Statika stavebních konstrukcí I - vsb.czfast10.vsb.cz/koubova/SSKI_tema1_Kombi.pdf · Statika...

Statika stavebních konstrukcí I

Téma 1Téma 1Deformace staticky určitých prutových konstrukcí

Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Osnova p řednášky

� Pojem deformace

� Princip virtuálních prací

� Deformace nosníku v osové úloze

� Deformace přímého nosníku v příčné úloze (v rovině xz)

� Deformace přímého nosníku v krutové úloze

� Deformace rovinně lomeného nosníku v rovinné úloze

2Osnova přednášky

� Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze

� Deformace rovinného kloubového příhradového nosníku

Deformace (p řetvo ření)

Deformace (přetvoření):

a) Celková podoba deformované konstrukceb) Některá lokální složka deformace v určitém místě konstrukce

(posun, pootočení)(posun, pootočení)

3Pojem deformace

Označení a kladné smysly posunů a pootočení těžiště průřezuObr. 2.1. / str. 24


Proč se zabýváme deformacemi?

1. Použitelnost konstrukce2. Řešení staticky neurčitých konstrukcí3. Ověřování správnosti měření výpočtem

Předpoklady výpočtu:

� Fyzikální linearita (platí Hookův zákon)� Geometrická linearita (teorie malých deformací)

4

Důsledek:� Podmínky rovnováhy se sestavují na nedeformované

konstrukci – teorie 1. řádu� Platí princip superpozice a princip úměrnosti

Pojem deformace


Nelineární mechanika:

� Teorie 2. řádu – podmínky rovnováhy se sestavují na deformované konstrukci (deformace malé)

� Fyzikální nelinearita (nelineárně pružné nebo trvalé deformace)

� Teorie velkých deformací

� Konstrukce s jednostrannými vazbami

� Nosná lana a lanové konstrukce

5

� Nosná lana a lanové konstrukce

Pojem deformace

Práce vn ějších sil a moment ů

αδδ cos⋅⋅=⋅= ce PPLPráce (externí) bodové síly:

Práce - skalár, vyjadřuje se v joulech (J = N.m), kJ, MJ

ϕ=Práce bodového momentu:

Poznámka:

Předpokladem je, že δ (ϕ) bylo

vyvoláno jinou příčinou než P (M).

ϕ.MLe =

6Princip virtuálních prací

Práce bodové síly a bodového momentuObr. 2.2. / str. 26

Práce je kladná, shoduje-li se smysl

� vektoru síly a posunu δ

� momentu a potočení ϕ

Práce spojitého silového a momentového zatížení

( ) ( )∫ ⋅=b

e xxwxqL d ( ) ( )∫ ⋅=b

xe xxxmL dϕ

Práce vnějších sil a momentů:

∫a

∫a

Předpoklad – velikost zatížení se během posunu nemění.


Práce silového liniového zatíženíObr. 2.3. / str. 26

Virtuální práce

o Reálný zat ěžovací stav

o Virtuální zat ěžovací stav - deformační virtuální stav

- silový virtuální stav

� Deforma ční virtuální práce

� Silová virtuální prácece wPL ⋅=

ce wPL ⋅=


K pojmu virtuální práceObr. 2.4. / str. 27

Deformační virtuální práce vypracovaná Lagrangem ke studiu rovnováhy konstrukcí.

Práce vnit řních sil

Práce vnitřních (interních) sil:

Prostorově namáhaný přímý prut: � N, My, Mz, Vz, Vy, T Souřadnicová

soustava prutuObr. 2.5. / str. 28

+++++−= ∫∫∫∫∫∫

lx

ly

lz

lzz

lyy

li TvVwVMMuNL ϕϕϕ dˆdˆdddd

Vnitřní síly brání vzniku deformace, mají opačné smysly než na obr. 2.6., proto záporné znaménko při výpočtu Li.


Práce vnitřních sil prutuObr. 2.6. / str. 28

Kladné smysly vnitřních sil

Princip virtuálních prací

Celková virtuální práce na vyšet řované konstrukci (tj. sou čet virtuálních prací vn ějších i vnit řních sil) je roven nule. 0=+ ie LL

A) Deforma ční princip virtuálních prací (princip virtuálních posun ů)

B) Silový princip virtuálních prací (princip virtuálních sil)

� Virtuální vnitřní síly

� Reálné vnitřní síly, způsobují deformaceTVVMMN yzzy ,,,,,

0=+ ie LL


xEA

Nu dd =

xGA

Vw

z

z dˆd*

=

xEI

M

y

yy dd =ϕ

xGA

Vv

y

y dˆd*

=

xEI

M

z

zz dd =ϕ

xGI

T

tx dd =ϕ

Deforma ční zatížení, zp ůsobené oteplením

Silový princip virtuálních prací:

∫∫

∆+∆+∆+

+++++=l

tztyt

l

ty

yy

z

zz

z

zz

y

yye x

b

tM

h

tMtNx

GI

TT

GA

VV

GA

VV

EI

MM

EI

MM

EA

NNL

0

210

0**

dd ααα

xtuh

etttt

t

zhdh

dd

)(

0

0

⋅∆⋅=

∆−∆+∆=∆

αh

xt

ttt

ty

hd

dd 1

1

⋅∆⋅=

∆−∆=∆

αϕ


Rovnoměrné oteplení a rozklad lineárně proměnného oteplení po výšce průřezuObr. 2.7. / str. 29

Bettiho v ěta o vzájemnosti virtuálních prací (1872)

Enrico Betti

∫=+l

y

yy xEI

MMPP

0

II,I,2211 dδδ ∫=+

l

y

yy xEI

MMMP

0

I,II,4433 dδδ

Enrico Betti(1823 - 1892)

Virtuální práce vn ějších silI. stavu na odpovídajících deformacích II. stavu je rovna virtuální práci vn ějších sil

44332211 δδδδ MPPP +=+


K odvození Bettiho větyObr. 2.8. / str. 30

virtuální práci vn ějších silII. stavu na odpovídajících deformacích I. stavu.

Maxwellova v ěta o vzájemnosti posun ů

James Clerk Maxwell

(1831 - 1879) IIIIII δδ PP = PPP == III δδδ == III

Zvláštní případ Bettiho věty, kdy v každém z obou zatěžovacích stavů působí na konstrukci jediná síla P nebo jediný moment M.

Zvláštní případ Bettiho věty, kdy v každém z obou zatěžovacích stavů působí na konstrukci jediná síla P nebo jediný moment M.

(1831 - 1879)

Posun zp ůsobený první silou v míst ě a ve sm ěru druhé síly je roven posunu zp ůsobeném druhou silou v míst ě a ve sm ěru první síly.


K odvození Maxwellovy větyObr. 2.9. / str. 31

Metoda jednotkových sil

δδ =⋅=1eL

l TTVVVVMMMMNN

Silové zatížení

∫

+++++=l

ty

yy

z

zz

z

zz

y

yy xGI

TT

GA

VV

GA

VV

EI

MM

EI

MM

EA

NN

0**

dδ

∫

∆+∆+∆=

l

tztyt xb

tM

h

tMtN

0

210 dαααδ

Oteplení


Metoda jednotkových silObr. 2.10. / str. 32

∫ bh0

Deformace nosníku v osové úloze

444 3444 21EA

AxNN

EAx

A

NN

Eu N

ll

e

±==== ∫∫00

d1

d1δ

Silové zatížení

444 3444 21EAEAAE 00

Nt

l

te AtxNtu 0

0

0 d ∆=∆== ∫ ααδ

Oteplení

stálý průřez

15Deformace nosníku v osové úloze

Deformace nosníku v osové úlozeObr. 2.11. / str. 33

0∫

Příklad 1.1

A = 64 mm2

Určete pro silový zatěžovací stav i pro rovnoměrné ochlazení vodorovný posun uc bodu c.

( ) xxN

RR axax

⋅−==⇒=+⋅−

4,813

kN13085,24,8

A = 64 mm

E = 2,1.108 kPa, αt = 1,2.10-5 K-1

Silový zatěžovací stav:

l ANN


Zadání a řešení příkladu 1.1Obr. 2.12. / str. 34

m000685,0104,6101,2

2,9

d

58

0

=⋅⋅⋅

=

==

−

∫

c

lN

c

u

EA

Ax

EA

NNu

Příklad 1.1

m00048,02)20(10.2,1

dd

5

00

00

0

−=⋅−⋅=

∆=∆=∆=

−

∫∫ Nt

l

t

l

tc

u

AtxNtxtNu ααα

Posun způsobený ochlazením:

m00048,02)20(10.2,1 5 −=⋅−⋅= −cu



Příklad 1.2

Beton

Určete svislý posun horního konce sloupu wb od vlastní tíhy.

Beton

ρ = 2400 kg.m-3

E = 2.107 kPa



Příklad 1.2

zz

zA ⋅+=⋅+⋅= 2,08,0)4

8,08,0(1)(

33 kNm24Nm240010 −− =⋅=γ

44 1 NNN

( )[ ]( )24,22,19)(

28,42,192,19)(

zzzN

zzzN

⋅+⋅−=

⋅⋅++−=

zzn

zAzn

⋅+=⋅+=⋅=

8,42,19)(

24).2,08,0()( γ



∫

∫∫

⋅+⋅+⋅=

−==

4

0

2

4

0

4

0

d2,08,0

4,22,191

d1

d

zz

zz

Ew

zA

N

Ez

EA

NNw

b

b

Příklad 1.2

Řešení s využitímobdélníkové metody (numerická integrace)

i zi Ni /Ai

m kNm-2

1 0,2 1,874286NNN 44 1

4

10

===∆=∆

=l

n

2 0,6 5,384348

3 1,0 8,64

4 1,4 11,69778

5 1,8 14,59862

6 2,2 17,3729

7 2,6 20,04364

8 3,0 22,62857

E

Zz

z

zz

Ew

zA

N

Ez

EA

NNw

i

n

i i

iib

b

−=∆⋅+

⋅+⋅=

−==

∑

∫∫

=1

2

4

0

4

0

2,08,0

4,22,191

d1

d

20

m1075,7102

9756,154

4,010

4

67

−⋅−=⋅

−=−=

===∆=∆

E

Zw

n

lzz

b

i

Deformace nosníku v osové úloze

8 3,0 22,62857

9 3,4 25,14162

10 3,8 27,59385

ΣΣΣΣ Ni /Ai 154,9756

Deformace p římého nosníku v p říčné úloze

4444 34444 21∫∫∫∫ +=+=llll

xVVGA

xMMEI

xA

VV

Gx

I

MM

E 0*

00*

0

d1

d1

d1

d1δ

Silové zatížení

4444 34444 21

∫∆=l

t xM

t0

1 dh

αδOteplení

stálý průřez

21Deformace přímého nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

Druhy přímých nosníků v příčné úlozeObr. 2.14. / str. 36

Vereščaginovo pravidlo

TM

l

MAxMM ⋅=∫0

dPomůcka pro výpočet integrálu

Integrál ze součinu dvou Integrál ze součinu dvou momentových funkcí, z nichž první

M je hladká a spojitá a druhá Mje lineární, je roven součinu plochy

AM prvního momentového obrazce

a pořadnice MT druhého


Vereščaginovo pravidloObr. 2.15. / str. 37

T

momentové obrazce v místě

těžiště TM prvního momentového obrazce.

Vereščaginovo pravidlo

Parabolické části momentových obrazců při použití Vereščaginova pravidla


Parabolické části momentových obrazců při použití Vereščaginova pravidlaObr. 2.16. / str. 38

Příklad 1.3

S využitím Vereščaginova pravidla určete svislý průhyb wa

bodu a.

Železobetonová konzola

E = 2,2.107 kPa

bodu a.

Možno zanedbat práci posouvajících sil .



Příklad 1.3

321

2

23

37

3

)(1

d

kNm1024416,712

28,018,0102,2

12

=++==

⋅=

=⋅⋅⋅==

∫a SSSEI

xEI

MMw

bhEEI

2

3

1

01

3

3210

d

kNm5,2)75,0(333,3

d

m005407,01024416,7

667,21155,2

)(d

11

===

=−⋅−=

===

=⋅

++=

=++==

∫

∫

∫

TM

a

MAxMMS

MAxMMS

SSSEI

xEI

w



3

2

13

3

12

kNm667,21)667,1(13

d

kNm15)5,1(10

d

33

22

=−⋅−=

===

=−⋅−=

===

∫

∫

TM

TM

MAxMMS

MAxMMS

Tabulka 2.2

Vzorce pro výpočet integrálů ∫l

xMM0

d


str. 41

Příklad 1.4

Určete svislý průhyb wc bodu c a pootočení ϕa bodu a.

Dřevo

E = 107 kPa



Tabulka 2.3Lokální deformace konzoly a prostého nosníku stálého průřezu str. 42


Příklad 1.5

Mt

lt A

h

txM

h

t 1

0

1 d∆=∆= ∫

ααδ• h = 0,24 m

• ocel αt = 1,2.10-5 K-1

Určete průhyb wc a ws při lineárním oteplení po výšce průřezu h.

hh 0



Příklad 1.5

mm2,7m0072,0)9(24,0

16102,1 51 −=−=−⋅⋅⋅=∆=

−

cMt

c Ah

tw

α

mm9,4m0049,0125,624,0

16102,1 51 ==⋅⋅⋅==∆=

−

sMt

s wAh

tw

s

α

92

29 −=⋅−=cMA

125,62

75,17 =⋅=sMA

24,0h 2



Deformace p římého nosníku v krutové úloze

444 8444 76

Tll

c GI

AxTT

GIx

GI

TT ±=== ∫∫ d1

dϑKrutové pootočení

Silový virtuální stavstálý průřez

tttc GI

xTTGI

xGI

=== ∫∫00

ddϑKrutové pootočení

31Deformace přímého nosníku v krutové úloze

Deformace nosníku v krutové úlozeObr. 2.22. / str. 45

Příklad 1.6

Určete krutové pootočení ϑb

pravého konce b konzoly.

Ocel G = 8,1.107 kPa

44 )( =−== rrIIπ

00

277

4544

41

42

d1

d

kNm847,6010512,7101,8

mm10512,7)2430(2

)(2

===

=⋅⋅⋅=

⋅=−⋅=

=−==

∫∫

−

t

Tl

t

l

t

t

pt

GI

AxTT

GIx

GI

TT

GI

rrII

ϑ

π

π

32Deformace přímého nosníku v krutové úloze


o

2

00

20,2rad0384,0847,60

336,2

kNm336,2

6,072,02

11)52,172,2(

2

1

===

=

=⋅⋅+⋅+⋅=

b

T

ttt

A

ϑ

Deformace rovinn ě lomeného nosníku v rovinné úloze

∑ ∫∫∫=

++=m

j

l

jj

l

jj

l

jj

jjj

xA

VV

Gx

I

MM

Ex

A

NN

E1 0*

00

d1

d1

d1δ

U staticky určitých případů se zanedbává práce

44 344 21

∑ ∫∑ ∫==

==m

j

l

jj

m

j

l

jj

jj

xMMIE

xI

MM

E 1 01 0

d11

d1δ

U staticky určitých případů se zanedbává práce posouvajících a normálových sil.

Oteplení

stálý průřez

33Deformace rovinně lomeného nosníku v rovinné úloze

Oteplení

∑ ∫∫=

∆+∆=m

j

l

jj

j

l

jjt

jj

xh

MtxNt

1 0,1

0,0 ddαδ

Příklad 1.7

Ocel

I1 = 16.10-5 m4

Určete deformace ud, wd, α a δd.

I2 = 3,8.10-5 m4

I3 = 9,2.10-5 m4

E = 2,1.108 kPa

22ddd uw +=δ

34Deformace rovinně lomeného nosníku v rovinné úloze


d

d

w

u=αtan

• Rozpětí l

• Vzepětí f• Poměrné vzepětí

fΦ =

Deformace rovinn ě zakřiveného nosníku v rovinné úloze

Tvar a podepření rovinného zakřiveného nosníku v rovinné úlozeObr. 2.25. / str. 48

• Poměrné vzepětí l

Φ =

35Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze

Vzepětí f a poměrná vzepětí Φ rovinných zakřivených nosníkůObr. 2.26. / str. 49


� Silové zatížení ∫∫∫ ++=L jLL

sGA

VVs

EI

MMs

EA

NNddd

*δ

� Teplotní zatížení ∫∫ ∆+∆= tt sM

tsNt dd 10 ααδ� Teplotní zatížení ∫∫ ∆+∆=L

t

L

t sh

tsNt dd 10 ααδ

ψcos

dd

xs =Řešení po úpravě:

� Silové zatížení ∫∫∫ ++=bbb x

x

x

x

x

x

xA

VV

Gx

I

MM

Ex

A

NN

Ed

cos

1d

cos

1d

cos

1* ψψψ

δ


∫∫∫aaa xxx AGIEAE coscoscos ψψψ

� Teplotní zatížení ∫∫ ∆+∆=b

a

b

a

x

xt

x

xt x

h

Mtx

Nt d

cosd

cos 10 ψα

ψαδ


Výpočet přetvo ření• Numerická integrace• Simpsonovo pravidlo

• Obdélníková metoda

( ) ( )[ ]3

...2...4d)( 2421310

0

dffffffffxxf nnn

l

⋅++++⋅++++⋅+≈ −−∫

∑∑∫∫==

∆+∆=+=n

ii

ii

iin

ii

ii

ii

x

x

x

x

xI

MM

Ex

A

NN

Ex

I

MM

Ex

A

NN

E

bb

11 cos

1

cos

1d

cos

1d

cos

1

ψψψψδ

37

∑∑==

==

∆+∆=n

ii

i

iin

ii

i

ii

i iii iixx

sI

MM

Es

A

NN

E

IEAEIEAEaa

11

11

11

coscoscoscos

δ

ψψψψ

Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze

Příklad 1.8

Parabolická střednice:

Určete vodorovný posun ub

bodu b.

( ) 2.xkxz =22b

b

a

a

x

z

x

zk ==

[ ] xkxkx

z ⋅⋅=′⋅== 2d

dtg 2ψ

ψψ

2tg1

1cos

+=



ψ2tg1+

ψψψ

2tg1

tgsin

+=

EI = 6,72.104 kNm2

Příklad 1.8

ix

[m] tg ψ cos ψM

[kNm]l

[m]M · cos ψ-1

[kNm2]

0 -5,00 -0,8 0,78087 0,0000 0,000 0,000

1 -3,75 -0,6 0,85749 28,4375 0,875 29,0181 -3,75 -0,6 0,85749 28,4375 0,875 29,018

2 -2,50 -0,4 0,92848 47,5000 1,500 76,739

3 -1,25 -0,2 0,98058 57,1875 1,875 109,350

4 0,00 0,0 1,00000 57,5000 2,000 115,000

5 1,25 0,2 0,98058 43,1250 1,875 82,461



6 2,50 0,4 0,92848 28,7500 1,500 46,447

7 3,75 0,6 0,85749 14,3750 1,875 14,668

8 5,00 0,8 0,78087 0,0000 0,000 0,000

Deformace rovinného kloubového p říhradového nosníku

Virtuální práce pouze normálových sil

Silové zatížení

∑∑ ∫∑ ∫===

===p

j j

jjjp

j

l

jj

jjp

j

l

jj

jj

A

lNN

Ex

A

NN

Ex

EA

NN jj

11 01 0

1d

1dδ

Oteplení

∑∑ ∫∑∫ ∆=∆=∆=p

jjt

p l

jjt

p l

jjt ltNxtNxtNjj

,0,0,0 dd αααδ

40Deformace rovinného kloubového příhradového nosníku

∑∑ ∫∑∫===

∆=∆=∆=j

jjtj

jjtj

jjt ltNxtNxtN1

,01 0

,01 0

,0 dd αααδ

Příklad 1.9

Určete svislý posun wc.

A1 = 24·10-4 m4

A = 12·10-4 m4A2 = 12·10-4 m4

A3 = 18·10-4 m4

A4 = 18·10-4 m4

A5 = 12·10-4 m4

A6 = 12·10-4 m4

A7 = 18·10-4 m4

41Deformace rovinného kloubového příhradového nosníku


A7 = 18·10 m

l2 = l3 = l6 = 2,236 m

Příklad 1.9, tabulkový výpo čet

j Aj [m2] lj [m] Nj [kN] Nj [1] (Nj Nj lj /Aj )·10-3 [kN/m]

1 0,0024 2,000 -90,000 -1,000 75,000

2 0,0012 2,236 134,164 2,236 559,017

3 0,0018 2,236 -67,082 0,000 0,000

4 0,0018 2,000 -60,000 -2,000 133,333

5 0,0012 1,000 0,000 0,000 0,000

6 0,0012 2,236 67,082 2,236 279,508

7 0,0018 2,000 -60,000 -2,000 133,333

1180,192

42

mm62,5m1062,5101,2

10192,11801 38

37

1

=⋅=⋅

⋅== −

=∑j j

jjjc A

lNN

Ew

Deformace rovinného kloubového příhradového nosníku

Použitá literatura

[1] Benda Jiří, Stavební statika II, VŠB-TU Ostrava 2005

43

Date post:	17-Oct-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	23 times
Download:	1 times

Statika stavebních konstrukcí I - vsb.czfast10.vsb.cz/koubova/SSKI_tema1_Kombi.pdf · Statika...

Documents