Geometrická optika Optická soustava soubor optických prvků (čoček, hranolů, zrcadel, planparalelních desek, děličů svazku, difrakčních a jiných prvků), které jsou navzájem uspořádány určitým způsobem tak, aby optická soustava splňovala dané fyzikální a geometrické požadavky úkolem optické soustavy (podle představ geometrické optiky) je transformovat svazek paprsků do optické soustavy vstupující ve svazek paprsků požadovaných vlastností z optické soustavy vystupující vstupní svazek výstupní svazek
Transcript
Geometrická optikaOptická soustava
soubor optických prvků (čoček, hranolů, zrcadel, planparalelních desek, děličů svazku, difrakčních a jiných prvků), které jsou navzájem uspořádány určitým způsobem tak, aby optická soustava splňovala dané fyzikální a geometrické požadavky
úkolem optické soustavy (podle představ geometrické optiky) je transformovat svazek paprsků do optické soustavy vstupující ve svazek paprsků požadovaných vlastností z optické soustavy vystupující
zobrazení, které každému bodu A(x,y,z) předmětu přiřazuje určitý bod v obrazovém prostoru A´(x´,y´,z´)
Geometrická optikaIdeální optická soustava
geometrickou transformací, která splňuje předpoklady ideální optickésoustavy je kolineace
DCzByAxdzcybxaz zzzz
++++++
=′DzCyBxA
dzcybxaz zzzz
′+′′+′′+′′′+′+′+′
=
O
x
y
x´
y´
O´P´
Q´
R´
P
QR
∞=′z 0=+++ DCzByAx
ohniskové roviny
∞=z 0=′+′′+′′+′′ DzCyBxA
Geometrická optikaOsově souměrná soustava
zobrazovací rovnice pro y´ a x´ jsou stejnépočátky souřadných soustav O,O´ volíme v ohniskových rovinách
Czdz z=′
Czyb
y y=′
pzyy += 0
qzzz += 0
Cb
pxdyb
y y
z
y +′=′ 0
Cb
qxdzb
z y
z
y +′=′ 0
paprsek
hdb
zydb
z
y
z
y ±=+±=σ′ 20
20tg
všem paprskům, kteréprotínají předmětovou rovinu ve stejné vzdálenosti h od osy
odpovídají v obrazovém prostoru paprsky svírající
stejný úhel σ′ s osou a naopak
σ±=′+′±=′ tg20
20 C
bzyh y
Cb
f y−=y
z
bdf −=′
ohniskové vzdálenosti
OShh′ σ′σ
Geometrická optikaffzz ′=′ y
fz
zyfy
′′
−=−=′Zobrazovací (Newtonova) rovnice vztažená k ohniskům
F′1O
n′n
2O
ξ ξ′
∞
H H′
h h′
f ′+)( z′+)(z)(− f)(−
F
∞
soustavaoptická
Geometrická optikaZákladní body optické soustavy
obrazovým ohniskem F´ nazýváme obraz nekonečně vzdáleného bodu na optické ose
předmětovým ohniskem F´ nazýváme bod na optické ose soustavy v předmětovém prostoru, jehož obraz leží v nekonečnu
F - předmětové ohniskoF´ - obrazové ohnisko H, H´ - hlavní bodym(H,H´) = h´/h = 1
F′1O
n′n
2O
ξ ξ′
∞
H H′
h h′
f ′+)(f)(−
F
∞
soustavaoptická
ffnn −=′⇒′=
Geometrická optikaPříčné zvětšení optické soustavy
yy
yym
′=′
=dd
určeno jako poměr změny příčné velikosti obrazu a velikosti předmětu
příčné zvětšení nezávisí na příčné velikosti předmětu, ale závisí na jeho vzdálenosti od optické soustavy
m = 1 … obraz je stejně velký jako předmět|m| < 1 … obraz je menší nežli předmět|m| > 1 … obraz je větší nežli předmětm < 0 … obraz je převráceným > 0 … obraz je vzpřímeným = 0 … předmět v nekonečnu
F′
F
ξ ξ′
H H′
h h′
f ′q f
AA′
η
η′
y′−)(
By)(+
P P′
Q′Q
q′
B′
m = -2
soustavaoptická
Geometrická optikaZobrazovací rovnice
fy
qy ′
−=qy
fy
′′
−=′
ffqq ′=′Newtonova
zobrazovací rovnice
faq −= faq ′−′=′
1
2 1=+′′
af
af zobrazovací
(Gaussova) rovnicevztažená na hlavní
body
příčné zvětšení
)( faf
qf
yym
−−=−=
′=
ffa
fq
yym
′′−′
−=′′
−=′
=)(
F′1O
n′n
2OF
ξ ξ′
H H′
h h′
f ′+)(a′+)(
q)(− f)(−
A A′σ−)( σ′+)(
η η′
y′−)(
B
y)(+
P P′
Q′Q
a)(−
q′+)(B′
soustavaoptická
ff
aam
′′
−=
Geometrická optikaPodélné (osové) zvětšení optické soustavy
určeno jako poměr změny podélné velikosti obrazu a změny velikosti předmětu (ve směru optické osy)
AB
AB
qqqq
qq
−′−′
=∆′∆
=αB
B qffq′
=′A
A qffq′
=′ABqq
ff ′−=α
ABAB
mmff
qqff ′
−=′
−=α
fq
qfm
′′
−=−=
F′F
ξ ξ′
H H′
f ′
Aq f
AA′
ηη′
B
Aq′
B′
Bq
Bq′
soustavaoptická
2mff ′
−=αmmm BA ==
Geometrická optikaÚhlové zvětšení optické soustavy
určeno jako poměr tangent úhlů, které svírá obrazový a předmětový paprsek s optickou osou soustavy
σσ′
=γtgtg
ah′
=σ′tgah
=σtgmf
faa 1
tgtg
′−=
′=
σσ′
=γff
aam
′′
−=
ξ ξ′
h h′
f ′q f
ηη′
y′−)(
y)(+
f ′ f
U U′H H′
q′
A
B
F′F
B′
A′
Us Us′
ωω′
σ σ′
ffss UU +′=′=
uu sqfy
sqfy
−′+′′−
=−+
−Uzlové body γ(U,U´) = 1 ω′=ω tgtg
UU ss ′=
hff =σ+σ′′ tgtg
1=+′′
af
af
Geometrická optikaPříklad: (ideální zobrazení)Fotografický objektiv f´=-f = 50 mm zobrazuje předmět o velikosti y=50 mm, který se nachází ve vzdálenosti a=-300 mm. Určete polohu obrazu a jeho velikost.
mm60=′+′
=′fa
faa1=+′′
af
af
2,0−=′
=′
′−=
aa
aa
ffm mm10−==′ myy
Příklad: (ideální zobrazení)Určete ohniskovou vzdálenost fotografického objektivu f´, který zobrazípředmět velikosti y=2 m, jenž se nachází ve vzdálenosti a=-3 m, tak, že velikost obrazu je y´=-20 mm.
01,0−=′
=yym
mm7,29=′−′
=′aa
aaf
mm30==′ maa
Geometrická optikaKatoptrické (zrcadlové) soustavy
f ′+)(
F′F′
f ′−)(
kolektivní (spojná) soustava
f´ < 0 f < 0
dispanzivní (rozptylná) soustava
f´ > 0 f > 0
Geometrická optikaDioptrické (čočkové) soustavy
F′ H′
ξ′
f ′−)(
F′H′
ξ′
f ′+)(
kolektivní (spojná) soustava
f´ > 0 f < 0
dispanzivní (rozptylná) soustava
f´ < 0 f > 0
Geometrická optikaZobrazování lomem a odrazem paprsků
a) Rovinná plocha ε′′=ε sinsin nnσ=ε
σ′=ε′
σ′σ
=σ′
=′tgtg
tgshs
A A′ σ′σ
ss′
n n′
A ′′h
ε ′′ε
ε′
s ′′
shhs −=σ
−=ε′′
=′′tgtg
ε−=ε ′′
lom
odraz
Geometrická optika
B
A
n n′p
O A′
p′
Chσ′
ε′ϕ
ε
σ
s s′r
b) Kulová plocha -lomσε
=σ−ε+
=−
sinsin
sin)180sin( o
rsr
σ′ε′
=′−
sinsin
rsr
ε′
=ε′ sinsinnnoo 180)180( =ϕ+ε++σ−
oo 180)180( =σ′+ϕ−+ε′−ε−ε′+σ=σ′
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
σ′ε′
−=′sinsin1rs
σ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=σ′⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ′−′ sin1sin1
rsn
rsn
ph′
=σ′sinph
=σsin
ps
rn
ps
rn
pn
pn
−′′′
=−′′
Geometrická optikac) Kulová plocha -odraz nn −=′ε−=ε ′′1
sinsin
−=ε ′′ε
=′
nn
u odrazu platí všechny rovnice, pouze se zamění n´= -nε−σ=ε−ε ′′+σ=σ′ 2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
σ′ε
+=′sinsin1rs
B
A
n n′
O A′ Ch
σ′
ε ′′
ϕ
ε
σ
s s′r
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+′′
=+′ p
sps
rpp111
Geometrická optikaParaxiální zobrazování
v praxi se často uvažuje s tzv. paraxiálními paprsky, které svírají malé úhly (1°-6°) vůči optické ose (optické systémy jsou bez monochromatických vad)
paraxiální zobrazování má základní význam pro popis funkce, konstrukci a základní návrh optických soustav
...!5!3
sin53
−σ
+σ
−σ=σ ...!4!2
1cos42
−σ
+σ
−=σ
σ≈σ≈σ tgsin 1cos ≈σ0→σ
paraxiálními vztahy se často popisuje i oblast zobrazování mimo paraxiálníprostor
úlohou optických výpočtů je potom korekce vad zobrazení u paprsků mimo paraxiální prostor
Geometrická optikaParaxiální zobrazování – kulová plocha
vyduté zrcadlor < 0 … spojná soustavas > f … vzdálenost předmětu
AHO ≡A′
ss′
F
B
B′ff ′=
yUC ≡
y′
zmenšený skutečnýpřevrácený obraz
Geometrická optikaZrcadla – kulová vyduté zrcadlo
r < 0 … spojná soustavas < f … vzdálenost předmětu
AHO ≡
A′s
s′
F
B
B′
ff ′=
yUC ≡y′
r zvětšený neskutečnývzpřímený obraz
Geometrická optika
Video – kulová zrcadla
Geometrická optikaPříklad: (zrcadlo na holení)Určete vzdálenost tváře od vydutého zrcadla (r = -35 cm), aby zvětšení bylo m=2,5.
AHO ≡
A′s
s′
F
B
B′
ff ′=
yUC ≡
y′
cm35−=r
srr
ss
yym
2−=′
−=′
=
cm5,102
)1(−=
−=
mmrs
cm25,26=−=′ mss
Geometrická optikaPříklad: (zpětné zrcátko automobilu)Určete, jak daleko se v konvexním zrcátku (r = 4 m) jeví obraz automobilu ve vzdálenosti s = -100 m a jaké je jeho zvětšení m.
- dvoučlenná optická soustava je základem mnoha optických
přístrojů (mikroskopy, dalekohledy,…)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛′
−−′=′1
2 1fdmfa⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛′
+−′=2
1 11fd
mfa
Geometrická optika∞=
σ′=′
2
1hfTeleskopická (afokální) soustava 021 =σ′=σ
základem dalekohledů (teleskopů)
dfffff−′+′′′
=′21
21
1
2
1
2
hh
ffm =′′
−=011
2
=′
+−fd
m021 =−′+′ dff
1H 1H′2H 2H′
2ϕ
1ϕ
2h
1h
2f
∞
1f ′
21 FF ≡′
∞
∞∞
2
11ff
m ′′
−==γ
- zvětšeníteleskopickésoustavy je konstantní
Geometrická optikaPříklad: (okulár )
- určete ohniskovou vzdálenost Huygensova okuláru složeného ze dvou tenkých plankonvexních čoček obrácených proti sobě s poloměry křivosti r1=-50 mm a r2=-25 mm
1f ′2f ′
2F′1F′
mm80=d
5,121 == nn1n 2n
F′
f ′
1r 2rmm1001 1
11 =
−=′
nrf
mm5012
22 =
−=′
nrf
oční člen
sběrný člen
clona
mm4,7121
21 =−′+′′′
=′ &dff
fff
mm11,57−=′−′=′ ′′ faa FH
mm26,114=−= faa FH
mm286,14)/1( 1 =′−′=′ ′ fdfaF
mm86,42)1( 2 =′−= fdfaF
Geometrická optikaPříklad: (soustava dvou centrovaných kulových zrcadel)
- určete ohniskovou vzdálenost a polohu ohniska dvou zrcadel
ddfffdfa −−′+′′−′
=21
21 )(
21
1
rf =′
dfffff−′+′′′
=′21
21
22
2
rf =′
F′
d a
Geometrická optikaPříklad: (rozšiřovač svazku )
- určete ohniskové vzdálenosti čoček (spojky nebo rozptylky) rozšiřovače svazku je-li dáno příčné zvětšení m = ± β = D2/D1
