Statika 1
M. Vokác
Prurez
Plocha
Statický moment
Težište
Momenty setrvacnosti
Hlavní težišt’ové osya hlavní centrálnímomenty setrvacnosti
Elipsa setrvacnosti
Kontrolní otázky
Statika 12. prednáška
Prurezové veliciny
Miroslav Voká[email protected]
CVUT v Praze, Fakulta architektury
7. brezna 2016
Statika 1
M. Vokác
Prurez
Plocha
Statický moment
Težište
Momenty setrvacnosti
Hlavní težišt’ové osya hlavní centrálnímomenty setrvacnosti
Elipsa setrvacnosti
Kontrolní otázky
Prurez
◮ Prut je konstrukcní prvek, u kterého je délka L mnohemvetší než šírka b i výška h.
◮ Prutem je napr. trám, sloup, pruvlak nebo prvekpríhradové soustavy.
◮ Pru rez je tvar prícného rezu prutu.
h
b
L
D
L
Statika 1
M. Vokác
Prurez
Plocha
Statický moment
Težište
Momenty setrvacnosti
Hlavní težišt’ové osya hlavní centrálnímomenty setrvacnosti
Elipsa setrvacnosti
Kontrolní otázky
Plocha prurezuZákladní jednotka: m2
x
y
dA
A =
∫
A
dA
x
y
A1
A2
A3
A =∑
i
Ai
Statika 1
M. Vokác
Prurez
Plocha
Statický moment
Težište
Momenty setrvacnosti
Hlavní težišt’ové osya hlavní centrálnímomenty setrvacnosti
Elipsa setrvacnosti
Kontrolní otázky
Statický moment prurezu
Základní jednotka: m3
x
y
dA
t
y
yt
xxt
Sx = A yt =∫
Ay dA
Sy = A xt =∫
Ax dA
x
y
t1
t2
t3
t
xt1 xt2xt3
xt
yt1
yt2
yt3
yt
Sx = A yt =∑
i
Ai yti
Sy = A xt =∑
i
Ai xti
Statika 1
M. Vokác
Prurez
Plocha
Statický moment
Težište
Momenty setrvacnosti
Hlavní težišt’ové osya hlavní centrálnímomenty setrvacnosti
Elipsa setrvacnosti
Kontrolní otázky
Težište prurezu
x
y
t1
t2
t3
t
xt1 xt2xt3
xt
yt1
yt2
yt3
ytx
y Poloha t ežišt e seu složeného pru rezuvypo cte:
xt =Sy
A =∑
Ai xti∑Ai
yt =SxA =
∑Ai yti∑
Ai
Do težište umist’ujeme pocátektežišt’ového systémusou radnic xy .
Statika 1
M. Vokác
Prurez
Plocha
Statický moment
Težište
Momenty setrvacnosti
Hlavní težišt’ové osya hlavní centrálnímomenty setrvacnosti
Elipsa setrvacnosti
Kontrolní otázky
Težište prurezu
◮ Statický moment k težišt’ové ose je nulový.◮ Pokud má prurez 1 osu symetrie, leží težište na této ose.◮ Pokud má prurez 2 a více os symetrie, leží težište
v prusecíku techto os.◮ U prurezu stredove symetrického leží težište ve stredu
symetrie.
tt
t
t t
Statika 1
M. Vokác
Prurez
Plocha
Statický moment
Težište
Momenty setrvacnosti
Hlavní težišt’ové osya hlavní centrálnímomenty setrvacnosti
Elipsa setrvacnosti
Kontrolní otázky
Momenty setrvacnosti prurezuZákladní jednotka: m4
dA
t
y
x
y
x
Momenty setrvacnosti:Ix =
∫
Ay2 dA
Iy =∫
Ax2 dA
Deviacní moment:Dxy =
∫
Axy dA
◮ Moment setrva cnostiplochy (A > 0)k težišt’ovým osám je vždykladný (Ix ∈ ℜ+, Iy ∈ ℜ+).
◮ Devia cní momentk težišt’ovým osám mužebýt kladný, zápornýi nulový (Dxy ∈ ℜ).
◮ Pro základnígeometrické obrazce(ctverec, obdélník,trojúhelník, kruh, pulkruh,ctvrtkruh, . . . ) jsouintegrály spocítánya tabelovány . Viz odbornáliteratura nebo vizhttp://15122.fa.cvut.cz .
Statika 1
M. Vokác
Prurez
Plocha
Statický moment
Težište
Momenty setrvacnosti
Hlavní težišt’ové osya hlavní centrálnímomenty setrvacnosti
Elipsa setrvacnosti
Kontrolní otázky
Momenty setrvacnosti
Ctverec
x
x
y y
t
xt
a
yt
a
xy
A = a2
xt = yt =12 a
Ix = Iy = 112 a4
Dxy = 0
Pri nato cení pru rezu nebo sou radného systémuxy o 90 ◦ je t reba zam enit výrazy pro Ix a Iy azmenit znaménko výrazu pro Dxy !
Statika 1
M. Vokác
Prurez
Plocha
Statický moment
Težište
Momenty setrvacnosti
Hlavní težišt’ové osya hlavní centrálnímomenty setrvacnosti
Elipsa setrvacnosti
Kontrolní otázky
Momenty setrvacnosti
Obdélník
x
x
y y
t
xt
b
yt
h
A = bhxt =
12 b
yt =12 h
Ix = 112 bh3
Iy = 112 hb3
Dxy = 0
Pri nato cení pru rezu nebo sou radného systémuxy o 90 ◦ je t reba zam enit výrazy pro Ix a Iy azmenit znaménko výrazu pro Dxy !
Statika 1
M. Vokác
Prurez
Plocha
Statický moment
Težište
Momenty setrvacnosti
Hlavní težišt’ové osya hlavní centrálnímomenty setrvacnosti
Elipsa setrvacnosti
Kontrolní otázky
Momenty setrvacnosti
Kruh
tdr x
y
x
y
A = πr2 = 14πd2
Ix = Iy = 14πr4 = 1
64πd4
Dxy = 0
Pri nato cení pru rezu nebo sou radného systémuxy o 90 ◦ je t reba zam enit výrazy pro Ix a Iy azmenit znaménko výrazu pro Dxy !
Statika 1
M. Vokác
Prurez
Plocha
Statický moment
Težište
Momenty setrvacnosti
Hlavní težišt’ové osya hlavní centrálnímomenty setrvacnosti
Elipsa setrvacnosti
Kontrolní otázky
Momenty setrvacnosti
Pravoúhlý trojúhelník
x
x
yy
t
xt
b
yt
h
A = 12 bh
xt =13 b
yt =13 h
Ix = 136 bh3
Iy = 136 hb3
Dxy = − 172 b2h2
Pri nato cení pru rezu nebo sou radného systémuxy o 90 ◦ je t reba zam enit výrazy pro Ix a Iy azmenit znaménko výrazu pro Dxy !
Statika 1
M. Vokác
Prurez
Plocha
Statický moment
Težište
Momenty setrvacnosti
Hlavní težišt’ové osya hlavní centrálnímomenty setrvacnosti
Elipsa setrvacnosti
Kontrolní otázky
Momenty setrvacnosti
Rovnoramenný trojúhelník
x
x
yy
t
xt
b
yt
h
A = 12 bh
xt =12 b
yt =13 h
Ix = 136 bh3
Iy = 148 hb3
Dxy = 0
Pri nato cení pru rezu nebo sou radného systémuxy o 90 ◦ je t reba zam enit výrazy pro Ix a Iy azmenit znaménko výrazu pro Dxy !
Statika 1
M. Vokác
Prurez
Plocha
Statický moment
Težište
Momenty setrvacnosti
Hlavní težišt’ové osya hlavní centrálnímomenty setrvacnosti
Elipsa setrvacnosti
Kontrolní otázky
Momenty setrvacnosti
Pulkruh
x
x
yy
tr
xt
d
yt
r
A = 12πr2
xt =12 d = r
yt =4r3π
Ix = r4(π8 − 89π )
Iy = 18πr4
Dxy = 0
Pri nato cení pru rezu nebo sou radného systémuxy o 90 ◦ je t reba zam enit výrazy pro Ix a Iy azmenit znaménko výrazu pro Dxy !
Statika 1
M. Vokác
Prurez
Plocha
Statický moment
Težište
Momenty setrvacnosti
Hlavní težišt’ové osya hlavní centrálnímomenty setrvacnosti
Elipsa setrvacnosti
Kontrolní otázky
Momenty setrvacnosti
Ctvrtkruh
x
x
yy
t
r
xt
r
yt
r
A = 14πr2
xt = r(1 − 43π )
yt =4r3π
Ix = Iy = 12 r4(π8 − 8
9π )
Dxy = +r4( 49π − 1
8 )
Pri nato cení pru rezu nebo sou radného systémuxy o 90 ◦ je t reba zam enit výrazy pro Ix a Iy azmenit znaménko výrazu pro Dxy !
Statika 1
M. Vokác
Prurez
Plocha
Statický moment
Težište
Momenty setrvacnosti
Hlavní težišt’ové osya hlavní centrálnímomenty setrvacnosti
Elipsa setrvacnosti
Kontrolní otázky
Momenty setrvacnosti
Ocelové válcované prurezy
Pro ocelové válcované pru rezy jsou tabulkys polohou t ežišt e, plochou a momentysetrva cnosti v odpovídajících normách,statických tabulkách nebo ocelá rskýchtabulkách.
Statika 1
M. Vokác
Prurez
Plocha
Statický moment
Težište
Momenty setrvacnosti
Hlavní težišt’ové osya hlavní centrálnímomenty setrvacnosti
Elipsa setrvacnosti
Kontrolní otázky
Momenty setrvacnosti prurezuSteinerova veta
Steinerova v eta: Moment setrvacnosti k mimotežišt’ové ose xrovnobežné s težišt’ovou osou x se rovná težišt’ovémumomentu setrvacnosti Ix zvetšenému o soucin plochy Aa ctverce vzdálenosti obou os yt
2.
dA
t
y
x
y
x
x
x
y y
yt
xt
Ix = Ix + Ayt2
Analogicky platí:
Iy = Iy + Axt2
Dx y = Dxy + Axt yt
Statika 1
M. Vokác
Prurez
Plocha
Statický moment
Težište
Momenty setrvacnosti
Hlavní težišt’ové osya hlavní centrálnímomenty setrvacnosti
Elipsa setrvacnosti
Kontrolní otázky
Momenty setrvacnosti prurezuSteinerova veta - dukaz
dA
t
y
x
y
x
x
x
y y
yt
xt
Transforma cní vztahy p riposunu sou radných os:x = x + xt
y = y + yt
Dukaz Steinerovy v ety: Ix =∫
Ay2 dA =
∫
A(y + yt)
2 dA =
=∫
Ay2 dA + 2yt
∫
Ay dA + yt
2 ∫
AdA =
= Ix + 2ytSx + Ayt2= Ix + Ayt
2
Podobne lze odvodit: Iy = Iy + Axt2 a Dx y = Dxy + Axt yt
Statika 1
M. Vokác
Prurez
Plocha
Statický moment
Težište
Momenty setrvacnosti
Hlavní težišt’ové osya hlavní centrálnímomenty setrvacnosti
Elipsa setrvacnosti
Kontrolní otázky
Momenty setrvacnosti prurezuTežišt’ové momenty setrvacnosti složeného prurezu
t1[xt1, yt1]t2[xt2, yt2]
t3[xt3, yt3]
tx
y
x1
y1 x2
y2
x3
y3Podle Steinerovy vety platí:Ix =
∑
i
(Ixi + Aiyti2)
Iy =∑
i
(Iyi + Aixti2)
Dxy =∑
i
(Dxi yi + Aixtiyti)
Pri výpoctu Dxy pozor na znaménka Dxi yi , xti a yti !
Statika 1
M. Vokác
Prurez
Plocha
Statický moment
Težište
Momenty setrvacnosti
Hlavní težišt’ové osya hlavní centrálnímomenty setrvacnosti
Elipsa setrvacnosti
Kontrolní otázky
Hlavní težišt’ové osy prurezu
◮ Težišt’ových souradných systému je nekonecne mnoho.◮ Nejduležitejší jsou težišt’ové osy, ke kterým je moment
setrvacnosti maximální a minimální.◮ Tyto osy nazýváme hlavní t ežišt’ové (centrální) osy
setrva cnosti a budeme je oznacovat xc a yc .◮ Je treba najít úhel natocení težišt’ových os α0, pro který
jsou momenty setrvacnosti maximální, resp. minimální.
Statika 1
M. Vokác
Prurez
Plocha
Statický moment
Težište
Momenty setrvacnosti
Hlavní težišt’ové osya hlavní centrálnímomenty setrvacnosti
Elipsa setrvacnosti
Kontrolní otázky
Hlavní težišt’ové osy prurezuTransformace momentu pri natocení težišt’ových os
dA
t
y
x
u
v
x
y
uv+α
S využitím transforma cníchvzorcuu = x cosα+ y sinα
v = y cosα− x sinα
platí: Iu =∫
Av2 dA =
∫
A(y cosα− x sinα)
2 dA =
= cos2 α∫
Ay2 dA − 2 sinα cosα
∫
Axy dA + sin2
α∫
Ax2 dA =
= Ix cos2 α+ Iy sin2α− Dxy sin 2α
Podobne lze odvodit vzorce pro Iv a Duv .
Statika 1
M. Vokác
Prurez
Plocha
Statický moment
Težište
Momenty setrvacnosti
Hlavní težišt’ové osya hlavní centrálnímomenty setrvacnosti
Elipsa setrvacnosti
Kontrolní otázky
Hlavní težišt’ové osy prurezuTransformace momentu pri natocení težišt’ových os
dA
t
y
x
u
v
x
y
uv+α
Pro natocené osy u a v platí:
Iu = Ix cos2 α+ Iy sin2α− Dxy sin 2α
Iv = Ix sin2α+ Iy cos2 α+ Dxy sin 2α
Duv = 12 (Ix − Iy ) sin 2α+ Dxy cos 2α
Statika 1
M. Vokác
Prurez
Plocha
Statický moment
Težište
Momenty setrvacnosti
Hlavní težišt’ové osya hlavní centrálnímomenty setrvacnosti
Elipsa setrvacnosti
Kontrolní otázky
Hlavní težišt’ové osy prurezuMaximalizace, resp. minimalizace, momentu setrvacnosti Iv
◮ Úhel natocení hlavních centrálních os setrvacnosti α0 seurcí napr. maximalizací, resp. minimalizací,transformacního vztahu pro Iv , který derivujeme podle α
a položíme rovno nule.
Iv = Ix sin2α+ Iy cos2 α+ Dxy sin 2α
I′v (α) = 2Ix sinα cosα− 2Iy cosα sinα+ 2Dxy cos 2α = 0I′v (α) = 2
{
12 (Ix − Iy ) sin 2α+ Dxy cos 2α
}
= 2Duv (α) = 0Rešením této rovnice získáme úhel natocení hlavníchtežišt’ových os setrvacnosti α0.
tg 2α0 =2Dxy
Iy − Ix
Z rovnice I′v (α) = 2Duv (α) = 0 také plyne, že deviacní moment
k hlavním težišt’ovým osám je nulový.
Statika 1
M. Vokác
Prurez
Plocha
Statický moment
Težište
Momenty setrvacnosti
Hlavní težišt’ové osya hlavní centrálnímomenty setrvacnosti
Elipsa setrvacnosti
Kontrolní otázky
Hlavní težišt’ové osy a hlavní centrálnímomenty setrvacnosti
tx
y
xc
yc
−α0
Úhel natocení hlavníchcentrálních os setrvacnosti:
tg 2α0 =2Dxy
Iy − Ix
Hlavní centrální momenty setrvacnosti:Ixc = Ix cos2 α0 + Iy sin2
α0 − Dxy sin 2α0
Iyc = Ix sin2α0 + Iy cos2 α0 + Dxy sin 2α0
Dxcyc = 0
Statika 1
M. Vokác
Prurez
Plocha
Statický moment
Težište
Momenty setrvacnosti
Hlavní težišt’ové osya hlavní centrálnímomenty setrvacnosti
Elipsa setrvacnosti
Kontrolní otázky
Hlavní težišt’ové osy a momenty setrvacnosti
tx
y
xc
yc
−α0
◮ Pokud platí Ixc ≥ Iyc
a Ix ≥ Iy , potom musí platitIxc ≥ Ix ≥ Iy ≥ Iyc .
◮ Soucet momentusetrvacnosti je invariantnívelicina, proto se otocenímsouradného systému jehohodnota nemení. Musítedy platit Ixc + Iyc = Ix + Iy .
◮ Deviacní momentk hlavním težišt’ovýmosám je nulový (Dxcyc = 0).
◮ Hlavní centrální momenty setrvacnosti lze vypocítati podle vzorce
Ixc ,yc =Ix + Iy
2±
√
(
Ix − Iy2
)2
+ D2xy
Statika 1
M. Vokác
Prurez
Plocha
Statický moment
Težište
Momenty setrvacnosti
Hlavní težišt’ové osya hlavní centrálnímomenty setrvacnosti
Elipsa setrvacnosti
Kontrolní otázky
Hlavní težišt’ové osy a momenty setrvacnosti
◮ Pokud má prurez 1 osu symetrie, leží na této ose jednahlavní težišt’ová osa prurezu.
◮ Pokud má prurez 2 osy symetrie, jsou tyto osy také hlavnícentrální osy setrvacnosti.
◮ Pokud má prurez 3 a více os symetrie, je každý težišt’ovýsouradný systém také hlavní centrální.
xc
yc
tt xc
yc
t
xc
yc
xc
yc
t xc
yc
xcyc
txc
yc
xc
yc
Statika 1
M. Vokác
Prurez
Plocha
Statický moment
Težište
Momenty setrvacnosti
Hlavní težišt’ové osya hlavní centrálnímomenty setrvacnosti
Elipsa setrvacnosti
Kontrolní otázky
Elipsa setrvacnosti prurezu
◮ Polom er setrva cnosti prurezu ix k težišt’ové ose x jedefinován jako vzdálenost od težište, kde má hmotný bod,do kterého je soustredena veškerá hmota prurezu, stejnýmoment setrvacnosti k ose x jako prurez.
◮ Množina takových bodu pro všechny težišt’ové osyprurezu je nazývána elipsa setrva cnosti .
t
x
ix Ix = Ai2x
Statika 1
M. Vokác
Prurez
Plocha
Statický moment
Težište
Momenty setrvacnosti
Hlavní težišt’ové osya hlavní centrálnímomenty setrvacnosti
Elipsa setrvacnosti
Kontrolní otázky
Elipsa setrvacnosti prurezu
t
xc
yc
iyc
ixc
◮ Hlavní poloosy elipsysetrvacnosti jsou polomerysetrvacnosti k hlavnímcentrálním osámsetrvacnosti:
ixc =
√
Ixc
A
iyc =
√
Iyc
A
Statika 1
M. Vokác
Prurez
Plocha
Statický moment
Težište
Momenty setrvacnosti
Hlavní težišt’ové osya hlavní centrálnímomenty setrvacnosti
Elipsa setrvacnosti
Kontrolní otázky
Elipsa setrvacnosti prurezu
Natocení elipsy setrvacnosti odpovídá znaménku deviacníhomomentu Dxy .
Dxy > 0
x
y
x
y
x
y
x
y
Dxy < 0
x
y
x
y
x
y
x
y
Dxy = 0
x
y
x
y
x
y
x ≡ xc
y ≡ yc
Statika 1
M. Vokác
Prurez
Plocha
Statický moment
Težište
Momenty setrvacnosti
Hlavní težišt’ové osya hlavní centrálnímomenty setrvacnosti
Elipsa setrvacnosti
Kontrolní otázky
Elipsa setrvacnosti prurezu
◮ Pokud má prurez 3 a více os symetrie, elipsa setrvacnostimá tvar kružnice.
◮ Pokud elipsa setrvacnosti má tvar kružnice, potom každýtežišt’ový systém souradnic je hlavní centrální.
◮ Hlavních centrálních souradných systému souradnic jev takovém prípade nekonecne mnoho.
◮ Príkladem muže být kruhový prurez, ctverec nebopravidelný n-úhelník.
t
xc
yc
xc
yc
t xc
yc
xcyc
txc
yc
xc
yc
Statika 1
M. Vokác
Prurez
Plocha
Statický moment
Težište
Momenty setrvacnosti
Hlavní težišt’ové osya hlavní centrálnímomenty setrvacnosti
Elipsa setrvacnosti
Kontrolní otázky
Kontrolní otázkaKterý prurez má vetší moment setrvacnosti Ix?
x
y
t
x
y
t
x
y
t x
y
t
Statika 1
M. Vokác
Prurez
Plocha
Statický moment
Težište
Momenty setrvacnosti
Hlavní težišt’ové osya hlavní centrálnímomenty setrvacnosti
Elipsa setrvacnosti
Kontrolní otázky
Kontrolní otázka
Urcete, zda pro daný prurez platí:a) Dxy = 0 b) Dxy < 0 c) Dxy > 0
x
y
t x
y
t
x
y
t x
y
t
Statika 1
M. Vokác
Prurez
Plocha
Statický moment
Težište
Momenty setrvacnosti
Hlavní težišt’ové osya hlavní centrálnímomenty setrvacnosti
Elipsa setrvacnosti
Kontrolní otázky
Konec prednášky
Dekuji za pozornost.
Vysázeno systémem LATEX.Obrázky vytvoreny v systému .