Výpočet nejistot metodou Monte carlo - webzdarma · 2020. 6. 17. · INVESTICE DO ROZVOJE...

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

Výpočet nejistot metodou Monte carlo

Mgr. Martin Šíra, Ph.D. (ČMI, Brno)

červen 2012

– p. 1


Výpočty nejistot

V metrologii jsou převážně používány dvě metody:

� GUM Uncertainty Framework (GUF)dokument Guide to the Expression of Uncertainty inMeasurement (GUM), 1995

� Metoda Monte Carlodokument Evaluation of measurement dat – Suplement 1 tothe "Guide to the expression of uncertainty inmeasurement"– Propagation of distributions using a MonteCarlo method , 2008

dokumenty online

http://www.bipm.org/en/publications/guides/gum.html

– p. 2


schéma metody GUF

– p. 3


vzorce v metodě GUF

� standardní nejistoty: u2(xi) =1

n(n−1)

∑

i(qi − q)2,

u2(xi) = a2/3, u2(xi) = a

2/6, . . .

– p. 4




n(n−1)

∑

i(qi − q)2,

u2(xi) = a2/3, u2(xi) = a

2/6, . . .

� citlivostní koeficienty: ci =∂f∂xi. u2(y) =

∑

i c2i u2(xi).

∑

j

∑

i

(

12

(

∂2f∂xi∂xj

)2

+ ∂f∂xi∂3f∂xi∂x2j

)

u2(xi)u2(xj)

– p. 4




n(n−1)

∑

i(qi − q)2,

u2(xi) = a2/3, u2(xi) = a

2/6, . . .


∑

i c2i u2(xi).

∑

j

∑

i

(

12

(

∂2f∂xi∂xj

)2


)

u2(xi)u2(xj)

� korelované vstupní veličiny: 2∑

i

∑

j∂f∂xi∂f∂xju(xi , xj)

– p. 4




n(n−1)

∑

i(qi − q)2,

u2(xi) = a2/3, u2(xi) = a

2/6, . . .


∑

i c2i u2(xi).

∑

j

∑

i

(

12

(

∂2f∂xi∂xj

)2


)

u2(xi)u2(xj)


i

∑


� efektivní stupeň volnosti: νeff =u4c (y)

∑i

u4i(y)

νi

– p. 4




n(n−1)

∑

i(qi − q)2,

u2(xi) = a2/3, u2(xi) = a

2/6, . . .


∑

i c2i u2(xi).

∑

j

∑

i

(

12

(

∂2f∂xi∂xj

)2


)

u2(xi)u2(xj)


i

∑



∑i

u4i(y)

νi

� koeficient pokrytí: 1− α =∫ t1−α− inf f (t, νeff)dt, k = tp,

p = 1− 2α

– p. 4




n(n−1)

∑

i(qi − q)2,

u2(xi) = a2/3, u2(xi) = a

2/6, . . .


∑

i c2i u2(xi).

∑

j

∑

i

(

12

(

∂2f∂xi∂xj

)2


)

u2(xi)u2(xj)


i

∑



∑i

u4i(y)

νi


p = 1− 2α

� rozšířená nejistota: U = kuc(y), Y − U ≤ Y′ ≥ Y + U

– p. 4




n(n−1)

∑

i(qi − q)2,

u2(xi) = a2/3, u2(xi) = a

2/6, . . .


∑

i c2i u2(xi).

∑

j

∑

i

(

12

(

∂2f∂xi∂xj

)2


)

u2(xi)u2(xj)


i

∑



∑i

u4i(y)

νi


p = 1− 2α

� rozšířená nejistota: U = kuc(y), Y − U ≤ Y′ ≥ Y + U�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

ZZ

ZZZZZZ

ZZZZZ

ZZZZZ

ZZZZZZ

ZZ

ZZ

ZZZZZZ

ZZZZZ

ZZZZZ

ZZZZZZ

ZZ

ZZ

ZZZZZZ

ZZZZZ

ZZZZZ

ZZZZZZ

ZZ

KOMPLIKOVANÉ(?)

– p. 4


Metoda Monte Carlo

� třída algorimtů pro simulaci systémů

– p. 5


Metoda Monte Carlo


� opakované náhodné vzorkování pro simulaci náhodnýchdějů

– p. 5


Metoda Monte Carlo



� využití:

– p. 5


Metoda Monte Carlo



� využití:

◮ řešení diferenciálních rovnic

– p. 5


Metoda Monte Carlo



� využití:


◮ počítání určitých integrálů

– p. 5


Metoda Monte Carlo



� využití:



◮ simulace experimentů, převážně:

– p. 5


Metoda Monte Carlo



� využití:



◮ simulace experimentů, převážně:� štěpné reakce

– p. 5


Metoda Monte Carlo



� využití:



◮ simulace experimentů, převážně:� štěpné reakce� difuze plynů

– p. 5


Metoda Monte Carlo



� využití:



◮ simulace experimentů, převážně:� štěpné reakce� difuze plynů� proudění tekutin

– p. 5


Metoda Monte Carlo



� využití:



◮ simulace experimentů, převážně:� štěpné reakce� difuze plynů� proudění tekutin

◮ výpo čet nejistot

– p. 5


historie MMC

� vyvinuli John von Neumann, Stanislaw Ulam a NicholasMetropolis 1940 v Los Alamos během vývoje atomovébomby

– p. 6


historie MMC


� Ulam měl myšlenku používání náhodných čísel

– p. 6


historie MMC



� von Neumann použil generování náhodných čísel místoseznamu náhodných čísel

– p. 6


historie MMC




� Metropolis vypracoval algorithmy

– p. 6


historie MMC




� Metropolis vypracoval algorithmy

� pojmenováno po městě Monte Carlo, kde Ulamův strýcčasto prohrálval v kasinu

– p. 6


Monte Carlo, Monako

Autor fotografie: Joseph Plotz

– p. 7


Příklad použití MMC

Výpočet Ludolfova čísla: π = 3, 14159 . . .

10.50-0.5-1

1

0.5

0

-0.5

-1

Obsah kruhu: S1 = πr2

Obsah čtverce: S2 = r2

Počet bodů: NPočet bodů v kruhu: M

S1S2=πr2

r2=M

N⇒ π =

M

N

– p. 8


Průběh výpočtu π

10:

10.80.60.40.20

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

– p. 9



10:

10.80.60.40.20

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

100:

10.80.60.40.20

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

– p. 9



10:

10.80.60.40.20

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

100:

10.80.60.40.20

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

1000:

10.80.60.40.20

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

– p. 9



10:

10.80.60.40.20

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

100:

10.80.60.40.20

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

1000:

10.80.60.40.20

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

10000:

10.80.60.40.20

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

– p. 9


Výsledek výpočtu π MMC

1e+0610000010000100010010

3.2

3.1

3

2.9

2.8

2.7

2.6

2.5

2.4

2.3

Zvýšením řádu opakování získáme obvykle jednu cifru π.

(Moderní iterační metody přidají 5 cifer π každýmvýpočetním krokem.)

– p. 10


Čísla musí být náhodná

10.50-0.5-1

1

0.5

0

-0.5

-1

π 6=100

100= 1

– p. 11


Proč ne pravidelné rozložení čísel?

Hra lodě:

hrací pole: hrací pole:

– p. 12



Hra lodě:

pravidená střelba: náhodná střelba:

– p. 12



Hra lodě:

žádný zásah čtyři zásahy!

– p. 12


Nejistoty metodou Monte Carlo

Postup:

� vytvoření matematického modelu děje

– p. 13



Postup:


� určení hustot pravděpodobnosti vstupních veličin

– p. 13



Postup:



� provedení dostatečného počtu simulací

– p. 13



Postup:




� zpracování výpočetních hodnot stochastickými metodami

– p. 13



Postup:




� zpracování výpočetních hodnot stochastickými metodami

� určení nejpravděpodobnější hodnoty a nejistoty

– p. 13


Jednoduchý příklad

matematický model: Y = A+ B

– p. 14




hodnoty: A = B = 0.5

– p. 14





nejistoty: u(A) = u(B) = 0.5, normální rozdělení

– p. 14





nejistoty: u(A) = u(B) = 0.5, normální rozdělení

Y = 1

0,50

+1

0,50

– p. 14


Jednoduchý příklad – výpočet

1,A1 = 0, 8

B1 = 0, 5⇒ Y = 1, 3

Histogram:

10

– p. 15



1,A1 = 0, 8

B1 = 0, 5⇒ Y = 1, 3

2,A2 = 0, 34

B2 = 0, 1⇒ Y = 0, 54

Histogram:

10

– p. 16



1,A1 = 0, 8

B1 = 0, 5⇒ Y = 1, 3

2,A2 = 0, 34

B2 = 0, 1⇒ Y = 0, 54

3,A3 = 0, 07

B3 = 1, 23⇒ Y = 1, 3

Histogram:

10

– p. 17



1,A1 = 0, 8

B1 = 0, 5⇒ Y = 1, 3

2,A2 = 0, 34

B2 = 0, 1⇒ Y = 0, 54

3,A3 = 0, 07

B3 = 1, 23⇒ Y = 1, 3

. . .

106,A106 = 0, 11

B106 = 0, 42⇒ Y106 = 0, 52

Histogram:

10

– p. 18



1,A1 = 0, 8

B1 = 0, 5⇒ Y = 1, 3

2,A2 = 0, 34

B2 = 0, 1⇒ Y = 0, 54

3,A3 = 0, 07

B3 = 1, 23⇒ Y = 1, 3

. . .

106,A106 = 0, 11

B106 = 0, 42⇒ Y106 = 0, 52

Histogram:

10

– p. 19


Určení nejistoty

Nejistota: pravá hodnota Y se nachází v daném intervalu snejistotou p.Určení nejistoty odpovídá nalezení plochy pod křivkouodpovídající p z celkové plochy křivky.

– p. 20


Určení nejistoty


-u +u

15,87%

plochy

68,27%

plochy

15,87%

plochy

– p. 20


Určení nejistoty


-U +U

2,28%

plochy

95,45%

plochy

2,28%

plochy

– p. 20


schéma metody Monte Carlo

– p. 21


GUF vs MMC

gX 3 (ξ3)

gX 2 (ξ2)

gX 1 (ξ1)

Y = f(X )

gY (η)

x1, u(x1)

x2, u(x2)

x3, u(x3)

Y = f(X ) y, u(y)

GUF

MMC

– p. 22


výhody a nevýhody MMC

Lze počítat i s kompikovanými rozdělenímia komplexními čísly.

– p. 23




Je třeba mít generátor náhodných čísel avhodný software.

– p. 23





Není třeba derivovat.

– p. 23






Nelze počítat na papíře.

– p. 23






Nelze počítat na papíře.

Není třeba odhadovat a počítat stupněvolnosti.

– p. 23


složitý příklad – ukázka chyby GUF

Guide to the Expression of Uncertainty in Measurements,Annex H, příklad koncových měrek:

– p. 24



Guide to the Expression of Uncertainty in Measurements,Annex Hpříklad koncových měrek

GUF:δL = (838± 62) nm, k = 2, t-rozdělení, p = 95, 45%

– p. 25



Guide to the Expression of Uncertainty in Measurements,Annex Hpříklad koncových měrek

GUF:δL = (838± 62) nm, k = 2, t-rozdělení, p = 95, 45%

MMC:δL = (838± 67) nm, p = 95, 45%, 53× 104 opakování

– p. 25


kdy použít MMC?

� když vstupní veličiy mají "divoká rozdělení"

– p. 26


kdy použít MMC?


� když citlivostní koeficienty jsou nulové

– p. 26


kdy použít MMC?


� když citlivostní koeficienty jsou nulové

� když zvítězí lenost derivovat

– p. 26


Centrální limitní věta

Velké množství libovolných vstupních rozdělení dá výslednénormální rozdělení.

– p. 27


software pro MMC

Obecné programy:Matlab ($), Octave, R, . . .

– p. 28


software pro MMC


Specializované programy:Gum Workbench Pro, Qualisyst QMSys GUM Professinal,OpenBugs.

– p. 28


software pro MMC


Specializované programy:Gum Workbench Pro, Qualisyst QMSys GUM Professinal,OpenBugs.

Nevhodné programy:Excel 2000, 2003, skriptovací jazyk VBA v Excelu 2007,(Excel 2010?)

– p. 28


Děkuji

za pozornost

– p. 29

VÃ½poÄ“ty nejistotschÃ©ma metody GUFvzorce v metodÄł GUFvzorce v metodÄł GUFvzorce v metodÄł GUFvzorce v metodÄł GUFvzorce v metodÄł GUFvzorce v metodÄł GUFvzorce v metodÄł GUF

Metoda Monte CarloMetoda Monte CarloMetoda Monte CarloMetoda Monte CarloMetoda Monte CarloMetoda Monte CarloMetoda Monte CarloMetoda Monte CarloMetoda Monte CarloMetoda Monte Carlo

historie MMChistorie MMChistorie MMChistorie MMChistorie MMC

Monte Carlo, MonakoPÅŽÃ�klad pouÅ¾itÃ� MMCPrÅ¯bÄłh vÃ½poÄ“tu $pi $PrÅ¯bÄłh vÃ½poÄ“tu $pi $PrÅ¯bÄłh vÃ½poÄ“tu $pi $PrÅ¯bÄłh vÃ½poÄ“tu $pi $

VÃ½sledek vÃ½poÄ“tu $pi $ MMCÄ„Ã�sla musÃ� bÃ½t nÃ¡hodnÃ¡ProÄ“ ne pravidelnÃ© rozloÅ¾enÃ� Ä“Ã�sel?ProÄ“ ne pravidelnÃ© rozloÅ¾enÃ� Ä“Ã�sel?ProÄ“ ne pravidelnÃ© rozloÅ¾enÃ� Ä“Ã�sel?

Nejistoty metodou Monte CarloNejistoty metodou Monte CarloNejistoty metodou Monte CarloNejistoty metodou Monte CarloNejistoty metodou Monte Carlo

JednoduchÃ½ pÅŽÃ�kladJednoduchÃ½ pÅŽÃ�kladJednoduchÃ½ pÅŽÃ�kladJednoduchÃ½ pÅŽÃ�klad

JednoduchÃ½ pÅŽÃ�klad -- vÃ½poÄ“etJednoduchÃ½ pÅŽÃ�klad -- vÃ½poÄ“etJednoduchÃ½ pÅŽÃ�klad -- vÃ½poÄ“etJednoduchÃ½ pÅŽÃ�klad -- vÃ½poÄ“etJednoduchÃ½ pÅŽÃ�klad -- vÃ½poÄ“etUrÄ“enÃ� nejistotyUrÄ“enÃ� nejistotyUrÄ“enÃ� nejistoty

schÃ©ma metody Monte CarloGUF vs MMCvÃ½hody a nevÃ½hody MMCvÃ½hody a nevÃ½hody MMCvÃ½hody a nevÃ½hody MMCvÃ½hody a nevÃ½hody MMCvÃ½hody a nevÃ½hody MMC

sloÅ¾itÃ½ pÅŽÃ�klad -- ukÃ¡zka chyby GUFsloÅ¾itÃ½ pÅŽÃ�klad -- ukÃ¡zka chyby GUFsloÅ¾itÃ½ pÅŽÃ�klad -- ukÃ¡zka chyby GUF

kdy pouÅ¾Ã�t MMC?kdy pouÅ¾Ã�t MMC?kdy pouÅ¾Ã�t MMC?

CentrÃ¡lnÃ� limitnÃ� vÄłtasoftware pro MMCsoftware pro MMCsoftware pro MMC

Date post:	17-Feb-2021
Category:	Documents
Upload:	others
View:	1 times
Download:	0 times

Výpočet nejistot metodou Monte carlo - webzdarma · 2020. 6. 17. · INVESTICE DO ROZVOJE...

Documents