tuhý. Této frekvence již nejsme schopni při experimentu dosáhnout, neboť otáčky jsou značně vysoké:

4.4 Shrnutí výsledků měření

Cílem měření bylo stanovení působení radiálních sil na rotor a jejich rozklad na jednotlivé přídavné účinky. Přídavné účinky by se měly projevit u mokrého rotoru (měření ve vodě), zatímco u suchého rotoru (měření na vzduchu) tyto přídavné účinky nebudou.

Z hlediska problematického měření dynamických vlastností tohoto přípravku, nakonec

nebylo možné jednoznačně stanovit přídavné účinky kapaliny. Měřené signály byly výrazně zkresleny šumem od neznámých zdrojů. Při stanovení vlastních frekvencí pomocí rázu byl signál výrazně utlumen tlumením v tenzometrech a převažoval vliv šumu. Provedeným měřením tak nebyly zajištěny podklady k uspokojivému určení přídavných účinků.

Celkem bylo změřeno 255 souborů, pro následné zpracování bylo vybráno pouze několik nejzajímavějších souborů, ze kterých jsou uvedeny výsledky. Z měřených dat bohužel nebylo možné stanovit vlastní frekvence, neboť z výše uvedených důvodů se přes celkový počet měření nepovedlo nalézt soubor, z kterého by se daly jednoznačně odečíst.

Pro vybraná měření byl určen precesní pohyb hřídele při vynuceném kmitání rotoru v závislosti na otáčkách a statickém průtoku. Pro tyto měřené body jsou sestaveny grafy

průběhů sil a jím odpovídající tvary kmitů. Pro frekvence, při kterých byla data měřena, jsme předpokládali, že rotor kmitá jako tuhý.

To bylo potvrzeno z hlediska výpočetního modelování, tudíž je možné sestavit grafy tvaru kmitu pro frekvence do cca 70 % frekvence prvního ohybového tvaru kmitu. Byl vytvořen přibližný teoretický model vyšetření vlastních tvarů kmitání bez přídavných účinků. Model je

pouze přibližný a je potřeba ho zpřesnit, stejně jako i metodiku vyhodnocení experimentu. Aplikovaná metodika výpočtu nezahrnuje tlumení.


57

Závěr

Stanovení působení přídavných účinků kapaliny na rotor hydrodynamického stroje v těsnící spáře je pro praxi velmi důležitou, avšak náročnou úlohou. Přídavné účinky kapaliny

je potřeba zahrnout pro správný dynamický návrh nového stroje a jeho úspěšný provoz. Velký význam má jejich znalost hlavně při návrhu strojů velkých výkonů, jako jsou napájecí čerpadla apod. Proto se stanovením přídavných účinků zabývá řada firem i výzkumných ústavů. Přesné analytické řešení je těžké najít vzhledem ke složitosti proudění kapaliny těsnící spárou a množství působících vlivů. Práce se zaměřuje na experimentální stanovení těchto přídavných účinků.

Nejprve jsou v rešeršní části položeny teoretické základy dynamiky rotorových soustav,

jako základních komponent hydrodynamických strojů. Na jednoduchém modelu Lavalova rotoru jsou vysvětleny základní dynamické jevy u rotorů a odvozeny pohybové rovnice při zahrnutí různých vlivů, jako poddajnosti uložení, tlumení prostředí a materiálu rotoru apod.

Rozbor vychází z lineární teorie a předpokladu malých translačních kmitů rotorů. Na dynamiku rotorů navazuje druhá část, ve které je stručně vysvětlena podstata zahrnutí

přídavných účinků pro stroje pracujících v kapalném prostředí a vlivu, který přídavné účinky mají. V závěru kapitoly je pozornost podrobněji obrácena na těsnící spáry s ohledem

na interakci rotujícího hřídele a proudící kapaliny a podmínky proudění ve spárách. Stručně je zmíněno stanovení matematického modelu pro vyšetření přídavných účinků kapalinové vrstvy v těsnící spáře.

Třetí část práce se věnuje přípravě a realizaci experimentu pro stanovení přídavných účinků. V souladu se zadáním byl naplánován experiment na zkušebně Odboru fluidního inženýrství Victora Kaplana. V kapitole je popsáno použité zařízení k experimentálnímu stanovení přídavných účinků, měřicí okruh i podmínky měření a konečně samotná realizace měření. Cílem experimentu bylo z naměřených radiálních sil zaznamenaných tenzometry měřicího zařízení stanovit silové působení na rotor při definovaných provozních podmínkách.

Měřením byla získána řada dat, jejichž vyhodnocením se zabývá poslední část práce. Stručně jsou zmíněny teoretické základy zpracování signálu pomocí Fourierovy transformace. Hlavním výsledkem měření je sestavení grafů závislosti vynucených kmitů na průtoku a otáčkách. Samotný experiment byl velmi komplikovaný a rozsáhlý, proto nebylo zahrnuto měření excentricity.

Experimentální stanovení přídavných sil je složitou úlohou z hlediska přípravy i vyhodnocení. Oproti očekávání se nepodařilo získat výsledky umožňující přesné stanovení přídavných účinků kapalinové vrstvy. Řada signálů, zvláště při měření suchého rotoru, byla

výrazně zašuměná, tak že nebylo možné experimentálně stanovit silové působení na hřídel rotující ve vzduchu.

Byl pro to vytvořen teoretický model soustavy pro přibližné určení tvaru vlastních kmitů rotoru. Výpočty jsou jen přibližné s řadou zjednodušujících předpokladů vzhledem k celkové náročnosti úlohy.

Dosažené výsledky měření poslouží jako podklad pro další analýzu, neboť Odbor Fluidního inženýrství Victora Kaplana se problematikou experimentálního stanovení přídavných účinků nadále zabývá. Je připravováno další měření s ohledem na přesnější vyhodnocení sil a přídavných účinků kapaliny v těsnící spáře.

VUT-EU-ODDI-13303-09-12

58

Literatura

[1] GASCH, Robert; PFÜTZNER, Herbert. Dynamika rotorů. 1. vyd. Praha: SNTL, 1980.

164 s.

[2] ZAPOMĚL, Jaroslav. Aplikovaný mechanik jako součást tým konstruktérů a vývojářů:

část Dynamika rotorů [online]. První vydání. Ostrava: VŠB - Technická univerzita Ostrava, 2012, 46 s. [cit. 2012-05-28].

Dostupné z: <http://www.337.vsb.cz/materialy/ZapomelJaroslav_DynRot.pdf>

[3] GENTA, Giancarlo. Dynamics of rotating systems [online]. New York : Springer, 2005.

660 s. [[cit. 2012-05-15]. Dostupné z:< http://www.springerlink.com/content/978-0-387-

20936-4/#section=593693&page=2&locus=8>. ISBN 978-0-387-20936-4

[4] POCHYLÝ, František. Silové účinky kapaliny v těsnící spáře. Výzkumná zpráva

VUT-EU13303-QR-19-11, Brno, prosinec 2011. 30 s.

[5] KUBIS, Aleš. Přídavné účinky kapaliny v těsnící spáře působící na rotor

hydrodynamického stroje. Výzkumná zpráva VUT-EU13303-QR-18-11, Brno, prosinec 2011.

39 s.

[6] HABÁN, Vladimír; POCHYLÝ, František. Měření radiálních a axiálních sil na čerpadle

BETA 26 ve zkušební laboratoři Odboru fluidního inženýrství V. Kaplana. Technická zpráva

VUT-EU-QR-28-04, Brno 22. 12. 2004. 15 s.

[7] HBM Spider 8 - Easy and reliable PC-based data acquisition [online]. 2012-08-08 [cit.

2012-10-01]. Dostupné z www: <http://www.hbm.com/en/menu/products/measurement-

electronics-software/specialized-data-acquisition-systems/spider8/>

[8] TŮMA, Jiří. Zpracování signálů získaných z mechanických systémů užitím FFT. Praha:

Sdělovací technika, 1997, 174 s. ISBN 80-901936-1-7.

[9] (Diskrétní) Fourierova transformace [online]. © 11. prosince 2003 [cit. 2012-05-22].

Dostupné z: <http://apfyz.upol.cz/ucebnice/down/mini/fourtrans.pdf>

[10] VLK, Miloš, et al. Experimentální mechanika [online]. Brno: VUT (Fakulta strojního inženýrství), 2003 [cit. 2012-06-01]. Dostupné z: <http://www.umt.fme.vutbr.cz/img/fckeditor/file/opory/Experimentalni_mechanika.pdf>


59

Seznam symbolů a zkratek

Seznam hlavních označení

Označení Rozměr Název

b, B N.s.m-1

tlumení bp - poměrný útlum

E Pa Youngův modul pružnosti v tahu

f Hz frekvence

f, F N síla

g m.s-2

tíhové zrychlení k, K N.m

-1, N.mm

-1 tuhost

J m4 kvadratický moment průřezu v ohybu

m, M kg hmotnost

Mk N.m krouticí moment n min

-1 otáčky

p Pa, kPa tlak

Q l.s-1

průtok

S m2 plocha

t s čas

t °C teplota

u m deformační posuv tělesa

v m.s-1

rychlost kapaliny

w m.s-1

nestacionární složka rychlosti δ mm tloušťka spáry

ε mm excentricita

η - poměrné naladění

ρ kg.m-3

hustota

σ Pa nestacionární složka tlaku

φ - fázový úhel

ω s-1

úhlová rychlost rotoru

Ω s-1

vlastní úhlová rychlost

Seznam zkratek

DFT Diskrétní Fourierova transformace

FFT Rychlá Fourierova transformace

Date post:	08-Jan-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	6 times
Download:	0 times

STANOVENÍ TUHOSTI, TLUMENÍ A PŘÍDAVNÉ HMOTNOSTI … · osa x leží ve směru osy hřídele a...

Documents