Téma 5 - vsb.czfast10.vsb.cz/kolos/file/SSKI_Kombi/SSKI_tema5_Kombi.pdfKatedra stavební mechaniky...

Katedra stavební mechaniky

Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Statika stavebních konstrukcí I

Téma 5Staticky neurčitý rovinný

oblouk a kloubový

příhradový nosník

2

Osnova přednášky

Osnova přednášky

Základní vlastnosti staticky neurčitého rovinného oblouku

Dvojkloubový oblouk

Dvojkloubový oblouk s táhlem

Vetknuté oblouky

Přibližný výpočet plochých parabolických oblouků

Vlastnosti příhradového nosníku a rozbor statické neurčitosti

Staticky neurčitý a tvarově určitý příhradový nosník

Staticky neurčitý a tvarově přeurčitý příhradový nosník

Poznámky k řešení staticky neurčitých příhradových

nosníků

3

Konstrukce obloukové nosné konstrukce s táhlem.

Výzkumné energetické centrum VŠB-TU Ostrava

Staticky neurčitý rovinný oblouk

Staticky neurčitý rovinný oblouk

4Základní vlastnosti staticky neurčitého rovinného oblouku

Popis střednice rovinného obloukuObr. 6.1. / str. 140

Podrobnější popis střednice oblouku

Základní pojmy:

c … vrchol oblouku (nejvyšší bod oblouku)

l … rozpětí oblouku (vodorovná vzdálenost podporových bodů)

f … vzepětí oblouku (svislá vzdálenost vrcholu od nižšího

podporového bodu)

… poměrné vzepětí

Y … sklon střednice

nebo

Ploché oblouky

l

fΦ

ba x,x

fΦ

max2

2,0Φ


Popis střednice rovinného obloukuObr. 6.1. / str. 140

Podrobnější popis střednice oblouku

Pro počátek ve vrcholu c je rovnice:

a) Paraboly

a) Kružnice

xkx

zψ

x

z

x

zk

b

b

a

a

2d

dtan

22

22

2222

tan

22

xr

xψ

z

zx

z

zxr

a

aa

b

bb

2xkz

22 xrrz


Podepření obloukůObr. 6.2. / str. 141

Třídění oblouků podle způsobů podepření

a) Dvojkloubový oblouk ns = 1

b) Dvojkloubový oblouk s táhlem ns = 1

c) Oboustranně vetknutý oblouk ns = 3

d) Jednostranně vetknutý oblouk ns = 2

7Dvojkloubový oblouk

Rozklad na 0. stav a 1. stav u dvojkloubového obloukuObr. 6.3. / str. 143

Dvojkloubový oblouk, silové zatížení

Deformační podmínka

b

a

b

a

b

a

b

a

x

x

x

x

ss

x

x

x

x

ss

xA

NNx

I

MM

Es

A

NNs

I

MM

E

xA

Nx

I

M

Es

A

Ns

I

M

E

dcos

dcos

1dd

1

dcos

dcos

1dd

1

1010

0

10

0

1010

2

1

2

1

0

2

1

0

2

111

b,aH, XδXδ 110111 0

Výpočet deformací


Rozklad na 0. stav a 1. stav u dvojkloubového obloukuObr. 6.3. / str. 143

Dvojkloubový oblouk, zatížení změnou teploty

b

a

b

a

b

a

b

a

x

x

x

x

t

ss

t

x

x

x

x

ss

xψh

Mtx

ψ

Ntαs

h

MtsNtαδ

xψA

Nx

ψI

M

Es

A

Ns

I

M

Eδ

dcos

Δdcos

ΔdΔdΔ

dcos

dcos

1dd

1

11

10

0

11

0

1010

2

1

2

1

0

2

1

0

2

111

Deformační podmínkab,aH, XδXδ 110111 0

Výpočet deformací

9

K výpočtu popuštění podpor u dvojkloubového obloukuObr. 6.4. / str. 144

Dvojkloubový oblouk, zatížení popuštěním podpor

baabaa

*

b

bb

x

x

x

x

ss

wwl

vuw

l

vw

l

vuδRuδ

u ud

xψA

Nx

ψI

M

Es

A

Ns

I

M

Eδ

b

a

b

a

1

dcos

dcos

1dd

1

10

1

2

1

2

1

0

2

1

0

2

111


11

1δ

wwl

vuu

Xbaba

baba wwuuPopuštění podpor

Deformační podmínka110111 dδXδ

(směr opačný než směr virtuální síly)

10

Příklad 5.1, zadáníObr. 6.5. / str. 145

Příklad 5.1


157 K10kPa1042 t α,E

Parabolický oblouk, zatížení a geometrie viz. obr. 6.5.

x,ψx,z,k

,A,I

160arctg08008025

2

m240m00720

2

24

Přípravný výpočet:

Stupeň statické neurčitosti

1sn

11

Příklad 5.1, zobrazení 0. a 1. stavuObr. 6.5. / str. 145

Příklad 5.1, silové zatížení


0

sin511

5511

0

sin56526

2

565526

0

0

0

2

0

xψ,N

x,M

x

ψx,N

xx,M

ψψN

x,zM

coscos1

080221

1

2

1

12


i x z x z s M MMs N1 NNs M 0 MM s N0 NNs

1 -4.5 1.62 -0.6240 1 0.72 1.2322 -0.38 0.1779 -0.8115 0.8115 12.5 -5.8531 -13.731 13.7312

2 -3.5 0.98 -0.5105 1 0.56 1.1461 -1.02 1.1924 -0.8725 0.8725 33 -38.5785 -8.5506 8.5506

3 -2.5 0.5 -0.3805 1 0.4 1.0770 -1.5 2.4233 -0.9285 0.9285 47.5 -76.7386 -4.2710 4.2710

4 -1.5 0.18 -0.2355 1 0.24 1.0284 -1.82 3.4065 -0.9724 0.9724 56 -104.8142 -1.2836 1.2836

5 -0.5 0.02 -0.0798 1 0.08 1.0032 -1.98 3.9329 -0.9968 0.9968 58.5 -116.2001 0.0399 -0.0399

6 0.5 0.02 0.0798 1 0.08 1.0032 -1.98 3.9329 -0.9968 0.9968 51.75 -102.7924 -0.5183 0.5183

7 1.5 0.18 0.2355 1 0.24 1.0284 -1.82 3.4065 -0.9724 0.9724 40.25 -75.3352 -2.9172 2.9172

8 2.5 0.5 0.3805 1 0.4 1.0770 -1.5 2.4233 -0.9285 0.9285 28.75 -46.4470 -6.8707 6.8707

9 3.5 0.98 0.5105 1 0.56 1.1461 -1.02 1.1924 -0.8725 0.8725 17.25 -20.1661 -11.971 11.9708

10 4.5 1.62 0.6240 1 0.72 1.2322 -0.38 0.1779 -0.8115 0.8115 5.75 -2.6924 -17.821 17.8213

895,67Δd

618,589Δd

1634,9Δd

2661,22Δd

1101

0

04

1101

0

03

1111

0

12

1111

0

11

i

n

iii

S

i

n

iii

S

i

n

iii

S

i

n

iii

S

sNNsNNS

sMMsMMS

sNNsNNS

sMMsMMS


Výpočet deformačních součinitelů pomocí numerické integrace

obdélníkovou metodou:

13



E

,

,

,

,

,

EAE

S

IE

Sδ

E

,

,

,

,

,

EAE

S

IE

Sδ

481608

240

89567

00720

6185891

73130

240

16349

00720

2661221

4310

2111

Výpočet deformačních součinitelů

kN0672611

101 ,

δ

δX

Deformační podmínka 010111 δXδ

14

Příklad 5.1, zatížení změnou teploty

kN50,117,3130

104,2105,1

7,3130

105,1

105,1)10(1510

73(tep)

1

3

11

10(tep)

1

35

50

(tep)

10

X

EX

Stt


i s N1 N1s

1 1.2322 -0.8115 -1

2 1.1461 -0.8725 -1

3 1.0770 -0.9285 -1

4 1.0284 -0.9724 -1

5 1.0032 -0.9968 -1

6 1.0032 -0.9968 -1

7 1.0284 -0.9724 -1

8 1.0770 -0.9285 -1

9 1.1461 -0.8725 -1

10 1.2322 -0.8115 -1

10Δd

d

7,3130

11

0

15

501

101

0

0

(tep)

10

2111

i

n

ii

S

t

n

iiit

S

t

sNsNS

StsNtsNt

EAE

S

IE

S

15

Průběhy vnitřních sil v dílčích stavech a výsledné průběhy příkladu 5.1Obr. 6.6. / str. 146


Příklad 5.1, vnitřní síly

1

(tep)(tep)

1

(tep)(tep)

1

(tep)(tep)

110

(sil)

110

(sil)

110

(sil)

1

1

1

VXV

NXN

MXM

VXVV

NXNN

MXMM

16

Příklad 5.2, zadáníObr. 6.7. / str. 149

Příklad 5.2

2

4

7

m240

m00720

kPa1042

,A

,I

,E


22

22

22

86tan

8686

m86632

636

x,

xψ

x,,z

,,

,r

Oblouk s kružnicovou střednicí, zatížení a geometrie viz. obr. 6.7.

Přípravný výpočet:


1sn

17



ψ,ψN

z,x,M

x ,N

x,M

x,N

z,x,M

sin229910cos1

6316229910

2sin979541

4979541

2sin979541cos6

6366979541

1

1

0

0

0

0

Příklad 5.2, 0. stav a 1. stavObr. 6.7. / str. 149

18


i x z x z s M1 M1M1s N1 N1N1s M0 M0M1s N0 N0N1s

1 -5.5 2.8 -0.9421 1 -1.41 1.7275 -0.68 0.8078 -0.7740 1.0350 3.803 -4.4921 5.1294 -6.8587

2 -4.5 1.7 -0.7232 1 -0.89 1.3390 -1.55 3.2300 -0.9019 1.0890 8.419 -17.5083 5.8083 -7.0138

3 -3.5 0.97 -0.5407 1 -0.6 1.1679 -2.06 4.9337 -0.9757 1.1119 10.83 -26.0011 6.1631 -7.0231

4 -2.5 0.48 -0.3765 1 -0.4 1.0758 -2.32 5.7860 -1.0145 1.1072 11.81 -29.4759 6.3076 -6.8843

5 -1.5 0.17 -0.2224 1 -0.23 1.0254 -2.4 5.8960 -1.0261 1.0796 10.89 -26.7703 0.4367 -0.4594

6 -0.5 0.02 -0.0736 1 -0.07 1.0027 -2.32 5.3835 -1.0142 1.0314 8.908 -20.6968 0.1456 -0.1480

7 0.5 0.02 0.0736 1 0.07 1.0027 -2.09 4.3682 -0.9804 0.9638 6.928 -14.5002 -0.1456 0.1431

8 1.5 0.17 0.2224 1 0.23 1.0254 -1.71 2.9920 -0.9247 0.8767 4.949 -8.6682 -0.4367 0.4140

9 2.5 0.48 0.3765 1 0.4 1.0758 -1.17 1.4715 -0.8454 0.7690 2.969 -3.7361 -0.7278 0.6619

10 3.5 0.97 0.5407 1 0.6 1.1679 -0.45 0.2323 -0.7390 0.6379 0.99 -0.5155 -1.0189 0.8794


Výpočet deformačních součinitelů pomocí numerické integrace

obdélníkovou metodou:

2888,26Δd

3646,152Δd

7014,9Δd

1010,35Δd

1101

0

04

1101

0

03

1111

0

12

1111

0

11

i

n

iii

S

i

n

iii

S

i

n

iii

S

i

n

iii

S

sNNsNNS

sMMsMMS

sNNsNNS

sMMsMMS

19



E

,

,

,

,

,

EAE

S

IE

Sδ

E

,

,

,

,

,

EAE

S

IE

Sδ

1292127

240

288826

00720

36461521

564915

240

70149

00720

1010351

4310

2111


Deformační podmínka 010111 δXδ

kN33,411

101

X

20

Příklad 5.2, pokles podpor

m0150

m00120

0

,w

,u

wu

b

b

aa


kN98,10

56,4915

00344865,00012,0

00344865,0015,022991,0

m0012,0

11

(pop)

101(pop)

1

(pop)

10

1

E

dX

R

d

Příklad 5.2, 0. stav a 1. stavObr. 6.7. / str. 149

Zadáno: Deformační podmínka

1

(pop)

10

(pop)

111 dδXδ


Průběhy vnitřních sil v dílčích stavech a výsledné průběhy příkladu 5.2Obr. 6.8. / str. 152

Příklad 5.2, vnitřní síly

1

(pop)

1

(pop)

1

(pop)

1

(pop)

1

(pop)

1

(pop)

1

(sil)

10

(sil)

1

(sil)

10

(sil)

1

(sil)

10

(sil)

VXV

NXN

MXM

VXVV

NXNN

MXMM

22

Dvojkloubový oblouk s táhlemObr. 6.9. / str. 153



110111 dδXδ

Stupeň statické neurčitosti ns = 1.

Táhlo mám charakter jednostranné vazby.

Deformační podmínka:

23

Rozklad na 0. stav a 1. stav u dvojkloubového oblouku s táhlemObr. 6.10. / str. 153

Dvojkloubový oblouk s táhlem, silové zatížení

11

AE

lXd

TT

T


d1 … protažení táhla (má opačný směr než virtuální síla)

TT

TT

AE

lδ

δNX

11

101

24

Rozklad na 0. stav a 1. stav u dvojkloubového oblouku s táhlemObr. 6.10. / str. 153

Dvojkloubový oblouk s táhlem, změna teploty

ltαAE

lXd t

0

11 Δ


TT

T

TtT

x

x

x

x

t

AE

lδ

ltαδNX

xψh

Mtx

ψ

Ntαδ

b

a

b

a

11

0101

11

1010

Δ

dcos

Δdcos

Δ

d1 … protažení táhla (má opačný směr než virtuální síla)

25

Zadání příkladu 5.3Obr. 6.11. / str. 155

Příklad 5.3


kPa1012

m00120

K10

kPa1042

8

2

15

7

,E

,A

α

,E

T

T

t

Oblouk s táhlem je zatížen dle obr. 6.11. Má stejné vlastnosti

jako v příkladu 5.1.


1sn

26

Příklad 5.3, silové zatíženíObr. 6.11. / str. 155



1

(sil)

10

(sil)

111 dX

Deformační podmínka pro silové zatížení:

kN99,191097,3 101,304

1040,3

1096825,3

101,20012,0

10

1040034,34,81608

101,30446 7,3130

54

3(sil)

1

11

(sil)

10(sil)

1

(sil)

1

5

1

(sil)

18

(sil)

11

3(sil)

10

4-

11

X

EA

lX

Xd

XXEA

ld

E

E

TT

T

TT

T

viz. příklad 5.1

27

Příkladu 5.3, zatížení změnou teplotyObr. 6.11. / str. 155

Příklad 5.3, zatížení změnou teploty


kN58410973103041

10271051

Δ

1027109683

6102110109683

Δ

1051dΔ

54

43(tep)

1

11

0

(tep)

10(tep)

1

4(tep)

1

5(tep)

1

5(tep)

1

5(tep)

1

0

(tep)

1

(tep)

1

3

0

10

(tep)

10

,,,

,,X

EA

lδ

tαlδX

,X,d

,X,d

tαlXEA

ld

,sNtαδ

TT

T

tT

tT

TT

T

S

t

Deformační podmínka pro zatížení změnou teploty:

1

(tep)

10

(tep)

111 dX

28

Výsledné průběhy ohybových momentů v příkladu 5.3Obr. 6.12. / str. 156

Příklad 5.3


29

Oboustranně vetknutý obloukObr. 6.13. / str. 156

Vetknuté oblouky

Vetknuté oblouky

330333232131

220323222121

110313212111

dXXX

dXXX

dXXX

Stupeň statické neurčitosti ns = 3

Přetvárné podmínky pro zatížení silové a změnou teploty:

0

0

0

30333232131

20323222121

10313212111

δXδXδXδ

δXδXδXδ

δXδXδXδ

Přetvárné podmínky pro zatížení popuštěním podpor:

30

Rozklad na 0. stav a tři jednotkové stavy oboustranně vetknutého obloukuObr. 6.14. / str. 157

Vetknuté oblouky

Vetknuté oblouky

ab

ba

ab

MX

MX

HX

,3

,2

,1

011

011

1

333

222

111

aba

aba

aba

H l

R l

R

Hl

R l

R

Hl

vR

l

vR

Reakce v jednotlivých stavech:

31

Vetknuté oblouky, popuštění podpor

Vetknuté oblouky

l

ww

lw

lwδ

l

ww

lw

lwδ

wwl

vu

l

vw

l

vwuδ

d

d

ud

abba

abba

baabaa

b

a

b

11

11

1

30

20

10

3

2

1

Zadáno:

ba

ba

ba

,

w,w

u,u

32

Tabulka 6.7

Přibližný výpočet plochých parabolických oblouků

Vzorce pro přibližný výpočet

plochých parabolických oblouků

33

Staticky neurčitý kloubový příhradový nosník

Staticky neurčitý kloubový příhradový nosník

Příhradový most přes řeku Ostravici

34Vlastnosti a rozbor statické neurčitosti

Staticky neurčité rovinné kloubové příhradové nosníkyObr. 7. 1. / str. 164

Staticky neurčité rovinné kloubové příhradové nosníky

a) nosník tvarově určitý a zároveň vnitřně staticky určitý p + 3 = 2 s

b) nosník tvarově přeurčitý a zároveň vnitřně staticky neurčitý p + 3 > 2 s

c) nosník tvarově neurčitý a zároveň vnitřně staticky přeurčitý p + 3 < 2 s

d) výjimkový případ tvarové určitosti (přeurčitosti) a vnitřní statické určitosti

(neurčitosti) p + 3 ≥ 2 s

35Staticky neurčitý a tvarově určitý příhradový nosník

Vytvoření základní staticky určité soustavyObr. 7. 2. / str. 165

Staticky neurčitý a tvarově určitý příhradový nosník

22025372 svpn es

Nosník dle obr. 7.1.(a) je staticky neurčitý.

Vytvoření základní staticky určité soustavy odebráním

přebytečných vazeb:

a) odebrání 2 vnějších vazeb

b) odebrání 2 vnitřních vazeb

c) odebrání 1 vnější

a 1 vnitřní vazby

Po odebrání vazeb musí

zůstat soustava nehybná!


Rozklad na dílčí stavyObr. 7. 3. / str. 166

Rozklad na dílčí stavy, přetvárné podmínky

0

0

20222121

10212111

δXδXδ

δXδXδ

s

n

ki,ki,k ,n,...i δXδ

s

101

0

Odebrané vazby (vnější) nahradíme staticky neurčitými silami

(reakcemi). Sestavíme zatěžovací stavy.

Deformační podmínky pro silové zatížení a zatížení změnou teploty:

Obecně: pro



j

p

jj,i,jtj

p

j

l

j,i,jti, lNtαxNtαδj

1

01 0

00 ΔdΔ

Deformační součinitelé:

a) pro silové zatížení

b) pro zatížení změnou teploty

j

p

j j

j,kj,i

l

j

p

j j

j,kj,ip

j

l

j

j

j,kj,i

i,k lA

NN

Ex

A

NN

Ex

A

NN

Eδ

jj

1011 0

1d

1d

1

j

p

j j

j,j,i

i, lA

NN

Eδ

1

0

0

1


Popuštění podpor příhradového nosníkuObr. 7. 4. / str. 168

Popuštění podpor příhradového nosníku

s

n

kii,ki,k ,n,...i dδXδ

s

11

0

Deformační podmínky:

Obecně: pro220222121

110212111

dδXδXδ

dδXδXδ


Popuštění podpor příhradového nosníkuObr. 7. 4. / str. 168


bd

ad

bbaa,

bc

ac

bbaa,

dc

wL

xw

L

xLwRwRδ

wL

xw

L

xLwRwRδ

wdwd

2,2,02

1,1,01

21

Zadáno:

Reakce v 1. a 2. stavu:

a

dcba

u

w,w,w,w

1. a 2. zatěžovací stavObr. 7. 3. / str. 166

L

xR

L

xLR

L

xR

L

xLR

db,

da,

cb,

ca,

22

11



bad

da,,

bac

ca,,

wwL

xwwXδXδ

wwL

xwwXδXδ

222112

221111

Deformační podmínky:

Po dosazení:

Po úpravě:

Řešení rovnic:

220222121

110212111

dδXδXδ

dδXδXδ

dbd

ad

,,

cbc

ac

,,

wwL

xw

L

xLXδXδ

wwL

xw

L

xLXδXδ

222112

221111

dc R XRX 21


Řešení příhradového nosníku, dokončení

22110

22110

b,b,b,b

a,a,a,a

RXRXRR

RXRXRR

Staticky neurčité rovinné kloubové příhradové nosníkyObr. 7. 1. / str. 164

Výpočet reakcí pro silové zatížení (obr. 7.1.(a)):

Pro deformační zatížení:

Výpočet normálových sil v jednotlivých prutech:

sn

kkj,kj,j XNNN

10

000 b,a, RR


Zadání příkladu 5.4Obr. 7. 5. / str. 168

Příklad 5.4

2825132 svpn es

Stupeň statické neurčitosti:


Rozklad na dílčí stavy v příkladu 5.4Obr. 7. 6. / str. 169

Příklad 5.4, řešení

0

0

20222121

10212111

δXδXδ

δXδXδ

Deformační podmínky pro silové zatížení:


Tab. 7.1 / str. 169


j

p

j j

j,j,i

j

p

j j

j,j,i

i, lA

NNl

A

NN

Eδ

1

0

1

0

0

1Deformační součinitelé:

(dosadíme E = 1)


Tab. 7.2 / str. 170



Příklad 5.4, dokončení řešení

kN819,35

kN080,103

0469110662,4967751,2824

01334287751,2824657,11962

2

1

21

21

dx

bz

RX

RX

XX

XX

Deformační podmínky po dosazení:

Výpočet výsledných reakcí a osových sil:

kN275,219213,03

2

kN195,3919213,03

1

kN819,351

210,

210,

2

XXRR

XXRR

XR

bzbz

azaz

ax

22110 XNXNNN j,j,j,j (použijeme hodnoty z tab. 7.1)

47Staticky neurčitý a tvarově přeurčitý příhradový nosník

Staticky neurčité interakce a reakce u soustavy částečně vnitřně staticky neurčitéObr. 7. 7. / str. 171

Staticky neurčitý a tvarově přeurčitý příhradový nosník

Staticky neurčité rovinné příhradové nosníkyObr. 7. 1. / str. 164

5202540

2

s

es

n

svpn

int ss nn celková statická neurčitost je částečně vnitřní

Poznámka: Do výpočtu deformačních součinitelů nutno zahrnout

virtuální práci osových sil odebraných prutů.


Zadání příkladu 5.5Obr. 7. 8. / str. 172

Příklad 5.5

1

2624102

.int

s

es

n

svpn

Stupeň statické neurčitosti:


Rozklad na dílčí stavy v příkladu 5.5Obr. 7. 9. / str. 173




Tab. 7.3 / str. 174

0

0

20222121

10212111

δXδXδ

δXδXδ

Deformační podmínky pro silové zatížení:



Tab. 7.4 / str. 174

j

p

j j

j,j,i

j

p

j j

j,j,i

i, lA

NNl

A

NN

Eδ

1

0

1

0

0

1Deformační součinitelé:

(dosadíme E = 1)


Příklad 5.5, dokončení řešení

)kN(074,39

tahkN189,7

0190267356,4490691,2059

0123582691,2059316,5995

2

81

21

21

cxRX

NX

XX

XX

Deformační podmínky po dosazení:

Výpočet výsledných reakcí a osových sil:

kN975,63

1

kN025,333

1

kN074,391

20,

20,

2

XRR

XRR

XR

bzbz

azaz

ax

22110 XNXNNN j,j,j,j (použijeme hodnoty z tab. 7.3)

53

Použitá literatura

[1] Benda Jiří, Stavební statika II, VŠB-TU Ostrava 2005

Date post:	21-Feb-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	7 times
Download:	0 times

Téma 5 - vsb.czfast10.vsb.cz/kolos/file/SSKI_Kombi/SSKI_tema5_Kombi.pdfKatedra stavební mechaniky...

Documents