tatisti a s Ex e m

171

8. K A E V LO T DVOCH

KVA T TAT V CH AKOV

8.1 tatistick z vislos le it loha v etk ch technick ch, ekonomick ch i soci lnych oborov je h ada

a sk ma z vislos medzi premenn mi. oteraz sme pracovali s funk n mi

vz ahmi, kde z visl premenn y je jednozna ne ur en funkciou xfy alebo

nxxxfy ,...,, 21 .

asto v ak, v d sledku p sobenia n hodn ch faktorov, alebo nezoh ad ovania

nejak ho faktora, i v d sledku nepresnosti merania m z visle premenn Y a jej

pozorovan hodnoty nyyy ,...,, 21 povahu n hodnej veli iny, ktor m ist rozde-

lenie pravdepodobnosti. Tak to z vislos sa vol stochastick ( tatistick ) z vis-

los . Nez visl premenn m u by nen hodn (fixn ) alebo tie n hodn veli i-

ny. V tejto asti sa budeme zaobera jednoduchou (p rovou) regresiou, kde

uva ujeme len jednu nez visl premenn X s hodnotami .,...,, 21 nxxx

Uva ujme z vislos ceny ojazden ho auta v autobaz re od veku auta. ist -

me, e aut s rovnak m vekom maj r znu cenu. Preto cenu napr klad tvorro -

n ho auta pova ujeme za n hodn premenn , jej rozdelenie sa vol podmiene-

n rozdelenie. Kedy teda pova ujeme n hodn veli iny za tatisticky z visl

Rozdelenie po etnost jednej veli iny Y (kvantitat vneho znaku), ktor zodpove-

d istej, konkr tnej hodnote druhej veli iny X (kvantitat vneho znaku) sa vol

podmienen rozdelenie po etnost . Ak pri zmen ch hodn t jedn ho znaku do-

ch dza ku zmen m podmienen ho rozdelenia po etnost druh ho znaku, pova-

ujeme znaky za tatisticky z visl . A naopak, ak pri zmen ch jedn ho znaku sa

nemen rozdelenie druh ho znaku, pova ujeme ich za nez visl . O tatistickej

z vislosti mo no hovori aj u kvalitat vnych znakov. Element rny sp sob grafick ho zn zornenia z vislosti dvoch kvantitat vnych

znakov je bodov diagram. o zn zornenia bodov nn yxyxyx ,...,,,,, 2211

tatisti a s Ex e m

172

v rovine, kde ii yx , s konkr tne hodnoty premenn ch X ,Y nameran na i-tej ta-

tistickej jednotke, mo no zisti charakteristick rysy z vislosti. Obr. 8.1A ukazu-

je, e s narastaj cimi hodnotami premennej X rast aj hodnoty premennej Y a na-

vy e, e sa tento rast postupne spoma uje. Schematicky zn zor uje t to tendenciu

krivka prelo en medzi bodmi. Vol me ju regresn krivka. Na Obr.8.1B

s narastaj cim X rast aj hodnoty Y, ale rast sa postupne zr ch uje. vislosti zn -

zornen na obr zkoch maj teda r zny priebeh.

Obr. 8.1 R zne druhy z vislost

0

1

2

3

4

0 1 2 3 0 1 2 3 4

0 1 2 3

r > 0 r < 0

C D

0,5 1

1,5 2

0 1 2 3 4 5

2468

1012

0 1 2 3

tesn z vislos vone ia z vislos

A B

E

0 0,2 0,4 0,6 0,8

1 1,2

- 1,5 - 1 - 0,5 0 0,5 1 1,5 0 1 2 3 4 5

0 1 2 3

r= 0 r= 0

E F

tatisti a s Ex e m

173

Obr zky sa l ia e te z in ho h adiska. Na Obr.8.1B s jednotliv body rozpt len

okolo regresnej krivky ove a viac ako na Obr.8.1A. Medzi X a Y na Obr.8.1B je

vo nej ia z vislos ako na Obr.8.1A. Obe z vislosti sa l ia silou z vislosti.

Pri sk man z vislosti teda treba rie i dve lohy, ktor spolu zko s visia:

Pos di tesnos z vislosti pomocou nejakej charakteristiky, ktor popisuje do akej miery premenn X vysvet uje variabilitu premennej Y (korela n anal -

za).

Charakterizova priebeh tejto z vislosti, to znamen , odhadn funk n vz ah, pod a ktor ho sa men z visl premenn pri zmen ch nez visle premennej (re-

gresn anal za).

Pod a toho, ko ko nez visl ch premenn ch berieme do vahy pri rie en t chto

loh, hovor me

o jednoduchej (p rovej) korel cii a regresii, ak pracujeme len s jednou nez vis-lou premennou,

o viacn sobnej (mnohon sobnej ) korel cii a regresii, ak je po et nez visl ch premenn ch v ako jeden.

Pou itie viacn sobnej regresie s ce vedie k presnej m odhadom, ale ve k po et

premenn ch s a uje anal zu lohy i interpret ciu v sledkov. Preto v modeli treba uva-

ova len tie premenn , ktor maj z sadn vplyv na z visl premenn .

V celej tejto kapitole ide len o zis ovanie matematick ch s vislost , ktor nem eme

zamie a za vz ah pr iny a n sledku, lebo ani vysok stupe tatistickej z vislosti ne-

hovor ni o pr innej s vislosti javov. V inou t to zdanliv s vislos sp sobuje tret

faktor, na ktorom s oba p vodn javy z visl . Pri zlej interpret cii m eme dosta

komick tvrdenia. Napr klad zisten vz ah medzi n zkou augustovou spotrebou plynu

v kotolniach a vysok m predajom opa ovac ch kr mov ovplyv uje tret faktor - po a-

sie.

tatisti a s Ex e m

174

8.2 Korela n anal za Vz ah medzi X, Y m e ma r znu intenzitu, od plnej nez vislosti a po pln

funk n z vislos . Stupe tatistickej z vislosti sa d pop sa r znymi mierami,

my sa budeme venova len kovariancii a korela n mu koeficientu premenn ch

X, Y. Obe charakteristiky s miery line rnej z vislosti premenn ch X, Y. Kova-

riancia medzi X, Y vo v berovom s bore s rozsahom n je slo n

iii yyxxn

xy1

1cov . (8.1)

Vz ah sa d upravi na jednoduch tvar

n

iiiii yxyxyxyxn

xy1

1cov = iiii xnyy

nxyx

n1 1

nyx

= yxxy . (8.2)

Vlastnosti kovariancie:

xycov m e nadobudn ubovo n re lnu hodnotu.

yxxy covcov .

Ak 0cov xy , premenn X, Y s priamo line rne z visl (Obr. 8.1C ).

Ak 0cov xy , premenn X, Y s nepriamo line rne z visl (Obr. 8.1 ).

Ak X,Y s nez visl , potom 0cov xy (Obr. 8.1F ).

Kovariancia je mierou line rnej z vislosti, nehovor ni o in ch typoch z vis-

losti. To, e 0cov xy (hovor me aj, e X, Y s nekorelovan ) e te nezname-

n , e X, Y s nez visl . Aj v pr pade nulovej kovariancie m u by znaky ne-

line rne funk ne z visl (Obr. 8.1E).

Nev hodou kovariancie je, e jej hodnoty s z visl na mierke, v ktorej s vy-jadren X ,Y. Preto vznikla veli ina, ktor tento nedostatok nem , a to korela -

n koeficient.

tatisti a s Ex e m

175

Korela n koeficient je v z kladnom s bore ozna ovan yx, a definovan

yx

yxxy

.cov

, , (8.3)

Ak pou ijeme namiesto z kladn ho s boru v berov s bor a kovarianciu v bero-

v ho s boru a tandardn odch lky v berov ho s boru

21 xxn

s ix a 21 yy

ns iy ,

dostaneme bodov odhad (ale skreslen ) korela n ho koeficientu, ktor sa vol

v berov korela n koeficient yxr , :

22,

. yyxx

yyxxrii

iiyx (8.4)

Vlastnosti korela n ho koeficientu:

1yxr .

xyyx rr , preto sa pou va stru n ozna enie len r (alebo len ) .

Ak 0yxr , premenn X,Y s priamo line rne z visl (Obr. 8.1C).

Ak 0yxr , premenn X, Y s nepriamo line rne z visl (Obr. 8.1 ).

Korela n koeficient je mierou sily line rnej z vislosti, nehovor ni o in ch typoch z vislosti. V pr pade nulov ho korela n ho koeficientu znaky s line-

rne nez visl , m u by ale a neline rne funk ne z visl , o ilustruje Obr.

8.1E.

Ke medzi premenn mi X , Y je funk n line rny vz ah XBBY 10

( 01B ), potom 1yxr pre 01B , ( 1yxr pre 01B ).

nterpret cia konkr tnej hodnoty korela n ho koeficientu z vis od povahy ex-periment lnych dajov a od rozsahu v berov ho s boru. Absol tna hodnota

tatisti a s Ex e m

176

korela n ho koeficientu bl zka jednotke znamen siln z vislos , bl zka nule

slab z vislos .

Hodnota korela n ho koeficientu je nez visl na mern ch jednotk ch.

Ak je v berov korela n koeficient bl zky nule, chceme overi , i je nenulo-

v len v d sledku n hodn ho v beru. Uvedieme len jeden z mnoh ch testov pre

testovanie korela n ho koeficientu.

T-test line rnej nez vislosti premenn ch X, Y overuje platnos :0H 0

oproti alternat vnej hypot ze :1H 0 .

Ekvivalentne mo no formulova test takto:

:0H naky s line rne nez visl .

:1H naky s line rne z visl .

Tab. 8.1 T-test line rnej nez vislosti

Hypot zy ou it

rozdelenie Testovacia

tatistika Oblas

zamietnutia H0

H0: 0

H1: 0

Studentovo

212

rnrT

,21tt

2.. nfd

r klad 8.1

V s bore Autobaz r s daje o veku a cen ch ut z 3 predajn autobaz ru. n -

zornite bodov m diagramom z vislos ceny od veku. Vy etrite pomocou korela -

n ho koeficientu a kovariancie z vislos ceny auta od veku, pou ite daje zo v et-

k ch 3 predajn . Na hladine spo ahlivosti 05,0 otestujte nulov hypot zu

0:0H , oproti alternat vnej hypot ze .0:1H

tatisti a s Ex e m

177

Pou itie EXCELu pri rie en korela nej lohy budeme ilustrova na rie en Pr kla-

du 8.1.

Po vo be lo i graf vislos vytvor me bodov diagram (Obr. 8.2). grafu

vidie , e s narastaj cim vekom mierne kles cena ut. Po vo be s ro-

je nal a dajov orel cia a zadan dajov sa objav v stupn korela n mati-

ca. Na jej uhloprie ke s 1xxr a 1yyr , a okrem toho v berov korela n ko-

eficient 6748,0yxr , o predstavuje nepriamu miernu line rnu z vislos , t.j.

s narastaj cim vekom kles cena auta.

Obr. 8.2 Bodov graf z vislosti ceny ut od veku

Po vo be s roje nal a dajov ovariancia ako v stup dostaneme kova-

rian n ma icu, na jej uhloprie ke s hodnoty n

iix xxn

s1

22 1 a

n

iiy yyn

s1

22 1 a 044,25cov xy . Rovnak v sledky sa daj z ska aj postu-

pom Prilepi funkciu a is ick CORREL (COVAR).

050

100150200250300350

0 2 4 6 8vek

cena

tatisti a s Ex e m

178

Tab. 8.2 Korela n matica Tab. 8.3 Kovarian n matica

cena vek cena vek

cena 1 cena 1080,48391

vek -0,67487 1 vek -25,044 1,27456

Na z ver testujme hypot zu 0:0H oproti alternat vnej hypot ze .0:1H

Hodnota testovacej tatistiky je 267487,01210667487,0t 3265,9 . Porov-

n me ju s kvantilom 983035,1104;975,0t Studentovho rozdelenia. Plat

9830,13265,9 , preto zamietame nulov hypot zu a tvrd me, e na hladine

v znamnosti 05,0 je 0 , alebo e line rna z vislos znakov je tatisticky

v znamn .

8.3 Regresn anal za ednoduch (p rov ) line rna regresia

lohou regresnej anal zy pri sk man tatistickej z vislosti Y na X je n js vhodn ma-

tematick model (funkciu), v ktorom je vyjadren predstava o tejto z vislosti. Ak by sa

n m podarilo odstr ni spolup sobenie ved aj ch vplyvov na vz ah medzi X a Y, le ali

by v etky body ii yx , na krivke s rovnicou xy , o je deterministick model. Na

premenn Y v ak vpl vaj okrem X aj in faktory, preto body ii yx , nele ia na krivke,

ale kol u okolo nej. To sa sna me zachyti aj v matematickom modeli. Preto ka d

hodnotu z visle premennej Y rozlo me na dve zlo ky, na deterministick a n hodn ,

t.j.

.,....,2,1, nixy iii

tatisti a s Ex e m

179

Funkcia x sa vol regresn funkcia. M e to by napr. priamka

xBBy 10 , parabola 2

210 xBxBBy a in zn me funkcie. N model, kto-

r zachyt va line rnu z vislos X, Y bude line rna funkcia regresn priam-

ka. Line rny vz ah medzi Y a X v z kladnom s bore mo no vyjadri modelom

iii xBBy 10 ...,2,1i (8.5)

kde iy i-ta hodnota premennej Y v z kladnom s bore,

0B priese n k osi y s regresnou priamkou,

1B regresn koeficient v z kladnom s bore, ktor ud va o ko ko sa

zmen y , ak sa x zmen o jednu jednotku (je to smernica regresnej

priamky),

ix i-ta hodnota premennej X v z kladnom s bore,

i i-ta n hodn chyba premennej Y.

as iixBB 10 je deterministick as modelu, vol me ju regresn

funkcia. e to n m nedostupn teoretick priamka - regresn priamka

v z kladnom s bore, okolo ktorej kol u skuto n hodnoty Y pre dan hodnoty X.

Preto e k dispoz cii m me len v berov s bor s rozsahom n, prelo me bodmi

v berov ho s boru vyrovn vaj cu regresn priamku, ktor m eme pova o-

va za bodov odhad regresnej priamky v z kladnom s bore. Ozna me ju vz a-

hom

ii xbby 10~ , ni ...,,2,1 (8.6)

kde iy~ - o ak van (vyrovnan ) hodnota premennej Y pre dan hodnotu pre

mennej X,

ix - i-ta hodnota premennej X,

0b - bodov odhad koeficientu 0B ,

1b - bodov odhad koeficientu 1B , vol sa v berov regresn koeficient.

tatisti a s Ex e m

180

Na v po et nezn mych koeficientov 0b a 1b v rovnici vyrovn vaj cej regresnej

priamky sa pou va met da najmen ch tvorcov. Ozna me rozdiely (chyby)

medzi nameran mi hodnotami iy a medzi vyrovnan mi hodnotami iy~ , t.j.

iii eyy ~ ako rez du (rezidu lne odch lky). S to bodov odhady n hodn ch

ch b i regresn ho modelu. Najlep ie prelo en priamka medzi bodmi

ii y,x je t , ktor minimalizuje s et tvorcov rezidu lnych odch lok

21

2 ~ii

n

ii yye . (8.7)

To je podstata met dy najmen ch tvorcov. Pri h adan koeficientov 0b a 1b vy-

u ijeme skuto nos , e h ad me minimum funkcie dvoch premenn ch

10 ,bbf2

1

2 ~ii

n

ii yye

210 xbbyi . (8.8)

Vieme, e extr m funkcie tohto typu m e existova len v stacion rnom bode

funkcie, t.j. mus plati

00b

f a 01b

f .

Teda

02 10 ii xbby (8.9)

02 10 iii xxbby (8.10)

Po prave rovnice (8.9) dostaneme

nbxby ii 01

odtia 0b nx

bny ii

1 = xby 1 .

pravou rovnice (8.10) dostaneme

210 iiii xbxbyx

211 . iiii xbxxbyyx

tatisti a s Ex e m

181

).( 21 iiiii xxxbxyyx

Po vyn soben poslednej rovnice v razom n1 a prave

22

1. xnxbyx

nyx iii 1b 2

.

xsyxxy

2cov

xsxy

x

y

ss

r

1bx

y

ss

r (8.11)

0b xby 1 . (8.12)

Vyrovn vaj ca regresn priamka m rovnicu xbby 10~

y~ xss

rss

rxyy

x

x

y

o po prave je xxss

ryyx

y~ (8.13)

xxbyy 1~ (8.14)

Nebudeme sa zdr iava d kazom, e v tomto stacion rnom bode m funkcia sku-

to ne lok lne minimum. Teoretick regresn priamku sme odhadli priamkou

xbby 10~ , ktor pova ujeme za bodov odhad nezn mej regresnej priamky .

ozn mka 8.1

Na kon trukciu koeficientov 0b a 1b nem eme pou i len s et ch b ie , lebo

v dy plat n

iie

10 , aj pre zle zvolen regresn priamku. V imnime si e te dve

vlastnosti regresnej priamky. Regresn priamka prech dza bodom yx ,

a regresn koeficient m v dy rovnak znamienko ako korela n koeficient.

tatisti a s Ex e m

182

8. 4 k manie tatistickej v znamnosti modelu Po n jden rovnice regresnej priamky treba overi , i tento model je kvalitn , i dob-

re vystihuje z vislos medzi X, Y. Pri rie en regresnej lohy prich dza asto do vahy

viacero typov regresn ch funkci (kvadratick , logaritmick ), preto sa sk ma, ktor

z t chto funkci lep ie prilieha v berov m dajom. To sa d mera r znymi charakte-

ristikami: rezidu lny s et tvorcov, rezidu lny rozptyl, tandardn odch lka rez -

du , koeficient determin cie alebo preveri r znymi testami.

Obr. 8.3 Rozklad celkovej variability premennej Y

Obr. 8.3 Rozklad celkovej variability premennej Y

Na Obr. 8.3 je jasn vz ah:

iiii yyyyyy ~~ , (8.15)

t.j. odch lka od celkov ho priemeru = odch lka vysvetlen regresiou odch lka

nevysvetlen regresiou ( rezidu lna). Prekvapivo plat aj

i i

iiii yyyyyy222 ~~ , (8.16)

SSESSRSSY (8.17)

SSY - je celkov variabilita premennej Y (celkov s et tvorcov, sum of squares

total),

0 xi

yyiiy~

iy

y

yyi~

ii yy ~

tatisti a s Ex e m

183

SSR - je variabilita vysvetlen regresn m modelom (sum of squares due to re-

gression),

SSE - je variabilita nevysvetlen regresn m modelom, rezidu lny s et tvor-

cov (sum of squares due to error).

ok eme vlastnos (8.16). Po umocnen v razu (8.15) a s tan pre v etky

ni ,...,2,1 dostaneme

iii

ii i

iiii yyyyyyyyyy ~~2~~1

222 .

Hodnota posledn ho s tanca je nula, lebo

iiiii yyyyyy ~~~ iiiii xbbyyxbbxbby 101010

010101100 iiiiiii xbbyyxxbbybxbbyb ,

pri om sme pou ili vz ahy (8.9) a (8.10), t.j. parci lne deriv cie

00b

f a 01b

f .

Porovnanie zlo iek SSESSRSSY ,, je jedna mo nos , ako pos di tatistick

v znamnos modelu ako celku:

Pri funk nej z vislosti je SSE = 0, SSY = SSR, lebo v etky body iy le ia na

vyrovn vaj cej priamke.

Pri nez vislosti je SSR = 0, SSY = SSE, lebo vyrovn vaj ca priamka je rovno-

be n s osou x a prech dza napr klad bodom yx ,1 .

vislos X, Y je t m silnej ia, m je v podiel variability SSR na celkovej variabilite SSY. Sila tejto line rnej z vislosti sa meria v berov m koeficien-

tom determin cie, ktor je definovan

SSYSSRr 2 ; 1,02r . (8.18)

Line rny vz ah medzi X,Y je tak vysvetlen na %100.SSYSSR , preto je z viacer ch

modelov kvalitnej model s vy m koeficientom determin cie. V berov ko-

eficient determin cie 2r je bodov m odhadom koeficientu determin cie 2 v

tatisti a s Ex e m

184

z kladnom s bore, ale skreslen m. Neskreslen odhad d va korigovan koefi-

cient determin cie

2111 22

nnrradj . (8.19)

Koeficient determin cie SSYSSRr 2 (8.18) je druh mocnina korela n ho koefi-

cientu r (8.4), ktor bol definovan v asti 8.2. ok eme toto tvrdenie. Vyu ije-

me rovnicu vyrovn vaj cej regresnej priamky (8.14)

xxbyy ii 1~ .

Po umocnen a s tan pre ni ...,,2,1 plat

Po dosaden tohto vz ahu do SSESSRSSY dostaneme:

2yyi22

1 xxb i2~

ii yy . (8.20)

Pod a (8.11), kde r je korela n koeficient, plat 1bx

y

ss

r t.j.

2

22

2

222

1 xxyy

rss

rbi

i

x

y

a po dosaden do (8.20)

SSEyyrSSY i22

SSESSYrSSY 2

SSYSSR

SSYSSESSYr 2 .

Cie om met dy najmen ch tvorcov bolo minimalizova variabilitu nevysvet-

len regresn m modelom, hodnotu 2~ii yySSE , ktor sa vol aj rezidu lny

s et tvorcov. dvoch modelov, ktor by teoreticky prich dzali do vahy, je

lep ten, kde je men SSE . Mierou variability hodn t iy okolo vyrovn vaj cej

regresnej priamky je tandardn odch lka rez du

.~ 2212 xxbyy ii

tatisti a s Ex e m

185

22

~ 2

nSSE

nyy

s iirez . (8.21)

e to neskreslen bodov odhad tandardnej odch lky n hodn ch ch b i v z -

kladnom s bore. ej druh mocnina 2rezs sa naz va rezidu lny rozptyl.

ozn mka 8.2

Koeficient determin cie, tandardn odch lka rez du , korigovan koeficient de-

termin cie tvoria v stup EXCELu po proced re Regresia.

8.5 Testy hypot z pou van pri vo be regresnej funkcie a) test linearity (celkov F-test)

Na za iatku na ich vah sa p tame, i v bec medzi premenn mi X a Y existuje li-

ne rna z vislos . Ak empirick daje zobraz me bodov m diagramom a body

nn yxyxyx ,,,,,, 2211 le ia v p se, ktor sa d pribli ne ohrani i dvomi

priamkami, ktor nie s rovnobe n s osou x, m eme predpoklada line rnu z -

vislos medzi X a Y. Preto sformulujeme nulov a alternat vnu hypot zu takto:

:0H Line rny model nie je tatisticky v znamn (t.j. X,Y nie s line rne z visl ).

:1H Line rny model je tatisticky v znamn (t.j. X,Y s line rne z visl ).

Na overenie platnosti H1 pou ijeme zn mu anal zu rozptylu tak, e odhad 2ys cel-

kov ho rozptylu 2 z visle premennej Y rozlo me na dve zlo ky:

n

iiy yyn

s1

22

11

1nSSE

i iiii yyyyn

22 ~~1

1

SSRSSEn 1

1 , t.j.

SSRSSEsn y21

tatisti a s Ex e m

186

N hodn premenn 2

21 ysn , 2SSE

, 2SSR maj 2 rozdelenia postupne s

1n , 2n a 1 stup om vo nosti. Podiel rozptylov 2/

1/nSSE

SSRF MSEMSR m

Fisherovo rozdelenie s 2,1 n stup ami vo nosti, kde

MSR - priemern tvorec regresie (mean square of regression),

MSE - priemern tvorec ch b (mean square of errors).

Podstata testu je v tom, e sme na li n hodn premenn , ktor je funkciou SSR

a SSE a ktorej rozdelenie pozn me. Model je t m lep , m je v ie slo F, preto

ve k hodnoty testovacej tatistiky F hovoria v prospech alternat vnej hypot zy,

teda padn do oboru zamietnutia 0H .

ver F test je len jednostrann test (pravostrann ). Nulov hypot zu zamieta-

me, ak pri zvolenej hladine v znamnosti je hodnota testovacej tatistiky

2,11 nFF , kde 1F je pr slu n kvantil F-rozdelenia s 2,1 n stup ami

vo nosti. V tomto pr pade teda prij mame alternat vnu hypot zu o line rnom

vz ahu medzi X a Y. N jden regresn priamka je vhodn typ funkcie na vyjad-

renie priebehu z vislosti.

Tab. 8.4 Celkov F-test

Hypot zy ou it rozdelenie Testovacia

tatistika Oblas

zamietnutia H0 :0H X,Y s line rne

nez visl .

:1H X,Y s line rne

z visl .

Fisherovo 2/

1/nSSE

SSRF 1FF

d.f. = 2,1 n

b) t-test o line rnej nez vislosti X, Y

Tento test je zalo en na nasleduj cej my lienke. Regresn koeficient 1B je smer-

nica regresnej priamky a vyjadruje priemern zmenu Y pri zmene X o jednu jed-

tatisti a s Ex e m

187

notku. Ak 01B , regresn priamka je rovnobe n s osou x, teda aj po zmene ne-

z visle premennej X sa nemenia hodnoty Y (presnej ie podmienen stredn hodno-

ty). Preto sa ned hovori o line rnej z vislosti X, Y.

Ak je v berov regresn koeficient 1b bl zky nule, treba overi hypot zu, i

koeficient 1B je r zny od nuly, t.j. overi hypot zu, i medzi X a Y existuje line r-

na z vislos .

0H : 01B (t.j. X,Y s line rne nez visl .)

:1H 01B (t.j. X,Y s line rne z visl .)

Na testovanie pou ijeme testovaciu tatistiku 1

11

bsBb

T , ktor m Studentovo

rozdelenie s 2n stup ami vo nosti a

ii

rez

xx

sbs

21 je tandardn od-

ch lka koeficientu 1b . Ak plat nulov hypot za, vypo tame hodnotu testovacej

tatistiky 1

1

bsb

T .

ver Nulov hypot zu zamietame, ak pri zvolenej hladine v znamnosti je

hodnota testovacej tatistiky 2,21 ntt , kde 21t je kvantil Studentovho

rozdelenia s 2n stup ami vo nosti. V tomto pr pade teda prij mame alterna-

t vnu hypot zu o line rnom vz ahu medzi X a Y.

Tab. 8.5 T-test o line rnej nez vislosti

Hypot zy ou it rozdelenie Testovacia

tatistika Oblas

zamietnutia H0 H0: 01B

H1: 0.1 1B

2. 01B

0.3 1B

Studentovo

1

1

bsb

T

ii

rez

xx

sbs

21

1. ,21tt

2. 1tt

3. 1tt

2.. nfd

tatisti a s Ex e m

188

Podobne sa d testova hypot za 0:,0: 0100 BHBH .

Test line rnej z vislosti vieme urobi tromi ekvivalentn mi sp sobmi, posledn dva s

aj v stupom EXCELu :

testova korela n koeficient

celkov F-test

testova regresn koeficient

Na rie enie regresnej lohy pon ka EXCEL nasleduj ce prostriedky.

Po vo be s roje nal a dajov Regresia a zadan dajov najsk r pre z -

visl Y, potom pre nez visl premenn X sa v tabu k ch objavia daje Tab. 8.6,

pri om niektor s zle pomenovan .

Tab. 8.6 Regresn tatistika

Tabu ka ANOVA poskytuje rozklad celkov ho rozptylu na dve zlo ky a celkov

F-test .

pomenovanie skuto n v znam N sobn R r - absol tna hodnota r Hodnota spo ahlivosti r

2 - koef. determin cie

Nastaven hodnota spo ahlivosti upraven koef. determin cie

Chyba strednej hodnoty rezs

Pozorovania n

tatisti a s Ex e m

189

Tab. 8.7 ANOVA

stupne

vo nosti SS MS F

v znamnos F

p- hodnota

Regresia 1 SSR MSR=SSR/1

Rez du n-2 SSE MSE=SSE/n-2

2rezs

Celkom n-1 SSY

hodnota

testovacej

tatistiky

:0H Line rny mo-

del nie je tatisticky

v znamn .

V porad tretia Tab. 8.8 okrem koeficientov regresnej priamky obsahuje aj t-test

pre nulovos regresn ho koeficientu 1B (druh riadok) a koeficientu 0B (prv ria-

dok).

Tab. 8.8 Testovanie koeficientov regresnej priamky

koefi- cienty

chyba strednej hodnoty

t-stat p-hodnota doln 95%

horn 95%

doln 99%

horn 99%

hranice b0 s(b0) b0 /s(b0) H0: B0=0 intervaly spo ahlivosti pre B0

X b1 s(b1) b1 /s(b1) H0: B1=0 intervaly spo ahlivosti pre B1

Posledn tabu ka obsahuje aj pre ka d prvok ix v berov ho s boru vypo tan

o ak van hodnotu iy~ a aj rez duum iii yye ~ .

r klad 8.2

V s bore Autobaz r s daje o veku a cen ch 106 ut z 3 predajn autobaz ru.

Vy etrite line rnu z vislos ceny auta od veku, pou ite daje zo v etk ch 3 pre-

dajn , n jdite rovnicu regresnej priamky, na hladine v znamnosti 05,0 otestuj-

te tatistick v znamnos line rneho modelu.

V pr klade po vo be s roje nal a dajov Regresia dostaneme nasledu-

j ce v stupn tabu ky:

tatisti a s Ex e m

190

tabuliek vypl va:

Absol tna hodnota korela n ho koeficientu je 675,0r , regresn koefi-

cient je ( 19,649). Korela n koeficient m rovnak znamienko ako re-

gresn koeficient, preto je korela n koeficient 675,0r , o interpretu-

jeme ako nepriamu, miernu line rnu z vislos .

Koeficient determin cie je 455,02r , tzn. len 45,5 % variability ceny ut

sa d vysvetli line rnym vz ahom s vekom ut.

Neskreslen odhad koeficientu determin cie v z kladnom s bore je slo 0,4502.

p-hodnota pre celkov F-test je 2,14 .10-15, o je ve mi mal slo. Na v etk ch be n ch hladin ch v znamnosti zamietame nulov hypot zu, pri-

j mame alternat vnu hypot zu, e dan model je tatisticky v znamn , t.j.

premenn s line rne z visl .

Rovnica vyrovn vaj cej regresnej priamky je 95,233649,19 xy .

e esn st tistiN sobn R 0,675Hodnota spolehlivosti R 0,455Nastaven hodnota spolehlivosti R 0,450Chyba st . hodnoty 24,489

ozorov n 106

ANOVAo n nost

Regrese 1 52163,363 52163 86,98364 2,14942E-15Rezidua 104 62367,931 599,7Celkem 105 114531,294

Koeficienty Chyba st . hodnoty t stat Hodnota oln 95 Horn 95 oln 99 Horn 99Hranice 233,951 8,279 28,257 1,325E-50 217,533 250,369 212,226 255,676vek -19,649 2,107 -9,327 2,1494E-15 -23,827 -15,471 -25,178 -14,121

tatisti a s Ex e m

191

489,24rezs , tzn. skuto n ceny ut sa odchy uj od hodn t regresnej

priamky pribli ne o 5,24 tis c kor n.

p-hodnota pri t-teste hypot zy 0: 10 BH oproti 0: 11 BH je to ist mal

slo 2,14 .10-15, preto na ka dej be nej hladine v znamnosti prij mame al-

ternat vnu hypot zu, e premenn s line rne z visl .

8.6 ou itie regresnej priamky Regresn priamku xbby 10~ pova ujeme za bodov odhad strednej hodnoty

z visle premennej Y a m eme ju pou i na

bodov odhad hodnoty Y pre jednu konkr tnu hodnotu X ,

bodov odhad priemernej hodnoty Y pre ist rove znaku X, ale len na in-

tervale maxmin x,x .

Napr klad, m eme o ak va , e cena jedn ho 2 ro n ho auta je

y = 233,95 19,65.2 = 194,65 tis c Sk.

e to z rove priemern cena v etk ch dvojro n ch ut.

ozn mka 8.3

Vieme v ak ur i aj :

100(1- )% interval spo ahlivosti pre koeficient B0 :

02,210 . bstb n 0B 02,210 . bstb n ,

100(1- )% interval spo ahlivosti pre koeficient B1:

12,211 . bstb n 1B 12,211 . bstb n ,

100(1- )% interval spo ahlivosti pre priemern hodnotu Y v z kladnom

s bore pre dan konkr tnu hodnotu ix , ozna me ju ixy a plat

ini stxbb .)( 2,2110 ixy ini stxbb .)( 2,2110 ,

tatisti a s Ex e m

192

kde

ii

irezi

xx

xxn

ss 2

21. je tandardn odch lka vyrovnan ch hodn t

ii xbby 10~ . rka tohto intervalu je in pre ka d ix a roz iruje sa so vz a-

ovan m ix od .x

100(1- )% interval spo ahlivosti pre individu lnu hodnotu Y v z kladnom

s bore pre dan konkr tnu hodnotu ix , ozna me ju ixY a plat

ini stxbb .)( 2,2110 ixY ini stxbb .)( 2,2110 ,

kde 11. 2

2

ii

irezi

xx

xxn

ss je tandardn odch lka individu lnych

hodn t premennej Y. rka tohto intervalu je v ia ako pre odhad stabilnej-

ej priemernej hodnoty.

v stupn ch tabuliek pre Regresiu sa d pre n Pr klad 8.2 ur i :

95% interval spo ahlivosti pre B0 : 36,25053,217 0B ,

95% interval spo ahlivosti pre B1 : 47,1583,23 1B ,

Podobne z tabuliek s zn me 99% intervaly spo ahlivosti pre B0 a B1.

95% interval spo ahlivosti pre priemern cenu 2 ro n ho auta mus me dopo ta

bez EXCELu.

764,3x , 112,322

x , i

i xx 104,1352

180,021 2

2

ii xx

xn

489,24rezs , 983,12,21 nt , 652,1942.~ 102 bby

tatisti a s Ex e m

193

maxim lne pr pustn chyba odhadu je teda 750,8.2,21 in st , preto 95% in-

terval spo ahlivosti pre priemern cenu 2 ro n ho auta je 750,8652,194 ti-

s c Sk.

ozn mka 8.4

pravami bodov ho diagramu v EXCELi sa d do grafu vlo i regresn kriv-

ka, rovnica regresnej krivky i koeficient determin cie. Klikneme prav m tla-

idlom na niektor bod grafu, zvol me Prida rendov iaru, na z lo ke

yp line rny a na z lo ke o nos i o ra i v grafe rovnicu regresnej

priamky a R2.

Obr. 8.4 pravy bodov ho grafu

8.7 redpoklady pre pou itie met dy najmen ch tvorcov Met da najmen ch tvorcov d va neskreslen odhad regresnej priamky pri splne-

n ist ch predpokladov o rozdelen pravdepodobnosti n hodn ch ch b i v modeli

iii xBBy 10 .

S to tieto predpoklady:

y = -19,649x + 233,95R2 = 0,4555

0

100

200

300

0 2 4 6 8vek

tatisti a s Ex e m

194

Stredn hodnota n hodn ch ch b je nula.

Rozptyl n hodn ch ch b je kon tantn .

Rozdelenie pravdepodobnosti n hodn ch ch b je norm lne .

N hodn chyby s medzi sebou vz jomne nez visl . Splnenie t chto predpokladov sa d overi a po zvolen regresn ho modelu, lebo

a vtedy s zn me rez du , ktor s odhadmi n hodn ch ch b. ch splnenie sa pri-

bli ne over graficky zostrojen m histogramu rozdelenia rez du a z bodov ho dia-

gramu hodn t (yi , ei). Podrobnej ie sa tomuto probl mu nebudeme venova (po-

zri [6]).

8.8 n typy regresn ch funkci Line rna regresn funkcia je v aka ahkej interpret cii preferovan pred in mi

typmi, ale niekedy z povahy probl mu vypl va, e pre popis danej z vislosti by

bola vhodnej ia in regresn funkcia. Uvedieme niektor in modely.

arabolick regresia Regresn funkcia je tvaru 2210 xBxBB , bodov od-

hady koeficientov z skame priamo pou it m met dy najmen ch tvorcov, t.j.

h adan m minima funkcie troch premenn ch 21

2 ~ii

n

ii yye , kde

2210

~iii xbxbby .

ov eobecnen m m e by polynomick regresia vy ieho stup a, v praxi sa stre-

t vame s polyn mami maxim lne 3. a 4. stup a.

Hyperbolick regresia Regresn funkcia je tvaru x

BB 10 . Bodov odhady

koeficientov z skame tie priamo pou it m met dy najmen ch tvorcov.

Logaritmick regresia Regresn funkcia je tvaru xBB log10 . Bodov odha-

dy koeficientov z skame priamo pou it m met dy najmen ch tvorcov.

tatisti a s Ex e m

195

E ponenci lna regresia Regresn funkcia je tvaru xBB 10 . Bodov odhady

koeficientov sa nedaj z ska priamo pou it m met dy najmen ch tvorcov.

Vhodnou pravou (transform ciu) regresnej funkcie ju uprav me na tak tvar, kde

funkcie jej parametrov sa daj odhadn met dou najmen ch tvorcov. V tomto

pr pade logaritmovan m dostaneme :

10 lnlnln BxB

a budeme h ada minimum funkcie 210 lnlnln bxby ii .

n mym sp sobom pou ijeme parci lne deriv cie tejto funkcie a ako rie enie s s-

tavy z skame 0lnb a 1lnb .

ozn mka 8.5

Podobne postupujeme aj v pr pade in ch typov funkci , ktor m sa v ak nebudeme

venova .

Pri v bere vhodn ho typu regresnej funkcie sa v EXCELi orientujeme pod a

hodnoty koeficientu determin cie, ktor je definovan nez visle na type regresnej

funkcie.

r klad 8.3

Pracovn k person lneho oddelenia c ti, e existuje vz ah medzi po tom dn absen-

cie v pr ci a vekom pracovn ka. Vy etrite t to z vislos na z klade dajov v Tab.

8.9. Pre n zornos pr kladu sme pou ili nevyhovuj ci, ve mi mal rozsah v beru.

Tab. 8.9

vek 27 61 37 23 46 58 29 36 64 40

absencia 15 6 10 18 9 7 14 11 5 8

tatisti a s Ex e m

196

S vy it m EXCELu vieme vlo i do bodov ch diagramov graf regresnej iary,

EXCEL poskytuje na v ber line rnu, logaritmick , exponenci lnu, polynomick

( ubovo n ho stup a) alebo mocninov krivku s jej analytick m vyjadren m

i koeficientom determin cie. V tomto pr klade vid me, e z viacer ch mo n ch

rie en je najvhodnej ia parabola s najv m koeficientom determin cie. S m rie-

ite lohy sa mus rozhodn , ktor z t chto mo n ch modelov je pre jeho potre-

by vyhovuj ci.

y = 0,008x2 - 0,9752x + 35,645R2 = 0,9604

0

5

10

15

20

20 30 40 50 60 70vek

abse

ncia

y = -0,2681x + 21,587R2 = 0,8696

0

5

10

15

20

20 30 40 50 60 70vek

abse

ncia

y = 30,07e-0,0273x

R2 = 0,9341

0

5

10

15

20

20 30 40 50 60 70vek

abse

ncia

y = -11,482Ln(x) + 52,599R2 = 0,9367

0

5

10

15

20

20 30 40 50 60 70vek

abse

ncia

Obr. 8.5 R zne modely regresn ch funkci k Pr kladu 8.3

Ak sa podrobnej ie zauj mame aj o celkov F-test tatistickej v znamnosti modelu,

t-testy nulovosti koeficientov regresnej funkcie, o intervalov odhady koeficientov re-

gresnej funkcie pou ijeme v EXCELi funkciu Regresia, kde do vstupnej tabu ky pre

tatisti a s Ex e m

197

nez visl premenn vlo me viac st pcov . V stupn tabu ky pre n pr klad s uvede-

n pre parabolick regresiu, interpret cia tabuliek je rovnak ako pri line rnej regresii.

Tab. 8.10 Kvadratick regresia k Pr kladu 8.3

abs vek vek na druh15 27 7296 61 3721

10 37 136918 23 5299 46 21167 58 3364

14 29 84111 36 12965 64 40968 40 1600

V LE EK

e esn st tistiN sobn R 0,9800Hodnota spolehlivosti R 0,9604Nastaven hodnota spolehlivosti R 0,9491Chyba st . hodnoty 0,9516

ozorov n 10

ANOVAo n nost

Regrese 2 153,7611 76,8805 84,8979 1,23507E-05Rezidua 7 6,3389 0,9056Celkem 9 160,1000

Koeficienty Ch.st . ho noty t st t o not on o nHranice 35,645 3,638 9,799 0,0000 27,043 44,247vek -0,975 0,178 -5,484 0,0009 -1,396 -0,555vek na druhu 0,008 0,002 4,006 0,0052 0,003 0,013

r klady na precvi enie

8.4 ostrojte bodov diagram z vislosti znakov Y na X pre dan v berov s bo-

ry a dan premenn , vlo te do grafu rovnicu regresnej priamky, hodnotu

koeficientu determin cie, vytvorte korela n maticu, pomocou t-testu na

tatisti a s Ex e m

198

hladine v znamnosti 05,0 otestujte line rnu z vislos premenn ch, do

grafu vlo te in typ regresnej krivky.

a) PR MAC E SK KY/1.fakulta, X-matematika, Y- fyzika

Ur ite, ak priemern po et bodov dosiahne tudent z fyziky, ak

z matematiky z skal 15 bodov (21 bodov).

b) PR MAC E SK KY/2.fakulta, X-matematika, Y- fyzika.

Ur ite, ak priemern po et bodov dosiahne tudent z fyziky, ak

z matematiky z skal 15 bodov (21bodov).

c) PR MAC E SK KY/1.fakulta, X-matematika (upr.) Y- priemer

Ur ite, ak priemern zn mku dosiahne tudent po 2.semestri, ak zo sk -

ky z matematiky (up r) mal zn mku 3,2 (2).

d) PR MAC E SK KY/2.fakulta, X-matematika, Y- priemer.

Ur ite, ak priemern zn mku dosiahne tudent po 2.semestri, ak zo sk ky

z matematiky (upr) mal zn mku 3,2 (2).

8.5 Pomocou n stroja Regresia vy etrite line rnu z vislos znakov X, Y

v z kladn ch s boroch, ur ite korela n koeficient, koeficient determin -

cie, n jdite rovnicu regresnej priamky, na hladine v znamnosti

05,0 pomocou celkov ho F-testu, alebo t-testu pos te v znamnos

tatistick ho modelu, n jdite pr slu n intervaly spo ahlivosti pre koefi-

cienty regresnej priamky.

a) PR MAC E SK KY/1.fakulta, X-matematika, Y- fyzika,

b) PR MAC E SK KY/2.fakulta, X-matematika, Y- fyzika.