UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PEDAGOGICKÁ FAKULTA · a jeho vzdělávání. Vytvořit sborník...

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

PEDAGOGICKÁ FAKULTA

Katedra matematiky

DIPLOMOVÁ PRÁCE

Bc. Pavla Jakubcová

SPECIFIKA MATEMATICKÉHO VZDĚLÁVÁNÍ NADANÝCH ŽÁKŮ NA

2. STUPNI ZŠ

Olomouc 2012

vedoucí práce: Mgr. Eva Bártková, Ph.D.

Prohlašuji, že jsem diplomovou práci vypracovala samostatně a použila jen uvedených

pramenů a literatury.

V Olomouci, dne

podpis

Děkuji Mrg. Evě Bártkové, Ph.D. za odborné vedení diplomové práce, poskytování

inspirativních podnětů a materiálních podkladů k diplomové práci. Všechny rady

a připomínky mi pomohly při průběžné úpravě i konečné korekci textu. Dále bych chtěla

poděkovat žákyním Markétě a Denise, které mi poskytly potřebné ověřující materiály a všem

pedagogům, kteří byli tak ochotni a vyplnili dotazníky potřebné k mé průzkumné části

diplomové práce.

Obsah

ÚVOD ........................................................................................................................................ 7

TEORETICKÁ ČÁST ............................................................................................................. 9

1 VYMEZENÍ POJMU INTELIGENCE, NADÁNÍ A TALENT ................................ 10

1.1 Definice inteligence a její struktura ....................................................................... 10

1.2 Definice nadání a talentu ....................................................................................... 12

1.2.1 Definice matematického nadání ................................................................. 13

1.3 Modely nadání ....................................................................................................... 14

1.3.1. Renzulliho „model 3 kruhů“ .................................................................. 14

1.3.2 Mönksův „vícefaktorový model nadání“ ................................................... 15

1.3.3 Sternbergův „triarchický model nadání“ ................................................... 15

1.4 Typologie nadání ................................................................................................... 16

1.4.1 Typologie matematického nadání .............................................................. 17

2 CHARAKTERISTIKA NADANÉHO JEDINCE ...................................................... 20

2.1 Charakteristika nadaného jedince z pozitivního a negativního ohledu ..................... 20

2.2 Charakteristika nadaného jedince v kognitivní a afektivní oblasti ........................ 21

2.3 Charakteristika nadaného jedince podle Laznibatové ........................................... 22

2.4 Charakteristika matematicky nadaného jedince .................................................... 23

2.5 Sociálně – emocionální problémy nadaných dětí .................................................. 25

3 IDENTIFIKACE NADANÉHO JEDINCE ................................................................ 27

3.1 Metody identifikace ............................................................................................... 27

3.1.1 Objektivní metody ..................................................................................... 27

3.1.2 Subjektivní metody .................................................................................... 29

3.2 Identifikační proces a identifikační strategie ......................................................... 31

4 NADANÍ ŽÁCI V DOKUMENTECH ........................................................................ 33

4.1 Rámcový vzdělávací program ............................................................................... 33

4.2 Bílá kniha ............................................................................................................... 34

4.3 Koncepce péče o mimořádně nadané děti a žáky pro období let 2009-2013 ........ 35

5 NADANÍ ŽÁCI VE VZDĚLÁVACÍM PROCESU ................................................... 37

5.1 Úprava forem ve vzdělávání nadaných žáků ......................................................... 37

5.1.1 Segregace ................................................................................................... 38

5.1.2 Integrace ..................................................................................................... 38

5.2 Úprava obsahu a organizace vzdělávání nadaných žáků ....................................... 39

5.2.1 Akcelerace (urychlování) ........................................................................... 39

5.2.2 Enrichment (obohacování) ......................................................................... 40

5.3 Vzdělávání nadaných žáků v České republice ....................................................... 40

5.3.1 Individuální vzdělávací plán (§ 13) ....................................................................... 41

5.3.2 Přeřazení do vyššího ročníku (§ 14) ...................................................................... 42

6 PÉČE O MATEMATICKÉ TALENTY V ČR .......................................................... 43

6.1 Povinné činnosti ve třídě s rozšířenou výukou matematiky .................................. 43

6.2 Rozšiřující činnosti ve třídě s rozšířenou výukou matematiky .............................. 44

6.2.1 Matematické soutěže .................................................................................. 45

PRAKTICKÁ ČÁST .............................................................................................................. 47

7 VYBRANÍ NADANÍ ŽÁCI .......................................................................................... 49

7.1 Markéta .................................................................................................................. 49

7.2 Denisa .................................................................................................................... 50

8 SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY PRO NADANÉ ŽÁKY NA 2. STUPNI ZŠ ... 51

8.1 Úlohy prohlubující učivo ....................................................................................... 51

8.2 Úlohy rozšiřující učivo – obohacující učivo .......................................................... 69

8.2.1 Kvadratické rovnice a slovní úlohy vedoucí k řešení kvadratických

rovnic… ............................................................................................................... 69

8.2.3 Finanční matematika .................................................................................. 88

8.2.3 Zhodnocení ........................................................................................................... 91

9. VYHODNOCENÍ DOTAZNÍKOVÉHO ŠETŘENÍ .................................................. 93

9.1 Charakteristika oslovených učitelů ........................................................................ 93

9.1.1 Zastoupení žen a můžu v dotazníkovém šetření ........................................ 93

9.1.2 Aprobace respondentů ............................................................................... 93

9.1.3 Délka učitelské praxe ................................................................................. 94

9.1.4 Zhodnocení: ............................................................................................... 94

9.2 Charakteristika matematicky nadaných jedinců .................................................... 95

9.2.1 Zhodnocení .............................................................................................. 100

9.3 Práce s matematicky nadanými dětmi ................................................................. 101

9.3.1 Zhodnocení .............................................................................................. 108

9.4 Identifikace nadaných žáků ................................................................................. 108

9.4.1 Hodnocení ................................................................................................ 114

ZÁVĚR .................................................................................................................................. 115

SEZNAM POUŽITÝCH PRAMENŮ A LITERATURY ................................................. 116

SEZNAM PŘÍLOH .............................................................................................................. 120

ANOTACE ............................................................................................................................ 127

7

ÚVOD

Diplomová práce „Specifika matematického vzdělávání nadaných žáků na 2. stupni ZŠ“

je zaměřena na problematiku týkající se matematicky nadaných jedinců a jejich individuálních

potřeb ve vzdělávání. Důvodem výběru mé diplomové práce je aktuální téma talentu a nadání

a můj zájem o složitější úlohy v matematice, které lze využívat při mé individuální práci

s žáky v hodinách matematiky.

V minulosti se v naší republice o nadaných a talentovaných žácích mluvilo velmi často.

Důkazem je vznik nejrůznějších zařízení sloužících k dalšímu rozvoji žáků ve specifických

oblastech a věnujících pozornost volnočasovým aktivitám těchto žáků. Za takováto zařízení

můžeme považovat například lidové školy umění, sportovní kluby apod. Opomíjenou oblastí

do jisté míry byla oblast intelektového nadání, kterou lze jednoduše charakterizovat jako

oblast, ve které žák s mimořádným intelektovým nadáním vyniká často ve všech školních

předmětech. Tito žáci patří do kategorie žáků se specifickými vzdělávacími potřebami, na

které většina lidí pohlíží jako na ty, kterým jde učivo snáze, rychleji a tudíž není potřeba se

jim více věnovat. Integrační proces žáků se speciálními vzdělávacími potřebami se stává

součásti většiny škol a tento integrační směr zaznamenáváme i ve vzdělávání nadaných žáků.

Roste počet odborníků zabývající se problematikou nadaných žáků, ale zvyšuje se i zájem ze

strany veřejnosti a škol, které se snaží nadání podporovat.

Cílem je vytvořit souhrnný přehled základních pojmů týkající se nadaného jedince

a jeho vzdělávání. Vytvořit sborník úloh, který má sloužit jako inspirace pro pedagogy nebo

jako učební pomůcka pro samotné žáky 9. tříd, srovnat výsledky dvou žákyň z různých tříd,

kdy první žákyně navštěvuje třídu s rozšířenou výukou matematiky a druhá třídu s rozšířenou

výukou němčiny a jistit názory a přístupy pedagogů k dané problematice.

Diplomová práce je rozdělena na dvě části: část teoretickou a část praktickou.

Teoretická část je rozdělena do 6 kapitol, které obsahují výčet poznatků získaných

studiem odborné literatury. Jedná se o základní pojmy jako jsou inteligence, talent, nadaní,

problematika týkající se jejich definic, základními modely nadání, typologií, charakteristikami

nadaných žáků, různými druhy identifikace, metodami výuky a vzděláváním matematicky

nadaných žáků v ČR.

Praktická část obsahuje dvě části. První část je tvořena jako soubor úloh určených pro

žáky 9. tříd, který může složit k výuce nadaných žáků ve třídách určené pro nadané jedince

8

nebo pro žáky, kteří jsou integrováni v běžné třídě, ale také jako inspirace pro pedagogy.

Většina úloh byla ověřena při práci se dvěma žáky, se kterými již delší dobu spolupracuji při

individuálních hodinách matematiky. Druhá část je věnována dotazníkovému šetření.

9

TEORETICKÁ ČÁST

10

1 VYMEZENÍ POJMU INTELIGENCE, NADÁNÍ A TALENT

1.1 Definice inteligence a její struktura

Pokud mluvíme o nadání, neměl by chybět alespoň stručný popis pojmu inteligence,

který je rozhodně nedílnou součástí pojmu nadání. Definovat, co je to vlastně inteligence, je

jeden velký problém. Po prostudování různých definic a charakteristik můžeme zjistit, že

oblast lidské inteligence není zdaleka jednotná a jednoznačně definovaná. Tento fakt zcela

podtrhl Youngson (in Jurášková, 2002): „Na inteligenci je nezajímavější, že vůbec nevíme, co

to je.“

Podle Piageta (in Jurášková, 2002, str. 17) „inteligence představuje stav rovnováhy, ke

kterému směřují všechny postupné adaptace senzomotorické a poznávací, a taky všechny

asimilační a akomodační styky mezi organismem a prostředím“. Asimilaci vysvětluje jako

působení organismu na prostředí a akomodaci jako působení prostředí na organismus. Jeho

definice tedy říká, že inteligence je přizpůsobení se organismu prostředí a přizpůsobení se

prostředí organismem.

Tyto definice ovšem obsahují jakýsi druh chování, přizpůsobení jedince, ale nenajdeme

zde zmínku o tom, jak by se inteligence dala měřit. Neodpustím si zde neuvést definici od

Boringa (in Jurášková, 2002), která tuto situaci vystihuje: „…inteligence je to, co měříme

testy inteligence“.

Po vzniku inteligenční testů, vznikají i různé názory a představy o struktuře inteligence.

Podle Spearmena (in Machů, 2002) se inteligence skládá ze dvou faktorů: obecného „faktoru

g“ a ze specifického „faktoru s“. „Faktor g“ se využívá při řešení problémových situací a při

řešení kognitivních úloh, zatímco „faktor s“ závisí na konkrétním charakteru dané úlohy.

S tímto tvrzením nesouhlasil Thurstone, který dospěl k závěru, že inteligenci tvoří sedm

schopností – porozumění slovům, slovní plynulost, numerické počítání, prostorová orientace,

paměť, percepční rychlost a usuzování, které jsou vzájemně nezávislé.

Cattel (in Petrová, 2009) rozdělil Spearmenův „g faktor“ na dva samostatné faktory:

fluidní a krystalizovanou inteligenci. Fluidní inteligence, schopnost chápat a usuzovat, je

závislá na biologických předpokladech a do dospělosti se zvyšuje, poté postupně klesá.

Krystalizovaná inteligence, verbální schopnosti, je ovlivněna prostředím, vzděláním. Zvyšuje

se vědomostmi a na rozdíl od fluidní inteligence se věkem nesnižuje.

Podle Gardnera (in Machů, 2002) existuje sedm typů inteligence a to – inteligence

lingvistická, logicko-matematická, prostorová, hudební, přírodní, tělesně pohybová

a personální.

11

1. Inteligence lingvistická. Ukazuje, jak děti s tímto druhem inteligence umí

zacházet s jazykem, jak se vyjadřují, jak rychle se učí nový jazyk apod. Žáky

s touto inteligenci baví psaní dopisů, povídek, vytváří si vlastní noviny,

časopisy, rády řeší křížovky, hádanky.

2. Inteligence logicko-matematická. Zahrnuje numerické schopnosti. Je tím

myšleno klasické počítání s čísly, ale i schopnosti logického myšlení

a analýzy. S oblibou je zde počítání z paměti, vymýšlení experimentů, řešení

logických hádanek, hraní šachů apod.

3. Inteligence prostorová. Jedná se o zvýšené vnímání prostoru a vizuální

stránky. Lidé s touto inteligencí mají dobrou vizuální paměť, prostorovou

orientaci, rádi skládají puzzle, rozvíjí svou dovednost kreslením přesných

podob věcí a lidí, čtením a vytvářením map, plánů apod.

4. Inteligence hudební. Projevuje se schopností vyjádřit myšlenky a emoce

prostřednictvím hudby, citlivějším vnímáním zvuků okolí, schopností hrát na

několik hudebních nástrojů apod.

5. Inteligence přírodní. Lidé vlastnící přírodní inteligenci mají zvýšené

vznímání přírodního světa, díku čemuž rádi objevují zákonitosti přírody, ve

které se často a snadno pohybují.

6. Inteligence tělesně pohybová. Lidé s tímto inteligentem se dobře učí vše, co

se týká pohybu. Často pro své vyjadřování používají tělo, které musí mít

neustále v pohybu. Vrtí se, podupávají, jsou zruční v manuálních činnostech.

Baví je různé pohybové aktivity.

7. Personální inteligence. Personální inteligenci můžeme dělit na interpersonální

a intrapersonální.

a) Interpersonální – tito lidé rádi navazují přátelské vztahy, rádi pracují

ve skupině, jsou to lidé se sklonem k extrovertizmu, rádi diskutují

a podílejí se na různých aktivitách s ostatními lidmi.

b) Intrapersonální – tito lidé jsou spíše introverti, nenechají se druhými

lidmi ovlivňovat, pracují raději sami, věnují se svým osobním zájmům,

jdou svou cestou ve způsobu chování i oblékání.

K měření inteligence používáme inteligenční kvocient IQ, který nám říká a ukazuje, jak

vysoko nad průměrem nebo naopak, jak vysoko pod průměrem se člověk své věkové

kategorie nachází.

12

1.2 Definice nadání a talentu

Nalezneme mnoho autorů, kteří tyto dva pojmy chápou jako synonyma. Ti, kteří mezi

těmito pojmy diferencují, není příliš mnoho. Možná tento problém byl jedním z důvodů, proč

roku 1982 M. Musil provedl analýzu, ve které se zabýval společnými a rozdílnými znaky

v definicích obou pojmů.

Společné podle této analýzy mají to, že jsou oba definovány jako předpoklady na straně

osobnosti, které podmiňují mimořádně úspěšnou činnost, výkon a produktivitu v určité

oblasti. Musil dále stanovil mezi pojmy kvalitativní a kvantitativní rozdíly. Kvantitativní

rozdíl nám stanovil, že talent je většinou definován jako vysoký stupeň nadání. Hříbková

(2009, str. 41) rozlišuje kvalitativní rozdíly podle:

Geneticky-vývojového hlediska, kdy nadání je považováno za vrozené, kdežto

talent za výsledek interakce s prostředím,

obsahového hlediska, kdy nadání je relevantní používat ve vztahu k přírodním

vědám, kdežto talent k humanitním oborům,

stupně všeobecnosti, kdy nadání jako všeobecné předpoklady, často pojímané

jako všeobecná inteligence, talent jako úzce vymezené schopnosti.

Jelikož se tato práce zabývá převážně intelektovým nadáním, budeme většinou používat

pojem nadání.

V literatuře se můžeme setkat s definicemi nadání podle různých kritérií. Například

Mönks a Ypenburg (2002) nastínili čtyři modely výkladu nadání:

Model založený na schopnostech. Tato formulace vychází z domněnky, že

schopnosti lze zjistit již v časném věku a že se v průběhu života nemění a jsou

stálé.

Model založený na kognitivních složkách. Tento model je zaměřen na

procesy zpracování informací. Jde o zjištění vzniku kvalitativních rozdílů mezi

informačními procesy. Někteří odborníci navrhují místo IQ používat QI

(kvocient), které vyjadřuje kvalitu zpracování informací.

Model orientovaný na výkon. Pro tento model není důležitý výkon. Zaměřuje

svou pozornost spíše činitelům, které stojí v cestě projevů nadání.

Model sociokulturně orientovaný. Vychází z toho, že nadání se může

projevovat jen za spolupráce individuálních a sociálních faktorů. Pokud by se

např. vzdělávací politika zaměřila jen na žáky slabší a průměrné, vysoce

nadaní žáci nedostanou možnost své nadání dále rozvinout. (Mönks,

Ypenburg, 2002)

13

Z pedagogického hlediska má pravděpodobně největší význam Marlandova definice:

„Nadané a talentované děti jsou ty, které jsou identifikované kvalifikovanými profesionály

a které jsou vzhledem na výjimečný potenciál schopné vysokých výkonů. Tyto děti potřebují na

realizaci svého přínosu pro společnost vzdělávací program a servis, který běžně neposkytují

regulární školy.“

Děti, které jsou podle uvedené definice schopné vysokého výkony, jsou ty, které mají

úspěch nebo schopnosti v některé z následující oblasti:

1. Všeobecná intelektová schopnost,

2. specifické akademické schopnosti,

3. tvořivé nebo produktivní myšlení,

4. vůdcovské schopnosti,

5. umělecké schopnosti (Jurášková, 2002).

Podle Clárkové (in Jurášková, 2002. str. 21) je nadání: „Ve své podstatě biologický

pojem, který označuje vysokou úroveň inteligence a indikuje předčasný a akcelerovaný vývin

funkce mozku, zahrnující smysly, emoce, poznávání a intuici. Takto předčasně rozvinutá

a akcelerovaná funkce může být vyjádřena schopnostmi obsaženými v poznávání, kreativitě,

v akademické oblasti, vůdcovství anebo ve vizuálním a reprodukčním umění. Nadaní jedinci

jsou ti, kteří mají v těchto oblastech výkon nebo perspektivu výkonu na vysoké úrovni a kteří

pro plné rozvinutí svých schopností, vzhledem na svůj předčasný a akcelerovaný vývin,

vyžadují starostlivost anebo aktivity, které běžné školy neposkytují“.

1.2.1 Definice matematického nadání

Jelikož se v mé práci zabývám žáky matematicky nadanými, je nutné objasnit definici

matematického nadání. Autoři a odborníci na tuto problematiku se snaží teorie sjednotit, ale

stále se jim to nevede. Často se můžeme setkat spíše s pojmem „matematické schopnosti.

Opět neexistuje jednotná charakteristika, co je matematická schopnost. Proto dále zmíněné

charakteristiky jsou spíše vysvětlení v tom smyslu, jak je chápou jednotliví badatelé. (Calábek

a spol. 2008)

Kiesswettera uvádí svou charakteristiku matematiky, kterou je možno považovat za

„definici“ matematických schopností, následovně: „…matematika se nesestává jen z řešení

daných problémů, ale je obsáhlou teorií a zahrnuje formulace nových problémů pro žáky,

ekonomické využití výsledků, vymýšlení metod vhodných k řešení problémů, neustálé vytváření

nových pojmů a přemýšlení o jejich přiměřenosti a vztazích s jinými pojmy, provádění jejich

vhodného začlenění a další využití důležitých struktur.“ (Calábek a spol., 2008, str. 7)

14

Kruteckého vymezení zní: „Schopnější není ten, kdo vykazuje vyšší úroveň výkonu, ale

ten, kdo za stejných podmínek dosahuje vyšší úrovně rozvoje, tj. ten, kdo je schopnější

vývoje.“ (Kruteckij in Calábek a spol., 2008, str. 5)

Kruteckij charakterizuje nadaného žáka v matematice jako: „Matematicky nadaní žáci

pochopí princip matematické úlohy promptně, orientují se v ní skoro současně s vnímáním

základních dat příkladů. Už toto vnímání je u nich ve významné míře analytické, ale

bezprostředně nato i syntetické. Proto umí řešit každou úlohu více obecně, spíše jako typickou

než jako zvláštní. Přechod od jedné úrovně, resp. jedné formy operace k jiné, jim nedělá

žádné problémy a projevují přitom osobitý smysl pro jasnost, jednoduchost a přehlednost

řešení. Jejich paměť je nejen výjimečně zobecňující, ale i výběrová (paměť na čísla, vzorce

apod.). Podobně disponují výjimečnou schopností orientovat se v prostoru (prostorová

představivost.)… Je jen přirozené, že svůj osobitý smysl pro matematiku, svůj způsob

matematického (logického) myšlení aplikují spontánně a adekvátně i v jiných oblastech své

činnosti.“ (Kruteckij in Calábek a spol., 2008, str. 10)

1.3 Modely nadání

Modely nám slouží k pochopení pojmu nadání. Zastupují rozsáhlé slovní definice

a mohou být považovány za přijatelnější, protože dovedou lépe a přehledněji vyzdvihnout

podstatu nadání. Zajímavé a důležité je, že nám modely neukazují pouze podstatu, ale hovoří

i o činitelích, kteří ovlivňují předporadovou složku nadání a mohou ji dovést do

nadprůměrného výkonu.

1.3.1. Renzulliho „model 3 kruhů“

Tento model vychází ze tří základních složek, a to nadprůměrné schopnosti, tvořivosti

a motivace. Vnímání je zde chápáno jako součinnost těchto tří znaků. Za nadaného jedince se

považuje ten, kdo je nositelem těchto vlastností, nebo je schopen rozvíjet tyto vlastnosti

a aplikovat je. K uplatnění vysokých schopností je potřeba motivace, která vede k aktivitě. Ta

aktivita je kreativní a tyto tři poznatky jsou vystiženy v modelu. Ve své definici upozornil na

skutečnost, že tito žáci potřebují vzdělávací možnosti a servis, který v běžné škole není

poskytovaný. (Jurášková, 2003, Machů, 2006)

15

Obrázek č. 1: Renzulliho „model 3 kruhů

1.3.2 Mönksův „vícefaktorový model nadání“

Tento model je inspirován modelem Renzulliho. Mönks jej doplnil o vlivy prostředí,

a to školské prostředí, rodinu a přátelé, protože tvrdil, že pokud sociální prostředí nepůsobí při

vývojové potřebě dítěte, nemůže se interakce plně vyvinout a zůstane na úrovni, která

potřebám dítěte neodpovídá. O nadání se jedná tedy jen tehdy, pokud všech šest znaků do

sebe zapadá. (Machů, 2006)

Obrázek č. 2: Mönksův „vícefaktorový model nadání“

Tento model ještě více rozvinul Czeisel, který k vnitřním faktorům přidal specifické

intelektové schopnosti a ke vnějším faktorům faktor štěstí.

1.3.3 Sternbergův „triarchický model nadání“

R. Sternberg nesouhlasí s objektivitou měření IQ inteligenčními testy, protože testy měří

jen jednu z více složek inteligence. Definuje inteligenci jako: „Schopnosti učit se ze

16

zkušenosti, dobře uvažovat, pamatovat si podstatné informace a dobře zvládat požadavky

každodenního života“. (Machů, 2007, str. 11)

Na základě této definice rozlišuje tři druhy nadání (Sejvalová, 2004):

1. Analytické nadání. Jedná se o schopnost rozebrat daný problém na části a těmto

částem i rozumět. Lidé, kteří patří do této skupiny, jsou úspěšní v konvenčních

inteligenčních testech, protože analytická inteligence je ta, kterou tyto testy IQ měří.

2. Syntetické nadání. Jedná se o schopnost pochopení problému, intuice a kreativity.

Toto nadání nalezneme u lidí, kteří nemusejí vynikat v IQ testech, protože vidí

v zadání hlubší souvislosti, než jsou v testu myšleny. Tito lidé jsou velmi přínosní pro

vědu, literaturu a umění.

3. Praktické nadání. Zde jde o aplikování analytické či syntetické inteligence do praxe.

Člověk mající toto nadání umí rychle zhodnotit prostředí a téměř okamžitě nalézt

způsoby řešení situace.

Obrázek č. 3: Sternbergův „triarchický model nadání“

1.4 Typologie nadání

Portešová uvádí, že podle Bettse a Neihartové existuje 6 základních typů nadání, se

kterými se můžeme setkat:

1. Úspěšné nadané dítě. Dítě je charakteristické tím, že se velmi dobře učí, má samé

jedničky, je poslušné, nejeví žádné výchovné problémy, dovede jednat s lidmi apod.

Identifikace tohoto dítěte učitelem je často správná.

2. Vysoce tvořivé nadané dítě. Chování tohoto dítěte bývá velmi konfliktní, protože

neustále vymýšlí něco nového, experimentuje, těžko se dokáže přizpůsobit školnímu

systému, opravuje dospělé, chce měnit školní pravidla a špatně se ovládá.

17

3. Nadané dítě maskující své schopnosti. Tyto děti mívají nízké sebevědomí a jsou

často frustrované. Schovává své vědomosti, aby bylo přijato spolužáky. S tímto typem

se můžeme setkat převážně u dívek nově nastupujících na střední školu.

4. „Ztroskotalé, odpadlé“ nadané dítě. Toto dítě protestuje proti učitelům, rodičům,

kamarádům, spolužákům, jednoduše proti celé společnosti, protože má pocit, že mu

nikdo nerozumí. Má snížené sebevědomí, je nespokojené a také to dává najevo.

V hodinách se to může projevit tím, že vyrušuje nebo již rezignovalo a odmítá

jakoukoliv školní činnost, jeho hodnocení je průměrné až podprůměrné.

5. Nadané dítě s určitou vývojovou poruchou. Většinou se jedná o žáky, kteří jsou

hodnoceni jako průměrní, i když jsou velmi nadaní. Jedná se o to, že tito žáci nejsou

schopni pracovat pod časovým tlakem, bojí se selhání, a proto jejich školní zadání

jsou většinou nedokončena.

6. Autonomní nadané dítě. Dítě rádo riskuje, velmi pozitivně se hodnotí, je nezávislé,

vystačí si samo se sebou a školní systém bere tak, aby z něj co nejvíce vytěžil ve svůj

prospěch.

1.4.1 Typologie matematického nadání

Jiří Mareš ve svém článku „Žáci nadaní a talentovaní na matematiku“, uvádí typologii

podle Usiskina. Tato typologie nás seznamuje s širokou škálou možností talentu. Postupuje od

absence talentu na matematiku až po geniální matematiky. Pro školní prostředí je

nejdůležitější úroveň 0 až 4. (Mareš, 2004, str. 15-19)

Označení úrovně

Prevalence v populaci Charakteristika jedince

Charakteristika výuky

Uplatnění v životě Dosažení úrovně

0. úroveň -

nelze

mluvit o

talentu

Běžná u malých dětí. U

dospělých závisí na

vzdělání,

sociokulturních a ekonomických

faktorech.

Nemá hlubší

matematické

znalosti, pochopil

základy aritmetiky, počítá, ale

s obtížemi.

Chybí

systematická

výuka, jedinec se

učí pokusem a omylem,

životními

zkušenostmi.

U malých dětí

přechodné stádium.

U části dospělých

obtíže s uplatněním.

U malých dětí je

to výchozí

stádium pro

možný přechod k vyšším

úrovním.

1. úroveň –

základní

úroveň talentu

Dosahuje ji většina

dospělých osob, ale

téže většina žáků po 6. Třídě.

Absolvoval stovky

vyučovacích hodin

matematiky, ovládá aritmetické

operace.

Jde o výuku

odpovídající

svým kurikulem a vyučovacími

metodami

přibližně 1.

stupni naší základní školy.

Znalosti a

dovednosti tvoří

jen předpoklad vzdělávání.

V běžném životě

by jedinec byl

pokládán za člověka, který

nemá ukončené ani

základní vzdělání a měl by obtíže se

sháněním

Závisí mj. na

historickém

období (před 500 lety se pokládaly

tyto znalosti za

důkaz vysokých

schopností, ne-li mimořádného

talentu) a

vyspělosti dané země. Ve

vyspělých

18

zaměstnání. zemích se

dosahuje školní

docházkou a životními

zkušenostmi.

2.úroveň –

standardní žák

Dosahují ji žáci

absolvováním 2. a 3. stupně školy (v USA

asi 15%, v Japonsku

přes 50% populace)

Absolvoval tisíce

hodin matematiky. Ovládá aritmetiku,

základy algebry a

geometrie. Snaží se

matematice porozumět, je

pilný, píše domácí

úkoly.

Jde o výuku

odpovídající svým kurikulem

a vyučovacími

metodami

přibližně 2. stupni naší

základní školy a

některé ze

středních škol zakončených

maturitou.

Ti lepší přecházejí

na vysokou školu a mohou se věnovat

matematice jako

oboru anebo se

stávají učiteli matematiky pro ZŠ

či SŠ.

Obvykle jde o

žáky, kteří mají předpoklady

úspěšně složit

přijímací

zkoušku na střední školu i ji

úspěšně

absolvovat.

3. úroveň –

vynikající

student

Dosahuje ji asi 1-2%

z příslušného

populačního ročníku (v

USA asi 40 000 –

80 000 studentů ročně.

Baví je matematika

a fyzika. Proklaje

vhled d problémů,

přichází

s nestandardními

řešeními, nestačí

mu úlohy, které se

probírají ve škole, shání si odborné

publikace, zajímá

se o programování.

Nestačí jim

běžná výuka

matematiky.

Snaží se

dosáhnout

matematických

tříd. Věnují se

matematice i ve volném čase,

vzdělávají se

v rámci

matematických kroužků, klubů.

Volí si matematiku

jako hlavní obor

vysokoškolského

studia a někteří

pokračují

v doktorském

studiu matematiky.

Dosažení této

úrovně je dáno

jednak jejich

talentem, jednak

mimoškolními

aktivitami. Sami

se snaží

prohloubit si znalosti a

dovednosti

z matematiky.

4. úroveň - mimořádně

talentovaný

student

Rekrutují se z nejlepších studentů

na středních školách,

tvoří 0,5-1% z těch,

kteří dosáhli úrovně 3 (v USA asi 200-400

studentů ročně)

Milují matematiku a zabývají se ji i ve

svém volném čase.

Kupují si odborné

publikace a časopisy. Mívají i

jiné zájmy, ale

prioritou je

matematika. Rádi debatují

s matematiky.

Ačkoliv to vypadá, že se

narodili

s nadáním pro

matematiku, jejich talent je

třeba

systematicky

rozvíjet. Školy specializované na

výuku

matematiky, letní

školy a letní

matematické

tábory.

Jde o studenty, kteří se cítí být

matematiky.

Studují matematiku

na vysoké škole jako hlavní obor,

většina obvykle

pokračuje

v doktorském studiu matematiky.

Úroveň je daná jejich talentem,

ale především

systematickým

školní i rozsáhlým

mimoškolním

vzděláváním

v matematice.

5. úroveň –

produktivní

matematika

Desítky až stovky osob

ročně rekrutující se

z nejlepších absolventů

vysokoškolského studia matematiky

Jde o studenty,

kteří po

absolvování vysoké

školy pokračují v doktorském

studiu matematiky.

Doktorské

studium pod

vedením

výborných matematiků,

účast na tvořivé

práci, v „dílně“

školitele či výzkumného

týmu.

Doktorand

publikuje své první

kratší články. Učí

se výzkumné práci. Časem se z nich

stanou produktivní

matematici.

Úrovně dosahují

díky výraznému

talentu, ale i

hlubokou postgraduální

přípravou.

Vyhraňuje se u

nich zájem o konkrétní oblast

matematiky.

Snaží se

konzultovat a pracovat u

zkušených

matematiků.

6. úroveň –

vynikající, špičkový

matematik

Jedinci rekrutující se

z absolventů neprestižnějších

univerzit

Jde o špičky ve své

věkové skupině v dané zemi.

Posouvají poznání

v daném oboru,

přicházejí s originálními

řešeními.

Na základní

škole nebývají úplně rozhodnuti

se věnovat právě

matematice, ale

baví je přicházet věcem na kloub,

řešit problémy.

Uplatňují se jako

vůdčí osobnosti svého oboru.

Této úrovně

dosahují nejen díky

mimořádnému

talentu, ale

především mimořádným

nasazením během

19

Mají širší zájmy.

Pro matematiku

se rozhodují až na střední škole.

Jakmile se

rozhodnou,

věnují se oboru naplno.

vysokoškolského

a postgraduálního

studia. Žijí vědou a objevováním.

7. úroveň – geniální

matematik

Několik jedinců v celé historii lidstva,

uznávaní velikáni

Euklides, Archimedes,

Pascal, Newton,

Leibnitz, Euler,

Lagrange, Gauss, Rieman atd.

Tabulka č. 1: Typologie matematického nadání

20

2 CHARAKTERISTIKA NADANÉHO JEDINCE

Každého člověka lze charakterizovat určitými vlastnostmi a jinak tomu není ani

u nadaných jedinců. Tato charakteristická specifika nám mohou pomoci dobře identifikovat

člověka, který vlastní určitý druh nadání. Existuje mnoho seznamů s výčtem těchto projevů,

ale je nutné si uvědomit, že žádný seznam nemůže absolutně potvrdit či vyvrátit, zda se jedná

o nadané dítě. Autoři nás varují před faktem, že nadané děti nejsou stejnorodé a je nutné je

brát jako individuality. Může se stát, že se některé znaky u těchto dětí vůbec neprojeví.

(Sejvalová, 2004)

2.1 Charakteristika nadaného jedince z pozitivního a negativního

ohledu

Podle Winebrennerové (in Sejvalová, 2004) se nadaní jedinci projevují ve dvou

ohledech:

V pozitivním ohledu se jedná o následující charakteristiky:

Jedinci jsou extrémně vyspělí a to jak v oblasti učení, tak v oblasti výkonu,

může se u nich objevit asynchronní vývoj, což znamená, že jsou v některých oblastech

značně napřed a naopak v jiných vykazují vývoj opožděný,

vlastní širokou slovní zásobu a vyspělý verbální projev,

mají dobrou paměť,

věci se učí až překvapivě rychle a dokonce bez pomoci druhých,

nemají problém se složitějšími myšlenkovými operacemi ve srovnání s vrstevníky,

objevuje se u nich schopnost práce s abstraktními myšlenkami s minimální zkušeností

pro pochopení,

chápou vztah příčiny a následku,

jsou jim viditelné vzorce, vztahy a souvislosti, které jsou jiným ukryty,

nacházejí lepší způsoby řešení, i když ne vždy vhodné,

dávají přednost složitějším úkolům,

přenášejí své vědomosti do nových situací a následně řeší problémy týkající se těchto

situací,

snaží se podělit o to, co vědí,

kladou nekonečné otázky z důvodu zvědavosti,

jsou nadšení pozorovatelé,

21

jsou citliví, ba dokonce vznětliví, aktivita je dokáže pohltit,

jejich zájmy, koníčky a sbírky by se daly označit jako neobvyklé,

raději pracují samostatně a nezávisle,

vlastní velkou míru energie,

vlastní cit pro krásno, lidské pocity, emoce a očekávání,

vlastní zvýšený smysl pro spravedlnost, morálku a fair play,

vlastní sofistikovaný smysl pro humor,

jsou rádi přirozenou autoritou a ve vedení.

Podle výše uvedeného výčtu pozitivních vlastností se může zdát, že nadané dítě je

určitým ideálem žáka pro učitele. Není tomu zcela tak. Tito žáci se často projevují

i v negativním pohledu a to například takto:

Odmítají zadanou práci, nebo pracují nedbale,

tempo třídy je znervózňuje, protože jej považují za nedostatečné,

odmítají rutinní práci nebo práci, u které lze předvídat výsledek,

jejich otázky mohou mít choulostivý charakter, vyžadují u nich zdůvodnění,

neberou v potaz příkazy,

během hodin sní,

většinou vedou třídní diskuze,

jsou panovační ke spolužákům i k učitelům,

jsou netolerantní k nedokonalostem,

špatně snáší kritiku a snadno se rozpláčou.

2.2 Charakteristika nadaného jedince v kognitivní a afektivní

oblasti

Další způsob dělení charakteristických vlastností nadaného jedince může spočívat

v dělení do oblasti kognitivní a afektivní. V kognitivní oblasti se jedná o vlastnosti, které

umožňují učení, pamatování čí rozpoznávání, a v afektivní oblasti se jedná o charakteristiky

týkající se postojů jedince.

V kognitivní oblasti se může jednat o tyto projevy:

Vlastní výbornou logickou paměť,

učí se rychle, kvalitně a nepotřebují mnoho procvičovat,

22

používají myšlenkové procesy na vyšší úrovni ve srovnání s vrstevníky,

rozumí lépe abstraktní pojmům než vrstevníci,

jsou jim viditelné neobvyklé vztahy a souvislosti,

vlastní dobré pozorovací schopnosti,

rozlišují i nepatrné detaily,

vlastní rozvinutou slovní zásobu,

mají mnoho rozličných zálib a koníčků,

zvládnou se dlouhodobě koncentrovat v oblastech svého zájmu,

umí číst v předškolním věku a psanému textu rozumí,

v určitých oborech mají velké množství znalostí, které umí aplikovat.

V afektivní oblasti se může jednat a tyto projevy:

Jejich vysoká vnitřní motivace zapříčinila, že jsou vytrvalí a jdou si za svým cílem,

neradi se podřizují autoritě, pravidlům, nechtějí spolupracovat s ostatními,

vlastní cit pro morálku a spravedlnost,

jsou přecitlivělí a prožívají ve velké intenzitě okolní dění,

vlastní neobvyklou smyslovou vnímavost,

mají vysoké požadavky ať už na sebe, tak i na ostatní,

ví o své odlišnosti.

2.3 Charakteristika nadaného jedince podle Laznibatové

Laznibatová (Fořtík, Fořtíková, 2007) popisuje nadané dítě ve třech základních

oblastech:

1. Všeobecné znaky, kdy charakteristickými prvky v této oblasti jsou: velká energie, bohatý

slovník, rané čtení, časné schopnosti používat abstraktní pojmy, chápání významu cizích

slov a jejich používání, vynikající paměť a pozornost, zájem o náročná témata, jako je

etika, filozofie, a sklony vést diskuze na toto téma.

2. Tvořivé znaky, kdy charakteristickými prvky v této oblasti jsou: bohatá fantazie

a schopnost lehce rozehrát imaginaci, množství originálních nápadů, hravost myšlení,

originalita při řešení úloh, dobrá představivost, častá impulzivnost, výbušnost,

zranitelnost, emocionální citlivost.

3. Učební znaky, kdy charakteristickými prvky v této oblasti jsou: děti začínají dříve než

ostatní děti číst, psát, počítat, objevuje se rychlé tempo u učení, snadné učení a radost

z každé intelektové aktivity, dobré analyticko-systematické, logicko-algoritmické

23

a kreativní myšlení, neúnavnost při vyhledávaní informací, schopnost kritického

a sebekritického myšlení, perfekcionismus.

2.4 Charakteristika matematicky nadaného jedince

Výčet charakteristik, které zde budou uvedeny, je výsledkem více autorů a můžeme je

nalézt v knize L. Košče (1972, str. 169). Koščův vytvořený seznam je řazen podle významu,

tedy s klesající úrovní od prvního až po poslední uváděný znak. (Calábek

a spol., 2008, str. 11)

Výborná dlouhodobá paměť,

vysoká inteligence, kdy jedinci dosáhli IQ vyššího než 125,

velký rozsah pozornosti,

emocionální stabilita,

jedná se spíše o jedince introvertní povahy,

lehkost při vnímání formálních schémat, vzorců a obrazců,

jeví zájem o čísla a jejich vlastnosti a to od útlého věku,

schopnost deduktivního rozmýšlení,

vlastní schopnost induktivně chápat formální materiál,

umí odhalit a poté aplikovat implicitní vztahy,

vlastní audiomotorickou představivost,

využívají substitučních symbolů v souladu s libovolnými schématy,

pohotovost týkající se abstraktního, symbolického, formálního myšlení spíše

než konkrétního, materiálního, lingvistického způsobu myšlení.

Mnoho autorů s uvedeným výčtem souhlasí, ale shodli se také na doplnění o další

významné atributy, které již nejsou řazeny podle významu (Calábek a spol., 2008, str. 12):

Sebedůvěra,

motivace,

vlastní lepší prostorovou představivost,

mají výrazně bohatší výrazový slovník,

prokazují zájem o řešení matematických problémů apod.

I po doplnění seznamu dalšími atributy jsou si autoři vědomi skutečnosti, že by šlo

zařadit mezi charakteristiky i další vlastnosti a seznam by byl stále neúplný.

24

Košč dále ve své knize uvádí, že matematicky nadaní jedinci disponují výjimečným

vývojem určitých schopností, které rovněž můžeme považovat za určité charakteristiky:

Schopnost vidět a odhalovat reálné existence a vyvozovat možné vztahy

v matematických pojmech a úlohách,

schopnost analyzovat situaci, odlišit v ní podstatné od nepodstatného,

schopnost pracovat s abstraktními kvalitami bez konkrétních pomůcek, ale i schopnost

konkretizovat abstraktní kvality (pomocí náčrtku, grafu, obrázku apod.)

schopnost osvojit si používané formy manipulace s určitými znaky při vykonávání

matematických operací, při manipulaci se vzorci, apod.,

schopnost chápat povahu matematických (a podobných) problémů a metod jejich

řešení i ověřování správnosti postupů, schopnost naučit se je a tvořivě je využívat při

řešení jiných úloh. (Košč, 1972, str. 167-168)

Novotná a Zhouf ve svém článku „ Projekt MathEU: Identifikace, motivace a podpora

matematických talentů v evropských školách“, uvádí, že klíčem k identifikaci matematicky

nadaného žáka mohou být následující vlastnosti:

Nezvykle velká vnímavost a zvídavost v matematice,

neobvykle rychlé učení se, pochopení a aplikování matematických myšlenek,

velká schopnost myslet a pracovat abstraktně a schopnost vidět matematické

pravidelnosti a vztahy,

velká schopnost řešit matematické problémy raději pružně a tvořivě nežli stereotypním

způsobem,

vysoká schopnost přenášet získané znalosti a dovednosti do nových matematických

situací. (Novotná, Zhouf, 2005, str. 97)

Výčet charakteristiky rozhodně není vyčerpávající vzhledem k jejich nepřebernému

množství. Další charakteristiky, které zmínění autoři ve svém článku uvádí, jsou získané

z různých seznamů pro nadané žáky. Některé znaky matematicky nadaného žáky jsou:

Má vhled do aritmetických úloh, které vyžadují pozorné uvažování, pokládá otázky,

které míří k jádru úlohy,

odhaluje možná zjednodušení postupu a „slepých“ cest, používá větší „skoky“

v úvahách, zapisuje jen některé kroky, rychle se učí,

má nadprůměrné schopnosti odůvodňovat,

má mimořádnou schopnost zobecňovat a přenášet znalosti do nových a neznámých

situací,

25

výborně řeší úlohy,

vidí alternativy, je připraven v odůvodněných případech změnit názor, pracuje tvořivě,

neztrácí rychle pozornost, má zájem a přijímá výzvu, která je v problému obsažena, je

intelektuálně zvídavý,

skvěle komunikuje,

„vidí“ výsledky,

je iniciativní, nečeká, až mu někdo ukáže, jak postupovat, ale má snahu řídit vlastní

postupy a rozvoj, používá své znalosti,

dlouhodobě si pamatuje, co se naučil,

má potěšení z intelektuálních výzev, je vnitřně motivován k tomu, aby se učil

matematiku, méně je ovlivněn vnější motivací,

vidí úlohy z různých úhlů pohledu, navrhuje originální, nevyučované postupy pro

řešení úloh, tvořivě kombinuje znalosti apod.

Autoři shrnuli znaky matematicky nadaného jedince do třech hlavních charakteristik:

Ochota tvrdě pracovat (zahrnuje řadu charakteristik, např. rozhodnost, angažovanost,

energičnost, vytrvalost, sebejistotu, schopnost snášet stres a vyrušování),

přirozená matematická zručnost,

výrazná tvořivost (schopnost myslet odlišně, kombinovat zkušenosti a dovednosti ze

zdánlivě neslučitelných oblastní a propojovat je do nových myšlenek a výsledků).

(Novotná, Zhouf, 2005)

2.5 Sociálně – emocionální problémy nadaných dětí

Při vyslovení pojmu nadaný žák, ať už v matematice nebo v jiném ohledu, si

pravděpodobně většina lidí představí bezproblémového žáka. Tyto děti mohou mít nesčetné

množství problémů. Americký psycholog Webb rozlišuje dva zdroje problémů u nadaných

dětí. V prvním případě se jedná o exogenní zdroj, který pramení z reakce na okolí a v druhém

případě jde o endogenní zdroj, který pramení z vlastností.

Problémy v interpersonálních vztazích. Každé dítě potřebuje mít vedle sebe partnery,

kteří disponují stejnými zájmy a jsou tedy myšlenkově stejně nebo podobně vyspělí. Pokud se

jedná o nadaného žáka, tak ten je mezi svými vrstevníky z běžné populace myšlenkově

zralejší, proto se může cítit osamocen a nepochopen. Tento problém řeší tím, že vyhledávají

společnost starších dětí nebo dospělých. Mají problém navázat kontakt a velmi často si

vymýšlejí pravidla, u kterých předpokládají, u kterých předpokládají podřízení se ostatních.

26

Vědomí nadaných dětí o svých schopnostech a dovednost může v těchto dětech

vzbuzovat až idealistické představy o tom, čeho by mohly dosáhnout, čím by mohly být. Tato

představa může snižovat jejich sebevědomí, protože vidí, jak daleko od vysněného ideálu ve

skutečnosti jsou a mohou se dostat do stavu existenční deprese a velké sebekritičnosti. Na

druhou stranu člověk s nadáním vlastní velkou ctižádostivost, což se může ukázat také jako

problém. Předpokládají za každé situace úspěch a bezchybnost je brána jako automatická věc.

Stanovují si vysoké cíle a při neúspěchu jsou hluboce zklamáni, že jej nedokázaly splnit.

Útěcha, že jejich výkon je ve srovnání s druhými vynikající, jim ke spokojenosti nestačí a

většinou spíše probudí bouřlivé reakce.

Nadané děti jsou zvyklé na úspěch a ví, že tento úspěch se od nich v mnoha případech

i očekává. Jak si tento úspěch zajistit např. v matematice? Vyhýbáním se výběru složitějšího

příkladu, jelikož zde nevlastní jistotu, že řešení příkladu bude úspěšné. Tyto situace mohou

vést k podvýkonnosti a pasivitě.

Během adolescence mnoho takových dětí zjistí, že jejich nadání zasahuje do více

oblastí. Problém nastává v období volby profesní orientace, kdy mají problém s vybráním

jedné oblasti, kterou více preferují. Po rozhodnutí si často uvědomí, že jejich výběrem se

vzdaly dalších alternativ a mají strach, že učinily špatné rozhodnutí a výsledkem se může stát

úzkost, při jakémkoliv rozhodování. Při špatném výběru vhodné školy přímo dítětem nebo

rodiči u mladších dětí mohou nastat deprese. Jedinec se může uzavřít do depresivních stavů,

protože cítí uvězněn v neřešitelné situaci. (Machu, 2006)

27

3 IDENTIFIKACE NADANÉHO JEDINCE

Proces identifikace nadaných dětí začíná nejčastěji v nejbližším okolí, za které se

považuje rodina, přátelé a učitelé. Může se jednat o nezáměrnou identifikaci, kdy si rodiče

nebo příbuzní všimnou, že jejich dítě je odlišné od vrstevníků. Při přímé identifikaci je nadané

dítě hledáno pedagogem pomocí posuzovacích škál, které pomáhají učitelům při rozhodování

o zařazení dítěte do speciálního programu. (Jurášková, 2003)

K identifikaci nám slouží výčet charakteristik, které nám ukazují, jaké vlastnosti nadaný

žák má. Je zde spousty metod, které se snaží převážně pedagogům pomoci při identifikaci.

Identifikovat dítě můžeme v každém věku, ale čím je dítě mladší, tím je identifikace

složitější. Pro identifikace předškolních schopností už sice existují testy, ale jejich výsledky

jsou často zpochybňovány pro nedostatečnou výpovědní hodnotu vzhledem k pozdějším

schopnostem. Mnoho schopností se totiž stabilizuje až v průběhu staršího školního věku. Na

druhou stranu někteří odborníci tvrdí, že pokud je nadání diagnostikováno ještě před vstupem

do školy, může docházet k podpoře jeho rozvoje. (Fořtík, Fořtíková, 2007)

Mnoho odborníků tvrdí, že nadání jednoduše poznat nejde. Proč? Když si představíme

pětiletou holčičku, u které si rodič usmyslí, že je hudebně nadaná, odvede ji do umělecké

školy. Co se stane? Dívka, která v té době neuměla ani psát, začne ohýbat ručku pod tlakem

prstokladu a do několika let bude hrát na přehlídkách. Podobně je to i v dalších disciplínách.

3.1 Metody identifikace

Fořtík a Fořtíková ve své knize dělí metody měřící schopnosti do dvou základních

skupin a to na objektivní a subjektivní metody. Hlavní rozdíl spočívá v tom, že u objektivních

metod se používají standardizované testy a u subjektivních metod jde spíše o jakési posudky.

(Fořtík, Fořtíková, 2006)

3.1.1 Objektivní metody

Při využití objektivních metod je potřeba odborníků a testovaných metod. Mezi tyto

metody můžeme zahrnout:

IQ testy

Tyto testy se považují za neschopnější nástroj identifikace. Při využití inteligenčních

testů zjišťujeme přítomnost intelektového nadání, u jiných druhů schopností je využívání

tohoto druhu testu považováno jako doplňující. „Hlavní potíž při užití testů spočívá v jejich

28

konstrukci, která je navržena na průměrnou populaci a ve vyšších pásmech inteligence nemá

citlivější rozlišení. Též samotná administrace testu může dítě stresovat, neboť za poměrně

krátký čas musí podat co nejlepší výkon.“ (Machů, 2006, str. 25)

Jako problém se může taky považovat fakt, že existuje exkluzivní právo psychologů

na jejich používání, kdy učitelé nemají většinou právo testy administrovat ani interpretovat

jejich výsledky. (Fořtík, Fořtíková, 2006)

U inteligenčních testů není dána jednotná hranice inteligenčního kvocientu, která by

umožňovala identifikovat dítě jako nadané. Za všeobecně minimální hranici se považuje

IQ130. (Jurášková, 2003)

Standardizované testy výkonu

Při měření nadání se nestačí zabývat pouze oblastí intelektu. Mezi normované testy patří

také testy výkonu, kde můžeme najít metody na měření různých schopností a znalostí.

K měření výkonu můžeme využít posuzovací školy, dotazníky a testy. Doporučuje se při

diagnostice zaměřit také na pozornost, motivaci k učení a sociální zralost diagnostikovaného

dítěte. (Fořtík, Fořtíková, 2006)

Didaktické testy

Didaktický test může být definován různě. Skupina autorů knihy o didaktických

testech definují didaktické testy jako „ soustavu úkolů, které jsou shodné pro určitou skupinu

žáků. Úkoly jsou vybírány, uspořádány, zadávány a vyhodnoceny tak, aby se rozpoznalo, jaké

výsledky má školní učení, jaké jsou tedy vědomosti a dovednosti žáků.“ (Hniličková, Josífko,

Tuček in Chráska, 1988)

Byčkovský definuje didaktický test jako „nástroj systematického zjišťování /měření/

výsledků výuky“. (Byčkovský in Chráska, 1988, str. 11)

Jednoduše řečeno, didaktické testy slouží jako nástroj pro zjištění edukačního procesu.

Testy můžeme třídit podle různých kritérií. Podle časového zařazení do výuky lze testy

rozdělit na vstupní, průběžné a výstupní. Vstupní testy jsou testy, které pedagog zadává na

začátku školního roku a slouží ke zjištění vědomostí nezbytných pro další zvládnutí učiva.

Průběžné testy se zadávají v průběhu výuky a slouží ke zjištění informací potřebných k řízení

další výuky. Výstupní testy se zadávají na konci výukového období nebo na konci učebního

celku a jejich poznatky slouží k hodnocení a dalšímu vedení vzdělávání. (Chráska, 1988)

29

3.1.2 Subjektivní metody

Mezi subjektivní metody, kdy jsou jedinci posuzováni rodiči, sourozenci, kamarády

apod., lze zahrnout následující možnosti:

Nominace spolužáků

Žáci mohou být dobrými indikátory při posuzování svých spolužáků, jelikož své

kamarády znají lépe, tudíž je mohou posoudit i z jiné perspektivy. Je ovšem nutné vyhýbat se

zaujatým informacím. (Machů, 2006)

Nominace rodiči

Rodiče jsou většinou první osoby, které mohou zpozorovat, že jejich dítě je odlišné od

vrstevníků. Učitelé tuto metodu rádi zpochybňují, ale testy které proběhly v USA, ukazují, že

právě rodiče jsou schopni odhalit nadání a učitelé v tomto směru tak dobří nejsou. Je zde

dobré položit si otázku: Proč? Učitelé často hodnotí nadání podle známek, zatímco rodiče

mají možnost si všímat i jiných podnětů a charakteristik osobnosti. (Fořtík, Fořtíková, 2006)

Nominace skupinou učitelů

Tato metoda je považována za nejstarší. Názor jednoho učitele může být považován za

subjektivní, a proto jako objektivnější způsob se jeví zapojení více pedagogů. Za vhodnou

formu se doporučuje dotazník, který je určen minimálně pěti učitelům, pod podmínkou, že se

učitelé neznají. Samozřejmě i tato metoda má své negativní stránky. V případě použití na

malé škole, kde zajištění podmínky, kdy se učitelé neznají, je zcela nemožná a tudíž výsledný

pohled na žáka může být zkreslený přenesenými vzájemnými názory a zkušenostmi. (Fořtík,

Fořtíková, 2007)

Škola je brána jako místo, kde mají být nadaní žáci rozpoznávaní objektivně.

Skutečnost je bohužel jiná, protože s problémem identifikace se setkává každý učitel, a to

z důvodů nepřípustnosti psychologických testů a nedostatku času pro identifikaci ve

vyučovacím procesu. Lewis ve svém výzkumu z roku 1997 poukazuje na fakt, že „názory

pedagogů jsou jedním z nejnespolehlivějších ukazatelů. Třídní učitelé tehdy vybírali ze svých

tříd rozumově nadané děti. Použité psychologické testy v tomto případě odhalily 27 procent

žáků, jejichž hodnota IQ byla v podprůměrném pásu.“ (Laznibatová in Machů, 2006, str. 27)

Další problém spočívá v tom, že mnoho učitelů identifikuje bystré žáky, které potom

nesprávně považují za nadané žáky.

30

Bystré dítě Nadané dítě

Zná odpovědi. Klade otázky.

Zajímá se. Je zvědavé.

Má dobré nápady. Má neobvyklé nápady.

Odpovídá na otázky. Zajímá se o detaily, rozpracovává, dokončuje.

Je vůdcem skupiny. Je samostatné, často pracuje samo.

Se zájmem poslouchá. Projevuje silné emoce, přitom naslouchá.

Lehce se učí. Všechno již ví.

Je oblíbené u vrstevníků.

Více mu vyhovuje společnost starších dětí a

dospělých.

Chápe významy. Samostatně vyvozuje závěry.

Vymýšlí úkoly a poslušně je řeší. Iniciuje projekty.

Přijímá úkoly a poslušně je vykonává. Úkoly přijímá kriticky, dělá jen to, co ho baví.

Přesně kopíruje algoritmy. Vytváří nová řešení.

Dobře se cítí ve škole, školce. Dobře se cítí při učení.

Přijímá informace, vstřebává je. Využívá informace, hledá nové možnosti aplikace.

Dobře si pamatuje. Kvalitně usuzuje.

Je vytrvalé při sledování. Velmi pozorně sleduje.

Je spokojené se svým učením a výsledky. Je velmi sebekritický.

Tabulka č. 2. Rozdíly mezi bystrým a nadaných dítětem (Machů, 2006, str. 28)

Autonomizace

Dítěti může být dáno za úkol, aby samo definovalo nebo popsalo, co znamená být

nadaný, jak by toto slovo definoval, jak se může nadaný člověk cítit v určitých situacích apod.

Myslím, že výhodou této metody je možnost zadání v rodině i ve vyučování. (Fořtík,

Fořtíková, 2007)

Dítě může popsat i své vlastní projevy pokud se považuje za nadaného žáka. Výhodou

je, že se pedagog může dozvědět o zájmech, postojích a názorech ve věcech týkajících se

dítěte. (Machů, 2006)

Hodnocení výsledků činnosti

Další metodou je hodnocení výsledků činnosti, kdy lze ve škole využít analýzu

samostatných nebo skupinových prací žáka a různé projekty, na kterých se žák podílel.

31

Rodiče mohou využít např. kresbičky dítěte, kdy analýza vývoje dětské kresby je výbornou

pomůckou pro psychologa, kterého mohou rodiče při potřebě pomoci identifikace nadání

svého dítěte navštívit. (Fořtík, Fořtíková, 2007)

Zapojení do soutěží

Do soutěží většinou nominuje učitel, ale pokud se objeví žák, který se do takové

vědomostní soutěže přihlásí sám, můžeme to považovat za druh nominace k nadání. Mnoho

let byly takové soutěže považovány za systém péče o talentované děti, kdy měly tyto děti

možnost ukázat své schopnosti nebo je porovnat s vrstevníky.(Fořtík, Fořtíková, 2007)

Soutěž neřeší situaci nadaných žáků skrytých ve třídách, kde je učitelé neobjevili a

nemají ani dostatek sebedůvěry pro zapojení se do soutěže, protože jejich školní hodnocení

tomu neodpovídá. Je ale známo, že nadaného žáka nemůžeme hodnotit jen pouze podle

známek. Z tohoto důvodů, je nám mnoho talentů ukrytých.

3.2 Identifikační proces a identifikační strategie

Sestavit identifikační strategii se považuje za nejnáročnější část identifikačního procesu.

Tvorba identifikační strategie a použití identifikační metody závisí na několika faktorech, kdy

jedna z nich je samotná koncepce nadání, z které vycházíme a kterou preferujeme. V případě,

kdy se opíráme o koncepci nadání orientované na schopnosti je situace poměrně jednodušší,

protože máme k dispozici řadu metod zjišťujících úroveň obecných a některých speciálních

schopností. (Hříbková, 2009)

Identifikačním procesem se zabývá mnoho odborníků, z čehož plyne, že není možné

nalézt ucelený a jednotný postup identifikace. Proces se skládá z několika etap, které různí

autoři také nazývají různě.

Renzulli a Reisová navrhují čtyři etapy identifikace:

Navržení na základě výsledků testu. Po absolvování standardizovaného

inteligenčního testu může být žák navržen do zařazení mezi nadané žáky.

Navržení učitelem. Následuje konzultace s pedagogem, kdy se doporučuje třídní

učitel, který zná žáka z pedagogického sboru pravděpodobně nejlépe.

Alternativní cesty. Zde jsou zařazené nominace dalších lidí a případná autonomizace.

Závěrečný návrh. Jelikož nominace jedním učitelem může být zavádějící, doporučují

se v této fázi návrhy i ostatních učitelů.

32

Ve skutečnosti postup většinou funguje tak, že žák absolvuje test až po nominaci, proto etapy

nelze vždy seřadit podle zmíněného časového sledu. (Fořtík, Fořtíková, 2007)

Podle Korena (in Jurášková, 2003) by postup identifikace měl probíhat následujícím

způsobem:

Hlavní roli v první fázi má nejbližší okolí, které provádí pozorování, rozpoznává

znaky, charakteristiky a projevy, kterými se daný jedinec odlišuje od svých

vrstevníků.

V tomto stádiu mají hlavní roli odborníci (psychologové, učitelé apod.), kteří pomocí

standardizovaných testů hodnotí nadání jedince a dochází zde k bližšímu určení oblasti

nadání.

Vyhodnocení nadání jedince formální komisí na základě manifestovaných

výkonových charakteristik a produktů.

Jelikož se můžeme setkat s různými postupy podle různých autorů, které se

v jednotlivých krocích odlišují, existují všeobecné zásady, které by se měly dodržet. Podle

Porterovej (in Jurášková, 2003) se jedná o tyto zásady:

Zásada advokacie. Všechny děti mají právo na vzdělání, tudíž by identifikace měla

sledovat zájmy všech dětí stejnoměrně s upřednostněním jejich potřeb před

administrativními požadavky.

Zásada ochrany. Identifikace má být založena na nejnovějších vědeckých poznatcích.

Zásada rovnoprávnosti. V identifikaci není přípustné jakékoliv znevýhodnění

společenské skupiny.

Zásada pluralismu. Je potřeba vycházet z nejobecnější a nejširší definice nadání.

Zásada komplexnosti. Snaha identifikovat co nejvíce nadaných jedinců, z čehož

vyplývá minimalizovat negativní omyly.

Zásada pragmatismu. Využití efektivních metod vhledem k finančním zdrojům.

Zásada utility. Zvolené postupy identifikace mají sice odhalit nadání, ale měly by

také rozpoznat určité silné stránky jedince, které mohou pomoci při plánování

vzdělávacího programu.

33

4 NADANÍ ŽÁCI V DOKUMENTECH

Problematikou nadaných žáku a jejich vzděláváním se zabývají odborníci i v důležitých

dokumentech. V této kapitole se budeme zabývat třemi zásadními dokumenty, které jsem

vybrala. Jedná se o Rámcový vzdělávací program, Koncept péče o mimořádně nadané děti a

žáky pro období let 2009-2013 a Bílou knihu.

4.1 Rámcový vzdělávací program

Problematice vzdělávání nadaných dětí věnuje Rámcový vzdělávací program pro

základní vzdělávání (dále jen RVP ZV) samostatnou kapitolu. RVP ZV nás seznamuje

s definicí nadání, identifikací, specifiky mimořádně nadaných žáků, s vytvářením vztahové

sítě a s možnými změnami způsobu výuky nadaných žáků.

RVP ZV definuje nadání jako „soubor schopností, které umožňuje jedinci dosahovat

výkonu nad rámec běžného průměru populace.“ (RVP ZV, 2007, str. 122) Dále uvádí, že

mimořádně nadaní jedinci mohou vlastnit jeden, ale i více druhů nadání a množství těchto

jedinců odhaduje se na 3 až 10%.

Další odstavec zabývající se identifikací nás seznamuje s výčtem metod, které lze

u tohoto dlouhodobého procesu využít. Mezi tyto metody patří například metoda

pedagogická, psychologická, pedagogicko-psychologická a laická. Při následné péči mohou

pedagogům pomoci psychologové v rámci pedagogicko-psychologockých poraden. Tuto

pomoc mohou psychologové poskytnout pouze se souhlasem rodičů nebo zákonných

zástupců. RVP ZV upozorňuje, že „především u žáků do 9 let je náročné jednoznačně

stanovit, zda se jedná o mimořádné nadání, nebo o nerovnoměrný (zrychlený) vývoj, který se

postupně může vyrovnat s věkovou normou a ve výsledku se může pohybovat v pásmu lepšího

průměru.“ (RVP ZV, 2007, str. 122)

V kapitole 2 RVP ZV nalezneme výčet specifik mimořádně nadaných žáků. Pro

zajímavost uvádím několik z nich: žák si určuje vlastní tempo, svými znalostmi přesahuje

stanovené požadavky, vytváří si vlastní postupy řešení a pravidla, objevuje se sklon

k perfekcionismu, zvýšená motivace k rozšiřování učiva do hloubky, potřeba projevení

a uplatnění znalostí a dovedností ve školním prostředí apod. (RVP ZV, 2007)

RVP ZV se zabývá začleňováním nadaných jedinců do společnosti. Jedinci mimořádně

nadaní mohou mít s touto činností jistý problém, jelikož se v mnoho případech jedná o osoby

se sklonem k introverzi, zvýšeným sklonem ke kritičnosti, k perfekcionismu, ke specifickému

humoru a tyto faktory mohou negativně ovlivňovat vrstevníky. Jedinci ze strachu nezačlenění

34

se do vrstevnické komunity často popírají vlastní schopnosti. Jindy se může stát, že vlivem

nepodnětného a nepříliš vstřícného prostředí se nadaný žák může uzavřít do sebe a odmítnout

komunikovat. Tento případ se objevuje velmi často.

„Pro vytvoření pozitivního klimatu mimořádně nadaných žáků je zapotřebí dostatek

vnímavosti okolí ke specifikům žáka.“ (RVP ZV, 2007, str. 123)

Jako příklady pedagogicko - organizačních úprav RVP ZV uvádí například individuální

vzdělávací plán, doplnění, rozšíření a prohloubení vzdělávacího obsahu, zadávání

specifických úkolů, vnitřní diferenciaci žáků v některých předmětech apod.

4.2 Bílá kniha

Národní program rozvoje vzdělanosti v České republice (Bílá kniha) vznikl na základě

usnesení vlády České republiky, která v něm schválila hlavní cíle vzdělávací politiky. V knize

můžeme opět nalézt kapitolu o vzdělávání nadaných jedinců, která hned na začátku zmiňuje,

že „schopni a nadaní přinášejí do společnosti kvality, kterými je možné se prosadit

v konkurenci jiných států“ a je tedy v zájmu společnosti vytvářet podmínky pro rozvoj

a uplatnění nadaných jedinců. (Bílá kniha, 2001, str. 56)

Nadaní jedinci jsou v Bíle knize popisováni jako ti, kteří „vykazují mimořádně vysokou

úroveň své činnosti, ať už v celém spektru nebo v omezené oblasti, ale i ti, jejichž potenciál

nebyl ještě experty rozpoznán.“ „Nadání dětí je obvykle vnímáno jako rychlejší vývoj ve

srovnání s vrstevníky, nadání dospělých je spatřováno ve vysoké úrovni činnosti, založené na

mnohaleté usilovné práci.“ (Bílá kniha, 2001, str. 56)

Kniha uvádí, že v naší republice chybí ucelený systém péče o nadané. Předkládá názor,

že už těm nejmladším, předškolním dětem a žákům základních škol, by měla být nabídnuta

nejširší nabídka činností na různých úrovních tak, aby měli možnost se projevit a bylo možné

předpoklady k dané činnosti objevit v co nejvhodnějším čase. Nejlepší možnost včasné

identifikace má při své diagnostice školní psycholog. Program doporučuje potřebu přípravy

pedagogů pro práci s nadanými žáky. Tato příprava by se měla stát součástí povinného

vzdělávání učitelů. Je nutné je naučit používat moderní výukové metody, které lze využít při

práci s nadanými dětmi, a jsou vhodné pro rozvoj potenciálu všech žáků. Je třeba dbát na to,

aby u učitelů probíhal osobnostní růst, protože jen v případě rozvíjení své sociální

a emocionální inteligence ji budou moci pěstovat ve svých žácích. Je zde doporučení

„podporovat výzkum v oblasti rozpoznávání nadaných jedinců a ověřování metod jejich

rozvoje.“ „V regionech zřídit při pedagogicko-psychologických poradnách funkci

koordinátora, který by měl přehled o potřebách a možnostech vzdělávání nadaných v daném

35

regionu, informovat veřejnost o této problematice a spolupracovat s centrálním pracovištěm.“

(Bílá kniha, 2001, str. 57)

Péče o nadané by měla být zajišťována z úrovně rodiny, která by měla mít největší

zájem o rozvoj svého člena, dále z úrovně státní a veřejné správy, která by měla koordinovat

celý systém rozvoje nadaného jedince a z úrovně nestátních subjekty, kteří základní systém

doplňují. „Základ péče o nadané v oblasti školství ovšem spočívá v povinném školním

vzdělávání a jeho diferenciaci a individualizaci zejména na 2. stupni základní školy.“ Pro

rozvoj je také důležité sdružovat potřebné prostředky, protože nadaný žák potřebuje

„nestandardní podmínky, mimořádně formy studia a péči špičkových pedagogů, trenérů

a odborníků.“ (Bílá kniha, 2001, str. 56-57)

4.3 Koncepce péče o mimořádně nadané děti a žáky pro období

let 2009-2013

Jako poslední dokument, který je v kontextu s daným tématem, bych ráda uvedla

Koncepci péče o mimořádně nadané děti a žáky pro období let 2009-2013, kterou vypracovali

pracovníci Institutu pedagogicko-psychologického poradenství ČR. Tato koncepce navazuje

na Koncept péče o nadané žáky ve školských a poradenských zařízeních pro období

2004 - 2008, který si dal za úkol vytvořit systém péče o nadané žáky ve školských

poradenských zařízeních s podporou integračního vzdělávacího modelu. (Koncepce, 2008,

str. 1)

O nadané děti a žáky projevuje zájem řada institucí, avšak jejich aktivity nebyly dosud

dostatečně zkoordinovány. Cílem nové koncepce je tedy snaha zahrnout do aktivit i další

subjekty tak, aby bylo možné vytvořit ucelený systém péče o tyto nadané a mimořádně

nadané děti a žáky a to zejména v oblasti kognitivního nadání. (Koncepce, 2008, str. 9)

V první řadě se jedná o kvalitnější proces diagnostiky nadaných jedinců ve školním

prostředí, kdy je nutné vymezení jednotlivých etap identifikace, vytvoření reprezentativního

souboru nástrojů pro identifikaci nadaných (např. dotazníky, psychologické a didaktické testy

apod.) a vymezit specifika diagnostiky u žáků se speciálními vzdělávacími potřebami, cizinců

a sociolkulturně znevýhodněných.

Dále se jedná o zajištění podpory rozvoje nadaných jedinců v rámci formálního

vzdělávání a i ve volném čase. Zde koncepce zahrnuje tvorbu metodických a didaktických

materiálů, systém poradenské podpory, organizace soutěží a navazujících aktivit, organizace

vhodných volnočasových aktivit, vznik středisek podpory nadaných apod. (Koncepce, 2008,

str. 10)

36

Roli hraje i zajištění podpory pedagogickým pracovníkům v profesní přípravě v oblasti

vzdělávání nadaných. Jde o zajištění předávání informací o výsledcích péče o nadané v ČR

fakultám, které připravují budoucí učitele. Zařadit témata nadání do negraduální přípravy

pedagogů, vymezit klíčové znalosti a dovednosti pro pedagogy pro práci s nadanými žáky

a začlenit práci s nadanými do RVP pro střední školy.

Jako další cíl si koncepce vymezila zprostředkovat veřejnosti dostatek informací

o systému péče o nadané s využitím webových stránek MŠMT a příslušných OPŘO – Ostatní

přímo řízené organizace, IPPP ČR - Institut pedagogicko-psychologického poradenství ČR,

VÚP – Výzkumný ústav pedagogický, NIDV – Národní institut pro další vzdělávání, NIDM -

Národní institut dětí a mládeže, NÚOV – Národní ústav odborného vzdělávání, realizovat

výzkumy a rozvíjet mezinárodní spolupráci v oblasti péče o nadané. (Koncepce, 2008, str. 10)

37

5 NADANÍ ŽÁCI VE VZDĚLÁVACÍM PROCESU

Existuje mnoho variant, modelů, programů, proudů a modifikací, které jsou za léta

využívání prověřeny a fungují v práci s mimořádně nadanými dětmi. Je důležitý také talent

učitele, který by měl být rozvíjen už na pedagogické fakultě. Talentem se zde míní schopnost

aplikovat obecné principy a vědecké teorie do vyučování a do praktických situací blízkých

dětem školní úrovně. (Fořtík, Fořtíková, 2007)

5.1 Úprava forem ve vzdělávání nadaných žáků

Mezi dvě nejzákladnější formy výuky nadaných patří segregace a integrace. Existují

spekulace o tom, která metoda výuky je lepší, přičemž každá má své výhody i nevýhody.

Nejčastěji jsou využívány tzv, přechodné formy mezi segregací a úplnou integrací, kdy

v přechodných formách mezi speciálními školami a běžnými třídami existuje spousta variant

péče a to s menšími nebo většími zásahy a změnami v chodech instituce. (Fořtík, Fořtíková,

2007)

Jurášková dělí formy na čtyři širší kategorie:

Homogenní školy. Jedná se o školy, kde jsou třídy složeny pouze z nadaných žáků. Za

výhodu bychom mohli považovat dobré podmínky na flexibilitu v rozvrhu,

organizování akcí zaměřených na rozvoj nadaných dětí a fakt, že celá škola

a jednotlivé třídy se mohou přizpůsobit osobním potřebám nadaných žáků. Za

nevýhodu můžeme považovat omezený kontakt se svými vrstevníky.

Homogenní třídy. Jedná se o třídy složené jen z nadaných žáků, které se nacházejí na

běžných školách. Za výhodu zde můžeme považovat možnost vývinu akceptace mezi

žáky vzhledem ke kontaktu žáků nadaných a žáků z běžných tříd. Nevýhodou se

mohou stát posměšky, které se mohou objevit ze strany nadaných žáků na účet žáků

z běžných tříd, a důsledek tohoto jednání může vyústit v izolaci nadaných jedinců od

ostatních, jelikož jejich počet je v menšině. Pokud by se v rámci tohoto způsobu chtěla

zachovat integrace, i když částečná, muselo by docházet k částečnému promíchávání

žáků mezi sebou v některých předmětech, jako je například tělesná výchova, výtvarná

výchova apod.

Skupinová forma. Zde se jedná o umístění nadaných dětí z daného ročníku do běžné

třídy. Výhodou je, že touto formou mohou děti získat rovnocenné partnery jak

v komunikaci, tak ve spolupráci, ať už při řešení individuálních nebo skupinových

prací. Do skupinové formy můžeme zařadit tzv. tracking, který je založen na

38

seskupení žáků podle schopností a výkonu na delší do jedné skupiny. Dále vrstvovité –

diferencované vyučování, kdy jsou aktivity děleny podle kognitivních schopností

žáků, tedy všechny děti pracují na stejném tématu, ale úkoly jsou jim zadávány

pedagogem v rámci jejich individuálních potřeb.

Individuální vyučování. Jedná se o zařazení jediného nadaného žáka do běžné třídy.

Může nastat problém izolace ze strany spolužáků i z jeho vlastní strany. Práce je

ztížena převážně pro pedagoga, který se musí věnovat nadanému žáku, ale i hůře

prospívajícím dětem. Proto se tedy může stát, že nadaný žák, místo aby rozvíjel své

vlastní schopnosti, se stane jakýsi „tahačem“, pomocníkem slabších a tedy asistentem

pedagoga. Do této formy lze zařadit domácí vyučování, kdy děti nenavštěvují

pravidelně školu, ale je vyučováno doma, zpravidla rodiči. (Jurášková, 2003, str. 103-

105)

5.1.1 Segregace

Tato varianta je založena na myšlence, že pro děti, které se odlišují od svých vrstevníků,

je nejlepší vytvořit speciální třídy nebo školy, ve kterých se pak bude objevovat homogenní

typ populace. Tento způsob má pozitiva v tom, že celé tyto školy, třídy a pomůcky jsou zcela

přizpůsobeny potřebám nadaných jedinců. (Machů, 2006, Hříbková, 2002)

V tomto případě je učivo pro žáky nejdříve akcelerováno a později rozšiřováno

a prohlubováno. Můžeme tedy říci, že akcelerace úzce souvisí se segregací a tedy se shodují

v některých kladech a záporech.

5.1.2 Integrace

Integrace zajišťuje, že nadané dítě zůstane ve škole a třídě, kterou je zvyklé navštěvovat

a učitel nebo učitelé se mu speciálně věnují. Pokud bychom chtěli mluvit o plnohodnotné

integraci, je potřeba zabezpečit několik podmínek, které jsou někdy těžce realizovatelné.

(Machů, 2006, Hříbková, 2002)

„Po dohodě s psychologem je třeba navrhnout způsob diagnostikování a rozvíjení

nadání, obstarat kompetentní učitele, vypracovat alternativní učební plány, zaopatřit

doplňkové pomůcky, navrhnout nový systém hodnocení nadaných žáků, atd.“ (Machů, 2006,

str. 33)

39

5.2 Úprava obsahu a organizace vzdělávání nadaných žáků

V souvislosti s potřebami nadaných se v učebním procesu uplatňují dva základní

přístupy, metody nebo strategie, které souvisejí s úpravou obsahu a organizací ve vzdělávání.

Jedná se o akceleraci a obohacování.

5.2.1 Akcelerace (urychlování)

Akcelerace se snaží ve vzdělávacím procesu provést takové změny, které by ovlivnily

délku vzdělávání a vedly by ke zkrácené délce školní docházky. J. C. Stanley, který je

propagátorem akcelerace tvrdí, že její využití je nejefektivnější u žáků a studentů, kteří jsou

matematicky nadaní. Tato metoda je výhodná v oblastech, kdy je možné vyučovanou látku

organizovat do postupných kroků. Akcelerace se s příslušnou formou, myslím tím separační

variantu, uvádí jako řešení ve vzdělávání nadaných jedinců. Jedná se o vyčlenění nadaných do

speciálních tříd nebo školy, kde je pak možné urychlování výuky díky rychlému tempu

a vysokému intelektovému potenciálu nadaných. (Hříbková, 2009)

Mezi pozitivní stránky akcelerace můžeme rozhodně zařadit větší možnost setkávání

se s intelektovými vrstevníky, možnost věnovat více času jejich zájmům, zvýšená

produktivita práce nadaných dětí, méně monotónní práce a nudy, zvýšená motivace a

vyvarování se konfliktu se svými vrstevníky, kteří nerespektují jejich zájmy a jejich

schopnosti. (Fořtík, Fořtíková, 2007)

Tenhle přístup se ovšem setkal i s negativnou odezvou. Ukázala se fyzická, emoční

a sociální nezralost nadaných, která se projevovala v kontaktu se staršími spolužáky.

V některých případech docházelo v dospělosti k problémům v sociální oblasti. Tuto

skutečnost potvrdili nadaní žáci, kteří prošli akcelerací. Problém byl i v návaznostech ve

vzdělávání. (Hříbková, 2009) Dále se zde může objevit stres vyplývající z nároků, nedostatku

času pro své zájmy, koníčky, přátelé a z odmítání staršími spolužáky. Toto vše může vést

k izolaci. Mezi formy akcelerace lze zahrnout:

Předčasný vstup do školy u dítěte mladšího šesti let,

dřívější vstup na vyšší úroveň vzdělávaní,

přeskakování ročníků,

seskupování studentů s lepšími výsledky v určitých předmětech,

paralelní studium, kdy žák základní školy může současně studovat některé předměty

na střední škole,

40

zhuštění studia, kdy se žák učí podle běžných osnov, které ovšem zvládne rychleji,

apod. (Fořtík, Fořtíková, 2007)

5.2.2 Enrichment (obohacování)

V tomto případě se jedná p prohlubování a rozšiřování učební látky. Cílem není

urychlení docházky, jako je tomu v prvním přístupu. Tento přístup se využívá v běžných

třídách, kdy nadaný žák pracuje podle stejných osnov jako jeho spolužáci, ve stejném

pracovním tempu, ale obsah učiva zvládne ve větší hloubce. Jsou zde splněny podmínky

integrace, což má určitě kladný vliv na skutečnost, že nadaný žák se vzdělává v podmínkách

bližších reálnému sociálnímu prostředí. (Hříbková, 2009)

S obohacováním obsahu výuky se můžeme setkat i v českých školách. České školství

nám nabízí víceletá gymnázia, která jsou zaměřena na všeobecné oblasti vzdělávání, dále

specializované jazykové školy a matematické školy, které žákům slouží ve speciálních

oblastech. (Fořtík, Fořtíková, 2007)

Možností, které mohou pomoci obohatit učivo v běžném vyučování je celá škála.

Mönsk a Ypenburg (2002) ve své knize uvádí následující možnosti:

Mimořádně volitelné předměty,

žákovské akademie (např. letní soustředění),

pracovní společenství,

spolupráce s muzei či hudebními a divadelními školami,

prázdninové tábory,

sobotní školy.

5.3 Vzdělávání nadaných žáků v České republice

Česká republika vytvořila vyhlášku č. 73/2005 Sb., o vzdělávání dětí, žáků a studentů se

speciálními vzdělávacími potřebami a dětí, žáků a studentů mimořádně nadaných.

V paragrafu 12 se mimořádně nadaným žákem rozumí „ jedinec, jehož rozložení

schopností dosahuje mimořádně úrovně při vysoké tvořivosti v celém okruhu činnosti nebo

v jednotlivých rozumových oblastech, pohybových, uměleckých a sociálních dovednostech.„

Dále tvrdí, že „pro mimořádně nadané žáky může ředitel školy vytvářet skupiny, ve kterých se

vzdělávají žáci stejných nebo různých ročníků v některých předmětech.“ Ve svém paragrafu

13 se zabývá individuálním vzdělávacím plánem a v paragrafu 14 přeřazením do vyššího

ročníku, kdy se oba paragrafy týkají opět nadaného jedince.

41

5.3.1 Individuální vzdělávací plán (§ 13)

1. Vzdělávání mimořádně nadaných žáků se může uskutečňovat podle individuálního

vzdělávacího plánu, který vychází ze školního vzdělávacího programu příslušné školy,

závěrů psychologického vyšetření a vyjádření zákonného zástupce žáka nebo zletilého

žáka. Je závazným dokumentem pro zajištění vzdělávacích potřeb mimořádně nadaného

žáka.

2. Individuální vzdělávací plán je součástí dokumentace žáka.

3. Individuální vzdělávací plán obsahuje:

a) závěry psychologických vyšetření, která blíže popisují oblast, typ a rozsah

nadání a vzdělávací potřeby mimořádně nadaného žáka, případně vyjádření

registrujícího praktického lékaře pro děti a dorost,

b) údaje o způsobu poskytování individuální pedagogické nebo psychologické

péče mimořádně nadanému žákovi,

c) vzdělávací model pro mimořádně nadaného žáka, časové a obsahové rozvržení

učiva, volbu pedagogických postupů, způsob zadávání a plnění úkolů, způsob

hodnocení, úpravu zkoušek,

d) seznam doporučených učebních pomůcek, učebnic a materiálů,

e) určení pedagogického pracovníka školského poradenského zařízení, se kterým

bude škola spolupracovat při zajišťování péče o mimořádně nadaného žáka,

f) personální zajištění úprav a průběhu vzdělávání mimořádně nadaného žáka,

g) určení pedagogického pracovníka školy pro sledování průběhu vzdělávání

mimořádně nadaného žáka a pro zajištění spolupráce se školským

poradenským zařízením,

h) předpokládanou potřebu navýšení finančních prostředků nad rámec

prostředků státního rozpočtu poskytovaných podle zvláštního právního

předpisu.

4. Individuální vzdělávací plán je vypracován po nástupu mimořádně nadaného žáka do

školy, nejpozději však do 3 měsíců po zjištění jeho mimořádného nadání. Individuální

vzdělávací plán může být doplňován a upravován v průběhu školního roku.

5. Za zpracování individuálního vzdělávacího plánu odpovídá ředitel školy. Individuální

vzdělávací plán se vypracovává ve spolupráci se školským poradenským zařízením a

zákonným zástupcem žáka nebo zletilým žákem.

6. Ředitel školy seznámí s individuálním vzdělávacím plánem zákonného zástupce žáka

nebo zletilého žáka, který tuto skutečnost potvrdí svým podpisem.

42

7. Určený pedagogický pracovník školy sleduje průběh vzdělávání mimořádně nadaného

žáka a poskytuje společně se školským poradenským zařízením podporu žákovi i jeho

zákonným zástupcům.

5.3.2 Přeřazení do vyššího ročníku (§ 14)

1. Ředitel školy může přeřadit mimořádně nadaného žáka do vyššího ročníku bez

absolvování předchozího ročníku na základě zkoušky před komisí, kterou jmenuje ředitel

školy.

2. Komise je nejméně tříčlenná a tvoří ji vždy:

a) předseda, kterým je zpravidla ředitel školy nebo jím pověřený učitel,

b) zkoušející učitel, jímž je vyučující předmětu dané vzdělávací oblasti, v

prvním až pátém ročníku základního vzdělávání vyučující daného ročníku,

c) přísedící, kterým je učitel vyučující předmětu dané vzdělávací oblasti.

3. Termín konání zkoušky stanoví ředitel školy v dohodě se zákonným zástupcem žáka

nebo se zletilým žákem. Není-li možné žáka ze závažných důvodů ve stanoveném

termínu přezkoušet, stanoví ředitel školy náhradní termín zkoušky.

4. Žák může v 1 dni skládat jen 1 zkoušku.

5. Ředitel školy stanoví obsah, formu a časové rozložení zkoušky s ohledem na věk žáka.

Zkouška ověřuje vědomosti a dovednosti umožňující žákovi plynulý přechod do vyššího

ročníku a je zaměřena na jednotlivý předmět nebo vzdělávací oblast.

6. Výsledek zkoušky určí komise hlasováním. V případě rovnosti hlasů rozhodne hlas

předsedy.

7. O zkoušce se pořizuje protokol, který je součástí dokumentace žáka.

8. Ředitel školy sdělí výsledek zkoušky prokazatelným způsobem zákonnému zástupci žáka

nebo zletilému žákovi.

9. Za neabsolvovaný ročník nebude žákovi vydáno vysvědčení. V následujících

vysvědčeních se na zadní straně uvede, které ročníky žák neabsolvoval.

43

6 PÉČE O MATEMATICKÉ TALENTY V ČR

Česká republika má v práci s matematickými talenty více než čtyřicetiletou tradici,

přesto však je zapotřebí některé formy práce inovovat a přiblížit se k nejvyspělejším zemím

světa. V současné době nastal problém v tom ohledu, že dříve téměř v každém bývalém

okresním městě fungovala alespoň jedna základní škola, která vytvářela vhodné podmínky

pro rozvoj matematicky nadaných žáků ve třídách s rozšířenou výukou matematiky a dnes

žáci na základních školách nejsou bohužel vedeni k formě logického a tvůrčího myšlení. Tato

skutečnost vede k tomu, že se většina rodičů domnívá, že matematika na základní škole je

málo významná a důležitá.

Cílem práce s matematickými talenty by mělo být naučit je správnému a logickému

myšlení, správnému slovnímu vyjadřování, písemného projevu a argumentaci. V současné

době existují v České republice pouhá čtyři gymnázia s rozšířenou výukou matematiky

a výčet ZŠ s rozšířenou výukou matematiky je podobný. (Zhouf, 2006)

Třídy s rozšířenou výukou matematiky nejdříve vznikly na čtyřletých gymnáziích a to

v roce 1974 v Praze, Bílovci, Bratislavě a Košicích. Následně po vzniku víceletých gymnázií

se začaly vyskytovat i v jejich studijním plánu. Nyní je téměř v každém okrese ZŠ, na které

můžeme najít třídu zaměřenou na matematiku, jenž má podobnou formu jako třídy na nižším

gymnáziu. V matematických třídách se objevuje změna v hodinách a to tak, že méně hodin se

věnuje estetické výchově a cizímu jazyku, a naopak více hodin se věnuje matematice a

deskriptivní geometrii. Ve třídách s rozšířenou matematikou se zpravidla matematice věnuje

5-6 hodin. Polovina hodin je půlených z důvodu možnosti individuálního přístupu pedagoga

k jednotlivým žákům. (Calábek a spol., 2008)

Práci s matematickými talenty by bylo možné dělit podle různých hledisek. Zde si

činnost rozdělíme z legislativního pohledu na povinné a rozšiřující.

6.1 Povinné činnosti ve třídě s rozšířenou výukou matematiky

Za povinné činnosti považuje ty, které jsou předepsané zákonem, vyhláškami

a nařízeními MŠMT ČR. Žáci ve třídách s rozšířenou výukou matematiky mají upravený

učební plán, mají své osnovy a žáci mohou využívat speciální učební texty. Dále si uvedeme

podrobnější informace o každé úpravě zvlášť. (Zhouf, 2006)

44

Učební plán

Učební plán je téměř totožný s plánem v běžných třídách, jen je zde vyšší dotace hodin

v předmětu matematiky na úkor hodinové dotace cizích jazyků, kdy místo dvou jazyků je

předepsán jen jeden. Jak již bylo zmíněno, i přes změny v učebních plánech zůstalo

pravidlem, že hodinová dotace matematiky v každém ročníku je 5-6 hodin. Pro srovnání si

můžeme uvést příklad časových dotací v jiných státech. V Kolmogorově škole v Moskvě to

dělá 9 hodin, z toho 4 hodiny jsou cvičení, v dalších ruských školách se dotace pohybuje

okolo 6 hodin, v Číně je to 6 hodin týdně a na maďarských školách 6-7 hodin týdně.

Z uvedených příkladů může existovat u některých jedinců myšlenka, že časová dotace

v České republice je nízká, ovšem tento fakt je diskutabilní. (Calábek a spol., 2008)

Učební osnovy matematiky

Také osnovy se ve třídách s rozšířenou výukou matematiky přizpůsobují schopnostem

žáků. V podstatě se jedná o osnovy, které využívají i běžné třídy, jen s tím rozdílem, že učivo

je probíráno a rozvedeno více do hloubky i do šířky, kdy jsou přidaná i další témata, která se

v běžných třídách neobjevují. Kvůli možnému přestupu žáků z jedné školy do druhé, se dříve

nesměla témata jednotlivých ročníků přesouvat, ale s nástupem ŠVP se pohled na osnovy

změnil, učivo se stalo nezávazné a nyní je možně jej přesouvat mezi ročníky. Na druhou

stranu v rámci jednoho ročníku není pořadí témat pevně dáno a nejsou dána ani rozšiřující

témata, tudíž je na svobodné vůli učitele výběr obsahu a pořadí témat. (Zhouf, 2006)

Učební texty

V případě tříd s rozšířenou výukou matematiky se hovoří o učebních textech, nikoliv

o učebnicích a to z důvodu, že učební texty jsou psány s větším zřetelem na odbornou stránku.

Je zde více naučnějších impulzů a méně nácvičných úloh. Učebních textů vzniklo několik.

Zmínit můžeme např. monotematicky psané učebnice, které jsou sice určeny pro nižší

gymnázia, jsou ovšem natolik obsažné, že jich využívají i třídy s rozšířenou výukou

matematiky na běžných školách. (Calábek a spol., 2008)

6.2 Rozšiřující činnosti ve třídě s rozšířenou výukou matematiky

Tyto činnosti lze charakterizovat jako činnosti prováděné nad rámec povinností. Práce

s nadanými žáky v matematice je pestrá, široká, a proto má učitel velké množství možností.

Jako rozšiřující aktivita se ustálilo několik aktivit, a to hlavně soutěžního charakteru, které

45

jsou převážně organizovány centrálně pro všechny školy v republice, nebo aspoň v některých

regionech. (Zhouf, 2006)

6.2.1 Matematické soutěže

Učitelé mohou využívat různých soutěží s odlišnými didaktickými cíli, záměry a přístupy.

Z prvního hlediska může matematické soutěže využít „uvnitř“ vyučovací hodiny, kdy se

jedná o tzv. pětiminutovky, početní rozcvičky apod., které si stanovují jasný cíl procvičení

a upevnění základních počtářských dovedností. Jedná se o soutěživou formu jednorázové

didaktické hry v jedné hodině. Dále můžeme využít etapové soutěže, kdy je zapotřebí více

hodin – např. týdenní dotace vyučovacích hodiny. Z druhého hlediska se jedná o soutěže

„vně“ vyučovací hodiny a matematické soutěže vyhlašované MŠMT. Tyto soutěže je možné

považovat za první krok podchycení zájmů žáka o matematiku. (Novák, 2004)

Matematická olympiáda

Tato matematická soutěž je považována za nejstarší, nejznámější a za prestižní soutěž.

Díky této soutěži, je každoročně objevena spousta nových talentů a spoustě žáků dopomáhá

v rozhodování o budoucím studiu a tedy i o budoucím povolání. (Calábek a spol., 2008)

„Cílem matematické olympiády je rozšiřovat, prohlubovat a upevňovat vědomosti, dovednosti

a návyky žáků, pomáhat rozvíjet jejich schopnosti a logické myšlení, vést žáky k tvořivému

uplatňování poznatků z matematiky, samostatné práci a individuálnímu studiu.“ (Růžičková,

2002, str. 73)

Účast na matematické olympiádě (dále jen MO) je zcela dobrovolná. Soutěž obsahuje

několik věkových kategorií, označených od nejvyšší a nejprestižnější A, přes B, C, Z9, Z8,

Z7, Z6, až po Z5.

Nejdříve probíhá domácí kolo, kde je žákům předloženo 6 úloh, jejich texty jsou

zveřejněné na letáku nebo v časopisech Rozhledy matematicko-fyzikální, Matematika-fyzika-

informatika a Učitel matematiky. Domácí kolo spočívá v tom, že žákům je umožněna pomoc

od rodičů a konzultace s učiteli. Po ukončení domácího kola pošle ředitelství školy okresnímu

výboru MO všechna řešení úspěšných ředitelů, kdy za úspěšného řešitele se považuje žák,

který vyřešil alespoň čtyři úlohy hodnocené výborně nebo dobře. Okresní výbor vybere

nejlepší řešitele z okresu a pozve je do druhého kola, kde mají žáci čtyři hodiny na vyřešení

čtyř úloh. Nejlepší řešitelé jsou pozváni do krajského kola, kde probíhá obdobným způsobem,

jako kole druhé. (Růžičková, 2002)

46

Matematický klokan

Soutěž vznikla v roce 1991 a je spojena se jménem Peter O´Hallorana. Jeho cílem bylo

vytvořit matematickou soutěž pro „normální“ žáky, nejen pro talentované, a ukázat jim, že

matematika dokáže být i zábavná, záživná a dokáže vykouzlit radost při řešení netradičních

úloh, se kterými se v učebnicích jen zřídka můžeme setkat. Zájmem soutěže je zapojit co

nejvíce jedinců a zvýšit tak zájem o předmět matematiky. Soutěž dále umožňuje žákům

srovnat své schopnosti s ostatními spolužáky, ale také s žáky z jiných škol, z jiných okresů

apod. V České republice probíhá Matematický klokan od roku 1995 a pořadatelem je Jednota

českých matematiků a fyziků ve spolupráci s Katedrou matematiky PdF UP a Katedrou

algebry a geometrii PřF UP v Olomouci.

Soutěž je rozdělena do několika kategorií: Klokánek (4. a 5. ročník ZŠ), Benjamín (6. a

7. ročník ZŠ a prima a gymnáziích), Junior (1. a 2. ročník SŠ), Student (3. a 4. ročník SŠ).

(Novák, 2004, Nocar, 2004-2006)

Soutěž je jednorázová, individuální a je v ní možné využít tabulek a kalkulátoru.

Odehrává se na všech školách a ve všech pořadatelských zemích v jednom stanoveném

termínu a to ve druhé polovině března. Test, který je soutěžícím zadán, obsahuje 24, resp. 30

úloh, na jejichž řešení je stanovena doba 60, resp. 75 minut. Úlohy jsou řazeny podle

obtížnosti a to ve třech stupních, kdy lze po správném vyřešení získat 3, 4 nebo 5 bodů. Pokud

soutěžící odpoví nesprávně, ztrácí 1 bod, neodpoví-li vůbec, nezíská ani neztratí žádný bod.

Před začátkem řešení jednotlivých úloh je soutěžícím přiděleno 24 bodů, takže maximální

počet získaných bodů je 120. (Novák, 2004, Růžičková, 2004)

Pythagoriáda

Pythagoriáda vznikla na Slovensku v době, kdy neexistoval Matematický klokan a její

existence se udržuje dodnes. Tato dvoukolová soutěž je určena všem žákům 6. a 7. tříd

a k nim odpovídajícím ročníkům na víceletých gymnáziích. První kolo probíhá v únoru ve

školách a pro úspěšné řešitele pak druhé kolo v květnu v okrese. Soutěž připravují pracovníci

Výzkumného ústavu pedagogického v Praze. Účastníci řeší 15 úloh za 60 minut, kdy za

každou odpověď získají 1 bod. (Calábek a spol., 2008)

47

PRAKTICKÁ ČÁST

48

Praktická část diplomové práce je rozdělena do tří kapitol. První kapitola se věnuje

seznámení s žáky spolupracujícími na sbírce úloh, druhá kapitola obsahuje sbírku úloh a třetí

kapitola se věnuje vyhodnocení dotazníkového šetření.

Cílem je nejenom vytvořit sbírku úloh sloužící k dalšímu využití při práci s nadanými

žáky, ale jde zde o srovnání dvou žáků a jejich matematických znalostí a dovedností, kdy

jeden z nich navštěvuje třídu s rozšířenou výukou němčiny a druhý třídu s rozšířenou výukou

matematiky. Úlohy jsou určené pro žáky 9. tříd a mohou posloužit jako učební pomůcka

samotným nadaným žákům integrovaným v běžných třídách, i žákům ve třídách vytvořených

pro matematicky nadané žáky, ale také pedagogům jako zdroj nové inspirace.

Cílem dotazníkového šetření byla snaha zjistit názor a přístup učitelů k matematicky

nadaným jedincům. Potřebná data jsou získána pomocí dotazníku, který byl směřován na

učitele matematiky na 2. stupni základních škol. Průzkumné šetření se odehrálo v rozmezí

leden-únor 2012 na základních školách v Olomouci a okolí, Odrách (okres Nový Jičín) a ve

Vítkově (okres Opava).

Vytvořený dotazník obsahuje 33 tvrzení a je rozdělen do čtyř částí. První část obsahuje

3 položky zaměřené na charakteristiku respondenta. Druhá část se týká charakteristiky

matematicky nadaného žáka, třetí část se věnuje práci s matematicky nadaným žákem a čtvrtá

je zaměřena na identifikaci matematicky nadaného žáka. Každá z těchto částí obsahuje 10

tvrzení, která lze hodnotit podle Likerova typu v rozmezí 1 – 5 (souhlasím/nesouhlasím).

Dotazník byl šířen mezi učiteli využitím dvou možností. V prvním případě byl dotazník

předán při osobním setkání, kdy učitelé vyplňovali tištěnou verzi, a v druhém případě se

jednalo o využití internetová pošty. Touto cestou jsem o spolupráci v dotazníkovém šetření

oslovila 64 pedagogů. Vrátilo se mi pouhých 11 vyplněných dotazníků, tj. 17%.

Po vyhodnocení dotazníkového šetření jsem získala základní informace o

respondentech, tj. pohlaví, aprobace, délka praxe a pro nás nejdůležitější informace týkající se

charakteristiky nadaných jedinců, metod využívaných k identifikaci nadaného žáka a dále

metody využívaných při práci s nadanými žáky.

49

7 VYBRANÍ NADANÍ ŽÁCI

Již pátým rokem ve svém volném čase zprostředkovávám individuální hodiny

matematiky a to jak pro žáky ZŠ, SŠ, tak i dospělým, kteří se snaží dálkově dostudovat

zvolené obory a od příštího školního roku bych měla začít spolupracovat i na matematických

kurzech připravující studenty na přijímací zkoušky na SŠ a VŠ. Díky této spolupráci jsem

dostala možnost pracovat a získat zkušenosti s žáky a studenty jak podprůměrnými, tak

nadprůměrnými.

V této kapitole bych Vás ráda seznámila se dvěma žákyněmi, se kterými spolupracuji.

První žákyně navštěvuje 9. třídu s rozšířenou výukou němčiny a tudíž týdně absolvuje stejný

počet hodin matematiky jako žáci běžných tříd. S dívkou pracuji třetím rokem a přesto, že je

její vzdělávání zaměřeno na výuku německého jazyka, měla jsem možnost si povšimnout, že

jí není lhostejná ani matematika, ve které se velmi dobře orientuje a má motivaci se v ní

zdokonalovat. Individuální výuka s touto žákyní probíhá minimálně jednou týdně, v případě

zájmu, který je zde patrný, i vícekrát. Informace k charakteristice žákyně jsou čerpány

z vlastního pozorování, rozhovorem s žákyní a rodiči.

Druhá žákyně navštěvuje také 9. třídu, ovšem zaměřenou na rozšířenou výuku

matematiky. Třída, kterou navštěvuje, jí nabízí větší časovou dotaci věnovanou matematice.

I přesto mě dívka požádala o spolupráci kvůli ještě větší možnosti rozvoje svých dovedností.

S dívkou pracuji druhým rokem a individuální výuka probíhá jednou týdně. Informace

k charakteristice žákyně jsou čerpány z vlastního pozorování, rozhovorem s žákyní a rodiči.

7.1 Markéta

Markéta se narodila roku 1996 v Olomouci, která je zároveň i jejím trvalým bydlištěm.

V roce 2003 nastoupila na ZŠ Holečkovu do první třídy, v páté třídě maminka po rozhodnutí

Markéty podala přihlášku na FZŠ Hálkova a po úspěšném absolvování přijímací zkoušky

nastoupila do třídy s rozšířenou výukou německého jazyka. Nyní navštěvuje 9. třídu

a intenzivně se připravuje na přijímací zkoušky, jelikož by byla ráda přijata na kvalitní

gymnázium a po absolvování gymnázia na vysokou školu.

Mezi její oblíbené předměty patří převážně německý jazyk a český jazyk, zároveň

i matematika a chemie. Mluví velice dobře německy, kde také obdržela i certifikáty, dále

anglicky a samozřejmě česky.

Markéta je velmi zvídavá, vnímavá a učenlivá. Je schopna rozlišit podstatné od

nepodstatného, na matematické problémy reaguje pružně, dokáže strategicky rozmýšlet a

50

dobře si rozplánovat jednotlivé kroky vedoucí k řešení problému. I přesto všechno dává

Markéta přednost úlohám, ve kterých si je jistá správným řešením.

Markéta by se v budoucnu chtěla věnovat koním a jejím snem je zvládnou přijímací

zkoušku na VŠ veterinární kliniky v Brně a dále pracovat jako soukromý veterinář se

zaměřením na koně. Samozřejmě ví, že takhle cesta nebude snadná, a proto má promyšlenou

i náhradní variantu pro případ, že by kariéra zvěrolékaře nevyšla a to studovat překladatelství

zaměřené na německý jazyk.

7.2 Denisa

Denisa se narodila v roce 1996 v Novém Jičíně a jejím trvalým bydlištěm je město

Odry. V roce 2003 nastoupila na ZŠ Komenského a v páté třídě podstoupila rozřazovací

matematický test, kterého se zúčastnili žáci pátých tříd kvůli možnému přijetí do třídy

s rozšířenou výukou matematiky. Denisa test úspěšně zvládla, ale radost z přestupu do nové

třídy neměla a to z důvodu opuštění svých spolužáků. Nyní vše vidí jinak a je ráda, že využila

možnosti této rozšířené výuky.

Jejími oblíbenými předměty jsou matematika, chemie a biologie. V mladším věku

navštěvovala biologický kroužek v Domě dětí a mládeže (DDM).

Denisa prokazuje velkou přizpůsobivost, ochotu pracovat, motivaci a cílevědomost.

V matematice je velmi vnímavá, zvídavá a rychle se učí. Dává přednost učebním úlohám s

vyšší kognitivní náročností, jelikož ráda přenáší své znalosti do nových matematických

situací. Je iniciativní, snaží se vždy úlohu vyřešit sama bez pomoci. Teprve po využití všech

svých možností žádá o pomoc. O to víc ji těší, když píle a čas strávený nad úlohou vedou ke

zdárnému vyřešení.

Dívka se hlásí na matematické gymnázium v Bílovci a v Novém Jičíně. Prioritou pro ní

je gymnázium v Bílovci. Po absolvování gymnázia má jasně stanovený cíl. Dívka má svůj

velký vzor u obou svých rodičů, ale přesto je jí práce otce bližší, chtěla by studovat medicínu

a stát se dětskou lékařkou.

51

8 SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY PRO NADANÉ ŽÁKY

NA 2. STUPNI ZŠ

Následující kapitola obsahuje seznam úloh, které lze využít při vzdělávání nadaných

žáků v matematice. V první podkapitole jsou úlohy vedoucí k prohloubení učiva. Druhá

podkapitola se věnuje rozšiřujícímu učivu, kde jsou uvedena pouze vybraná témata, která je

možno realizovat. Těmito vybranými tématy jsou: Kvadratické rovnice a slovní úlohy vedoucí

k řešení kvadratických rovnic, Základy kombinatoriky a pravděpodobnosti a Základy finanční

matematiky.

Ověřené úlohy obsahují stejnou strukturu a to zadání, řešení dívek, popřípadě další

řešení, zkoušku správnosti řešení, slovní odpověď a hodnocení dívek.

8.1 Úlohy prohlubující učivo

Úlohy vyžadují zvládnutí základního učiva, a poté se zaměřují na podrobnější rozvinutí

tématu. Cílem úloh je upevnění a prohloubení základních znalostí a získávání nových

vědomostí, které mohou být žáky v dalších ročnících využity k ulehčení a pochopení

navazujícího učiva. Dále se může jednat o úlohy z praxe, které mohou žákům pomoci

aplikovat matematiku do života.

Za prohlubující úlohy lze považovat a využívat tyto typy úloh:

Úlohy s vyšší kognitivní náročnosti,

úlohy, které jsou zaměřené na orientaci v textu a následný výběr a třídění

odpovědí,

úlohy, které mají dokázat daný jev,

úlohy, které vyžadují netradiční řešení nebo ukazují různé způsoby řešení,

tvořivé úlohy, při kterých nestačí dosavadních znalostí a je potřeba hledat nová

řešení,

úlohy zaměřené na aplikování získaných informací nejen z matematiky, apod.

Úloha č. 1

Do naší školy se žáci dopravují různě. Domácí chodí pěšky. Počet domácích a

dojíždějících je v poměru 3:1. U dojíždějících je poměr počtu těch, kteří využívají veřejnou

dopravu, a těch, kteří jezdí sami na kole nebo s rodiči autem 3:2. U veřejné dopravy je poměr

počtu těch, kteří jezdí vlakem, a těch, kteří jezdí autobusem, 7:5. Dále víme, že poměr počtu

52

těch, kteří dojíždějí na kole, k počtu těch, které vozí rodiče autem, je 5:3. O kolik více žáků

dojíždí vlakem oproti těm, které vozí rodiče, když veřejnou dopravou jezdí 24? Kolik žáků má

škola?

VOLFOVÁ, M. Matematická olympiáda. 59. ročník. III. kolo kategorie Z9.[online]. Dostupné

z WWW: <http://cgi.math.muni.cz/~rvmo/Z/59/Z59III-9.pdf>

Řešení žáků:

Řešení Markéty:

Markéta si postupně zapisovala poměry, u kterých si dělala poznámky, čeho se týkají

a vzniklo jí poměrně přehledné téma. Dívka počítala pravděpodobně zpaměti, jelikož na jejím

postupu nenalezneme výpočty, jen postupné doplňování do vytvořeného schématu. Dále vyšla

ze zadání, že 24 žáků se dopravuje veřejnou dopravou a tvoří 3 díly z počtu dojíždějících.

2 díly tvoří dojíždění autem nebo na kole a Markéta správně dopočítala, že tato část odpovídá

16 žákům: z 24 = 16. Dojíždějících je 24 + 16 = 40, a tvoří 1 díl ze všech žáků školy.

Domácích je třikrát více, tedy 120. Všech žáků na škole je tedy 40 + 120 = 160.

Dále dopočítala:

24 dojíždějících dětí, které využívají veřejnou dopravu, se dělí na ty, co cestující

vlakem: z 24 = 14 žáků a ty, co cestující autobusem: z 24 = 10.

16 dětí, které využívají neveřejnou dopravu, se dělí na ty, co jezdí na kole: z 16 = 10

a ty, které vozí autem rodiče: z 16 = 6. Obě otázky Markéta zodpověděla správně.

Řešení Denisy:

Denisa řešila úlohu obdobným způsobem jako Markéta. Také využila schéma a postupně

doplňovala počty žáků k poměrům. Správně vyřešila, že vlakem jezdí o 8 žáků více než

autem, ale na druhou otázku, která se týkala celkového počtu žáků na škole, zodpověděla

špatně, jelikož celkový počet žáků je 120, ne 180. Jde vidět, že chyba není způsobena

53

nedostatkem znalostí, protože veřejné a neveřejné prostředky má vyřešené správně. Chybu

udělala ve sčítání.

Další způsob řešení:

Sestrojí se úsečka, která představuje všechny žáky školy a rozdělíme ji podle zadaných

poměrů (viz obrázek).

Ze zadání víme, že autobusem a vlakem jezdí 24 žáků. Z obrázku odvodíme, že dojíždějících

žáků je 24 = 40 a všech žáků je 4 40 = 160. Nejmenší dílky, které odpovídají veřejné

dopravě, představují 24 : 12 = 2 žáky. Část úsečky, která odpovídá neveřejné dopravě je

rozdělena na tři takto velké dílky. Dílky jsou stejně dlouhé, protože jednou znázorňuji

dvanáctinu tří dílů, jednou osminu dvou dílů. Část úsečky, která odpovídá vlaku je o 4 takové

dílky větší než ta, která odpovídá auto. Vlakem se tedy dopravuje o 4 2 = 8 více žáků.

Zkouška:

Při zkoušce dívky mohly vycházet z celkového počtu žáků na škole a jednotlivými poměry

zjišťovat, zda jde o domácí či dojíždějící (160 : 4 = 40, tj. 3 40 = 120 domácích, 1 40 = 40

dojíždějících), kolik žáků využívá veřejnou dopravou a kolik z nich využívá kolo či odvoz

rodiči (40 : 5 = 8, tj. 3 8 = 24 žáků dojíždí veřejnou dopravou, 2 8 = 16 žáků dojíždí na kole

nebo s rodiči), kolik žáků dojíždí vlakem či autobusem (24 : 12 = 2, tj. 7 2 = 14 žáků dojíždí

vlakem, 5 2 = 10 žáků dojíždí autobusem) a kolik žáků dojíždí na kole či s rodiči (16 : 8 = 2,

tj. 5 2 = 10 žáků jezdů na kole, 3 2 = 6 žáků vozí rodiče).

54

Odpověď: Škola má celkem 160 žáků a vlakem dojíždí o 8 žáků více než autem.

Hodnocení dívek: Markéta vyřešila zcela správně, Denisa s menší numerickou chybou.

Úloha č. 2

Šárka nalila džus do skleničky a hrnku a obě nádoby doplnila vodou. Hrnek měl dvakrát větší

objem než sklenička. Poměr džusu a vody ve skleničce byl 2:1 a v hrnku 4:1. Poté přelila

obsah skleničky i obsah hrnku do džbánu. Jaký byl poměr džusu a vody ve džbánu?

HOZOVÁ, L. Matematická olympiáda. 59. ročník. II. kolo Z9. [online]. Dostupné z WWW:

<http://cgi.math.muni.cz/~rvmo/Z/59/Z59II-9.pdf>

Řešení žáků:

Řešení Markéty:

Markéta se opět snažila využít přehledného zapsání, které by jí mohlo pomoci v řešení.

Správně si zapsala, že ve sklenici jsou džusu a vody. V hrnku jsou džusu a

vody. Uvědomila si, že objem v hrnku je dvakrát větší

vody. Pak sečetla poměry džusu + a poměry vody . Výsledný

poměr zkrátila na 34:11. Příklad vyřešila zcela správně.

Řešení Denisy:

Denisa postupovala stejným způsobem jako Markéta. Příklad vyřešila zcela správně.

55


Nemusíme počítat každou složku zvlášť. Stačí, když budeme počítat např. jen s džusem,

protože až ve džbánu je potřeba znát objem obou složek. Pak můžeme objem druhé složky,

v našem případě vody, určit odečtením objemu první složku od celkového objemu směsi, tj.

Zkouška:

Při zkoušce dívky mohly vycházet z nezkráceného poměru . První číslo nám udává

celkové množství džusu ve džbánu. Můžeme tedy od něj odečíst množství džusu ve sklenici,

a mělo by nám vyjít množství, které náleží hrnku, tj. a stejným způsobem

vypočítat množství vody náležící hrnku, tj. .

Odpověď: Ve džbánu je poměr vody a džusu 34:11.

Hodnocení dívek: Obě dívky vyřešily úlohu zcela správně.

Úloha č. 3

Vlčkovi lisovali jablečný mošt. Měli ho ve dvou stejně objemných soudcích, v obou

téměř stejné množství. Kdyby z prvního přelili do druhého 1 litr, měli by v obou stejně, ale to

by ani jeden soudek nebyl plný. Tak raději přelili 9 litrů z druhého do prvního. Pak byl soudek

úplný a mošt v druhém zaplňoval právě třetinu objemu. Kolik litrů moštu vylisovali, jaký byl

objem soudků a kolik moštu v nich bylo původně?

VOLFOVÁ, M. Matematická olympiáda. 60. ročník. 1. kolo Z9. [online]. Dostupné z WWW:

<http://cgi.math.muni.cz/~rvmo/Z/60/Z60I-9.pdf>

56

Řešení žáků:

Řešení Markéty:

Markéta si správně označila jeden soudek za neznámou x a druhý soudek za neznámou

y. Podle zadání sestavila soustavu rovnic o dvou neznámých, kterou upravila a následně

vyřešila sčítací metodou. Vzhledem k tomu, že Markéta nenapsala odpověď, lze spekulovat,

zda na otázky znala odpovědi. Konečné výsledky v jejich poznámkách zcela chybí. Příklad je

vyřešen přibližně do poloviny.

Řešení Denisy:

Denisa také správně sestavila soustavu rovnic o dvou neznámých, kterou řešila pomocí

dosazovací metody a díky kořenům soustavy mohla počítat dále. Konečné početní operace

zde chybí a správnost řešení nalézáme až ve slovních odpovědích. Chybí ověření správnosti

řešení.

Zkouška:

pro x = 21 a y = 19:

L = 21 – 1 = 20

P = 19 + 1 = 20

L = P

L = 21 + 9 = 30

P = 3 (19 – 9) = 30

L = P

57

Odpověď: V prvním soudku bylo původně 21 litrů a ve druhé 19 litrů moštu. Celkově bylo

vylisováno 40 litrů moštu. Objem každého z obou soudků byl 30 litrů.

Hodnocení dívek: Markéta příklad nedořešila, chybí jí konečné výsledky, slovní odpovědi

a zkouška. Denisa vyřešila úlohu správně, pouze jí chybí zkouška.

Úloha č. 4

Alena, Bára, Čeněk a David si společně koupili tandem – jízdní kolo pro dva. Na

projížďku vyrážejí vždy ve dvojici. Každý jel s každým alespoň jednou a nikdo jiný se na

tandemu ještě nevezl. Alena byla na projížďce jedenáctkrát, Bára dvacetkrát, Čeněk jen

čtyřikrát. Určete, kolikrát minimálně a kolikrát maximálně mohl být na projížďce David.

Matematická olympiáda. 58. ročník. I. kolo Z9. [online]. Dostupné z WWW: <http://cgi.math.

muni.cz/~rvmo/Z/58/Z58I-9.pdf>

Řešení žáků:

Řešení Markéty:

Markéta si u řešení úlohy pomohla vytvořením schématu. Postupovala obdobným

způsobem jako Denisa, kdy vycházela z myšlenky, že pokud chce zjistit maximálně možný

počet jízd Davida, musí Alena, Bára a Čeněk spolu navzájem projezdit co největší možný

počet jízd a naopak.

58

Řešení Denisy:

Denisa řešení provedla v následujícím schématu. Při řešení otázky a), tedy nejmenšího

možného počtu jízd Davida, musí Alena Bára a Čeněk spolu navzájem projezdit co největší

možný počet jízd. Alena s Bárou mohli jet maximálně 9krát, Čeněk s Alenou, ale i s Bárou

mohl jet maximálně 2krát, ale nemohl tento počet jízd uskutečnit s oběma, protože musel jet

alespoň jednou s Davidem. Když jel Čeněk s Alenou dvakrát, nemohlo být dosaženo maxima

jízd Aleny s Bárou, proto dvě jízdy Čeněk jel s Bárou. David byl tedy na projížďce s Bárou

devětkrát, s Alenou a Čeňkem jednou, tedy dohromady 11krát. Když se podíváme na otázku

b), je možnost ze schématu vydedukovat, že kdyby Alena, Bára a Čeněk jeli každý s každým

jednou a pak jen s Davidem, byl by David na projížďce (11 – 2) + (20 – 2) + (4 – 2) = 29krát.

Zkouška:

Pokud chceme ověřit, zda je správně vyřešena možnost maximálního počtu jízda

Davida, stačí si ověřit, zda byla dodržena zásada jízdy každého s každým minimálně jednou

a bylo každému kamarádovi přiřazeno co nejméně možných jízd s ostatními a co největší

možný počet jízd s Davidem. Pokud chceme ověřit správnost řešení minimálního počtu jízd

Davida, stačí si ověřit, zda bylo každému kamarádovi přirazeno co nejvíce možných jízd

s ostatními kamarády a co nejmenší možný počet jízd s Davidem, a to opět za podmínky, že

každý musel jet alespoň jedenkrát.

Odpověď: David realizoval minimálně 11 jízd a maximálně 29 jízd.

Hodnocení dívek: Markéta vyřešila úlohu zcela správně. Denisa vyřešila problém taky

správně, jen její slovní odpověď není plnohodnotná.

59

Úloha č. 5

Magda tábořila se svými rodiči u jihočeského rybníka. Jednou tatínek řekl: „Posbírej

všechny prázdné láhve, běž do hostince, část jich prodej a za utržené peníze nech do

zbývajících lahví natočit limonádu. A přines jí co nejvíce.“ Magda našla 8 litrových láhví po

3Kč a 9 půllitrových láhví po 2 Kč a odešla splnit tatínkův požadavek. Kolik litrů limonády

přinesla, jestliže za litr zaplatila 4kč? (Trejbal, 1995, str. 42)

Řešení:

9 půllitrových lahví = 4,5 litru = 18 Kč a 8 litrových lahví = 8 litrů = 13,5 Kč. Z tohoto

je zřejmé, že více peněz Magda získá za půllitrové láhve a k tomu se do litrových vleze

dvakrát více limonády. Získala tedy 18 Kč, za ně nakoupila limonádu a naplnila 4 láhve a to

za 16 Kč. Zůstaly jí 2 Kč. Vyměnila 2 litrové láhve a získala 6 Kč. Měla 8 Kč, za které

nechala naplnit dvě zbylé litrové láhve.

Odpověď: Magda přinesla z hospody 6 litrových lahví naplněných limonádou.

Úloha č. 6

Nováková, Vaňková a Sudková vyhrály štafetu a kromě diplomů dostaly i bonboniéru,

kterou hned po závodech sluply. Kdyby snědla Petra o 3 bonbóny více, snědla by jich právě

tolik, co Míša s Janou dohromady. A kdyby si Jana pochutnala ještě na sedmi bonbónech,

také by jich měla tolik, co druhé dvě dohromady. Ještě víme, že počet bonbónů, které snědla

Vaňková, je dělitelný třemi a že Sudková si smlsla na sedmi bonbónech. Jak se děvčata

jmenovala? Kolik bonbónů snědla každá z nich?

VOLFOVÁ, M. Matematická olympiáda. 56. ročník. III. kolo. [online]. Dostupné z WWW:

<http://cgi.math.muni.cz/~rvmo/Z/56/Z56II-9R.pdf>

Řešení žáků:

Řešení Markéty:

Markéta si označila počet bonbónů, které snědla Jana = j, Petra = p a Míša = m. Dále

sestavila podle zadání rovnice a to: p + 3 = m + j

j + 7 = p + m.

60

Rovnice od sebe odečetla a z výsledné rovnice vyjádřila neznámou p. Příklad neřešila, protože

nevěděla jak postupovat.

Řešení Denisy:

Denisa stejným způsobem jako Markéta zvládla sestavit rovnice, pokračovala

odečtením druhé rovnice od první a získala: p – j – 4 = j – p. Dále upravila na tvar 2p - 4 = 2j,

zkrátila na p – 2 = j a vyjádřila si neznámou p = j + 2.

Tuto rovnici dosadila do první a vypočítala, že m = 5. Ze zadání věděla, že jedna

z neznámých je rovna 7. Dále pokračovala úvahou.

Zkusila dosadit p = 7 a dopočítala, že j = 5. Zjistila, že žádná neznámá není dělitelná

třemi, tudíž je to nesprávné řešení.

Zkusila dosadit j = 7 a dopočítala, že p = 9. Tato možnost zadání vyhovuje.

Ze zadání vyčetla, že Vaňková snědla počet bonbónů dělitelných třemi, čemuž odpovídá

9 bonbónů, které snědla Petra Petra má příjmení Vaňková. Sudková snědla 7 bonbónů a

tento počet snědla Jana Jana má příjmení Sudková. Zbylo nám, že Míša má příjmení

Nováková.

61


Stejným způsobem dojdeme ke vztahu p = j + 2. Sestavíme tabulku a dosazujeme

hodnotu j do rovnice:

Např: j = 1 p = 1 + 2, p = 3…vyjádříme si z první rovnice p + 3 - j= m, dosadíme získané

hodnoty m = 3 + 3 – 1, m = 5. Stejným postupem pokračujeme dále ve vyplňování tabulky do

chvíle, kdy se objeví číslo 7. V případě objevení čísla 7 u neznámé p, nesplňují čísla

stanovené podmínky, jelikož se neobjevuje číslo dělitelné třemi. V dalším případě, když je

neznámá j rovna 7, objevuje se i číslo dělitelné třemi a to u neznámé p. Řešení tedy vyhovuje

poslední sloupec.

j 1 2 3 4 5 6 7

p 3 4 5 6 7 8 9

m 5 5 5 5 5 5 5

Příjmení doplníme stejným způsobem jako u řešení Denisy.

Zkouška:

Ověříme si, zda řešení odpovídá podmínkám, že Sudková smlsla 7 bonbónů, Vaňková

smlsla počet dělitelný třemi a sestaveným rovnicím: p + 3 = m + j

j + 7 = p + m.

L: 9 + 3 = 12

P: 5 + 7 = 12

L = P

L: 7 + 7 = 14

P: 9 + 5 =14

L = P

Je splněno, že Jana snědla 7 bonbónů a tudíž se jmenuje Sudková. Petra snědla 9 bonbónů,

což je číslo dělitelné třemi, tudíž se jmenuje Vaňková.

Odpověď: Jana Sudková měla 7 bonbónů, Petra Vaňková 9 a Míša Nováková 5 bonbónů.

Hodnocení: Markéta úlohu nevyřešila. Denisa zvládla úlohu správně a se zajímavým

postupem řešení. Opět si své řešení neověřila zkouškou. Je možné u ní pozorovat, že mnoho

výpočtů provádí pamětně.

62

Úloha č. 7

Vojta Vodík se bavil tím, že přeléval vodu mezi třemi nádobami. Nejprve přelil po jedné

třetině vody z druhé nádoby do první a třetí. Poté přelil po jedné čtvrtině vody z první nádoby

do druhé a třetí a nakonec ještě po jedné pětině vody ze třetí nádoby do první a druhé nádoby.

Pak bylo v každé nádobě po jednom litru vody. Kolik vody měl Vojta původně v jednotlivých

nádobách?

PETROVÁ, M. Matematická olympiáda. 58. ročník, II. kolo. [online]. Dostupné z WWW:

<http://cgi.math.muni.cz/~rvmo/Z/58/Z58II-9.pdf>

Řešení žáků:

Řešení Markéty:

Tuto úlohu nemá smysl ani hodnotit. Markéta úlohu vzdala.

Řešení Denisy:

Denisa si označila množství vody v jednotlivých nádobách x, y a z. Přelévání se snažila

zapisovat postupně pod jednotlivé nádobí. Nejdříve provedla první přelévání, kdy z druhé

nádoby odebrala 2 , první a třetí nádobě přičetla po . Upravila množství v jednotlivých

nádobách. U druhého přelévání odebrala z první nádoby 2 (x + , druhé a třetí nádobě

přičetla (x + . V posledním přelévání odečetla třetí nádobě 2

první a druhé nádobě přičetla . Tímto postupným upravování získala tři

rovnice o třech neznámých, které se rovnaly jedné, protože ze zadání zjistila, že na konci

přelévání zůstalo v nádobách po jednom litru vody. Rovnice dále upravila tak, aby se zbavila

jmenovatele a dále nevěděla, jak pokračovat.

63

Další postup řešení:

Odečteme první dvě rovnice a získáme 5x – 5y = 0, tj. y = x. Dosadíme do upravené druhé

a třetí rovnice: 16x + 4z = 20,

8x + 12z = 20.

Tyto rovnice od sebe odečteme a získáme: 8x – 8z = 0, tj. z = x.

To znamená, že nádoby měly původně stejné množství vody, tj. po jednom, litru jako na

konci přelévání.


Můžeme postupovat od konce. Po posledním přelití má každá nádoba po jednom litru

vody. Jeden litr vody ve třetí nádobě představuje množství vody, jež bylo v této nádobě před

posledním přelitím. Přelili jsme tedy po litru a tuto vodu nyní vrátíme zpět:

64

1. nádoba 2. nádoba 3. nádoba

po 3. přelévání

1 1 1

přelévání zpět

před 3. přeléváním

První nádoba nyní obsahuje litru, které představují množství vody v této nádobě před

druhým přeléváním. Znovu se přelévala litru a toto množství opět vrátíme zpět:


po 2. přelévání

přelévání zpět

před 2. přeléváním

Množství ve druhé nádobě představuje původního množství vody v této nádobě, a tedy opět

toto množství vrátíme zpět:


po 1. přelévání

přelévání zpět

před 1. přeléváním 1 1 1

Zkouška:

Zkouška se provede dosazením do soustavy rovnic:

L: = =

= 1

P: 1

L = P

L: = =

= 1

P: 1

L = P

L: = =

= 1

P: 1

L = P

Odpověď: V každé ze tří nádob bylo původně po jednom litru vody.

Hodnocení dívek: Markéta úlohu nevyřešila. Denisa si s touto úlohou poradila výborně, až

nad mé očekávání.

65

Úloha č. 8

Do kružnice s poloměrem 2 cm je vepsán pravidelný šestiúhelník ABCDEF. Přímky EF

a CD se protínají v bodě M. Určete délku úsečky AM.

Matematická olympiáda. 56. ročník, I. kolo. [online]. Dostupné z WWW: <http://cgi.math.mu

ni.cz/~rvmo/Z/56/Z56I-9.pdf>

Řešení žáků:

Řešení Markéty:

Markéta si načrtla obrázek. Vyznačila si bod X AB. Vzdálenost ǀAXǀ = 1cm.

Z trojúhelníku AXS pomocí Pythagorovy věty vypočítala vzdálenost ǀXSǀ = . Dále si

uvědomila, že ǀXMǀ = 3 ǀXSǀ, tj. ǀXMǀ = 3 . Tuto vzdálenost potřebovala pro výpočet délky

AM, kterou vypočítala pomocí Pythagorovy věty z trojúhelníku AXM.

Řešení Denisy:

Denisa si správně načrtla obrázek. Díky obrázku a znalostí si odvodila, že trojúhelník

EDS je shodný s trojúhelníkem EDM a ǀAXǀ =1 cm. Dále si vykreslila trojúhelník AXM.

Potřebovala vypočítat stranu XS, kterou správně dopočítala pomocí Pythagorovy věty

z tohoto trojúhelníku AXS. Nadále si správně uvědomila, že ǀXMǀ = 3 ǀXSǀ, a tedy neměla

problém dopočítat vzdálenost XM, kterou potřebovala pro výpočet Pythagorovy věty

z trojúhelníku AXM, díky kterému vypočítala hledanou délku úsečky AM. Výslednou délku

zaokrouhlila na jedno desetinné místo.

66

Odpověď: Délka úsečky AM je přibližně 5,3 cm.

Hodnocení dívek: Markéta náčrtek provedla propiskou, výsledek mohla díky možnosti

využívat kalkulátor převést na desetinné číslo a popřípadě zaokrouhlit, chybí zde slovní

odpověď. Denisa úlohu vyřešila obdobným způsobem, také jí chybí odpověď, ale celkově

bych hodnotila její řešení za přehlednější a srozumitelnější.

Úloha č. 9

Určete obsah šedé plochy na obrázku, pokud víme, že kružnice se navzájem dotýkají a

mají poloměr 1 cm a úsečky, které plochy ohraničují, jsou jejich společné tečny.

TLUSTÝ, P. Matematická olympiáda. 55. ročník. II. kolo. [online]. Dostupné z WWW: <http:

//cgi.math.muni.cz/~rvmo/Z/55/Z55II-9R.pdf>

67

Řešení:

Obsah šedé části je možno vypočítat jako rozdíl obsahu celého obrazce a obsahu bílé

plochy. Obrazec rozdělíme na rovnostranný trojúhelník ABC, kdy jeho vrcholy tvoří středy

bílých kružnic. Strana tohoto trojúhelníku je 2 cm. Dále jej rozdělíme na tři shodné obdélníky

KLMN, jejichž strany měří 1 cm a 2 cm. A nakonec jej rozdělíme na tři shodné kruhové

výseče, kdy jejich poloměr je 1 cm a středový úhel má velikost 360° - 2 90° - 60° = 120°

(viz obrázek).

Nyní stačí vyřešit postupně jednotlivé obsahy. Nejprve vypočítáme obsah rovnostranného

trojúhelníku. Potřebujeme znát délku výšky, kterou zjistíme pomocí Pythagorovy věty:

, v = cm.

Obsah trojúhelníku: SABC = = cm2.

Obsah obdélníků: SKLMN = 3 (a b) = 3 (1 2) = 6 cm2.

Obsah výsečí: Středový úhel jednoho výseče je 120°, výseče máme tři, obsah těchto výsečí je

tedy roven obsahu jednoho bílého kruhu: S = πr2 = π 1

2 = π cm

2.

Obsah šedé plochy:

S = (SABC SKLMN S) – 3 S = ( π) – 3 π = (6 π) cm2.

Odpověď: Obsah šedé plochy obrazce je (6 π) cm2.

Úloha č. 10

Kružnici se středem S a poloměrem 12 cm jsme opsali pravidelný šestiúhelník ABCDEF a

vepsali pravidelný šestiúhelník TUVXYZ tak, aby bod T byl středem strany BC. Vypočítej

obsah a obvod čtyřúhelníku TCUS.

68

KREJČOVÁ, M. Matematická olympiáda. 60. Ročník. I. kolo. [online]. Dostupné z WWW:

<http://cgi.math.muni.cz/~rvmo/Z/60/Z60I-9.pdf>

Řešení:

V této úloze je možné vycházet z vlastnosti pravidelného šestiúhelníku, že jakékoliv dva

jeho sousední vrcholy a střed kružnice jemu opsané (resp. vepsané) tvoří vrcholy

rovnostranného trojúhelníku. V našem případě trojúhelníky CSB a CSD jsou rovnostranné a

mají společnou stranu CS, podle které jsou osově souměrné. Bod T je střed strany BC

trojúhelníku CSB a je i patou jeho výšky kolmé na stranu BC trojúhelník CST je

pravoúhlý. Bod U je středem strany CD a je osově souměrný k T podle úsečky CS

trojúhelník CST je shodný s trojúhelníkem CSU.

Potřebujeme znát velikost ǀTCǀ, kterou jednoduše vypočítáme pomoci Pythagorovy věty

v trojúhelníku CST. K tomu to výpočtu nám pomáhá vztah ǀCSǀ = 2 ǀTCǀ:

ǀCSǀ2 = ǀSTǀ

2 + ǀTCǀ

2,

4ǀTCǀ2 = r

2 + ǀTCǀ

2,

3ǀTCǀ2 = r

2

ǀTCǀ = =

Obsah obdélníku TCUS: STCUS = 2 SCST = ǀTCǀ ǀSTǀ = .

Obvod obdélníku TCUS: OTCUS = 2 (ǀTCǀ + ǀSTǀ) = 2 (

Po dosazení r = 12 dojdeme k výsledkům:

STCUS = 48 (cm2)

OTCUS = 8 + 24 (cm).

Odpověď: Obsah čtyřúhelníku TCSU je 48 (cm2) a obvod 8 + 24 (cm).

69

8.2 Úlohy rozšiřující učivo – obohacující učivo

Učitel může pro matematicky nadané žáky zařadit do výuky učivo, které není uvedeno

v Rámcovém vzdělávacím programu pro základní vzdělávání (RVP ZV), nebo ve Školním

vzdělávacím programu (ŠVP). Rozšiřující učivo lze zahrnout v případě, že žák má osvojeny

základní požadavky, které jsou na něj kladeny a umí je využívat v praxi. Obohacující učivo by

u žáků mělo vést k rozvoji klíčových kompetencí žáka a to převážně k rozvoji kompetencí

k učení a řešení problémů.

Vzdělávací obsah vzdělávacího oboru Matematika a její aplikace je rozdělen na čtyři

tematické okruhy. Možnosti jejich rozšíření jsou velké. Uvádím jen několik možností

rozšiřujícího učiva, kterého může pedagog využít. Je nutné si uvědomit, že témata spolu

souvisí a navazují na základní učivo. Proto je nutné dodržovat logickou posloupnost v jejich

zařazování.

Číslo a proměnná – učivo je možno rozšířit například o kvadratické rovnice,

Vennovy diagramy, finanční matematiku, úlohy vedoucí na řešení diofantovské

rovnice, apod.

Závislosti, vztahy a práce s daty - učivo je možno rozšířit například

o kvadratické funkce, základy statistiky, apod.

Geometrie v rovině a v prostoru – učivo je možno rozšířit například

o Euklidovy věty, Platonova tělesa, apod.

Nestandardní aplikační úlohy a problémy – učivo je možno rozšířit například

o logické úlohy, pravděpodobnost, základy kombinatoriky, apod.

8.2.1 Kvadratické rovnice a slovní úlohy vedoucí k řešení kvadratických rovnic

Předpoklad: žák umí pracovat s výrazy a s proměnnou, umí matematizovat jednoduché reálné

situace s využitím proměnných, umí formulovat a řešit reálné situaci pomocí lineárních rovnic

a jejich soustav.

Obsah: obecná kvadratická rovnice, kvadratický člen, lineární člen, absolutní člen, kořeny

rovnice, zkouška, řešení pomocí diskriminantu, řešení neúplných kvadratických rovnic –

řešení rovnice bez lineárního členu, řešení rovnice bez absolutního členu, řešení slovních úloh

vedoucích ke kvadratické rovnici.

Výstup: žák umí řešit kvadratické rovnice a jejich zkoušku, žák využívá kvadratických rovnic

při řešení slovních úloh.

70

Využití: učivo je základem středoškolské matematiky, tudíž se předpokládá jeho další využití,

využití při řešení úloh z praxe. (RVP ZV, 2010)

Úloha č. 11

Kterým přirozeným číslem je třeba dělit číslo 73, aby (celočíselný) podíl byl o 3 větší

než dělitel a zbytek o 4 menší než dělitel? (Polák, 2006, str. 245)

Řešení žáků:

Řešení Markéty:

Markéta špatně sestavila rovnici. I když s rovnicí pracovala správně, tak kvůli

chybnému sestavení podle zadání, se nedopočítala správnému výsledku. Je možnost vidět, že

rovnici původně sestavila správně, ale opravila ji za chybnou.

Řešení Denisy:

Denisa si podle zadání sestavila rovnici a pomocí úprav získala kvadratickou rovnici,

kterou vyřešila pomoci diskriminantu. Vypočítala dva kořeny, tj. x1 = 7 a x2 = -11. Správnost

svého řešení si ověřila zkouškou. Chybí zde slovní odpověď, ale lze usoudit, že obě čísla

považuje za řešení úlohy, což správně není, jelikož v zadání se hovoří o hledaném přirozeném

číslu, čemuž číslo -11 nevyhovuje.

71

Zkouška:

Denisa vyřešila zkoušku správně, tudíž je zbytečné ji znovu provádět.

Odpověď: Hledané přirozené číslo je číslo 7.

Hodnocení dívek: Markéta úlohu nevyřešila. Denisa úlohu vyřešila, ale předpokládaná

odpověď je špatná.

Úloha č. 12

Rozdíl dvou kladných čísel je 1, součet jejich druhých mocnin je 545. Určete tato čísla.

(Charvát a spol., 1999, str. 176)

Řešení žáků:

Řešení Markéty:

Markéta sestavila soustavu rovnici podle zadání a řešila ji dosazovací metodou.

Vyjádřila si z první rovnice neznámou x, tj. x = 1 + y a dosadila do druhé rovnice. Úpravy

druhé rovnice vedly ke kvadratické rovnici a po vyřešení získala kořeny y1 = 16 a y2 = -17.

Dopočítala x1 = 17 a x2 = -18. Chybí zde odpověď, tak předpokládám, že všechny řešení

považuje Markéta za správné. V zadání je ovšem požadavek přirozeného čísla, který splňuje

jen x1 = 17 a y1 = 16.

72

Řešení Denisy:

Denisa řešila úlohu stejným způsobem jako Markéta, ale dořešila ji správně. Opět

nenapsala slovní odpověď.

Zkouška:

pro x1= 17 a y = 16:

L = 17 – 16 = 1

P = 1

L = P

L = 172 + 16

2 = 289 + 256 = 545

P = 545

L = P

Odpověď: Hledaná čísla jsou 17 a 16.

Hodnocení dívek: Markéta použila pro řešení úlohy správný postup, ale neuvědomila si, že

výsledek nemůže být záporný vzhledem k podmínce přirozeného čísla. Denisa úlohu vyřešila

správně. Obě dívky opět neprovedly zkoušku a nenapsaly slovní odpověď.

Úloha č. 13

Dvě dvojciferná čísla se liší jen pořadím číslic. Jejich součin je 1 300, rozdíl 27. Která

jsou to čísla? (Charvát a spol., 1999, str. 176)

Řešení:

Vytvoříme si soustavu rovnic podle zadání úlohy:

x y = 1 300,

x – y = 27.

73

Můžeme řešit dosazovací nebo sčítací metodou. Která metoda je v tomto případě výhodnější,

je zcela subjektivním názorem. Z mého pohledu je to metoda dosazovací, tudíž příklad

dořešíme touto metodou.

Z druhé rovnice vyjádříme neznámou x, tj. x = 27 + y a dosadíme do první rovnice.

(27 + y) y = 1 300,

27y + y2 = 1 300,

y2 + 27y – 1 300 = 0.

D = b2 – 4ac

D = 272 – 4 1 1 300

D = 5 929

D = 77

y1/2 = , tj. y1 =

y2 =

Získáme kořeny y1 = a y2 = Postupně dosadíme do vyjádřené rovnice x = 27 – y, tj.

x1 = 27 + 25

x1 = 52,

x2 = 27 – 52

x2 = -25.

Zkouška:

pro x1 = 52 a y1 =

L = 52 25 = 1 300

P = 1 300

L = P

L = 52 – 25 = 27

P = 27

L = P

pro x2 = -25 a y2 =

L = (-25) (-52) =1 300

P = 1 300

L = P

L = -25 + 52 = 27

P = 27

L = P

Odpověď: Hledaná čísla jsou 52 a 25 nebo -25 a -52.

Úloha č. 14

Obvod obdélníku je 82 m, jeho úhlopříčka má délku 29 metrů. Jak dlouhé jsou jeho

strany obdélníku? (Charvát a spol., 1999, str. 176)

74

Řešení žáků:

Řešení Markéty:

Markéta si správně sestavila soustavu rovnic o dvou neznámých, kterou doplňuje

pomocný náčrtek. Soustavu vyřešila dosazovací metodou, kdy vyjádřila neznámou a z první

rovnice, tj. a = 41 – b. Poté dosadila do druhé rovnice a postupnými úpravami došla ke

kvadratické rovnici, kterou vypočítala pomocí diskriminantu. Získala dva kořeny, tj. b1 = 21

a b2 =20. Po dosazení vypočtených kořenů do první rovnice, získala neznámou a, tj. a1 = 20,

a2= 21. Zapomněla provést zkoušku a na slovní odpověď.

Řešení Denisy:

Denisa použila pro řešení úlohy stejný postup jako Markéta. Zkoušku neprovedla

formálně správně, protože dosadila přímo do rovnice. Správně si uvědomila, že i když ji vyšly

dvě možná řešení, jedná se pořád o ten samý obdélník.

75

Zkouška:

pro x1 = 20 a y1 =

L = 82

P = 2 (20 + 21) = 82

L = P

L = 841

P = 202 + 21

2 = 400 + 441 = 841

L = P

Odpověď: Obdélník může mít délky stran 20m a 21m.

Hodnocení dívek: Markéta vyřešila úlohu správně, ale opět neprovedla zkoušku a nenapsala

slovní odpověď. Je možné, že si neuvědomila, že i když má úloha dvě řešení, jedná se o jeden

obdélník. Denisa vyřešila úlohu zcela správně.

Úloha č. 15

V pravoúhlém trojúhelníku je délka přepony 65 m a rozdíl odvěsen 23 m. Vypočítej obvod

tohoto trojúhelníka.

HESTERIC, R. Cvičení z učiva středních škol – matematika, fyzika a chemie. [online].

Dostupné z WWW: <http://www.priklady.eu/cs/Matematika/Slovni-ulohy.alej>

http://www.priklady.eu/cs/Matematika/Slovni-ulohy.alej

76

Řešení:

Řešení Markéty:

Markéta nesestavila správně druhou rovnici soustavy rovnic, tudíž úlohu nemohla

vyřešit správně.

Řešení Denisy:

Denisa správně sestavila soustavu dvou rovnic o dvou neznámých a k jejich řešení

použila dosazovací metodu. Z první rovnice si vyjádřila neznámou x, poté dosadila do druhé

rovnice a úpravou této rovnice získala kvadratickou rovnici, kterou opět vyřešila pomocí

diskriminantu. Díky této operaci získala dva kořeny: y1 = 33 a y2 = -56. Správně odvodila, že

záporný výsledek nemá smysl, jelikož v tomto případě nelze mluvit o záporné délce strany

trojúhelníku. Dále si díky neznámé y dopočítala neznámou x, kdy x = 56. V této situaci měla

všechny potřebné údaje k výpočtu obvodu trojúhelníky, kdy správně dosadila do vzorečku.

77

Zkouška:

pro x1 = 56 a y1 =33:

56 – 33 = 23

P: 23

L = P

L: 562 + 33

2 = 3136 + 1089 = 4225

P: 652 = 4225

L = P

Odpověď: Obvod trojúhelníku je 154 cm.

Hodnocení dívek: Markéta úlohu nevyřešila. Denisa úlohu vyřešila, jen opět chybí zkouška.

Úloha č. 16

Na schodišti vysokém 3,6 m se zvětšil počet schodů o 3, proto výška schodu se zmenšila

o 4 cm (0,04m). Kolik schodů má schodiště?



Řešení:

Počet schodů si označíme jako neznámou x a výšku jako neznámou y. Výšku jednoho

schodu vyjádříme jako podíl výšky celého schodiště a počtu schodů, tj. y = .

Ze zadání vytvoříme rovnici, kdy počet schodů vynásobíme výškou a tento součin se bude

rovnat celkové výšce schodiště: (y – 0,04) (x + 3) = 3,6.

Vznikne nám soustava dvou rovnic a dvou neznámých, kterou budeme dále řešit metou

dosazovací, kdy první rovnici dosadíme do druhé:

( 0,04) (x + 3) = 3,6.

( (x + 3) = 3,6 /x

(3,6 – 0,04x) (x + 3) = 3,6x

-0,04x2 – 0,12x + 10,8 = 0 / (-100)

4 x2 – 12x – 1080 = 0 /:4

x2 + 3x – 270 = 0


78

D = b2 – 4ac

D = (-3)2 – 4 1 (- 270)

D = 1089

D = 33

x1/2 = , tj. x1 =

x2 =

Získáme kořeny x1 = a x2 = Druhý kořen nám vyšel záporně, což nevyhovuje,

jelikož nemůžeme mít záporný počet schodů. První kořen dosadíme do vyjádřené rovnice

y = , tj. y1 = = 0,24.

Odpověď: Na schodišti je 15 schodů a každý schod má výšku 0,24m.

Úloha č. 17

Výsledek dvou sil, které svírají pravý úhel, má velikost 25 N. Když menší sílu zvětšíme

o 8 N a větší zmenšíme o 4 N, výsledek se nezmění. Vypočítej obě síly.



Řešení žáků:

Řešení Markéty:

Markéta si první sílu označila jako neznámou x a druhou sílu jako neznámou y. Přes

marné pokusy ovšem vytvořila jen jednu rovnici. K řešení úlohy potřebovala dvě.

Řešení Denisy:

Denisa si správně uvědomila, že pokud síly svírají pravý úhel, může využít Pythagorovu

větu, to také učinila a získala první rovnici, tj. x2 + y

2 = 25

2. Dále podle zadání vytvořila

druhou rovnici, tj. (x + 8)2 + (x – 4)

2 = 25

2. Rovnice od sebe odečetla, upravila a vyšla ji

rovnice o dvou neznámých, ze které si vyjádřila neznámou y, tj. y = 2x + 10. Tuto rovnici


79

dosadila do druhé rovnice ze soustavy, upravila a dostala se opět ke kvadratické rovnici,

kterou vyřešila pomocí diskriminantu. Získala kořeny rovnice, tj. x1 = a x2 = Správně

si uvědomila, že není možné mít zápornou sílu. Tudíž dále pracovala jen s x1, díky kterému si

dopočítala druhou sílu y1, tj. y1= 24. Provedla zkoušku, kde si ověřila správnost řešení a úlohu

zakončila slovní odpovědí.

Zkouška:

Denisa zkoušku sice provedla, přesto si ukážeme zkoušku pomocí obou rovnic.

pro x = 7 a y =24:

L: 72 + 24

2 = 49 + 576 = 623

P: 252 = 625

L = P

L: (7 + 8)2 + (24 – 4)

2 = 225 + 400 = 625

P: 252 = 625

L = P

Odpověď: První síla má 7 N a druhá má 24 N.

Hodnocení dívek: Markéta úlohu nevyřešila. Denisa ji vyřešila zcela správně.

80

Úloha č. 18

Turista má vykonat cestu dlouhou 45 km. Kdyby urazil za hodinu o 0,5 km méně, došel

by do cíle o 1 hodinu později. Určete rychlost turistovy chůze.

Řešení žáků:

Řešení Markéty:

Markéta sestavila správně rovnici podle zadání. Pomocí úprav získala kvadratickou

rovnici, kterou pomocí diskriminantu vyřešila a zjistila kořeny t1= 9 a t2 = -10. Správně si

uvědomila, že se záporným kořenem nemá smysl dále počítat. Markéta vypočítala rychlost

turisty z celé levé strany rovnice, což není správné řešení. Správné řešení by získala, pokud by

neznámou t dosadila pouze do výrazu .

Řešení Denisy:

Denisa postupovala stejně jako Markéta, jen s tím rozdílem, že dořešila správně

i hledanou rychlost.

81

Zkouška:

L: – 0,5 = 4,5

P: = 4,5

L = P

Odpověď: Turista šel rychlostí 5km/h.

Hodnocení dívek: Markéta použila správný postup řešení, ale nedořešila úlohu správně.

Denisa úlohu vyřešila správně, opět ale zapomněla na zkoušku.

Úloha č. 19

Bazén se naplní vodou za 6 hodin, jsou-li otevřeny oba přívody. Jedním z nich by se

bazén naplnil o 5 hodin dříve než druhým. Za jak dlouho se bazén naplní, otevřeme-li pouze

výkonnější přívod?

KRYNICKÝ, M. Počítačové učebnice matematiky a fyziky pro gymnázia. [online].

Dostupné z WWW:<http://ucebnice.krynicky.cz/Matematika/02_Funkce_a_rovnice/5_Kvadra

82

ticka_funkce_Kvadraticke_rovnice_a_nerovnice/2512_Slovni_ulohy_vedouci_na_kvadratick

_rovnice.pdf >

Řešení:

Oba přívody naplní bazén za 6 hodin za 1 hodinu = práce.

První přívod naplní bazén za (x – 5) hodin za 1 hodinu = práce.

Druhý přívod naplní bazén za x hodin za 1 hodinu = práce.

Část napuštěná oběma přívody za 1 hodinu = část napuštěná prvním přívodem za 1 hodinu +

část napuštěná druhým přívodem za 1 hodinu: .

x(x – 5) = 6x + 6(x – 5)

x2 – 5x = 6x +6x – 30

x2 – 17x + 30 = 0

D = b2 – 4ac

D = (-17)2 – 4 1 30

D = 289 - 120

D = 13

x1/2 = , tj. x1 =

x2 =

Kořen x2 nemůže být správně, protože (x –5) > 0. Dopočítáme: první (výkonnější) přívod:

(x – 5) = 10 hodin, druhý přívod: x = 15 hodin.

Zkouška:

L (15):

P (15): = = = =

L=P

Odpověď: Bazén se naplní výkonnějším přívodem za 10 hodin.

Příklad č. 20

Letadlo letící rychlostí 480km/h proletí vzdálenost 378 km jednou po větru a jednou proti

větru za 1 h 36 min. Jaká je rychlost větru?

HUSOVÁ, P. Matikáček. [online]. Dostupné z WWW:<http://matikacek.ic.cz/levy/e/c2.html>

83

Řešení žáků:

Řešení Markéty:

Markéta úlohu vzdala. Odůvodnila to tím, že vůbec netuší, jak postupovat a nedokáže

sestavit ani rovnici.

Řešení Denisy:

Denisa mě v této úloze překvapila a myslím, že po následné diskuzi i sama sebe.

Správně si uvědomila, že výsledný čas se rovná součtu času letu po směru větru a proti směru

větru, tj. t = tpo směru + tproti směru. Dále si potřebovala vyjádřit dobu, kterou letedlo letělo po

větru, tj. t po směru = a dobu, kterou letadlo letělo proti větru, tj. tproti směru = . Poté si

dosadila do rovnice, tj. 1,6 = + a provedla jeden krok úpravy. Dále úlohu neřešila

z důvodů myšlenky špatného postupu. Po zjištění, že postupovala správně, byla Denisa velmi

zklamaná, že příklad nedopočítala.

Další postup řešení:

1,6(230 400 – vv2) = 378(480 + vv) + 378(480 - vv)

368 640 – 1,6 vv2 = 181 440 + 378vv + 181 440 -378vv

-1,6 vv2

= - 5760

vv2 = 3600

vv = 60 km/h.

84

Zkouška:

L (60): 1,6

P (60): + = + = = 1,6

L=P

Odpověď: Rychlost větru je 60km/h.

Hodnocení dívek: Markéta úlohu nevyřešila. Denisa začala úlohu správně řešit, bohužel

nedořešila.

8.2.2 Základy kombinatoriky a pravděpodobnosti

Předpoklad: žák užívá logickou úvahu při řešení úloh, má rozvinuté abstraktní myšlení,

dokáže porozumět testu.

Cíl: seznámení a rozvíjení kombinatorického myšlení.

Obsah: základní znalosti kombinatorických pravidel – pravidlo součtu a součinu, náhodné

jevy a pravděpodobnost.

Výstup: žák umí vyhledat v množině prvky podle určitého pravidla, uvědomuje si, kdy se

mohou prvky ve skupině opakovat, využívá klasická pravidla kombinatoriky, řeší

kombinatorické úlohy.

Úloha č. 21

V zásuvce je 5 párů šedých, 10 párů černých a 15 párů hnědých ponožek. Zásuvka je

v neosvětlené místnosti. Kolik ponožek musíme vzít ze zásuvky, abychom zcela určitě měli

a) 1 pár ponožek jakékoliv barvy,

b) 1 pár šedých ponožek

Řešení žáků:

Řešení Markéty:

Markéta postupovala vylučovací metodou. Pokud by ze zásuvky vytáhla jednu ponožku, tak

by to byl nesmysl. Pokud by vzala dvě, mohlo by se stát, že vezme každou jinou, pokud by

85

vzala tři, mohlo by se stát, že vezme z každé barvy jednou. Aby zaručila, že vezme alespoň

jeden pár ponožek stejné barvy, musí tedy vzít čtyři ponožky. Pokud by chtěla 1 pár šedých

ponožek, musela by jich vzít alespoň 52. V případě, že bych jich vzala méně, mohla by se stát

situace, že vezme pár černých, hnědých nebo jednu černou a jednu hnědou ponožku. Aby tedy

zaručila, že vezme pár šedých ponožek, musí vybrat všechny černé a hnědé ponožky + další

dvě.

Řešení Denisy:

Denisa postupovala obdobným způsobem jako Markéta a také úlohu vyřešila správně.

Úloha č. 22

Na plánku jsou zakreslena tři místa A, B, C, která jsou propojena cestami. Z A do C

vedou tři různé cesty, z B do C pouze dvě a konečně je možné zvolit i cestu mezi A a C, která

neprochází místem B. Označením A – (B) – C – (A) jsou popsány všechny možné trasy, které

neprocházejí uvedenými místy v daném pořadí. Pokud je některé místo v závorce, je průchod

nepovinný.

a) Kolika způsoby je možné projít trasu A – B – C?

86

b) Kolika způsoby se může dojít z A do C a zpět, tj. projít trasu A – (B) – C – (B) – A?

c) V kolika různých variantách A – (B) – C – (B) – A se žádná z cest neopakuje? (Řídká

a spol., 2006, str. 239)

Řešení:

a) Jsou 3 cesty z A do B, ke každé z nich 2 cesty z B do C, tj. celkem 3 2 = 6 možností.

b) V první polovině trasy z A do C existuje 6 možností přes B a jedna přímá cesta, tedy

celkem 1 + 6 = 7 možností. Podobně ke každé z nich existuje 7 možností zpět, tedy

celkem 7 7 = 49 možností.

c) Ke každé z 6 variant z A do C je možný návrat rovněž přes B, ale jinou cestou, tj. 12 = 2

způsoby (I), nebo je možný návrat z C do A přímo (II). K přímé cestě z A do C je možný

libovolný z 6 návratů přes B (III).

Počet tras:

I. A – B – C – B – A: 6 2 = 12 možností

II. A – B – C – A: 6 možností

III. A – C – B – A: 6 možností

Celkem je tedy 24 možností.

Úloha č. 23

Určete počet všech čtyřmístných kódů vytvořených z 10 prvků 0, 1,…, 9. (Řídká a spol.,

2006, str. 241)

Řešení:

Na první místo lze vybrat 10 možností, ke každé z nich se na druhé místo vybírá

z dalších 10 možností. Získáme uspořádané dvojice kdy jejich počet je 10 10 = 100. Ke

každé uspořádané dvojici můžeme na třetí místo přiřadit další číslici z 10 možností. Získáme

tedy 100 10 = 1000 možností uspořádaných trojic. A ke každé trojici je možné na čtvrté

místo přiřadit číslici opět z 10 možností. Vytvoříme tedy 1000 10 = 10 000 uspořádaných

čtveřic.

Odpověď: Existuje 10 000 čtyřmístných kódů z 10 prvků.

87

Úloha č. 24:

Z osmnácti lístků označených čísly 1-18 vytáhneme náhodně jeden lístek. Jaká je

pravděpodobnost, že na vytaženém lístku bude:

a) sudé číslo

b) číslo dělitelné 3

c) prvočíslo

d) číslo dělitelné 6


Dostupné z WWW: <http://www.priklady.eu/cs/Matematika/Pravdepodobnost-a-

statistika/Pravdepodobnost.alej>

Řešení:

a) {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}, tj. 9 možností z 18, což je = 0,5 = 50% pravděpodobnost.

b) {3, 6, 9, 12, 15, 18}, tj. 6 možností z 18, což je = 0,33 = 33% pravděpodobnost.

c) {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}, tj. 7 možností z 18, což je = 0,389 = 38,9% pravděpodobnost.

d) {6, 12, 18}, tj. 3 možnosti z 18, což je = 0,166 = 16,6% pravděpodobnost.

Úloha č. 25

Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami, kdy jedna je červená a druhá

modrá, padne:

a) součet 8

b) součet, který je dělitelný pěti

c) součet, který bude sudý.


Dostupné z WWW: http://www.priklady.eu/cs/Matematika/Pravdepodobnost a statistika/Prav

depodobnost.alej>

Řešení:

Počet všechno možností při hodu kostkami je 6 6 = 36.

a) {[2, 6], [6, 2], [3, 5], [5, 3], [4, 4]}, tj. 5 možností z 36, což je = 0, 139 = 13,9%.

http://www.priklady.eu/cs/Matematika/Pravdepodobnost-a-statistika/Pravdepodobnost.alej

http://www.priklady.eu/cs/Matematika/Pravdepodobnost-a-statistika/Pravdepodobnost.alej

http://www.priklady.eu/cs/Matematika/Pravdepodobnost a

88

b) {[1, 4], [4, 1], [3, 2], [2, 3], [5, 5], [4, 6], [6, 4]}, tj. 7 možností z 36, což je

= 0,194 = 19,4%.

c) {[1,5], [5,1],…, [4, 4], [5, 5], [6,6]}, tj. 18 možností z 36, což je = 0, 5 = 50%.

Úloha č. 26

Na taneční vystoupení se připravuje 5 dívek a 5 chlapců. Kolika způsoby je možné

vytvořit skupinu z pěti tanečních párů? (Řídká a spol., 2006, str. 242)

Řešení:

Skupiny je možné vytvořit pokynem: „Pánové, zadejte se.“ Nejrychlejší z chlapců si

vybírá z 5 dívek, druhý ze zbývajících 4, třetí ze 3, čtvrtý ze 2 a poslednímu zbude 1 dívka.

Chlapci tak vybírají jednu z 5 4 3 2 1 = 120 možností.

Odpověď: Je 120 možností jak vytvořit skupinu tvořenou z pěti tanečních páru.

8.2.3 Finanční matematika

Předpoklad: žák umí pracovat s procenty – umí vyjádřit počet procent desetinným číslem,

určit základ, určit procentovou část, snadno porozumí textu, pracuje s daty, třídí informace.

Cíl: seznámení se základními pojmy finanční matematiky, seznámením s jednoduchým

a složeným úrokováním.

Obsah: vklad, úvěr, úrok, úroková míra, daň z úroku, jednoduché úrokování, složené

úrokování.

Výstup: žák zná základní pojmy finanční matematiky, umí využít svých znalostí z této

problematiky, umí vypočítat pro vložený vklad s danou úrokovou mírou odpovídající úrok,

umí řešit úlohy na jednoduché a složené úrokování vázané. (RVP, 2010)

Úloha č. 27

Pavel uložil 50 000 Kč u banky na termínovaný vklad s roční úrokovou mírou 3%.

Úrokové období vkladu je 1 rok. Kolik Kč zaplatí banka Pavlovi na úrocích za jeden rok?

Kolik Kč zbude po zdanění? Pavel bude mít peníze v bance po dobu pěti let. Úroky banka

89

nepřipisuje ke vkladu, ale posílá je Pavlovi na jeho běžný účet. Urči jeho majetek vždy ke

konci roku.

KRYNICKÝ, M. Počítačové učebnice matematiky a fyziky pro gymnázia. [online].

Dostupné z WWW: <http://krynicky.cz/ucebnice/Matematika/08_Posloupnosti/2_Aritmeticka

_a_geometricka_posloupnost/8210_Priklady_z_financni_matematiky_I.pdf >

Řešení:

Úrok, který banka zaplatí za jeden rok…………….………50 000 . 0,03 = 1 500 Kč

Úrok po zdanění: ……………………………………50 000 . 0,03 . 0,85 = 1 275 Kč

Nyní spočítáme Pavlův majetek na konci jednotlivých roků:

Po 1. roce: 50 000 + 1 275 = 51 275 Kč

Po 2. roce: 50 000 + 2 . 1 275 = 52 550 Kč (banka mu poslala úroky dvakrát)

Po 3. roce: 50 000 + 3 . 1 275 = 53 825 Kč (banka mu poslala úroky třikrát)

Po 4. roce: 50 000 + 4 . 1 275 = 55 100 Kč (banka mu poslala úroky čtyřikrát)

Po 5. roce: 50 000 + 5 . 1 275 = 56 375 Kč (banka mu poslala úroky pětkrát)

Odpověď: Pavlův majetek je po prvním roce 51 275 Kč, po druhém roce 52 550 Kč, po

třetím roce 53 825 Kč, po čtvrtém roce 55 100 Kč a po pátém roce 56 375 Kč.

Pozn. Úloha č. 27 je nejjednodušší úlohou jednoduchého úrokování, kdy úrok se nepřidává

k vložené částce a banka ho neúročí. Tenhle typ úrokování na účtech není příliš častý. Častěji

se používá složeného úrokování, kdy úroky banka připíše k jistině a v dalším období platí

úroky i z nich. Úloha č. 28 budeme řešit názornějším rozepisováním jednotlivých položek

a u Úlohy č. 29 využijeme zkrácený zápis.

Úloha č. 28

Paní movitá se 31. prosince rozhodla, že nadcházející Nový rok oslaví originálním

způsobem. Uloží si v bance na vkladní knížku na dva roky 25 000Kč. Teď se právě nechává

v bance informovat o podmínkách pro ukládání peněz na vkladní knížky s výpovědní lhůtou 24

měsíců. „na vklad na vaší knížce můžete dát kdykoliv výpověď. Za dva roky po uplynutí

výpovědi vám bude vložená částka spolu s čistým úrokem vyplacena. Roční úroková sazba je

12,5%. Úroky se připisují jednou ročně, přitom jde o tzv. složené úrokování.“ „ Co znamená

90

složené úrokování?“ „Na konci prvního roku vypočítáme úrok z částky 25 000 Kč, daň

z úroku za vás odvedeme státu a vám připíšeme čistý úrok. Na konci druhého roku budeme

počítat úrok z částky, kterou budete mít na knížce po prvním roce – to znamená původní vklad

plus čistý úrok za první rok.“

Paní movitá dala výpověď na vklad ihned po jeho vložení na vkladní knížku. Kolik korun ji

banka vyplatí za dva roky? (Odvárko, 1995, str. 108)

Řešení:

Vklad………………………………………………….25 000 Kč

Roční úroková sazba ……………………………………..12,5%

Úrok za rok……………………...…………...12,5% z 25 000 Kč

0,125.25 000= 3 125Kč (před zdaněním)

Daň z úroku……………………………….…….15% z 3 125 Kč

0,15.3 125= 468,75Kč

Daň z úroku zaokrouhlené na celé koruny………………. 469 Kč

Čistý úrok ……………………………………………….2 656 Kč

Částka na knížce na začátku druhého roku……..……. 27 656 Kč

Úrok za 2. rok……….……………….…..….12,5 % z 27 656 Kč

0,125.27 656 = 3 457kč

Daň z úroku …………………………………......15% z 3 457 Kč

0,15.3 457 = 518, 55 Kč

Daň z úroků zaokrouhlené na celé koruny………………. 519 Kč

Čistý úrok…………………………….………………... 2 938 Kč

Vložená částka……………………………...………….25 000 Kč

Čistý úrok za 1. Rok……………………………………2 656 Kč

Čistý úrok za 2. rok……………………………………..2 938 Kč

Celkem ………………………………………...….. = 30 594 Kč.

Odpověď: Banka paní Movité vyplatí po dvou letech 30 594 Kč.

91

Úloha č. 29

Vkladatel si uložil do banky na počátku roku 2001 na vkladní knížku s výpovědní lhůtou

2 roky 16 000 Kč. U bankovní přepážky získal tyto informace: Pokud si chce vkladatel vybrat

peníze za 2 roky při této formě spoření, musí současně s uložením vkladu dát výpověď. Roční

úroková míra pro tento typ vkladu je 5%, úrokové období je 1 rok. Na konci roku 2001 banka

vypočítá úrok, který činí 5% z jistiny (z vložené částky). Z úroku se odečte 15% daň z příjmu,

kterou banka odvede státu. Úrok pro zdanění čili čistý úrok se připíše k vložené částce. Čistý

úrok si může vkladatel během roku 2002 vybrat. Pokud tak neučiní, stává se čistý úrok

součástí nové jistiny vkladatele – to znamená, že na konci roku 2002 se vypočítává úrok až

z této nové jistiny. To je podstata tzv. složeného úrokování. Vkladatel si úrok za 2001

nevyzvedl. Kolik korun měl na knížce ke konci roku 2002? (Odvárko, 1995, str. 58)

Řešení:

Vklad ……………………………….…………………………....…16 000 Kč

Úrok za r. 2001 ………………………………..…..… 0,05 . 16 000 = 800 Kč

Čistý úrok za r. 2001……………………..…..….0,85 . 0,05 . 16 000 = 680 Kč

Částka na vkladní knížce na konci r. 2001 ……...…16 000 + 680 = 16 680 Kč

Úrok za r. 2002 ………………………………………...0,05 . 16 680 = 834 Kč

Čistý úrok za r. 2002…………………………...0,85 . 0,05 . 16 680 = 708,9 Kč

Částka na vkladní knížce na konci r. 2002…..…..16 680 + 709 = 17 388,90 Kč

Odpověď: Vkladatel měl na konci roku 2002 na vkladní knížce částku 17 388,90 Kč.

8.2.3 Zhodnocení

Hlavním smyslem sbírky úloh je sloužit učitelům jako zdroj inspirací a samotným

žákům jako možnost procvičení svých znalostí a načerpání nových zkušeností. Dalším cílem

této práce bylo porovnat dvě žákyně, z nichž jedna navštěvuje třídu s rozšířenou výukou

němčiny a druhá třídu s rozšířenou výukou matematiky a na základě zjištěných dat

rozhodnout, zda jsou mezi nimi znalostní rozdíly. Veškeré výsledky práce dívek nalezneme

v souhrnné tabulce č. (viz Příloha č. 1).

Pokud se jedná o postupy řešení úloh, lépe si poradila Denisa. Její postupy byly

v mnoha případech přehlednější. Byla zde vidět větší jistota při výpočtech (méně opravování,

92

škrtání apod). Co se týká správnosti řešení, je na tom opět Denisa lépe. Podle mého názoru by

její výsledky dopadly mnohem lépe, kdyby na úlohy měla více času. Obě dívky zcela

ignorovaly zkoušky řešení. Nevím, čím toto bylo způsobeno. V pokynech jim k vyřešení

zkoušky nebyl dán impuls, ale očekávala bych, že ze samotné iniciativy zkoušku provedou.

Stejný problém se týká slovních odpovědí. U některých úloh je nalezneme, u některých ne.

Dívky nedokázaly zdůvodnit, proč u některých úloh slovní odpověď napsaly a u jiných ne.

Z celkového pohledu si s prací lépe poradila Denisa, tedy dívka ze třídy s rozšířenou výukou

matematiky.

93

9. VYHODNOCENÍ DOTAZNÍKOVÉHO ŠETŘENÍ

Cílem této praktické části bylo zjistit názor a přístup učitelů k matematicky nadaným

jedincům. Potřebná data jsou získána pomocí dotazníku, který byl směrován na učitele

matematiky na 2. stupni základních škol. Průzkumné šetření se odehrávalo v rozmezí leden-

únor 2012 na základních školách v Olomouci a okolí, Odrách (okres Nový Jičín) a ve Vítkově

(okres Opava).

Vytvořený dotazník obsahuje 33 otvrzení a je rozdělen do čtyř částí. První část obsahuje

3 položky, které se týkají charakteristiky respondenta. Druhá část se týká charakteristiky

matematicky nadaného žáka, třetí se týká práce s matematicky nadaným žákem, čtvrtá se týká

identifikace matematicky nadaného žáky a každá z uvedených částí obsahuje 10 otázek, které

lze hodnotit podle Likerova typu v rozmezí 1 – 5 (souhlasím/nesouhlasím).

Dotazník byl šířen mezi učitele pomocí tištěné verze při osobním setkání a také pomocí

emailu. Internetovou cestou jsem oslovila 64 pedagogů různých škol. Zpět se mi vrátilo pouze

11 vyplněných dotazníků, tj. 17% z celkového počtu.

Po vyhodnocení dotazníkového šetření jsem získala základní informace

o respondentech, tj. pohlaví, aprobace a délka praxe a pro nás nejdůležitější informace týkající

se charakteristik nadaných jedinců, metod využívaných k jejich identifikaci nadaného žáka

a dále metod využívaných při práci s těmito jedinci.

9.1 Charakteristika oslovených učitelů

9.1.1 Zastoupení žen a můžu v dotazníkovém šetření

Dotazník vyplnilo celkem 58 respondentů. Dotazníkového šetření se zúčastnilo 41 žen,

tj. 71% a 17 mužů, tj. 29%. Toto zjištění není určitě žádným překvapením vzhledem

k feminizaci školského prostředí na 2. stupni základních škol.

9.1.2 Aprobace respondentů

Všichni respondenti dosáhli vysokoškolského vzdělání na Pedagogické nebo

Přírodovědecké fakultě. Všichni učitelé matematiky na 2. stupni základní školy měli

vystudovaný obor „matematika“. Největší četnost získala vystudovaná aprobace v kombinaci

matematika-informační technologie, a to s 12 hlasy, tj. 21%.

94

Tabulka č. 3

9.1.3 Délka učitelské praxe

Otázka týkající se praxe byla rozdělena do pěti kategorií – méně než 5 let, 5 – 9 let,

10 – 14 let, 15 – 19 let, více než 20 let. Nejčetnější kategorií je kategorie méně než 5 let,

kterou tvoří 17 učitelů, tj. 29%. Druhou nejpočetnější skupinou jsou učitelé s praxí 15 – 19 let

a na třetím místě jsou učitelé s praxí 10 – 14 let. Podle výsledků lze usuzovat na možný

nástup mladší generace učitelů ve školství.

Graf č. 1: Sloupcový graf se zastoupením učitelů s různou délkou učitelské praxe

9.1.4 Zhodnocení:

Po vyhodnocení první části dotazníku vyplynuly následující závěry týkající se charakteristiky

respondentů:

Zastoupení žen mezi pedagogy na 2. stupni ZŠ v dotazníkovém šetření je

dominantní (71%).

Nejčastější aprobací je matematika – informační technologie.

Výsledky poukazují na zvyšující se počet pedagogů s praxí menší než 5 let (29%).

aprobace M-ČJ M-AJ M-F M-CH M-Tv M-Zsv M-Spp M-Ivt

počet 5 5 10 11 6 8 1 12

95

9.2 Charakteristika matematicky nadaných jedinců

Tvrzení č. 1: Matematicky nadaný žák vyniká ve všech přemetech, jinak není nadaný.

Největší četnost získala odpověď „nesouhlasím“. Takto odpovědělo 39 respondentů, tj.

67%. K odpovědi „spíše nesouhlasím“ se hlásí dalších 12 respondentů, tj. 21%. Většina

odpovědí inklinuje k nesouhlasu s tímto tvrzením, tj. 87% všech tázaných.

Graf č. 2: Sloupcový graf se zastoupením odpovědí na tvrzení č. 1

Tvrzení č. 2: Matematicky nadaný žák je v matematice velmi vnímavý a zvídavý.

Největší četnost získala odpověď „souhlasím“. Takto odpovědělo 32 respondentů, tj.

59%. K odpovědi „spíše souhlasím“ se přiklání 17 respondentů, tj. 29%. Z toho vyplývá, že

většina pedagogů s tímto tvrzením souhlasí, tj. 89% z celkového počtu tázaných. Můžeme

zaznamenat, že pouze 2 učitelé se přiklání k opačné odpovědi, a to k „nesouhlasím “, tj. pouhá

3%. Zbylá procenta, tj. 9%, volilo možnost „ani souhlasím, ani nesouhlasím“.

Graf č. 3: Sloupcový graf se zastoupením odpovědí na tvrzení č. 2.

96

Tvrzení č. 3: Matematicky nadaný žák se rychle učí, porozumí a aplikuje matematické

myšlení.

Největší četnosti získala odpověď „souhlasím“, kdy takto odpovědělo 32 respondentů,

tj. 55%. Druhou největší četnost obdržela možnost „spíše souhlasím“, s počtem hlasů 25, tj.

43%. Pouhý 1 hlas získala odpověď „ani souhlasím, ani nesouhlasím“, tj. 2%. Odpovědi zcela

jistě inklinují k souhlasu s uvedeným tvrzením a to s 98% hlasů.


Tvrzení č. 4: Matematicky nadaný žák upřednostňuje učební úlohy vyšší kognitivní

náročnosti.

Největší četnost získala odpověď „souhlasím“, kdy takto odpovědělo 32 respondentů,

tj. 48%. Druhou největší četnost obdržela možnost „ani souhlasím, ani nesouhlasím“,

s počtem hlasů 25, tj. 43%. Zbylá procenta získala odpověď „spíše souhlasím“. Opět můžeme

vidět, že odpovědi respondentů inklinují k souhlasu s uvedeným stvrzením a to s 91% hlasů.


97

Tvrzení č. 5: Matematicky nadaný žák je iniciativní, nečeká, až mu někdo ukáže, jak

postupovat při řešení daného problému, ale má snahu řídit vlastní postupy a rozvoj.

Největší četnost získala možnost „souhlasím“, která získala celkem 33 odpovědí, tj.

56%. Druhý největší počet hlasů získala možnost „spíše souhlasím“ a to s počtem 13 hlasů, tj.

22%. Opět se setkáváme s faktem inklinace odpovědí k souhlasu s daným tvrzením, a to

s 79%. Za zajímavost považuji 9 hlasů, které získala možnost „spíše nesouhlasím“, tj. 16%.

Mezi těchto 9 hlasů patří 8 hlasů, tj. 89% pedagogům s délkou praxe méně než 5 let a tj. 44%

z celkového počtu odpovědí v dotazníkovém šetření.


Tvrzení č. 6: Matematicky nadaný žák je schopen analyzovat situaci a odlišit v ní podstatné

od nepodstatného.

Největší četnost získala možnost „souhlasím“ s celkovým počtem 28 odpovědí, tj. 48%.

Druhý největší počet hlasů získala odpověď „spíše souhlasím“ a to s počtem 16 odpovědí, tj.

28%. Většina respondentů inklinuje k souhlasu s daným tvrzením, a to se 76% hlasů.

Zbylých 24% získala odpověď „ani souhlasím, ani nesouhlasím“. Ke zmíněným 76% se hlásí

tito respondenti:

o 12 učitelů s praxí méně než 5 let, tj. 43% a vzhledem k celkovému počtu respondentů

spadajících do této kategorie, tj. 67%,

o 10 učitelů s praxí 5 – 9 let, tj. 35% a vzhledem k celkovému počtu respondentů


98


Tvrzení č. 7: Matematicky nadaný žák prokazuje schopnost řešit matematické problémy

pružně, tvořivě a přichází s nestandardními řešeními.

Největší četnost získala možnost „souhlasím“, která získala 39 odpovědí, tj. 67%.

Druhý největší počet hlasů získala odpověď „spíše souhlasím“ s počtem 17 odpovědí, tj.

29%. Zbylé 4% získala odpověď „ani souhlasím, ani nesouhlasím“. Opět je zde jasná

inklinace k souhlasu s tímto tvrzením a to s 96% hlasů. Zajímavostí je, že odpověď

„souhlasím“ zvolilo 14 mužů, tj. 36% a ve srovnání s celkovým počtem respondentů spadající

do této kategorie, tj. 96%.


99

Tvrzení č. 8: Matematicky nadaný žák dokáže strategicky rozmýšlet v určitých situacích, jako

např. při hraní hry.

Největší četnost získala možnost „souhlasím“, která získala 30 odpovědí, tj. 52%.

Druhý největší počet hlasů získala odpověď „spíše souhlasím“ a to s počtem 22 odpovědí, tj.

38%. Odpověď „ani souhlasím, ani nesouhlasím“ získala pouze 1 hlas, tj. 2% a odpověď

„spíše nesouhlasím“ 5 hlasů, tj. 9%. Zajímavostí je, že 4 respondenti, kteří se hlásí

k odpovědi „spíše nesouhlasím“, odpovědělo minimálně 4krát „ani souhlasím, ani

nesouhlasím“ v minulých odpovědí. Je tedy možné předpokládat, že tito pedagogové nemají

specifičtější názor nebo popřípadě zkušenosti s matematicky nadanými žáky.


Tvrzení č. 9: Matematicky nadaný si umí dobře rozplánovat jednotlivé kroky vedoucí k řešení

problémů.

Největší četnost získala možnost „ano“, která získala 30 odpovědí, tj. 52%. Druhý

největší počet hlasů získala odpověď „spíše ano“ a to s počtem 19 odpovědí, tj. 38%.

K souhlasu s uvedeným tvrzením inklinuje 71% respondentů. Odpověď „možná/někdy“ má

3 hlasy, tj. 5%. U možnosti „ano“ odpovědělo 5 respondentů s délkou praxe více než 20 let, tj.

sice pouhých 14%, ale vzhledem k celkovému počtu tázaných spadajících do této kategorie se

jedná o 63%.

100


Tvrzení č. 10: Matematicky nadaný žák má vysokou schopnost přenášet získané znalosti

a dovednosti do nových matematických situací.

Největší četnost získala odpověď „spíše souhlasím“ a to s 35 hlasy, tj. 60%. Na druhém

a zároveň posledním místě je odpověď „souhlasím“ s 23 hlasy, tj. 40%. Zde vidíme 100%

inklinaci k souhlasu s tímto tvrzením.


9.2.1 Zhodnocení

K otázkám zaměřeným na charakteristiku matematicky nadaného žáka lze říci, že bylo

ve většině otázek využito přímo pozitivních charakterových vlastností, které jsou specifické

101

pro tyto jedince. Pouze první graf inklinuje k nesouhlasu. Zbylé grafy s určitými rozdíly, které

jsou podrobně rozebrány u jednotlivých grafů, inklinující k souhlasu s uvedenými tvrzeními.

Po vyhodnocení druhé části dotazníku vyplynuly následující závěry týkající se

charakteristických vlastností nadaného žáka:

Většina respondentů nesouhlasí s tvrzením, že matematicky nadaný žák vyniká ve

všech předmětech, jinak není nadaný (87%).

Většina respondentů souhlasí s tvrzením, že matematicky nadaný žák je

v matematice velmi vnímavý a zvídavý (89%), rychle se učí, porozumí a aplikuje

matematické myšlenky (98%), upřednostňuje učební úlohy vyšší kognitivní

náročnosti (91%), je iniciativní a nečeká, až mu někdo ukáže, jak postupovat při

řešení daného problému, ale má snahu řídit vlastní postupy a rozvoj (79%).

Většina respondentů souhlasí s tvrzením, že matematicky nadaný žák je schopen

analyzovat situaci a odlišit v ní podstatné od nepodstatného (76%), prokazuje

schopnost řešit matematické problémy pružně, tvořivě a přichází s nestandardními

řešeními (96%), dokáže strategicky rozmýšlet v určitých situacích (74%), umí si

dobře rozplánovat jednotlivé kroky vedoucí k řešení problémů (71%) a má vysokou

schopnost přenášet získané znalosti a dovednosti do nových matematických

situací (100%).

9.3 Práce s matematicky nadanými dětmi

Tvrzení č. 11: Myslím si, že pro práci s nadanými žáky je potřeba speciálního vzdělání, popř.

školení, speciální kurz, apod.

Největší četnost získala odpověď „souhlasím“ a to s 15 hlasy, tj. 26%. Jako druhá

nejčastější odpověď byla „spíše nesouhlasím“ a to se 14 hlasy, tj. 24%. Pokud se na to

podíváme trochu z obecného pohledu, tak 45% odpovědí inklinuje k souhlasu a 38% inklinuje

k nesouhlasným odpovědím. Mezi zmíněných 38% respondentů patří:


spadajících do této kategorie tj. 87%,

o 4 učitelé s praxí větší než 20 let, tj. 18% a vzhledem k celkovému počtu respondentů

spadajících do této kategorie tj. 50%.

Podle údajů lze usoudit, že starší generace vidí tuto možnost jako zbytečnou.

102


Tvrzení č. 12: Myslím si, že nadaný žák by měl být vzděláván ve speciálních třídách.

Největší četnost získala odpověď „ani souhlasím, ani nesouhlasím“ a to s 19 hlasy, tj.

33,3%. Pokud to vezmeme z obecného hlediska, tak k souhlasu s tvrzením inklinuje 33,3%

a nesouhlasu také 33,3%. Z toho lze vyvodit, že respondenti se rozdělili do tří skupin. Pokud

se podíváme na respondenty, kteří svou odpovědí inklinovali k nesouhlasu, tj. již zmíněných

33,3%, je toto procentuální zastoupení složeno z převážně starší generace pedagogů:



o 7 učitelé s praxí 15 – 19 let, tj. 36% a vzhledem k celkovému počtu respondentů

spadajících do této kategorie tj. 47% a

o 2 učitel s praxí 10 – 14 let, tj. 11% a vzhledem k celkovému počtu respondentů



103

Tvrzení č. 13: Myslím si, že pro nadaného žáka je vhodné a dostačující využívat běžných

učebnic.

Největší četnost získala odpověď „nesouhlasím“ a to s 32 hlasy, tj. 55%. Na druhém

místě je možnost „spíše nesouhlasím“ s 15 hlasy, tj. 26%. Celkově 81% respondentů

nesouhlasí s tímto tvrzením.


Tvrzení č. 14 – 16:

Nadaným žákům zadávám úlohy ve stejném počtu a se stejnou obtížností, ve srovnání

s ostatními žáky.

Největší četnost získala možnost „nesouhlasím“ a to s 26 hlasy, tj. 45%. Druhou

největší četnost obdržela možnost „spíše nesouhlasím“ s 19 hlasy, tj. 33%. Velmi zajímavé

je, že 11 hlasů, tj. 17% učitelů inklinuje k souhlasu s uvedeným tvrzením a spadají sem

převážně pedagogové s delší praxí. Mezi respondenty, kteří se hlásí k těmto 11%, se řadí:





o 1 učitel s praxí 10 – 14 let, tj. 20% a vzhledem k celkovému počtu respondentů


104

Nadaným žákům zadávám úlohy ve stejném počtu, ale s vyšším stupněm obtížnosti, ve

srovnání s ostatními žáky.

Největší četnost získala možnost „spíše souhlasím“ a to s 29 hlasy, tj. 50%. Druhou

největší četnosti obdržela možnost „ani souhlasím, ani nesouhlasím“ a to s celkovým počtem

12 hlasů, tj. 21%. Celkově k souhlasu s uvedeným tvrzením inklinuje 67% respondentů.

K nesouhlasu se hlásí 7% respondentů. Mezi respondenty, kteří se hlásí k těmto 7%, se řadí:





o 2 učitelé s praxí méně než 5 let, tj. 29% a vzhledem k celkovému počtu respondentů


Nadaným žákům zadávám úlohy ve stejném počtu, se zastoupením úloh podněcující logické

myšlení, ve srovnání s ostatními žáky.


největší četnost obdržela možnost „souhlasím“ a to s počtem 12 hlasů, tj. 21%. K souhlasu

s tvrzením se tedy hlásí 76% a k nesouhlasu 7 respondentů, tj. 10%. Zbylá procenta získala

možnost „ani souhlasím, ani nesouhlasím“. Mezi respondenty, kteří se hlásí k těmto 10%, se

řadí:





.

105

Graf č. 15: Sloupcový graf se zastoupením odpovědí na tvrzení č. 14 – 16.

Tvrzení č. 17 – 19:

Pro inspiraci k obohacení výuky využívám internetových zdrojů.

Největší četnost získala možnost „souhlasím“ a to s 27 hlasy, tj. 48%. Druhou největší

četnost obdržela možnost „spíše ne“ s 12 hlasy, tj. 21%. Zbylá procenta, tj. 17%, získala

možnost „ani souhlasím, ani nesouhlasím“. K souhlasu s uvedeným tvrzením se přiklání

62%. Ke zmíněným 62% se hlásí tito respondenti:

o 16 učitelů s praxí menší než 5 let, tj. 44% a vzhledem k celkovému počtu respondentů


o 8 učitelů s praxí 5 – 9 let, tj. 22% a vzhledem k celkovému počtu respondentů spadajících

do této kategorie tj. 80%,





o 2 učitelé s praxí více než 20 let, tj. 6% a vzhledem k celkovému počtu respondentů


106

Pro inspiraci k obohacení výuky využívám odborných knih a časopisů.

Největší četnost získala možnost „souhlasím“ s 24 hlasy, tj. 41%. Druhou největší

četnost obdržela možnost „ani souhlasím, ani nesouhlasím“ s 13 hlasy, tj. 22%. K souhlasu

s uvedeným tvrzení se přiklání 60% respondentů a k nesouhlasu 18% respondentů. Ke

zmíněným 60% se hlásí tito respondenti:




do této kategorie, tj. 50%,





o 7 učitelů s praxí více než 20 let, tj. 20% a vzhledem k celkovému počtu respondentů


Pro inspiraci k obohacení výuky využívám informací získaných v rámci celoživotního

vzdělávání učitelů.


četnost obdržela možnost „spíše souhlasím“ a to s celkovým počtem 17 hlasů, tj. 29%.

K souhlasu tedy inklinuje 62% respondentů a k nesouhlasu 24% respondentů. Zbylá procenta,

tj. 14%, získala odpověď „ani souhlasím, ani nesouhlasím“. Ke zmíněným 62% se hlásí tito

respondenti:









107

Lze říci, že většina začínající pedagogů využívá celoživotního vzdělávání, ale snaží se do něj

zapojovat i učitelé s delší praxí.

Graf č. 16: Sloupcový graf se zastoupením odpovědí na tvrzení č. 17 – 19.

Tvrzení č. 20: Matematické soutěže rozvíjejí matematické myšlení, proto se snažím žáky do

těchto soutěží zapojovat.

Největší četnost získala možnost „souhlasím“ s 36 hlasy, tj. 62%. Druhou největší

četnost obdržela možnost „spíše souhlasím“ s 15 hlasy, tj. 26%. Zbylá procenta získala

možnost „asi souhlasím, asi nesouhlasím“. Zde se respondenti skoro jednoznačně přiklání

k souhlasu s tímto tvrzením v celkovém počtu 51 hlasů, což tvoří 88% všech odpovědí.


108

9.3.1 Zhodnocení

Po vyhodnocení třetí části dotazníku vyplynuly následující závěry týkající se práce

s nadaným žákem:

Většina pedagogů s větší délkou praxe si myslí, že není potřeba pro práci

s nadanými žáky speciálního vzdělávání (38%).

Třetina respondentů se domnívá, že by nadaný žák měl být vzděláván ve speciální

třídě a třetina si myslí, že ne.

Většina respondentů se domnívá, že využívání běžných knih pro vzdělávání

nadaných jedinců je nedostačující (81%).

Zajímavostí je zjištění, že 3 z celkového počtu respondentů nezadává úlohy ve

stejné obtížnosti, ani s vyšší obtížnosti, ani podněcující logické myšlení. Je

možnost, že využívají jiných druhů úloh podněcující další oblasti rozvoje. Na dané

zjištění je možné pohlížet i z pesimistické stránky a to tak, že pedagogové se

nezapojují do rozvoje nadaného dítěte.

Lze říci, že inspiraci na internetu získávají mladší učitelé. Starší generace pedagogů

je pravděpodobně zvyklá na jiné možnosti zdrojů. Je nutné si uvědomit, že při

začátku jejich pedagogické praxe nebyly takové počítačové možnosti.

Lze říci, že odborných knih a časopisů využívají starší učitelé s delší praxí.

Celoživotního vzdělávání využívá zejména mladší generace, ovšem i starší

generace se snaží zapojit taky.

9.4 Identifikace nadaných žáků

Tvrzení č. 21: Rodiče jsou první osoby, které mohou zpozorovat, že jejich dítě je odlišné od

vrstevníků.

Největší četnost získala možnost „spíše souhlasím“ s 24 hlasy, tj. 41%. Druhou největší

četnost obdržela možnost „souhlasím“ a to s 11 hlasy, tj. 19%. K souhlasu s uvedeným

tvrzením inklinuje 60% respondentů a k nesouhlasu 23% respondentů. Zbylá procenta získala

možnost „ani souhlasím, ani nesouhlasím“. Ke zmíněným 19% se hlásí tito respondenti:



109




Tvrzení č. 22: Celkový školní prospěch je prvním znakem pro rozpoznání nadaného žáka.

Největší četnost získala možnost „nesouhlasím “ s 22 hlasy, tj. 38%. Druhou největší

četnost obdržela možnost„spíše ne“ a to s celkovým počtem 17 hlasů, tj. 29%. Zde se

respondenti přiklání k nesouhlasu s tímto tvrzením, tj. 55%. Pouhých 7%, tj. 4 hlasy, se

přiklání k souhlasu s tvrzením.

Graf č. 19: Sloupcový graf se zastoupením odpovědí na otvrzení č. 22.

110

Tvrzení č. 23 : Učitel zaregistruje nadaného žáka již během prvních vyučovacích hodin.

Největší četnost získala možnost „spíše souhlasím “ s 29 hlasy, tj. 50%. Druhou

největší četnost obdržela možnost „souhlasím“ s 18 hlasy, tj. 28%. Zde se respondenti skoro

jednoznačně přiklání k souhlasu s tímto tvrzením, tj. 78%. Pouhých 7%, tj. 4 hlasy, se přiklání

k nesouhlasu s tvrzením.


Tvrzení č. 24 a 25 :

Pro rozpoznání nadaného žáka využívám dlouhodobé pozorování.


četnost obdržela možnost „spíše souhlasím“ s 21 hlasy, tj. 36%. K souhlasu s uvedeným

tvrzením inklinuje 77% respondentů. K nesouhlasu se hlásí 9% respondentů a všichni s praxí

menší než 5 let, tj. 22% k celkovému počtu respondentů spadajících do této kategorie.

Zbylých 14% respondentů odpovědělo „ani souhlasím, ani nesouhlasím“. Ke zmíněným

77% se hlásí tito respondenti:





o 6 učitelů s praxí 10 – 14 let, tj. 13 % a vzhledem k celkovému počtu respondentů


111



o 5 učitelů s praxí více než 20 let, tj. 11% a vzhledem k celkovému počtu respondentů


Při rozpoznání nadaného žáka využívám vlastních didaktických testů.

Největší četnost získala možnost „nesouhlasím“ a to s počtem 18 hlasů, tj. 31%.

Druhou největší četnost obdržela možnost „spíše nesouhlasím“ s počtem 17 hlasů, tj. 29%.

K nesouhlasu s uvedeným tvrzením inklinuje 60% respondentů. K souhlasu se hlásí 23%

respondentů a zbylá procenta získala možnost „ani souhlasím, ani nesouhlasím“. Ke

zmíněným 23% se hlásí tito respondenti:




spadajících do této kategorie, tj. 33% a

o 4 učitelé s praxí více než 20 let, tj. 31% a vzhledem k celkovému počtu respondentů


Lze říci, že zkušenější učitelé využívají vlastních didaktických testů.

Graf č. 21: Sloupcový graf se zastoupením odpovědí na tvrzení č. 24 a 25

112

Tvrzení č. 26 - 28:

Výsledky školních soutěží je možno považovat za druh identifikace nadaných žáků.

Největší četnost získala možnost „ani souhlasím, ani nesouhlasím“ a to s 21 hlasy, tj.

36%. K souhlasu s uvedeným tvrzením inklinuje 54% respondentů a k nesouhlasu 10%

respondentů. Ke zmíněným 10% se hlásí:

o 4 učitelé s praxí menší než 5 let, tj. 67% a vzhledem k celkovému počtu respondentů


o 2 učitelé s praxí 5 – 9 let, tj. 33% a vzhledem k celkovému počtu respondentů spadajících

do této kategorie tj. 20%.

Spolužáci mohou být dobrými indikátory nadání při posuzování svých spolužáků, neboť

mohou žákův školní život posoudit z jiné perspektivy než např. učitelé.


největší četnost obdržela možnost „ani souhlasím, ani nesouhlasím“ se 14 hlasy, tj. 24%.

K souhlasu s uvedeným tvrzením inklinuje 52% respondentů a k nesouhlasu 24%

respondentů. Ke zmíněným 24% se hlásí tito respondenti:



o 4 učitelé s praxí 5 – 9 let, tj. 29% a vzhledem k celkovému počtu respondentů spadajících

do této kategorie tj. 40%.



o 1 učitel s praxí 15 – 19 let, tj. 7% a vzhledem k celkovému počtu respondentů spadajících

do této kategorie tj. 7%

Nominace nadaného žáka jedním učitelem může být zaujatá, objektivnějším způsobem se může

jevit zapojení více učitelů do komplexnějšího pohledu na daného žáka.


četnost obdržela možnost „spíše souhlasím“ s 22 hlasy, tj. 38%. K souhlasu inklinuje 92%

respondentů, tudíž je odpověď skoro jednoznačná.

113

Graf č. 22: Sloupcový graf se zastoupením odpovědí na tvrzení č. 26 - 28

Tvrzení č. 29: Učitelé mnohdy identifikují bystré žáky, které potom nesprávně považují za

nadané.

Největší četnost získala možnost „souhlasím“ a to pomocí 19 hlasů, tj. 33%. %. Druhou

největší četnost obdržela možnost „ani souhlasím, ani nesouhlasím“ se 17 hlasy, tj. 29%,

ovšem 28% získala možnost „spíše souhlasím“. S uvedeným tvrzením souhlasí 61%

respondentů a pouhých 10% inklinuje k nesouhlasu.

Tato otázka překvapila dva respondenty, kteří mě požádali o bližší informace k dané

problematice, jelikož netušili, že je rozdíl mezi bystrým a nadaným žákem.


114

Tvrzení č. 30: Práce psychologa je nezbytná pro identifikaci nadaného žáka.

Odpovědi na toto tvrzení jsou velmi vyrovnané. Přesto největší četnost, i když pouze o

1 hlas, získala možnost „spíše nesouhlasím“ a to s 13 hlasy, tj. 22%. O druhou největší

četnost se dělí možnost „souhlasím“ s možností „nesouhlasím“ a to s 12 hlasy, tj. 21%.

K souhlasu s uvedeným tvrzením inklinuje 38% respondentů a k nesouhlasu 43%

respondentů. Zbylá procenta získala možnost „ani souhlasím, ani nesouhlasím“, tj. 19%.


9.4.1 Hodnocení

Po vyhodnocení čtvrté části dotazníku vyplynuly následující závěry týkající se

identifikace nadaného žáka:

Lze říci, že začínající pedagogové nevyužívají soutěže jako pomocníka

k identifikaci nadaného žáka.

Lze říci, že začínající učitelé nepovažují spolužáky za vhodně pomocníky

k identifikaci matematicky nadaného jedince.

Sami respondenti připouští neznalost rozdílů mezi bystrým a nadaným žákem.

Důležitost psychologa? Lze říci, že v této problematice nemají jasno ani

pedagogové. Je nutné si uvědomit, že psychologové při identifikaci sehrávají

důležitou roli obzvlášť při práci s IQ testy, neboť na ně mají patent a tudíž s testy

pedagog sám pracovat ani nemůže.

115

ZÁVĚR

Cílem diplomové práce bylo shrnout základní poznatky týkající se matematického

vzdělávání nadaných žáků na základní škole, vytvořit možnou inspiraci matematických úloh

pro pedagogy nebo učební pomůcku pro samotné žáky 9. tříd, ověřit některé úlohy v praxi a

zjistit názor a přístup pedagogů k dané problematice.

Cíle bylo dosaženo vytvořením sborníku slovních úloh a jejich ověření v praxi při

spolupráci se dvěma žáky, zhodnocení a porovnání výsledků jejich práce a vytvořením

dotazníkového šetření.

Spolupráce s žákyněmi probíhala formou individuálních hodin matematiky, při nichž

jsem získala mnoho poznatků a potřebným materiálů, které jsou využity v této práci. Práce

byla přínosná nejen pro mě, ale i pro žákyně, které úlohy zajímaly a projevily zájem o další

obdobné a zajímavé úlohy.

Tato práce mi přinesla mnoho užitečného pro mou budoucí praxi pedagoga. Studiem

odborné literatury jsem se dozvěděla řadu nových informací, zajímavých poznatků z oblasti

práce s nadanými žáky, hlouběji se seznámila s literaturou týkající se dané problematiky a

měla možnost publikace porovnat.

Každý učitel se ve své pedagogické praxi setká s nadaným žákem, ať již

s diagnostikovaným nadáním nebo ne. Je důležité, aby každý pedagog věděl, jak s nadanými

dětmi pracovat pro maximální rozvoj jejich schopností.

116

SEZNAM POUŽITÝCH PRAMENŮ A LITERATURY

1. BLAHUNKOVÁ, D.; CHÁRA, P.; ŘÍDKÁ, E. Maturitní otázky z matematiky. Praha:

Tutor, s.r.o., 2006. ISBN 80-86700-14-3.

2. BOČEK, L.; CHARVÁT, J.; ZHOUF, J. Matematika pro gymnázia. Rovnice a

nerovnice. Praha: Prométheus, 1999. ISBN 80-7196-154-X.

3. CALÁBEK, P.; ŠVRČEK, J.; VANĚK, V. Péče o matematické talenty v České

republice. Olomouc: UP Olomouc, 2008. ISBN 978-80-244-1884-1.

4. ČERMÁK, V. TURINOVÁ, L. Nadaní žáci na základní škole. Ústí nad Labem:

Univerzita J. E. Purkyně, 2005. ISBN 807044715X.

5. DOČKAL, V. a kol. Psychologia nadania. Bratislava: Slovenské pedagogické

nakladatelstvo, 1987.

6. FOŘTÍK, V.; FOŘTÍKOVÁ, J. Nadané dítě a rozvoj jeho schopností. Praha: Portál,

2007. ISBN 978-80-7367-297-3.

7. HŘÍBKOVÁ, L. Nadání a nadání: pedagogicko-psychologické přístupy, modely,

výzkumy a jejich vztah ke školské praxi. Praha: Grada Publishing, a.s., 2009. ISBN

978-80-247-1998-6.

8. CHRÁSKA, M. Didaktické testy: Příručka pro učitele a studenty učitelství. Brno:

Paido, 1999. ISBN 80-85931-68-0.

9. JURÁŠKOVÁ, J. Základy pedagogiky nadaných. Pezinok: Formát, 2003. ISBN 80-

89005-11-X.

10. KONEČNÁ, H. Vzdělávání nadaných dětí. Brno: Masarykova univerzita. Pedagogická

fakulta. Katedra pedagogiky, 2007. Vedoucí bakalářské práce doc. PaedDr. Hana

Horká. CSc.

11. KOŠČ, L. Psychologia matematických schopností. Bratislava: Slovenské pedagogické

nakladatelstvo, 1972.

12. MACHŮ, E. Rozpoznávání a vzdělávání rozumově nadaných dětí v běžné třídě

základní školy: příručka pro učitele a studenty učitelství. Brno: Masarykova

univerzita, 2006. ISBN 80211039795

117

13. MÖNKS, F. J., YPENBURG, I. H. Nadané dítě. Praha: Grada, 2002. ISBN 80-247-

0445-5.

14. MŠMT. Národní program rozvoje vzdělávání v české republice – Bílá kniha. Praha:

Tauris, 2001. ISBN 80-211-0372-8.

15. NOVÁK, B. Vybrané kapitoly z didaktiky matematiky 2. Pro studium učitelství pro 1.

stupeň ZŠ. Olomouc: UP, 2005. ISBN 8024410680.

16. ODVÁRKO, O. Matematika pro gymnázia. Posloupnosti a řady. Praha: Prometheus,

1995. ISBN 80-7196-195-7.

17. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách. I.díl. Praha: Prometheus, 2006. ISBN

8071963372.

18. SEJVALOVÁ, J. Talent a nadaní. Jejich rozvoj ve volném čase. Praha: IDM MŠMT,

2004. ISBN 80-86784-03-7.

19. RŮŽIČKOVÁ, B., Didaktika matematiky 1 pro distanční studium. Olomouc: UP,

2002. ISBN 80-244-0534-2.

20. RŮŽIČKOVÁ, B. Didaktika matematiky 2. 1. část. Olomouc: UP, 2004. ISBN 80-

244-0815-5.

21. TREJBAL, J. Sbírka zajímavých úloh z matematiky. Díl 1. Praha: Prometheus, 1995.

ISBN 8071960721

Internetové zdroje

1. HESTERIC, R. Cvičení z učiva středních škol - matematiky, fyzika a chemie. [online].

[cit. 2011-10-02]. Dostupné z WWW: <http://www.priklady.eu/cs/Index.alej.>

2. HUSOVÁ, P. Matikáček. [online]. [cit. 2012-10-02]. Dostupné z WWW:

<http://matikacek.ic.cz/index.php.>

3. JEDNOTA ČESKÝCH MATEMATIKŮ A FYZIKŮ. Ani jeden matematický talent

nazmar: Sborník příspěvků 1. ročníku konference učitelů matematiky a přírodních

oborů na základních, středních a vysokých školách. [online]. [cit. 2012-01-07].

118

Dostupné z WWW: <http://class.pedf.cuni.cz/NewSUMA/Download/Volne/SUMA_6

2.pdf.>





4.pdf.>





.pdf.>

6. Koncepce péče o mimořádně nadané děti a žáky pro období let 2009-2013. [online].

[2012-02-02]. Dostupný z WWW:

<http://www.ippp.cz/images/stories/doc/koncepce/koncepce_pe_o__nadan_2009-

13_koncepce.pdf>

7. KRČÁL, M. Matematická olympiáda [online]. [cit. 2012-04-01]. Dostupné z WWW:

<http://www.math.muni.cz/~rvmo/.>

8. KRYNICKÝ, M. Počítačové učebnice matematiky a fyziky pro gymnázia. [online].

[cit. 2012-10-02]. Dostupné z WWW: <http://www.ucebnice.krynicky.cz/.>

9. NOCAR, D. Matematický klokan. [online]. [cit. 2012-02-04]. Dostupné z WWW:

<http://matematickyklokan.net/info.phpDownload/Volne/SUMA_65.pdf.>

10. NOVÁKOVÁ, J. Nadané děti. [online]. [cit. 2011-11-12]. Dostupné z WWW:

<http://www.volny.cz/zcs.ostrovni/nadane_deti.>

11. PORTEŠOVÁ, Š. Centrum rozvoje nadaných dětí. [online]. [2012-02-02]. Dostupný

z WWW: <http://www.nadanedeti.cz>

12. PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MU. Brněnský korespondenční seminář. [online].

[cit. 2012-02-21]. Dostupný z WWW: <http://brkos.math.muni.cz/>

http://class.pedf.cuni.cz/NewSUMA/Download/Volne/SUMA_62.pdf.

http://class.pedf.cuni.cz/NewSUMA/Download/Volne/SUMA_62.pdf.

http://class.pedf.cuni.cz/NewSUMA/Download/Volne/SUMA_64.pdf




http://www.ippp.cz/images/stories/doc/koncepce/koncepce_pe_o__nadan_2009-13_koncepce.pdf

http://www.ippp.cz/images/stories/doc/koncepce/koncepce_pe_o__nadan_2009-13_koncepce.pdf

http://www.math.muni.cz/~rvmo/

http://matematickyklokan.net/info.phpDownload/Volne/SUMA_65.pdf

http://www.volny.cz/zcs.ostrovni/nadane_deti

http://www.nadanedeti.cz/

http://brkos.math.muni.cz/

119

13. Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání – příloha upravující vzdělávání

žáků s lehkým mentálním postižením. [online]. [2012-02-01]. Dostupný z WWW:

<http://www.vuppraha.cz/wp-content/uploads/2009/12/RVPZV_2007-07.pdf>

14. VONDRÁKOVÁ, E. Talent a nadání. [online]. [2012-12-02]. Dostupný z WWW:

<http://www.talent-nadani.cz./>

15. Vyhláška o vzdělávání dětí, žáků a studentů se speciální vzdělávacími potřebami a

dětí, žáků a studentů mimořádně nadaných. [online]. [cit. 2011-29-01]. Dostupné z

WWW: < http://www.atre.cz/zakony/page0283.htm >

16. ZHOUF, J. Školní vzdělávací program jako příležitost ke zlepšení práce s

talentovanými žáky v matematice [online]. 2006 [cit. 2012-09-02]. Dostupné z WWW:

<class.pedf.cuni.cz/NewSUMA/FileDownload.aspx?FileID=92.>

http://www.vuppraha.cz/wp-content/uploads/2009/12/RVPZV_2007-07.pdf

http://www.talent-nadani.cz./

120

SEZNAM PŘÍLOH

Příloha č. 1 – Souhrnné výsledky řešení úloh

Příloha č. 2 – Dotazník

PŘÍLOHY

Příloha č. 1: Souhrnné výsledky řešení úloh

Markéta – třída s rozšířenou výukou

němčiny

Denisa – třída s rozšířenou výukou

matematiky

Příklad

Postup

Správnost

Zkouška

Odpověď

Postup

Správnost

Zkouška

Odpověď

1 X X X

2 X X

3 X X X

4 X X

6 ½ X X X X

7 X X X X ¾ X X X

8 X X X X

11 X X X X ½ X

12 ½ X X X X

14 X X ½

15 X X X X X

17 X X X X

18 ½ X X X

20 X X X X ½ X X X

21 X

suma 9,5 8 0 4 13 12,5 3,5 10

Příloha č. 2: Dotazník

DOTAZNÍK

Vážení pedagogové,

jmenuji se Pavla Jakubcová a jsem nyní studentkou II. ročníku navazujícího magisterského

studia oboru Učitelství matematiky pro 2. stupeň ZŠ a učitelství základů společenských věd a

občanské výchovy pro SŠ a 2. stupeň ZŠ na Pedagogické fakultě UP v Olomouci. Dovoluji si

Vás oslovit s žádostí o vyplnění předloženého dotazníku, který je součástí mé diplomové

práce na téma „Specifika matematického vzdělávání nadaných žáků na 2. stupni ZŠ.“ Cílem

dotazníkového šetření je zjistit Váš názor a přístup k matematicky nadaným jedincům.

Za Vaši ochotu a spolupráci Vám děkuji

1. Pohlaví

a) Muž

b) Žena

2. Vaše vystudovaná aprobace je: …………………………………………………………….

3. Délka Vaši učitelské profese je:

a) Méně než 5 let

b) 5 - 9 let

c) 10 -14 let

d) 15 - 19 let

e) Více než 20 let

Charakteristika matematicky nadaného žáka – Zakroužkováním prosím vyjádřete stupeň

svého souhlasu resp. nesouhlasu s prezentovaným tvrzením.

1. Matematicky nadaný žák vyniká ve všech předmětech, jinak není nadaný.

souhlasím 1 2 3 4 5 nesouhlasím

2. Matematicky nadaný žák je v matematice velmi vnímavý a zvídavý.


3. Matematicky nadaný žák se rychle učí, porozumí a aplikuje matematické myšlenky.


4. Matematicky nadaný žák upřednostňuje učební úlohy vyšší kognitivní náročnosti.


5. Matematicky nadaný žák je iniciativní, nečeká, až mu někdo ukáže, jak postupovat při

řešení daného problému, ale má snahu řídit vlastní postupy a rozvoj.


6. Matematicky nadaný žák je schopen analyzovat situaci a odlišit v ní podstatné od

nepodstatného.


7. Matematicky nadaný žák prokazuje schopnost řešit matematické problémy pružně,

tvořivě a přichází s nestandardními řešeními.


8. Matematicky nadaný žák dokáže strategicky rozmýšlet v určitých situacích, jako např.

při hraní hry.


9. Matematicky nadaný žák si umí dobře rozplánovat jednotlivé kroky vedoucí k řešení

problémů.


10. Matematicky nadaný žák má vysokou schopnost přenášet získané znalosti a

dovednosti do nových matematických situací.


Práce s matematicky nadanými žáky - Zakroužkováním prosím vyjádřete stupeň svého

souhlasu resp. nesouhlasu s prezentovaným tvrzením.

11. Myslím si, že pro práci s nadanými žáky je potřeba speciálního vzdělání, popř.

školení, speciální kurz apod.


12. Myslím si, že nadaný žák by měl být vzděláván ve speciálních třídách.


13. Myslím si, že pro nadaného žáka je vhodné a dostačující využívat běžných učebnic.


14. Nadaným žákům zadávám úlohy ve stejném počtu a se stejnou obtížností, ve srovnání

s ostatními žáky.


15. Nadaným žákům zadávám úlohy ve stejném počtu, ale s vyšším stupněm obtížnosti,

ve srovnání s ostatními žáky.


16. Nadaným žákům zadávám úlohy ve stejném počtu, se zastoupením úloh podněcující

logické myšlení, ve srovnání s ostatními žáky.


17. Pro inspiraci k obohacení výuky využívám internetových zdrojů.


18. Pro inspiraci k obohacení výuky využívám odborných knih a časopisů.


19. Pro inspiraci k obohacení výuky využívám informací získaných v rámci celoživotního

vzdělávání učitelů.


20. Matematické soutěže rozvíjejí matematické myšlení, proto se snažím žáky do těchto

soutěží zapojovat.


Identifikace matematicky nadaných žáků - Zakroužkováním prosím vyjádřete stupeň

svého souhlasu resp. nesouhlasu s prezentovaným tvrzením.

21. Rodiče jsou první osoby, které mohou zpozorovat, že jejich dítě je odlišné od

vrstevníků.


22. Celkový školní prospěch je prvním znakem pro rozpoznání nadaného žáka.


23. Učitel zaregistruje nadaného žáka již během prvních vyučovacích hodin.


24. Pro rozpoznání nadaného žáka využívám dlouhodobého pozorování.


25. Pro rozpoznání nadaného žáka využívám vlastních didaktických testů.


26. Výsledky školních soutěží je možno považovat za druh identifikace nadaných žáků.


27. Spolužáci mohou být velmi dobrými indikátory nadání při posuzování svých

spolužáků, neboť mohou žákův školní život posoudit z jiné perspektivy než např.

učitelé.


28. Nominace nadaného žáka jedním učitelem může být zaujatá, objektivnějším způsobem

se může jevit zapojení více učitelů do komplexnějšího pohledu na daného žáka.


29. Učitelé mnohdy identifikují bystré žáky, které potom nesprávně považují za nadané.


30. Práce psychologa je nezbytná pro identifikaci nadaného žáka.


ANOTACE

Jméno a příjmení: Bc. Pavla Jakubcová

Katedra: Katedra matematiky

Vedoucí práce: Mgr. Eva Bártková, Ph.D.

Rok obhajoby: 2012

Název práce:

Specifika matematického vzdělávání nadaných žáků na 2.

stupni ZŠ

Název v angličtině:

Specifics of matematics education of gifted students at

primary school

Anotace práce:

Diplomová práce se zabývá tématem vzdělávání matematicky

nadaných žáků na základní škole. Teoretická část je zaměřena

na klíčové pojmy spojené s problematikou matematického

nadání a vzdělávání matematicky nadaných jedinců, praktická

část je tvořena sborníkem úloh a dotazníkovým šetřením.

Klíčová slova: Nadání, talent, modely nadání, typologie, charakteristika

nadání, identifikace nadání, akcelerace, obohacení, separace,

integrace, didaktické testy, soutěže

Anotace v angličtině:

This diploma thesis is deals with the education of gifted

students in mathematics at primary school. The theoretical part

focuses on key concepts related to mathematical problems

connected with education of mathematically gifted and

talented individuals. The practical part consists of collection of

tasks and a questionnaire survey.

Klíčová slova v angličtině:

Aptitude, talent, models of abilities, typology, characteristic of

talent, identification of talent, accelaration, enrichment,

separation, didactic, tests, competitions

Přílohy vázané v práci:

Příloha č. 1 – Souhrnné výsledky řešení úloh

Příloha č. 2 – Dotazník

Rozsah práce: 117

Jazyk práce: český

Date post:	30-Jan-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	2 times
Download:	0 times

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PEDAGOGICKÁ FAKULTA · a jeho vzdělávání. Vytvořit sborník...

Documents