Teorie her a ekonomické rozhodování

Teorie her a ekonomické

rozhodování

8. Vyjednávací hry

8. Vyjednávání

• Teorie her

– Věda o řešení konfliktů

– Ale také věda o hledání vzájemně výhodné

spolupráce

• Teorie vyjednávání

– Odvětví teorie her – dohoda o spolupráci

– Zabývá se vyjednávací hrou (vyjednávacím

problémem)

2Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

8.1 Nashovo vyjednávací řešení

• John Nash v letech 1950 a 1953

publikoval články o axiomatickém

přístupu k řešení vyjednávací hry

• Sestavil soubor axiomů

• Ukázal, že existuje jediné řešení, které

tyto axiomy splňuje

= Nashovo vyjednávací řešení3Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.


• Ve vyjednávací hře předpokládáme

– Existuje množina přípustných dohod

– Existuje bod nedohody (hráči se nedohodnou)

• Hráči hledají lepší řešení než nedohodu

• Bod nedohody je před vyjednáváním

známý

– příp. lze určit na základě maximinové či

rovnovážné zaručené výhry



• Vyjednávací problém je charakterizován:

– Množinou hráčů 𝑵 = {1, 2, … , 𝑁}

• Pro jednoduchost uvažujme 2 hráče, N = 2

– Množinou přípustných dohod (množinou

přípustných řešení)

– Bodem nedohody

– Množinou užitkových funkcí, které každé

přípustné dohodě i bodu nedohody přiřadí

užitek pro i-tého hráče



• Předpokládáme dále

– Hráči jsou racionální

– Hráči maximalizují svůj užitek

– Hráči dokonale navzájem znají své užitkové

funkce

• Uvažujeme vyjednávací hru s 2 hráči

– Užitková funkce 1. hráče u(x) … reálné číslo

– Užitková funkce 2. hráče v(y) … reálné číslo



• Nashovo vyjednávací řešení (𝑥∗, 𝑦∗)

– Užitek 1. hráče 𝑢(𝑥∗)

– Užitek 2. hráče 𝑣(𝑦∗)

• Bod nedohody (𝑥𝑜, 𝑦𝑜)

– Užitek 1. hráče 𝑢(𝑥𝑜)

– Užitek 2. hráče 𝑣(𝑦𝑜)



• Na základě von Neumannovy a

Morgensternovy teorie užitečnosti Nash

stanovil následující axiomy:

1. Paretovská efektivnost

2. Symetrie

3. Nezávislost na měřítku

4. Nezávislost na irelevantních alternativách



• Příklad 1 – ukázka významu axiomů

– Hru hrají dva hráči

– Mají si mezi sebe jakkoliv rozdělit částku 2 Kč

– Pokud se nedohodnou, dostane každý 0 Kč

• Bod nedohody

– Pro jednoduchost předpokládejme, že užitek

obou hráčů odpovídá finančnímu zisku

• 𝑢 𝑥 = 𝑥

• 𝑣 𝑦 = 𝑦


Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 10

𝑢 𝑥

𝑣 𝑦2

2

0

0

Bod nedohody

Množina přípustných dohod

P


• Paretovská efektivnost

– Vyjadřuje maximalizaci užitku obou hráčů

– Řešení, které je dominované nemůže být

vyjednávacím řešením

– Nechť 𝑥1, 𝑦1 a 𝑥2, 𝑦2 jsou libovolné

přípustné dohody vyjednávacího problému P

– Pokud 𝑢 𝑥1 > 𝑢 𝑥2 a 𝑣 𝑦1 > 𝑣 𝑦2 pak

𝑥2, 𝑦2 nemůže být vyjednávacím řešením

problému P



𝑢 𝑥

𝑣 𝑦2

2

0

0

Bod nedohody


Paretovsky efektivní řešení

P

𝑥1, 𝑦1

𝑥2, 𝑦2

𝑥𝑒 , 𝑦𝑒


• Symetrie

– Problém P je symetrický, pokud

• 𝑢 𝑥 , 𝑣 𝑦 a 𝑣 𝑦 , 𝑢 𝑥 jsou prvky

vyjednávacího problému P

• pro bod nedohody platí 𝑢 𝑥𝑜 = 𝑣 𝑦𝑜



𝑢 𝑥

𝑣 𝑦2

2

0

0

Bod nedohody



Symetrie

P

𝑥, 𝑦

𝑢(𝑥)

𝑣(𝑦)

𝑣(𝑦)

𝑢(𝑥)

𝑢 𝑥𝑜 = 𝑣 𝑦𝑜 = 0


• Symetrie

– Problém P je symetrický, pokud

• 𝑢 𝑥 , 𝑣 𝑦 a 𝑣 𝑦 , 𝑢 𝑥 jsou prvky


• pro bod nedohody platí 𝑢 𝑥𝑜 = 𝑣 𝑦𝑜

– Pokud je P symetrický, pak pro Nashovo

rovnovážné řešení platí 𝑢 𝑥∗ = 𝑣 𝑦∗

• Oba hráči mají stejné vyjednávací schopnosti



𝑢 𝑥

𝑣 𝑦2

2

0

0

Bod nedohody



Symetrie

P

Nashovo vyjednávací řešení

leží na ose symetrie

𝑥, 𝑦

𝑢(𝑥)

𝑣(𝑦)

8.1 Nashovo vyjednávací řešení• Nezávislost na měřítku

– Nechť 𝑥∗, 𝑦∗ je vyjednávací řešení


– Pokud transformujeme původní problém P na

nový problém Q pomocí nových užitkových

funkcí 𝑢𝑁 𝑥 = 𝑎𝑢 𝑥 + 𝑏

𝑣𝑁 𝑦 = 𝑐𝑣 𝑦 + 𝑑

– Pak vyjednávacím řešením problému Q bude

opět 𝑥∗, 𝑦∗ s užitky 𝑢𝑁 𝑥∗ = 𝑎𝑢 𝑥∗ + 𝑏𝑣𝑁 𝑦∗ = 𝑐𝑣 𝑦∗ + 𝑑



𝑢 𝑥

𝑣 𝑦2

2

0

0

Bod nedohody

Symetrie

P


𝑢𝑁 𝑥 = 𝑥

𝑣𝑁 𝑦 = 2𝑦 … nesymetrie → 𝒗(𝒚) = 𝟎, 𝟓𝒗𝑵 𝒚


𝑥, 𝑦 Množina přípustných dohod

1

1

8.1 Nashovo vyjednávací řešení• Nezávislost na irelevantních alternativách

– Nechť vyjednávací problém Q je podmnožinou


– Jestiže 𝑥∗, 𝑦∗ je vyjednávací řešení problému

P

– A zároveň je přípustným řešením problému Q

(leží v Q)

– Pak 𝑥∗, 𝑦∗ je také vyjednávacím řešením

problému Q



𝑢 𝑥

𝑣 𝑦2

2

0

0

Bod nedohody



Symetrie

PQ




• Řešení, které splňuje uvedené 4 axiomy

• Hledáme řešení s nejvyšší hodnotou tzv.

Nashova součinu

𝒖 𝒙∗ − 𝒖 𝒙𝒐 ∙ 𝒗 𝒚∗ − 𝒗 𝒚𝒐



Příklad 1:

𝑢 𝑥∗ − 𝑢 𝑥𝑜 ∙ 𝑣 𝑦∗ − 𝑣 𝑦𝑜

= 𝑢 1 − 𝑢 0 ∙ 𝑣 1 − 𝑣 0= 1 − 0 ∙ 1 − 0 = 1

• Lze ukázat, že to je nejvyšší možná

hodnota, pokud 𝑢 𝑥 + 𝑣 𝑦 = 2

• V tomto případě hledáme maximum

𝑢 𝑥∗ − 0 ∙ 𝑣 𝑦∗ − 0 = 𝑢 𝑥∗ ∙ 𝑣 𝑦∗



𝑢 𝑥

𝑣 𝑦2

2

0

0

Bod nedohody

P

8.2 Příklady

Příklad 2: Bill a Jack směňují věci

• Zdroj: J. F. Nash, The Bargaining Problem.

Econometrica, 1950

• Dva kamarádi: Bill a Jack

• Bill: knížka, káča, míč, pálka, krabička

• Jack: psací pero, hračka, nůž, čapka


8.2 Příklady


Užitek pro Billa Užitek pro Jacka

Billovy věci Knížka 2 4

Káča 2 2

Míč 2 1

Pálka 2 2

Krabička 4 1

Jackovy věci Psací pero 10 1

Hračka 4 1

Nůž 6 2

Čapka 2 2A teď Vy!

𝒖 𝑩𝒐 = 𝟏𝟐 𝒖 𝑱𝒐 = 𝟔

8.2 Příklady

Příklad 2: Bill a Jack směňují věci

• Jakého nejvýhodnějšího řešení mohou

chlapci dosáhnout?

• Kolik je Nashův součin pro Vaši výměnu?



8.2 Příklady


Užitek pro Billa Užitek pro Jacka

Billovy věci Knížka 2 4

Káča 2 2

Míč 2 1

Pálka 2 2

Krabička 4 1

Jackovy věci Psací pero 10 1

Hračka 4 1

Nůž 6 2

Čapka 2 2

𝒖 𝑩𝒐 = 𝟏𝟐 𝒖 𝑱𝒐 = 𝟔𝒖 𝑩∗ = 𝟐𝟒 𝒖 𝑱∗ = 𝟏𝟏

Kolik je Nashův součin?


= 𝟐𝟒 − 𝟏𝟐 𝟏𝟏 − 𝟔 = 𝟔𝟎

Máte víc?

8.2 Příklady

Příklad 3: Aleš a Bert investují

• Zdroj: Fiala a kol. Kvantitativní ekonomie,

1994

• Dva kamarádi: Aleš a Bert

• Riskantní investice 60 Kč

• Při úspěchu výdělek 160 Kč (zisk 100 Kč)

• Při neúspěchu výdělek 0 Kč (ztráta 60 Kč)

• Obě možnosti s pravděpodobností 50 %28Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

8.2 Příklady


• Investice je nabídnuta nejdříve Alešovi

• 𝑢 𝑥 = 𝑥 pro 𝑥 > −204𝑥 + 60 jinak

• x označuje výnos z investice

• Aleš citelně nese ztrátu větší než 20 Kč

• Má Aleš investici přijmout?


8.2 Příklady


• 𝑢 𝑥 = 𝑥 pro 𝑥 > −204𝑥 + 60 jinak

• 𝒖 𝒙 = 0,5 ∙ 𝑢 100 + 0,5 ∙ 𝑢 −60 =0,5 ∙ 100 + 0,5 ∙ −4 ∙ 60 + 60 = 50 +0,5 ∙ −180 = 50 − 90 = −𝟒𝟎

• Aleš by nabídku přijmout neměl

• Při odmítnutí bude mít 𝑢 𝑥 = 030Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

8.2 Příklady


• Investice je tedy nabídnuta Bertovi

• 𝑣 𝑦 = 𝑦 pro 𝑦 > −303𝑦 + 60 jinak

• y označuje výnos z investice

• Bert nese ztrátu lépe než Aleš

• Má Bert investici přijmout?


8.2 Příklady


• 𝑣 𝑦 = 𝑦 pro 𝑦 > −303𝑦 + 60 jinak

• 𝒗 𝒚 = 0,5 ∙ 𝑣 100 + 0,5 ∙ 𝑣 −60 =0,5 ∙ 100 + 0,5 ∙ −3 ∙ 60 + 60 = 50 +0,5 ∙ −120 = 50 − 60 = −𝟏𝟎

• Také Bert by nabídku přijmout neměl

• Při odmítnutí bude mít 𝑣 𝑦 = 032Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

8.2 Příklady


• Bert navrhne Alešovi společnou investici v poměru 60:40 (náklady i výnosy)

• Bert zaplatí 60 % nákladů (0,6 ∙ 60 = 36)

• Aleš zaplatí 40 % nákladů (0,4 ∙ 60 = 24)

• Výnosy rozdělí ve stejném poměru

• Má Aleš na dohodu přistoupit?


8.2 Příklady


• Aleš (investice: 24, výnos: 0,4.160=64)

• 𝑢 𝑥 = 𝑥 pro 𝑥 > −204𝑥 + 60 jinak

• 𝒖 𝒙 = 0,5 ∙ 𝑢 40 + 0,5 ∙ 𝑢 −24 = 0,5 ∙40 + 0,5 ∙ −4 ∙ 24 + 60 = 20 + 0,5 ∙−36 = 20 − 18 = 𝟐

• Při odmítnutí bude mít 𝑢 𝑥 = 034Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

8.2 Příklady


• Bert (investice: 36, výnos: 0,6.160=96)

• 𝑣 𝑦 = 𝑦 pro 𝑦 > −303𝑦 + 60 jinak

• 𝒗 𝒚 = 0,5 ∙ 𝑣 60 + 0,5 ∙ 𝑣 −36 = 0,5 ∙60 + 0,5 ∙ −3 ∙ 36 + 60 = 30 + 0,5 ∙−48 = 30 − 24 = 𝟔

• Při odmítnutí bude mít 𝑣 𝑦 = 035Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

8.2 Příklady


• Aleš: 𝑢 𝑥 = 2

• Bert: 𝑣 𝑦 = 6

• Má Aleš nabídku přijmout?

• Kolik je Nashův součin?

• Co by se stalo, kdyby

– Aleš vložil 20 Kč a v případě výhry získá 50

– Bert vložil 40 Kč a získá 110 Kč36Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

2 − 0 6 − 0 = 12

8.2 Příklady


• Aleš: investice 20, výnos 50

• 𝑢 𝑥 = 𝑥 pro 𝑥 > −204𝑥 + 60 jinak

• 𝒖 𝒙 = 0,5 ∙ 𝑢 30 + 0,5 ∙ 𝑢 −20 = 0,5 ∙30 + 0,5 ∙ −4 ∙ 20 + 60 = 15 + 0,5 ∙−20 = 15 − 10 = 𝟓


8.2 Příklady


• Bert: investice 40, výnos 110

• 𝑣 𝑦 = 𝑦 pro 𝑦 > −303𝑦 + 60 jinak

• 𝒗 𝒚 = 0,5 ∙ 𝑣 70 + 0,5 ∙ 𝑣 −40 = 0,5 ∙70 + 0,5 ∙ −3 ∙ 40 + 60 = 35 + 0,5 ∙−60 = 35 − 30 = 𝟓


8.2 Příklady


• Aleš: investice 20, výnos 50𝒖 𝒙 = 𝟓

• Bert: investice 40, výnos 110𝒗 𝒚 = 𝟓

• Kolik je Nashův součin?

• Měl tedy Aleš nabídku 60:40 přijmout?


5 − 0 5 − 0 = 25

8.2 Příklady


• Měl tedy Aleš nabídku 60:40 přijmout?

• Nikoliv. Vhodným vyjednáváním může

Aleš získat více.

– Původní nabídka vedla k očekávanému užitku 2

– Nashovo vyjednávací řešení má pro Aleše

očekávaný užitek 5


8.2 Příklady


• Pro tento příklad neexistuje řešení s vyšším

Nashovým součinem než 25

• Aleš: investice 20, výnos 50, 𝒖 𝒙 = 𝟓

• Bert: investice 40, výnos 110, 𝒗 𝒚 = 𝟓

• Aleš investuje třetinu a získá 31,25 %

(méně než třetinu)

• Je to logické?41Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

8.2 Příklady


• Bert nevnímá ztráty tak citlivě jako Aleš

• Do investice tedy dává vyšší částku (dvě

třetiny počáteční investice)

• Má tedy lepší vyjednávací pozici

• Může požadovat více než dvě třetiny

výnosu


KONEC43Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

Date post:	24-Feb-2022
Category:	Documents
Upload:	others
View:	7 times
Download:	0 times

Teorie her a ekonomické rozhodování

Documents