Téma 2 - Fakulta stavební - Fakulta stavební -...

Katedra stavební mechaniky

Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Statika stavebních konstrukcí I

Téma 2Staticky neurčité

prutové konstrukce

2

Osnova přednášky

Osnova přednášky

Staticky neurčité konstrukce, stupeň statické neurčitosti

Silová metoda

Jednoduchý staticky neurčitý nosník v osové úloze

Jednostranně a oboustranně vetknutý nosník v příčné úloze

Jednoduchý staticky neurčitý nosník v krutové úloze

Staticky neurčitý rovinný rám

Výpočet deformace staticky neurčitého nosníku

(redukční věta)

3

• volný hmotný bod v rovině:

nv=2, určen [x, y], 2 různých poloh

• volný hmotný bod v prostoru:

nv=3, určen [x, y, z], 3 různých poloh

• volná tuhý prut (deska) v rovině:

nv=3, určen [x, y, g], 3 různých poloh

• tuhé těleso v prostoru:

nv=6, určeno [x, y, z, a, b, g], 6 různých

poloh

Pohybové možnosti volných hmotných objektů

+x

+z

m[xm,zm]

x’

z’

g

Stupeň volnosti nv

- možnost vykonat jednu pravoúhlou složku posunu nebo pootočení.

Stavební statika – téma č.3

4

Vnější vazby proti posunům

Vazby proti posunům znázorněné pomocí jehlanů a trojúhelníčků

Jednoduché a sdružené vazby proti posunům znázorněné pomocí kyvných prutů

(a) (b) (c) (d) (e)

(f) (g)

(a) (b) (c) (d) (e)

Vazba proti posunu - znemožňuje posun podepřeného bodu prutu v zadaném směru.


5

Vnější vazby proti pootočení

Sdružené vazby proti posunu i pootočení

Jednoduché vazby proti pootočení

(a) (b) (c)

(a) (b) (c)

Vazba proti pootočení - znemožňuje pootočení podepřeného bodu prutu v zadané rovině.

Úplné vetknutí v prostoru nebo rovině, posuvné vetknutí v rovině.


6

Násobnost vazeb

Vnější vazby odebírají objektu stupně volnosti.

Název vazby Násobnost

vazby

Označení vazby,

složky reakcí

Kyvný prut

Posuvný kloub,

posuvná vazba

Neposuvný pevný

kloub, pevná vazba

Posuvné vetknutí

Dokonalé vetknutí

Příklady jednoduchých vazeb tuhého prutu v rovině a jejich složek reakcí

n-násobná vazba ruší objektu n stupňů volnosti (n=1, 2, 3)

a

Raz

aRaz

aRaz Rax

a Raz Rax May

a Raz May

1

2

2

3

1


7

Zajištění nehybnosti prutu

K pevnému podepření objektu je potřeba tolika vazeb v, aby zrušily

všechny stupně volnosti nv.

v = nvPodepření objektu je kinematicky určité a staticky určité,

zajištěna nehybnost objektu, použitelná jako stavební

konstrukce.

v < nvPodepření objektu je kinematicky neurčité a staticky

přeurčité, nehybnost objektu není zajištěna, jako stavební

konstrukce nepřípustná (nedostatečný počet vazeb).

v > nvPodepření objektu je kinematicky přeurčité a staticky

neurčité, nehybnost objektu zajištěna, použitelná jako

stavební konstrukce (větší počet vazeb než je nezbytně

nutné).

Vazby musí být vhodně uspořádány, aby skutečně zajišťovaly nehybnost

objektu – nesmí se jednat o tzv. výjimkový případ kinematicky určité nebo

přeurčité konstrukce.


8

Kinematicky a staticky určitá konstrukce

Podepření objektu je kinematicky i staticky určité

b

Rbz

a

Raz

Rax

P1 P2

Raz

RaxMay

P1 P2

a

v = nv

v = 3, nv = 3


9

Kinematicky a staticky určité případy podepření prutů

Kinematicky určité případy podepření prutů

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(j)

(k)

(l)

nv = 6

nv = 3

nv = 3

nv = 2

Příčná úloha

nv = 1

Osová úloha

nv = 1

Krutová úloha

nv = 3

nv = 3

nv = 3

nv = 3

nv = 3

nv = 6


10

Kinematicky přeurčitá konstrukce

Podepření objektu je kinematicky přeurčité

a staticky neurčité

b

Rbz

a

Raz

Rax

P1 P2

Raz

RaxMay

P1 P2

a

v = 4

nv = 3Rbx

Rbz

Rbx

Mby

b

v = 6

nv = 3

v > nv


11

Kinematicky neurčitá konstrukce

b

Rbz

a

Raz

P1 P2

Objekt v rovnováze jen za určitého zatížení

Ve stavební praxi nepoužitelné.

Podepření objektu je kinematicky neurčité

a staticky přeurčitév < nv


12

Výjimkové případy podepření

Vazby musí být vhodně uspořádány – nesmí vzniknout výjimkové

případy podepření, které jsou ve stavební praxi nepoužitelné.

b Rbxa

Raz

Rax

P1 P2

P1 P2

c

Rcz

a

Raz Rbz

b


13

Kinematicky určité případy podepření prutů

Výjimkové případy kinematicky určitého podepření prutů

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(c) prut není zajištěn proti rotaci – 1 vazba proti vodorovnému posunu nadbytečná

(d) tři vazby proti posunutí, jejichž směry se protínají v jednom bodě

(e) tři vazby proti svislému posunutí v bodech, ležících v jedné přímce


14

Podmínky rovnováhy uvolněného zatíženého prutu

Počet podmínek rovnováhy záleží na typu řešené úlohy, shoduje se s

počtem stupňů volnosti nepodepřeného prutu nv.

Podepřený prut musí být nehybný a v rovnováze.

Kolik stupňů volnosti v odebírají objektu vazby, tolik vzniká složek reakcí.

v = nv Počet neznámých složek reakcí se shoduje s počtem

podmínek rovnováhy, prut je staticky určitý a použitelný jako

stavební konstrukce.

v < nv

v > nv

Počet neznámých složek reakcí je menší než počet podmínek

rovnováhy, prut je staticky přeurčitý a nepoužitelný jako

stavební konstrukce (rovnováha nemůže být obecně zajištěna).

Počet neznámých složek reakcí je větší než počet podmínek

rovnováhy, prut je staticky neurčitý a může sloužit jako stavební

konstrukce. Stupeň statické neurčitosti s = v - nv .

Pokud je determinant soustavy roven nule – jde o výjimkový případ.


Počet vnějších a vnitřních vazeb: v = ve + vi

15

Kinematická a statická (ne)určitost příhradového nosníku

Rovinný kloubový příhradový nosník jako

soustava hmotných bodů, vnitřních a vnějších vazeb

evps 2Podmínka kinematické (statické) určitosti:

Praktické pojetí – výpočtový model tvořen hmotnými body (ve styčnících)

a vnitřními vazbami (pruty), které brání vzájemnému posunutí obou

spojovaných styčníků.


16

Kinematická a statická (ne)určitost

Raz

Raxa

Rbz

b

F3F2F1

N1 N5 N9

N3 N7 N11

N2 N6 N10

N4 N8

c d

e f g

s=7 počet styčníků (v každém z nich 2 podmínky rovnováhy)

p=11 počet vnitřních prutů (v každém z nich 1 neznámá osová síla)

a1=1

a2=1

počet jedno a dvojnásobných vazeb

(1 nebo 2 neznámé složky reakcí)

1422 21 aaps


17


Raz

Rax

a

Rbz

b

N1

N3

N2

c d

s=4

p=5

a1=1

a2=1

82 s 82 21 aap

N4

N5

Staticky i kinematicky určitý rovinný kloubový

příhradový nosník

Staticky přeurčitý, kinematicky neurčitý rovinný

kloubový prutový nosník

F2F1

s221 2 aap


18


s=4

p=6

a1=0

a2=2

82 s 102 21 aap2x staticky (1x vnitřně a 1x zevně)

neurčitý rovinný kloubový příhradový

nosník (kinematicky přeurčitý)

Raz

Rax

a

Rbz

b

N1

N3

N2

c d

N4

N5

N6

Není

kloubový

styčník

F2F1

Rbx


19

Určení stupně statické neurčitosti

Rovinné rámové konstrukce a nosníky

1. Otevřené prutové soustavy:

ns = v – 3 – pk = a1 + 2∙a2 + 3∙a3 – 3 – pk

v … počet vnějších vazeb (reakcí)

ai ... počet i-násobných vnějších vazeb

pk … počet vnitřních kloubových připojení

přepočtených na jednoduché připojení

2. Uzavřené prutové soustavy:

ns = 3∙u + v – 3 – pk

u … počet uzavřených příhrad

20

Silová metoda

Silová metoda

Silová metoda (SM):

základní metoda k řešení staticky neurčitých prutových

konstrukcí, metoda přímá

určena k řešení staticky neurčitých konstrukcí, ns ≥ 1

využívá vedle podmínek rovnováhy i přetvárných

podmínek, princip superpozice a princip úměrnosti

21

Silová metoda

Silová metoda

Postup při řešení staticky neurčité konstrukce SM:

1) Určí se ns

2) Odebráním ns vazeb (vnějších nebo vnitřních) se vytvoří

základní staticky určitá konstrukce

3) Odebrané vazby se nahradí staticky neurčitými silami nebo

momenty (staticky neurčité složky reakcí nebo interakcí)

4) Sestaví se ns přetvárných podmínek ve formě soustavy

lineárních rovnic

5) Řeší se soustava lineárních rovnic, jejich řešením jsou

staticky neurčité složky reakcí nebo interakcí

6) Znalost staticky neurčitých složek reakcí nebo interakcí

umožní vypočítat reakce v ponechaných vazbách, složky

vnitřních sil, případně deformace

22

Jednoduchý staticky neurčitý nosník


Předpoklady:

přímý prut s průřezem proměnlivým nebo konstantním

osa prutu identická s osou x, jedna z hlavních rovin prutu

leží v rovině xz

prut je podepřen ve dvou bodech

každá z vnějších vazeb proti posunutí je rovnoběžná

s některou ze souřadných os

každá z vnějších vazeb proti potočení působí v rovině, jejíž

normálou je některá ze souřadných os

prut může být zatížen prostorově

23



Prostorová úloha jednoduchého přímého nosníkuObr. 3.1. / str. 55

Stupeň statické neurčitosti ns = v - nv udává počet přebytečných

vazeb (tj. počet vazeb, které je nutno odebrat, aby se nosník stal

staticky určitým).

Každý jednoduchý staticky neurčitý

nosník v prostorové úloze lze rozdělit

na 4 jednodušší úlohy:

1) Osová úloha, nv = 1

2) Příčná úloha v rovině xz , nv = 2

3) Příčná úloha v rovině xy , nv = 2

4) Krutová úloha , nv = 1

24


bx

vs

RX

nvn

1

112

Silové zatížení

lll

xA

N

Ex

AE

NNx

AE

NN

0

0

0

10

0

010 d

1dd


Silová metoda v osové úlozeObr. 3.2. / str. 58

Silové

zatížení

ltxNt t

l

t 0

0

1010 d aa

Silové zatížení

Oteplení

bxRXX 11

10110111 0

Deformační podmínka:

ll

xAE

xAE

NN

00

111 d

11d

25


Popuštění podpor … posunutí ua, ub ve směru osy x

Deformační podmínka

110111 dX

110

11

1111

XRRR

Ruu

XuuX

axaxax

bxab

ba

Silová metoda v osové úlozeObr. 3.2./str.58

bud 1

V daném případě (X1 ve směru osy x):

ua a Rax,1 mají opačný směr

ub a Rbx mají stejný směr

aaaax uuuRR )1()()( 110

26

Příklad 2.1

kN10681,9 5EA

)(kN9,2)9,1(18,4

)(kN9,1)(kN9,13

7,5

10681,9

7,5

10681,9

2

122,1

2

11)2,48,4(

10681,9

1

10681,9

3

)(1

)(kN8,4

110

11

101

5510

3

0

050

010

50

111

1

0

XRRR

RXR

dxNdxAE

NN

AE

ldx

AE

NN

R

R

axaxax

bxbx

l

l

ax

ax


Zadání a řešení příkladu 2.1Obr. 3.3. / str. 60

Silové zatížení

Deformační podmínka 010111 X

27

Příklad 2.1


)(kN258,174

)(kN258,174

)(kN258,174)258,174(10

)(kN258,1743

10681,9104,5

10681,9

3

104,5315102,1d

110

54

11

10

511

45

00

0

10

bx

ax

axaxax

bx

tt

l

R

R

XRRR

R

EA

l

ltxtN

aa

Oteplení

• Na nosník působí oteplení t0=15oC konstantní po celé délce.

1021 ,kN10681,9 55 -

t ,αEA



28

Příklad 2.1

ua = 5 mm = 0,005 m (doprava)

ub = 8 mm = 0,008 m (doprava)

• Posunutí ua a reakce Rax1 mají opačný směr

• Posunutí ub a jednotková síla X1 = 1 mají shodný směr

)(kN1,968 )(kN1,968

)(kN1,9680

)(kN1,96810681,93

005,0008,0

008,0

005,0)1()()(

10681,9

3

5

11

1

1

110

511

bxax

bxaxbxax

abbx

b

aaaax

RR

RRRR

uuXR

ud

uuuRR

EA

l

110111 dX


Popuštění podpor

Deformační podmínka

29

Příčně zatížené staticky neurčité nosníky

Jednostranně vetknutý nosník v příčné úloze

Jednostranně vetknuté staticky neurčité nosníkyObr. 3.10. / str. 68

Jednostranně vetknutý nosník v příčné úloze

Stupeň statické neurčitosti ns = v – nv = 3 – 2 = 1

Přetvárná podmínka pro zatížení silové a změnou teploty

Přetvárná podmínka pro zatížení popuštěním podpor

010111 X

110111 dX

30

220222112

110212111

dXX

dXX

Příčně zatížený oboustranně vetknutý nosníkObr. 3.20. / str. 78

Příčně zatížené staticky neurčité nosníky

Oboustranně vetknutý nosník v příčné úloze

Stupeň statické neurčitosti ns = v – nv = 4 – 2 = 2

Přetvárná podmínka pro zatížení silové a změnou teploty

Přetvárná podmínka pro zatížení

popuštěním podpor

ba

ab

MXXX

MXXX

220222112

110212111

0

0

31

Příklad 2.2

Nosník z profilu I200 je zatížen:

silově

lineárním oteplením t1=15oC

popuštěním podpor

Zadání a řešení příkladu 2.2

obr. 3.21, str. 80

32

Základní staticky určitá soustava:

prostý nosník dvoukloubově uložený

Staticky neurčité veličiny:

X1 = Ma a X2 = Mb

6,1 pro)6,1(5)6,1(14328)(

6,1 pro328)(

6,1 pro2

)()(

2)(

6,1 pro2

)(

kN6,278,4/)8,06,166,1142,32,310(

kN288,4/)6,12,3102,31446,16(

22

0

2

0

2

2

2

100

2

100

0

0

xxxxxxM

xxxxM

xxx

qxxFx

qxRxM

xx

qxRxM

R

R

FFaz

az

bz

az

Příklad 2.2, silové zatížení

0. zatěžovací stav:

33

8,0

6

d

8,0

6

8,4

6d

EI

1,6

3d

6,1

3

8,4

3d

0

1221

0

2112

0

2222

0

1111

EIEI

lx

IE

MM

EIEIEI

lx

IE

MM

EI

lx

IE

MM

EIEIEI

lx

IE

MM

l

l

l

l


8,411)(1

x

l

xxM

8,4)(2

x

l

xxM

Výpočet deformačních součinitelů:

1

1

M2

M1+

+

1. zatěžovací stav: X1 = 1

2. zatěžovací stav: X2 = 1

8,4

11

8,4

11

1

1

lR

lR

bz

az

8,4

11

8,4

11

2

2

lR

lR

bz

az

34

xx

xxxxEI

xx

xxEI

xEI

MM

xx

xxxxEI

xx

xxEI

xEI

MM

l

l

d8,4

)6,1(5)6,1(143281

d8,4

3281

d

d8,4

1)6,1(5)6,1(143281

d8,4

13281

d

8,4

6,1

22

6,1

0

2

0

2020

8,4

6,1

22

6,1

0

2

0

1010


Výpočet deformačních součinitelů:

EIEI

14044,58

30222,602010

Integraci lze provést: 1) analyticky

2) pomocí Vereščaginova pravidla

3) pomocí tabulek

35

Řešením lineárních rovnic:

kNR

R

XRXRRR

R

R

XRXRRR

bz

bz

bzbzbzbz

az

az

azazazaz

037,27

324,238,4

1027,26

8,4

16,27

kN563,28

324,238,4

1027,26

8,4

128

22110

22110


kNm324,23

kNm027,26

0

0

2

1

20222112

10212111

b

a

MX

MX

XX

XX


obr. 3.21, str. 80

Reakce:

36

0

08,4

1

8,4

10

kNm045,4

kNm4494

4,2

10216

8,06,1

10216

10216d12,0

15102,1d

210

2

55

1211

10

58,4

0

5

0

1110

azbz

azazazaz

ba

l

t

RR

XXRXRRR

MMX

EI

EI

EIEI

X

xl

xx

h

Mt

a

Příklad 2.2, zatížení změnou teploty

Lineární oteplení po výšce průřezu t1 = 15°C

Jde o symetrickou úlohu, proto X1 = X2 = X

Řešení dvou lineárních rovnic lze zredukovat na jedinou rovnici:

00 10121110212111 XXX


obr. 3.21, str. 80

37

4

20

2220

4

10

1110

22

1

1025,68,4

006,0003,0

8,48,4

1025,68,4

006,0003,0

8,48,4

004,0

0

ba

bbzaaz

ba

bbzaaz

bb

a

ww

wRwRR

ww

wRwRR

Xd

d

znaménko kladnésměrstejný majía

Příklad 2.2, zatížení poklesem podpor


obr. 3.21, str. 80

Deformační podmínky

220222121

110212111

dXX

dXX

38

kN144,6

kN144,68,4

)491,18(

8,4

)001,11(0

kNm49118

kNm00111

004,01025,64494

6,1

4494

8,0

01025,64494

8,0

4494

6,1

22110

2

1

4

21

4

21

220222121

110212111

azbz

az

azazazaz

b

a

RR

R

XRXRRR

,MX

,-MX

XX

XX

dXX

dXX

Příklad 2.2, zatížení poklesem podpor


obr. 3.21, str. 80

39Jednoduchý staticky neurčitý nosník v krutové úloze

Silová metoda v krutové úlozeObr. 3.24. / str. 85


Deformační podmínka pro:

a) silové zatížení

b) zatížení popuštěním podpor

Stupeň statické neurčitosti:

112 vs nn

110111 dX

010111 X

40Jednoduchý staticky neurčitý nosník v krutové úloze

Zadání příkladu 2.3Obr. 3.25. / str. 87

2

4433

kNm9013

m1075,936,024,0196,0

t

t

IG

hbI a

h/b 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

a 0,1406 0,1540 0,1661 0,1771 0,1869 0,1958

h/b 1,6 1,7 1,8 1,9 2 3

a 0,2037 0,2109 0,2174 0,2233 0,2287 0,2633

Železobetonový nosník (G = 9,24∙106 kPa) konstantního obdélníkového

průřezu o šířce b = 0,24 m a výšce h = 0,36 m je zatížen:

a) zkrucujícím zatížením

b) popuštěním podpor rad. 002,0 rad, 001,0 ba

Příklad 2.3

Moment tuhosti v kroucení:

41

kNm25,675,7114

kNm75,74

31

312

5,13

2

5,2)914(

1

4

1

110

11

101

10

4

0

0

0

1010

0

1111

1

XTTT

T

IG

IGX

IGIG

dxTIG

dxIG

TT

IGIG

ldx

IG

TT

xT

aaa

b

t

t

tt

t

l

t

l

ttt





42

kNm 76,60

kNm 76,610438,4

003,0

10438,4

001,0002,0

rad 001,0001,01

rad/kNm10438,49013

44

rad 002,0

441

11

1011

110

4

11

11

baba

b

aa

t

bb

TTTT

X

dTX

T

GI

Xd

znaménko kladnésměrstejný mají a


Příklad 2.3, zatížení popuštěním podpor


Deformační podmínka 110111 dX

43

Rámové konstrukce

Ukázky rámových konstrukcí

ŽB prostorový rám,

Aula, VŠB – TU Ostrava

44Základní vlastnosti rovinného rámu

Příklady jednoduchého otevřeného rovinného rámuObr. 5.1. / str. 126

Rovinný rám

Druhy rovinných rámů: 1) pravoúhlé (a)

2) kosoúhlé (b), (c)

3) rozvětvené (b)

4) otevřené (c)


Příklady jednoduchého uzavřeného rovinného rámuObr. 5.2. / str. 126

Druhy rovinných rámů: 1) pravoúhlé (a)

2) kosoúhlé (b), (c)

3) rozvětvené (c)

4) uzavřené (a), (b), (c)

Rovinný rám


Příklady pravoúhlého a kosoúhlého rovinného sdruženého rámuObr. 5.4. / str. 126

Druhy rovinných rámů

Rámy sdružené vznikají seřazením několika otevřených

jednoduchých rámů vedle sebe.

Vierendeelův nosník a patrový rámObr. 5.5. / str. 127

Vierendeelův rámový nosník vzniká seřazením několika

uzavřených rámových příhrad

vedle sebe.

Patrový rám dostaneme

seřazením několika uzavřených

rámových příhrad nad sebe.

47Jednoduchý otevřený rám

Různé způsoby vytvoření základní staticky určité soustavy

ve druhém kroku silové metodyObr. 5.7. / str. 128

Silová metoda, jednoduchý otevřený rám

První krok silové metodyObr. 5.6. / str. 127


Náhrada odebraných vazeb složkami reakcí nebo interakcí

ve třetím kroku silové metodyObr. 5.8. / str. 128



Obrázková rovnice znázorňující rozklad na nultý stav a jednotkové stavyObr. 5.9. / str. 128


0

0

0

30333232131

20323222121

10313212111

XXX

XXX

XXX

Přetvárné (deformační) podmínky:

• silové zatížení a zatížení změnou teploty

50


j

m

j

l

j

ij

m

j

l

j

ii, x

AE

NNx

IE

MMδ

jj

dd1 0

0

1 0

00

Přetvárné podmínky lze zapsat pro ns-krát staticky neurčitou

konstrukci ve tvaru

si

n

kki,k n, iXδ

s

,1pro 0,1

Výpočet deformačních součinitelů pro m prutů rámové konstrukce

ikkij

m

j

l

j

kij

m

j

l

j

kii,k x

AE

NNx

IE

MMδ

jj

,,1 01 0

dd

platí

• silové zatížení

• zatížení změnou teploty

m

j

l

j

j

,j

it

m

j

l

j,jiti,

jj

xh

ΔtMαxΔtNαδ

1 0

1

1 0

00 dd

51

330333232131

220323222121

110313212111

dXXX

dXXX

dXXX

Přetvárné (deformační) podmínky:

• zatížení popuštěním podpor


sii

n

kkki n...,,idX

s

1 pro 0,1

,

Přetvárné podmínky lze zapsat pro ns-krát staticky neurčitou

konstrukci ve tvaru


Výpočet zatěžovacích členů od popuštění podporObr. 5.10. / str. 131

ba baba uuww

vuMuRu

lwMwRw

M

udwdd

aaaaaaxb

aaaaaazb

aaab

bbb

)(

)(

)(

33

*

30

22

*

20

1

*

10

321


Zatížení popuštěním podpor

53

vuuXXX

lwwXXX

XXX

dXXX

dXXX

dXXX

aab

aab

ab

333232131

323222121

313212111

330333232131

220323222121

110313212111

Přetvárné podmínky při zatížení popuštěním podpor

po dosazení:


Výpočet zatěžovacích členů od popuštění podporObr. 5.10. / str. 131


Dvě vazby v ose téhož prutuObr. 5.11. / str. 132

Upozornění

Prut cd na obr. 5.11 je podepřen proti posunu ve směru osy

prutu. Je nezbytné počítat s vlivem normálových sil na

přetvoření prutu cd. V opačném případě, což se často

oprávněně dělá, je soustava kanonických rovnic singulární.


Zadání příkladu 2.4 a znázornění prvních tří kroků silové metodyObr. 5.12. / str. 132

Příklad 2.4

4

32

4

1

m004,0

m002,0

II

I

6,03,5

2,1cos

8,05,3

8,2sin

m5,38,21,2 22

1

a

a

llac


Dílčí stavy a průběhy ohybových momentů v dílčích stavech příkladu 2.4Obr. 5.13. / str. 133

1kN7,5

8,2kN

7,5

8,2

0kN7,5

1kN

7,5

1

00kN30

222

111

000

axbzaz

axbzaz

axbzaz

RRR

RRR

RRR

Příklad 2.4


EE

EE

EEE

EEE

EEE

4,64989

3

5,376842.163

002,0

1

6,41585

3

36842,063158,0

2

5,363

002,0

1

5,2762

3

6,376842,1

004,0

1

3

5,376842,1

002,0

1

4,15026,3

004,03

63158,076842,1

3

36842,063158,0

2

5,376842,1

002,0

1

1,1304

004,03

6,363158,036842,0

3

263158,0

2

5,3036842

2

63158,15,363158,0

002,0

1

20

10

22

22

2112

2

11

0

0

20222121

10212111

XX

XXDeformační podmínky

Příklad 2.4

Průběhy ohybových momentů v dílčích stavechObr. 5.13. / str. 133


04,649895,27624,1502

06,415854,15021,1304

21

21

XX

XX

Příklad 2.4

Deformační podmínky po dosazení

bx

a

RX

X

MX

X

kN906,16

4,15024,15025,27621,1304

4,1502)6,41585()4,64989(1,1304

kN814,12

4,15024,15025,27621,1304

4,649894,1502)4,64989(1,1304

2

2

1

1

Řešení soustavy rovnic


)(kN557,16

kN381,10)557,16(7,5

8,2)814,12(

7,5

10

kNm814,12

)(557,16)557,16(100

kN381,40)557,16(7,5

8,2)814,12(

7,5

130

2

22110

1

22110

22110

XR

XRXRRR

XM

kNXRXRRR

XRXRRR

bx

bzbzbzbz

a

axaxaxax

azazazaz

Reakce a složky vnitřních silObr. 5.14. / str. 134

Příklad 2.4, dokončení řešení

60Jednoduchý uzavřený rám

Odebrání vnitřních vazeb a jejich náhrada interakcemiObr. 5.15. / str. 135

Jednoduchý uzavřený rám


Zadání příkladu 2.5 a znázornění prvních tří kroků silové metodyObr. 5.16. / str. 136

Příklad 2.5

Stupeň statické neurčitosti ns = 3

EI = konst.


Dílčí stavy a průběhy ohybových momentů v dílčích stavech příkladu 2.5Obr. 5.17. / str. 137

Příklad 2.5

kN8

kN33320

kN6669

0

0

0

axax

bzbz

azaz

RR

,RR

,RR

Reakce nenulové pouze

v 0. zatěžovacím stavu.

Pozn. Složky vnitřních sil se v příkladu

vynášejí ke spodním vláknům příčlí

a k pravým vláknům sloupů.

63

Příklad 2.5

IEIE

IEIE

IEIE

IEIE

732,78)7,2(6,3)7,2(22

3

7,2)7,2(2

3

7,2)7,2(1

088,1016,34,56,3

3

6,36,3

3

6,3)6,3(1

0

0

40,326,314,5

2

6,316,3

2

6,316,3

1

18116,3)1()1(6,3114,5)1()1(4,5

1

22

33

22

22

3223

3113

2112

11

Výpočet deformačních součinitelů

Deformační podmínky

0

0

0

30333232131

20323222121

10313212111

XXX

XXX

XXX

Průběhy ohybových momentů v dílčích stavech příkladu 2.5Obr. 5.17. / str. 137

64

Příklad 2.5

kN6672

kN6028

kNm2092

3

2

1

,VVX

,NNX

,MMX

edec

edec

edec

Výpočet deformačních součinitelů

IEIE

IEIE

IEIE

952,209)7,2(

2

6,3)8,28(

6

9,547,2)7,2(

3

8,289,548,28

2

7,27,21

12,798)6,3(6,3

2

)8,28(6,37,2

2

9,546,37,2

2

9,548,281

95,23816,3

2

)8,28()1(7,2

2

9,54)1(7,2

2

9,548,281

30

20

10

Průběhy ohybových momentů v dílčích stavech příkladu 2.5Obr. 5.17. / str. 137

Dosazení do rovnic

95220932787

012798088101432

9523843218

3

21

21

,X,

,X,X,

,X,X

Řešení soustavy rovnic



Průběhy složek vnitřních sil můžeme určit:

a) Z podmínek rovnováhy při znalosti

reakcí a staticky neurčitých veličin.

b) Superpozicí jednotlivých zatěžovacích

stavů po vynásobení složek vnitřních sil

každého zatěžovacího stavu (vyjma

0. stavu) příslušnou staticky neurčitou

veličinou.

Ad b):

xxxxx

xxxxx

xxxxx

NXNXNXN

VXVXVXVV

MXMXMXMM

3322110

3322110

3322110

N


Výsledné reakce, interakce a průběhy vnitřních sil v příkladu 2.5Obr. 5.18. / str. 139


67

Výpočet deformace staticky neurčitého nosníku

Redukční věta:

Jednotkový virtuální stav sloužící k výpočtu deformace ns- krát staticky neurčitého nosníku může být vytvořen:

na původním staticky neurčitém nosníku

na staticky neurčitém nosníku s nsj < ns

(odebráno méně než ns vazeb)

na staticky určitém nosníku (odebráno ns vazeb)

Pozn. Redukční větu lze použít pro výpočet deformace libovolné staticky neurčité konstrukce při silovém zatížení.

Výpočet deformace jednoduchého staticky neurčitého nosníku

68Výpočet deformace jednoduchého staticky neurčitého nosníku

Příklady aplikace redukční větyObr. 3.26. / str. 89

Výpočet deformace, silový zatěžovací stav

Příklady volby virtuálního zatěžovacího stavu pro výpočet

posunutí středu oboustranně vetknutého nosníku.

69

Zdůvodnění redukční věty

Na libovolné staticky neurčité konstrukci lze odstranit přebytečné

vazby a nahradit jejich účinek silami nebo momenty.

Na stejné, tj. staticky určité konstrukci, lze pak určit virtuální stav

konstrukce pro výpočet deformace při využití principu virtuálních sil.

Pokud se virtuální stav konstrukce určí na staticky neurčité

konstrukci, pak jej lze při využití principu superpozice považovat za

výsledný stav na staticky určité konstrukci v řadě dílčích

zatěžovacích stavů odpovídajících stupni statické neurčitosti, kdy

nahrazujeme odstraněné vazby jejich účinkem.

Účinek virtuálních sil a momentů nahrazujících vazby je nulový,

neboť umožňují vypočítat v místě vazby nulovou deformaci

odpovídající nahrazené vazbě.




Příklad 2.6

IE

lPdxMM

IEx

IE

MMw

ll

s

1296

51d

3

00

Určete průhyb ws ve středu

oboustranně vetknutého nosníku.

Průběh M vypočten s využitím

tabulky 3.2 [1].

Virtuální jednotkový stav zvolen

jednostranně vetknutý nosník.

Integrál lze řešit:

a) analyticky

b) dle Vereščaginova pravidla

c) dle tabulky 2.2 [1]

71

Výpočet deformace, zatížení změnou teploty

tpr w ww

Výsledná deformace je dána superpozicí:

a) pružné deformace wpr

b) deformace vyvolané změnou teploty wt na základní

staticky určité konstrukci

U jednoduchého staticky neurčitého nosníku konstantního průřezu

jsou při konstantní změně teploty po délce nosníku:

a) v osové úloze (t0),

b) v příčné úloze při oboustranném vetknutí (t1),

c) v krutové úloze (změna teploty se neprojevuje)

deformace nulové, superponované deformace se vyruší.

Pozn. Tento poznatek nelze zobecňovat, např. u jednostranně

vetknutého nosníku již tomu tak není.



Zadání a řešení příkladu 2.7Obr. 3.28. / str. 90m109310103263103952

m1032632

23215

20

181021

Δd

Δ

m103952

13522

2223215624

2

822321

4494

1

333

35

1

0

1

3

,,,w

,,

,

,w

Ah

tαx

h

Mtαw

,w

,,,

.,,

w

www

c

t

M

tl

tt

pr

pr

tprc

Příklad 2.7

Určete průhyb wc v bodě c u zadaného

nosníku zatíženého změnou teploty

(EI = 4494 kNm2).

Virtuální jednotkový stav zvolen prostý

nosník.

73

Výpočet deformace, popuštění podpor


Výsledná deformace je dána superpozicí:

a) pružné deformace wpr

b) přemístěním základního staticky určitého nosníku

jako tuhého wp

ppr w ww


Řešení příkladu 2.8Obr. 3.29. / str. 91

Určete svislý průhyb v bodě coboustranně vetknutého nosníku

z příkladu 2.2 se zadaným

popuštěním podpor dle obr. 3.21 (h),

je-li již znám průběh ohybového

momentu dle obr. 3.29 (a).

Pro výpočet posunutí nosníku jako

tuhého tělesa i pro výpočet pružné

deformace umístíme do bodu cprostého nosníku svislou virtuální sílu

o velikosti 1.

Průběh virtuálního momentu je na

obr. 3.29 (b).

Příklad 2.8

Zadání příkladu 2.2 Obr. 3.21. / str. 80


m10754006084

820030

84

2 3

11

,,,

,,

,w

wRwRδRw

p

bbzaazp

Posunutí wp jako tuhého tělesa

lze vypočítat při použití principu

virtuálních prací.

Pružné posunutí wpr se vypočte

známými postupy.

Příklad 2.8

Řešení příkladu 2.8Obr. 3.29. / str. 91

Zadání příkladu 2.2 Obr. 3.21. / str. 80

m10844,24494

78,12

299,102

2167,1468,0

2

8,2167,11

3

pr

pr

w

EIw

Celkové posunutí je dáno součtem.

m10594,710844,21075,4 333

c

prpc

w

www

76

Použitá literatura

[1] Benda Jiří, Stavební statika II, VŠB-TU Ostrava 2005

Date post:	12-Jun-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	3 times
Download:	0 times

Téma 2 - Fakulta stavební - Fakulta stavební -...

Documents