Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Úměrnosti

Výpočty přímé a nepřímé

úměrnosti.

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Poměr - opakováníPojem poměr nás provází celým životem a setkáváme se s ním prakticky každodenně.Vzpomeňme jen na pár ukázkách některé případy, v nichž se v běžném životě s poměrem (pojmem poměr, vyjádřením poměru) setkáváme. Tak například poměr ředění sirupů, postřiků, čisticích prostředků, oleje apod.

Obrázky: vlastní foto

Uveď další příklady užití poměru. Např. z oblasti sportu, …

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Poměr - opakování

Poměr porovnávaných údajů a,b zapisujeme

a : ba čteme a ku b.

3:2 9:13

15:13 1:3

Poměr a : b můžeme zapsat ve tvaru zlomku:

b

aba :

Číslo a>0 nazýváme první člen poměru.

Číslo b>0 nazýváme druhý člen poměru.

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Užití poměru 3:2 - změna v daném poměru

Čím se oba zápisy liší, kromě úvodní zadané hodnoty, která byla v obou příkladech jiná?

2

3800

3

21200

400

1 400

1

1

3400 3400 1200

1

2400 2400 800

V prvním příkladu jsme v daném poměru číslo

zvětšovali, násobili jsme zadanou hodnotu poměrem

zapsaným do zlomku tak, aby byl větší než jedna, tzn. čitatel

byl větší než jmenovatel.

Ve druhém příkladu jsme sice opět násobili zadanou hodnotu poměrem zapsaným do zlomku, ale tentokrát tak, aby byl menší než jedna, tzn. čitatel byl menší než jmenovatel. Výsledkem je pak zmenšení daného čísla v

daném poměru.

Z uvedeného pro nás tedy vyplývá závěr, že pokud násobíme dané číslo číslem větším než jedna, dané číslo zvětšujeme, a naopak pokud násobíme dané číslo číslem menším než jedna, pak dané číslo zmenšujeme!

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Zvětšování čísla v daném poměruZvětšit číslo v daném poměru znamená vynásobit toto číslo zlomkem vytvořeným z daného poměru tak, aby byl větší než jedna. To znamená v čitateli větší část poměru a ve jmenovateli část menší.

Příklad: Zvětšete číslo 24 v poměru 4:3.

3

424

8

1

Zvětšit číslo 24 v poměru 4:3 tedy znamená vynásobit číslo 24 zlomkem 4/3, tj. určit 4/3 z čísla 24.

48 32

Je-li daný poměr větší než jedna, nastane při změně v daném poměru zvětšení!

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Zmenšování čísla v daném poměruZmenšit číslo v daném poměru znamená vynásobit toto číslo zlomkem vytvořeným z daného poměru tak, aby byl menší než jedna. To znamená v čitateli menší část poměru a ve jmenovateli část větší.

Příklad: Zmenšete číslo 24 v poměru 3:4.

4

324

6

1

Zmenšit číslo 24 v poměru 3:4 tedy znamená vynásobit číslo 24 zlomkem 3/4, tj. určit 3/4 z čísla 24.

36 18

Je-li daný poměr menší než jedna, nastane při změně v daném poměru zmenšení!

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Přímá úměrnost (úměra) - opakování

Počet

rohlíků

(kusů):1 2 3 4 5 6 7 8

Cena

rohlíků

(Kč):2 4 6 8 10 12 14 16

Příklad: Kolik korun bude stát nákup 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 rohlíků, stojí-li jeden rohlík 2,- Kč?

Kolikrát se zvětší (zmenší) jedna veličina, tolikrát se zvětší (zmenší) druhá veličina.V jakém poměru se zvětší (zmenší) jedna veličina, v takovém poměru se zvětší (zmenší) druhá veličina.Takový vztah mezi dvěma veličinami se nazývá přímá úměrnost.Říkáme, že veličiny jsou přímo úměrné.

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Přímá úměrnost (úměra) - opakování

Počet

rohlíků

(kusů):1 2 3 4 5 6 7 8

Cena

rohlíků

(Kč):2 4 6 8 10 12 14 16

Závěr, který pro nás ze všech našich zjištění vyplývá:

Kolikrát se zvětší (zmenší) jedna veličina, tolikrát se zvětší (zmenší) druhá veličina.V jakém poměru se zvětší (zmenší) jedna veličina, v takovém poměru se zvětší (zmenší) druhá veličina.Takový vztah mezi dvěma veličinami se nazývá přímá úměrnost.Říkáme, že veličiny jsou přímo úměrné.

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Výpočet přímé úměrnosti (úměry)

Počet

rohlíků

(kusů):1 2 3 4 5 6 7 8

Cena

rohlíků

(Kč):2 4 6 8 10 12 14 16

V jakém poměru se zvětší (zmenší) jedna veličina, v takovém poměru se zvětší (zmenší) druhá veličina.

2

6

4

12 4/

122

64

Z uvedeného tedy plyne, že pokud bychom neznali cenu 6 rohlíků, ale znali

cenu 2 rohlíků, mohli bychom tuto určit

zvětšením dané ceny v poměru počtu rohlíků.

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Výpočet přímé úměrnosti (úměry)

Počet

rohlíků

(kusů):1 2 3 4 5 6 7 8

Cena

rohlíků

(Kč):2 4 6 8 10 12 14 16

V jakém poměru se zvětší (zmenší) jedna veličina, v takovém poměru se zvětší (zmenší) druhá veličina.

2

54x

Více rohlíků ...

… znamená vyšší cenu ...

… a tak budeme číslo 4 zvětšovat

v poměru nárůstu počtu

rohlíků.

x

10x

Zvětšování znamená násobení daného čísla poměrem

zapsaným do zlomku tak, aby byl větší než jedna, tzn. čitatel

byl větší než jmenovatel.

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Výpočet přímé úměrnosti (úměry)

Počet

rohlíků

(kusů):1 2 3 4 5 6 7 8

Cena

rohlíků

(Kč):2 4 6 8 10 12 14 16

V jakém poměru se zvětší (zmenší) jedna veličina, v takovém poměru se zvětší (zmenší) druhá veličina.

5

210x

Méně rohlíků ...

… znamená menší cenu ...

… a tak budeme číslo 10

zmenšovat v poměru snížení

počtu rohlíků.

x

4x

Zmenšování znamená násobení daného čísla poměrem

zapsaným do zlomku tak, aby byl menší než jedna, tzn. čitatel

byl menší než jmenovatel.

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Nepřímá úměrnost (úměra) - opakování

Příklad: Chovatel psů má tři desetikilogramové balíky granulí. Vypočítejte, na jak dlouho mu tato zásoba potravy vydrží pro 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 psů, předpokládáme-li, že jeden pes sežere denně průměrně 1 kg granulí.Kolikrát se zvětší (zmenší) jedna veličina, tolikrát se zmenší (zvětší) druhá veličina.V jakém poměru se zvětší (zmenší) jedna veličina, v takovém poměru se zmenší (zvětší) druhá veličina.Takový vztah mezi dvěma veličinami se nazývá nepřímá úměrnost.Říkáme, že veličiny jsou nepřímo úměrné.

Počet

psů: 1 2 3 5 6 10 15 30

Počet

dnů: 30 15 10 6 5 3 2 1

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Výpočet nepřímé úměrnosti (úměry)

V jakém poměru se zvětší (zmenší) jedna veličina, v takovém poměru se zmenší (zvětší) druhá veličina.

Počet

psů: 1 2 3 5 6 10 15 30

Počet

dnů: 30 15 10 6 5 3 2 1x

Více psů ...

… znamená méně dnů, na které zbývá krmivo ...

… a tak budeme číslo 15

zmenšovat v poměru

nárůstu počtu psů.6

215x

5x

Zmenšování znamená násobení daného čísla poměrem

zapsaným do zlomku tak, aby byl menší než jedna, tzn. čitatel

byl menší než jmenovatel.

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Výpočet nepřímé úměrnosti (úměry)

V jakém poměru se zvětší (zmenší) jedna veličina, v takovém poměru se zmenší (zvětší) druhá veličina.

Počet

psů: 1 2 3 5 6 10 15 30

Počet

dnů: 30 15 10 6 5 3 2 1x

Méně psů ...

… znamená více dnů, na které zbývá krmivo ...

… a tak budeme číslo 5 zvětšovat v poměru snížení

počtu psů.2

65x

15x

Zvětšování znamená násobení daného čísla poměrem

zapsaným do zlomku tak, aby byl větší než jedna, tzn. čitatel

byl větší než jmenovatel.

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Zápis zadání výpočtu úměrnosti

Použijeme část našeho příkladu se psy:

Šesti psům by vydržela zásoba krmiva na pět dní. Na kolik dní by vydržela psům dvěma?

Počet

psů: 1 2 3 5 6 10 15 30

Počet

dnů: 30 15 10 6 5 3 2 1x

6 psů …………… 5 dní2 psi ……………. x dní

Stejné veličiny zapisujeme vždy

pod sebe. Nejsou-li,

převedeme je i na stejné jednotky.

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Postup výpočtu úměrnostiPoužijeme část našeho příkladu se psy:

Šesti psům by vydržela zásoba krmiva na pět dní. Na kolik dní by vydržela psům dvěma?

Počet

psů: 1 2 3 5 6 10 15 30

Počet

dnů: 30 15 10 6 5 3 2 1x

5x

15x

6 psů …………… 5 dní2 psi ……………. x dní

„Sloupeček“ s neznámou zapíšeme ve

tvaru ...

… dále následuje znaménko násobení

a zvětšení či zmenšení dle

druhého sloupečku dané úměrnosti. V tomto případě logicky zvětšení.

2

6

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

ZávěrZákladem řešení všech

příkladů na úměrnosti je logická úvaha, zda se

neznámá hodnota jedné z veličin bude počítat

zvětšováním či zmenšováním dané

hodnoty této veličiny pomocí poměru daného

hodnotami veličiny druhé!

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Příklady k procvičeníKterá veličina a jak se bude měnit?

Šest strojů vyrobí za směnu 360 součástek. Kolik součástek by za směnu vyrobilo 15 takových strojů?

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Příklady k procvičeníKterá veličina a jak se bude měnit?

Šest strojů vyrobí za směnu 360 součástek. Kolik součástek by za směnu vyrobilo 15 takových strojů?

6 strojů ………………. 360 součátek

15 strojů ……………….…. x součátekBude se zvětšovat počet součástek, neboť

více strojů vyrobí za stejnou dobu více součástek.

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Příklady k procvičeníKterá veličina a jak se bude měnit?Tři stejná čerpadla vyprázdní nádrž za 7,5 hodiny. Za jak dlouho by vyprázdnilo tuto nádrž 5 stejně výkonných čerpadel?

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Příklady k procvičeníKterá veličina a jak se bude měnit?Tři stejná čerpadla vyprázdní nádrž za 7,5 hodiny. Za jak dlouho by vyprázdnilo tuto nádrž 5 stejně výkonných čerpadel?

3 čerpadla ………………. 7,5 hodiny

5 čerpadel …………….….…. x hodin

Bude se zmenšovat počet hodin, neboť více čerpadel vyprázdní stejnou nádrž (vyčerpá

stejné množství vody) za kratší dobu.

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Příklady k procvičeníVymysli a zapiš další příklady přímé či nepřímé úměrnosti a urči u nich, které veličiny a jak se budou měnit?