Vektor Dan Tensor by

8/18/2019 Vektor Dan Tensor by

1/96

i

KALKULUS

VEKTOR DANTENSOR

Oleh :

Dr. Ir. Andang Widi Harto, M. T.

Jurusan Teknik Fisika

Fakultas Teknik

Universitas Gadjah Mada


2/96

ii

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, puji syukur kita panjatkan ke hadlirat Allah SWT atas

terselesaikannya buku ini. Shalawat beserta salam semoga terlimpah kepada RasulullahMuhammad saw.

Buku ini disusun untuk dapat digunakan sebagai bahan bagi kuliah Kalkulus

Vektor yang merupakan mata kuliah wajib yang diselenggarakan oleh Program StudiFisika Teknik yang terdapat pada Jurusan Teknik Nuklir, Fakultas Teknik UniversitasGadjah Mada.

Vektor dan tensor merupakan hal yang penting untuk dipahami dalam penyusunanmodel matematika. Oleh karena itu, pembahasan tentang vektor dan tensor diberi porsi

cukup detail. Pembahasan vektor dan tensor meliputi penulisan komponen vektor dantensor pada berbagai sistem koordinat yang banyak digunakan, yaitu sistem koordinatCartesian, Silinder dan Bola. Di samping itu, dibahas juga aljabar yang melibatkan vektor

dan tensor (perkalian dan penjumlahan) serta kalkulus yang melibatkan vektor dan tensor(diferensiasi dan integrasi).

Walaupun demikian tetap masih banyak aspek potensial yang belum tersentuhuntuk dibahas dalam buku ini. Oleh karena itu, pembaca yang kreatif diharapkan mampuuntuk menemukan aspek-aspek tersebut. Jika diinginkan, maka pembaca dapat mendalami

lebih lanjut untuk melakukan penelaahan secara lebih detail, yaitu melakukan perhitungan- perhitungan secara lebih rinci dalam rangka untuk mendapatkan gambaran desain dari

sistem kogenersai nuklir.

Yogyakarta, 10 Oktober 2011

Penulis,

Dr. Ir. Andang Widi Harto, M.T.


3/96

iii

DAFTAR ISI

Halaman Judul i

Kata Pengantar ii

Daftar Isi iii

A Pengertian 1

1 Pengertian skalar 1

2 Pengertian vektor 1

3 Pengertian tensor 1

B Sistem Koordinat dan Elemen Volume 1

1 Sistem Koordinat Cartesian 1

2 Sistem Koordinat Silinder 23 Sistem Koordinat Bola 3

C Notasi atau Penulisan Vektor dan Transformasi Koordinat 4

1 Notasi atau Penulisan Vektor 4

2 Transformasi komponen vektor dari sistem koordinat Cartesian kesistem koordinat Silinder atau sebaliknya

7

3 Transformasi vektor satuan dari sistem koordinat Cartesian ke sistem

koordinat Silinder atau sebaliknya

10

4 Transformasi komponen vektor dari sistem koordinat Cartesian kesistem koordinat Bola atau sebaliknya

10

5 Transformasi vektor satuan dari sistem koordinat Bola ke sistem

koordinat Cartesian atau sebaliknya

14

D Metrik dan Transformasi Sistem Koordinat Secara Umum 14

1 Transformasi Sistem Koordinat Secara Umum untuk Ruang Empirik 3D 14

2 Metrik 16

E Notasi atau Penulisan Tensor dan Transformasi KoordinatKomponen Tensor

31

1 Notasi atau Penulisan Tensor 31

2 Operasi Transpose 323 Tensor Simetris 33

4 Transformasi komponen tensor antara sistem koordinat Cartesian dansistem koordinat Silinder

33

5 Transformasi komponen tensor simetris antara sistem koordinat

Cartesian dan sistem koordinat Silinder

36

6 Transformasi komponen tensor antara sistem koordinat Cartesian dansistem koordinat Bola

37

7 Transformasi komponen tensor simetris antara sistem koordinatCartesian dan sistem koordinat Bola

42

F Aljabar Vektor dan Tensor 43

1 Operasi Penjumlahan dan Pengurangan 43


4/96

iv

2 Order besaran 45

3 Operasi perkalian dua besaran 45

4 Operasi dyad antara skalar dengan skalar dengan hasil skalar 45

5 Operasi perkalian dyad antara skalar dengan vektor dengan hasil vektor 46

6 Operasi perkalian dyad antara scalar dengan tensor dengan hasil tensor 46

7 Operasi perkalian dyad antara vektor dengan vektor dengan hasil tensor 46

8 Operasi perkalian dot (·) antara vektor dengan vektor dengan hasil skalar 47

9 Operasi perkalian dot (·) antara vektor dengan tensor dengan hasilvektor

48

10 Operasi perkalian dot (·) antara tensor dengan tensor dengan hasil tensor 48

11 Operasi perkalian cross (×) antara vektor dengan vektor dengan has ilvektor

49

12 Operasi perkalian dobel dot (:) antara tensor dengan tensor dengan has ilskalar

50

G Transformasi Koordinat Komponen Hasil Perkalian Dyad Vektor 50

1 Transformasi komponen hasil perkalian dyad dua vektor antara sistemkoordinat Silinder dengan sistem koordinat Cartesian

50

2 Transformasi komponen hasil perkalian dyad vektor yang sama antara

sistem koordinat Cartesian dan sistem koordinat Silinder

51

3 Transformasi komponen hasil perkalian dyad dua vektor antara sistemkoordinat Bola dengan sistem koordinat Cartesian

52

4 Transformasi komponen hasil perkalian dyad vektor yang sama antarasistem koordinat Cartesian dan sistem koordinat Bola

54

H Kalkulus Diferensiasi 55

1 Diferensiasi Skalar, Vektor Dan Tensor Terhadap Variabel Skalar (t ) 55

2 Operator Diferensial vektor (Operator Del = Operator Grad = ) 553 Transformasi Koordinat komponen operator Grad 59

4 Operator Atau Operator Div 665 Operator atau Operator Curl 736 Operator 2 atau Laplacian 747 Operator diferensial order 2 lainnya 76

I Integrasi 76

1 Integras i terhadap variabel skalar 76

2 Integras i terhadap variable vektor 79

J Fluks Transport Diffusif dengan Parameter Transport Skalar 86

1 Perhitungan fluks transport difusif pada system koordinat Cartesian 87

2 Perhitungan fluks transport difusif pada system koordinat Silinder 89

3 Perhitungan fluks transport difusif pada system koordinat Bola 90

4 Rangkuman fluks transport difusif 91

K Fluks Transport Advektif dengan Parameter Transport Skalar 92


5/96

1

A. PENGERTIAN

Besaran fisik dapat dikelompokkan berdasarkan nilai (magnitude) dan arahnya.Dalam pengelompokan ini, besaran fisik dibedakan menjadi :

-

scalar- vector-

tensor

1. Pengertian skalar

Skalar adalah besaran fisis yang hanya memiliki nilai (magnitude) dan tanpamemiliki arah. Contoh scalar adalah : panjang, massa, waktu, luas area, volume, energi,tekanan hidrostatik, kelajuan (speed), densitas dan sebagainya.

2. Pengertian vector

Vektor adalah besaran fisik yang memiliki nilai (magnitude) dan satu arah (1 arah).Contoh vector adalah : kecepatan (velocity), percepatan, gaya, momentum, fluks transferdari besaran scalar. Pada fluks transfer besaran scalar, arah yang timbul adalah arah dari

proses transfer.

3. Pengertian tensorTensor adalah besaran fisik yang memiliki nilai (magnitude) dan dua arah (2 arah)

Contoh tensor adalah fluks transfer dari besaran vector, misalnya fluks transfer

momentum. Dalam hal ini arah pertama adalah arah yang dimiliki oleh besaran yangmengalami transfer (misalnya arah momentum atau kecepatan) sedangkan arah keduaadalah arah dari proses transfernya

B. SISTEM KOORDINAT DAN ELEMEN VOLUME

Proses transport merupakan proses perpindahan variabel proses dalam suatu ruang.

Oleh sebab itu dalam perhitungan berbagai proses transport diperlukan spesifikasi sistemkoordinat ruang yang digunakan. Selanjutnya persamaan proses akan diusun pada suatu

unit volume kecil yang disebut elemen volume.Ruang empiris melibatkan tiga sumbu ruang untuk dapat menspesifikasikan lokasi

suatu titik secara tertentu. Ruang dengan tiga sumbu semacam ini disebut sebagai ruang

tiga dimensi (ruang 3D).

Sistem koordinat yang sering dipakai untuk mensepesifikasikan posisi dalam ruang3D pada umumnya ada 3 macam, yaitu :

- sistem koordinat Cartesian- sistem koordinat Silinder

- sistem koordinat Bola

1. Sistem koordinat Cartesian.Sistem koordinat Cartesian dalam ruang 3 dimensi disusun menggunakan tiga (3)

sumbu arah berupa garis lurus yang berpotongan tegak lurus pada pangkal koordinat.

Ketiga sumbu tersebut berupa dua sumbu horizontal yang sering disebut sebagai sumbuarah x dan sumbu arah y serta satu sumbu vertikal yang sering disebut sebagai sumbu arah

z. Elemen volume pada sistem koordinat Cartesian disusun dengan mengambil suatu panjang inkremental pada masing-masing sumbu.


6/96

2

Ilustrasi sistem koordinat Cartesian serta diagram skematik elemen volume dan besaran besaran yang terkait (panjang lintasan inkremental, luas diferensial dan volume

diferensial) dapat dilihat pada Gambar 2.1

x

y

z

P ( x, y, z )

Δ x

Δ y

Δ z

Volume diferensial :

z y xV

Luas Area Diferensial

y x A

z x A

z y A

z

y

x

Panjang lintasan incremental

z l

yl

xl

z

y

x

Gambar 2.1. Elemen volume, panjang lintasan incremental, luas diferensial dan volumediferensial pada koordinat Cartesian

2. Sistem koordinat SilinderSistem koordinat Silinder dalam ruang 3 dimensi disusun menggunakan tiga (3)

sumbu arah yaitu sumbu arah radial pada bidang horizontal yang sering disebut sumbu r ,sumbu arah melingkar yang selalu tegak lurus dengan sumbu r yang sering disebut sebagai

sumbu arah θ serta satu sumbu vertikal yang sering disebut sebagai sumbu arah z. Elemenvolume pada sistem koordinat Cartesian disusun dengan mengambil suatu panjanginkremental pada masing-masing sumbu.

Ilustrasi sistem koordinat Cartesian serta diagram skematik elemen volume dan

besaran besaran yang terkait (panjang lintasan inkremental, luas diferensial dan volumediferensial) dapat dilihat pada Gambar 2.2


7/96

3

Δ z

x

y

z

P (r ,θ , z )

r

Transformasi variabel posisi ruang

Cartesian ke Silinder Silinder ke Cartesian

22 y xr rCos x

x yarcTan rSin y z = z z = z

θ

Δθ

Δr

r Δθ


z r r V

z r r V


r r A

z r A

z r A

z

r


z l

r l

r l

z

r

Gambar 2.2. Elemen volume, panjang lintasan inkremental luas diferensial dan volume

diferensial pada koordinat Silinder

3. Sistem koordinat Bola

Sistem koordinat Bola dalam ruang 3 dimensi disusun menggunakan tiga (3) sumbuarah yaitu sumbu arah radial ruang yang sering disebut sumbu r , sumbu arah melingkaryang selalu tegak lurus dengan sumbu r yang sering disebut sebagai sumbu arah azimutal

atau sumbu arah ω serta sumbu arah polar yang sering disebut sebagai sumbu arah θ .Elemen volume pada sistem koordinat Cartesian disusun dengan mengambil suatu panjang

inkremental pada masing-masing sumbu.Ilustrasi sistem koordinat Cartesian serta diagram skematik elemen volume dan

besaran besaran yang terkait (panjang lintasan inkremental, luas diferensial dan volume

diferensial) dapat dilihat pada Gambar 2.3


8/96

4

x

y

z

P (r ,θ,ω)

r

Transformasi variabel posisi ruangCartesian ke Bola Bola ke Cartesian

222 z y xr CosrSin x

z y xarcTan 22 SinrSin y x yarcTan rCos z

θ

Δω

Δr

r Δθ


r Sinr V

rSinr r V

2

ω

Δθ

rSin(θ )

rSin(θ )Δω


r r A

r rSin A

Sinr Ar

2


z rSinl

r l

r l r

Gambar 2.3. Elemen volume, panjang lintasan inkremental, luas diferensial dan volume

diferensial pada koordinat Bola

C. NOTASI ATAU PENULISAN VEKTOR DAN TRANSFORMASI KOORDINAT

1. Notasi atau penulisan vektorVektor dapat ditulis dalam notasi vektor satuan. Dalam sistem koordinat Cartesian,

notasi tersebut adalah :

z z y y x x viviviv

(2.1)

Di mana :

xi : Vektor satuan ke arah sumbu x xv : Komponen vektor

v ke arah sumbu x


9/96

5

yi : Vektor satuan ke arah sumbu y yv : Komponen vektor

v ke arah sumbu y

z i : Vektor satuan ke arah sumbu z z v : Komponen vektor

v ke arah sumbu z

Dalam sistem koordinat silinder, vektor dalam notasi vektor satuan adalah :

z z r r viviviv

(2.2)

Di mana :

r i : Vektor satuan ke arah sumbu r r v : Komponen vektor

v ke arah sumbu r

i : Vektor satuan ke arah sumbu θ v : Komponen vektor

v ke arah sumbu θ

z i : Vektor satuan ke arah sumbu z z v : Komponen vektor

v ke arah sumbu z

Dalam sistem koordinat bola, vektor dalam notasi vektor satuan adalah :

viviviv r r

(2.3)

Di mana :

r i : Vektor satuan ke arah sumbu r r v : Komponen vektor

v ke arah sumbu r

i : Vektor satuan ke arah sumbu θ v : Komponen vektor

v ke arah sumbu θ

i : Vektor satuan ke arah sumbuω

v : Komponen vektor

v ke arah sumbu ω

Di samping notasi vektor satuan, vektor dapat ditulis dalam notasi matrik barismaupun notasi matrik kolom. Pada sistem koordinat Cartesian, notasi matrik baris danmatrik kolom untuk suatu vektor adalah :

z

y

x

z y x

v

v

v

vvvv (2.4)

Pada sistem koordinat Silinder, notasi matrik baris dan matrik kolom untuk suatu

vektor adalah :

z

r

z r

v

v

v

vvvv (2.5)

Pada sistem koordinat Bola, notasi matrik baris dan matrik kolom untuk suatu

vektor adalah :

v

v

v

vvvv

r

r (2.6)


10/96

6

Gambar 2.4, Gambar 2.5 dan Gambar 2.6 memberikan ilustrasi vektor pada sistemkoordinat Cartesian, Silinder dan Bola.

x

y

z z z y y x x jiviviv

xi vektor satuan ke arah x

yi vektor satuan ke arah y

z i vektor satuan ke arah z

yv

z v v

xv

Gambar 2.4. Ilustrasi vector pada sistem koordinat Cartesian

x

y

z

r

θ

z z r r viviviv


i vektor satuan ke arah θ

z i vektor satuan ke arah z

z v

v

r v

v

Gambar 2.5. Ilustrasi vektor pada sistem koordinat silinder


11/96

7

x

y

viviviv

r r


i vektor satuan ke arah θ

i vektor satuan ke arah ω

v

v

r v

v

Gambar 2.6 Ilustrasi vektor pada sisiem koordinat bo la

2. Transformasi komponen vektor dari sistem koordinat Cartesian ke sistem

koordinat Silinder atau sebaliknyaGambar 2.7 memberikan ilustrasi Transformasi komponen vektor antara sistem

koordinat Cartesian dan sistem koordinat silinder.

x y

z

yv

z v

v

xv

θ

,, r y x vv r v

v

r

Gambar 2.7. Ilustrasi transformasi komponen vektor antara sistem koordinat Cartesian dansistem koordinat Silinder


12/96

8

Pada Gambar 2.7, tampak bahwa :

)Silinder ()Cartesian( z z vv (2.7)

Selanjutnya proyeksi b idang x- y digambarkan lebih detail sebagaimana ditunjukkan

pada Gambar 2.8. Selanjutnya pada Gambar 2.8 ini, komponen vektor ke arah radial dankomponen vektor arah tangensial diproyeksikan ke sumbu x dan sumbu y.

θ

θ

,, r y x vv

r v

v

xv

yv

x

y

Sinvr

Cosvr

Sinv

Cosv

θ

Gambar 2.8. Proyeksi vektor pada bidang x- y

Dari Gambar 2.8 ini, diperoleh :

SinvCosvv r x (2.8)

CosvSinvv r y (2.9)

Persamaan (2.8) dan persamaan (2.9) merupakan transformasi komponen vektor dari

sistem koordinat Silinder ke sistem koordinat Cartesian.

Selanjutnya persamaan (2.8) dikalikan dengan Cos dan persamaan (2.9)dikalikan dengan Sin sehingga diperoleh :

CosSinvCosvCosv r x 2 (2.10)

SinCosvSinvSinv r y 2

(2.11)


13/96

9

Jika persamaan (2.11) ditambahkan dengan persamaan (2.10) akan diperoleh :

CosSinvSinCosvCosvSinvCosvSinv

r r x y

22 (2.12)

Atau :

r x y vCosvSinv (2.13)

Sehingga diperoleh :

SinvCosvv y xr (2.14)

Selanjutnya persamaan (2.8) dikalikan dengan Sin dan persamaan (2.9) dikalikan

dengan Cos sehingga diperoleh :

2

SinvSinCosvSinv r x (2.15)

2

CosvCosSinvCosv r y (2.16)

Jika persamaan (2.15) dikurangkan terhadap persamaan (2.16) akan diperoleh :

22 CosvSinvSinCosvCosSinvCosvSinv

r r y x (2.17)

Atau :

vCosvSinv y x (2.18)


CosvSinvv y x (2.19)

Persamaan (2.14) dan persamaan (2.19) merupakan transformasi komponen vektor darisistem koordinat Cartesian ke sistem koordinat Silinder.

Dengan demikian, persamaan tranformasi vektor antara sistem koordinat Cartesiandan sistem koordinat Silinder dapat dirangkum pada Tabel 2.1.

Tabel 2.1. Persamaan transformasi komponen vektor antara sistem koordinat Cartesian dansistem koordinat Silinder

Dari sistem koordinat Cartesian ke sistem

koordinat Silinder

Dari sistem koordinat Silinder ke sistem

koordinat Cartesian

SinvCosvv y xr

CosvSinvv y x

)(Cartesian(Silinder) z z vv

SinvCosvv r x CosvSinvv r y

)Silinder ()Cartesian( z z vv


14/96

10

3. Transformasi vektor satuan dari sistem koordinat Cartesian ke sistem koordinat

Silinder atau sebaliknya

Transformasi vektor satuan pada dasarnya adalah seperti transformasi komponenvektor. Tabel 2.2 menunjukkan persamaan transformasi komponen vektor antara sistem

koordinat Silinder dan sistem koordinat Carstesian.

Tabel 2.3. Persamaan transformasi vektor satuan antara sistem koordinat Cartesian dan

sistem koordinat Silinder

Dari sistem koordinat Cartesian ke sistemkoordinat Silinder

Dari sistem koordinat Silinder ke sistemkoordinat Cartesian

SiniCosii y xr

CosiSinii y x

)(Cartesian(Silinder) z z ii

SiniCosii r x CosiSinii r y

)Silinder ()Cartesian( z z ii

4. Transformasi komponen vektor dari sistem koordinat Cartesian ke sistem

koordinat Bola atau sebaliknyaGambar 2.9 memberikan ilustrasi Transformasi komponen vektor antara sistem

koordinat Cartesian dan sistem koordinat Bola.

x y

z

yv

z v

v

xv

θ

ω

vr

vω

vθ

v x,y

Gambar 2.9. Ilustrasi transformasi komponen vektor antara sistem koordinat Cartesian dansistem koordinat Bola

Proyeksi pada bidang z-ω diilustrasikan lebih detail pada Gambar 2.10


15/96

11

z

θ

θ

θ

v z

vr Cosvr

vθ

Sinv

Cosv

Gambar 2.10. Ilustrasi proyeksi vektor pada bidang z-ω

Berdasarkan Gambar 2.10, dapat diperoleh hubungan sebagai berikut :

SinvCosvv r z (2.20)

Proyeksi vektor pada bidang x- y diilustrasikan lebih detail pada Gambar 2.17.

ω

ω

y xv ,

Sinvr

xv

yv

x

y

SinSinvr

CosSinvr

Sinv

Cosv

ω

vω

Cosv

CosCosv

SinCosv

Gambar 2.11. I lustrasi proyeksi vektor pada bidang x- y

Berdasarkan Gambar 2.11, d iperoleh hubungan :


16/96

12

CosvSinCosvSinSinvv r y (2.21)

SinvCosCosvCosSinvv r x (2.22)

Persamaan (2.20), persamaan (2.21) dan persamaan (2.22) merupakan transformasikomponen vektor dari sistem koordinat Bola ke sistem koordinat Cartesian.

Selanjutnya, persamaan (2.21) dikalikan dengan Cos dan persamaan (2.22)dikalikan dengan Sin , sehingga diperoleh :

2

CosvCosSinCosvSinSinvCosv r y (2.23)

2SinvSinCosCosvCosSinvSinv r x (2.24)

Jika persamaan (2.23) dikurangi dengan persamaan (2.24), maka diperoleh :

22 SinvCosvSinCosCosvCosSinv

CosSinCosvSinSinvSinvCosv

r

r x y

(2.25)

Atau :

22

CosSinv

SinCosCosvSinvCosvSinvSinvCosv r r x y

(2.26)


CosvSinvv y x (2.27)

Persamaan (2.27) disubstitusikan ke persamaan (2.21) dan persamaan (2.22) sehinggadiperoleh :

CosCosvSinvSinCosvSinSinvv y xr y (2.28)

SinCosvSinvCosCosvCosSinvv y xr x (2.29)

Atau :

SinCosvSinSinvCosSinvCosv r x y 21 (2.30)

CosCosvCosSinvCosSinvSinv r y x 21 (2.31)Atau :

SinCosvSinSinvCosSinvSinv r x y 2

(2.32)

CosCosvCosSinvCosSinvCosv r y x 2

(2.33)

Atau :

CosvSinvCosvSinv r x y (2.34)


17/96

13

CosvSinvSinvCosv r y x (2.35)

Persamaan (2.34) dan persamaan (2.35) pada dasarnya adalah sama.

Persamaan (2.20) dapat ditulis menjadi :

Cos

Sinvv

Cos

vr

z (2.36)

Sinvv

Cosv z r

1 (2.37)

Dengan mensubstitusikan persamaan (2.37) ke persamaan (2.35), diperoleh :

CosvSinvv

CosSinSinvCosv

z y x (2.38)

Atau :

CosCosvSinvvSinCosSinvCosv z y x (2.39)

CosCosvSinSinvSinvCosSinvCosv z y x (2.40)

22 CosSinvSinvCosSinvCosv z y x (2.41)

Sehingga diperoleh : CosSinvCosvSinvv y x z (2.42) SinvSinCosvCosCosvv z y x (2.43)

Persamaan (2.20) dapat ditulis menjadi :

v

Sin

Cosv

Sin

vr

z (2.44)

Cosvv

Sinv r z

1 (2.45)

Dengan mensubstitusikan persamaan (2.45) ke persamaan (2.35), diperoleh :

CosCosvvSin

SinvSinvCosv r z r y x 1

(2.46)

Atau :

CosCosvCosvSinSinvSinSinvCosv r z r y x (2.47)

22 CosSinvCosvSinSinvCosv r z y x (2.48)

Sehingga diperoleh : r z y x vCosvSinSinvCosv (2.49)


18/96

14

CosvSinSinvCosSinvv z y xr (2.50)

Persamaan (2.17), persamaan (2.43) dan persamaan (2.50) merupakan persamaan

Transformasi komponen vektor dari sistem koordinat Cartesian ke sistem koordinatsilinder.

Dengan demikian, persamaan tranformasi vektor antara sistem koordinat Cartesiandan sistem koordinat Silinder dapat dirangkum pada Tabel 2.4

Tabel 2.4. Persamaan transformasi komponen vektor antara sistem koordinat Cartesian dansistem koordinat Bola

Dari sistem koordinat Cartesian kesistem koordinat Bola

CosvSinSinvCosSinvv z y xr

SinvSinCosvCosCosvv z y x

CosvSinvv y x

Dari sistem koordinat Bola kesistem koordinat Cartesian

SinvCosCosvCosSinvv r x CosvSinCosvSinSinvv r y

SinvCosvv r z

5. Transformasi vektor satuan dari sistem koordinat Bola ke sistem koordinat

Cartesian atau sebaliknyaTransformasi vektor satuan pada dasarnya adalah seperti transformasi komponen

vektor. Tabel 2.5 menunjukkan persamaan transformasi komponen vektor antara sistem

koordinat Bola dan sistem koordinat Carstesian.

Tabel 2.5. Persamaan transformasi vektor satuan antara sistem koordinat Cartesian dansistem koordinat Bola


CosiSinSiniCosSinii z y xr

SiniSinCosiCosCosii z y x

CosiSinii y x


SiniCosCosiCosSinii r x

CosiSinCosiSinSinii r y SiniCosii r z

D. METRIK DAN TRANSFORMASI SISTEM KOORDINAT SECARA UMUM

1. Transformasi koordinat secara umum untuk ruang empirik 3DPosisi suatu titik pada sistem ruang empiric 3D (tiga dimensi) dapat dinyatakan

dengan tiga variabel ruang sesuai dengan sistem koordinat yang digunakan, misalnya x, y, z untuk sistem koordinat Cartesian; r , θ , z untuk sistem koordinat Silinder atau r , θ , ω untuksistem koordinat Bola. Secara umum suatu sistem koordinat pertama menyatakan posisi

dalam ruang 3D dengan tiga variable ruang 1 , 2 , 3 sedangkan sistem koordinat kedua

menyatakan posisi dalam ruang 3D dengan tiga variable ruang 1 , 2 , 3 .

Transformasi antar kedua sistem koordinat tersebut dihubungkan dengan persamaan yang terdapat pada Tabel 2.6


19/96

15

Tabel 2.6. Persamaan transformasi antara dua sistem koordinat secara umum

Dari sistem koordinat pertama ke sistemkoordinat kedua

Dari sistem koordinat kedua ke sistemkoordinat pertama

32111

,, f 32111

,, h

32122 ,, f 32122 ,, h

32133 ,, f 32133 ,, h

Sebagai contoh, persamaan transformasi antara sistem koordinat Cartesian dansistem koordinat Silinder dapat dilihat pada Tabel 2.7.

Tabel 2.7. Persamaan transformasi antara sistem koordinat Cartesian dengan sistemkoordinat Silinder


koordinat Silinder

Dari sistem koordinat Silinder ke s istem

koordinat Cartesian22

y xr rCos x

x

yTan

1 rSin y

z z z z

Sedangkan persamaan transformasi antara sistem koordinat Cartesian dengan sistem

koordinat Bola dapat dilihat pada Tabel 2.8

Tabel 2.8. Persamaan transformasi antara sistem koordinat Cartesian dengan sistem

koordinat BolaDari sistem koordinat Cartesian ke sistem

koordinat Bola

Dari sistem koordinat Bola ke sistem

koordinat Cartesian

222 z y xr CosrSin x

z

y xTan

22

1 SinrSin y

x

yTan

1 rCos z

Dengan demikian, persamaan transformasi antara sistem koordinat Cartesiandengan sistem koordinat lainnya dapat dilihat pada Tabel 2.9.

Tabel 2.9. Persamaan transformasi antara dua sistem koordinat Cartesian dengan sistemkoordinat lainnya secara umum

Dari sistem koordinat Cartesian ke sistemkoordinat lain

Dari sistem koordinat lain ke sistemkoordinat Cartesian

z y x f ,,11 3211 ,, h x z y x f ,,22 3212 ,, h y z y x f ,,33 3213 ,, h z


20/96

16

2. MetrikMetrik adalah cabang matematika yang berkaitan dengan penentuan sistem

koordinat dalam ruang dan sifat-sifatnya. Diferensiasi total posisi berkaitan dengantransformasi antara sistem koordinat Cartesian dengan sistem koordinat lainnya secara

umum dapat dilihat pada Tabel 2.10 sebagai berikut :

Tabel 2.10. Diferensiasi total posisi dalam transformasi antara sistem koordinat Cartesian

dengan sistem koordinat lainnya secara umum

Dari sistem koordinat Cartesian ke sistemkoordinat lain

Dari sistem koordinat lain ke sistemkoordinat Cartesian

dz z

dy y

dx x

d

1111

3

3

2

2

1

1

d x

d x

d x

dx

dz z

dy y

dx x

d

221

22

3

3

2

2

1

1

d y

d y

d y

dy

dz z

dy y

dx x

d

3333

3

3

2

2

1

1

d z

d z

d z

dz

Secara lebih khusus, hubungan diferensiasi total antara sistem koordinat Cartesiandengan sistem koordinat Silinder dapat dilihat pada Tabel 2.11 sebagai berikut :

Tabel 2.11. Diferensiasi total posisi dalam transformasi antara sistem koordinat Cartesiandengan sistem koordinat Silinder


koordinat Silinder


koordinat Cartesian

dz z

r dy

y

r dx

x

r dr

dz

z

xd

xdr

r

xdx

dz z

dy y

dx x

d

1 dz z

yd

ydr

r

ydy

dz z

z dy

y

z dx

x

z dz

dz z

z d

z dr

r

z dz

Demikian juga, dapat dibuat hubungan diferensiasi total antara sistem koordinat

Cartesian dengan sistem koordinat Bola. Hubungan tersebut dapat dilihat pada Tabel 2.12

sebagai berikut :

Tabel 2.12. Diferensiasi total posisi dalam transformasi antara sistem koordinat Cartesiandengan sistem koordinat Bola


koordinat Silinder


koordinat Cartesian

dz z

r dy

y

r dx

x

r dr

d x

d x

dr r

xdx

dz z

dy y

dx x

d

1

d y

d y

dr r

ydy

dz z

dy y

dx x

d

d z d z dr

r

z dz


21/96

17

a. Panjang inkremental

Sementara itu, panjang sebuah garis inkremental ds pada sistem koordinat keduadapat dinyatakan dengan :

2222 dz dydxds (2.51)

Dengan mensubstitusikan rumus diferensiasi total yanf terdapat pada Tabel 2.10, maka persamaan (2.51) menjadi :

2

3

3

2

2

1

1

2

3

3

2

2

1

1

2

3

3

2

2

1

1

2

d z

d z

d z

d y

d y

d y

d x

d x

d x

ds

(2.52)

Persamaan (2.52) selanjutnya dapat diuraikan menjadi :

32

32

31

31

21

21

2

3

2

3

2

2

2

2

2

1

2

1

32

32

31

31

21

21

2

3

2

3

2

2

2

2

2

1

2

1

32

32

31

31

21

21

2

3

2

3

2

2

2

2

2

1

2

1

2

222

222

222

d d z z

d d z z

d d z z

d z

d z

d z

d d y y

d d y y

d d y y

d yd yd y

d d x x

d d x x

d d x x

d x

d x

d x

ds

(2.53)

Dan selanjutnya dapat ditulis sebagai :

32323232

2

3

2

3

2

3

2

3

31

313131

2

2

2

2

2

2

2

2

21

212121

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

d d

z z y y x x

d

y y x

d d z z y y x x

d z y x

d d z z y y x x

d z y x

ds

(2.54)


22/96

18

Dengan notasi sigma, persamaam (2.54) dapat ditulis menjadi :

ji

i j ji ji ji

d d z z y y x x

ds

3

1

3

1

2 (2.55)

Dengan notasi vector dan tensor, persamaan (2.55) dapat ditulis menjadi :

d d Gds 2 (2.56)

Dengan :

321 d d d d

(2.57)

332312

322212

312111

g g g

g g g g g g

G (2.58)

Di mana :

ji ji ji

ij

z z y y x x g

(2.59)

Tensor

G disebut seebagai tensor metric yang merupakan penentu dari sifat s istemkoordinat. Selanjutnya persamaan (2.56) dapat ditulis menjadi :

333231

232221

131211

332312

322212

312111

2

d d d d d d

d d d d d d

d d d d d d

g g g

g g g

g g g

ds (2.60)

Atau :

2

33231

23

2

221

1312

2

1

332312

322212

312111

2

d d d d d

d d d d d

d d d d d

g g g

g g g

g g g

ds (2.60’)

Atau :

ji

i j

ij d d g ds

3

1

3

1

2 (2.61)

b. Panjang inkremental pada sistem koordinat Cartesian

Pada sistem koordinat Cartesian, maka x1 , y2 , z 3 , serta dxd 1 ,

dyd 2 , dz d 3 sehingga :

100111

x

z

x

z

x

y

x

y

x

x

x

x g (2.62)

000012

y

z

x

z

y

y

x

y

y

x

x

x g (2.63)


23/96

19

000013

z

z

x

z

z

y

x

y

z

x

x

x g (2.64)

000021

x

z

y

z

x

y

y

y

x

x

y

x g (2.65)

101022

y

z

y

z

y

y

y

y

y

x

y

x g (2.66)

000023

z

z

y

z

z

y

y

y

z

x

y

x g (2.67)

000031

x

z

z

z

x

y

z

y

x

x

z

x g (2.68)

000032

y

z

z

z

y

y

z

y

y

x

z

x g (2.69)

110033 z z

z z

z y

z y

z x

z x g (2.70)

Sehingga nilai tensor

G untuk koordinat Cartesian adalah :

100

010

001

332312

322212

312111

g g g

g g g

g g g

G (2.71)

Sehingga panjang garis inkrenental ds pada sistem koordinat Cartesian dapat dihitungdengan :

222

2

2

2

2

2

2

2

33231

23

2

221

1312

2

1

332312

322212

312111

2

00

00

00

100

010

001

dz dydx

dz

dy

dx

dz dydz dxdz

dzdydydxdy

dzdxdydxdx

d d d d d

d d d d d

d d d d d

g g g

g g g

g g g

ds

(2.72)

c. Panjang inkremental untuk sistem koordinat SilinderPada sistem koordinat Silinder berlaku r 1 , 2 , z 3 , serta dr d 1 ,

d d 2 , dz d 3 . Rumus transformasi dari sistem koordinat Silinder ke sistemkoordinat Cartesian dapat dilihat pada Tabel 2.7. Dengan demikian :

Cosr

r CosrCos

r r

x

(2.73)

Sinr

r SinrSin

r r

y

(2.74)

0r

z

(2.75)


24/96

20

rSinCosr rCos x

(2.76)

rCosSinr rSin y

(2.77)

0

z (2.78)

0 z

x (2.79)

0

z

y (2.80)

1 z

z (2.81)

Dengan demikian :

1002211

SinCos

r z

r z

r y

r y

r x

r x g (2.82)

00012

rCosSinrSinCos z

r

z y

r

y x

r

x g (2.83)

0000013

SinCos z

z

r

z

z

y

r

y

z

x

r

x g (2.84)

00021

SinrCosCosrSinr

z z

r

y y

r

x x g (2.85)

22222 00 r rCosrSin z z y y x x

g

(2.86)

0000023

rCosrSin z

z z

z

y y

z

x x g (2.87)

0010031

SinCosr

z

z

z

r

y

z

y

r

x

z

x g (2.88)

0010032

rCosrSins z

z

z y

z

y x

z

x g (2.89)

111000033

z

z

z

z

z

y

z

y

z

x

z

x g (2.90)


G untuk koordinat Silinder adalah :

100

00

0012

332312

322212

312111

r

g g g

g g g

g g g

G (2.91)

Sehingga panjang garis inkrenental ds pada system koordinat Silinder dapat dihitungdengan :


25/96

21

2222

2

2

2

2

2

2

2

2

33231

23

2

221

1312

2

1

332312

322212

312111

2

00

00

00

100

00

001

dz d r dr

dz

rd

dr

dz dz d drdz

dzd d drd

dzdr dr d dr

r

d d d d d

d d d d d

d d d d d

g g g

g g g

g g g

ds

(2.92)

c. Panjang inkremental untuk sistem koordinat Bola

Pada sistem koordinat Bola berlaku r 1 , 2 , 3 , serta dr d 1 ,

d d 2

, d d 3

. Rumus transformasi dari sistem koordinat Bola ke sistem koordinat

Cartesian dapat dilihat pada Tabel 2.8. Dengan demikian :

CosSinr

r CosSinCosrSin

r r

x

(2.93)

SinSinr

r SinSinSinrSin

r r

y

(2.94)

Cosr

r CosrCos

r r

z

(2.95)

CosrCosSinrCosCosrSin x

(2.96)

SinrCosSinr

rSinSinrSin y

(2.97)

rSinCosr

r rCos z

(2.98)

SinrSinCosrSinCosrSin x

(2.99)

CosrSinSinr

rSinSinrSin y

(2.100)

0

rCos

z

(2.101)

Dengan demikian :

1222222

22222

11

CosSinCosSinCosSin

CosSinSinCosSinr

z

r

z

r

y

r

y

r

x

r

x g

(2.102)

011122

12

rSinrCosSinCosrSinrCosrSinCosSinrCosSinSinCosrCosCosSin

z

r

z y

r

y x

r

x g

(2.103)


26/96

22

00

13

CosCosrSinSinSinSinrSinCosSin

z

r

z y

r

y x

r

x g

(2.104)

011122

21

CosrSinSinCosCosrSin

CosrSinSinSinSinrCosCosSinCosrCos

r z z

r y y

r x x g

(2.105)

22222222222222222

22

r SinCosr SinSinCosCosr

Sinr SinCosr CosCosr

z z y y x x g

(2.106)

00

23

rSinCosrSinSinrCosSinrSinCosrCos

z z y y x x

g (2.107)

00

31

rSinSinSinCosrSinCosSinSinrSin

r

z z

r

y y

r

x x g

(2.108)

00

32

rSinSinrCosCosrSinCosrCosSinrSin

z z y y x x g

(2.109)

222222

222222

33

00

Sinr CosSinSinr

CosSinr SinSinr z z y y x x

g

(2.110)


G untuk koordinat Bola adalah :

22

2

332312

322212

312111

00

00

001

Sinr

r

g g g

g g g

g g g

G (2..111)

Sehingga panjang garis inkrenental ds pada system koordinat Bola dapat dihitung dengancara sebagai berikut :

222222

222

2

2

2

2

2

22

2

2

33231

23

2

221

1312

2

1

332312

322212

312111

2

00

00

00

00

00

001

d Sinr d r dr

d Sinr

rd

dr

d d d drd

d d d drd

dr d dr d dr

Sinr

r

d d d d d

d d d d d

d d d d d

g g g

g g g

g g g

ds

(2.112)


27/96

23

Panjang lintasan incremental untuk system koordinat secara umum dapat ditulis sebagai

berikut :

232

2

2

1

2 d d d ds (2.113)

Berdasarkan hal ini, dapat diambil kesimpulan sebagaimana dapat dilihat pada Tabel 2.13sebagai berikut :

Tabel 2.13. Variabel posisi dan komponen proyeksi panjang inkremental pada berbagaisistem koordinat

Sistem

koordinatVariabel posisi

Kuadrat panjang lintasan

inkemental

Komponen proyeksi

panjang lintasaninkremental

Umum 1 2 3 2322212 d d d ds 1 d 2 d 3 d

Cartesian x y z 2222 dz dydxds dx dy dz

Silinder r θ z 22222 dz d r dr ds dr rd θ dz

Bola r θ ω

222

2222

d Sinr

d r dr ds

dr rd θ d rSin

d. Volume inkremental dan luasan inkrementalVolume inkremental (dinyatakan sebagai dV ) merupakan besaran skalar yang

menyatakan volume dari suatu elemen volume inkremental. Secara umum volumeinkremental dinyatakan sebagai :

321 d d d dV (2.114)

Sementara itu, luasan inkremental adalah vektor luasan yang tegak lurus terhadap statu

arah yang ditentukan. Secara umum pada ruang 3D, untuk arah j, maka komponen vektorluasan untuk arah tersebut dapat dituliskan sebagai berikut :

l k j d d dA (2.115)

Dalam hal ini indeks k dan indeks l menyatakan arah lainnya yang tegak lurusdengan arah j.

Tabel 2.14 menunjukkan volume inkremental dan komponen luasan inkremental

untuk sistem koordinat Cartesian, Silinder dan Bola.


28/96

24

Tabel 2.14. Panjang inkremental, luasan inkremental dan volume inkremental pada berbagai sistem koordinat

Sistem

koordinat

Variabel

posisi

Panjang

inkremental

Luasan inkremental Volume inkremental

Umum

1 1 d 321 d d dA

321 d d d dV 2 2 d 312 d d dA

3 3 d 213 d d dA

Cartesian

x dx dydz dA x

dV = dxdydz y dy dxdz dA y

z dz dxdydA z

Silinder

r dr dz rd dAr

dV = rdrdθdz θ rdθ drdz dA

z dz rdrd dAr

Bola

r dr d d Sinr dAr 2

d drd Sinr dV 2 θ rdθ drd rSindA

ω rSin(θ )dω rdrd dA

e. Perpindahan inkremental dan transformasi vektor satuanPerpindahan inkremental merupakan suatu vektor perpindahan (translasi) yang

menempuh jarak sejauh panjang lintasan inkemental pada suatu arah tertentu. Dengan

demikian :

dsil d

(2.116)

Dalam hal ini,

i adalah vektor satuan.Pada sistem koordinat Cartesian, perpindahan inkremental dirumuskan sebagai

berikut :

dz idyidxil d z y x

(2.117)

Dalam hal ini xi , yi dan z i masing-masing adalah komponen proyeksi vector satuan ke

arah sumbu x, sumbu y dan sumbu z .

Pada sistem koordinat 3D lainnya, perpindahan inkremental dirumuskan sebagai berikut :

332211 d id id il d

(2.118)

Dalam hal ini 1i , 2i dan 3i masing-masing adalah komponen proyeksi vector satuan ke

arah sumbu 1 , sumbu 2 dan sumbu 3 . Hubungan diferensiasi inkremental antara sistem

koordinat Cartesian dengan sistem koordinat lainnya dapat dilihat pada Tabel 2.10.

Jika hubungan yang terdapat pada Tabel 2.10 tersebut disubstitusikan ke persamaan(2.117), maka :


29/96

25

3

3

2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

d z

d z

d z

i

d y

d y

d y

id x

d x

d x

il d

z

y x

(2.119)

Selanjutnya persamaan (2.119) dapat ditulis menjadi :

3

333

2

222

1

111

d z

i y

i x

i

d z

i y

i x

id z

i y

i x

il d

z y x

z y x z y x

(2.120)

Dengan membandingkan persamaan (2.120) dan persamaan (2.118), maka dapat

disimpulkan bahwa :

111

1

z

i y

i x

ii z y x (2.121)

222

2

z

i y

i x

ii z y x (2.122)

333

3

z

i y

i x

ii z y x (2.123)

Sementara itu, jika hubungan yang terdapat pada Tabel 2.10 disubstitusikan ke persamaan (2.118), maka diperoleh :

dz z

dy y

dx x

i

dz z

dy y

dx x

idz z

dy y

dx x

il d

333

3

22

1

2

2

111

1

(2.124)

Selanjutnya, pesamaan (73) dapat ditulis menjadi :

dz z

i z

i z

i

dy y

i y

i y

idx x

i x

i x

il d

3

3

2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

(2.125)

Dengan membandingkan persamaan (2.125) dengan persamaan (2.117), maka dapatdisimpulkan bahwa :

x

i

x

i

x

ii x

33

22

11

(2.126)


30/96

26

yi

yi

yii y

33

22

11

(2.127)

z i

z i

z ii

z

3

3

2

2

1

1

(2.128)

Sebagai kesimpulan, transformasi komponen vector satuan antara system koordinat

Cartesian dengan sistem koordinat lainnya ditunjukkan pada Tabel 2.15.

Tabel 2.15. Persamaan transformasi komponen vektor satuan antara sistem koordinat

Cartesian dengan sistem koordinat lainnya

Dari sistem koordinat Cartesian ke sistemkoordinat lainnya

Dari sistem koordinat lainnya ke sistemkoordinat Cartesian

111

1

z i

yi

xii z y x

222

2

z

i y

i x

ii z y x

333

3

z

i y

i x

ii z y x

x

i

x

i

x

ii x

33

22

11

yi

yi

yii y

33

22

11

z i

z i

z ii z

33

22

11

f. Transformasi komponen vector satuan antara system koordinat Cartesian dan system

koordinat SilinderSecara lebih khusus, dengan menggunakan Tabel 2.15, dapat disusun persamaan

dasar transformasi komponen vector satuan antara system koordinat Cartesian dengan

system koordinat Silinder sebagaimana dapat dilihat pada Tabel 2.16.

Tabel 2.16. Persamaan dasar transformasi komponen vektor satuan antara sistem koordinatCartesian dengan sistem koordinat Silinder


koordinat Silinder

Dari sistem koordinat Silinder ke sistem

koordinat Cartesian

r

z i

r

yi

r

xii z y xr

r

z i

r

yi

r

xii z y x

z z i

z yi

z xii z y x z

x

z i

x

r i

x

r ii z r x

y

z i

y

r i

y

r ii

z r y

z z i

z r i

z r ii z r z

Selanjutnya dapat dilakukan perhitungan-perhitungan sebagai berikut :

Cos y x

x

y x

x y x

x x

r

2222

22

2

2 (2.129)

Sin y x

y

y x

y y x

x y

r

2222

22

2

2 (2.130)

0 z r (2.131)


31/96

27

Sinr r

y

r r

y

y x

y

x

y

x y x

yarcTan

x x

11

1

1222222

(2.132)

Cosr r

x

r r

x

y x

x

x x y x

y

arcTan y y

111

1

122222

(2.133)

0 z

(2.134)

0

x

z (2.135)

0 y

z (2.136)

1 z

z (2.137)

Dari persamaan (2.73) hingga persamaan (2.81) dan dari persamaan (2.136) hingga persamaan (2.137), dapat disusun koefisien transfer komponen vektor antara sistemkoordinat Cartesian dengan sistem koordinat Silinder yang dapat d ilihat pada Tabel 2.17.

Tabel 2.17. Koefisien transformasi komponen vektor antara sistem koordinat Cartesian

dengan sistem koordinat Silinder


Dari sistem koordinat Silinder ke s istemkoordinat Cartesian

Cosr

x

Sin

r

y

0

r

z Cos

x

r

Sin

r x

1

0

x

z

rSin x

rCos y

0

z Sin

y

r

Cosr y

1

0 y

z

0 z

x 0

z

y 1

z

z 0

z

r 0

z

1

z

z

Selanjutnya nilai koefisien transformasi komponen vektor pada Tabel 2.17

disubstitusikan ke persamaan-persamaan yang terdapat pada Tabel 2.16.

SiniCosiiSiniCosir

z i

r

yi

r

xii y x z y x z y xr

0 (2.136)

CosiSinir

ir

rCosi

r

rSini

r

z i

r

yi

r

xii y x z y x z y x

0

(2.137)

z z y x z y x z iiii z

z i

z

yi

z

xii

100 (2.138)

SiniCosiir

rSiniCosi

x

z i

x

r i

x

r ii r z r z r x

0 (2.139)

CosiSiniir

rCosiSini

y

z i

y

r i

y

r ii r z r z r y

0 (2.140)

z z r z r z iir ii z

z

i z

r

i z

r

ii

100

(2.141)


32/96

28

Dengan demikian, diperoleh persamaan transformasi vektor satuan antara sistemkoordinat Cartesian dengan sistem koorbinat Silinder yang dapat dilihat pada Tabel 2.18

yang tidak lain adalah sama dengan yang terdapat pada Tabel 2.3.

Tabel 2.18. Persamaan transformasi vektor satuan antara sistem koordinat Cartesian dansistem koordinat Silinder


Dari sistem koordinat Silinder ke sistemkoordinat Cartesian

SiniCosii y xr

CosiSinii y x

)(Cartesian(Silinder) z z ii

SiniCosii r x CosiSinii r y

)Silinder ()Cartesian( z z ii

g. Transformasi komponen vector satuan antara system koordinat Cartesian dan system

koordinat BolaDemikian juga, dengan menggunakan Tabel 2.13, dapat disusun persamaan dasar

transformasi komponen vector satuan antara system koordinat Cartesian dengan systemkoordinat Bola sebagaimana dapat dilihat pada Tabel 2.19.

Tabel 2.19. Persamaan dasar transformasi komponen vektor satuan antara sistem koordinatCartesian dengan sistem koordinat Bola


koordinat Bola

Dari sistem koordinat Bola ke sistem

koordinat Cartesian

r

z i

r

yi

r

xii z y xr

r

z i

r

yi

r

xii z y x

rSin

z i

rSin

yi

rSin

xii z y x

x

rSini

x

r i

x

r ii r x

y

rSini

y

r i

y

r iir y

z

rSini

z

r i

z

r ii r z

Selanjutnya dapat dilakukan perhitungan-perhitungan sebagai berikut :

CosSinr x

z y x x x z y x

z y x x

z y x x x

r

222

21222

21

222222

221

(2.142)

SinSinr

y

z y x

y y z y x

z y x y

z y x y y

r

222

21

222

21

222222

22

1 (2.143)

Cosr z

z y x

z z z y x

z y x z

z y x z z

r

2222

1222

21

222222

22

1 (2.144)


33/96

29

CosCosr

Sin

CosCosSin

r TanCosSin

r y x

z

r

x

r

y x

z

r

x

y x

x

r

z

y x

x

z y x

z

x y x z

z

y x z

y xarcTan

x x

1

1111

22

1

1

1

22

22222222222

21

22

2

22

22

(2.145)

SinCosr

Sin

CosSinSin

r TanSinSin

r y x

z

r

y

r

y x

z

r

y

y x

y

r

z

y x

y

z y x

z

y y x z

z

y x z

y xarcTan

y y

1

1111

22

1

1

1

22

22222222222

21

22

2

22

22

(2.146)

Sinr r

y x

r

r

y x

z y x

y x y x

z z y x

z

y x z

z

y x z

y xarcTan

z z

11

1

1

1

1

22

2

22

222

22

22

2222

2

22

2

2

22

22

(2.147)

Sin

Sin

r Sinr

SinrSin

y x

y

x

y

x

y x

yarcTan

x x

1

1

122222

2

2

(2.148)

Sin

Cos

r Sinr

CosrSin

y x

x

x

x

y x

yarcTan

y y

11

1

12222

2

2

(2.149)


34/96

30

0

x

yarcTan

z z

(2.150)

Dari persamaan (2.93) hingga persamaan (2.101) dan dari persamaan (2.142)hingga persamaan (2.150), dapat disusun koefisien transfer komponen vektor antara sistemkoordinat Cartesian dengan sistem koordinat Bola. Persamaan transfer tersebut dapat

dilihat pada Tabel 2.20.

Tabel 2.20. Koefisien transformasi komponen vektor antara sistem koordinat Cartesiandengan sistem koordinat Bola

Dari sistemkoordinat

Cartesian ke sistemkoordinat Bola

CosSinr

x

SinSinr

y

Cosr

z

CosrCos x

SinrCos y

rSin z

SinrSin x

CosrSin y

0

z

Dari sistemkoordinat Bola kesistem koordinat

Cartesian

CosSin x

r

CosCosr x

1

Sin

Sin

r x

1

SinSin y

r

SinCosr y

1

Sin

Cos

r y

1

Cos z

r

Sinr z

1

0 z

Selanjutnya nilai koefisien transformasi komponen vektor pada Tabel 2.20disubstitusikan ke persamaan-persamaan yang terdapat pada Tabel 2.19.

CosiSinSiniCosSinir

z i

r

yi

r

xii z y x z y xr

(2.151)

SiniSinCosiCosCosi

r

rSini

r

SinrCosi

r

CosrCosi

r

z i

r

yi

r

xii

z y x

z y x z y x

(2.152)

CosiSinirSin

irSin

CosrSini

rSin

SinrSini

rSin

z i

rSin

yi

rSin

xii

y x z y x

z y x

0 (2.153)

SiniCosCosiCosSini

Sin

Sin

r rSini

r

CosrCosiCosSini

x

rSini

x

r i

x

r ii

r

r

r x

1 (2.154)


35/96

31

CosiSinSiniSinSini

Sin

Cos

r rSinir

SinrSin

iSinSini

y

rSini

y

r i

y

r ii

r

r

r y

1

(2.155)

SiniCosi

r iSinr

r iCosi z

rSini

z

r i

z

r ii

r

r r z

01

(2.156)

Dengan demikian, diperoleh persamaan transformasi vektor satuan antara sistemkoordinat Cartesian dengan sistem koorbinat Bola yang dapat dilihat pada Tabel 2.21 yangtidak lain adalah sama dengan yang terdapat pada Tabel 2.5.

Tabel 2.21. Persamaan transformasi vektor satuan antara sistem koordinat Cartesian dan

sistem koordinat Bola


CosiSinSiniCosSinii z y xr

SiniSinCosiCosCosii z y x

CosiSinii y x


SiniCosCosiCosSinii r x CosiSinCosiSinSinii r y

SiniCosii r z

E. NOTASI ATAU PENULISAN TENSOR DAN TRANSFORMASI KOORDINATKOMPONEN TENSOR

1. Notasi atau penulisan tensorDalam sistem koordinat Cartesian, notasi tersebut adalah :

zz zz yz yz xz xz zy zy yy yy xy xy zx zx yx yx xx xx iiiiiiiii

(2.157)

Di mana i adalah tensor satuan dan adalah komponen tensor

. Huruf belakang pada indeks arah menyatakan arah pertama sedangkan huruf depan pada indeks arahmenyatakan arah kedua.

Dengan demikian yxi adalah tensor satuan ke arah sumbu x sebagai arah pertama

dan ke arah sumbu y sebagai arah kedua. Demikian juga yx adalah komponen tensor ke

arah sumbu x sebagai arah pertama dan ke arah sumbu y sebagai arah kedua. Pengertian ini

berlaku untuk arah lainnya.Dalam sistem koordinat silinder, vektor dalam notasi vektor satuan adalah :

zz zz z z rz rz z z r r zr zr r r rr rr iiiiiiiii

(2.158)


36/96

32

Dalam sistem koordinat bola, vektor dalam notasi vektor satuan adalah :

iiiiiiiii r r r r r r r r rr rr

(2.159)

Di samping notasi tensor satuan, tensor dapat ditulis dalam notasi matrik. Pada

sistem koordinat Cartesian, notas i matrik untuk suatu tensor adalah :

zz yz xz

zy yy xy

zx yx xx

(2.160)

Pada sistem koordinat Silinder, notasi matrik untuk suatu tensor adalah :

zz z rz

z r

zr r rr

(2.161)

Pada sistem koordinat Silinder, notasi matrik untuk suatu tensor adalah :

r

r

r r rr

(2.162)

Pada notasi matrik, arah mendatar (horizontal) menunjukkan arah pertamasedangkan arah vertikal menunjukkan arah kedua

2. Operasi Transpose

Operasi transpose adalah operasi menukar arah tensor, yaitu menjadikan arah pertama sebagai arah kedua dan sebaliknya. Operasi transpose ditulis dengan notasisuperscript T .

Operasi transpose dalam sistem koordinat Cartes ian adalah :

zz zy xz

yz yy yx

xz xy xx

T

zz yz xz

zy yy xy

zx yx xxT

(2.163)

Operasi transpose dalam sistem koordinat Silinder adalah :

zz z zr

z r

rz r rr

T

zz z rz

z r

zr r rr T

(2.164)

Operasi transpose dalam sistem koordinat Bola adalah :


37/96

33

r

r

r r rr

T

r

r

r r rr T

(2.165)

3. Tensor SimetrisSuatu tensor merupakan tensor simetris jika nilai tensor tersebut tidak mengalami

perubahan ketika dilakukan operasi transpose. Dengan demikian dalam suatu sistem

koordinat Cartesian suatu tensor akan menjadi tensor simetris jika :

;;; yz zy xz zx xy yx (2.166)

Dalam suatu sistem koordinat Silinder suatu tensor akan menjadi tensor simetris jika :

;;; z z rz zr r r (2.167)

Dalam suatu sistem koordinat Silinder suatu tensor akan menjadi tensor simetris jika :

;;; r r r r (2.168)

4. Transformasi komponen tensor antara sistem koordinat Cartesian dan sistemkoordinat Silinder

Transformasi dilakukan dengan menerapkan persamaan transformasi komponenvektor antara sistem koordinat Cartesian dan sistem koordinat Silinder secara berturutan.

Hal ini dilakukan sebagai berikut :

Untuk xx

22 SinSinCosCos

SinSinCosCosSinCos

SinCos

r r rr

r r rr

xrx xx


22

SinSinCosCos r r rr xx (2.169)

Untuk yx

22CosSinSinCos

CosSinCosSinSinCos

CosSin

r r rr

r r rr

xrx yx


22

CosSinSinCos r r rr yx (2.170)

Untuk zx

SinCos z zr zx (2.171)


38/96

34

Untuk xy

22SinCosSinCos

SinCosSinCosCosSin

SinCos

r r rr

r r rr

yry xy


22

SinCosSinCos r r rr xy (2.172)

Untuk yy

22

CosSinCosSin

CosCosSinSinCosSin

CosSin

r r rr

r r rr

yry yy


22

CosSinCosSin r r rr yy (2.173)

Untuk zy

CosSin z zr zy (2.174)

Untuk xz

SinCos z rz xz (2.175)

Untuk yz

CosSin z rz yz (2.176)

Untuk zz

zz zz (2.177)

Persamaan (2.169) hingga persamaan (2.177) merupakan persamaan transformasikomponen tensor dari sistem koordinat Silinder ke sistem koordinat Cartesian.

Selanjutnya, dilakukan pula evaluasi sebagai berikut :

Untuk rr

22SinSinCosCos

SinSinCosCosSinCos

SinCos

yy yx xy xx

yy yx xy xx

yr xr rr


22 SinSinCosCos yy yx xy xxrr (2.178)

Untuk r


39/96

35

22CosSinSinCos

CosSinCosSinSinCos

CosSin

yx xy yy xx

yy yx xy xx

yr xr r


22 CosSinSinCos yx xy yy xxr (2.179)

Untuk zr

SinCos zy zx zr (2.180)

Untuk r

22SinCosSinCos

SinCosSinCosCosSin

SinCos

yx xy yy xx

yy yx xy xx

y xr


22 SinCosSinCos yx xy yy xxr (2.181)

Untuk

22CosSinCosSin

CosCosSinSinCosSin

CosSin

yy yx xy xx

yy yx xy xx

y x

Date post:	07-Jul-2018
Category:	Documents
Upload:	ulin
View:	222 times
Download:	0 times

Vektor Dan Tensor by

Documents