Určení přesnosti transformace souřadnic pro výzkum...

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

Fakulta dopravní

Ústav řídicí techniky a telematiky

Bakalářská práce

Určení přesnosti transformace souřadnic pro výzkum odchylek od ideální trajektorie vozidla

Praha 2008 JIŘÍ BARNET

1

2

Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci vypracoval samostatně s použitím uvedených

literárních pramenů.

Nemám závažný důvod proti užití tohoto školního díla ve smyslu §60 Zákona č.

121/2000 Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o

změně některých zákonů (autorský zákon).

Praha, srpen 2008 Jiří Barnet .............................................

3

Abstrakt

Určení přesnosti transformace souřadnic pro výzkum odchylek od ideální trajektorie vozidla

Teoretická část práce se zabývá definicí základních geodetických pojmů, prostředky

kosmické geodézie a definicí použitých souřadnicových systémů. Dvě kapitoly jsou

věnovány podrobnému odvození lokálního transformačního klíče pomocí Helmertovy

transformace a matematickým základům Křovákova zobrazení.

Praktická část práce porovnává přesnost získaných výsledků pomocí globální

transformace a vypočtené lokální transformace na několika úrovních a snaží se

získat na definovaném testovacím okruhu co nejpřesnějších výsledků. V příloze je

uveden popis programu, který byl vytvořen pro potřeby této práce.

Summary

Spatial transformation accuracy for research of car trajectory

The theoretical part of this thesis deals about the basic geodetic definitions, the

cosmic geodesy resources and the definitions of used coordinate systems. Two of

the chapters are dedicated to detailed deduction of the local transformation key by

Helmert’s transformation and mathematic basis of the Křovák’s projection.

The practical part of the thesis matches accuracy of acquired results by global and

local transformation on several levels and try to get on the proving ground the most

accurate results as possible. In the appendix is introduced description of the program

created with correspondence of the requirements of coordinate transformation

accuracy.

Klíčová slova:

Geodézie, Křovákovo zobrazení, Helmertova transformace, souřadnicový systém,

kartografie, S-JTSK, WGS-84, ITRF-05, ETRS-89, lokální transformační klíč

Keywords:

Geodesy, Křovák‘s projection, Helmert‘s transformation, coordinate system,

cartography, S-JTSK, WGS-84, ITRF-05, ETRS-89, local transformation key

4

Obsah:

Seznam zkratek: ......................................................................................................... 6

1. Úvod .................................................................................................................... 8

2. Geodetické a kartografické základy ................................................................... 11

2.1. Základní geodetické pojmy: ......................................................................... 12

2.2. Kartografické zobrazovací metody .............................................................. 16

2.3. Prostředky kosmické geodézie .................................................................... 18

3. WGS-84 a další souřadnicové systémy ............................................................. 20

3.1. WGS-84 ....................................................................................................... 20

3.2. ETRS-89 ...................................................................................................... 21

3.2.1. Konvenční referenční systémy ............................................................... 21

4. S-JTSK .............................................................................................................. 23

5. Helmertova transformace .................................................................................. 27

5.1. Základní Helmertova metoda ...................................................................... 27

5.2. Výpočet lokálního transformačního klíče ..................................................... 30

5.3. Metoda nejmenších čtverců ......................................................................... 33

5.4. Redukce souřadnic k těžišti ......................................................................... 34

6. Převod souřadnic mezi systémy ETRS-89 a S-JTSK ........................................ 36

6.1. Přepočet geodetických souřadnic ETRS-89 do pravoúhlých ....................... 36

6.2. Sedmiprvková transformace souřadnic ....................................................... 36

6.3. Převod pravoúhlých souřadnic S-JTSK do geodetických ............................ 36

6.4. Převod geodetických souřadnic S-JTSK do rovinných ................................ 38

6.4.1. Konformní Gaussovo zobrazení Besselova elipsoidu na referenční kouli

38

6.4.2. Transformace souřadnic na Gaussově kouli s posunutým pólem .......... 39

6.4.3. Konformní kuželové zobrazení s tečným kuželem k základní rovnoběžce

a vrcholem kužele Q ........................................................................................... 39

5

6.4.4. Převod polárních souřadnic na pravoúhlé.............................................. 40

7. Převod souřadnic mezi systémy WGS-84 a ETRS-89 ....................................... 41

8. Globální transformace ....................................................................................... 43

9. Lokální transformace ......................................................................................... 49

10. Porovnání přesnosti použitých transformací ................................................... 51

10.1. Vyhodnocení globální a lokální transformace ........................................... 51

10.2. Možnosti zvýšení přesnosti transformovaných souřadnic ........................ 62

10.3. S-JTSK/95 ................................................................................................ 64

11. Závěr .............................................................................................................. 66

Seznam obrázků a tabulek: ...................................................................................... 69

Použitá literatura ....................................................................................................... 71

Seznam příloh: ......................................................................................................... 75

6

Seznam zkratek:

ADAS Advanced Driving Assist Systems

AGS astronomicko-geodetická síť

BIH Bureau International de I’Heure

Bpv výškový systém Balt po vyrovnání

CEP Celestin Ephemeris Pole

CIO Conventional International Origin

CTP Conventional Terrestrial Pole

CZEPOS česká polohová síť

DOPNUL kampaň „doplnění sítě nultého řádu“ napojení polohy bodů na EUREF

DORIS Doppler Obitography and Radiopositioning Integrated by Satellite

EGM 96 Earth Gravity Model 1996

ETRF-89 European Terrestrial Reference Frame 1989

EUREF European Reference Frame

GIS Geografické informační systémy

GLONASS ГЛОбальная НАвигационная Спутниковая Система – Globální navigační satelitní systém (Rusko)

GNSS Global Navigation Satellite System

GPS Global Position System

GRS-80 Geodetic Reference System 1980

IAT International Atomique Temps

ICRS(F) International Celestial Reference System (Frame)

IERS International Earth Rotation and Reference Systems Service

ITRS(F) International Terrestrial Reference System (Frame)

LLR Lunar Laser Ranging

MNČ Metoda nejmenších čtverců

http://cs.wikipedia.org/wiki/Navigace�

http://cs.wikipedia.org/wiki/Dru%C5%BEice�

7

NATO North Atlantic Treaty Organisation

PRARE Precise Range And Range-rate Equipment

S-42/83 Souřadnicový systém 1942/1983

S-JTSK(/95) Systém jednotné trigonometrické sítě katastrální (zdokonalený)

SLR Satellite Laser Ranging

TB trigonometrický bod

TL triangulační list

UTC Coordinated Universal Time

UTM Universal Transverse Mercator

VLBI Very Long Baseline Interferometry

VÚGTK Výzkumný ústav geodetický, topografický a kartografický

WGS-84 World Geodetic System 1984

ZÚ Zeměměřičský úřad

8

1. Úvod

V rámci výzkumu pozornosti řidiče a jeho vlivu na řízení lze zkoumat odchylku od

zamýšlené ideální trajektorie. Tyto odchylky mohou být způsobeny únavou řidiče

(mikrospánky) nebo ovládáním různých zařízení na palubní desce (radiopřijímač,

navigace) a mohou vést k vážným zdravotním následkům posádky. Takovéto jevy je

nutné zkoumat, aby jim bylo možno předcházet.

Odchylku od trajektorie silničního vozidla lze v zásadě zkoumat dvěma metodami.

První vhodnou metodou je použití simulace. Na silničním simulátoru je stanovena

dráha, kterou projíždí vybraný proband a vyhodnocuje se reálná poloha vozidla.

Prostředí simulátoru může používat vlastní souřadnicový systém, nebo systém

převzatý například z GIS (Geografické informační systémy). Odchylka polohy vozidla

od ideálního stavu je následně vyhodnocena sestaveným programem. Jedná se o

bezpečnou laboratorní metodu, při které lze zkoumat i nebezpečné jevy

(mikrospánky). Výhodou je snadná změna promítaného prostředí, které působí na

chování řidiče (monotónní krajina, hustá zástavba), náročné je však vymodelování

tohoto prostředí.

Druhou metodou je měření v reálné situaci. Proband projíždí vybraný okruh a měří se

jeho poloha metodou GPS (Global Position System). V této situaci vstupují do měření

parametry, které lze na simulátoru snadno odstranit (hustý provoz, chodci), v reálné

situaci je však nutné s těmito vlivy počítat. Do naměřené odchylky vozidla navíc

vstupuje najednou několik poruchových veličin (např. nepřesnost v určení ideální

jízdní dráhy, nepřesnost určení polohy GPS, ztráty přesnosti při transformaci

souřadnic). Přestože lze polohu vozidla měřit i pomocí jiných metod, GPS se v tomto

ohledu nabízí jako velice výhodné řešení. Není nutno dělat žádné zásahy do

infrastruktury ani omezovat provoz na pozemních komunikacích. Instalace přijímače

do měřeného vozidla je rovněž velice snadná.

Do současné doby bylo měření prováděno výhradně pomocí silničního simulátoru.

Snahou je však měření přiblížit co nejvíce realitě, proto společnost Škoda Auto a.s.

nyní zavádí měření v reálné situaci. Měření je prováděno pomocí diferenciální GPS,

která výrazně zpřesňuje určení pozice vozidla. Referenční stanice s přesně známou

polohou byla umístěna přibližně ve středu silničního okruhu, na kterém probíhalo

9

měření a získávala korekční signál ze sítě CZEPOS (Česká polohová síť). Přijímač

GPS byl umístěn na střeše vozidla společně s kamerou, která snímala krajní jízdní

pruh a zaznamenávala změny polohy vozidla vůči tomuto vodícímu pruhu. Data

z přijímače GPS byly zaznamenávány v intervalu menším, než 1 s. a

zaznamenávána byla zeměpisná šířka (přesnost na 8 desetinných míst), zeměpisná

délka (přesnost na 8 desetinných míst) a elipsoidická výška (přesnost na 3 desetinná

místa) na elipsoidu WGS-84. Měření prováděla Škoda Auto a.s., určení přesnosti

naměřené polohy je proto v kompetenci společnosti Škoda Auto a.s. (podrobnosti

např. v [39]).

Prostorové vyjádření polohy v zeměpisných souřadnicích není vhodné pro

vyhodnocování odchylek od ideální trajektorie vozidla. Proto je nutné prostorové

souřadnice převádět do souřadnic rovinných. V rovinných souřadnicích lze snadno

matematicky i graficky vyjádřit možnou odchylku od ideální polohy. Při transformaci

souřadnic za použití některé z kartografických projekcí však dochází ke ztrátám

přesnosti.

Transformací prostorových souřadnic, které používá GPS, do souřadnic rovinných,

které jsou využívány na území ČR, se zabývá tato práce. Vyhodnocení GPS se

provádí na referenčním elipsoidu značeném WGS-84 (World Geodetic System 1984).

Naproti tomu terestrický systém, ve kterém je většina českých map je tzv.

souřadnicový systém Jednotné trigonometrické sítě katastrální (S-JTSK). S-JTSK je

založen na jiném elipsoidu a vyznačuje se lokálními odchylkami, které komplikují

transformaci [8], [21]. Hlavním úkolem této práce je nalezení vhodné transformační

metody s přijatelnou chybou a určení poruchových veličin, které mohou mít vliv na

přesnost transformace mezi uvedenými systémy.

Postupy popsané v této práci nejsou vázány k zadanému projektu, ale mohou být

použity i v jiných aplikacích, a to nejen dopravního charakteru.

Přesnost určení polohy bodu v rovině po transformaci souřadnic lze vyjádřit kružnicí,

při určování maximální odchylky od ideální trajektorie pak obálkou těchto kružnic (viz.

Obrázek 1). Při následujících transformačních postupech, kdy bude popisována

přesnost polohy vozidla, je myšlena přesnost naměřeného bodu ve vozidle. Bod je

určen umístěním přijímače GPS v prostoru vozidla. Pro zjištění celkové odchylky je

nutné k transformační odchylce započítat odchylku v určení polohy pomocí GPS.

10

Obrázek 1 – rovinné a prostorové odchylky polohy vozidla

Zadaný problém zjištění přesnosti převodu dat z moderní GPS aparatury do

terestrického systému českých map je nutné řešit ve 2 hlavních fázích. První fáze

spočívá ve vymezení území měření, určení transformační metody, odchylek hlavního

transformačního klíče v pevných bodech a zkreslení vzdáleností. V následující fázi je

třeba najít takový lokální klíč, který by pro měřenou splňoval stanovená kritéria

přesnosti.

Tato práce je rozdělena do 11 hlavních kapitol. První čtyři kapitoly seznamují se

základními skutečnostmi, které vedou k transformačnímu postupu, podrobně

popsaného v následujících kapitolách 5, 6 a 7.

V kapitolách 8 a 9 jsou uvedeny výsledky provedených transformací a v následující

kapitole jsou tyto výsledky porovnány.

11

2. Geodetické a kartografické základy

Měření polohy souřadnic bodů na Zemi je problém geodetický. Následný převod

naměřených veličin do roviny pak problém kartografický. Oba problémy vstupují do

procesu zpracování a vyhodnocování polohy vozidla a její přesnosti v aplikacích

asistenčních systémů (ADAS).

S vývojem technických prostředků jsou nám k dispozici stále přesnější údaje a je

zřejmé, že některá měření provedená v minulosti nebyla zcela věrohodná1. Při

zjišťování polohy bodů (či trajektorie pomocí bodů) na mapě je nutné mít na paměti,

že jejich přesnost nikdy není absolutní a vlivem přírodních jevů dochází ke drobným

změnám jejich vzájemné polohy v čase.

Nepřesnosti nastávají především při:

1. měření samotném

Jedná se především o nepřesnost měřící soustavy nebo různé fyzikální jevy,

které do výsledné polohy vysílače a přijímače není možno započítat.

2. převodu geodetických dat do roviny

Při použití jakékoli kartografické metody lze zachovat pouze některé vlastnosti

zobrazení – úhly (konformní zobrazení), délky v určitém směru (ekvidistantní

zobrazení) nebo obsahy ploch (ekvivalentní zobrazení).

3. transformaci různých kartografických děl

Pro některé lokální mapy jsou zobrazení natolik složitá, že při jejich

transformacích platí pouze omezené klíče.

4. nepřesnosti vyplývající z použitých metod

Jedná se o špatně lokalizovatelné chyby, např. nepřesně ležící elipsoid WGS-

84 v těžišti Země.

Tato práce se dále nebude zabývat přesností měření samotného, protože to je

natolik složitá záležitost, že jí lze věnovat samostatnou práci. Při transformaci

souřadnic tak naměřená poloha vstupuje do výpočtu jako absolutní hodnota.

Předmětem této práce jsou především prostřední dvě kategorie nepřesností uvedené

výše.

1 bez prostředků kosmické geodézie (kapitola 2.3), jedná se např. o systém S-JTSK

12

2.1. Základní geodetické pojmy:

Poloha každého objektu je vyjádřena hodnotami souřadnic v definovaném

souřadnicovém systému. Určováním vzájemné polohy bodů na Zemi, zkoumáním

tvaru a fyzikálních vlastností zemského tělesa se zabývá obor Geodézie2.

Geoid je základním modelem zemského tělesa. Vychází ze skutečnosti, že ideální

zemský povrch lze definovat jako plochu, na kterém má tíhová síla v každém místě

stejnou hodnotu. Tuto plochu pokládáme na úroveň klidné střední hladiny moří (tzv.

nulová hladinová plocha). Jedná se o myšlenou nulovou ekvipotenciální plochu,

kolmou v každém bodě na směr zemské tíže. Nadmořská výška je pak výškou nad

geoidem (nadmořská výška hladin jednotlivých moří je různá3).

Modelování plochy geoidu je značně obtížné, proto je většinou nahrazován modelem

rotačního elipsoidu. Modelů rotačních elipsoidů (referenční elipsoidy) je několik, a

jsou určovány na základě aproximace daného území, pro které jsou určeny.

Referenční elipsoidy jsou určeny primárními a sekundárními parametry. Jedná se

především o rozměry hlavní a vedlejší poloosy, zploštění a excentricitu.

S referenčním elipsoidem je spjat používaný souřadnicový systém. To je mnohdy

problém, protože těžiště používaných elipsoidů neleží ve stejném bodě. Při převodu

zobrazení na různých referenčních elipsoidech je proto nutné přistoupit k prostorové

transformaci souřadnic.

Výhodné je zavedení světového elipsoidu, který má těžiště v těžišti Země a jeho

použití je univerzální kdekoli na Zemi. Po dlouhém vývoji se ustálilo používání

světového geodetického systému WGS-84.

Na rotačním zemském elipsoidu je určena soustava geodetických zeměpisných souřadnic (viz Obrázek 2).

2 z řeckého geo – Země a daiomai – dělím 3 na území ČR se používá výškový systém baltský po vyrovnání (Bpv), kdy je za nulovou výšku považována hladina Baltského moře ve městě Kronštandt

13

Obrázek 2 – soustava geodetických zeměpisných souřadnic [8]

Vedlejší osa spojuje severní a jižní pól (Ps, Pj). Řez roviny procházející středem

elipsoidu, kolmý k této ose, s plochou elipsoidu je rovník. Řezy rovin rovnoběžných

s rovinou rovníku jsou rovnoběžky. Svazek rovin, procházejících osou rotace, seče

povrch elipsoidů v polednících (meridiánech). Rovnoběžky a poledníky vytvářejí

ortogonální soustavu čar – zeměpisnou síť [34].

Zeměpisná geodetická šířka φ je úhel, který svírá rovina rovníku s normálou k ploše

elipsoidu (kladná na sever).

Zeměpisná geodetická délka λ je úhel, který svírá rovina místního poledníku

s rovinou základního poledníku (základním „nultým“ poledníkem je nejčastěji volen

poledník, procházející astronomickou laboratoří v Greenwich v Londýně. Některá

zobrazení používají základní poledníkem Ferro, který prochází stejnojmenným

ostrovem v Kanárských ostrovech). Kladné hodnoty poledníků jsou směrem na

východ.

Elipsoidická výška H je vzdálenost od elipsoidu měřená po normále. Kladné hodnoty

jsou vně elipsoidu. Elipsoidická a nadmořská výška se zásadně liší, viz. Obrázek 3.

14

Obrázek 3 – vztah mezi elipsoidickou a nadmořskou výškou [8]

Pro vyjádření polohy na povrchu Země jsou zeměpisné geodetické souřadnice φ, λ,

H používané nejčastěji. Poloha elipsoidu může být ale vyjádřena i v pravoúhlých

prostorových souřadnicích x, y, z (viz. Obrázek 4).

Obrázek 4 – prostorový souřadnicový systém [20]

Prostorový souřadnicový systém má počátek ve středu elipsoidu. Osa x je vložena

do průsečíku rovníku a roviny základního (nultého) poledníku, osa z spojuje střed

elipsoidu a severní pól a osa y leží v rovině rovníku otočena o 90º proti směru

hodinových ručiček od osy x (geodetická orientace os) [17].

Mezi geodetickými souřadnicemi (φ, λ, H) a prostorovými souřadnicemi (x, y ,z) platí

následující vztahy [21]:

cos cos

cos sin

1 sin (2.1)

15

kde je excentricita elipsoidu 1 (2.2)

a příčný poloměr křivosti . (2.3)

Matematické výpočty na ploše referenčního elipsoidu lze za určitých skutečností

(území do 250 km) dále zjednodušit použitím referenční koule o daném poloměru R.

Vztahy (2.1) se zjednoduší na:

R sin cos

R cos sin

cos . (2.4)

Na územích do 700 km2 lze zakřivení zemského povrchu zanedbat a výpočty ještě

zjednodušit použitím referenční roviny.

Pro určení polohy v rovině se využívá kartézské soustavy souřadnic. Jedná se o

ortogonální souřadný systém, kdy počátek souřadnic a natočení souřadnicových os

může být v rovině při kartografických aplikacích různé polohy. Je nutno pečlivě

rozlišovat zda zadaný systém má „matematickou“ orientaci os, tj. kladná osa X se s

kladnou osou Y ztotožní pootočením o 90º proti směru pohybu hodinových ručiček,

nebo „geodetickou“ orientaci os, kdy se osy ztotožní pootočením po směru

hodinových ručiček [17].

Pojmem souřadnicový systém se v oboru zeměměřictví míní soubor těchto údajů

[17]:

• geodetické datum (elipsoid, jeho referenční bod, datum určení)

• souřadnicový systém geografických souřadnic φ, λ (včetně volby základního

poledníku)

• zobrazovací rovnice (včetně voleb v nich použitých konstant)

• souřadnicový systém rovinných souřadnic X, Y (včetně umístění počátku

systému X, Y do obrazu geografické sítě, orientace os a matematických úprav

souřadnic X, Y v rovině zobrazení, posuny počátku, násobení konstantou

redukující délkové zkreslení aj.)

16

V souřadnicových systémech se udržuje síť geodetických bodů (geodetická síť). Geodetický bod je trvale označený bod stanovený měřičskými značkami. Rozlišují se

bodová pole tíhová, výšková a polohová. Bodová pole jsou základní jednotky

mapování povrchu Země a jejich změn [6]. Bodovým polem je např. S-JTSK nebo síť

AGS zmíněné v kapitole 4.

2.2. Kartografické zobrazovací metody

Teorií zobrazování referenční plochy zemského povrchu do roviny se zabývá vědní

obor matematická kartografie4. Obor kartografie úzce souvisí s geodézií a

geografií, a nelze je oddělit. Všechny tyto obory společně s teorií informačních

systémů a dalšími obory spoluvytvářejí Geografické informační systémy (GIS),

který jsou mocným nástrojem využívaným v mnoha odvětvích (dopravu nevyjímaje).

Transformační a zobrazovací postupy zde uvedené jsou nedílnou součástí software

GIS.

Při tvorbě mapy je důležité, aby referenční plocha, na kterou zobrazujeme, co nejlépe

přimykala referenční ploše v dané oblasti. Tím se stane, že osa zobrazovací plochy

není totožná se zemskou osou. Definuje se proto kartografický souřadnicový systém. Kartografické souřadnice jsou definovány stejně jako souřadnice

zeměpisné, ale jsou vztaženy ke vhodně zvolenému kartografickému pólu K [3].

Přiřazení polohy bodů na dvou různých referenčních plochách označujeme

kartografickým zobrazením. To je jednoznačně matematicky definováno

zobrazovacími rovnicemi.

Převod dat do roviny se provádí několika metodami. Většinou se geoid převádí na

referenční elipsoid (sféroid), na kterém se měření provádí. Elipsoid se často dále

zobrazuje na Gaussovu kouli a ta se zobrazí do referenční roviny.

Při procesu převodu referenčních ploch dochází ke kartografickým zkreslením.

Zpravidla se jedná o tři druhy – zkreslení délkové, plošné a úhlové (směrníkové).

Křivky konstantního zkreslení nazýváme ekvideformáty. Délkové ekvideformáty

systému S-JTSK jsou uvedeny v příloze A na obrázku A.1.

4 Nejstarší nalezená mapa (Pavlovské vrchy) uložena v AV ČR v Brně je stará až 25000 let.

17

Z hlediska zkreslení lze hovořit o těchto zobrazeních [3]:

• ekvidistantní – nezkreslují se délky v určitých směrech

• ekvivalentní – nezkreslují se plochy

• konformní – nezkreslují se úhly

• kompenzační – vše je zkresleno trochu

Z pohledu užité zobrazovací plochy lze hovořit o těchto zobrazeních:

• zobrazení na kulovou plochu – zobrazení elipsoidu na kouli

• jednoduchá zobrazení – zobrazení do rozvinutelné plochy (kuželová, válcová,

azimutální)

• nepravá zobrazení (pseudokonická, pseudocylindrická, pseudoazimutální)

• mnohokuželová zobrazení

• zobrazení po vymezených částech

• obecná

Nejčastěji používaná jsou jednoduchá zobrazení kuželová, válcová a azimutální.

Jejich přehled spolu s polohou zobrazovací plochy je na Obrázek 5.

Obrázek 5 – jednoduchá kartografická zobrazení a poloha zobrazovací plochy [8]

18

Azimutální projekce lze dále dělit dle druhu promítání:

• gnómonická – ze středu osy Země (velké zkreslení při větších vzdálenostech

od středu mapy)

• stereografická – z opačného pólu, než je položena zobrazovací plocha

(konformní zobrazení)

• ortografická – kolmo na zobrazovací plochu (ekvidistantní v rovnoběžkách)

Kartografických zobrazovacích metod je samozřejmě mnohem více, ale jejich popis

není cílem této práce. Nástin uvedených metod jistě postačí k pochopení dále

používaných postupů.

2.3. Prostředky kosmické geodézie

Hodnoty souřadnic v geodetických souřadnicových systémech jsou v současné době

zjišťovány pomocí kosmické geodézie. Následuje přehled hlavních používaných

metod kosmické geodézie [5], [29].

‐ VLBI (Very Long Baseline Interferometry) je technologie zaměřování velmi

vzdálených kvasarů, používá se především při definici polohy referenčních

soustav (ICRF) a určování přesného univerzálního času (UT). Podstata spočívá

v určování časového posunu a změny tohoto časového posunu v čase příchodu

stejné vlny rádiového záření pocházejícího z mimogalaktických zdrojů na alespoň

dva radioteleskopy. Přesnost je v řádu mikrosekund.

‐ SLR (Satellite Laser Ranging) je technologie zaměřování vzdálenosti mezi

pozemní stanicí a družicí pulsním laserem. Střední kvadratická chyba se

pohybuje mezi 2 až 3 cm.

‐ LLR (Lunar Laser Ranging) měří vzdálenost mezi Zemí a Měsícem se střední

kvadratickou chybou 1-5 cm.

‐ GPS (Global Positioning System) je rádiový dálkoměrný systém, kdy pomocí

známé polohy družic a časovému zpoždění rádiové vlny mezi vysílačem

(družice) a přijímačem lze určit polohu přijímače. Přesnost určení polohy se

uvádí několik centimetrů u diferenciální GPS.

19

‐ DORIS (Doppler Obitography and Radiopositioning Integrated by Satellite) je

systém založený na měření změn radiální vzdálenosti mezi pozemní stanicí a

družicí na základě dopplerovského jevu. Přesnost změny vzdálenosti je

charakterizována střední kvadratickou chybou 0,4 mm/s.

‐ PRARE (Precise Range And Range-rate Equipment) je založený na radiovém

měření vzdáleností a změn vzdáleností s časem mezi stanicí a družicí.

20

3. WGS-84 a další souřadnicové systémy

Následující kapitola definuje světové (evropské) souřadnicové systémy (včetně

referenčních elipsoidů) používané v ČR. Zobrazením a souřadnicovým systémům

určeným výhradně pro ČR (resp. Československo) se věnuje kapitola 4.

3.1. WGS-84

Souřadnicový systém (rovněž referenční elipsoid), na kterém probíhá měření GPS je

označován jako WGS-84 (World Geodetic System 1984).

WGS-84 byl původně vyvinut armádou USA, nyní je standardizovaným globálním

geodetickým geocentrickým systémem armád NATO (North Atlantic Treaty

Organisation). Počátek leží v těžišti Země. Osa x je průsečnice referenčního

poledníku WGS-84 (nultý poledník definovaný BIH) a roviny rovníku vztaženého ke

konvenčnímu terestrickému pólu CTP (Conventional Terrestrial Pole). Osa y vytváří

pravoúhlý pravotočivý systém a osa z má směr ke konvenčnímu terestrickému pólu

definovaného BIH na základě souřadnic stanic definující BIH [8]. Systém WGS-84 je

pevně spojený se zemí a je definován primárními a sekundárními parametry.

Primární parametry definují rozměry referenčního elipsoidu, úhlovou rychlost rotace

vůči nebeskému referenčnímu systému a součin gravitační konstanty a hmoty Země,

soustředěné v referenčním elipsoidu.

Sekundární parametry definují model zemského gravitačního pole pomocí rozvoje

geopotenciálu do sférických harmonických funkcí. Model gravitačního pole EMG-96

je možno využít pro výpočet průběhu plochy geoidu WGS-84.

Přesnost geocentrických souřadnic bodů přímo určených v systému WGS-84 na

základě technologie GPS, je charakterizována středními kvadratickými chybami

v zeměpisné šířce (B) a zeměpisné délce (L) mB = mL < 0,4 m a geodetické výšce (H)

mH < 0,5 m. Do této chyby je započítána odchylka určení počátku souřadnicového

systému (asi 0,1 m v každé ose), určení rozměru sítě a měřické chyby [8].

Systém WGS-84 je definován jako pravoúhlý a zároveň geodetický systém. Mezi

pravoúhlými a geodetickými souřadnicemi platí vztahy (2.1) až (2.3).

21

3.2. ETRS-89

WGS-84 zdaleka není jediný systém používaný při geodetických měřeních. V ČR

jsou pro civilní sféru bodová pole pro systém S-JTSK navázána na systém ETRS-89

(European Terrestrial Reference System 1989), který byl použit při lokální

transformaci popsané níže. ETRS-89 je odvozen z dále popsaných konvenčních

referenčních systémů.

3.2.1. Konvenční referenční systémy

Referenční systém je určen souborem konstant, algoritmů a technologií a

referenčním rámcem. Referenční rámec je soubor objektů (hvězd, bodů), kterým

jsou přiřazeny souřadnice a změny těchto souřadnic v čase.

Lze rozlišit dva základní konvenční systémy [29]. Jedná se o mezinárodní nebeský

referenční systém ICRS (International Celestial Reference System) a mezinárodní

terestrický referenční systém ITRS-YY (International Terrestrial Reference System),

kde YY je dvojčíslí roku realizace.

Systém ICRS má počátek v barycentru sluneční soustavy, osa z je totožná

s konvenčním efemeridovým pólem CEP (celestin ephemeris pole) v epoše J2000.0

a osa x směřuje do jarního bodu této epochy. Osa y dělá systém pravotočivým.

Referenční rámec ICRF (International Celestial Reference Frame) je realizován 212

rádiovými zdroji výhradně pomocí nejpřesnější technologie VLBI.

Systém ITRS má počátek ve hmotném středu Země, osa z je totožná s konvenčním

mezinárodním počátkem CIO (conventional International Origin), osa x leží v rovině

greenwichského poledníku a osa y doplňuje systém na pravotočivý. Referenční

rámec ITRF (International Terrestrial Reference Frame) je realizován pomocí bodů

ležících na povrchu Země. Tyto body mají souřadnice definované jako funkce času.

Vlivem tektonických pohybů, variací geocentra a dalšími vlivy se jejich hodnoty mění.

Systém ITRS je definován pomocí prostředků kosmické geodézie popsaných

v kapitole 2.3 (jedná se o SLR a VLBI pro ITRF-2005).

Mezi systémy ICRS a ITRS platí převodní vztah. Oba systémy jsou časově

proměnné. ITRS díky jevům precese, nutace, pohybům pólů, pohybům kontinentů

nebo vlivem variace v rotaci země, ICRS nestálostí vzdálených kosmických objektů a

dalšími vlivy. Z tohoto pohledu je systém ICRS přesnějším systémem.

22

Systém ETRS-89, který byl použit při transformaci, je odvozen od systému ITRS a

spojen s euroasijskou kontinentální deskou, takže roční časové změny jsou max.

v řádu milimetrů. Referenční rámec ETRF-89 je realizován technologiemi SLR a

VLBI. Systém ETRS-89 není zastaralý systém, ale z praktických důvodů nemá

konstantní polohu souřadnicových os (souřadnicové osy se natáčejí dle pohybu

euroasijské kontinentální desky). Novější měření mohou být transformována do

ETRS-89.

Systém ITRS používá elipsoidu GRS-80 (Geodetic Reference System 1980). Ten je

svými parametry velice podobný elipsoidu WGS-84, proto je možno tyto elipsoidy při

výpočtech zaměnit [21]. Od roku 1994 je systém WGS-84 ztotožněn se systémem

ITRS [32]. Přesnost statických bodů je tedy nezávislá na tom, zda se použije systém

ETRS-89 nebo WGS-84. To však platí jen do určité přesnosti, ve skutečnosti se

souřadnice ve WGS-84 a ETRS-89 v roce 2005 lišila až o 0,3 m [4]. Při přesných

výpočtech je proto nutné provést i transformaci mezi systémy WGS-84 a ETRS-89

v patřičné epoše (viz. kapitola 7).

Porovnání obou elipsoidů (WGS-84 a GRS-80) a přehled dalších používaných

elipsoidů s jejich hodnotami uvádí Tabulka 1.

Tabulka 1 – některé používané elipsoidy

Elipsoid: Používané soustavy:

Parametry elipsoidu:

a – velká poloosa [m]: b- vedlejší poloosa [m]: f-1 – 1/zploštění: WGS-84 UTM 6378137,0 6356752,31425 298,257223563

GRS-80 ITRF, ETRS 6378137,0 6356752,31414 298,257222101

Hayfordův 1909 Mezinárodní mapy

6378137,0 6356911,94613 297,0

Besselův 1841 S-JTSK 6377397,15508 6356078,96290 299,152812853

Krakovského 1940

S-42 6378245,0 6356863,01877 298,3

Aktualizace údajů bodových sítí v systému ETRS-89 včetně rozvoje geodetických

základů ČR pomocí družic GNSS je prováděna pomocí permanentních stanic sítě

CZEPOS (Česká polohová síť). Jedná se o 26 stanic rozmístěných rovnoměrně na

celém území ČR [31].

23

4. S-JTSK

V České Republice se v současné době používají dvě základní zobrazení. Systém S-

JTSK určený pro civilní sféru a systém S-42 určený pro vojenské použití. Vojenské

mapy po vstupu do NATO přecházejí na zobrazení UTM (Universal Transverse

Mercator). V civilní oblasti se asi ještě nějakou dobu bude používat S-JTSK, případně

novější S-JTSK/95. Následující text, stejně jako následná transformace se věnuje

souřadnicovému systému S-JTSK.

Systém jednotné trigonometrické sítě katastrální (S-JTSK) vznikal mezi lety 1920-

1958. Po vzniku republiky v roce 1918 bylo třeba co nejdříve vytvořit samostatný

geodetický základ a vymyslet vhodnou kartografickou projekci. Již v roce 1919 byla

založena Triangulační kancelář (zřizovatel ministerstvo financí ČSR), jejímž

předsedou se stal Ing. Josef Křovák [5].

Josef Křovák navrhl zobrazení, které bylo vhodné pro potřeby ČSR a mělo vhodné

minimální deformace. Ve svém návrhu transformace zvolil konformní zobrazení

Besselova elipsoidu na zmenšenou kouli a následně konformní kuželové zobrazení

v obecné poloze.

Pól kužele Q má zeměpisné souřadnice jQ= 59°42'42,7'' s.š. a lQ= 42°31'31,4'' v.d. od

Ferra. Plášť kužele se dotýká referenční koule v horizontální kružnici S0, která

prochází bodem A (lA= 42°31'31,4'', jA= 48°12'42,7'') na území Podkarpatské Rusi.

Tato kružnice je ve výchozím bodě A kolmá na základní poledník (lA= 42°31'31,4''),

prochází středem území a její kartografická šířka je 78°30' [10] (viz. Obrázek 6).

Obrázek 6 – Křovákovo zobrazení [20]

24

Kartografické poledníky se v tomto zobrazení zpodobňují jako svazek paprsků

vybíhajících z vrcholu kužele. Kartografické rovnoběžky se zobrazují jako

soustředěné kružnice o poloměrech R. Rovinné souřadnice S-JTSK se zapisují (Y,

X)S-JTSK, osa X je orientovaná k jihu a osa Y na západ.

Tomuto zobrazení se často říká Křovákovo zobrazení po jeho tvůrci. V S-JTSK se

tohoto zobrazení používá dodnes. Obrázek tohoto zobrazení je v příloze A.2.

Práce na trigonometrické síti I. řádu byly ukončeny roku 1927 a všech 268

naměřených bodů bylo vyrovnáno. Při měření bylo rozhodnuto, že se převezmou

osnovy měřených směrů z rakouské vojenské triangulace (1862-1898). S touto

vojenskou sítí měla nově vznikající S-JTSK společných 107 bodů. Pomocí

Helmertovy transformace byla určena kvalita vojenské triangulace, z nichž jen 42

bodů v Čechách posloužilo pro určení rozměru, orientace a polohy S-JTSK na

Besselově elipsoidu (v Podkarpatské Rusi se jednalo o 22 bodů).

V následujícím období se síť zhušťovala body II. až V. řádu, kdy po každém zhuštění

bylo provedeno vyrovnání. Tak bylo nakonec naměřeno přes 47000 bodů, jejichž

průměrná vzdálenost je kolem 2 km.

Kvůli finančním i časovým důvodům se za celou dobu budování S-JTSK neprovedlo

žádné astronomické měření ani měření nových základen. Právě z těchto důvodů

vzniku byla poloha celé sítě špatně nakloněná, ohnutá a v jednotlivých bodech

nastaly různé odchylky.

Po první světové válce se započalo s budováním astronomicko-geodetické sítě

(AGS) na tehdejší dobu přesnými měřícími prostředky (viz. příloha A.3). Do roku

1955 bylo astronomicky zaměřeno 53 bodů a 6 základen. Nový systém označený S-

42 byl vyrovnán a body S-JTSK byly do něj postupně transformovány. S-42 používá

Krakovského elipsoid a Gaussovo zobrazení. Tento systém je přesnější a celkově

lépe orientován. Následně byl ještě poopraven na systém S-42/83.

Přehled nejdůležitějších souřadnicových systémů používaných v ČR uvádí tabulka 2

(podrobněji v [10], [16]).

25

Tabulka 2 – přehled souřadnicových systémů používaných v ČR

Systém souřadnic: Zkratka: Druh zobrazení: Přesnost zobrazení:

Souřadnicový systém Jednotné trigonometrické

sítě katastrální S-JTSK

Křovákovo dvojité konformní zobrazení (na

kouli a následně na kužel)

Technickými prostředky konce 19.století a přístroji 1.pol.

20.stol.

Souřadnicový systém 1942 S-42 Gaus-Kruegerovo

cylindrické zobrazení v transverzální poloze

Technickými prostředky poválečného období a

astronomickým měřením

Universal Transverse Mercator UTM Transverzní Mercatorovo

zobrazení

Stále se zdokonalující mřížkový systém pro celosvětové použití

určený prostředky GPS

European Terrestrial Reference System

ETRS-89

cylindrické zobrazení v transverzální poloze

Stále se zdokonalující systém definovaný pro evropský kontinent, určený VLBI

Po druhé světové válce byla snaha začlenit geodetické základy ČSR do soustavy

astronomicko-geodetické sítě SSSR. To se nejprve provedlo předběžnou

transformací bodů S-JTSK do nového systému S-52. Tento systém však nepřinášel

nic nového a měl stejné lokální deformace jako systém S-JTSK.

Koncem 90. let 20. stol. se začala v Evropě mohutně budovat celoevropská

referenční síť (EUREF), do které se ČR zapojila v roce 1991 kampaní EUREF-CS/H

91. Při této kampani bylo měřeno na 6 bodech a následně napojeno na evropskou

síť. Následovali kampaně CS-NULRAD-92 a DOPNUL, které vytvořili národní

referenční síť napojenou na EUREF. Pro body této sítě jsou tak určeny zpřesněné

souřadnice v S-JTSK i v ETRS-89. Tím bylo umožněno aplikovat měření GPS na

území ČR a následnou transformaci do S-JTSK. Přehled důležitých kampaní uvádí

Tabulka 3 (podrobněji např. v [5], [6], [19]).

26

Tabulka 3 – přehled důležitých kampaní tvořících geodetické základy

Kampaň: Realizace: Důvod: Lokalizace: Počet

měřených bodů:

Měření jednotné trigonometrické sítě

I. řádu 1920-1927

Tvorba geodetického systému pro nově vzniklé

Československo

Bývalé Československo 268 bodů

Měření jednotné trigonometrické sítě

II.-V. řádu 1928-1957 Zhušťování jednotné

trigonometrické sítě Bývalé

Československo přes 29000

bodů

Měření astronomicko-geodetické sítě

(AGS)

měření 1950-1955 Tvorba vojenské sítě S-

42

Bývalé Československo (a státy východního

bloku)

asi 40000 bodů

stabilizace 1956-1958

EUREF-CS/H-91 1991 První realizace ETRS-89 v ČR

Bývalé Československo 6 bodů

CS-NULRAD-92 1992 Vytvoření sítě nultého řádu ČR a SR 19 bodů

CS-BRD-93 1993

Spojení české a slovenské sítě

s obdobnou sítí v Německu

ČR, SR, Německo -

DOPNUL 1993-1994 Doplnění sítě nultého řádu ČR celkem 176

bodů

27

5. Helmertova transformace

Jak bylo stručně uvedeno v předchozí kapitole, Křovákovo zobrazení v S-JTSK má

lokální odchylky [21]. Z toho vyplývá, že neexistuje přesný matematický

transformační klíč pro celé území ČR. Lze najít přibližnou transformaci pomocí bodů,

pro které jsou známy souřadnice v ETRS-89 i S-JTSK. Pomocí těchto „upevněných“

bodů lze vytvořit transformační klíč, který bude aproximovat dané území. Po převodu

souřadnic za použití zjištěného klíče nastanou na pevných bodech odchylky. Je třeba

však mít na paměti, že v dané lokalitě nemusí být maximální odchylka rovná

nalezené odchylce na porovnávaných bodech. Z uvedených bodů můžeme najít

pouze hodnotu lokálního maxima.

Transformovat souřadnice lze několika způsoby. Mezi používanější patří

Moloděnského transformace, Helmerova transformace a transformace interpolační

mřížkou. Výběr vhodného typu transformace závisí na požadované přesnosti

vypočteného transformačního klíče.

Porovnání transformace Moloděnského a Helmertovy jednoznačně hovoří pro použití

Helmertovy transformace. Transformací interpolační mřížkou lze získat přesné

výsledky (uvedené např. v [12]), vykoupené ale vyšší technickou náročností. K volbě

Helmertovy transformace vede především možnost získání jednoznačného

transformačního klíče, který lze zjistit pro jakékoli souřadnicové systémy. Helmertova

transformace je nejpoužívanější transformací pro převod mezi systémy ETRS-89 a

S-JTSK. Běžně se používá v geodézii a dalších oborech. Touto transformací je navíc

určen nový zpřesněný systém S-JTSK/95, který odstraňuje lokální odchylky (viz

kapitola 10.3) a využívá jí většina produktů GIS.

5.1. Základní Helmertova metoda

Helmertova 7-prvková transformace je lineární konformní podobnostní transformace

s vyrovnáním koeficientů podle metody nejmenších čtverců.

Následující vztahy jsou podrobně popsány např. v [23], [24], [25] a [26].

Vztah dvou souřadnicových systémů lze popsat pomocí polohového vektoru r’.

Uvažujme dvě prostorové pravoúhlé pravotočivé soustavy (viz. Obrázek 7), kde

28

počátek vektoru r‘ je umístěn v počátku soustavy I. (ETRS-89) a konec v počátku

soustavy II. (S-JTSK).

Obrázek 7 – vztah polohy dvou elipsoidů [16]

Translační vektor jednoznačně určí posun počátku, označme tyto složky jako složky

translace

, , (5.1)

Natočení souřadnicových soustav v prostoru může být různé. Vzájemný vztah

natočení je vyjádřen maticí rotace R. Postupným otáčením os proti směru

hodinových ručiček při pohledu proti směru kladné osy nejprve o úhly , , dle

Obrázek 7 získáme tyto matice:

1 0 00 cos sin 0 sin cos

cos 0 sin 0 1 0

sin 0 cos

cos sin 0sin cos 00 0 1

(5.2)

Složky rotace vypočteme podle

, , (5.3)

Po roznásobení matic dostáváme

29

, , (5.4)

cos cos cos sin sinsin sin cos cos sin cos cos sin sin sin sin coscos sin cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos

V referenčních systémech používaných v geodézii jsou zpravidla úhly otočení velmi

malé (v řádu obloukových vteřin), proto lze goniometrické funkce linearizovat.

sin sin sin (5.5)

cos cos cos 1 (5.6)

Po dosazení do rovnice (5.4) dostáváme

, ,1

11

(5.7)

Položíme-li ještě 0, lze matici R upravit na

, ,1

11

(5.8)

Tento výsledný tvar již nezávisí na pořadí otáčení os souřadnic.

V geodetických aplikacích se v transformaci uplatňuje změna měřítka. Pokud je

v každé ose jiná, jedná se o afinní transformaci. V tomto případě lze počítat

s měřítkem, které je ve všech osách stejné (konformní transformace). Změna měřítka

se označuje

1 (5.9)

Pokud je r vektor souřadnic bodů v souřadnicovém systému I. (ETRS-89),

′′′

(5.10)

můžeme psát výsledný vztah pro polohový vektor lineární konformní podobnostní

prostorové transformace.

30

· ·1

11

11

11

(5.11)

Z rovnice (5.11) je patrné, že pro převod souřadnic mezi dvěma soustavami

potřebujeme znát 7 parametrů.

• translační složky os x, y, z (pro zjištění vektoru posunu počátku)

• rotační složky os ωx, ωy, ωz, (pro zjištění pootočení jednotlivých os)

• poměr měřítek

Parametry transformace mezi ETRS-89 a S-JTSK lze snadno najít v některé

literatuře (např. [21]). Většinou se jedná o globální transformační klíče počítané

z bodů kampaně DOPNUL, platné pro celou ČR. Jelikož S-JTSK vykazuje lokální

transformace, lze tyto klíče použít jen do určité přesnosti.

Pokud je požadována maximální přesnost transformace, lze pomocí identických bodů

určit lokální transformační parametry. Identické body by měli být rovnoměrně

rozprostřeny kolem zkoumané lokality, aby nedocházelo k extrapolaci dat, což

negativně ovlivňuje výsledek pokusu. Uvnitř území by měli být body rovněž

rozprostřeny rovnoměrně tak, aby se postihly všechny směrové deformace.

5.2. Výpočet lokálního transformačního klíče

Jelikož se jedná se o transformaci s nadbytečným počtem identických bodů, je nutné

zvolit kritérium minimalizace charakteristiky chyby. Obvykle se používá minimalizace

efektivní hodnoty chyby nebo minimalizace maximální radiální chyby.

Při volbě vhodné charakteristiky chyby byly uvažovány výsledky aplikace globální

transformace. Při vyhodnocování přesnosti globální transformace byla použita

minimalizace maximální radiální chyby, dle doporučení v [21]. Tato metoda má však

vyšší statistické odchylky, proto byla pro výpočet lokálního klíče zvolena metoda

nejmenších čtverců (MNČ - minimalizace efektivní hodnoty chyby).

Výpočet transformačního klíče vychází ze vztahu (5.11). Po aplikaci transformačního

klíče, získaného pomocí MNČ, na identické body se hodnoty souřadnic v systému II.

(S-JTSK) budou lišit od původních hodnot.

31

Platí tak rovnice oprav:

°°°

(5.12)

° - souřadnice S-JTSK získané transformací

– známé souřadnice v systému S-JTSK

Dosazením rovnice oprav (5.12) do (5.11) získáváme

11

1 (5.13)

Tento vztah lze snadno vyjádřit rovnicemi

(5.14)

Protože se v rovnicích (5.14) vyskytují násobky hledaných hodnot, je nutné zavést

substituci

(5.15)

Rovnice (5.14) lze pak upravit na tvar

(5.16)

Pro vyjádření transformačního klíče je nutné převést soustavu na

3 , 1 3 , 7 7,1 3 , 1 (5.17)

kde 3 (pro prostorovou transformaci) a platí

32

3 , 1 (5.18)

7,1 (5.19)

3 , 1 (5.20)

Matice A tak vyplyne z rovnice (5.17), resp. (5.16):

3 , 7

1 0 0 01 0 0 0

1 0 0 00 1 0 00 1 0 0

0 1 0 00 0 1 00 0 1 0

0 0 1 0

(5.21)

Výsledný vztah lze vyjádřit jako

33

1 0 0 01 0 0 0

1 0 0 00 1 0 00 1 0 0

0 1 0 00 0 1 00 0 1 0

0 0 1 0

(5.22)

Na rovnici (5.22) lze nyní snadno aplikovat metodu nejmenších čtverců.

5.3. Metoda nejmenších čtverců

Tato často používaná metoda je vhodná pro lineární transformace. Je všeobecně

známo, že požadavkem MNČ je, aby

∑ . (5.23)

Chceme tedy, aby byli minimální i jednotlivé složky vektoru (např. . . ,

jedná se tedy o minimalizaci skalárního součinu. Platí . a stejně i pro

složky a .

Transpozicí rovnice (3.17) dostáváme:

(5.24)

Pro minimum skalárního součinu platí:

. (5.25)

Lokální extrém lze najít položením první derivace rovno nule.

2 2 0 (5.26)

Vyjde soustava normálních rovnic, které mají tvar:

0 (5.27)

Vyjádřením vektoru h (transformační klíč) dostáváme výsledný vztah

34

(5.28)

Pro zjištění transformačního klíče lze postupovat takto:

1. souřadnice identických bodů vyjádříme v souřadnicích x’, y’, z’ systému I.

(ETRS-89) a x ,y, z systému II. (S-JTSK)

2. hodnoty souřadnic dosadíme do (5.22)

3. vypočítáme transformační klíč dle (5.28)

Pro výpočet klíče bylo použito prostředí Matlab. Při výpočtu inverze složitějších matic

však dochází ke ztrátě přesnosti. Prostředí MATLAB, přestože je vytvořeno pro

operace s maticemi, může hlásit takovouto chybu:

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.

Results may be inaccurate.

V horším případě pak Warning: Matrix is singular to working precision.

Částečně lze tento numerický problém vyřešit zvýšením přesnosti ze standardního

short (4 desetinná místa) na long (14 desetinných míst) příkazem format long.

Obecně však problém zůstává a je ho třeba řešit obejitím výpočtu inverzní matice.

Řešením normálních rovnic je vyrovnaný transformační klíč, který souřadnicové

systémy I. a II. neztotožní v žádném z identických bodů, ale splňuje podmínku

minimální efektivní hodnoty na všech identických bodech. To způsobí, že oba

souřadnicové systémy se ztotožní v těžišti identických bodů, a kolem tohoto bodu se

natočí tak, že je splněna podmínka .

Tato skutečnost přivádí na upravené řešení Helmertovy transformace, které obchází

výpočet inverzní matice. Výpočet modifikovaného řešení spočívá v redukci souřadnic

k těžišti [24].

5.4. Redukce souřadnic k těžišti

Nejprve je nutné zjistit souřadnice těžiště identických bodů v systému ETRS-89

, ,∑

,∑

,∑

(5.29)

35

A následně zavést redukované souřadnice k těžišti identických bodů v systému

ETRS-89 , , .

′ , ′ , ′ , , (5.30)

′ ′ ′ ′ ′ ′

Kontrolu redukovaných souřadnic lze provést podle

∑ ∑ ∑ 0 (5.31)

Původní souřadnice nahradíme v matici A souřadnicemi redukovanými. Sestavíme

opět rovnici (3.17). Vzhledem k zavedení redukovaných souřadnic přejde matice

normálních rovnic na diagonální tvar. Inverzní matici pak jednoduše zjistíme dle

0

0

0

0 (5.32)

A dále řešíme dle metody nejmenších čtverců popsané v kapitole 5.3.

Při dosazení konkrétních hodnot lze vidět, že hledané hodnoty jsou souřadnice

těžiště soustavy v systému II. (S-JTSK). Tím se potvrzuje, že se oba souřadnicové

systémy ztotožní v těžišti. Výpočtem těžiště v systému II. a porovnáním

s vypočtenými hodnotami translace lze snadno ověřit správnost výpočtu.

Na závěr výpočtu transformačního klíče se obvykle provádí výpočet míry ztotožnění

obou systému pomocí středních rozdílů , a .

∑

∑

∑

(5.33)

36

6. Převod souřadnic mezi systémy ETRS-89 a S-JTSK

Pokud je znám transformační klíč, lze přistoupit k samotnému převodu souřadnic ze

systému ETRS-89 do systému S-JTSK. Postup převodu je uveden na následujícím

schématu.

, , , , , , , , ,

Celý postup se skládá ze čtyř postupných převodů souřadnic, které jsou uvedeny

v kapitolách 6.1 až 6.4 [3], [13], [16], [21], [29].

6.1. Přepočet geodetických souřadnic ETRS-89 do pravoúhlých

, , , ,

Jednoduchým dosazením do (2.1) až (2.3) lze vyjádřit pravoúhlé prostorové

souřadnice.

6.2. Sedmiprvková transformace souřadnic

, , , ,

Použijeme vztah (5.11).

Pro zjištění lokálního klíče je nutné souřadnice S-JTSK taktéž vyjádřit v pravoúhlých

prostorových souřadnicích. Jedná se o inverzní postup postupu

, , ,

popsaného v kapitole 6.4 a následného použití vztahu (2.1).

6.3. Převod pravoúhlých souřadnic S-JTSK do geodetických

, , , ,

Pokud označíme p vzdálenost bodu od počátku promítnutou do roviny geodetického

rovníku, platí

(6.1)

Z toho plynou vztahy

cos sin , (6.2)

37

dostáváme

tan (6.3)

Pro geodetickou délku platí

2 arctan (6.4)

a pro výšku a šířku platí

cos (6.5)

1 sin (6.6)

Eliminací výšky z (2.1) dostáváme rovnici pro zeměpisnou šířku

tan (6.7)

Tuto rovnici lze řešit například prostou iterací. Platí

1,2, … , (6.8)

při počáteční hodnotě

, (6.9)

což odpovídá řešení pro nulovou elipsoidickou výšku.

Poté určíme geodetickou šířku

arctan (6.10)

a elipsoidickou výšku.

√1 (6.11)

38

6.4. Převod geodetických souřadnic S-JTSK do rovinných

, , ,

Postup převodu do rovinných souřadnic Křovákova zobrazení je uveden na

následujícím schématu:

, , Š, , ,

, – geodetické souřadnice na Besselově elipsoidu

, – sférické souřadnice na referenční kouli

Š, - kartografické souřadnice na referenční kouli s posunutým pólem Q

, - polární souřadnice na kuželu s vrcholem Q

, - pravoúhle rovinné souřadnice S-JTSK

6.4.1. Konformní Gaussovo zobrazení Besselova elipsoidu na referenční

kouli

, ,

Sférická šířka U je dána vztahem

tan tan , (6.12)

z kterého lze získat

2 arctan k tan (6.13)

Pro sférickou délku V platí

(6.14)

Konstanty α a k jsou určeny zvolenou střední zeměpisnou šířkou

49°30′ (6.15)

1 cos 1,000597498371542 , (6.16)

39

tomu odpovídá střední kulová šířka

arcsin 49°2′35.84625′′ (6.17)

tan tan 1,003419163966575 (6.18)

6.4.2. Transformace souřadnic na Gaussově kouli s posunutým pólem

, Š,

Souřadnice posunutého pólu Q jsou

48°15′ 42°30′ (6.19)

Kartografická šířka Š

sin Š sin sin cos cos cosΔ (6.20)

a kartografická délka D

sin ∆Š

, (6.21)

kde je sférická šířka pólu Q posunutá o 11°30′

2 arctan k tan , 59°42 42.69689 (6.22)

a ∆ je rozdíl mezi poledníkem Q a poledníkem transformovaného bodu

42°31′31.41725 (6.23)

∆ (6.24)

6.4.3. Konformní kuželové zobrazení s tečným kuželem k základní

rovnoběžce a vrcholem kužele Q

Š, ,

Souřadnice šířky základní nezkreslené rovnoběžky je

78°30′ , (6.25)

z toho lze vypočítat polární souřadnice pomocí

40

Š (6.26)

(6.27)

sin 0,97992470462083 (6.28)

Délkové zkreslení by v tomto případě bylo nulové jen na této základní rovnoběžce.

Na okrajích pásu vzniká zkreslení až m = 1,0002. Proto se zavádí multiplikační

konstanta k.

Poloměr referenční koule je kvůli redukci délkového zkreslení zmenšen v poměru k =

0,9999.

0,9999 cot 0,9999 1298039,004638987 (6.29)

Tím se vytvoří kužel mírně sečný, který má nezkreslené 2 rovnoběžky. Vliv

délkového zkreslení je asi | 1| 10; 14 / .

6.4.4. Převod polárních souřadnic na pravoúhlé

, ,

Souřadnice S-JTSK lze snadno získat použitím známých vztahů

sin cos (6.30)

41

7. Převod souřadnic mezi systémy WGS-84 a ETRS-89

Definice souřadnicových systémů WGS-84 a ETRS-89 je popsána v kapitole 3. Při

transformacích s metrovou přesností lze oba systémy zaměnit, při snaze o dosáhnutí

maximální přesnosti je však nutné provést transformaci i mezi těmito systémy. Podle

[32] je systém WGS-84 (G8735) totožný s ITRS-2000 s centimetrovou přesností.

Mezi oběma systémy neexistuje přesný transformační klíč, proto se pro drtivou

většinu aplikací uvažuje jejich totožnost. Obecně platí, že systémy ITRS-YY jsou

přesnější než WGS-84.

Systém ETRS-89 vznikl ze systému ITRS-89 zakonzervováním souřadnic

Evropských stanic, souřadnice se proto pohybují s celým Evropským kontinentem a

jejich posun na území ČR je zcela zanedbatelný. ETRS-89 se však pohybuje vůči

ITRS a tedy i WGS-84, přibližně se jedná o posun 2,7 cm SV. Při transformaci

souřadnic je proto nutné kromě transformace mezi jednotlivými systémy zohledňovat

i posun souřadnic v čase (tzv. epocha). Při obecném převodu mezi systémy i

epochami je nutné aplikovat následující tři kroky [37].

a) převést všechny souřadnice stanic do ITRS-YY v epoše tc pomocí:

(7.1)

kde tc je aktuální epocha (např. 2007) a t0 epocha ze které je nutné souřadnice stanic

převést (např. 1989). je rychlost posunu souřadnic, pro kterou platí:

0 3 23 0 12 1 0

. (7.2)

Kde proměnné 1, 2 a 3 jsou rychlosti rotace souřadnicového systému v jednotlivých

osách.

Pro převod souřadnic např. v systému ITRF-2005 mezi epochami t0 a tc proto platí:

0 3 23 0 12 1 0

. (7.3)

5 Znamená epochu systému WGS-84, tj. 873 týden ke standardní epoše GPS (6.1.1980), což odpovídá 29.9.1996 a je počítáno již do epochy 1997.0 [32].

42

b) provést transformace mezi souřadnicovými systémy ITRS-YY a ETRS-89

v aktuální epoše podle:

0 3 23 0 12 1 0

. 1989.0 (7.4)

kde jsou rychlosti rotace souřadnicového systému (tj. posun do roku 1989) a T je

posun souřadnic (tj. převod mezi ETRS-89 a ITRS-YY).

c) převést souřadnice ETRS-89 do epochy 1989:

89 . 1989.0 , (7.5)

kde pro stabilní části lze považovat 0.

Pro převod ze systému WGS-84 v epoše 2007 (tj. ITRS-2005 epocha 2007) do

systému ETRS-89 v epoše 1989 stačí provést:

0 3 23 0 12 1 0

. . 2007 1989.0

(7.6)

S parametry v Tabulka 4 [37].

Tabulka 4 – transformační koeficienty pro převod ITRF-2005 do ETRS-1989

T1 T2 T3 R1 R2 R3

5,6 cm 4,8 cm -3,7 cm 0,054 mas/rok 0,518 mas/rok -0,781 mas/rok

Hodnota mas/rok uvádí rychlost rotace souřadnicového systému ITRF-YY v tisícin

sekundách/rok. Pro potřeby transformace je nutné tuto hodnotu převést na radiány

za rok podle:

/ / , (7.7)

Jelikož jsou hodnoty získané měřením Škoda Auto a.s. všechny ve stejné epoše,

není nutné provádět krok a). V kroku c) se provádí převod do epochy 1989 pomocí

rychlosti souřadnic stanic. Pohyby souřadnic v rámci ČR v ETRS-89 jsou velmi malé,

a proto je možné tento krok vynechat. Získané souřadnice lze proto uplatnit pro

převod z ETRS-89 do S-JTSK v epoše 1989 (to odpovídá bodům kampaně

DOPNUL, z kterých jsou sestaveny transformační klíče).

43

8. Globální transformace

Pro převod mezi prostorovými pravoúhlými soustavami ETRS-89 a S-JTSK byla na

základě uvedené literatury vybrána Helmertova prostorová transformace blíže

popsaná v kapitole 5.

Pro výpočet transformačního klíče je nutné znát pevné body v obou systémech. Za

použití vhodného kritéria přesnosti (jedná se o transformaci s nadbytečným počtem

bodů) lze zjistit parametry prostorové transformace.

Globální transformací je myšlena transformace za použití transformačního klíče

platného pro celé území České Republiky. Pro určení globálního klíče je proto nutné

najít takové pevné body, které zahrnují celý prostor ČR. Jedinými takovými body jsou

body kampaně DOPNUL (viz. kapitola 4). Ze 175 bodů kampaně DOPNUL, za

použití kritéria minimalizace maximální chyby, byl převzat globální transformační klíč

uvedený v [21]. Rozmístění bodů kampaně DOPNUL je uvedeno v příloze A.4.

Zjištěný globální transformační klíč má tyto parametry:

Tabulka 5 – globální transformační klíč

Hodnoty globální transformace:

m [10-6m]: x0 [m]: y0 [m]: z0 [m]: ωx [´´]: ωy [´´]: ωz [´´]:

-3,543 -570,69 -85,69 -462,84 4,99821 1,58676 5,2611

Zjišťovat přesnost transformace lze na bodech, pro které lze srovnat hodnoty

souřadnic po transformaci s hodnotami měřenými. Těmito body jsou opět pouze body

kampaně DOPNUL. Odchylka jednotlivých bodů se liší v různých částech republiky,

proto bylo vybráno 14 bodů, které pokrývají rozsah území, kde se uskutečňuje

výzkum polohy vozidla Škoda Auto a.s.. Zjištěním odchylky na těchto bodech (4

uvnitř měřeného okruhu a 10 vně) lze přibližně zjistit odchylku na měřeném území.

Obrázek 8 ukazuje měřený okruh (označen červeně) a použité body DOPNUL

(označené modře).

44

Obrázek 8 – měřený okruh a použité body kampaně DOPNUL

Údaje o použitých bodech lze najít např. v [4]. Hodnoty bodů DOPNUL jsou přesně

zaměřeny v geodetických souřadnicích systému ETRS-89 a v rovinných souřadnicích

systému S-JTSK. V následujících vyhodnoceních přesnosti transformace jsou

hodnoty uvedené v Tabulka 6 brány jako nejpřesnější.

45

Tabulka 6 – vybrané pevné body kampaně DOPNUL

Číslo TL :

Číslo TB: Název bodu:

Souřadnice ETRS-89 Souřadnice S-JTSK

B (geodetická šířka - North):

L (geodetická délka - East):

Helips (elipsoidická výška) [m]:

Y [m]: X [m]:

H (nadmořská výška Bpv)

[m]: 825 32 V Lipinech 50°32´13,0377 14°59´18,6027 289,96 696136,19 998814,30 246,22

1401 15 U vodojemu 50°28´44,7218 14°53´46,0298 337,66 703467,17 1004348,96 293,79

1401 23 Vrše 50°27´36,4199 14°51´47,1890 340,72 706065,68 1006136,15 296,78

1402 2 U Houžvičkovy hrušky

50°25´13,0293 14°52´39,5963 313,14 705617,93 1010663,69 269,15

1402 12 Na příčkách 50°23´15,4709 14°53´41,7316 267,59 704874,08 1014424,78 223,58

1516 25 Za Dobšinem 50°28´41,6705 15°06´40,5540 362,10 688335,06 1006406,19 318,28

1517 3 V končinách 50°25´45,5418 15°07´39,0669 299,75 687881,70 1011950,91 255,89

1521 9 Nad Holou 50°29´54,9360 14°57´09,0733 272,08 699217,23 1002716,60 228,28

1521 26 Vrchy 50°29´00,9479 15°01´35,2908 286,73 694228,19 1005046,73 242,90

1521 33 Na vaze 50°27´37,9687 14°57´59,1073 284,89 698785,81 1007040,75 241,03

1521 41 Na kopci 50°27´08,7243 15°03´22,8972 288,91 692567,78 1008757,49 245,05

1522 1 Na království 50°25´42,4798 14°57´59,6444 276,81 699235,89 1010580,69 232,90

1522 17 U rybníka 50°24´12,9101 15°03´49,0080 281,06 692751,25 1014211,23 237,16

1522 20 U Zádušky 50°23´05,7832 15°00´15,5742 359,57 697198,00 1015727,75 315,63

Vyhodnocení globální transformace i lokální transformace bylo prováděno

následujícím způsobem:

i. Porovnání rovinných odchylek na vybraných pevných bodech

ii. Porovnání odchylek ve výšce na vybraných pevných bodech

iii. Porovnání relativních vzdálenostních odchylek na vybraných pevných bodech

(v S-JTSK)

iv. Porovnání relativních vzdálenostních odchylek na vybraných bodech na trati

(výchozí vzdálenost určena ve WGS-84)

v. Porovnání vzdálenostních odchylek na vybraných bodech na trati od vybraného

pevného bodu (výchozí vzdálenost určena ve WGS-84)

Za účelem výpočtu transformace většího množství bodů více transformačními klíči

byl vytvořen pomocí vzorců uvedených v kapitolách 5, 6 a 7 jednoduchý konzolový

program v jazyce C spustitelný z příkazového řádku. Vstupem programu je textový

46

soubor s hodnotami bodů v geodetických souřadnicích systému WGS-84 nebo

ETRS-89 a výstupem textový soubor s hodnotami vypočtených souřadnic S-JTSK

včetně všech mezikroků. Zdrojový kód programu a stručný popis jeho funkcí je

uveden v příloze C.1.

Následuje stručný úvod k použitým metodám vyhodnocení transformace:



Výsledky globální transformace jsou uvedeny v Tabulka 7. Úplné statistické

vyhodnocení je popsáno v kapitole 10.

Tabulka 7 – rovinné a výškové souřadnice S-JTSK po globální transformaci

Souřadnice S-JTSK po globální transformaci

Odchylky souřadnic S-JTSK po globální transformaci

Y [m]: X [m]:


[m]:

∆Y [m]: ∆X [m]:

∆H (nadmořská výška Bpv)

[m]:

celková odchylka v rovině [m]:

696136,34 998814,44 245,904 0,15 0,14 0,32 0,205

703467,32 1004349,06 293,455 0,15 0,10 0,34 0,180

706065,77 1006136,29 296,465 0,09 0,14 0,31 0,166

705618,05 1010663,78 268,838 0,12 0,09 0,31 0,150

704874,24 1014424,87 223,253 0,16 0,09 0,33 0,184

688335,29 1006406,32 318,047 0,23 0,13 0,23 0,264

687881,88 1011951,02 255,639 0,18 0,11 0,25 0,211

699217,38 1002716,74 227,943 0,15 0,14 0,34 0,205

694228,39 1005046,80 242,624 0,20 0,07 0,28 0,212

698785,87 1007040,81 240,708 0,06 0,06 0,32 0,085

692567,95 1008757,62 244,781 0,17 0,13 0,27 0,214

699236,01 1010580,73 232,582 0,12 0,04 0,32 0,126

692751,36 1014211,29 236,866 0,11 0,06 0,29 0,125

697198,09 1015727,80 315,307 0,09 0,05 0,32 0,103


Bylo porovnáváno 91 vzdáleností (každý bod s každým). Nejprve byly zjištěny

vzdálenosti bodů s původními souřadnicemi a následně se souřadnicemi po

globální transformaci. Výsledky byly porovnávány bez započítání nadmořské

47

výšky a se započítáním vlivu nadmořské výšky. Tabulka s výsledky je v příloze

B.1.



Ze souboru „vysledky_zmax_20070619151839_okruh2_gsm_02.xls“ obdrženého od

Škoda Auto a.s. bylo vybráno 24 bodů přímo na okruhu. Tyto body jsou rovnoměrně

rozprostřeny na okruhu, aby jejich vyhodnocování bylo co nejpřesnější. Na těchto

bodech byly vyhodnocovány relativní vzdálenostní odchylky (není vybrán pevný bod).

Hodnoty vybraných nepevných bodů jsou v Tabulka 8 a jejich poloha vůči bodům

DOPNUL je graficky vyjádřena na Obrázek 9.

Tabulka 8 – 24 vybraných nepevných bodů na měřeném okruhu

Vybrané body na okruhu pro vyhodnocení přesnosti transformace (24 bodů) Čas

měření UTC [s]:

ID bodu: Počet satelitů

v době měření:

Zeměpisná šířka (N):

Zeměpisná délka (E):

Elipsoidická výška H [m]:

1274547 1 4 50,50436258 15,02263487 334,045 1346953 2 5 50,49445602 15,03369240 312,685 1443547 3 5 50,48570310 15,04300722 296,630 1743547 4 7 50,47275338 15,06561968 301,254 2041750 5 7 50,46546015 15,08693873 335,799 2138750 6 7 50,46205750 15,10525228 354,652 2237141 7 4 50,45269057 15,08573168 327,010 2339141 8 7 50,44349830 15,06401615 292,154 2438547 9 5 50,43307817 15,04413788 283,298 2536938 10 7 50,42554097 15,02677667 279,249 2640938 11 5 50,41709275 15,00508575 277,822 2736141 12 6 50,41091512 14,99057677 274,383 2843344 13 6 50,41052847 14,97402552 272,408 2938547 14 5 50,40883305 14,95386990 271,825 3222750 15 6 50,41128990 14,93982087 263,827 3291735 16 7 50,42240657 14,94289635 271,146 3369750 17 7 50,43653508 14,94332892 282,107 3444438 18 6 50,44817383 14,93894360 307,590 3523641 19 7 50,46061648 14,93657185 295,741 3595047 20 5 50,46826238 14,94681708 285,599 3669750 21 8 50,47945338 14,96289912 286,895 3733344 22 6 50,48988022 14,97156913 289,432 3826031 23 6 50,50381070 14,97780420 297,321 3969750 24 4 50,51306043 14,99615143 297,556

48

Obrázek 9 – poloha vybraných bodů na okruhu

Měření vzájemných vzdáleností bylo uskutečněno pro všechny možnosti (tj. každý

s každým), celkem 276 vzdáleností. Byla sledována především změna vzdálenostní

odchylky v závislosti na různých parametrech (vzdálenost bodů, kvalita transformace,

velikost výšky, atd.). Vyhodnocení je uvedeno v příloze B.2.



V těchto výpočtech byl vybrán jako pevný bod DOPNUL č.33 (viz. Obrázek 9), který

leží uvnitř okruhu a vybraných 24 bodů je kolem něj rozprostřeno v bezprostřední

blízkosti i v dostatečné vzdálenosti. To je výhodné pro znázornění velikosti odchylky

v závislosti na vzdálenosti měřeného bodu. Vyhodnocení tohoto bodu je v příloze

B.3.

49

9. Lokální transformace

Výpočet lokální transformace je celkem podrobně popsán v kapitole 5.2. Na základě

poznatků v uvedené kapitole byl vypočítán lokální transformační klíč platný pro území

vymezené na Obrázek 8. Výpočet byl prováděn pomocí 14 bodů kampaně DOPNUL

uvedených v Tabulka 6 za použití metody nejmenších čtverců (viz. kapitola 5.3).

Pro výpočet lokálního transformačního klíče byl vytvořen program v jazyce C, který

dokáže provést globální i lokální transformaci, zpětnou transformaci Křovákova

zobrazení i výpočet samotného lokálního transformačního klíče.

Za použití uvedeného programu byly zjištěny pravoúhlé prostorové souřadnice

v systému ETRS-89 a S-JTSK pro 14 pevných bodů DOPNUL. Lokální transformační

klíč byl z prostorových souřadnic vypočten požitím vzorce (5.22). Výpočet byl

prováděn pomocí programu MATLAB. Pro obejití výpočtu inverzní matice bylo rovněž

použito metody redukce souřadnic k těžišti uvedené v kapitole 5.4.

Souřadnice těžiště množiny identických bodů v obou systémech jsou shrnuty

v Tabulka 9.

Tabulka 9 – těžiště množiny identických bodu v systému I. i systému II.

Těžiště 14 identických bodů v systému I (ETRS-89) Těžiště 14 identických bodů v systému II (S-JTSK)

x't [m]: y't [m]: z't [m]: xt [m]: yt [m]: zt [m]:

3931160,79900 1052276,49200 4895065,40700 3930565,43140 1052205,57201 4894590,27249

Dle kontroly uvedené v (5.31) je patrné, že se systémy ztotožnily v těžišti a ověřila se

tak správnost výpočtu.

Výpočet transformačního klíče přes přímý výpočet inverzní matice poskytuje přesný

klíč. Kódy použité pro výpočet v MATLABu jsou uvedeny v přílohách C.3 a C.4.

Zpětným dosazením , , , do rovnic substituce (5.15) a (5.9) lze zjistit hodnoty

, , , . Tím je vypočten lokální transformační klíč (viz. Tabulka 10).

50

Tabulka 10 – lokální transformační klíč

Hodnoty lokální transformace:

x0 [m]: y0 [m] : z0 [m]: -

578,828639686107 -116,722220838069 -483,681244164705

m [10-6]: ωx [´´]: ωy [´´]: ωz [´´]:

0,6173953999156 5,75806287086999 1,8311718428793400 4,80080398657140

Vyhodnocení lokální transformace bylo prováděno stejným způsobem, který je

uveden pro globální transformaci (viz. kapitola 8). Vyhodnocení transformace podle

bodů iii., iv. a v. jsou uvedeny v přílohách B.4, B.5 a B.6.

Výsledky lokální transformace na pevných bodech jsou v Tabulka 11.

Tabulka 11 - rovinné a výškové souřadnice S-JTSK po lokální transformaci

Souřadnice S-JTSK po lokální transformaci

Odchylky souřadnic S-JTSK po lokální transformaci

Y [m]: X [m]:


[m]:

∆Y [m]: ∆X [m]:

∆H (nadmořská výška Bpv)

[m]:

celková odchylka v rovině [m]:

696136,18 998814,31 246,204 0,14 0,32 696136,13 0,346

703467,20 1004348,94 293,785 0,10 0,34 703467,14 0,350

706065,66 1006136,18 296,805 0,14 0,31 706065,60 0,345

705617,94 1010663,69 269,175 0,09 0,31 705617,90 0,325

704874,14 1014424,79 223,585 0,09 0,33 704874,06 0,339

688335,11 1006406,22 318,310 0,13 0,23 688335,03 0,267

687881,70 1011950,94 255,898 0,11 0,25 687881,67 0,274

699217,24 1002716,61 228,255 0,14 0,34 699217,17 0,365

694228,23 1005046,69 242,913 0,07 0,28 694228,18 0,285

698785,74 1007040,71 241,016 0,06 0,32 698785,79 0,328

692567,78 1008757,53 245,061 0,13 0,27 692567,74 0,299

699235,88 1010580,65 232,891 0,04 0,32 699235,88 0,321

692751,21 1014211,22 237,145 0,06 0,29 692751,23 0,300

697197,95 1015727,74 315,605 0,05 0,32 697197,99 0,327

51

10. Porovnání přesnosti použitých transformací

10.1. Vyhodnocení globální a lokální transformace

Základním krokem po provedení transformace je určení míry ztotožnění prostorových

souřadnic systému I. (ETRS-89) a systému II. (S-JTSK) dle (5.33). To je uvedené

v následující Tabulka 12.

Tabulka 12 – míra ztotožnění soustav

* (hodnoty uváděny v metrech) *

Míra ztotožnění souřadnic x, y, z v S-JTSK

mx: my: mz: mv(xyz): Hodnoty původních

souřadnic: 3930567,309375 1052220,851456 4894591,186004 6365025,606537

Hodnoty souřadnic po globální transformaci: 3930567,241993 1052220,700348 4894590,880352 6365025,304907

Rozdíl hodnot souřadnic: 0,067382 0,151108 0,305652 0,301631

Hodnoty souřadnic po lokální transformaci: 3930567,309903 1052220,851691 4894591,186290 6365025,607122

Rozdíl hodnot souřadnic: -0,000528 -0,000235 -0,000286 -0,000585 Zlepšení výsledku lokální

transformace (v % výsledku globální

transformace):

99,22 99,84 99,91 99,81


Míra ztotožnění souřadnic Y, X, h v S-JTSK mY: mX: mh: mv(YXh):

Hodnoty původních souřadnic: 697621,486947 1008355,678856 262,351116 1226155,366566

Hodnoty souřadnic po globální transformaci: 697621,628174 1008355,775186 262,052062 1226155,526073

Rozdíl hodnot souřadnic: -0,141228 -0,096330 0,299054 -0,159507

Hodnoty souřadnic po lokální transformaci: 697621,486954 1008355,678852 262,352391 1226155,366568

Rozdíl hodnot souřadnic: -0,000007 0,000003 -0,001275 -0,000002 Zlepšení výsledku lokální


transformace):

99,99 100,00 99,57 100,00

Z výsledků míry ztotožnění soustav je jasně patrné, jak výrazně je lokální

transformace přesnější. Zlepšení se ve všech souřadnicích blíží maximální možné

hodnotě. Jedná se však o zlepšení průměrné hodnoty souřadnic, v jednotlivých

bodech se odchylky mohou lišit.

52


Nejdůležitějším parametrem pro určení přesnosti souřadnic v S-JTSK jsou odchylky

na pevných bodech. Vyhodnocením tabulek Tabulka 7 a Tabulka 11 byly získány tyto

výsledky:

Tabulka 13 – vyhodnocení rovinných odchylek na pevných bodech


Popisná statistika rovinné odchylky na

pevných bodech (globální

transformace):

Popisná statistika rovinné odchylky na

pevných bodech (lokální

transformace):

Zlepšení výsledků lokální transformace

(v % výsledku globální

transformace): Průměr: 0,1737 0,0407 76,55

Chyba průměru: 0,0134 0,0053 60,31

Medián (střední hodnota): 0,1819 0,0406 77,67

Směrodatná odchylka: 0,0503 0,0200 60,31

Rozptyl výběru: 0,0025 0,0004 84,24

Minimum: 0,0849 0,0100 88,21

Maximum: 0,2642 0,0806 69,48

Počet bodů: 14 14

Hladina spolehlivosti (95,0%): 0,0290 0,0115

Lokální transformace je výrazně přesnější ve všech zjišťovaných parametrech.

Hodnota maximální odchylky je oproti ostatním „pouze“ 69,5%, což je způsobeno

především použitým kritériem přesnosti při výpočtu globálního klíče (kritérium

minimální maximální chyby). Směrodatná odchylka se z původních 5 cm platných pro

globální transformaci snížila pod 2 cm. Kvalita lokálního transformačního klíče je

vidět na Obrázek 10.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 ‐ 0,03 0,031 ‐ 0,05 0,051 ‐ 0,08 0,081 ‐ 0,1 0,11‐ 0,2 0,21 ‐ 0,3

četnosti

odchylka polohy v rovině S‐JTSK [m]

Rozdělení četnosti radiálních odchylek polohy na identických bodech

Globální transformace

Lokální transformace

53

Obrázek 10 – rozdělení četnosti radiálních odchylek polohy na identických bodech


Měření nadmořské výšky je problém, kterému se věnují úvodní kapitoly. Hodnoty

výšky geoidu nad elipsoidem GRS-80 (WGS-84) se na území ČR pohybují okolo 45

m [11]. Pro Besselův elipsoid je výška nad geoidem přibližně rovna nule. Pro zvýšení

přesnosti určení nadmořské výšky lze dle [29] využít model kvazigeoidu VÚGTK

2000, který je řešen formou rastru. Pro vnitřní body gridů je nutno provést

kvadratickou interpolaci ze čtyř nejbližších bodů.

Tabulka 14 – vyhodnocení výškových odchylek na pevných bodech


Popisná statistika výškové odchylky na

pevných bodech (globální

transformace):

Popisná statistika výškové odchylky na

pevných bodech (lokální

transformace):

Zlepšení výsledků lokální transformace

(v % výsledku globální

transformace): Průměr: 0,3020 0,0161 94,65

Chyba průměru: 0,0087 0,0022 74,17



Rozptyl výběru: 0,0011 0,0001 93,33

Minimum: 0,2330 0,0050 97,85

Maximum: 0,3370 0,0300 91,10

Počet bodů: 14 14


Ještě výraznější zpřesnění určení nadmořské výšky lokální transformací, než u

určení polohy v rovině, je způsobeno především malými změnami nadmořské výšky

na daném území. Maximální rozdíl nadmořských výšek pevných bodů je 94,7 m.

Kvalita určení nadmořské výšky je důležitá především při výpočtu vzdálenosti dvou

bodů, kde již výškovou souřadnici polohy bodů nelze zanedbat.

Grafické vyhodnocení výškových odchylek je reprezentováno následujícím

histogramem.

54

Obrázek 11 – rozdělení četnosti radiálních odchylek nadmořské výšky na identických bodech


(v S-JTSK)

Vzdálenost určená pevnými body v S-JTSK byla porovnávána se vzdálenostmi

určenými po transformacích. Vyhodnocení shrnuje Tabulka 15.

Tabulka 15 – vyhodnocení relativních vzdálenostních odchylek na pevných bodech


Popisná statistika vzdálenostní odchylky

v rovině S-JTSK na pevných bodech

(globální transformace):


v rovině S-JTSK na pevných bodech

(lokální transformace):

Zlepšení výsledků lokální


transformace):

Průměr: 0,0564 0,0377 33,16

Chyba průměru: 0,0040 0,0032 20,97



Rozptyl výběru: 0,0015 0,0009 37,54

Minimum: 0,0001 0,0003 -357,97

Maximum: 0,1733 0,1237 28,61

Počet hodnocených vzdáleností: 91 91


Poměrně nevýrazné zlepšení hodnot po lokální transformaci oproti předchozím

vyhodnocením je možná překvapením. Vysvětlení lze hledat v rozložení rovinných

odchylek pevných bodů po lokální a globální transformaci. Směrovost odchylek

0

2

4

6

8

10

0 ‐ 0,01 0,011 ‐ 0,03 0,031 ‐ 0,3 0,31 ‐ 0,4

četnosti

odchylka v nadmořské výšce v rovině S‐JTSK [m]

Rozdělení četnosti radiálních odchylek nadmořské výšky na identických bodech

Globální transformaceLokální transformace

55

v osách Y a X je znázorněna na Obrázek 12. Hodnoty souřadnic Y, X byly pro lepší

názornost zmenšeny v poměru 1:10000 a hodnoty odchylek zachovány.

Vektory rovinných odchylek po globální transformaci mají velice podobnou orientaci.

Protože nebyl určen žádný pevný bod, tak posunem všech bodů stejným směrem se

nemění jejich vzájemná vzdálenost. Po globální transformaci jsou proto vzájemné

vzdálenosti bodů určeny poměrně přesně. To je dáno lokálními odchylkami S-JTSK,

které mají při globální transformaci v malých oblastech stejný směr. Po lokální

transformaci je směr odchylek různý, proto nedochází k takovému zlepšení.

Zvláštní případ, který nastal u zhoršení určení minima vzdálenostní odchylky je spíše

náhodný. Hodnota minima po globální transformaci je výrazně nižší, než u ostatních

hodnot. To je způsobeno velice podobným směrem rovinné odchylky (např. u bodů

32 a 09).

Obrázek 12 – směrovost rovinných odchylek na pevných bodech

56



Při vyhodnocování vzdálenostních odchylek je nutné nejprve stanovit správné

vzdálenosti, podle kterých bude vyhodnocení probíhat. V kapitole 8 bylo zmíněno, že

stanovení polohy na elipsoidu WGS-84 pomocí GPS je bráno jako zcela přesné.

Z tohoto ohledu je zcela přesné i stanovení vzdálenosti bodů ve WGS-84, podle

kterého byly vzdálenostní odchylky vyhodnocovány.

Pro vybrané body (viz. Tabulka 8) byla určena jejich vzájemná vzdálenost ve WGS-

84 a poté vzdálenost v S-JTSK po globální a lokální transformaci. Vyhodnocení bylo

prováděno v prostorových souřadnicích S-JTSK a v rovinných souřadnicích S-JTSK

se započítáním vlivu nadmořské výšky (viz. Tabulka 16 a Tabulka 17).

Tabulka 16 – vyhodnocení vzdálenostních odchylek na nepevných bodech v prostoru S-JTSK


Popisná statistika vzdálenostní odchylky na vybraných bodech na trati v prostoru S-

JTSK (globální transformace):

Popisná statistika vzdálenostní odchylky na vybraných bodech na trati v prostoru S-

JTSK (lokální transformace):



transformace):

Průměr: 0,0244 0,0043 82,55

Chyba průměru: 0,0007 0,0001 82,55



Rozptyl výběru: 0,0001 0,0000 96,96

Minimum: 0,0037 0,0006 82,54

Maximum: 0,0462 0,0081 82,55



57

Tabulka 17 – vyhodnocení vzdálenostních odchylek na nepevných bodech v rovině S-JTSK

* (hodnoty uváděny v metrech) * * (započítán vliv

nadmořské výšky) *

Popisná statistika vzdálenostní odchylky na

vybraných bodech na trati v rovině S-JTSK

(globální transformace):

Popisná statistika vzdálenostní odchylky na vybraných bodech

na trati v rovině S-JTSK (lokální transformace):



transformace):

Průměr: 0,5245 0,4942 5,78

Chyba průměru: 0,0143 0,0135 5,82



Rozptyl výběru: 0,0563 0,0500 11,29

Minimum: 0,0834 0,0785 5,95

Maximum: 1,0529 0,9900 5,97 Počet hodnocených vzdáleností: 276 276 Hladina spolehlivosti (95,0%): 0,0281 0,0265

V prostorových souřadnicích x, y, z na Besselově elipsoidu je lokální transformace

mnohem přesnější. Po převodu do roviny S-JTSK se zlepšení pohybuje kolem 5%.

To může být způsobeno již zmíněnou směrovostí deformací v rovině S-JTSK a

především vlivem samotného konformního Křovákova zobrazení.

Při vyhodnocování vzdálenostních odchylek byly dále sledovány závislosti rozdílu

vzdáleností na různých parametrech vyjádřených na obrázcích Obrázek 15 - Obrázek

16. Uvedené grafy jsou platné pro globální transformaci, pro porovnání jsou na nich

uvedeny i hodnoty lineární regrese pro lokální transformaci.

58

Linearita Helmertovy transformace je uvedena na Obrázek 13 a osa y z tohoto grafu

je přenesena na x do následující grafu

Obrázek 15 – závislost vzdálenostní odchylky v rovině S-JTSK na prostorové vzdálenosti ve WGS-

84

), kde je uvedena závislost rozdílu vzdáleností po Křovákově zobrazení. Celková

závislost odvozená z uvedených dvou grafů je vyjádřena na Obrázek 15. Poslední

z grafů vyjadřuje relativní nezávislost rozdílu vzdáleností v rovině na nadmořské

výšce.

y = 8E-05x - 0,0041R² = 0,9908

lokální transformace:y = 7E-05x - 0,0036

R² = 0,9905

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000Roz

díl v

zdál

enos

tí v

rovi

ně S

-JTS

K [m

]

Vzdálenost porovnávaných bodů ve WGS-84 [m]

Graf závislosti velikosti vzdálenostní odchylky v rovině S-JTSK na reálné prostorové vzdálenosti zjištěné ve WGS-84 na vybraných

bodech na okruhu - globální transformace

59

Obrázek 13 – závislost vzdálenostní odchylky v prostoru S-JTSK na prostorové vzdálenosti ve WGS-

84

Obrázek 14 – závislost vzdálenostní odchylky v rovině S-JTSK na vzdálenostní odchylce v prostoru S-

JTSK

y = 4E-06x + 6E-08R² = 1

lokální transformace:y = 6E-07x - 3E-08

R² = 1

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

0,040

0,045

0,050

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000

Roz

díl v

zdál

enos

tí v

pros

toru

S-J

TSK

[m]


Graf závislosti rozdílu prostorových souřadnic (mezi elipsoidy WGS-84 a Bessel) po Helmertově transformaci na reálné prostorové

vzdálenosti zjištěné ve WGS-84 na vybraných bodech na okruhu -globální transformace

y = 21,695x - 0,0041R² = 0,9908

lokální transformace:y = 117,1x - 0,0036

R² = 0,9905

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0,00 0,01 0,01 0,02 0,02 0,03 0,03 0,04 0,04 0,05 0,05

Roz

díl v

zdál

enos

tí v

rovi

ně S

-JTS

K [m

]

Rozdíl vzdáleností v prostoru S-JTSK [m]

Graf závislosti velikosti vzdálenostní odchylky v rovině S-JTSK na rozdílu prostorových souřadnic (mezi elipsoidy WGS-84 a Bessel) na vybraných bodech na okruhu po Helmertově transformaci - globální

transformace

60

Obrázek 15 – závislost vzdálenostní odchylky v rovině S-JTSK na prostorové vzdálenosti ve WGS-84

Obrázek 16 – závislost vzdálenostní odchylky v rovině S-JTSK na rozdílu nadmořských výšek

Mezi rozdílem nadmořských výšek a vzdálenostní odchylkou nebyla nalezena žádná

závislost. Lineární závislost je jednoznačně mezi vzdáleností bodů a jejich

vzdálenostní odchylkou. Pro přesnější lokální transformaci platí přibližně, že na 100

m vzdálenosti vznikne odchylka 7 mm. Závislost vzdálenostní odchylky na reálné

vzdálenosti v prostoru je způsobena zakřivením zemského povrchu.

y = 8E-05x - 0,0041R² = 0,9908

lokální transformace:y = 7E-05x - 0,0036

R² = 0,9905

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000Roz

díl v

zdál

enos

tí v

rovi

ně S

-JTS

K [m

]


Graf závislosti velikosti vzdálenostní odchylky v rovině S-JTSK na reálné prostorové vzdálenosti zjištěné ve WGS-84 na vybraných

bodech na okruhu - globální transformace

y = 0,0059x + 0,3715R² = 0,2624

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Roz

díl v

zdál

enos

tí v

rovi

ně S

-JTS

K [m

]

Rozdíl nadmořských výšek [m]

Graf závislosti vzdálenostní odchylky v rovině S-JTSK na rozdílu nadmořských výšek na vybraných bodech na okruhu - globální

transformace

61



Po získání výsledků v předchozích bodech bylo nutné ještě do vyhodnocení

přesnosti zahrnout vzdálenostní odchylku od pevného bodu. Důvodem bylo potvrzení

či vyvrácení teorie vlivu směrovosti odchylek globální transformace.

Tabulka 18 – vyhodnocení vzdálenostních odchylek nepevných bodů od pevného bodu č.33



vybraných bodů na trati od vybraného

pevného bodu v rovině S-JTSK (globální

transformace):


vybraných bodů na trati od vybraného pevného bodu v

rovině S-JTSK (lokální transformace):



transformace):

Průměr: 0,422250746 0,378563412 10,35

Chyba průměru: 0,039950744 0,027334057 31,58



Rozptyl výběru: 0,038305487 0,017931616 53,19

Minimum: 0,110908507 0,108583929 2,10

Maximum: 0,822974729 0,652229165 20,75



Průměrné zlepšení lokální transformace, které je mírně nad 10% v porovnání

s hodnotami vzdálenostních odchylek v prostorových souřadnicích S-JSTK (viz.

příloha B.3 a B.6) vypovídá o vlivu Křovákova zobrazení na vzdálenostní odchylku.

Protože S-JTSK nezachovává vzdálenosti, ale jedná se o dvojité konformní

zobrazení, není příliš vhodné pro měření vzdáleností.

Vliv vzdálenosti na vzdálenostní odchylku je zachycen na Obrázek 17. Hodnoty

souřadnic jsou zmenšeny v poměru 1:10000 a odchylky v poměru 1:10, celkově je

tedy poměr vzdálenosti souřadnic a odchylek 1:1000. V grafu jsou zaneseny hodnoty

po lokální i globální transformaci. V tomto měřítku je však jejich rozdíl nepatrný, proto

jsou zdánlivě odchylky po lokální transformaci v grafu vynášeny z hodnot bodů po

globální transformaci (ve skutečnosti jsou v grafu vyneseny i souřadnice bodů po

lokální transformaci).

62

Obrázek 17 – vzdálenostní odchylky od pevného bodu DOPNUL

10.2. Možnosti zvýšení přesnosti transformovaných souřadnic

V případech, kdy je vyžadována naprostá přesnost transformace souřadnic, je třeba

počítat i s dalšími vlivy působícími na přesnost transformace. Výsledek transformace

lze vylepšit několika dalšími výpočty.

Použitá bodová pole nejsou zcela přesná. Je to způsobeno především nestálostí

zemského povrchu. Absolutní poloha bodu se v čase mění a to způsobuje

dlouhodobou změnu polohy vzhledem k ITRS.

63

• pohyb tektonických desek - 2,7 cm/rok severovýchodním směrem [29]

• odlednění (tzv. „Skandinávský uplift“) 2-3 mm/rok a 1 cm/rok ve výšce

• vliv variace vektoru rotace způsobený pohybem pólů a změnou rychlosti

rotace země - posun v řádu milimetrů.

• Vliv změny tlaku vzduchu – 1 mm v poloze a 10 mm ve výšce

Hlavní zaznamenatelné změny v pohybu kontinentů se redukují správnou

transformací do systému ETRS-89 v epoše 1989.

Zaznamenat lze i krátkodobé změny polohy bodů

• Slapové variace elasticity Země (polodenní a celodenní slapová vlna) – posun

2-4 cm v poloze a až 20 cm ve výšce u pobřeží, uvnitř kontinentů v řádech

milimetrů

Další možností „zpřesnění“ je použití Jungovy transformace. Lze ji použít jako

„dotransformaci“ po Helmertově transformaci. Způsobí, že se odchylky na identických

bodech rozdělí mezi body neidentické. Tím získáme přesné hodnoty identických

bodů. Jedná se o nereziduální transformaci a nelze proto počítat střední chyby [20].

Nejprve bychom zjistili rozdíly odpovídajících souřadnic u identických bodů

, , ů í ř ý ů

, , é ř á í íč

(10.1)

A následně vypočetli souřadnice transformovaných neidentických bodů

, , - ř ý ý ů á í íč

(10.2)

∑

∑

∑

∑

∑

∑ (10.3)

(10.4)

(10.5)

64

10.3. S-JTSK/95

Systém S-JTSK/95 je zpřesněný systém S-JTSK, který odstraňuje chybné měřítko

stávajícího systému S-JTSK a lokální deformace S-JTSK.

Myšlenka zdokonalení S-JTSK vychází především ze dvou hlavních bodů. Prvním

z nich je, že Česká Republika má velice přesnou astronomicko-geodetickou síť

reprezentovanou systémem S-42/83. Tento systém je bohužel používán pouze pro

vojenské mapování. Druhou je nutnost zavedení geocentrického souřadnicového

systému, který by umožňoval přímé nasazení techniky GPS.

S-JTSK/95 v praxi zatím není zaveden (2008). To je také hlavní důvod, proč nebylo

pracováno s těmito zpřesněnými souřadnicemi.

Transformaci souřadnic mezi ETRS-89 a S-JTSK/95 lze provést pomocí globálního

transformačního klíče uvedeného v Tabulka 19 postupem popsaným v této zprávě.

Druhou možností je modifikovat Křovákovo zobrazení dodatečnými členy [29].

Tabulka 19 – globální transformační klíč do S-JTSK/95

Hodnoty transformace ETRS-

89 → S-JTSK/95:

x0 [m]: y0 [m] : z0 [m]:

-570,828498 -85,6768886 -462,842016

m [10-6]: ωx [´´]: ωy [´´]: ωz [´´]:

-3,5623099 4,998403683 1,586716391 5,261077898

Modifikace se provádí ve fázi , , .

Postup je stejný jako u transformace do S-JTSK, avšak souřadnice Y, X jsou

dotransformovány následující formulí

′ ∆ ′ ∆ (10.6)

∆ 2

∆ 2 (10.7)

654000

1089000 (10.8)

Koeficienty A1 až A6 jsou uvedeny v Tabulka 20.

65

Tabulka 20 – koeficienty dotransformace do S-JTSK/95

A1 A2 A3 [10-7]

0,05839284707 0,04718658410 0,82276069250

A4 [10-6] A5 [10-11] A6 [10-11]

-0,33377637090 0,88509844420 0,14445478180

66

11. Závěr

Mezi systémy WGS-84 a S-JTSK neexistuje obecný transformační převod. To je

způsobeno lokálními deformacemi S-JTSK, které vznikly při budování tohoto systému

počátkem 20. století. Pro dosažení přesných výsledků je proto nutné provést lokální

transformaci.

Transformace souřadnic z prostoru do roviny probíhá v několika krocích. Pro výpočty

v těchto krocích je nutné znát tzv. transformační klíč, který udává vztah dvou

prostorových souřadnicových soustav. Jedná se o 7 parametrů (3 složky rotace os, 3

složky posunu počátku a změnu měřítka), které lze získat pomocí identických bodů

(body s přesnými souřadnicemi v obou systémech).

Na základě nastudovaných materiálů byl převzat globální transformační klíč pro

převod mezi systémy ETRS-89 (evropský systém odvozený z globálního ITRS-89

velice podobného WGS-84) a S-JTSK vypočtený pomocí 175 pevných bodů

DOPNUL z [21]. Následně byl vypočten lokální transformační klíč pomocí 14 bodů

DOPNUL rozložených rovnoměrně v okolí testovacího okruhu. Výsledky výpočtů při

použití obou klíčů byly porovnávány, přičemž při výpočtech byla brána v úvahu i

transformace mezi systémy WGS-84 a ETRS-89.

Odchylky vypočtené Helmertovou transformací souřadnic pomocí vypočtených klíčů

byly porovnávány na 14 vybraných identických bodech kampaně DOPNUL v rovině

S-JTSK a v nadmořské výšce. Dále pak byly vyhodnoceny odchylky vzdálenosti 14

identických bodů a odchylky vzdálenosti 24 rovnoměrně rozprostřených

neidentických bodů ležících na definovaném okruhu. Nakonec byly zjišťovány

vzdálenostní odchylky 24 neidentických bodů od vybraného pevného bodu DOPNUL.

Nejprve bylo zjištěno ztotožnění soustav, kde lokální transformace dosahuje

extrémně dobrých výsledků (zlepšení přes 99% z hodnoty globální transformace).

Statistickým vyhodnocením obou transformací bylo zjištěno, že lokální klíč průměrně

o 75% přesněji vystihuje polohu transformovaných bodů v rovině oproti globální

transformaci a o více, než 94% ve výšce.

Při vyhodnocování vzdálenostní odchylky bylo zjištěno, že odchylky na

transformovaných bodech po globální transformaci mají velice podobný směr, proto

67

zpřesněním polohy všech bodů nebylo získáno odpovídající zpřesnění ve

vzdálenostní odchylce.

Lokální klíč zpřesňuje vzdálenostní odchylky mezi 14 pevnými body průměrně o 33%

oproti globální transformaci a mezi 24 nepevnými body pouze o 5%. Zpřesnění

vzdálenostní odchylky 24 vybraných bodů od pevného bodu DOPNUL se za použití

lokálního transformačního klíče pohybuje kolem 10% (z hodnot globální

transformace).

Provedené experimenty s parametry transformačních klíčů prokázaly, že průměrná

chyba na pevných bodech v rovině S-JTSK po lokální transformaci je 0,040727 m a

přibližně 0,173665 m po globální transformaci. Použitím lokální transformace tak lze

dosáhnout výrazně lepších výsledků.

Při vyhodnocování vzdálenostních odchylek bylo pozorováno, že velikost

vzdálenostní odchylky v rovině S-JTSK lineárně roste se vzdáleností bodů ve WGS-

84 přibližně podle vzorce 0,00008 0,0041 pro globální transformaci a podle

0,00007 0,0036 po lokální transformaci. Při vzdálenosti bodů 100 m, tak

vznikne přibližně odchylka 7 mm po lokální transformaci (při zanedbání druhého

členu rovnice).

Při provádění experimentu lze transformovat souřadnice za použití globálního

transformačního klíče se směrodatnou odchylkou 5,050283 cm v rovinných

souřadnicích Y, X a 3,2454 cm ve výšce. Směrodatná odchylka lokálního klíče je

1,9959 cm v rovině S-JTSK a 0,8384 cm ve výšce. Ze zjištěných hodnot vyplývá, že

lokální transformace je výrazně přesnější s maximální zjištěnou chybou v poloze 8

cm (oproti 26 cm globální transformace).

Zkušenost ukazuje, že při měření pozice bodů v jakémkoli souřadnicovém systému je

u nich nutné uvádět čas pořízení. Souřadnice bodů se mění v čase a bez údajů o

datu měření by nebylo možné jejich polohu aktualizovat.

Pro transformaci souřadnic nutnou pro potřeby této práce byl vytvořen konzolový

program v jazyce C. Program dokáže vypočítat transformační klíč ze zadaného počtu

pevných identických bodů a tento klíč aplikovat pro lokální transformaci ze systémů

WGS-84 nebo ETRS-89 v aktuální epoše do systému S-JTSK. Globální transformace

je samozřejmostí. Vstupem programu je textový soubor s libovolným počtem bodů.

68

Výstupem je rovněž textový soubor se souřadnicemi v systému S-JTSK a všemi

mezikroky výpočtu (pro další práci se souřadnicemi).

Po provedených pokusech při vyhodnocování výzkumu pozornosti řidičů v rovině S-

JTSK lze jednoznačně doporučit použití přesnějšího lokálního transformačního klíče.

Pro takto malá území lze rovněž zanedbat zakřivení zemského povrchu a

vyhodnocení výzkumu provádět přímo na elipsoidu WGS-84 (v uvedené výzkumné

aplikaci je nutné mít vytvořené prostředí pro simulaci ve stejném souřadnicovém

systému).

Výsledky transformace souřadnic mezi systémy WGS-84 a S-JTSK lze využít

v mnoha dopravně zaměřených aplikacích využívající systému GPS. Ať už se jedná

o inteligentní dopravní systémy (ITS), velmi přesnou navigaci nebo např. určování

polohy v jízdním pruhu. Výhodou transformace do roviny S-JTSK je možnost

porovnání polohy transformovaných souřadnic v souboru českých map. Přesnost

map samotných (většinou digitalizovaných z papírových map) je však pro podobné

účely nedostačující. Pro určování polohy v jízdním pruhu by proto musela být použita

speciální mapa s malým měřítkem. Vhodnější je však provést přesné zaměření trati a

polohu vyhodnocovat na základě tohoto měření. Souřadnice GPS lze pak

transformovat do roviny S-JTSK, UTM nebo vyhodnocení např. provádět přímo na

elipsoidu WGS-84.

69

Seznam obrázků a tabulek:

Obrázek 1 – rovinné a prostorové odchylky polohy vozidla ...................................... 10

Obrázek 2 – soustava geodetických zeměpisných souřadnic [8] .............................. 13

Obrázek 3 – vztah mezi elipsoidickou a nadmořskou výškou [8] .............................. 14

Obrázek 4 – prostorový souřadnicový systém [20] ................................................... 14

Obrázek 5 – jednoduchá kartografická zobrazení a poloha zobrazovací plochy [8] . 17

Obrázek 6 – Křovákovo zobrazení [20] .................................................................... 23

Obrázek 7 – vztah polohy dvou elipsoidů [16] .......................................................... 28

Obrázek 8 – měřený okruh a použité body kampaně DOPNUL ............................... 44

Obrázek 9 – poloha vybraných bodů na okruhu ....................................................... 48

Obrázek 10 – rozdělení četnosti radiálních odchylek polohy na identických bodech 53

Obrázek 11 – rozdělení četnosti radiálních odchylek nadmořské výšky na identických

bodech ...................................................................................................................... 54

Obrázek 12 – směrovost rovinných odchylek na pevných bodech ........................... 55

Obrázek 13 – závislost vzdálenostní odchylky v prostoru S-JTSK na prostorové

vzdálenosti ve WGS-84 ............................................................................................ 59

Obrázek 14 – závislost vzdálenostní odchylky v rovině S-JTSK na vzdálenostní

odchylce v prostoru S-JTSK ..................................................................................... 59

Obrázek 15 – závislost vzdálenostní odchylky v rovině S-JTSK na prostorové

vzdálenosti ve WGS-84 ............................................................................................ 60

Obrázek 16 – závislost vzdálenostní odchylky v rovině S-JTSK na rozdílu

nadmořských výšek .................................................................................................. 60

Obrázek 17 – vzdálenostní odchylky od pevného bodu DOPNUL ............................ 62

70

Tabulka 1 – některé používané elipsoidy ................................................................. 22

Tabulka 2 – přehled souřadnicových systémů používaných v ČR ............................ 25

Tabulka 3 – přehled důležitých kampaní tvořících geodetické základy .................... 26

Tabulka 4 – transformační koeficienty pro převod ITRF-2005 do ETRS-1989 ......... 42

Tabulka 5 – globální transformační klíč .................................................................... 43

Tabulka 6 – vybrané pevné body kampaně DOPNUL .............................................. 45

Tabulka 7 – rovinné a výškové souřadnice S-JTSK po globální transformaci .......... 46

Tabulka 8 – 24 vybraných nepevných bodů na měřeném okruhu ............................ 47

Tabulka 9 – těžiště množiny identických bodu v systému I. i systému II. ................. 49

Tabulka 10 – lokální transformační klíč .................................................................... 50

Tabulka 11 - rovinné a výškové souřadnice S-JTSK po lokální transformaci ........... 50

Tabulka 12 – míra ztotožnění soustav ...................................................................... 51

Tabulka 13 – vyhodnocení rovinných odchylek na pevných bodech ........................ 52

Tabulka 14 – vyhodnocení výškových odchylek na pevných bodech ....................... 53

Tabulka 15 – vyhodnocení relativních vzdálenostních odchylek na pevných bodech

................................................................................................................................. 54

Tabulka 16 – vyhodnocení vzdálenostních odchylek na nepevných bodech v prostoru

S-JTSK ..................................................................................................................... 56

Tabulka 17 – vyhodnocení vzdálenostních odchylek na nepevných bodech v rovině

S-JTSK ..................................................................................................................... 57

Tabulka 18 – vyhodnocení vzdálenostních odchylek nepevných bodů od pevného

bodu č.33 .................................................................................................................. 61

Tabulka 19 – globální transformační klíč do S-JTSK/95 ........................................... 64

Tabulka 20 – koeficienty dotransformace do S-JTSK/95 .......................................... 65

71

Použitá literatura

[1] Zdeněk Hrdina, Petr Pánek, František Vejražka: Rádiové určování polohy,

ČVUT, Praha 1995

[2] Jan Kolář: Geografické informační systémy 10, ČVUT, Praha 2003

[3] Petr Buchar: Matematická kartografie, ČVUT, Praha 2007

[4] Internetové stránky českého zeměměřičského ústavu

http://bodovapole.cuzk.cz/

[5] Miloš Cimbálík: Vyšší geodézie: souřadnicové soustavy, ČVUT, 1995

[6] Jan Schenk: Geodetické sítě: Bodová pole, VŠB, Ostrava 2004, dostupné z

http://igdm.vsb.cz/igdm/materialy/geosite.pdf (22.10.2007)

[7] Jaromír Fajt: Geometrické transformace v GIS, ZČU, dostupné z

http://gis.zcu.cz/studium/ugi/referaty/05/GeometrickeTransformace/index.htm

l (22.10.2007)

[8] Markéta Hanzlová: Program pro transformaci souřadnic mezi souřadnicovými

systémy platnými na území ČR, Diplomová práce VŠB, 2006, dostupné z

http://gis.vsb.cz/GISacek/GISacek_2001/sbornik/Hanzlova/Hanzlova.htm

(22.10.2007)

[9] Pavla Vobořilová: Volné geodetické sítě v E3, ČVUT, 2000, dostupné z

http://slon.fsv.cvut.cz/~pavla/site/site.html (22.10.2007)

[10] Petr Šíma: Křovákovo zobrazení, online, 2007, dostupné

z http://krovak.webpark.cz/ (10.10.2007)

[11] Zdeněk Hrdina: Přepočet z WGS-84 do S-JTSK, 2001, dostupné z

http://www.gpsweb.cz/JTSK-WGS.htm (22.10.2007) a přepočet z S-JTSK do

WGS-84, 2001, dostupné z http://www.gpsweb.cz/WGStoJTSK.html

(22.10.2007)

[12] Vlastimil Kratochvíl: K metodám převodu souřadnic mezi ETRS 89 a S-JTSK

na území ČR, Univerzita obrany, dostupné z

http://fvt.unob.cz/fvtdata/k210/K_metodam_prevodu_v2.pdf (22.10.2007)

[13] Magdaléna Baranová: Kartografické vztahy systému JTSK, ZČU, dostupné z

http://home.zcu.cz/~baranov/KMA/articles/Plochy_zkresleni.pdf (22.10.2007)

[14] Kateřina Kaslová: Posouzení vlastností různých metod transformace

vlastnických hranic parcel ve zjednodušené evidenci do digitální katastrální

mapy na příkladě k. ú. Velká Veleň, bakalářská práce, ZČU, 2004, dostupné

http://bodovapole.cuzk.cz/�

http://igdm.vsb.cz/igdm/materialy/geosite.pdf�

http://gis.zcu.cz/studium/ugi/referaty/05/GeometrickeTransformace/index.html�

http://gis.zcu.cz/studium/ugi/referaty/05/GeometrickeTransformace/index.html�

http://gis.vsb.cz/GISacek/GISacek_2001/sbornik/Hanzlova/Hanzlova.htm�

http://slon.fsv.cvut.cz/~pavla/site/site.html�

http://krovak.webpark.cz/utf/historie/historie_vse.htm�

http://www.gpsweb.cz/JTSK-WGS.htm�

http://www.gpsweb.cz/WGStoJTSK.html�

http://fvt.unob.cz/fvtdata/k210/K_metodam_prevodu_v2.pdf�

http://home.zcu.cz/~baranov/KMA/articles/Plochy_zkresleni.pdf�

72

z

http://gis.zcu.cz/studium/dp/2004/Kaslova__Posouzeni_vlastnosti_ruznych_

metod_transformace_vlastnickych_hranic_parcel_ve_zjednodusene_evidenc

i_do_digitalni_katastralni_mapy_na_priklade_k.u._Velka_Velen__BP.pdf

(22.10.2007)

[15] Jan Kostelecký: Geocentrický systém a trigonometrická síť České Republiky,

VÚGTK, 1997, dostupné z http://www.vugtk.cz/odis/sborniky/sb96/kostel.htm

(22.10.2007)

[16] Romana Kubátová: Systém JTSK a WGS-84, jejich charakteristika a

vzájemná transformace, bakalářská práce, ZČU, 2007, dostupné z

http://gis.zcu.cz/studium/dp/2007/Kubatova__System_JTSK_a_WGS-

84_a_vzajemna_transformace__BP.pdf (22.10.2007)

[17] Bohuslav Veverka: Souřadnicové transformace v geoinformatice, ČVUT,

2006, dostupné z http://projekty.geolab.cz/gacr/a/files/vev_geos_06.pdf

(22.10.2007)

[18] Jan Ježek, Radek Sklenička: Transformace souřadnicových systémů ve

vybraných GIS produktech, ČVUT, 2006, dostupné z

http://gist.fsv.cvut.cz/~sklenicka/sklena/transf.pdf (22.10.2007)

[19] Vojenský geografický obzor, 1/2005, vydáno 30.4.2005, dostupné z

http://www.army.cz/images/id_7001_8000/7162/VGO_1_2005.pdf

(22.10.2007)

[20] Jan Ježek: vývoj programového modulu pro převod souřadnic mezi

kartografickými zobrazeními, diplomová práce, ČVUT, 2003, dostupné z

http://josef.fsv.cvut.cz/~jezek/doc/dip.pdf (22.10.2007)

[21] Zdeněk Hrdina: Transformace souřadnic ze systému WGS-84 do systému S-

JTSK, ČVUT, 1997, dostupné z

http://www.geospeleos.com/Mapovani/WGS84toSJTSK/WGS_JTSK.pdf

(11.9.2007)

[22] Petr Doubrava: Zpracování rastrových mapových podkladů pro využití

v oblasti GIS a katastru nemovitostí, doktorská disertační práce, ČVUT,

2005, dostupné z http://projekty.geolab.cz/gacr/a/files/dis_doubrava.pdf

(20.10.2007)

[23] Josef Kabeláč: Geodetické metody vyrovnání – metoda nejmenších čtverců,

ZČU, 2003

http://gis.zcu.cz/studium/dp/2004/Kaslova__Posouzeni_vlastnosti_ruznych_metod_transformace_vlastnickych_hranic_parcel_ve_zjednodusene_evidenci_do_digitalni_katastralni_mapy_na_priklade_k.u._Velka_Velen__BP.pdf�



http://www.vugtk.cz/odis/sborniky/sb96/kostel.htm�

http://gis.zcu.cz/studium/dp/2007/Kubatova__System_JTSK_a_WGS-84_a_vzajemna_transformace__BP.pdf�

http://gis.zcu.cz/studium/dp/2007/Kubatova__System_JTSK_a_WGS-84_a_vzajemna_transformace__BP.pdf�

http://projekty.geolab.cz/gacr/a/files/vev_geos_06.pdf�

http://gist.fsv.cvut.cz/~sklenicka/sklena/transf.pdf�

http://www.army.cz/images/id_7001_8000/7162/VGO_1_2005.pdf�

http://josef.fsv.cvut.cz/~jezek/doc/dip.pdf�

http://www.geospeleos.com/Mapovani/WGS84toSJTSK/WGS_JTSK.pdf�

http://projekty.geolab.cz/gacr/a/files/dis_doubrava.pdf�

73

[24] Jan Jandourek, Jan Ratiborský: Geodézie VI – Způsoby vyrovnání účelových

geodetických sítí v E2 a v E3, ČVUT, 1995

[25] Miloslav Ingeduld, Jan Jandourek, Jan Ratiborský, Radim Blažek: Geodézie

– Metody výpočtu a vyrovnání geodetických sítí, ČVUT, 1993

[26] Jan Jandourek: Geodézie 50 – Vyrovnání účelových geodetických sítí v E2 a

v E3, ČVUT, 2000

[27] Miroslav Hampacher, Vladimír Radouch: Teorie chyb a vyrovnávací počet

10, ČVUT, 1997

[28] Miroslav Hampacher, Vladimír Radouch: Teorie chyb a vyrovnávací počet

20, ČVUT, 1997

[29] Miloš Cimbálník, Antonín Zeman, Jan Kostelecký: Základy vyšší a fyzikální

geodézie, ČVUT, 2007

[30] Norma ISO/FDIS 19111:2002 - Geographic information — Spatial

referencing by coordinates, za poplatek dostupné z

http://www.iso.org/iso/iso_catalogue/catalogue_ics/catalogue_detail_ics.htm?

csnumber=26016 (27.7.2008)

[31] Miluše Vilímková: Testování sítě CZEPOS, diplomová práce, ČVUT, 2006,

dostupné z http://czepos.cuzk.cz/diplomka.pdf (09.12.2007)

[32] NIMA: World Geodetic System 1984 – Its definition and Relationships with

Local Geodetic System, technická zpráva, 2000, dostupné z http://earth-

info.nga.mil/GandG/publications/tr8350.2/wgs84fin.pdf (27.7.2008)

[33] Jan Kostelecký: Souřadnicový systém S-JTSK/95, současný stav a možnosti

jeho zpřesnění, ČVUT, dostupné z

http://gama.fsv.cvut.cz/gk/k152/navody/VG21/VG21-S-JTSK95.pdf

(09.12.2007)

[34] David Vojtěch: Budování polohového bodového pole u rozsáhlé liniové

stavby, diplomová práce, ZČU, 2006, dostupné z

http://www.kma.zcu.cz/DATA/zaverecne_prace/Vojtech__Budovani_polohov

eho_bodoveho_pole_u_rozsahle_liniove_stavby__DP.pdf (27.7.2008)

[35] Martin Vacek: Možnosti využití GPS v katastru nemovitostí, diplomová práce,

ZČU, 2004, dostupné z

http://www.kma.zcu.cz/DATA/zaverecne_prace/Vacek__Moznosti_vyuziti_G

PS_v_katastru_nemovitosti__DP.pdf (27.7.2008)

http://www.iso.org/iso/iso_catalogue/catalogue_ics/catalogue_detail_ics.htm?csnumber=26016�

http://www.iso.org/iso/iso_catalogue/catalogue_ics/catalogue_detail_ics.htm?csnumber=26016�

http://czepos.cuzk.cz/diplomka.pdf�

http://earth-info.nga.mil/GandG/publications/tr8350.2/wgs84fin.pdf�

http://earth-info.nga.mil/GandG/publications/tr8350.2/wgs84fin.pdf�

http://gama.fsv.cvut.cz/gk/k152/navody/VG21/VG21-S-JTSK95.pdf�

http://www.kma.zcu.cz/DATA/zaverecne_prace/Vojtech__Budovani_polohoveho_bodoveho_pole_u_rozsahle_liniove_stavby__DP.pdf�

http://www.kma.zcu.cz/DATA/zaverecne_prace/Vojtech__Budovani_polohoveho_bodoveho_pole_u_rozsahle_liniove_stavby__DP.pdf�

http://www.kma.zcu.cz/DATA/zaverecne_prace/Vacek__Moznosti_vyuziti_GPS_v_katastru_nemovitosti__DP.pdf�

http://www.kma.zcu.cz/DATA/zaverecne_prace/Vacek__Moznosti_vyuziti_GPS_v_katastru_nemovitosti__DP.pdf�

74

[36] Pavel Mátl: Využití systému WGS 84 pro katastrální mapování, diplomová

práce, ZČU, 2006, dostupné z

http://gis.zcu.cz/studium/dp/2006/Matl__Vyuziti_systemu_WGS_84_pro_kata

stralni_mapovani__DP.pdf (27.7.2008)

[37] Claude Boucher, Zuheir Altamimi: Specifications for reference frame fixing in

the analysis of a EUREF GPS campaign, dostupné z

http://etrs89.ensg.ign.fr/memo2007.pdf (27.7.2008)

[38] Internetové stránky pro systémy ITRF, dostupné z http://itrf.ensg.ign.fr/

(27.7.2008)

[39] Jaroslav Machan, Pavel Nedoma, Ján Vasil’, Zdeněk Franc: Srovnání

provozních a laboratorních simulací HMI s využitím systémů přesného

určování polohy, prezentace pro konferenci NavAge 2008

[40] Internetové stránky systému EUREF, dostupné z http://www.euref-iag.net/

(27.7.2008)

[41] Zuheir Altamimi, Juliette Legrand: Dense European velocity Field and

ETRS89 positions and velocities of the EPN stations, dostupné z

http://www.epncb.oma.be/_newsmails/papers/eurefsymposium2004/dense_e

uropean_velocity_field_and_etrs89_positions_and_velocities_of_the_epn_st

ations.pdf (27.7.2008)

[42] Lotti Jivall, Jānis Kaminskis, Eimuntas Paršeliūnas: Improvement and

extension of ETRS 89 in Latvia and Lithuania based on the NKG 2003 GPS

campaign, 2006, dostupné z http://www.gc.vgtu.lt/upload/geod_zurn/p13-

20.pdf (27.7.2008)

[43] Torbjørn Nørbech, Halfdan P. Kierulf: An Approximate Transformation from

ITRF2005 Current Epoch to EUREF89(ETRF89) in Norway for Offshore use,

2007, dostupné z

http://www.statkart.no/filestore/Sjkartverket/gratisprogram/Transform_ITRF20

05_EUREF89_offshore_i.pdf (27.7.2008)

http://gis.zcu.cz/studium/dp/2006/Matl__Vyuziti_systemu_WGS_84_pro_katastralni_mapovani__DP.pdf�

http://gis.zcu.cz/studium/dp/2006/Matl__Vyuziti_systemu_WGS_84_pro_katastralni_mapovani__DP.pdf�

http://etrs89.ensg.ign.fr/memo2007.pdf�

http://itrf.ensg.ign.fr/�

http://www.euref-iag.net/�

http://www.epncb.oma.be/_newsmails/papers/eurefsymposium2004/dense_european_velocity_field_and_etrs89_positions_and_velocities_of_the_epn_stations.pdf�



http://www.gc.vgtu.lt/upload/geod_zurn/p13-20.pdf�

http://www.gc.vgtu.lt/upload/geod_zurn/p13-20.pdf�

http://www.statkart.no/filestore/Sjkartverket/gratisprogram/Transform_ITRF2005_EUREF89_offshore_i.pdf�

http://www.statkart.no/filestore/Sjkartverket/gratisprogram/Transform_ITRF2005_EUREF89_offshore_i.pdf�

75

Seznam příloh:

(Všechny přílohy a průvodní zpráva jsou umístěny na přiloženém CD.)

Příloha A:

Cesta k souboru: E:/Prilohy/A/Priloha_A.pdf

Obsah přílohy: Obrázek A.1 – délková zkreslení v S-JTSK Obrázek A.2 – Křovákovo dvojité konformní zobrazení použité

v S-JTSK Obrázek A.3 – rozmístění bodů trigonometrické sítě 1. řádu a

sítě AGS Obrázek A.4 – rozmístění bodů kampaní zajišťující napojení na

EUREF (ETRS-89) Obrázek A.5 – roční rychlosti a směr pohybu kontinentů dle

měření v systému ITRF-2005

Příloha B:

Cesta k souboru: E:/Prilohy/B/Priloha_B.xlsx

Obsah přílohy: B.1 – Vzdálenostní odchylky na pevných bodech DOPNUL - globální transformace

B.2 – Porovnání relativních vzdálenostních odchylek na vybraných bodech na trati - globální transformace

B.3 – Vzdálenostní odchylky vybraných bodů na okruhu od pevného bodu DOPNUL č.33 - globální transformace

B.4 – Vzdálenostní odchylky na pevných bodech DOPLNUL - lokální transformace

B.5 – Porovnání relativních vzdálenostních odchylek na vybraných bodech na trati - lokální transformace

B.6 – Vzdálenostní odchylky vybraných bodů na okruhu od pevného bodu DOPNUL č.33 - lokální transformace

Příloha C:

Cesta k souboru: E:/Prilohy/C/

Obsah přílohy: C.1 – Návod k programu TRANSTOS v1.0 C.2 – zdrojový kód + spustitelný soubor programu TRANSTOS

v1.0 C.3 – Zdrojový kód pro výpočet lokálního klíče pomocí MATLABu C.4 – Zdrojový kód pro výpočet lokálního klíče přes redukci

souřadnic k těžišti pomocí MATLABu

Date post:	18-Jan-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	4 times
Download:	0 times

Určení přesnosti transformace souřadnic pro výzkum...

Documents