Vse co jste chteli vedet o cıslech a bali jstese zeptat

Jakub SotolaMatematicke patky

13. 11. 2009

Toto je doprovodny text k prednasce, kterou jsem udelal v ramci Matematickych patkupro stredoskolaky na Slezske univerzite v Opave na pozadanı RNDr. Jany Kopfove, PhD.Prezentaci k teto prednasce (a dalsı texty a prezentace) naleznete na webove adresehttp://students.math.slu.cz/JakubSotola.

1 Pocatky pocıtanı a slova pro cısla

Jak vlastne lide zacali pocıtat? Nejdrıve si museli udelat predstavu o tom, co je vıc, mene,stejne. To bylo jednoduche, kdyz slo sest muzu lovit a meli jen pet ostepu, na jednohonezbyl a museli ho tedy nejdrıv vyrobit. Tento system prirazovanı byl zakladem pocıtanı.U malych stad (do peti kusu) bylo snadne poznat, ze jedna ovce, koza ci krava chybı, mimojine i podle chybejıcı (neme) tvare. S vetsımi stady to uz byl problem, pastevci neumelidost dobre pocıtat, ale prirazovanı byla ta spravna finta fn, ktera ho vyresila. Za kazdouovci pustenou z ohrady se premıstil jeden kamen z kose

”ovce v ohrade“ do kose

”ovce

na pastve“ a pri navratu opacne.Jak se pocıtanı a cısla vyvıjela dal muzeme vysledovat take z jazyku. Stacı si vsımat vztahumezi slovy, jejich spolecnych korenu a dohledat tak vyvoj slov oznacujıcıch (nejen) cısla.Neboli – pomoci nam muze lingvisticka veda, ktera se zabyva vznikem a vyvojem slova nazyva se etymologie.Z etymologickych poznatku nam vyplyva, ze se cısla neobjevila naraz, ale postupne. Zacaloto s

”jedna“,

”dve“,

”mnoho“. Cokoliv vıc nez dve bylo tedy mnoho. Doklada nam to treba

latina, kde”trans“ znamena

”pres“ nebo

”za“, a podobne slovıcko

”tres“ znamena

”tri“.

Jeste viditelnejsı je to ve francouzstine – zatımco”tri“ se rekne

”trois“, tak

”tres“ znamena

”velky“ nebo

”velmi“.

Dalsım dokladem o pocıtanı jedna-dva-mnoho jsou mluvnicka cısla, dnes mame v cestinepouze dve tyto kategorie – cıslo jednotne a cıslo mnozne. Ale kdyz sklonujte treba ruce nebonohy, pouzıvate – mozna aniz byste to vedeli – cıslo dvojne (tzv. dual). Ruka bez ruky jako

1

zena bez zeny, ale s rukama a s zenami. V tomto prıpade cıslo dvojne zcela nahradilo plurala zdegenerovalo tak pouze v malou nepravidelnost. Ale v jinych jazycıch (napr. finstina,arabstina) se dvojne cıslo doposud pouzıva rovnocenne s jednotnym a mnoznym. Nektereoceanske jazyky dokonce pouzıvajı cısla trojna a ctverna a teprve pak mnozna.Jak predznamenala predchozı veta, dalsı vyvoj smeroval (logicky) ke trojce a ctyrce. Jaktento skok asi prisel si muzeme ilustrovat na jazyce australskeho naroda Arandu. Tipouzıvajı pro vyjadrenı trojky a ctyrky slozene vyrazy

”tara-ma-ninta“ a

”tara-ma-tara“,

tedy”dve a jedna“ a

”dve a dve“. Dalsı cıslovky vsak uz jejich slovnık neobsahuje.

Tady uz se zacala tvorba cıslovek zobecnovat – mısto tvorby specialnıch vyrazu pro jed-notliva cısla se zacaly hledat pravidla, jak pojmenovat libovolne velke nove cıslo. Jinymislovy zacaly vznikat prvnı cıselne soustavy. Nejdrıve byly podobne konecne jako systemtara-ma-tara, ale postupne zacaly bytnet. Zaroven s narustem nejvyssıho vyjadreneho cıslarostl i zaklad. Z dvojkove soustavy se stala ctyrkova, a z te osmickova.Dokladem tohoto vyvoje je jednak to, ze v nekterych jazycıch ma ctyrka nebo osmickapri sklonovanı koncovku dualu. A jednak opet prıbuznost slov – tentokrat

”devet“ a

”novy“,

tedy v latine -”novem“,

”novus“ nebo v nemcine -

”neun“ a

”neu“, ktery naznacuje, ze

devıtka byla jistou novinkou v pocıtanı.Dnes ale pocıtame v soustave desıtkove. To proto, ze do vyvoje cıselnych soustav zasahovalyi dalsı vlivy – pet prstu na ruce, deset na obou dvou, dvacet prstu celkem,

”na tucty vyjde

vse lacinejc“ (jak v nevhodnou chvıli, ale jiste pravdive, poznamenal dobry vojak Svejk)a dalsı. Vyvıjely se tak soustavy petkove, desıtkove, dvanactkove, patnactkove, dvacıtkovea dokonce sedesatkove. O tech si ale povıme nıze.Mimochodem – ctyrka se taky vaze k ruce – krome palce, ktery je svym zpusobem specialnıjsou na ruce prsty prave ctyri! - V antice se jako delkove jednotky pouzıvaly prave prsty(na sırku) a dlane, kdyz ctyri prsty daly jednu dlan. Dalsı zajımavostı, ze anglicke slovo

”digit“ -

”cıslice“, ktere tak dobre zname ze vsech tech digitalnıch vecı, pochazı z latinskeho

”digitus“, coz znamena

”prst“.

Pozustatky po ruznych cıselnych soustavach muzeme opet vysledovat v jazyce. V cestinejsou to treba tucty, kopy a mandele (12, 60, resp. 15 kusu) nebo

”-nactky“, ktere naznacujı

dvacıtkovou soustavu. V jinych jazycıch jsou tyto naznaky jeste patrnejsı. Treba v ang-lictine – eleven a twelwe (jedenact a dvanact), krome toho, ze se od ostatnıch cıslovekvyrazne lisı jsou patrne odvozeny od

”one left“,

”two left“, tedy

”jeden zbyl“,

”dva zbyly“

- rozumej po napocıtanı do deseti. Toto krasne ilustruje konflikt desıtkove a dvanactkovesoustavy. Ve francouzstine je pak patrny taky vliv soustavy dvacıtkove – osmdesat se reknequatre-vingts, tedy ctyri dvacıtky. Devadesat je pak quatre-vingts-dix, ctyri dvacıtky a de-set.Pro uplnost dodejme taky, ze sedesatkova soustava se dosud pouzıva – v merenı casua rovinnych uhlu.Kdyz vidıme na paklıku cedecek cıslo sest, vıme, ze to znamena sest cedecek. Kdyz vidımecıslo sest na sedadle (treba v divadle), vıme, ze to znamena seste sedadlo v rade. Rozdıltechto vyznamu cıslovek je nam jasny jako facka. Lingvistika nas ale zase presvedcı, zetomu tak nebylo vzdycky. Vsimnete si rozdılu mezi slovem jedna a prvnı (ci dva a druhy),nebo rozdılu mezi dva a polovina. Nızke radove cıslovky ci zlomky se od tech zakladnıch

2

znacne lisı. Tyto rozdıly jsou opet patrne i v jinych jazycıch – one × first, two × second,three × third.Nas lingvisticky exkurz uzavreme touto kuriozitou – prıslusnıci kanadskeho indianskehokmene Cimjsanu pouzıvajı pro ruzne predmety ruzne cıslovky (viz tabulka) – a konsta-tovanım, ze proste pocıtanı je tak abstraktnı zalezitost, ze zbytek matematiky je protitomu naprosto jasny a zrejmy.

Cıslo Pocıtanıjen tak

Plochepredmety

Kulatepredmety

Dlouhepredmety

Lide Kanoe Mıry

1 Gyak Gak G‘erel K‘awutskan K‘al K‘amaet K‘al2 T‘epqat T‘epqat Goupel Gaopskan T‘epqadal G‘alpeeltk Gulbel3 Guant Guant Gutle Galtskan Gulal Galtskantk Guleont4 Tqalpq Tqalpq Tqalpq Tqaapskan Tqalpqdal Tqalpqsk Tqalpqalont5 Ketone Ketone Ketone K‘etoentskan Keenecal Tetoonsk Ketonsilont6 K‘alt K‘alt K‘alt K‘aoltskan K‘aldal K‘altk K‘aldelont7 T‘epqalt T‘epqalt T‘epqalt T‘epqaltskan T‘epqaldal T‘epqaltk T‘epqaldelont8 Guandalt Yuktalt Yuktalt Ek‘tlaedskan Yuktiedal Yuktalk Yuktaldelont9 Ketemac Ketemac Ketemac Ketemaetskan Ketemacal Ketemack Ketemasilont10 Gy‘ap Gy‘ap Kpeel Kpeetskan Kpal Gy‘apsk Kpeont

2 Pocıtanı pro pokrocile aneb znaky pro cısla

S vynalezem pısma (a pısmen) je neodlucitelne spojen i vynalez cıslic. Pro pripomenutı –cıslice je jako pısmeno, zatımco cıslo je jako slovo. O zpusobu zapisu cısel mluvıme obvyklejako o cıselne soustave (tento pojem jsem vlastne pouzil uz v predchozı casti).Cıselne soustavy (nebo prıslusne cıslice) se historicky jmenujı podle (domnele) zeme puvodu.Mezi nejznamejsı patrı rımske a arabske, my si ale predstavıme i nektere dalsı. Dale secıselne soustavy delı na pozicnı a nepozicnı – co to znamena si rekneme nıze. Nejprve sipredstavme zapisy nepozicnı.

2.1 Egyptske cıslice

Jednotlive cıslice predstavujı – svislou caru, patu, provaz, lotos, ukazovak, pulce (zabu,mnıka), udiveneho cloveka.Dvacet sedm by se vyjadrilo jako ||||||| ∩ ∩, na poradı cıslic nezaviselo, cıslo se uzavıralodo ovalu.Egyptske cıslice reprezentujı nejjednodussı zpusob zapisu cısel, podobny zapis pouzıvalo

3

i mnoho jinych kultur.

2.2 Rımske cıslice

Rımske cıslice urcite dobre znate. Ale pro jistotu je pripomenu:

I V X L C D M1 5 10 50 100 500 1000

Rımska soustava je unikatnı, protoze pouzıva odcıtacı princip – ctyrka se zapıse zapıse jako

”pet mınus jedna“ nebo

”jedna zbyva do peti“, tedy – jak znamo – IV. Ale u vetsıch cısel

dıky tomu vznikajı nejednoznacnosti. Ma se psat IMM, MIM, nebo MCMXCIX? Zapisujese 45 jako VL, nebo XLV? Proto se zavadı urcita pravidla:

• Odcıta se nejvyse jedna cıslice a pokud se muze odcıtat, tak se musı (toto pravidlojiste znate a ani ja jsem ho pri nabızenı ruznych variant rımskych cısel neporusil).

• Odcıtajı se pouze desıtkove cıslice – I,X,C,(M). Toto vylucuje zapis VL.

• Odcıta se pouze od cıslice nejvyse desetkrat vetsı. I tedy muze byt pred V a X, alepred zadnou zbyvajıcı cıslicı, X muze predchazet cıslicım L a C, ale nikdy D neboM. Toto pravidlo vylucuje zapisy MIM a IMM.

• Po cıslici od ktere jsme odcıtali uz muze nasledovat pouze cıslice mensı. (CMM bytedy byl take nespravny zapis).

Tato pravidla jsou vsak velmi komplikovana.

2.3 Cınske cıslice a pozicnı soustava

Tradicnı cınska soustava je mnohem lepsı nez vsechny, ktere jsme si doposud predstavili.Jiz se velmi blızı pozicnım soustavam, a to dokonce natolik, ze bychom mohli hovorito soustave pseudopozicnı.Cınane pouzıvali celkem ctrnact cıslic – pro 1-9 (rekneme zakladnı) a pak pro desıtky,stovky, tisıce, desetitisıce a statisıce (rekneme radove, nikoli vsak radove). Zapisovali jedo sloupcu, vzdy jedna zakladnı a jedna radova – ty v sestupnem poradı.

4

S tradicnımi cınskymi cıslicemi se muzete setkat naprıklad na mahjongovych kostkach.V Cıne uz dnes prijali dokonalejsı cıslice arabske.Ted’ si ukazeme druhou sadu starocınskych cıslic. A na jejich prıkladu si konecne vysvetlıme,co je to ta pozicnı soustava. Tato sada obsahuje celkem osmnact cıslic - dva znaky pro kaz-dou cıslici (toto nenı pro pozicnı zapisy nutnostı). Cıslice se zapisujı podobne jako tytradicnı – jen chybejıcı radove cıslice se vynechavajı a dve sady cıslic se strıdajı – pro lichyrad jedna sada a pro sudy druha.

Cıslo z obrazku se tedy da interpretovat jako 5·1 000+6·100+6·10+2. Je to tedy podobnearabskym cıslicım, ktere se take zapisujı pozicnım systemem. Je tu ale jeden rozdıl – nula.Ta se znazornovala vynechavkou – strıdanı sad tak pomahala si ji uvedomit.Tyto cıslice se puvodne nepsaly – symbolizovaly se tycemi. Slo tedy o jakesi pocıtadlo.

2.4 Rozdıly mezi pozicnımi a nepozicnımi soustavami

Nez si popıseme dalsı pozicnı soustavy, zjisteme v cem jsou tak vyhodne. V jednoduchostito shrnme v nasledujıcı tabulce.

Nepozicnı Cınsky pseudopozicnı PozicnıPısemne pocty neumoznuje umoznuje umoznujeDesetinna cısla spıse neumoznuje neprımo umoznuje umoznujeZapis libovolnevelkych cısel

neumoznuje neumoznuje umoznuje

Delka (celeho) cıslavs. delka zapisu

ruzna ”prıma umera” ”prıma umera”

Potreba nuly vubec vubec pomerne nutna

Zapis desetinnych cısel by se dal nejak zarıdit jak u tradicnıch cınskych cıslic, tak u cıslicegyptskych. U cıslic rımskych by vsak byl znacne problematicky.

5

U nepozicnıch soustav by nebyl az takovy problem zapsat libovolne velke cıslo, jen byobsahovalo obrovske mnozstvı nejvetsıch cıslic (M, resp. udiveny clovek). U tradicnıhocınskeho zapisu by to vsak vyzadovalo zavedenı novych radovych cıslic.Dalsım problemem – byt’ spıse estetickym – je delka cısla. U nepozicnıho zapisu se delkacısla menı naprosto nepravidelne, zatımco u zapisu pozicnıho platı – cım vetsı cıslo, tımdelsı zapis (tedy u cısel prirozenych). O klasickou prımou umeru samozrejme nejde.Jedinou nevyhodou pozicnıho systemu je to, ze bez nuly se stava neprehlednym. Ale i prestovyhrava pozicnı zapis mezi ostatnımi (znamymi) na cele care.

2.5 Sumerske cıslice

Techto padesat devet znaku jsou opravdu vsechno pouze cıslice. Zapisovaly se pozicne,nula se znacila vynechanym mıstem. Podle dosavadnıch poznatku vymysleli pozicnı sous-tavu jako prvnı prave Sumerane.

2.6 Mayske cıslice

Mayske cıslice jsou vedle arabskych jedny z nejdokonalejsıch – patrı mezi ne totiz i nula,ktera se znazornovala piktogramem musle. Zasadnım rozdılem oproti arabskym je, ve-dle poctu cıslic, to, ze nejsou predstavovany zadnymi abstraktnımi klikyhaky, ale jsou to

6

systematicke skupiny symbolu jako tomu je i u cıslic cınskych (tech druhych) nebo baby-lonskych.

2.7 Arabske cıslice

Pochazı z Indie, pravdepodobne z civilizace okolo mest Mohendzo-Daro a Harappa. Je jichdeset (vcetne nuly) a zapisujı se pozicne. Do Evropy je behem stredoveku prinesli arabstıucenci. Puvodne mozna taky systematicke ale predavanım mezi generacemi a kulturamiprosly podobnym vyvojem jako pısmo a nabyly abstraktnı podoby. Na obrazku muzetevidet ruzne verze arabskych cıslic - puvodnı, hindskou, arabskou (tyto dve varianty se takestale pouzıvajı), stredovekou evropskou a modernı evropskou (i se zdrojem obrazku).Prave tyto cıslice dnes dominujı svetu – jine se prakticky nepouzıvajı.

7

2.8”Kupecke soustavy“

Kupeckymi soustavami myslım dnes jiz zastarale pocıtanı na tucty, mandele a kopy. Jsouto vlastne tri ruzne soustavy:

• dvanactkova – tucet = 12, veletucet = tucet tuctu = 144

• patnactkova – mandel = 15

• sedesatkova – kopa = 60, velekopa = kopa kop = 3 600.

Pro vysvetlenı pojmu dvanactkova soustava apod. viz sekce Cıselne soustavy a jejichzaklady.

2.9”Ploty“

Ano, mam na mysli cıslice typicke pro hospodske lıstky. Jsou to sice jednoduche, az pri-mitivnı cıslice, ale majı jednu velkou vyhodu pri pocıtanı pri pocıtanı predem neznamehopoctu kusu, jsou rychle napsane, prehledne a scıtajı se skoro samy.Jde samozrejme o soustavu nepozicnı.

2.10 Morseovy cıslice

Soucastı Morseovy telegraficke abecedy jsou samozrejme i cıslice. Sammuel Morse vychazel,pochopitelne, z cıslic arabskych. Nicmene na rozdıl od pısmen jsou cıslice opet systematicke.A tento system je dokonce cyklicky.

1 2 3 4 5. - - - - . . - - - . . . - - . . . . - . . . . .

6 7 8 9 0- . . . . - - . . . - - - . . - - - - . - - - - -

2.11 Jine znaky

K zapisu cısel neodmyslitelne patrı i jine symboly nez jen cıslice. Naprıklad znamenko

”+“ vzniklo zkomolenım latinskeho

”et“, tedy

”a“. Znamenko

”–“ zase vzniklo zkomolenım

pısmene”m“ jako minus. Znamenko

”=“ pak zavedl v roce 1557 Robert Recorde a vysvetlil,

ze prece nic si nemuze byt rovnejsı nez dve rovnobezky. Drıve se pro vyjadrenı rovnostipouzıval symbol α nebo æ jako latinske

”aequalis“, tedy

”roven“.

Mezi dalsı specialnı znaky patrı zlomkova cara delıcı cıslo (zlomek) na citatel a jmenovatel.Podobny zapis pouzıvali uz starovecı Egypt’ane, jen mısto cary pouzıvali symbol ust.Ruznymi zpusoby se znacila cısla zaporna – ktera byla (mimo Evropu) take znama uzve staroveku. Cınane pouzıvali pro odlisenı zapornych cısel cerveny inkoust, Indove psalizaporna cısla do kruhu a Arabove pouzıvali tecku nad cıslem.

8

2.12 Cıselne soustavy a jejich zaklady

O cıselnych soustavach jsem se zmınil uz v casti o pojmenovanı cısel. Tam jsem pouzıval po-jmenovanı odvozene do cısel – dvojkova, osmickova, desıtkova, dvanactkova, sedesatkova,...Tato pojmenovanı se vztahujı k takzvanemu zakladu soustavy. U pozicnıch soustav se dazaklad jednoduse charakterizovat jako pocet cıslic nebo pocet cıslic plus jedna (podle toho,jestli mezi dane cıslic patrı i nula). Slozite recene si ilustrujme jednoduchym prıkladem –arabske cıslice tvorı soustavu desıtkovou, podobne jako cınsky pozicnı zapis. Arabskychcıslic je deset - {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, cınskych devet - {|, ||, |||, ||||,>, . . . } (tedy v jednesade).O neco vyse jsem popsal jak se da cıslo 5 662 v desıtkove soustave (zapsane cınskymi ciarabskymi cıslicemi) rozepsat takto:

5 662 = 5 · 1000 + 6 · 100 + 6 · 10 + 2 = 5 · 103 + 6 · 102 + 6 · 101 + 2 · 100,

tedy na soucet (celocıselnych) mocnin deseti vynasobenych jednocifernymi cısly. To, ze jdeo mocniny prave deseti samozrejme nenı nahoda.Mayove pouzıvali soustavu dvacıtkovou, zapis 5 662 by tedy chapali jako 42 522.

5 · 203 + 6 · 202 + 6 · 20 + 2 = 42 522

Sumerove by tentyz zapis chapali dokonce jako 1 101 962.

5 · 603 + 6 · 602 + 6 · 60 + 2 = 1 101 962

V osmickove soustave by to delalo 2 994.

5 · 83 + 6 · 82 + 6 · 8 + 2 = 2 994

Ve dvojkove soustave by zapis 5 662 nemel smysl, protoze ta je tvorena pouze cıslicemi0 a 1.To by snad stacilo k pochopenı pozicnıch(!) soustav s ruznymi zaklady, zaroven jsempredvedl jak se da cıslo zapsane v libovolne soustave prepocıtat do soustavy desıtkove.Co kdyz bych ale mel cıslo zapsane v soustave desıtkove a chtel bych ho zapsat v soustaveo jinem zakladu? Ukazme si to na prevodu cısla 5 662 do dvojkove soustavy. Budeme nase

9

cıslo opakovane delit se zbytkem(!) zakladem pozadovane soustavy az dojdeme k nule:

5 662 : 2 = 2 831 (0)

2 831 : 2 = 1 415 (1)

1 415 : 2 = 707 (1)

707 : 2 = 353 (1)

353 : 2 = 176 (1)

176 : 2 = 88 (0)

88 : 2 = 44 (0)

44 : 2 = 22 (0)

22 : 2 = 11 (0)

11 : 2 = 5 (1)

5 : 2 = 2 (1)

2 : 2 = 1 (0)

1 : 2 = 0 (1)

Zbytky ctene odspodu pak tvorı hledany dvojkovy zapis, tedy 1 011 000 011 110. Kratsızapis bychom meli v soustave sestnactkove.

5 662 : 16 = 353 (14)

353 : 16 = 22 (1)

22 : 16 = 1 (6)

1 : 16 = 0 (1)

Vysel nam zbytek 14, to nevypada jako cıslice – v sestnactkove soustave to vsak cısliceje. Ale aby se nepletla s cıslicemi jedna a ctyri zapisuje jako E (A=10, B=11,...). Nasepokusne cıslo by se tedy v sestnactkove soustave zapsalo jako 1 61E.Ukazme si jeste prevod naseho pokusneho cısla do osmickove soustavy a zaroven si na nemdemonstrujme princip tohoto postupu. Ted’ preskocım az na konec a prozradım vysledek– 13 036, a platı tedy 5 662 = 84 + 3 · 83 + 3 · 8 + 6. Delme nynı rozepsane cıslo stejne jakou predchozıch prevodu.

(84 + 3 · 83 + 3 · 8 + 6) : 8 = 83 + 3 · 82 + 3(6)

(83 + 3 · 82 + 3) : 8 = 82 + 3 · 8(3)

(82 + 3 · 8) : 8 = 8 + 3(0)

(8 + 3) : 8 = 1(3)

1 : 8 = 0(1)

Vidıme, ze jednotlive rady postupnym delenım zdegenerujı na cısla mensı nez zaklad, tedyvlastne cıslice dane soustavy (nebo jednociferna cısla v dane soustave). A ty se v dalsım

10

kroku objevı ve zbytku po delenı.Zbyva zodpovedet otazku – proc je prevod do desıtkove soustavy podstatne jednodussı nezprevod z nı. Odpoved’ je jednoducha – vsechny vypocty totiz provadıme prave v desıtkovesoustave.Zkuste si pocıtat v jine soustave: je-li 33 = 33 kolik je pak 6 · 7? (Vysledek je 52, zakladsoustavy vam ale neprozradım.)Na dvojkove soustave je zalozeno i toto kouzlo. Dobrovolnık si myslı libovolne cıslo od jednedo sedesati trı a ukaze vsechny nasledujıcı tabulky, ve kterych se myslene cıslo nachazı.Kouzelnık secte prvnı cısla (tj. cısla v levych hornıch rozıch) v oznacenych tabulkach a zıskatak myslene cıslo.

1 3 5 7 9 11 13 15 2 3 6 7 10 11 14 1517 19 21 23 25 27 29 31 18 19 22 23 26 27 30 3133 35 37 39 41 43 45 47 34 35 38 39 42 43 46 4749 51 53 55 57 59 61 63 50 51 54 55 58 59 62 63

4 5 6 7 12 13 14 15 8 9 10 11 12 13 14 1520 21 22 23 28 29 30 31 24 25 26 27 28 29 30 3136 37 38 39 44 45 46 47 40 41 42 43 44 45 46 4752 53 54 55 60 61 62 63 56 57 58 59 60 61 62 63

16 17 18 19 20 21 22 23 32 33 34 35 36 37 38 3924 25 26 27 28 29 30 31 40 41 42 43 44 45 46 4748 49 50 51 52 53 54 55 48 49 50 51 52 53 54 5556 57 58 59 60 61 62 63 56 57 58 59 60 61 62 63

Prvnı cısla v tabulkach jsou dvojkove rady (2n). A vsechna cısla v prıslusne tabulceobsahujı ve svem dvojkovem rozvoji prave tento rad s nenulovou cıslicı (jednickou). Sedesattri je nejvyssı sesticiferne cıslo ve dvojkove soustave.

2.13 Zaklady nepozicnıch soustav

U nepozicnıch soustav se vetsinou o zakladu nemluvı – nema totiz ani zdaleka takovyvyznam jako u soustav pozicnıch. Navıc mohou mıt nektere nepozicnı soustavy zakladsmıseny. Takovou soustavu tvorı treba rımske cıslice – vyskytuje se tam dva zaklady –

”hlavnı“ desıtka a

”vedlejsı“ petka. Proc hlavnı a vedlejsı? Ryzı petkove rady jsou 5, 25,

125, . . . , zatımco rımske petkove rady jsou 5, 50 a 500.Egyptske cıslice a

”ploty“jsou pro zmenu soustavy o jedinem zakladu, a to konkretne deset,

resp. pet.

2.14 Vyuzitı nedesıtkovych soustav

Nejznamejsım je asi vyuzitı dvojkove soustavy v pocıtacove technice. Dvojkova cıslice (tedynula nebo jednicka) se nazyva bit, coz je zkratka z

”binar digit“ - tedy

”dvojkova cıslice“.

11

Osm bitu (neboli osmiciferne dvojkove cıslo) pak tvorı jeden byte, coz doslova znamena

”slabika“.

Jak uz jsem nekolikrat zmınil obchodnıci donedavna vyuzıvali dvanactkovou soustavu – toprotoze desıtka je delitelna pouze dvojkou a petkou (krome jednicky a sebe sama), zatımcotucet dvojkou, trojkou, ctyrkou a sestkou.V informacnıch technologiıch se dale vyuzıvajı treba osmickova nebo sestnactkova soustava.Sestnactkova se vyuzıva i v klasifikaci barevnych odstınu – puvodne pouze v html kodu,ale protoze jde o objektivnı pojmenovanı, rozsırilo se i do dalsıch oboru. Kazdy odstın jespecifikovan sestimıstnym sestnactkovym cıslem, kde 000 000 znamena cernou a FFF FFFbılou. Tento kod popisuje celkem 167 − 1 = 268 435 455 odstınu barev, ze kterych si snadvybere kazdy.

A pamatujte: jsou 10 druhy lidı ve vesmıru – ti, kterı znajı dvojkovou soustavu a ti,kterı ne.

3 Cıselne trıdy

•”Zakladnı “- N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C, I ⊂ R

N - mnozina vsech prirozenych cısel, Z - m. v. celych c., Q - m. v. racionalnıch c., R- m. v. realnych c., I - m. v. ryze imaginarnıch c., C - m. v. komplexnıch c.

•”Doplnkove“ - Q, C \Q, J ⊂ R \Q

Q - m. v. algebraickych c., C \Q - m. v. transcendentnıch c., J - m. v. iracionalnıchc.

• Zbytkove trıdy modulo m - Zm

Podrobneji o jednotlivych trıdach a jejich prvcıch v nasledujıcıch castech.

4 Prirozena cısla a prvocısla

Definice mnoziny vsech prirozenych cısel nenı uplne jednoznacna. Historicky by ji melatvorit cela kladna cısla, tedy cısla 1, 2, 3, . . . Ale pri nekterych matematickych inter-pretacıch je vyhodnejsı pridat do teto mnoziny i nulu – naprıklad pokud prirozena cıslachapeme jako pocty prvku (konecnych) mnozin. V Cesku se obvykle dava prednost

”his-

toricke“ variante, v USA naopak te”matematicke“.

Od nejednoznacne definice se odvıjı i ruzna oznacenı.

N0 m. v. prir. c. vcetne nulyN m. v. prir. c. at’ s nulou nebo bezN∗ m. v. prir. c. bez nuly

12

V souladu s ceskymi matematickymi zvyklostmi nebudeme nulu radit mezi prirozena cısla,pokud nebude receno jinak.

4.1 Fermatova veta

Roku 1637 si francouzsky pravnık a amatersky(!) matematik Pierre de Fermat poznamenalna okraj aritmetickeho spisu toto tvrzenı: zadna tri prirozena cısla a, b, c nesplnujı rovnicia2 + b2 = c2 pro libovolne prirozene n > 2 a ze okraj papıru je prılis maly na to, abyse mu tam vesel dukaz. Pak na vse patrne zapomnel, protoze dukaz nedodal ani pozdejia pripravil tak mnoho bezesnych nocı mnoha generacım matematiku.Fermatovu vetu dokazal az o 358 let pozdeji (tj. roku 1995) Andrew Wiles na zakladevysledku nemala predchudcu a pomocnıku a dukaz se rozhodne nevesel na okraj papıruzadneho znameho formatu. Jedna otazka vsak zustava – znal Fermat dukaz sveho tvrzenı?

4.2 Velka cısla

Dnes se bezne (ve financnictvı) pocıta s miliony, miliardami a dokonce i biliony. Mohloby se zdat, ze to jsou mezinarodnı slova, ale v americke anglictine (a bohuzel to pronikai do britske) zadny termın jako

”milliard“ neexistuje. Pocıta se takto – million, billion,

trillion, . . . To je ukazka nepochopenı systemu pojmenovanı vysokych cıslovek. Podıvejmese na to:

milion 106

miliarda 109 = 106+3

bilion 1012 = 102·6

biliarda 1015 = 102·6+3

trilion 1018 = 103·6

kvadrilion 1024 = 104·6

centilion 10600 = 10100·6

Predpona”bi-“ znacı dva, tedy logicky znacı dvojnasobny exponent (neboli dvojnasobny

pocet nul). Podobne predpona”tri-“ znamena trojnasobek, . . . Cıslovky koncıcı na

”-liarda“

pak predstavujı prechodne rady. Tento system je podstatne logictejsı nez ten americky.Miliarda je, nicmene, nepredstavitelne vysoke cıslo. Pro ilustraci miliarda korunovychmincı naskladana na sebe by vytvorila vez vysokou asi 1850 kilometru(!), sahala by tedyaz do exosfery. Dopravnı letadla bezne neletajı vys nez v 15 kilometrech. Naskladany vedlesebe (naplocho) by pak vytvorily retez delky 20 000 kilometru to je necela polovina delkyrovnıku. Spotrebovalo by se na ne 3 600 tun kovu.Ale existujı i podstatne vetsı cısla – traduje se, ze sachy vynalezl jisty Quaflan na zadostkrale Balhaita – za odmenu mu kral slıbil vyplnit kazde pranı. Quaflan mel jen jedine– na prvnı pole sachovnice jedno zrnko obilı, na druhe pole dve, a na kazde dalsı vzdydvojnasobek toho, co na predchozı. Kral jeho pranı puvodne povazoval za skromne. Ve sku-tecnosti to ale je celkem 36 893 488 147 419 103 231 (tricet sest trilionu osm set devadesattri biliard ctyri sta osmdesat osm bilionu sto ctyricet sedm miliard ctyri sta devatenact

13

milionu sto tri tisıc dve ste tricet jedna) zrnek obilı. Pri vaze 43 gramu na tisıc zrnekto je asi 1 586 419 990 339 (jeden a pul bilionu a nejake

”drobne“) tun obilı. Soucasna

svetova produkce psenice se pohybuje mezi sesti sty a sedmi sty miliony tun rocne. I kdyzsectu produkci vsech druhu obilnin (vcetne kukurice a ryze) troufam si tvrdit, ze takovemnozstvı obilı, jake si pral Quaflan, jeste lidstvo nevypestovalo.Predchozı historka nam demonstruje rychlost exponencialnıho rustu, ale existuje funkce(posloupnost), ktera narusta jeste rychleji – faktorial. V jednom balıcku zolıkovych karetje celkem 52 listu (bez zolıku), pocet vsech moznych kombinacı je 52! (padesat dva faktorial,tj. 52 ·51 ·50 · . . . ·1), coz je neco

”malo“ pres 8 ·1067 (nazyvalo by se to asi osmdesat undeci-

nebo undekalionu). Kdyby Buh (nebo kdokoliv jiny) namıchal kazdou sekundu od velkehotresku jinou kombinaci (presneji permutaci) nebyl by dnes ani v oktiliontine (vlastne bysotva zacal) – tedy pokud velky tresk nastal pred 13,7 miliardami let a ne MNOHEM,ALE MNOHEM drıv.

4.3 Magicka a mysticka cısla

V teto casti se vlastne budeme zabyvat numerologiı – nebo alespon necım podobnym.Pocatky teto (pa)vedy muzeme nalezt v antickem Recku a zejmena mezi zaky slavnehoPythagora. Historik Plutarchos pıse:

”Pythagorejci majı hruzu z cısla 17, nebot’ to lezı

prave mezi 16 (coz je ctverec 4 · 4) a 18 (coz je dvojnasobek ctverce 3 · 3).“ A jestli se jestenebojıte, tak jiste budete az si uvedomıte, ze cısla 16 a 18 jsou jedina cısla, predstavujıcıobsahy a zaroven obvody stejnych obdelnıku (respektive ctverce 4× 4 a obdelnıka 3× 6).Jednım z druhu magickych cısel jsou takzvana cısla dokonala– to jsou cısla, ktera se rovnajısouctu vsech svych delitelu (krome sebe sama samozrejme). Nejmensım z nich je sestka:6 = 1+2+3. Druhym je 28. Pak prudce narustajı – sestnacte uz ma 1 326 cıslic (a trumfnetak i nejvetsı cıslo z predchozı casti).Podobna dokonalym cıslum jsou cısla pratelska – jsou to vzdy dvojice cısel, ktera senavzajem rovnajı svym delitelum, jednomu z nich se pak rıka deficitnı a druhemu prebytkove.Deficitnı cıslo je to, jehoz soucet delitelu je mensı nez ono samo (a ten je roven cısluprebytkovemu) a naopak. Nejmensımi pratelskymi cısly jsou 220 a 284 – z nichz 220 jeprebytkove a 284 deficitnı.Zajımavym cıslem je treba 142 857 – nasobte ho dvojkou az sestkou. Dostanete cısla slozenaze stale stejnych cıslic (tj. cıslic 1, 2, 4, 5, 7 a 8). Pri vynasobenı 7 dostanete 999 999, cozby vas melo privest k tomu, ze se jedna o periodu jedne sedminy.Cıslo 102 564 se da velmi snadno vynasobit ctyrmi – stacı prehodit ctyrku z konce nazacatek. Jak bychom nasli podobne cıslo pro nasobenı trojkou? Koncı trojkou, predchozıcıslice je 3 · 3 = 9, predchozı je sedm (3 · 9 = 27), dalsı cıslici musıme zvetsit o dve . . .Vysledek je krapet delsı – 1 034 482 758 620 689 655 172 413 793. Mimochodem je toperioda cısla 3/29. Obecne takovato cısla pro jednociferna n dostaneme jako periodu cıslan/(10n− 1).Mezi magicka cısla urcite patrı i ctverce – tedy druhe mocniny nebo takzvana cısla pyra-midalnı. Jde o cısla vyjadrujıcı pocet koulı tvorıcıch pyramidu – 1, 5, 14, . . . Kazde patropyramidy je vlastne tvoreno ctvercem, jde tedy o soucty po sobe jdoucıch ctvercu. Jedno

14

cıslo je ale zaroven ctvercove i pyramidalnı – cıslo 4 900. A je opravdu jedine.Tuto cast uzavreme malym prehledem mystickych vyznamu cısel.

1 bozske, nejsvetejsı cıslo; symbol jednoty2 zensky princip3 muzsky princip, trojjedinost, otec-matka-dıte, minulost-prıtomnost-soucasnost4 pocet zivlu, v Japonsku cıslo smrti (stejny vyraz pro 4 i smrt)5 symbol soustredene sıly, pentagram, hlava-ruce-nohy, a dnes i Pentagon6 hexagram – Davidova hvezda, sest ve staroveku znamych planet7 uplnost, dokonalost – divy sveta, barvy duhy, smrtelne hrıchy, trpaslıci,. . .8 dva kruhy

9 3× 3, v antickem Recku pocet mesıcu, v Japonsku opet nestestı10 1+2+3+4, soucet Pythagorovych vyznamnych cısel, Desatero11 symbol hrıchu – o jedna vıc nez Desatero, nebo naopak jedenacte prikazanı12 st’astne cıslo, apostolove, zverokruh, kmeny Izraele, tucet13 nejobavanejsı nest’astne cıslo; pocet osob pri poslednı veceri; v babylonskem

kalendari byl tento mesıc ve znamenı havrana; trinacty tarot je smrt; cıslo 666 jeve trinacte kapitole Janova zjevenı; triskaidekafobie je chorobny strach z trinactky;v Britskych a Americkych hotelech nenajdete pokoje ci dokonce patra s cıslemtrinact; patek trinacteho, trinacty den v mesıci pripada nejcasteji prave na patek,a dokonce i tato prednaska se konala v patek trinacteho; naopak st’astnym cıslem jev kabale, ve staroegyptskem a mayskem nabozenstvı

17 nest’astne cıslo, zejmena v Italii, Renault 17 se tam prodaval jako 117 – asi tam jemnoho Pythagorovych obdivovatelu

108 svate cıslo buddhismu666 cıslo selmy, satana, zla – podle Kabalske numerologie mu odpovıda jmeno Nero

4.4 Prvocısla

Prvocısla asi nemusım nijak sahodlouze predstavovat – jsou to prirozena cısla kromejednicky, ktera jsou delitelna pouze jednickou a sama sebou. Zbyla prirozena cısla (opetkrome jednicky) pak nazyvame cısly slozenymi.Prvocısla jsou nepochybne nejzajımavejsı a nejzahadnejsı mnozinou prirozenych cısel. Za-hadou je uz jejı obsah – ktera cısla jsou prvocısly a ktera ne? Jaky je obecny predpispro prvocısla? Existuje vubec nejaky? Snadno muzeme odhalit mala prvocısla – pomocıtakzvaneho Eratosthenova sıta. To je algoritmus (postup), ktery spocıva v postupnem

”prosevanı“ cısel od dvojky do dane meze. V prvnım kroku odstranıme (prosejeme) vsechny

nasobky nejmensıho prvocısla – dvojky. V druhem kroku odstranıme vsechny nasobkynasledujıcıho prvocısla – trojky. Ve tretım kroku odstranujeme nasobky petky, protozectyrku jsme odstranili uz v prvnım kroku, . . . Jakmile se dostaneme k prvocıslu, ktere jevetsı nez odmocnina z dane meze muzeme uz vsechna zbyla cısla prohlasit za prvocısla. Era-tosthenovo sıto si muzete snadno vyzkouset na http://www.hbmeyer.de/eratosiv.htm.

15

Podobne muzeme zjistit, zda je nektere cıslo prvocıslem – zkousıme delitelnost cısly od dvo-jky do odmocniny ze zkoumaneho cısla. Kdyz nenı delitelne nicım, je to prvocıslo.Britsky matematik Godfrey Harold Hardy vypocıtal, ze prvocısel mensıch nez miliarda je50 847 478. Soucasne nejvetsım znamym prvocıslem je 243 112 609 − 1, ma 12 978 189cıslic a bylo objeveno roku 2008.Co ale o prvocıslech vıme je, ze jich je nekonecne mnozstvı. Dukaz je snadny a protoho i uvedu: mejme libovolnou konecnou mnozinu prvocısel P0 – vynasobme vsechny jejıprvky a pricteme jedna. Vysledek je delitelny vsemi prvocısly z P0 se zbytkem jedna, tedynedelitelny. Jedna se tak bud’ o prvocıslo nebo o soucin prvocısel, ktera nepatrı do P0.Ke kazde konecne mnozine prvocısel tak muzeme nalezt dalsı (alespon jedno) prvocıslo. –Tento dukaz popsal uz Eukleides. Tvrzenı o nekonecnem mnozstvı prvocısel se tak nekdyuvadı jako Eukleidova veta.Jistou prvocıselnou zajımavost popsal Pierre Fermat – kazde prvocıslo, ktere lze zapsatjako 4n+ 1 (kde n ∈ N) je souctem dvou ctvercu.Zajımava posloupnost prvocısel zacına cıslem 41. Postupne pricıtejte suda cısla. Dostaneteposloupnost ctyriceti prvocısel. Poslednım je 1601.

4.5 Typy prvocısel

Podle urcitych vlastnostı (a predevsım podle formy zapisu) rozlisujeme mnoho typu prvo-cısel. Uvedu ty nejzajımavejsı.Zakladnım typem jsou prvocıselna dvojcata – dvojice prvocısel lisıcıch se o dve. Naprıklad:3 a 5, 5 a 7, 11 a 13, 17 a 19, . . . , 2 591 a 2 593, . . . Nejvetsımi dosud objevenymiprvocıselnymi dvojcaty jsou65 516 458 355 · 2333 333 ± 1 o 100 355 cıslicıch, objevena bylaletos, tedy v roce 2009. Je nevyresenou zahadou, kolik dvojcat vlastne existuje. Hypotezatvrdı, ze jich je nekonecne mnozstvı.Mersennova prvocısla jsou ta, ktera se dajı zapsat ve tvaru 2p−1, kde p je prvocıslo. Jejichhlavnı vyhoda spocıva v pomerne rychlem algoritmu proverovanı jejich

”prvocıselnosti“.

Uvedene nejvetsı prvocıslo je take Mersennovo.Jako Fermatova jsou znama ta prvocısla, ktera se dajı zapsat ve tvaru 22n

+ 1. Je znamopouze pet Fermatovych prvocısel – 3, 5, 17, 257 a 65 537, tedy pro n = 0, . . . , 4. Vı se, zepron = 5, . . . 32 se jedna o slozena cısla. Vyznam Fermatovych prvocısel tkvı v moznostia nemoznosti zkonstruovat pravidelny m-uhelnık (pouze pravıtkem a kruzıtkem). Nutnoua postacujıcı podmınkou je, aby m, bylo vyjadritelne jako soucin mocniny dvojky (vcetneprvnı a nulte) a libovolneho poctu ruznych Fermatovych prvocısel. Je tedy mozne zkon-struovat pravidelne mnohouhelnıky o 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, . . . vrcholech, zatımcopravidelny sedmi- nebo devıtiuhelnık zkonstruovat mozne nenı.Po Sophii Germainove se jmenujı ta prvocısla, jejichz dvojnasobek zvetseny o jedna jetake prvocıslo. Naprıklad: 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, . . . Nejvetsım dosud objevenym Ger-mainove prvocıslem je udajne 620 366 307 356 565·2253 824 o 76 424 cıslicıch. Objeveno bylov listopadu tohoto roku (!) tymem mad’arskych matematiku. Podobne jako u prvocıselnychdvojcat je nevyresenou otazkou, zda je Germainove prvocısel nekonecne mnoho.Dalsım zajımavym typem prvocısel jsou faktorialnı a primorialnı. Tedy prvocısla tvaru

16

n!± 1, p#± 1, kde # znacı primorial – prvocıselny faktorial, n prirozene c. a p prvocıslo.Tato prvocısla nejsou ani tak zajımava jako spıse fakt, ze cısla n! + 2, . . . , n! + n a p# +2, . . . , p# + q − 1, kde q je prvocıslo bezprostredne nasledujıcı po p, jsou slozena.Pro zajımavost zminme jeste sexy prvocısla – jde opet o prvocıselne dvojice, tentokrat lisıcıse o sest. Naprıklad: 5 a 11, 7 a 13, 11 a 17, . . . , 191 a 197, . . .

4.6 Goldbachova hypoteza

Roku 1742 napsal prusky matematik Christian Goldbach svemu slavnejsımu prıteli Leon-hardu Eulerovi tuto hypotezu:

”Kazde sude (prirozene) cıslo vetsı nez dve muze byt zapsano jako soucet dvou prvocısel.“

Euler mu obratem odepsal ekvivalentnı tvrzenı:

”Kazde prirozene cıslo vetsı nez pet muze byt zapsano jako soucet trı prvocısel.“

Tato tvrzenı nebyla dosud dokazana (ani vyvracena), prestoze jsou patrne pravdiva. Protose o nich mluvı jako o Goldbachove hypoteze.

5 Racionalnı cısla

Jak vsichni dobre vıme, jde o cısla, ktera lze vyjadrit jako zlomky tvaru:

p

q; p ∈ Z, q ∈ N.

Tady se nam hodı to, ze nula do N nepatrı. Pokud bychom chteli racionalnı cısla vyjadritv desetinnem tvaru, mely konecny, nebo periodicky rozvoj.Ukazme si tedy jak prevest periodicke cıslo na zlomek. Vezmeme si treba x = 0, 09.Vynasobme stem a odecteme puvodnı cıslo:

9, 09− 0, 09 = 9.

Dostali jsme tak:100x− x = 99x = 9,

odkud uz snadno vyjadrıme:

x =9

99=

1

11.

Ukazme si jeste jak se vyporadat s predperiodou treba na x = 0, 16:

16, 6− 1, 6 = 15 ⇒ 100x− 10x = 90x = 15 ⇒ x =9

15=

1

6.

Racionalnı cısla uzavreme tvrzenım, ze v kazdem realnem intervalu lezı alespon jednoracionalnı cıslo a o Q se tak rıka, ze je husta v R.

17

6 Realna cısla

Po dlouhou dobu byla (alespon v Evrope) realna (resp. iracionalnı) cısla odmıtana. Staro-vecı a stredovecı matematici byli presvedceni o tom, ze vsechna cısla lze vyjadrit zlomkem.Pritom mnoho iracionalnıch cısel znali (a zlomkem je vyjadrit neumeli) -

√2,√

3, π, ϕ, . . .Pısmenem ϕ se znacı tzv. zlaty rez.

6.1 Zlaty rez

Rozdelme usecku na dve casti delek a a b, tak aby se pomer techto casti rovnal pomeruvetsı z nich k cele usecce. Tento pomer se znacı ϕ na pocest antickeho sochare a architektaFeidia.

a

b=a+ b

a= ϕ

Snadno muzeme spocıst presnou hodnotu teto konstanty. Z definice zlateho rezu vyplyva,ze a = bϕ. Dosazenım do definice zlateho rezu dostavame:

bϕ

b=bϕ+ b

bϕ⇒ ϕ =

ϕ+ 1

ϕ⇒ ϕ2 − ϕ− 1 = 0

To je ale jednoducha kvadraticka rovnice, jejımz kladnym resenım (zaporne nema smysl)je (1 +

√5)/2. Jak vidno jde opravdu o iracionalnı cıslo.

Obdelnık s pomery stran ve zlatem rezu a vubec vsechno, kde se nejakym zpusobem vysky-tuje zlaty rez, je v umenı povazovano za ideal krasy.Rozdelıme-li zlaty obdelnık (ma strany v pomeru zlateho rezu) na ctverec a obdelnık, takobdelnık bude opet zlaty.

Ke zlatemu rezu muzeme dospet take z Fibonacciho posloupnosti – to je posloupnostzacınajıcı dvema jednickami a jejız kazdy dalsı clen je souctem dvou predchozıch. Prvnıchpar clenu vypada asi takto: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . . Posloupnost vytvorena z tetodelenım dvou sousedıcıch clenu (vetsıho mensım): 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13,34/21, . . . konverguje ke zlatemu rezu.Nekdy se zlaty rez znacı take τ jako recky

”tome“ =

”rez“. Tady povıdanı o zlatem rezu

utnu, vydalo by to totiz na samostatnou prednasku, pokud ne nekolikadılnou.

18

6.2 Algebraicka a transcendentnı cısla

Algebraicka cısla jsou ta, ktera jsou resenım (korenem) nektere z algebraickych (nebolipolynomialnıch) rovnic. To jsou rovnice tvaru:

anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x+ a0 = 0; n ∈ N, ai ∈ R

Pro n = 1, to tedy je linearnı rovnice, pro n = 2 je to rovnice kvadraticka (n nazyvamestupnem rovnice). Mezi algebraicka cısla patrı vsechna racionalnı cısla a vsechny jejichodmocniny.Cısla, ktera nejsou algebraicka se nazyvajı transcendentnı. Patrı mezi ne treba Ludolfovocıslo, Eulerovo cıslo (2,718281828. . . , zaklad prirozeneho logaritmu) a Liouvilleova kon-stanta. Nazev transcendentnı cıslo pouzil poprve Leonhard Euler, s tım, ze tato cısla jsoulidskym rozumem nepochopitelna.Liouvilleovo konstanta je desetinne cıslo, ktere ma na prvnım, druhem, sestem, . . . k-fak-torialtem desetinnem mıste jednicku (pro kazde prirozene k) a na zbylych nulu. Je to prvnıcıslo, o kterem se vedelo, ze je transcendentnı. Da se zapsat take takto:

∞∑k=1

10k! = 0, 110 001 000 000 000 000 000 001 00 . . .

6.3 Ludolfovo cıslo

Cıslo pı je nejstarsım znamym transcendentnım cıslem. Nicmene, dlouho se verilo, ze je tocıslo racionalnı (protoze se verilo, ze zadna jina cısla nejsou). Nejcasteji se jeho hodnotase aproximovala zlomkem 22/7 (presnost na dve desetinna mısta). V 5. stoletı n. l. objevilcınsky astronom Tsu Chung Chih, krasny zlomek odpovıdajıcı cıslu pı na 6 desetinnychmıst – 355/113.Ludolfovym cıslem se nazyva po nizozemskem matematiku Ludolfu van Ceulenovi, kteryjako prvnı vypocetl cıslo π na 35 desetinnych mıst. Po jeho smrti v roce 1610 bylo totocıslo vytesano i na jeho nahrobnı kamen.Uvedu zde jeste mnemotechnickou pomucku – pomahajıcı zapamatovat si prvnıch dvacetpet mıst Ludolfova cısla:

Mam, o boze, o dobrypamatovat si takovy cifer rad.

Velky slovutny Archimedespomahej trapenemu.

Dej mu moc nazpamet’ necht’ odrıkaty slavne, dnes ale tak protivne nam,

ach, cıslice Ludolfovy!

3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88...

19

7 Komplexnı cısla

Komplexnı cısla jsou rozsırenım cısel realnych. Vznikajı zavedenım imaginarnı jednotky,ktera se znacı i. A platı pro ni: i2 = 1 neboli

√i = −1 Nasobenım imaginarnı jednotky

realnymi cısly vznikajı cısla imaginarnı. Komplexnı cısla se pak reprezentujı (mimo jine)jako soucet realneho a imaginarnıho cısla.Zatımco realna cısla tvorı prımku – cıselnou (realnou) osu, cısla komplexnı tvorı rovinu –nazyva se Gaussova komplexnı rovina.

7.1 Kde se vzala?

Uz persky matematik Muhammad Al-Chorezmı (znamy take jako Al-Chwarizmı) si v devatemstoletı vsiml, ze nektere kvadraticke rovnice nemajı resenı (tedy realne resenı). V sestnactemstoletı italsky matematik Girolamo Cardano navrhl odstranit tento problem zavedenımodmocniny ze zapornych cısel, ktere roku 1637 Rene Descartes pojmenoval imaginarnı.Matematicka verejnost tuto novinku vsak prijımala tezko – vzdyt’ v te dobe teprve vEvrope objevovali cısla iracionalnı. Imaginarnı a komplexnı cısla prosadily az vysledkymatematiku Leonharda Eulera, Augustina Louise Cauchyho a Carla Friedricha Gausse.

7.2 Operace s komplexnımi cısly

• Scıtanı: (a+ ib) + (c+ id) = a+ c+ i(b+ d), hrusky s hruskami, jablka s jablky.

• Nasobenı: (a+ ib)(c+ id) = ac+ ibc+ ida+ i2bd = ac−bd+ i(bc+ad), jako dvojcleny.

• Absolutnı hodnota: |a + ib| = sqrta2 + b2. Obdobne jako u realne abs. hodnoty jdeo vzdalenost od nuly.

Dalsı operace jsou definovany obdobne.Zajımave jsou ruzne mocniny imaginarnı jednotky:

i3 = i · i2 = −ii4 = i2 · i2 = 1

i4n+k = i4 · . . . · i4︸ ︷︷ ︸=1

·ik = ik

7.3 Vyuzitı komplexnıch cısel

Prvnı a hlavnı vyhodou komplexnıch cısel je takzvana Zlata veta algebry:

”Kazda algebraicka rovnice stupne alespon jedna s komplexnımi koeficienty ma alespon

jeden koren v mnozine komplexnıch cısel.“

20

Podle teto vety ma i rovnice x2 + 1 = 0 resenı. Je to totiz algebraicka rovnice druhehostupne s realnymi (a tedy komplexnımi) koeficienty. Jejı resenı je x1,2 = ±i.Zaroven nas toto tvrzenı opravnuje rozsırit definici algebraickych (a transcendentnıch) cıseli na cısla komplexnı.Dalsı vyhodou je zjednodusenı nekterych vypoctu na mnozine realnych cısel rozsırenımproblemu na komplexnı a naslednym zuzenım vysledku zpet na realna cısla.

8 Zbytkove trıdy

Spousta lidı ma o vyssı matematice zkreslene predstavy. A tak se me jednou kdosi zeptal,jestli je pravda, ze prvnı, co se na matfyzu ucı je, ze 1+1 = 3. Sice studuji pouze matematikua ne matfyz, ale zatım jsem se s takovymto prıpadem nesetkal.Nicmene, uz jsme si ukazali, ze je mozne, aby 1 + 1 = 10 (10 druhy lidı). Nynı si ukazeme,ze muze platit i 1 + 1 = 0. A to na zbytkove trıde modulo dve, ktera se znacı Z2.Slovo modulo znacı zbytek po delenı (proto taky zbytkove trıdy), jedna se tedy o mnozinyobsahujıcı zbytky po delenı. Tyto mnoziny samy o sobe nijak zvlast’ zajımave nejsou. Co nanich ovsem zajımave je to jsou aritmeticke operace. Definujme je takto pro a, b, c ∈ Zm ⊂ N,k, l,m, n ∈ N:

a+ b = c ⇔ (mk + a) + (ml + b) = (mn+ c)

ab = c ⇔ (mk + a)(ml + b) = (mn+ c).

Neboli: je-li soucet dvou cısel delitelnych cıslem m se zbytky a a b delitelny tımtez cıslemse zbytkem c, pak soucet zbytku a a b na zbytkove trıde Zm je roven zbytku c. Pro soucinobdobne.Rozeberme si to na Z2:

• soucet dvou sudych cısel je sudy, tedy 0 + 0 = 0

• soucet licheho a sudeho c. je lichy - 1 + 0 = 1

• soucet sudeho a licheho c. je lichy - 0 + 1 = 1

• soucet dvou lichych c. je sudy - 1 + 1 = 0

• soucin dvou sudych c. je sudy - 0 · 0 = 0

• soucin licheho a sudeho c. je sudy - 0 · 1 = 0

• soucin sudeho a licheho c. je sudy - 1 · 0 = 0

• soucin dvou lichych c. je lichy - 1 · 1 = 1

Az na avizovane 1 + 1 = 0 nic prekvapiveho. Soucet i soucin na vsech zbytkovych trıdachje komutativnı i asociativnı, jak jsme tomu zvyklı. Jedinou zradou je

”pretecenı“mimo

zbytkovou trıdu - pak se operace vlastne vracı na zacatek. Ukazme si jeste pocty trebana Z5:

21

+ 0 1 2 3 4 · 0 1 2 3 40 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 01 1 2 3 4 0 1 0 1 2 3 42 2 3 4 0 1 2 0 2 4 1 33 3 4 0 1 2 3 0 3 1 4 24 4 0 1 2 3 4 0 4 3 2 1

Pokud to nechapete (a spousta prvaku na MU s tım ma problem), pak vam moznapomuze uvedomit si, jak pocıtame s hodinami. Napr.: odchazım v jedenact hodin, vratımse za dve hodiny, tedy v jednu. Jedna se tedy o scıtanı na zbytkove trıde modulo dvanact(jen mısto nuly se pouzıva spıs dvanact). To je duvod proc se modularnı aritmetika (poctyna zbytkovych trıdach) v anglictine obcas nazyva take

”clock arithmetic“.

9 Delenı nulou

Nahodou jsem na internetu narazil na velky objev: 0/0 s da vypocıtat! Vzdyt’ prece:

0 · 1 = 0 / : 0

1 =0

0

Bohuzel, obdobne se da”dokazat“, ze 0/0 = 2, a tedy 1=2, coz je nesmysl a stejne tak

cely”dukaz“. Ukazme si jeste jeden podobnou spornou uvahu:

4a = 6b

14a− 10a = 21b− 15b/− 14a/+ 15b

15b− 10a = 21b+ 10b

5(3b− 2a) = 7(3b− 2a)/ : (3b− 2a)

5 = 7

Kde se stala chyba? Kde jinde nez v delenı – musı platit 3b − 2a 6= 0, coz neplatı kvulipocatecnı rovnosti. To byla nazorna ukazka toho, proc je treba resit podmınky u neekvi-valentnıch uprav a zaroven toho, co se muze stat pri delenı nulou.Navzdory vsemu – delit nulou lze. Ale ne na mnozine R. Je treba ji rozsırit o zvlastnı cıslo– nekonecno ∞. Da se to udelat dvojım zpusobem. Obvykle pridavame nekonecna rovnoudve – kladne a zaporne, tak aby platilo:

∀x ∈ R : x <∞, x > −∞, ±x±∞ = ±∞, x±∞ = 0

∀x ∈ R+ : x0

=∞∀x ∈ R− : x

0= −∞

∀x ∈ R \ {0} : x · ±∞ = ±∞

Realna osa se nam tak vlastne zmenı na usecku s koncovymi body ±∞. Takto vznikloumnozinu nazyvame rozsırena m. v. realnych cısel a znacıme ji R. Obvykle nevyuzıvana

22

moznost je ztotoznit obe nekonecna – u takoveho rozsırenı, ale vznika problem s usporada-nım – vsechna cısla by byla zaroven vetsı a zaroven mensı nez vsechna ostatnı. Geometrickysi to muzete predstavit jako kruznici.U obou zpusobu rozsırenı se ale vyskytujı tyto nesmyslne vyrazy: ∞/∞, ∞ · 0, 0/0.Mnozinu C rozsirujeme obvykle jedinym nekonecnem, tak aby ∀z ∈ C : |z| <∞. Gaussovakomplexnı rovina se tak stocı do sfery (kulova slupka), kterou nazyvame Riemannovakomplexnı sfera.

10 Kardinalnı cısla

Kardinalnı cıslovky – tento pojem v lingvistice znacı cıslovky urcene pro pocet. V cestine sejim take rıka cıslovky zakladnı. Obdobne v matematice kardinalnı cısla znacı cısla popisujıcıpocet prvku nektere mnoziny. Jsou to tedy prirozena cısla? Ano a ne. Na vsechna prirozenacısla se muzeme dıvat jako na kardinalnı cısla, ale existujı kardinalnı cısla, ktera meziprirozena nepatrı.Naprıklad jsme z prirozenych cısel vyloucili nulu, ale prazdna mnozina ma prece nulaprvku. Hlavne ale v prirozenych cıslech chybı kardinalnı cısla nekonecnych mnozin. Rıkamto jako by jich bylo vıc, protoze jich vıc taky je.Jak se to pozna, ze nektera nekonecna jsou ruzne velka (matematicky – mohutna)? Vrat’mese na zacatek – davnı ovcaci pouzıvali pro pocıtanı ovcı kameny. Za kazdou ovci pustenouz ohrady se premıstil jeden kamen z kose

”ovce v ohrade“ (o) do kose

”ovce na pastve“ (p)

a pri navratu opacne. Kdyz zbyl nejaky kamen v kosi p, vedeli, ze se nejake ovce ztratily.Kdyz kamen chybel, vedeli, ze se ovce ztratila sousedovi a rychle zasobu kamenu doplnili.Nekonecne mnoziny muzeme pomerovat podobne. Kazdemu prvku z jedne mnoziny prira-dıme prave jeden prvek z druhe. Kdyz nam zbude v nektere mnozine nejaky prvek, tak tamnozina je vetsı. Matematicky receno – hledame vzajemne jednoznacne (neboli bijektivnı)zobrazenı mezi temi mnozinami.Uved’me si prıklady, mnoziny N a Z jsou stejne velke – jednicku (z N) priradıme nule(ze Z), dvojku jednicce, trojku minus jednicce . . .

N→ Z : 1→ 0, 2→ 1, 3→ −1, 4→ 2, . . .

Mnozina R ma stejnou mohutnost jako interval (−π/2, π/2). Prirad’me kazdemu x z tohotointervalu jeho tangens – dostaneme cele R. Ale mezi mnozinou N a R zadne bijektivnızobrazenı neexistuje – mnozina R ma vetsı mohutnost.Kardinalnı cıslo (mohutnost) mnoziny se znacı bud’ krızkem pred znakem mnoziny: #R,nebo svislymi carami (jako u absolutnı hodnoty): |R|. Nejmensı nekonecnou mnozinouje mnozina N. Jejı kardinalnı cıslo se znacı hebrejskym pısmenem alef s indexem nula:|N| = ℵ0. Mnoziny s touto a mensı mohutnostı se nazyvajı spocetne. Mezi (nekonecne)spocetne patrı i mnozina Q a dokonce i mnozina vsech algebraickych cısel. Naopak mnozinav. transcendentnıch a m. v. iracionalnıch cısel spocetne nejsou.

23

10.1 Operace s kardinalnımi cısly

• Scıtanı: |A| + |B| = |A × {0} ∪ B × {1}| Kartezsky soucin s mnozinami {0} a {1}je nutny kvuli zajistenı disjunktnosti mnozin. Pokud bychom ho tam nemeli, tak bymohlo nastat toto:

4 = 2 + 2 = |{1, 2}|+ |{2, 3}| = |{1, 2, 3}| = 3.

• Nasobenı: |A||B| = |A×B|.

S konecnymi nenulovymi kardinalnımi cısly se tedy pocıta tak jak jsme zvyklı.Nez prejdeme k tem nekonecnym posvit’me si na nulu: 0 + |A| = |∅ ∪A|. Prazdna mnozinaje disjunktnı s kazdou mnozinou, tak jsem si mohl dovolit vynechat ty kartezske souciny.0 · |A| = |∅ × A| Toto platı dokonce i pro nekonecna A.Ted’ uz muzeme prikrocit k pocıtanı s nekonecnymi kardinalnımi cısly, nebo alespon s tımspocetnym. Pro konecne kardinalnı cıslo k platı:

ℵ0 + k = ℵ0

ℵ0 + ℵ0 = ℵ0

ℵ0 · k = ℵ0, k 6= 0

ℵ0 · ℵ0 = ℵ0

Tedy asi nic, co bychom necekali. Kdo neverı, overı.

10.2 Hypoteza kontinua

Roku 1882 formuloval Georg Cantor toto tvrzenı:

”Mnozina vsech realnych cısel je nespocetna mnozina s nejmensı mohutnostı.“

Protoze toto tvrzenı nedokazal a protoze mohutnost R se oznacuje take jako mohutnostkontinua, veslo toto tvrzenı do historie jako hypoteza kontinua. Roku 1900 ji David Hilbertzaradil na svuj seznam otevrenych problemu, a to na prvnım mıste. Po mnoha neuspesnychpokusech tuto hypotezu dokazat ci vyvratit, zaznamenal prvnı uspech Kurt Godel, kdyzroku 1940 dokazal, ze hypotezu kontinua nelze vyvratit. To ale nenı totez jako hypotezudokazat. Roku 1963 tak Paul Cohen dokazal, ze hypotezu kontinua nenı mozne ani dokazat.To znamena, ze hypotezu kontinua lze

”beztrestne“ povazovat za pravdivou i nepravdi-

vou (ale ne obojı zaroven). Dnes se uprednostnuje prvnı moznost. Pak se kardinalnı cıslomnoziny R oznacuje ℵ1. Jinak se oznacuje pısmenem c (jako continuum).Jak se pocıta s c cı ℵ1 si uz zkuste odvodit sami.

24

Zdroje

Nebojte se kralovny!; Jakub Sotola, Jan Koscak; souteznı prace XXVIII. SOChttp://www.wikipedia.org

a dalsı

napsano v LaTeXEditoru, vysazeno LATEXem v distribuci MiKTeX

25