Uvodni sat
-vježba računanja-
Praktikum iz osnova fizike A
Igor Miklavčić, pred.
vrijeme trajanja oko 90 minuta
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera
Odjel za fiziku
Vježbajmo što točnije mjeriti dužine
• Uzmite olovku i uz tijelo prislonite centimetarsku
ljestvicu mjerila. Probajte što točnije izmjeriti duljinu tog
tijela. Nekoliko puta očitajte kolika je duljina mjerene
dužine.
Kolika je duljina? Jeste li je mogli očitati?
6?
7? 6,5?
6,7 cm ?
6,9?
• Matematička točnost često se iskazuje velikim brojem
znamenki, primjerice 5:6=0,83333333333333333333.
• U fizici se mjerni podatak ispisuje onim znamenkama koje
su označene na mjernoj ljestvici i dopiše im se procijenjena
znamenka.
(signifikantne ili pouzdane znamenke = očitane i procijenjena)
l = 6,7 cm
ili
l = 6,7 cm
Vježba 2
• Iskažite rezultat mjerenja u centimetrima?
• l = 1,27 cm
• Kako biste radili procjenu za uređaje s digitalnim displejom?
Izračun srednje vrijednosti:
=l
mjerenje
jedinica
l
m
1. 1,562
2. 1,558
3. 1,560
4. 1,563
5. 1,559
==
=
n
l
l
n
i 1 =++++
5
559,1563,1560,1558,1562,1m 5604,1
5
802,7=
1,5604 ?
=++++
5
54321 lllll
No kako ne možemo iskazati rezultat većom točnošću od
mjerenih podataka moramo zaokružiti našu srednju vrijednost na
četiri signifikantne znamenke:
ml 560,1=Ne zaboravimo zaokruživanje (jednostavno i parno-neparni brojevi):
no u slučaju:
1,5605 = 1,561
1,5606 = 1,561
1,5607 = 1,561
1,5608 = 1,561
1,5609 = 1,561
Kad bi bilo:
1,5600 = 1,560
1,5601 = 1,560
1,5602 = 1,560
1,5603 = 1,560
1,5604 = 1,560
Signifikantne znamenke
(značajne, pouzdane):
PRAVILA:
• 1. Sve znamenke različite od nule su značajne znamenke.
npr. broj 384 ima tri značajne znamenke, a broj 1,8316 pet značajnih znamenki.
• 2. Nule koje se nalaze na početku broja nisu značajne.
npr. broj 0,0052 ima samo dvije značajne znamenke (5 i 2).
• 3. Nule na kraju broja su značajne ako se nalaze iza decimalnog zareza.
npr. broj 2,560 ima četiri značajne znamenke, a broj 0,051690 ima pet značajnih
znamenaka (znamenke 5, 1, 6, 9 i 0 desno od decimalnog zareza).
• 4. Nule između drugih značajnih znamenki su također značajne.
npr. broj 12 004 ima pet značajni znamenki
• 5. Prema dogovoru, ako broj nema decimalnog zareza, nule na kraju broja nisu
značajne (ali nije uvijek tako, već prema dogovoru)
npr. broj 3200 ima samo dvije značajne znamenke (3 i 2).
Stoga je bolje zapisivati brojeve u eksponencijalnom obliku
npr. F = 3200 N = 3,2∙103 N ako imamo 2 signifikantne znamenke
tj. F = 3200 N = 3,200∙103 N ako imamo 4 signifikantne znamenke
Dozvoljen je i oblik 3,200 E 3
Uobičajeno je zapisivati brojeve u eksponencijalnom obliku kao
3,200∙103 N, a ne 32,00∙102 N iako se radi o istom broju
Matematičke operacije je jednostavnije izvoditi s brojevima u eksponencijalnom
obliku.
Ali –upisivanjue u tablicu je najčešće u jedinicama u kojima smo direktno mjerili.
Za vježbu:
http://www.chem.tamu.edu/class/fyp/mathrev/mr-sigfg.html
http://chemistry.about.com/od/chemistry-test-questions/tp/Significant-Figures-
Scientific-Notation-Test-Questions.htm
http://www.physicslessons.com/quiz/quiz1.html
http://www.sciencegeek.net/APchemistry/APtaters/chap02counting.htm
Signifikantne (pouzdane)
znamenke:Pomnožimo dva rezultata naših mjerenja npr. duljine a i širine b:
P = a x b = 9,3426 m x 34,1 m =
P = 318,58266 m2
Na koliko znamenaka ćemo sada zaokružiti naš rezultatmjerenja površine?
P = a x b = 319 m2
Zašto?
Važno je zapamtiti, ukoliko izvodimo više računskih operacija
gore navedeni postupak traženja pouzdanih znamenaka
primjenjujemo samo na krajnji rezultat kako ne bismo dobili
preveliku grešku zaokruživanja.
• Kod zbrajanja ili oduzimanja rezultat se iskazuje na onoliko
decimalnih mjesta, koliko ih ima član s najmanjim brojem decimala.
• primjer:
• Kod množenja ili dijeljenja rezultat se zaokružuje na onoliki broj
značajnih znamenki, koliko ih sadrži faktor s najmanjim brojem
značajnih znamenki.
primjer:
• Rezultat se zaokružuje tek nakon završenog računa
12,34 + 5,6 =
1,00257 - 0,0013 =
17,9
1,0013
1,48 * 3,2887 =
2,62 / 8,1473 =
4,87
0,322
Pogreške
Zbog nesavršenosti mjernih instrumenata i naših osjetila
nijedno mjerenje nije apsolutno točno.
• Sistemske pogreške (neispravan pribor, pogrešna metoda)
• Slučajne pogreške (nesavršenost opažača i pribora)
• Grube pogreške (omaške u mjerenju)
Preporučam Vam knjigu:
Vježbe iz fizike autorica
Vernić-Mikuličić jer imate
primjere kako računati
pogreške tj. teoriju pogrešaka
koju ćete najčešće koristiti.
Račun pogrešaka
• Najbolje je pogreške iskazivati standardnom devijacijom,
ali to iziskuje veliki broj mjerenja
• Pošto vršimo mali broj mjerenja jednostavnije je pogreške
iskazivati maksimalnom apsolutnom pogreškom Δam ili
maksimalnom relativnom pogreškom ram
• DZ
( ) ( )uzoraka broj manji za
1 ili
2
1
2
1
−
−
=
−
===
n
XX
n
XXn
i
i
n
i
i
Maksimalna apsolutna pogreška
mjerenje
jedinica
l Δl
m m
1. 1,562
2. 1,558
3. 1,560
4. 1,563
5. 1,559
=1,560l
nlll −=
Maksimalna apsolutna pogreška
mjerenje
jedinica
l Δl
m m
1. 1,562 -0,002
2. 1,558 0,002
3. 1,560 0,000
4. 1,563 -0,003
5. 1,559 0,001
=1,560 Δlm= 0,003l
nlll −=
No prisjetimo se par slajdova prije
Važno je zapamtiti, ukoliko izvodimo više računskih operacija
gore navedeni postupak traženja pouzdanih znamenaka
primjenjujemo samo na krajnji rezultat kako ne bismo dobili
preveliku grešku zaokruživanja.
Maksimalna apsolutna pogreška
mjerenje
jedinica
l Δl
m m
1. 1,562 -0,0016
2. 1,558 0,0024
3. 1,560 0,0004
4. 1,563 -0,0026
5. 1,559 0,0014
=1,560 Δlm= 0,0026 = 0,003l
n
n
ll
lll
−=
−=
5604,1
Naš konačni rezultat iskazujemo u obliku l = (1,560 + 0,003) m
Ili u excelu funkcija average
Maksimalna relativna pogreška
• Kada bismo htjeli procijeniti koliko je neki rezultat mjerenja
točan, onda nam maksimalna apsolutna pogreška nije mjera
za to.
• Primjer:
l = (15,60 + 0,03) m i d = (1,56 + 0,03) m
Ne možemo reći kako je točnost obaju rezultata jednaka iako je
maksimalna apsolutna pogreška jednaka. Zato uzimamo u
obzir maksimalnu relativnu pogrešku
%100
=
a
ar mam
Maksimalna relativna pogreška
• Izračunajmo maksimalnu relativnu pogrešku za prethodni primjer:
l = (15,60 + 0,03) m i d = (1,56 + 0,03) m
%100
=
l
lr mlm
%10060,15
03,0
= %2,0=
%100
=
d
dr m
dm%100
56,1
03,0
= %2=
Broj znamenaka u postotku ovisi o signifikantnim znamenkama
s kojima smo računali, no najčešće izražavamo kao 2% a ne 1,923%)
Postotna pogreška:
Kako izračunati odstupanje od tablične vrijednosti
neku veličinu koju smo tražili tj. postotnu
pogrešku?
Naboj elektrona iz tablice iznosi:
A naša mjerenja su dala rezultat:
Ce tab
19
. 10602,1 −=
Ce 19105,1 −=
=ep =
−
−
−−
%10010602,1
105,110602,1
19
1919
% 6=−
%100.
.
tab
tab
e
ee
Utjecaj pogrešaka izmjerenih veličina
na izvedene veličine • Pri mnogim mjerenjima neće nam biti dovoljno da neposredno
izmjerimo jednu ili više veličina. Često ćemo rezultat izračunati tek
pomoću izmjerenih veličina.
• Primjer je izračun površine
P = a x b
Pitamo se kako pogreške pri mjerenju a i b utječu na P?
Odgovor se nalazi u već spomenuto knjizi Vježbe iz fizike autorica
Vernić-Mikuličić.
%100
+
=
b
b
a
ar mm
Pm
abbaP mm +=
Crtanje grafova:
• Kod crtanja grafova važno je odrediti što nam
ide na apcisu (x -os), a što na ordinatu (y -os).
Obično nam je to uvijek zadano u zadatku.
• Primjer:
• nacrtajte krivulju F = f (d).
• Tada ćemo na apcisu staviti d, a na ordinatu F
(jer je F funkcija od d).
Neka su nam ovo rezultati mjerenja:
Tablica 1.
mjerenje
jedinica
d F
cm N
1. 1,0 10
2. 2,0 21
3. 3,0 33
4. 4,0 39
5. 5,0 48
Nacrtajmo krivulju F = f (d).
Graf F-d
0
10
20
30
40
50
60
0 1 2 3 4 5
d (cm)
F (
N)
Graf: ovisnost F o d
Možemo li sve točke spojiti jednim pravcem?
?
0
10
20
30
40
50
60
0 1 2 3 4 5
F (
N)
d (cm)
Graf F-d
Vidimo kako sve točke ne leže točno na pravcu, već ima malo
odstupanje. Kako naći pravac koji najbolje odgovara tj. najbolje
aproksimira sve mjerene rezultate?
Metoda najmanjih kvadrata
d F d2
1,0 10 10 1,0
2,0 21 42 4,0
3,0 33 99 9,0
4,0 39 156 16
5,0 48 240 25
3,0 30,2 109,4 11
9,0
90,6
Fd
=d =F = Fd =2d
=2
d
= Fd
Ne zaboravite kako su ovi brojevi zaokruženi, a kako ćemo ih koristit
u daljnjem računu …
Tablica:
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +=
tada je jednadžba pravca za naš slučaj bdaF +=
Pomoću metode najmanjih kvadrata možemo odrediti koeficijente a i b.
F = f (d)
Izračun koeficijenta smjera pravca:
22
xy x yk
x x
− =
−
tj. =a
Izračun odsječka na osi ordinati:
l y k x= −
=b
DZ
a ili
==−
−=
−
−
2
8,18
911
6,904,10922 dd
FdFdN /m 4,9
b ili
tj.=−=−=− 2,282,3034,92,30laF N 0,2
DZ
bdaF +=
N 0,24,9 += dF
Naša jednadžba pravca sada glasi:
Za provjeru svog računa - u excelu dodamo na grafu trendline – prikaži jednadžbu pravca
Naravno, ovo vrijedi samo ako je veza linearna,
za kvadratnu, eksponencionalnu ili neku drugu vezu
postoje male prilagodbe.
Crtanje grafova - veličina
• Mjerilo odabiremo takvo da čitav dijagram stane na format kojim
raspolažemo
• Preveliki grafikon (veliko mjerilo) navodi da se vrijednosti s grafikona
očitavaju točnije od stvarnog mjerenja i dovode do rasipanja podataka
iz čega je teže zaključiti ovisnosti
• Točnost crtanja iznosi + 0,5 mm
• Točnost mjerenja u našem praktikumu je otprilike od 1% do 10%
• Primjer:
maksimalni mjereni iznos je 132 N (100%, za x os)
točnost mjerenja 2%
točnost crtanja + 0,5 mm (uvijek isto)
tada nam x osi od 132 N (100%) odgovara 0,5*(100/2) = 25 mm
analogijom računamo i za y os
• Pitanja?
• Hvala na pozornosti
Igor Miklavčić