Stavový popis dynamických systémů (Vnitřní popis)

Úvod

Přenosová funkce popisuje pouze vztah mezi vnějšími proměnnými:

• Vstupní proměnné U(p)

• Výstupní proměnné Y(p)

U tohoto přístupu musíme předpokládat nulové počáteční podmínky.

Stavová reprezentace popisuje systém použitím nejen vstupních a výstupních proměnných, ale i pomocí vnitřních – stavových proměnných. Tento přístup je založen na:

1) Popis probíhá v časové oblasti a můžeme předpokládat libovolné nenulové počáteční podmínky.

2) Diferenciální rovnice vyšších řádů jsou převedeny na soustavu diferenciálních rovnic prvního řádu.

3) Tato metoda je výhodná pro systémy s více vstupy a více výstupy (tzv. MIMO systémy) a pro analýzu nelineárních systémů. 

4) Proto je stavový popis univerzálnější než popis pomocí přenosové funkce.

Stavový popis ‐ příklad

1. Mechanický systém

Diferenciální rovnice: 

Může být přepsána:

Pro systém druhého řádu potřebujeme dvě stavové proměnné x1(t) a x2(t).Výběr proměnných – Doporučuje se, aby byly fyzicky měřitelné.Jako stavové proměnné v tomto případě volíme:  dráhu:  x1(t) = x(t)    

rychlost:   x2(t) = v(t)

)(1-(t)-(t)-(t))(1---2

2

tFm

xmDv

mBatF

mx

mD

dtdx

mB

dtxd

· · · · · ·

Stavová reprezentace ‐ příklad

Popis těmito rovnicemi je nazýván stavová reprezentace systému.Dynamické chování systému je dáno dvěma stavovými proměnnými x1(t) = x(t) a x2(t) = v(t).V každém časovém okamžiku t > t0, je stav systému dán hodnotami  x1(t) a x2(t), proto jsou Veličiny x1(t) a x2(t) nazývány stavové proměnné.

Vztah mezi stavovými proměnnými je v našem příkladu definován dvěma diferenciálními rovnicemi prvního řádu.

Ke stavovým rovnicím patří rovněž rovnice pro výstupní veličinu y(t).

1· ·

Stavová reprezentace ‐ příklad

Stavový model, jinými slovy soustava diferenciálních rovnic může být rovněž vyjádřena v maticovém

tvaru.

Obecná reprezentace stavového modelu v maticovém tvaru je vyjádřena následujícím způsobem:

0 1·

01 ·

1 0 · 0 ·

· ·

· ·

Kde:x je stavový prostor (n x 1), jednoduše řečeno stav; časová derivace je znázorněna tečkou nad 

písmenemu je vstup, nebo‐li vektor řízeníy je výstupA je matice soustavy, matice dynamiky systému, vlastní čísla matice A jsou póly systému, póly      

přenosové funkceB je matice vstupůC je matice výstupůD je matice přímých vazeb vstupu na výstup, často bývá rovna nule.

Pokud uvažujeme model s jedním vstupem a jedním výstupem(tzv. SISO model):u, y jsou skaláryB je sloupcový vektor (n x 1)C je řádkový vektor (1 x n)A je čtvercová matice (n x n )D je skalár

Stavová reprezentace ‐ příklad

Blokový diagram stavových rovnic.

· ·

· ·

Stavový popis z přenosové funkce

• Stavový popis systému je možno získat různým způsobem.

• Proto odpovídající popis stavovými rovnicemi může být zapsán různými formami.

• Toto je demonstrováno na následujícím příkladu.

• Je dána přenosová funkce

Popis ve stavovém prostoru provedeme dvěma způsoby. Tím získáme dvě různé vnitřní formy popisu.

1. Frobeniova kanonická forma – přímé programování2. Jordanova kanonická forma – paralelní programováníDynamické vlastnosti systému zůstanou zachovány.

24p26p9p1p2

)p(U)p(Y)p(G 23

Frobeniova kanonická forma

Odpovídající diferenciální rovnice je třetího řádu, proto potřebujeme 3 stavové proměnné.

Volba stavových proměnných a stavových rovnic bude vypadat takto:

K nim připojíme rovnici pro výstupní veličinu.

24p26p9p1p2

)p(U)p(Y)p(G 23

)(2)()( 21 txtxty

24 26 9

Frobeniova kanonická forma

Stavový model v maticovém tvaru:

D =[ 0 ]

92624100010

A

100

B 021C

0 1 00 0 124 26 9

·001·

y 1 2 0 ·

Frobeniova kanonická formaK vykreslení blokového diagramu potřebujeme tři integrátory, několik sumátorů a zesílení.

Výstup z každého integrátoru je stavová proměnná.

2426912)( 23

pppppG

)()(4)()()(3)()()(2)(

33

22

11

tutxtxtutxtxtutxtx

Jordanova kanonická forma

Jordanovu kanonickou formu získáme rozkladem přenosové funkce na parciální zlomky.

Volba stavových proměnných x1, x2, x3pro Jordanův tvar

→

42/1

31

22/1

2426912

)()()( 23

ppppppp

pUpYpG

Jordanova kanonická forma

Výstupní veličinu y(t) získáme:

Stavový model v maticové formě:

)(21)()(

21)(

)(21)()(

21)(

)()(

21

)()(

)()(

21

)()()(

321

321321

txtxtxty

pXpXpXpYpUpX

pUpX

pUpX

pUpYpG

400030002

A

111

B 2/112/1 C

Jordanova kanonická forma

Blokový diagram v Jordanově formě vede na paralelní spojení všech základních článků.

Závěr

• Neexistuje jediná jednoznačná reprezentace stavového modelu.• Charakteristický polynom v obou případech je identický.• Vlastní čísla matice A jsou póly přenosové funkce. V obou případech jsou identické.

• To znamená, že dynamické chování v obou případech je identické.• Tento případ potvrzuje, že různé matematické popisy mohou poskytovat stejnou informaci.

Popis systému v Matlabu.

• ss – stavový popis (dán maticemi A,B,C,D)

• zf – popis pomocí přenosové funkce (dán pomocí polynomu v čitateli a polynomu ve jmenovateli)

• zp – popis pomocí nul a pólů (dán vektory z a p)

Konverze jednotlivých popisů v Matlabu:• [A,B,C,D] = tf2ss(num,den)

• [A,B,C,D] = zp2ss(zero,pole)

• [num,den] = ss2tf(A,B,C,D)

• [num,den] = zp2tf(zero,pole)

Řešený příkladOdvoďte stavový popis ve Frobeniově tvaru.

Řešení: pro m = n

1. Snížení řádu polynomu v čitateli:

2. Stavové rovnice:

3.     Stavové rovnice v maticovém tvaru:    

532134)( 2

2

pppppG

2/52/32/92/32

532932

532134)( 222

2

pp

ppp

ppppppG

22/32/910

2/32/510

DCBA

Řešený příklad4. Stavový diagram:

5. Matice D=[2] představuje přímou vazbu vstupu na výstup.

Příklady1. Vytvořte stavový popis, stavové matice a stavová diagram ve Frobeniově tvaru.

Systém je dán diferenciální rovnicí.

2.   Vytvořte stavový popis v Jordanově tvaru. Použijte metodu paralelního programování.

udtduy

dtdy

dtyd 3432

2

213

)()()(

pp

ppUpYpG

Vztah mezi stavovým popisem a přenosovou funkcí.Stavové rovnice:

Provedeme Laplaceovu transformaci obou stran rovnic:

Podle definice je počáteční podmínka x(0) = 0:

Provedeme substituci X(p) do Y(p):

)()()()()()0()(

pUDpXCpYpuBpXAxpXp

matrixtransitionstatecalledisApIpwherepUBApIpX

1

1

)()()()()(

matrixfunctiontransferisBApICpG

DifDBApICpGwhere

pUDBApICpY

1

1

1

0)()()()(

)()()(

Příklady

1. Odvoďte matici přechodu a přenosovou funkce pro systém daný stavovými rovnicemi:

2. Odvoďte matici přechodu.

Opakování

• Hlavní rozdíly mezi vnitřním(stavovým) a vnějším popisem systému.• Formy vnitřního popisu?• Napište stavové rovnice v obecné formě.• Co představuje vektor x.• Co představuje matice A.• Kdy je matice D ≠ 0.• Jak spočítáme póly systému z matice A.• Jak spočítáme přenosovou funkce z matic A,B,C,D.

Literatura

[1] Manke, B., S.: Linear Control Systems with Matlab Applications, Khanna Publishers, 2009.

ISBN: 81‐7409‐107‐6

[2] Chi‐Tsong Chen: System and Signal Analysis, Saunders College Publishing

[3] Matlab&Simulink: R2015a

Autorská práva/copyright

Uveřejněné materiály jsou určeny studentům Vysoké školy chemicko‐technologické v Prazejako studijní materiál. Některá textová i obrazová data v nich obsažená jsou převzata zveřejných zdrojů. V případě nedostatečných citací nebylo cílem autora/ů záměrně poškoditevent. autora/y původního díla. S eventuálními výhradami se prosím obracejte na autora/ykonkrétního výukového materiálu, aby bylo možné zjednat nápravu.

The published materials are intended for students of the University of Chemistry andTechnology, Prague as a study material. Some text and image data contained therein aretaken from public sources. In the case of insufficient quotations, the author's intention wasnot to intentionally infringe the possible author(s) rights to the original work.If you have any reservations, please contact the author(s) of the specific teaching materialin order to remedy the situation.