Katedra stavební mechaniky
Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava
Stavební statika, 1.ročník kombinovaného studia
Průřezové charakteristiky
• Těžiště složených obrazců homogenních průřezů
• Kvadratické momenty základních průřezů
• Kvadratické momenty složených průřezů
• Kvadratické momenty k pootočeným osám
•Těžiště složených obrazců nehomogenních průřezů
2
Průřezy prutových konstrukčních prvků
Návrh a posudek deformovatelných prutů vyžaduje tzv.
geometrické (průřezové) charakteristiky průřezu:
• Plocha A průřezu
• Statické momenty Sx a Sz průřezu k momentovým osám x a z
• Souřadnice xT, zT těžiště T průřezu
• Momenty setrvačnosti Ix, Iz k osám x, z
-Centrální momenty setrvačnosti
-Hlavní centrální momenty setrvačnosti
• Deviační moment Dxz k osám x, z
• Poloměr setrvačnosti ix, iz k osám x, z
Předpoklad: průřez homogenní
(stejnorodý), fiktivní měrná tíha g = 1
(bez fyzikálního rozměru)
3
+z
+y +x
a
T
l
h
d
F2
F1=2F
F F
1 2
Osa prutu (přímý prut),
případně střednice prutu (přímý i zakřivený prut)
P1 P2
1 2
Raz Rbz
Rax
a b
l
Statické schéma:
statický model nosné konstrukce
Těžiště průřezu
Geometrický popis prutu, idealizace
Průřez prutu o ploše A
4
Těžiště
Fyzikální význam těžiště:
a) hmotný bod se soustředěnou hmotností útvaru
b) bod, ve kterém lze hmotný útvar vystavený tíze
podepřít proti posunutí aniž by docházelo k rotaci
Těžiště je chápáno jako statický střed soustavy
rovnoběžných sil v prostoru či rovině, které tvoří
vlastní tíhy elementů hmotného útvaru.
Těžnice – osa procházející těžištěm
5
Složený rovinný obrazec ( lomená čára nebo složený plošný obrazec) vzniká spojením
několika (obecně n, i=1, …, n) jednoduchých rovinných obrazců (prvků) v téže rovině,
u kterých umíme určit polohu těžiště a základní geometrické charakteristiky (úsečka, kruh…).
Těžiště rovinného homogenního složeného obrazce
i
Tii
TP
xPx
Postup:
a) Složený obrazec umístit do pravoúhlé souřadnicové soustavy xz
(výhodný je počátek v levém horním rohu obrazce)
b) Rozdělit složený obrazec na dílčí jednoduché obrazce
c) Pro každý obrazec i určit souřadnice xTi a zTi jeho těžiště Ti
d) Pro každý obrazec spočítat tíhovou fiktivní sílu Pi.
Hodnota Pi odpovídá délce dílčí čáry li nebo velikosti dílčí plochy Ai
e) Zavést fiktivní síly Pi do těžiště Ti nejprve rovnoběžně s osou z, poté s osou x
f) Určit výslednici tíhových sil: R=∑ li, R=∑ Ai
g) Určit statický střed soustavy těchto rovnoběžných sil (Varignonova věta).
Souřadnice statického středu této soustavy = souřadnice těžiště složeného obrazce.
Tiiz
TiiTz
xPS
xPxRS
)(
Např.:
x-ovou souřadnici těžiště xT určíme z rovnosti statického momentu tíhové síly k ose z - Sz
A
Sx z
T neboli
6
Příklad 1 – Těžiště rovinné lomené čáry
+x
+z
1 3
2
[0;2]
[3;0]
[6;3]
[0;5]
Délky dílčích čar (prutů) a jejich těžiště
Prut 1
F1= l1 = 3 m
Prut 2
F2 = l2 = = 3,606 m
Prut 3
F3 = l3 = = 4,243 m
Celkem
Fi = li = 3 + 3,606 + 4,243 = 10,85 m
22 2 3
22 3 3
T1=[0;3,5]
T2=[1,5;1] T3=[4,5;1,5]
Lomená čára může představovat např.
zidealizovaný lomený nosník konstantního průřezu
3
[3;0]
[6;3]
T3=[4,5;1,5]
3
3
7
1 3
2
[0;2]
[3;0]
[6;3]
[0;5]
T1=[0;3,5]
T2=[1,5;1]
Délky
l1 = 3 m
l2 = 3,606 m
l3 = 4,243 m
li = l = 10,85 m
T
Příklad 1 – Těžiště rovinné lomené čáry
+x
+z
Těžiště je chápáno jako statický střed soustavy
rovnoběžných sil v prostoru či rovině, které tvoří
vlastní tíhy elementů hmotného útvaru.
l1
l2
l3
l
TTTT xlxlxlxl 332211
m26,2243,4606,33
5,4.243,45,1.606,30.3
T
i
TiiTii
T
x
l
xl
R
xPx
Z Varignonovy věty:
x-ová souřadnice těžiště:
8
1 3
2
[0;2]
[3;0]
[6;3]
[0;5]
T1=[0;3,5]
T2=[1,5;1]
Délky
l1 = 3 m
l2 = 3,606 m
l3 = 4,243 m
li = l = 10,85 m
T
Příklad 1 – Těžiště rovinné lomené čáry
+x
+z Těžiště je chápáno jako statický střed soustavy
rovnoběžných sil v prostoru či rovině, které tvoří
vlastní tíhy elementů hmotného útvaru.
l1
l2 l3 TTTT zlzlzlzl 332211
l
m89,1243,4606,33
5,1.243,41.606,35,3.3
T
i
TiiTii
T
z
l
zl
R
zPz
T=[2,26 ; 1,89]
Z Varignonovy věty:
z-ová souřadnice těžiště:
9
Těžiště složených obrazců s otvory a výřezy
Zvláštní případ složených obrazců – s otvory (s oslabením) nebo
s výřezy (otvory sousedící s obrysem obrazce)
Výpočet:
Jednotlivé obrazce považovat za samostatné prvky bez otvorů,
otvory považovat za další prvky se zápornou plochou
(tíhové síly opačně orientované).
10
Těžiště obecného rovinného obrazce
Těžiště rovinného obrazce jako statický střed
rovinné soustavy rovnoběžných sil
(a)
AP ~Tíhu rovinného obrazce P lze nahradit plochou.
Z Varignonovy věty:
Plocha elementárního dílku: zxA d.dd
Celková plocha obrazce: AA
zxAA ddd .
A
A
A
AzT
zx
zxx
A
Ax
A
Sx
dd
dd
d
d ..
Souřadnice těžiště:
A
A
A
AxT
zx
zxz
A
Az
A
Sz
dd
dd
d
d ..
Příklad aplikace v předmětu
Matematika.
11
Statické momenty rovinných obrazců
K výkladu statických momentů
AzSx d.
Rozměr (jednotka) [délka3],
zpravidla m3 nebo mm3
AxSz d.
AzS Tx
AxS Tz
12
Kvadratické momenty rovinných obrazců
K výkladu kvadratických momentů
Moment setrvačnosti (vždy kladný)
kvadratický moment plochy, vztažený k jedné ose.
Definuje tuhost prutu k dané ose. A
x AzI d2. A
z AxI d2.
A
xz AzxD d..
Rozměr (jednotka) [délka4], zpravidla m4 nebo mm4
Poznámka: pro případy jednoose nebo
dvouose symetrických průřezů je Dxz= 0
(důkaz viz dále).
Osy setrvačnosti: Osy (tady x, z), ke kterým jsou kvadratické momenty vztaženy
Deviační moment (kladný či záporný)
kvadratický moment plochy vztažený
ke dvěma vzájemně kolmým osám.
Součin dvou souřadnic, závisí na jejich
znaménkách.
Polární moment (vždy kladný)
kvadratický moment plochy vztažený
k jednomu bodu – pólu (viz dále).
13
Centrální kvadratické momenty rovinných obrazců
a centrální osy setrvačnosti
A
xtx AzII d2. A
ztz AxII d2. A
txz AzxD d..,
Ve stavební mechanice jsou důležité kvadratické momenty daného
obrazce (průřezu), které jsou vztaženy k jeho těžištním osám.
Jedná se o centrální kvadratické momenty
(centrální momenty setrvačnosti a centrální deviační momenty).
Těžištní osy se tudíž nazývají centrální osy setrvačnosti
Centrální moment setrvačnosti rovinného obrazce je nejmenší z momentů
setrvačnosti daného obrazce vztažených k rovnoběžně posunutým osám.
Momenty setrvačnosti a deviační moment možno počítat k libovolným
vzájemně kolmým osám - posunutým nebo natočeným vzhledem k počátku.
14
Centrální kvadratické momenty obdélníku
0, xztt DzzxxTOZvoleno:
Výpočet centrálních momentů setrvačnosti:
333
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
22
12
1
8833
dddd
hbhhbz
b
zzbzxzAzII
h
h
h
h
h
h
b
bA
xtx
....
..
hbII ztz ..12
1 3Obdobně:
0d442
1d
2ddd
2
2
222
2
2
2
22
2
2
2
h
h
h
h
b
b
h
h
b
bA
xz zbb
zzx
zzxx.zAzxD .....
Důkaz nulového deviačního momentu symetrického průřezu:
Pozor: tyto vztahy platí pro obdélník uloženého
dle obrázku (tzv. nastojato)
3..12
1hbII xtx
15
Centrální kvadratické momenty obdélníku
0, xztt DzzxxTOZvoleno:
Výpočet centrálních momentů setrvačnosti:
333
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
22
12
1
8833
dddd
bhbbhz
h
zzhzxzAzII
b
b
b
b
b
b
h
hA
xtx
....
..
bhII ztz ..12
1 3Obdobně:
0d442
1d
2ddd
2
2
222
2
2
2
22
2
2
2
b
b
b
b
h
h
b
b
h
hA
xz zhh
zbzx
zzxx.zAzxD ...../
T
xt
o
b
h
zt
Důkaz nulového deviačního momentu symetrického průřezu :
Obdélník otočený o 90°:
Pomůcka: ve vztazích pro výpočet centrálních momentů setrvačnosti obdélníku
je mocněn na třetí vždy rozměr, který je kolmý k příslušné centrální ose setrvačnosti
3..12
1bhII xtx
16
Kvadratické momenty obdélníku k rovnoběžně posunutým osám
2,
2,
bd
hczxTO TTZvoleno:
AcIItxx .2
AdcDDttzxxz ..
Steinerova věta
AdIItzz .2
c… vertikální rameno těžiště –
vzdálenost posunuté osy x od osy těžištní
d… horizontální rameno těžiště –
vzdálenost posunuté osy z od osy těžištní
T
xt
zt
x
z
o
c
d
b
h
Moment setrvačnosti rovinného obrazce k libovolné (momotěžištní) ose
je roven momentu setrvačnosti k rovnoběžné těžištní ose, zvětšenému
o součin plošného obsahu a čtverce vzdálenosti obou os.
17
Kvadratické momenty obdélníku k rovnoběžně posunutým osám
2,
2,
bd
hczxTO TT
Zvoleno:
32
32 ..3
1..
4..
12
1. hbhb
hhbAcII
txx
22..4
1..
2.
20.. hbhb
hbAdcDD
ttzxxz
Steinerova věta
hbhbb
hbAdIItzz ..
3
1..
4..
12
1. 3
232
c… vertikální rameno těžiště - vzdálenost posunuté osy x od osy těžištní
d… horizontální rameno těžiště - vzdálenost posunuté osy z od osy těžištní
33
0
3
0
2
0 0
22
3
10
33dddd hbh
bzbzzbzxzAzI
hhh b
A
x ......
Důkaz:
> Ixt
stejným
způsobem
dokažte pro Izt
> Ixt
> Izt
Využití: kvadratické momenty složených průřezů
T
xt
zt
x
z
o
c
d
b
h
18
Zvoleno: O ve vrcholu trojúhelníku
Kvadratické momenty pravoúhlého trojúhelníku
Pravoúhlý trojúhelník
(a) (b)
Výpočet nejprve kvadratických momentů k vodorovné ose x a svislé ose z:
3
0
3
0 0
22
4
1d
dddd
hbzzh
b
zxzzxzI
h
h hbz
A
x
....
..
224
2
2
0
3
2
2
0
.
0
..8
1
4.
2d.
2
ddd.d..
hbh
h
bzz
h
b
zxx.zzxzxD
h
h hzb
A
xz
hbh
h
bzz
h
b
zxxzxxI
h
h hbz
A
z
..12
1
4.
3d..
3
ddd.d.
34
3
3
0
3
3
3
0 0
22
3,
3
2,
bd
hczxTO TT
Tady osy x , z nejsou těžištní osy!!!
19
Centrální kvadratické momenty základních obrazců (viz tabulky)
h.bA
36
b.hI
3
z
0Dxz
b
h
b
h
r
12
h.bI
3
x 12
b.hI
3
z 0Dxz
22.72
1hbDxz
36
h.bI
3
x 2
h.bA
x
z
x
z
x
z
64
d.
4
r.II
44
zx
2r.A
2aA 12
aII
4
zx 0Dxz x
z
a
a
x 12
h.bI
3
x 12
b.hI
3
z 0Dxz
20
Centrální kvadratické momenty válcováných I profilů
V tabulkách jsou uvedeny: hmotnost průřezu
na jednotku délky, potřebné geometrické
rozměry a průřezové charakteristiky průřezů.
Hodnoty jsou vztaženy k osám y-z
(v rovině y-z…více v předmětu Pružnost a plasticita)
Nepočítají se - viz tabulky.
21
Centrální kvadratické momenty válcováných U profilů
Pokud budete v předmětu
Stavební statika počítat
průřezové charakteristiky
složených válcovaných
průřezů, budou základní
tabulkové hodnoty zadané.
22
Centrální kvadratické momenty složených průřezů
Využití kvadratických momentů k rovnoběžně posunutým osám Postup výpočtu:
a) zvolit pomocnou souřadnicovou soustavu x ,z (výhodné zvolit počátek v levém horním rohu nebo na ose symetrie)
b) rozdělit složený obrazec na n základních prvků i=1, …, n
c) pro každý prvek určit Ai a souřadnice jeho těžiště [xTi ; zTi] v pomocné
souřadnicové soustavě
d) určit souřadnice těžiště [xT ; zT] celého obrazce, kterým proložit centrální
osy setrvačnosti průřezu xt , zt rovnoběžné s osami x, z.
e) pro každý prvek určit ramena těžiště Ti: , TTii zzc TTii xxd
f) s využitím Steinerovy věty vypočítat centrální kvadratické momenty
celého obrazce:
n
i
iixx AcIIi
1
2.
n
i
iizz AdIIi
1
2.
n
i
iiizxxz AdcDDii
1
..
(Otvory mají plochy i momenty setrvačnosti se znaménkem mínus,
deviační momenty s opačným znaménkem než plné prvky)
23
Příklad 2 – Těžiště složeného obrazce
Tíhová síla ~ Plocha
P1 = A1 = 4.1 = 4,0 m2
P2 = A2 = 2.4 = 8,0 m2
P3 = A3 = 2.5 =10,0 m2
Celková plocha P = A = 22 m2
3
24
Příklad 2 -Těžiště složeného obrazce : x-ová souřadnice
m 3,522
4,5.108.34.2... 332211
A
xAxAxAx TTT
T
A
xA
P
xP
P
xPx
TiiTii
i
Tii
T
3
25
m 3,922
6.108.34.0,5
A
zA
P
zP
P
zPz
TiiTii
i
Tii
T
Příklad 2 -Těžiště složeného obrazce : z-ová souřadnice
3
26
Příklad 2 – Centrální moment setrvačnosti Ix
Ramena dílčích těžišť
c1 = zT1 – zT = 0,5 - 3,9 = -3,4 m
c2 = zT2 – zT = 3,0 - 3,9= -0,9 m
c3 = zT3 – zT = 6,0 - 3,9 = 2,1 m
Momenty setrvačnosti dílčích obrazců
Ix,1 = 4 . 13 / 12 = 0.333 m4
Ix,2 = 2 . 43 / 12 = 10.667 m4
Ix,3 = 5 . 23 / 12 = 3.333 m4
Centrální moment setrvačnosti Ix
Ix = (Ixi + Ai . ci2) =
0.333 + 4,0 . (-3,4)2 + 10.667 + 8,0 . (-0,9)2 + 3.333 + 10,0 . 2,12 = 111,1 m4
27
Příklad 2 – Centrální moment setrvačnosti Iz
Ramena dílčích těžišť
d1 = xT1 – xT = 2,0 - 3,5 = -1,5 m
d2 = xT2 - xT = 3,0 - 3,5 = -0,5 m
d3 = xT3-xT=4,5-3,5=1,0 m
Momenty setrvačnosti dílčích obrazců
Iz,1 = 1 . 43 /12 = 5.333 m4
Iz,2 =4 . 23 /12 = 2.667 m4
Iz,3 = 2 . 53 /12 = 20.833 m
Centrální moment setrvačnosti Iz
Iz = (Izi + Ai . di2)
= 5.333 + 4,0 . (-1,5)2 + 2.667 + 8,0 . (-0,5)2 + 20.833 + + 10,0 . 1,02 = 49,8 m4
28
Příklad 2 – Deviační moment Dxz
Deviační moment dílčích průřezů
Dxz1= Dxz2 = Dxz3 = 0 m4
(2-ose symetrický průřez)
Deviační moment Dxz celého průřezu
Dxz = (Dxzi + Ai . ci . di) =
= 4,0 . (-3,4) . (-1,5) +
+ 8,0 . (-0,9) . (-0,5) +
+ 10,0 . 2,1 . 1,0 = 45,0 m4
c1 = zT1 – zT = 0,5 - 3,9 = -3,4 m
c2 = zT2 - zT = 3,0 - 3,9= -0,9 m
c3 = zT3 – zT = 6,0 - 3,9 = 2,1 m
d1 = xT1 – xT = 2,0 - 3,5 = -1,5 m
d2 = xT2 - xT = 3,0 - 3,5 = -0,5 m
d3 = xT3-xT=4,5-3,5=1,0 m
29
Kvadratické momenty k pootočeným osám
2sin.sin.cos. 22
xzzxx DIII
Změnou úhlu , se mění hodnoty kvadratických momentů k pootočeným osám. Existuje úhel
pootočení os 0, při kterém nabývají momenty setrvačnosti k těmto osám extrémních hodnot
a deviační moment je nulový.
zx
xz
II
D
2tg2 0
2sin.cos.sin. 22
xzzxz DIII
2cos.2sin.2
1xzxzzx DIID
Osy pootočené o úhel 0 → hlavní osy setrvačnosti.
Momenty setrvačnosti vztažené k hlavním osám
(extrémní momenty setrvačnosti) → hlavní momenty setrvačnosti I1 ,I2
V případě symetrického průřezu (stačí jednoose symetrický), je Dxz=0, α0=0.
Potom momenty setrvačnosti Ix a Iz vztažené osám x,z jsou zároveň hlavní
momenty setrvačnosti. Větší z nich je I1, menší I2. Osy x,z jsou pak zároveň
hlavní osy setrvačnosti (viz níže).
Jsou-li známy kvadratické momenty rovinného obrazce pro pravoúhlou dvojici os x,z s počátkem o,
je možno určit hodnoty kvadratických momentů pro jinou dvojici pravoúhlých os x
, z
, pootočenou
od původních os o úhel α:
z
x o
x
z
30
Hlavní momenty setrvačnosti
Znaménko před odmocninou: +
-
22
2,1 .4.2
1.
2
1xzzxzx DIIIII
max1 II
min2 II
Hlavní osy setrvačnosti:
xz
x
D
II
2,1
2,1tg0
12 90max1 I
min2 I
Poučka:
Součet momentů setrvačnosti ke dvěma vzájemně kolmým osám
setrvačnosti se při otáčení obou os kolem počátku nemění,
zůstává konstantní (neměnný, invariantní).
21 IIIIII zxzx
Úpravou předešlých vztahů
pro nesymetrický průřez:
31
Hlavní centrální momenty setrvačnosti
Hlavní centrální osy setrvačnosti x1 , z2.
Dvě vzájemně kolmé osy procházející těžištěm, které jsou od souřadného systému
xz pootočeny o úhel 1,2. Momenty setrvačnosti vztažené k těmto osám jsou hlavní
centrální momenty setrvačnosti průřezu.
Ve stavební mechanice jsou důležité hlavní momenty setrvačnosti vztažené
k hlavním osám procházejících těžištěm obrazce. Jedná se o:
Hlavní centrální momenty setrvačnosti I1, I2 . Moment setrvačnosti vztažený k hlavním osám procházejících těžištěm (hlavní
centrální osy setrvačnosti). U symetrických průřezů to jsou momenty setrvačnosti
vztažené k těžištním osám xt , zt.
32
Hlavní centrální momenty setrvačnosti
Znaménko před odmocninou: +
-
22
2,1 .4.2
1.
2
1xzzxzx DIIIII
max1 II
min2 II
Hlavní centrální osy setrvačnosti – s počátkem v těžišti průřezu :
xz
x
D
II
2,1
2,1tg0
12 90max1 I
min2 I
Symetrické průřezy: centrální momenty setrvačnosti Ix a Iz (vztažené k centrálním (těžištním)
osám xt ,zt ) jsou zároveň hlavní centrální momenty setrvačnosti. Větší z
nich je I1, menší I2. Osy xt ,zt jsou hlavní centrální osy setrvačnosti
Nesymetrické průřezy:
33
Příklad 2: pokračování – Hlavní centrální momenty setrvačnosti
4
2
4
1
22
22
2,1
m0,26
m9,134
4548,491,111.2
18,491,111
2
1
.42
1
2
1
I
I
DIIIII xzzxzx
1,62tg
45
1,1110,26tg
9,27tg
45
1,1119,134tg
2
22
1
11
xz
x
xz
x
D
II
D
II
Hl. centrální momenty setrvačnosti I1,2
Natočení hl. centrální momentů 1,2
34
Příklad 2: pokračování – natočení hlavních centrálních os setrvačnosti
V této poloze má průřez největší tuhost
35
Poloměr setrvačnosti
Geometrická charakteristika průřezu: A
Ii xx
A
Ii zz
Hlavní centrální poloměry setrvačnosti: A
Ii maxmax
A
Ii minmin
Hlavní centrální poloměry setrvačnosti pro obdélníkový průřez :
(šířka b, výška h)
Hlavní centrální poloměry setrvačnosti pro čtvercový průřez (strana a):
hhh
hb
hbi .2887,0.
12
1
12..12
. 23
max bi .2887,0min
aii .2887,0minmax
Hlavní centrální poloměry setrvačnosti pro kruhový průřez:
24.π.4
.π 2
2
4
minmax
rr
r
rii
Rozměr [délka], zpravidla m nebo mm
36
Polární moment setrvačnosti
K výkladu polárního
momentu setrvačnosti
Polární moment setrvačnosti vztažený k bodu (pólu):
(p je vzdálenost od pólu) d2
A
p ApI .
Kvadratický moment,
rozměr [délka4], zpravidla m4 nebo mm4
zxxz
AAA
p IIIIAzAxAzxI ddd 2222 ...
;
Poučka:
Polární moment setrvačnosti k pólu (bodu) O je
roven součtu momentů setrvačnosti vztažených k
jakýmkoli dvěma vzájemně kolmým osám
setrvačnosti, které tímto bodem (pólem) procházejí.
Ve stavařské praxi:
pólem je výhradně těžiště průřezu,
centrální polární moment setrvačnosti,
využití u rotačně symetrických průřezů.
Rozměr [délka4], zpravidla m4 nebo mm4
zxp III
37
Nehomogenní složený obrazec
Dílčí prvky nemají stejnou měrnou tíhu (např. železobetonový sloup), nebo představují zidealizované objemy o různých průřezech (např. příhradová konstrukce s různými průřezy prutů viz následující snímek).
Těžiště úsečky
Vlastní tíha (tíhová síla) úsečky
P = l . m’. g [N]
V – objem [m3]
- hustota [kg / m3]
g - tíhové zrychlení – 9.81 [m / s ]
A – plocha [m2]
l – délka [m]
g - měrná tíha [N / m3]
m’ – měrná hmotnost [kg / m]
P
Tíhová síla nehomogenního složeného obrazce nepředstavuje pouze délku dílčí čáry li
nebo velikost dílčí plochy Ai.
Do tíhové síly nutno zahrnout také vliv skutečné tíhy dílčího prvku.
Další postup výpočtu je pak shodný jako u homogenního obrazce
Vlastní tíha (tíhová síla) tělesa:
P=V. .g = l . A . .g = l . A .g [N]
38
Těžiště nehomogenní rovinné prutové konstrukce
+x
+z
R
T
Konstrukce představuje složený rovinný obrazec – několik spojených úseček.
Řešení výpočet xT :
• V těžištích jednotlivých prutů
zavedeme dílčí tíhové síly
• těžiště T [xT ; zT]
představuje statický střed
soustavy rovnoběžných sil
Pi
xi
xT
i
iiii
T
iiT
P
xP
R
xPx
xPxR
Příhradová konstrukce s n pruty (i=1, …, n ) stejného materiálu (γ = konst)
o různých průřezech → pruty o stejných délkách mají rozdílné tíhové síly.
Tíhová síla prutu:
iiiiii lAlAgVP ..... g
o
39 +z
Pi
R
zT zi
T
i
iiii
T
iiT
P
zP
R
zPz
zPzR
+x
Tíhová síla prutu:
o
iiiiii lAlAgVP ..... g
Těžiště nehomogenní rovinné prutové konstrukce
Řešení výpočet xT :
• V těžištích jednotlivých prutů
zavedeme dílčí tíhové síly
• těžiště T [xT ; zT]
představuje statický střed
soustavy rovnoběžných sil
40
Průřezové charakteristiky obrazce složeného z válcovaných tyčí
x
z
o Příklad č.1 k procvičení
(budete potřebovat):
Dle postupu u příkladu 2 spočítejte
všechny průřezové charakteristiky,
které jsme na této přednášce probírali.
Průřez je složen z válcovaných
U160 a I240 profilů..
UPN 160
IPN 240
Zadané hodnoty konkrétně pro tento průřez:
I 240:
mmhmmbmmA
mmImmI zx
240,106,10.61,4
10.2,2,10.4,42
23
4646
U 160:
mme
mmhmmbmmA
mmImmI zx
4,18
160,65,10.4,2
10.25,9,10.850
23
4643
kóty b,h – viz snímky,na kterých jsou tabulky průřezů
Poznámka
(pro vaši případnou
kontrolu tabulkových hodnot):
Pozor na uložení válcovaného
U profilu. Osy jsou oproti osám
v tabulkách vzájemně přehozené.
… poloha těžiště U profilu
41
Průřezové charakteristiky obrazce složeného z válcovaných tyčí
x
z
PU
R
zT
T [xT ,zT]
xT
PI
zU
zI cU
cI
xt
zt
Tii
Tii
iiizxxz
iiizz
iiixx
xxd
zzc
dcADD
dAII
cAII
ii
2
,
2
,
o
Nápověda:
Ix = 7,3482.10-5 m4
Průřez je symetrický k ose z → Dxz=0,
centrální osy setrvačnosti = hlavní centrální osy setrvačnosti
42
Průřezové charakteristiky obrazce s otvorem
Nápověda:
T = [4,286 ; 3,214] Ix = 126,373 m4 Iz = 224,071 m4
Příklad č.2 k procvičení
(budete potřebovat):
Dle postupu u příkladu 2 spočítejte
všechny průřezové charakteristiky,
které jsme probírali.
Průřez tvoří obdélníková plocha
s otvorem..
43
Shrnutí základních pojmů
Statické momenty plochy [m3] :
k ose z :
k bodu o:
Tx zAS
Tz xAS
TTo zAxAS
Kvadratické momenty plochy [m4] :
setrvačnosti k ose x : A
x AzI d2. A
z AxI d2.
A
xz AzxD d..
setrvačnosti k ose z :
deviační k osám xz : polární k bodu (pólu) p : A
p ApI d2.
k ose x :
Momenty setrvačnosti (MS) včetně deviačního:
k libovolným osám x,z : obecně MS - Ix , Iz , Dx,z
k těžištním osám xt,zt : centrální MS, je-li symetrie alespoň k jedné ose Dxz=0
k pootočeným vzájemně kolmým osám : obecně - Ix
, Iz
, Dx
z
k pootočeným vzájemně kolmým osám - osy neprocházejí těžištěm
– extrémní hodnoty MS (I1 ,I2) : hlavní MS, I1= max, I2= min Dx
z
=0
k pootočeným vzájemně kolmým osám - osy procházejí těžištěm
– extrémní hodnoty MS (I1 ,I2) : hlavní centrální MS, I1= max, I2= min Dx
z
=0
