Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Daniel HanzlíkObchodní akademie a Střední odborná škola logistická, Opava, příspěvková organizace.
Materiál byl vytvořen v rámci projektu OP VK 1.5 – EU peníze středním školám,registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0809.
4. září 2012 VY_32_INOVACE_110211_Vlastnosti _kombinacnich_cisel_DUM
Vlastnosti kombinačních čísel
Úvodem
Je třeba si na začátku uvědomit, co je to kombinační číslo.
Obr. 3
Definice kombinačního čísla
Obr.1
Kombinační číslo (binomický koeficient) je symbol, který označuje počet k-členných kombinací z n prvků.
Symbol čteme "n nad k".
Pro všechna celá nezáporná čísla n, k , k n je:
1 2 ... 1! = ( , ) =
!( )! !
n
k
n n n n kn nK k n
k k n k k
1. vlastnost kombinačních čísel
0Pro n, k N , k n:
= n n
k n k
Obr. 1
2. vlastnost kombinačních čísel
0Pro n, k N , k + 1 n:
1 + =
1 1
n n n
k k k
Obr. 1
Hodnoty některých kombinačních čísel
U kombinačních čísel platí:
= 10
= 1
0 = 1
0
= n1
n
n
n
n
Obr. 1
Praktická část – matematické úlohy
Abychom správně pochopili vlastnosti kombinačních čísel, tak je třeba vyřešit některé matematické úlohy, které se tohoto tématu týkají.
Úlohy zároveň slouží k prověření vašich znalostí o kombinačních číslech.
U každé úlohy vyberte pouze jednu správnou odpověď.
Obr. 3
Úloha 1
12Kterému kombinačnímu číslu odpovídá číslo ?
8
12 13 12 13 a) b) c) d) e) jiné řešení
3 4 4 3
Obr. 2
Řešení úlohy 1
Správná odpověď: c)
Podle vlastnosti kombinačních čísel:
12 1212! = =
8 4!.8! 4
Obr. 1
Úloha 2
Po zjednodušení kombinačního čísla dostaneme
výraz:
a) x – 12 b) x – 11 c) x – 2 d) x – 1 e) jiné řešení
11
12
x
x
Obr. 2
Řešení úlohy 2
Správná odpověď: b)
Pro zjednodušení využijeme vztah: = n n
k n k
-11-11 -11
- 11-11 - -12-12 1
xx xx
x xx
12, x Nx
Obr. 1
Úloha 3
Po vyjádření kombinačního čísla dostaneme:
a)
b)
c)
d) jiné řešení
1
1
n
n
2
2
n n
2
2
n n
2
2
n
Obr. 2
Řešení úlohy 3
Správná odpověď: a)
Postupujeme podle definice kombinačního čísla:
= n n
k n k
21 1 .1 1
1 11 2 2.1 2
n n nn n n nn nn
Obr. 1
Úloha 4
Výsledkem součtu kombinačních čísel
je číslo:
(využijte přitom vlastnost kombinačních čísel)
11 11 +
2 10
12 11 12 11a) b) c) d) e) jiné řešení
2 3 11 11
Obr. 2
Řešení úlohy 4
Správná odpověď: a)
K řešení využijeme 2. vlastnost kombinačních čísel:
V našem případě dostaneme:
1
1 1
n n n
k k k
11 11 11 11 12 + = + =
2 10 2 1 2
Obr. 1
Úloha 5
Po odečtení čísel dostaneme:12 16
- 11 15
a) 0 b) 4 c) - 3 d) - 1 e) jiné řešení
Obr. 2
Řešení úlohy 5
Správná odpověď: e) jiné řešení
Při řešení využijeme vlastnost:
= n n
k n k
12 16 12 16 - = - = 12 - 16 = - 4
11 15 1 1
Obr. 1
Úloha 6
Rozdílem kombinačních čísel
je číslo:
100 40 -
98 38
) 2170 b) 3170 c) 4170 d) 5170 e) jiné řešenía
Obr. 2
Řešení úlohy 6
Správná odpověď: c)
Při řešení využíváme opět vlastnosti kombinačních čísel jako v předchozí úloze:
100 40 100 40 100.99 40.39 - = - = - = 4950 - 780 = 4170
98 38 2 2 2 2
Obr. 1
Úloha 7
S využitím vlastností kombinačních čísel vypočtěte. Výsledek vyjádřete celým číslem:
8 7 8 7 + + +
6 2 7 3
Obr. 2
Řešení úlohy 7
Správný výsledek: 92
Při výpočtu využijeme obě základní vlastnosti kombinačních čísel:
8 7 8 7 8 8 7 7 9 8 + + + = + + + = +
6 2 7 3 6 7 2 3 7 3
9 8 9.8 8.7.6 + = + = 36 + 56 = 92
2 3 2.1 3.2.1
Obr. 1
Úloha 8
S využitím vlastností kombinačních čísel vypočtěte.Výsledek vyjádřete jedním kombinačním číslem:
6 7 8 9 + + +
6 6 6 6
Obr. 2
Řešení úlohy 8
Správný výsledek:
Na začátku zaměníme kombinační číslo za číslo
Platí:
Pro následný výpočet využijeme 2.vlastnost kombinačních čísel:
10
7
6
6
7
7
6 7 = 1 =
6 7
6 7 8 9 7 7 8 9 + + + = + + + =
6 6 6 6 7 6 6 6
8 8 9 = + + =
7 6 6
9 9 10 10 = + = neboli
7 6 7 3
Obr. 1
Závěrem
Kombinační čísla se nazývají binomické koeficienty a jsou uvedeny v matematicko-fyzikálních tabulkách. Tvoří tzv. Pascalův trojúhelník:
Kombinační čísla v Pascalově trojúhelníku jsou seřazena podle pravidel, která odpovídají vlastnostem kombinačních čísel. Pascalův trojúhelník je významný při výpočtech souvisejících s tzv. binomickou větou.
n
k
00
0
1 11
0 1
2 2 22
0 1 2
3
n
n
n
n
3 3 3 3
0 1 2 3
...
CITACE ZDROJŮ
Použitá literatura a použitý web:1) HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy, střední
odborná učiliště a nástavbové studium. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s. r. o., 2000, s. 202-203. ISBN 80-7196-165-5. 2) Kombinatorika - kombinační čísla. Http://carolina.mff.cuni.cz [online]. 2012-02-07 [cit. 2012-09-04]. Dostupné
z: http://carolina.mff.cuni.cz/~jana/kombinatorika/04vlastnosti.htm
Použité obrázky:1) People - Stick Figures - Stick blueman 103 02 - Public Domain Clip Art. Http://www.pdclipart.org [online]. [cit.
2012-09-04]. Dostupné pod licencí Public domain z: http://www.pdclipart.org/displayimage.php?album=93&pos=2
2) People - Stick Figures - Stick blueman 107 01 - Public Domain Clip Art. Http://www.pdclipart.org [online]. [cit. 2012-09-04]. Dostupné pod licencí Public domain z: http://www.pdclipart.org/displayimage.php?album=93&pos=6
3) People - Stick Figures - Stick blueman 202 01 - Public Domain Clip Art. Http://www.pdclipart.org [online]. [cit. 2012-09-04]. Dostupné pod licencí Public domain z: http://www.pdclipart.org/displayimage.php?album=93&pos=11
Všechny úpravy psaného textu byly prováděny v programu MS PowerPoint 2010.
KONEC PREZENTACE
Děkuji za pozornost.