Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava
Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia
Průřezové charakteristiky
• Těžiště složených obrazců homogenních průřezů
• Kvadratické momenty základních průřezů
2
Průřezy prutových konstrukčních prvků
Návrh a posudek deformovatelných prutů vyžaduje tzv. geometrické (průřezové) charakteristiky průřezu,které jsou nezbytné pro definování tuhosti prutu:
• Plocha A průřezu • Statické momenty Sx a Sz průřezu k momentovým osám x a z• Souřadnice xT, zT těžiště T průřezu • Momenty setrvačnosti Ix, Iz k osám x, z-Centrální momenty setrvačnosti-Hlavní centrální momenty setrvačnosti
• Deviační moment Dxz k osám x, z• Poloměr setrvačnosti ix, iz k osám x, z
Předpoklad: průřez homogenní (stejnorodý), fiktivní měrná tíha g = 1(bez fyzikálního rozměru)
3
+z+y +x
a
T
l
h
d
F2
F1=2F
FF
1 2
Osa prutu (přímý prut),
případně střednice prutu(přímý i zakřivený prut)
P1 P2
1 2
Raz Rbz
Rax
a b
l
Statické schéma: statický model nosné konstrukce
Těžiště průřezu
Geometrický popis prutu, idealizace
Průřez prutu o ploše A
4
Těžiště
Fyzikální význam těžiště:
a) hmotný bod se soustředěnou hmotností útvaru
b) bod, ve kterém lze hmotný útvar vystavený tíze podepřít proti posunutí aniž by docházelo k rotaci
Těžiště je chápáno jako statický střed soustavy rovnoběžných sil v prostoru či rovině, které tvoří vlastní tíhy elementů hmotného útvaru.
Těžnice – osa procházející těžištěm
5
Složený rovinný obrazec ( lomená čára nebo složený plošný obrazec) vzniká spojením několika (obecně n, i=1, …, n) jednoduchých rovinných obrazců (prvků) v téže rovině,u kterých umíme určit polohu těžiště a základní geometrické charakteristiky (úsečka, kruh…).
Těžiště rovinného homogenního složeného obrazce
i
Tii
TP
xPx
Postup:
a) Složený obrazec umístit do pravoúhlé souřadnicové soustavy xz (výhodný je počátek v levém horním rohu obrazce)
b) Rozdělit složený obrazec na dílčí jednoduché obrazce
c) Pro každý obrazec i určit souřadnice xTi a zTi jeho těžiště Ti
d) Pro každý obrazec spočítat tíhovou fiktivní sílu Pi. Hodnota Pi odpovídá délce dílčí čáry li nebo velikosti dílčí plochy Ai
e) Zavést fiktivní síly Pi do těžiště Ti nejprve rovnoběžně s osou z, poté s osou x
f) Určit výslednici tíhových sil: R=∑ li, R=∑ Ai
g) Určit statický střed soustavy těchto rovnoběžných sil (Varignonova věta).Souřadnice statického středu této soustavy = souřadnice těžiště složeného obrazce.
Tiiz
TiiTz
xPS
xPxRS
)(
Např.: x-ovou souřadnici těžiště xT určíme z rovnosti statického momentu tíhové síly k ose z - Sz
A
Sx z
T neboli
6
Příklad 1 – Těžiště rovinné lomené čáry
+x
+z
13
2
[0;2]
[3;0]
[6;3]
[0;5]
Délky dílčích čar (prutů) a jejich těžiště
Prut 1F1= l1 =
Prut 2F2 = l2 =
T1=[0;3,5]
T2=[1,5;1]T3=[4,5;1,5]
Lomená čára může představovat např. zidealizovaný lomený nosník konstantního průřezu
3
[3;0]
[6;3]
T3=[4,5;1,5]
3
3
Prut 3
F3 = l3 =
Celkem
Fi = li =
8
13
2
[0;2]
[3;0]
[6;3]
[0;5]
T1=[0;3,5]
T2=[1,5;1]
Délky
l1 = 3 m
l2 = 3,606 m
T
Příklad 1 – Těžiště rovinné lomené čáry
+x
+z
l1
l2
l3
l
TTTT xlxlxlxl 332211
Z Varignonovy věty:x-ová souřadnice těžiště:
i
TiiTiiT
l
xl
R
xPx
l3 = 4,243 m
li = l = 10,85 m
Tx
10
Příklad – Těžiště složeného obrazce
Tíhová síla ~ Plocha
Celková plocha P = A =Tíhová síla ~ Plocha
P1 = A1 =
P2 = A2 =
P3 = A3 =
12
Příklad -Těžiště složeného obrazce : x-ová souřadnice
Tx
A
xAx Tii
T
TiiT xAAx
14
T
TiiTTiiT
z
A
zAzzAAz
Příklad -Těžiště složeného obrazce : z-ová souřadnice
16
Těžiště složených obrazců s otvory a výřezy
Zvláštní případ složených obrazců – s otvory (s oslabením) nebos výřezy (otvory sousedící s obrysem obrazce)
Výpočet:
Jednotlivé obrazce považovat za samostatné prvky bez otvorů, otvory považovat za další prvky se zápornou plochou(tíhové síly opačně orientované).
4321
44332211 AAAA
xAxAxAxA
A
xAx
TTTT
i
Tii
T
i
Tii
TA
zAz
17
Těžiště obecného rovinného obrazce
Těžiště rovinného obrazce jako statický středrovinné soustavy rovnoběžných sil
(a)
AP ~Tíhu rovinného obrazce P lze nahradit plochou.
Z Varignonovy věty:
Plocha elementárního dílku: zxA d.dd
Celková plocha obrazce: A A
zxAA d.dd
A
A
A
AzT
x
xx
A
Ax
A
Sx
dzd
dzd.
d
d.
Souřadnice těžiště:
A
A
A
AxT
x
xz
A
Az
A
Sz
dzd
dzd.
d
d.
Příklad aplikace v předmětu Matematika.
18
Statické momenty rovinných obrazců
K výkladu statických momentů
AzSx d.
Rozměr (jednotka) [délka3], zpravidla m3 nebo mm3
AxSz d.
AzS Tx
AxS Tz
19
Kvadratické momenty rovinných obrazců
K výkladu kvadratických momentů
Moment setrvačnosti (vždy kladný)
kvadratický moment plochy, vztažený k jedné ose.
Definuje tuhost prutu k dané ose. A
x AzI d.2
A
z AxI d.2
A
xz AzxD d..
Rozměr (jednotka) [délka4], zpravidla m4 nebo mm4
Poznámka: pro případy jednoose nebo dvouose symetrických průřezů jeDxz vztažený k těžištním osám Dxz= 0 (důkaz viz dále).
Osy setrvačnosti:Osy (tady x, z), ke kterým jsou kvadratické momenty vztaženy
Deviační moment (kladný či záporný) kvadratický moment plochy vztažený ke dvěma vzájemně kolmým osám.Součin dvou souřadnic, závisí na jejich znaménkách.
Polární moment (vždy kladný) kvadratický moment plochy vztažený k jednomu bodu – pólu (viz dále).
20
Centrální kvadratické momenty rovinných obrazců
a centrální osy setrvačnosti
A
xtx AzII d.2
A
ztz AxII d.2
A
txz AzxD d..,
Ve stavební mechanice jsou důležité kvadratické momenty danéhoobrazce (průřezu), které jsou vztaženy k jeho těžištním osám. Jedná se o centrální kvadratické momenty (centrální momenty setrvačnosti a centrální deviační momenty).
Těžištní osy se tudíž nazývají centrální osy setrvačnosti
Centrální moment setrvačnosti rovinného obrazce je nejmenší z momentů setrvačnosti daného obrazce vztažených k rovnoběžně posunutým osám.
Momenty setrvačnosti a deviační moment možno počítat k libovolným vzájemně kolmým osám - posunutým nebo natočeným vzhledem k počátku.
21
Centrální kvadratické momenty obdélníku
0, xztt DzzxxTOZvoleno:
Výpočet centrálních momentů setrvačnosti:
A
xtx AzII d.2
22
Centrální kvadratické momenty obdélníku
0, xztt DzzxxTOZvoleno:
Centrální momenty setrvačnosti:
hbII ztz ..12
1 3Obdobně:
0d44
.2
1.d
2.ddd..
2
2
222
2
2
2
22
2
2
2
h
h
h
h
b
b
h
h
b
bA
xz zbb
zzx
zzxx.zAzxD
Důkaz nulového deviačního momentu symetrického průřezu:
Pozor: tyto vztahy platí pro obdélník uloženého
dle obrázku (tzv. nastojato)
3..12
1hbII xtx
24
Centrální kvadratické momenty obdélníku
0, xztt DzzxxTOZvoleno:
Výpočet centrálních momentů setrvačnosti:
3332
2
3
2
2
2
2
2
2
2
22
..12
1
88.
33.
d.ddd.
bhbbhz
h
zzhzxzAzII
b
b
b
b
b
b
h
hA
xtx
bhII ztz ..12
1 3Obdobně:
0d44
.2
1.d
2.ddd..
2
2
222
2/
2
2
22
2
2
2
b
b
b
b
h
h
b
b
h
hA
xz zhh
zbzx
zzxx.zAzxD
T
xt
o
b
h
zt
Důkaz nulového deviačního momentu symetrického průřezu :
Obdélník otočený o 90°:
Pomůcka: ve vztazích pro výpočet centrálních momentů setrvačnosti obdélníku
je mocněn na třetí vždy rozměr, který je kolmý k příslušné centrální ose setrvačnosti
3..12
1bhII xtx
25
Kvadratické momenty obdélníku k rovnoběžně posunutým osám
2,
2,
bd
hczxTO TTZvoleno:
AcIItxx .2
AdcDDtt zxxz ..
Steinerova věta
AdIItzz .2
c… vertikální rameno těžiště –vzdálenost posunuté osy x od osy těžištní
d… horizontální rameno těžiště –vzdálenost posunuté osy z od osy těžištní
Txt
zt
x
z
o
c
d
b
h
Moment setrvačnosti rovinného obrazce k libovolné (mimotěžištní) ose je roven momentu setrvačnosti k rovnoběžné s těžištní osou zvětšenému o součin plošného obsahu a čtverce vzdálenosti obou os.
26
Centrální kvadratické momenty základních obrazců (viz tabulky)
h.bA
0Dxz
b
h
r
12
h.bI
3
x 12
b.hI
3
z 0Dxz
x
z
x
z
64
d.
4
r.II
44
zx
2r.A
2aA 12
aII
4
zx 0Dxz x
z
a
a
x 12
h.bI
3
x 12
b.hI
3
z 0Dxz
27
Okruhy problémů k ústní části zkoušky
1. Těžiště homogenního rovinného složeného obrazce (lomená čára, složený plošný obrazec)
2. Těžiště nehomogenního rovinného složeného obrazce (lomená čára, složený plošný obrazec
3. Kvadratické momenty základních průřezů (momenty setrvačnosti, deviační moment)
4. Centrální kvadratické momenty základních průřezů
