Zad´ an´ ı p´ ısemn´ e pr´ ace z Klasick´ e elektrodynamiky ˇ Stˇ ep´ an Kol´ aˇ r ´ Uloha 1 Za pˇ redpokladu, ˇ ze x, y, z jsou kart´ ezsk´ ea r, θ, φ sf´ erick´ e souˇ radnice, spoˇ ctˇ ete Δ( ~ A · ~ B) pro vektorov´ a pole ~ A = e -ar ~e φ , ~ B = 1 p x 2 + y 2 ~e x . ˇ Reˇ sen´ ı. Pˇ ri poˇ c´ ıt´ an´ ı skal´ arn´ ıho souˇ cinu brzy zjsit´ ıme, ˇ ze se vyplat´ ı vyj´ adˇ rit vektrov´ e pole B ve sf´ erick´ ych souˇ radnic´ ıch. To lze nejsn´ aze s pouˇ zit´ ım gradientu ve sf´ erick´ ych souˇ radnic´ ıch, kter´ y d´ a ~e x = ∇x = sin θ cos φ~e r + cos θ cos φ~e θ - sin φ~e φ ~e y = ∇y = sin θ sin φ~e r + cos θ sin φ~e θ - cos φ~e φ ~e z = ∇z = cos θ~e r - sin θe θ a pak transformovan´ e pole ~ B = cos φ~e r r + cos θ cos φ~e θ r sin θ - sin φ~e φ r sin θ . Pro skal´ arn´ ı souˇ cin m´ ame ~ A · ~ B = - e -ar sin φ r sin θ a koneˇ cnˇ e Δ( ~ A · ~ B)= -a 2 e -ar r sin θ sin φ. ´ Uloha 2 Z dvouˇ ctverc˚ u o stranˇ e 20 cm alobalu o tlouˇ st ’ ce 15μm se zmaˇ ck´ an´ ım vytvoˇ r´ ı kuliˇ cky o pr˚ umˇ eru 4 cm. Ty se v jednom bodˇ e zavˇ es´ ı na 1 m dlouh´ e nehmotn´ e vl´ akno. Po nabit´ ı obou stejn´ ym n´ abojem se p˚ uvodnˇ e dot´ ykaj´ ıc´ ı se kuliˇ cky od sebe odd´ al´ ı na vzd´ alenost 6 cm. Jak´ y n´ aboj a napˇ et´ ı je na kuliˇ ck´ ach? Uved ’ te hodnoty jak pro situaci, kdy zanedb´ av´ ame vlastn´ ı kapacity, tak pro prvn´ ı aproximaci, kdy jsme na cviˇ cen´ ı dostali, ˇ ze C 12 = -4π 0 a 2 /d (polomˇ er a, vzd´ alenost stˇ red˚ u d). Kde pˇ ribliˇ znˇ e a jak´ a je nejvyˇ sˇ s´ ı hodnota elektrick´ eho pole [V/m]? ˇ Reˇ sen´ ı: Z´ akladn´ ı probl´ em, kter´ y je potˇ reba rozmyslet, je zda lze v dan´ e situaci urˇ cit n´ aboj z Coulombova z´ akona. Na pˇ redn´ aˇ sce jsme vidˇ eli, ˇ ze vloˇ zen´ ım vodiv´ e kuliˇ cky o polomˇ eru a do homogenn´ ıho pole ~ E 0 se na jej´ ım povrchu indukuj´ ı n´ aboje, kter´ e v d˚ usledku vedou k tomu, ˇ ze sloˇ zen´ e pole je pops´ ano potenci´ alem pˇ redstavuj´ ıc´ ım kombinaci pole homogenn´ ıho a pole dip´ olu Φ= - ~ E 0 .~ r 1 - a 3 r 3 . 6cm Elektrick´ a intenzita t´ eto (dip´ olov´ e) poruchy homogenn´ ıho pole ub´ yv´ a s tˇ ret´ ı mocninou vzd´ alenosti a sama hodnotu E 0 aproximuj´ ıc´ ı pole prvn´ ı kuliˇ cky v m´ ıstˇ e druh´ e ub´ yv´ a s druhou mocninou vzd´ alenosti. To dohromady d´ av´ a p´ atou mocninu. M˚ uˇ zeme tedy pˇ redpokl´ adat, ˇ ze ve v´ ysledku se pˇ ri urˇ cov´ an´ ı velikosti n´ aboje ˇ cistˇ e za pouˇ zit´ ı Coulombova z´ akona (kdy intezita a s´ ıla ub´ yv´ a s druhou mocninou vzd´ alenosti) dopouˇ st´ ıme zanedb´ an´ ım nerovnomˇ ern´ eho rozloˇ zen´ ı n´ aboje na kuliˇ ck´ ach relativn´ ı chyby ´ umˇ ern´ e(a/d) 3 . Pˇ resnˇ ejˇ s´ ı anal´ yza d´ a 4(a/d) 3 ≈ 4%. Proto pˇ ri ρ Al = 2700 kg m -3 pro hmotu kuliˇ cek dost´ av´ ame m . =1.62 g, a pro sin α ≈ 5/102 vych´ az´ ı s´ ıla 780μN. Tou se ve vzd´ alenosti 10cm odpuzuji dva bodov´ e n´ aboje Q = 29 nC. V nult´ e aproximaci pak zapoˇ c´ ıt´ av´ ame jen kapacitu samotn´ e kuliˇ cky C (0) 11 = C (0) 22 =4π 0 a ≈ 2.22pF, a tedy napˇ et´ ı na jej´ ım povrchu vzhledem k nekoneˇ cnu vych´ az´ ı U (0) 1 = Q/C 11 ≈ 13 kV. Pˇ ri zapoˇ cten´ ı vz´ ajemn´ e kapacity m´ ame pˇ ri zanedb´ an´ ıˇ clen˚ u O((a/d) 2 ) st´ ale C (1) 11 = C (1) 22 =4π 0 a mus´ ıme vyˇ reˇ sit ´ ulohu Q 1 = C 11 U 1 + C 12 U 2 =(C 11 + C 12 )U 1 , kde uˇ z´ ıv´ ame symetrii U 1 = U 2 , tedy U (1) 1 ≈ 16.5 kV. V zad´ an´ ı uvedenou hodnotu aproximace C (1) 12 jsme na cviˇ cen´ ı odvodili tak, ˇ ze jsme pˇ redpokl´ adali, ˇ ze pole lze superonovat, aniˇ z se pˇ r´ ıliˇ s zmˇ en´ ı tvar ekvipotenci´ al z p˚ uvodn´ ıho pˇ resnˇ e sf´ erick´ eho tvaru pro d →∞. Je tedy pˇ r´ ıpustn´ e m´ ısto uˇ zit´ ı uveden´ e hodnoty vz´ ajen´ e kapacity spoˇ c´ ıst potenci´ al superpozic´ ı pol´ ı dvou n´ aboj˚ u. Podle toho kter´ e m´ ısto na povchu kuliˇ cky si vybereme dostaneme pˇ ri v´ yˇ se uveden´ e hodnotˇ e n´ aboje poteci´ alv v rozsahu 15.4 - 16.5 kV. Tento rozsah ≈±3% hodnoty napˇ et´ ı ilustruje jak´ y je dopad zanedb´ an´ ıˇ clen˚ u(a/d) 2 ≈ 0.03. Pokud by n´ as zaj´ ımaly pˇ resnˇ ejˇ s´ ı hodnoty, pak prvn´ ı mus´ ıme opravit urˇ cen´ ı n´ aboje, pot´ e zapoˇ c´ ıst vliv koneˇ cn´ ych rozmˇ er˚ u i na napˇ et´ ı. Spr´ avn´ a hodnota je Q . = 30.0 nC a U 1 = U 2 . = 15.2 kV pokud bereme v´ aˇ znˇ e g =9.81 ms -2 i ρ Al .
Transcript
Zadanı pısemne prace z Klasicke elektrodynamikyStepan Kolar
Uloha 1
Za predpokladu, ze x, y, z jsou kartezske a r, θ, φ sfericke souradnice, spoctete ∆( ~A · ~B) pro vektorova pole
~A = e−ar~eφ , ~B =1√
x2 + y2~ex .
Resenı. Pri pocıtanı skalarnıho soucinu brzy zjsitıme, ze se vyplatı vyjadrit vektrove pole B ve sferickych souradnicıch.To lze nejsnaze s pouzitım gradientu ve sferickych souradnicıch, ktery da
~ex = ∇x = sin θ cosφ~er + cos θ cosφ~eθ − sinφ~eφ
~ey = ∇y = sin θ sinφ~er + cos θ sinφ~eθ − cosφ~eφ
~ez = ∇z = cos θ~er − sin θeθ
a pak transformovane pole
~B =cosφ~err
+cos θ cosφ~eθ
r sin θ− sinφ~eφ
r sin θ.
Pro skalarnı soucin mame
~A · ~B = −e−ar sinφ
r sin θ
a konecne
∆( ~A · ~B) = −a2 e−ar
r sin θsinφ .
Uloha 2
Z dvouctvercu o strane 20 cm alobalu o tloust’ce 15µm se zmackanım vytvorı kulickyo prumeru 4 cm. Ty se v jednom bode zavesı na 1 m dlouhe nehmotne vlakno. Ponabitı obou stejnym nabojem se puvodne dotykajıcı se kulicky od sebe oddalı navzdalenost 6 cm. Jaky naboj a napetı je na kulickach? Uved’te hodnoty jak prosituaci, kdy zanedbavame vlastnı kapacity, tak pro prvnı aproximaci, kdy jsme nacvicenı dostali, ze C12 = −4πε0a
2/d (polomer a, vzdalenost stredu d). Kde pribliznea jaka je nejvyssı hodnota elektrickeho pole [V/m]?Resenı: Zakladnı problem, ktery je potreba rozmyslet, je zda lze v dane situaci urcitnaboj z Coulombova zakona. Na prednasce jsme videli, ze vlozenım vodive kulickyo polomeru a do homogennıho pole ~E0 se na jejım povrchu indukujı naboje, kterev dusledku vedou k tomu, ze slozene pole je popsano potencialem predstavujıcımkombinaci pole homogennıho a pole dipolu
Φ = − ~E0.~r
(1− a3
r3
).
6cm
Elektricka intenzita teto (dipolove) poruchy homogennıho pole ubyva s tretı mocninou vzdalenosti a sama hodnotu E0
aproximujıcı pole prvnı kulicky v mıste druhe ubyva s druhou mocninou vzdalenosti. To dohromady dava patou mocninu.Muzeme tedy predpokladat, ze ve vysledku se pri urcovanı velikosti naboje ciste za pouzitı Coulombova zakona (kdy intezitaa sıla ubyva s druhou mocninou vzdalenosti) dopoustıme zanedbanım nerovnomerneho rozlozenı naboje na kulickach relativnıchyby umerne (a/d)3. Presnejsı analyza da 4(a/d)3 ≈ 4%.
Proto pri ρAl = 2700 kg m−3 pro hmotu kulicek dostavame m.= 1.62 g, a pro sinα ≈ 5/102 vychazı sıla 780µN. Tou se
ve vzdalenosti 10cm odpuzuji dva bodove naboje Q = 29 nC.
V nulte aproximaci pak zapocıtavame jen kapacitu samotne kulicky C(0)11 = C
(0)22 = 4πε0a ≈ 2.22pF, a tedy napetı na
jejım povrchu vzhledem k nekonecnu vychazı U(0)1 = Q/C11 ≈ 13 kV.
Pri zapoctenı vzajemne kapacity mame pri zanedbanı clenu O((a/d)2) stale C(1)11 = C
(1)22 = 4πε0a musıme vyresit ulohu
Q1 = C11U1 + C12U2 = (C11 + C12)U1, kde uzıvame symetrii U1 = U2 , tedy U(1)1 ≈ 16.5 kV.
V zadanı uvedenou hodnotu aproximace C(1)12 jsme na cvicenı odvodili tak, ze jsme predpokladali, ze pole lze superonovat,
aniz se prılis zmenı tvar ekvipotencial z puvodnıho presne sferickeho tvaru pro d → ∞. Je tedy prıpustne mısto uzitıuvedene hodnoty vzajene kapacity spocıst potencial superpozicı polı dvou naboju. Podle toho ktere mısto na povchu kulickysi vybereme dostaneme pri vyse uvedene hodnote naboje potecialv v rozsahu 15.4− 16.5 kV. Tento rozsah ≈ ±3% hodnotynapetı ilustruje jaky je dopad zanedbanı clenu (a/d)2 ≈ 0.03.
Pokud by nas zajımaly presnejsı hodnoty, pak prvnı musıme opravit urcenı naboje, pote zapocıst vliv konecnych rozmerui na napetı. Spravna hodnota je Q
.= 30.0 nC a U1 = U2
.= 15.2 kV pokud bereme vazne g = 9.81 ms−2 i ρAl.
Uloha 3
Uvazujte deskovy kondenzator tvoreny dvema rovnobeznymi deskami vzdalenymi h = 10cm a rozdılem potencialu elektrodU = 4000V. Aniz by se menilo napetı privedene na elektrody ze zdroje je na jeho spodnı elektrodu polozena vodiva kulickao prumeru d = 4.5cm. Vodive spojenı kulicky a spodnı elektrody zpusobı, ze cast naboje spodnı elektrody se rozmıstı vpodobe plosne nabojove hustoty σ na povrchu kulicky. Protoze se nema zmenit napetı mezi deskami, bude nutno nejakynaboj doplnit i z vnejsku.
Naleznete resenı Laplaceovy rovnice mezi elektrodami metodou fiktivnıch naboju a pote podle nıze uvedene osnovyanalyzujte zıskany priblizny prubeh rozlozenı naboje.Navod: Pouzijte metodu fiktivnıch naboju, tedypredpokladejte, ze pole vne kulicky ma podobu su-perpozice homogennıho pole elektrod a pole dvou nebotri bodovych naboju vlozenych do kondenzatoru s obemauzemnenymi elektrodami (nulove okrajove podmınky zjed-nodusujı superpozici). Fiktivnı naboje umıstete dovnitrkulicky blızko jejımu stredu na osu symetrie.Bohuzel pole bodoveho naboje mezi deskami kondenzatorunenı uplne jednoduche a proto pouzijte kalkulator pole naadrese http://utf.mff.cuni.cz/~ledvinka/h.html. Zapocatek tam pouzitych kartezskych souradnic je zvolenomısto dotyku spodnı desky a kulicky. Jejı stred lezı na osez.
d
h
Otazky:
1. Jake elektricke pole ~E je v kondenzatoru bez vlozene kulicky, je-li mezi elektrodami napetı U? Jaka nabojova hustotasıdlı na obou elektrodach?
2. Jake numericke hodnoty (fiktivnıch) naboju uvnitr kulicky je potreba zvolit, aby rozumne vystihovaly pole, jake se vkondenzatoru nachazı po vlozenı kulicky? Naboje umıstete poblız stredu kulicky na jejı osu (doporucuje se rozestuppod 0.1-5% polomeru). Pouzijte princip superpozice, tedy skutecnost, ze polnı veliciny jsou nejakou linearnı kombinacıhodnot jednotlivych naboju a puvodnıho homogennıho pole. Hodnoty urcete takove, aby
a) nulova ekvipotenciala prochazela polem koule (θ = 0), tj. Φ(θ = 0) = 0,
b) potencial na povrchu koule se co nejmene odchyloval od nuly. To prakticky znamena, ze pro dalsı jednu nebo dvehodnoty θ∗ pozadujete Φ(θ∗) = 0 (pro tri naboje potrebujete k rovnici z 2a) pridat jeste dve dalsı rovnice a tedy jenutne zvolit dve θ∗).
c) potencial na povrchu koule nevybocil z intervalu ±80V (zıskate +3 body pokud se vejdete do ±12V).
3. Nacrtnete rozlozenı nabojove hustoty na kulicce.
4. Do spolecneho grafu nacrtnete rozlozenı nabojove hustoty na spodnı a hornı elektrode. Carkovanou carou vyznacte iprubeh plosnych nabojovych hustot na elektrodach pred vlozenım kulicky, pokud by se U nezmenilo.
5. Kolikrat vetsı je plosna nabojova hustota na polu koule, nez na deskach kondenzatoru pred jejım vlozenım?
6. Jaky celkovy naboj se nachazı na povrchu kulicky?
7. O kolik se vlozenım kulicky zmenı celkovy naboj na hornı desce kondenzatoru?
8. O kolik se vlozenım kulicky zmenı celkovy naboj na dolnı desce kondenzatoru?
9. Jaky a proc je soucet hodnot z predchozych trı bodu?
10. O kolik se vlozenım kulicky zmenı kapacita deskoveho kondenzatoru?
Pozor, jednotky elektrickeho pole v kalkulatoru jsou [V/cm] a vzdalenosti se zadavajı v [cm]! Nezapomente krome nabojuuvest i jejich polohy. Nenı nutne, abyste hodnoty naboju, ktere se zadavajı v [V cm], prepocıtavali do SI. To ale neplatı okapacite.
V kalkulatoru mate k dispozici hodnoty nasledujıcıch velicin na povrchu kulicky: Phi→ Φ[V], theta→ θ(souradnicena povrchu sfery, 0 na hornım polu, π na dolnım), Ex→ Ex = −∂xΦ[V/cm], Ez→ Ez = −∂zΦ[V/cm], nx→ nx = sin θ,nz→ nz = cos θ (tj. slozky normaloveho vektoru ke kulicce), En→ En = −~n ·∇Φ[V/cm], x→ x = R sin θ, z→ z = R(1+cos θ)(tj. souradnice bodu na povrchu kulicky) a konstanty R polomer kulicky, H vzdalenost desek (obojı v cm), epsilon proε0 = 8.854187817.10−12F m−1 a Pi. Na spodnı a hornı desce odpovıdajı hodnoty x, z, nx, nz slozkam souradnic a polınormal na deskach.
Soustavy linearnıch rovnic umı resit m.j. Wolfram Alpha (http://goo.gl/FvNS2b).Resenı:
1. Samozrejme bez vlozene kulicky je mezi deskami homogennı pole E0z = U/h, na deskach je pak nabojova hustota
σ0 = ±ε0E0z .
2. Podle rady zvolıme polohu dvou naboju blızko stredu koule, napr. z1 = 2.34 cm a z2 = 2.16 cm.
Nynı studujeme superpozici polı elektrod a obou naboju. Pro U = 4000V a Q1 = Q2 = 0 mame
Φ(θ = 0).= 1800V, Φ(θ = 120◦)
.= 450V
Pro U = 0 , Q1 = 1Vcm a Q2 = 0 je
Φ(θ = 0).= 0.302484V, Φ(θ = 120◦)
.= 0.180741V
a konecne pro U = 0 , Q1 = 0 a Q2 = 1Vcm je
Φ(θ = 0).= 0.264069V, Φ(θ = 120◦)
.= 0.188482V
a) Pro vynulovanı hodnot potencialu na polu Φ(θ = 0) a
b) na zvolene rovnobezce Φ(θ = 120◦) musı byt zaroven:
1800 + 0.302484Q1 + 0.264069Q2 = 0
450 + 0.180741Q1 + 0.188482Q2 = 0
To je soustava dvou rovnic a ma resenı Q1 = −23741.9 a Q2 = 20379.4.
Maximalnı odchylka od nulove hodnoty je na povrchu kulicky asi 48V (viz Obr.1).
0 30 60 90 120 150 180
-20
0
20
40
θ [o]
Φ[V]
0 30 60 90 120 150 180
-60
-40
-20
0
20
40
θ [o]
Et[Vcm
-1]
Obr. 1 Prubeh potencialu na povrchu kulicky pro nalezene hodnoty naboju(modra krivka). Dva body na modre krivce, kde jsme vyzadovali splnenıΦ = 0 jsou zvyrazneny puntıkem. Zluta krivka je pro resenı se tremi fik-tivnımi naboji (nulovost potencialu vyzadujeme ve trech bodech). Zelenaodpovıda peti fiktivnım nabojum
Obr. 2 Prubeh tecne slozky elektricke intenzity ukazuje, ze se s rostoucımpoctem fiktivnıch naboju klesa k nule i tecna slozka elektricke intenzity.
0 30 60 90 120 150 180
-150
-100
-50
0
50
θ [o]
σ[pCcm
-2]
-10 -5 0 5 10
0
2
4
6
8
10
Obr. 3 Prubeh nabojove hustoty na povrchu kulicky. Barvy krivek opetodpovıdajı poctu pouzitych fiktivnıch naboju. Spolu s Obr. 2 tak vidıme,ze obe slozky elektricke intenzity v mıste dotyku kulicky a spodnı elektrodyvymizı.
Obr. 4 Prubeh ekvipotencial pole s krokem U/20 v rovine x − z. Vykres-leny jsou i vybrane silocary. Abychom mohli posoudit kvalitu pouzitychaproximacı, je pro tri a pet fiktivnıch naboju vykreslena i ekvipotencialaU/1000.
3. Jak jsme videli, zadanım vhodnych fiktivnıch naboju jsme zıskali elektricke pole, jehoz tecna slozka na povrchu kulciky jedostatecne mala. Kolma slozka pak predstavuje nabojovou hustotu. Abychom vyresili jednotky pouzijeme faktor 1/100pro prevod F/m na F/cm Prubeh nabojove hustoty na kulicce v C/cm2 zıskame zadanım vyrazu 0.01*epsilon*En aje na Obr. 3.
4. Nabojovou hustotu pred vlozenım kulicky jsme nalezli v bode 1., stejny vyraz jako v bode 3., tedy 0.01*epsilon*En,nam popisuje i nabojovou hustotu na obou elektrodach. Slozeny graf je na Obr.5.
-20 -10 0 10 20
-20
0
20
40
x [cm]
σ[pCcm
-2]
0 5 10 15 20
0
100
200
300
400
x [cm]
σ[pCcm
-1]
Obr. 5 Prubeh nabojove hustoty na povrchu elektrod. Barvy krivek opetodpovıdajı poctu pouzitych fiktivnıch naboju. Vyplnena plocha souvisı sbody 7. a 8.
Obr. 6 Prubeh integrandu (σ(z = 0) + σ0)2πx, ktery vyjde, kdyz pri in-tegraci pres plochu spodnı elektrody pouzıvame dS = 2πxdx. Obrazekilustruje, ze ani znacna chyba modre nabojove hustoty na spodnı elektrodev mıste dotykus kulickou se ve vysledku zas tak moc neprojevı.
5. Kolikrat vetsı je plosna nabojova hustota na polu koule, nez na deskach kondenzatoru pred jejım vlozenım spoctemezadanım vyrazu En/(U/H). Vyjde 4.34, cast je dana tım, ze mezi polem kulicky a hornı elektrodou je mensı vzdalenost,nez mezi deskami, cast tım, ze pole nenı homogennı.
6. Pri urcovanı, jaky celkovy naboj se nachazı na povrchu kulicky (o polomeru a) musıme spocıst integral
QK =
∫σdS =
∫ π
0
σ(θ)2πa2 sin θdθ,
proto do kalkulatoru zadame vyraz 0.01*epsilon*En*R**2*2*Pi*sin(theta). V radku s hodnotami primitivnı funkce∫ θf(θ′)dθ′ najdete QK
.= −42.3 kV cm = −3.74 nC.
7. Pokud pocıtame o kolik se vlozenım kulicky zmenı celkovy naboj na hornı desce kondenzatoru, musıme urcit (v roviney = 0 predstavuje x zaroven valcovou souradnici)
∆Q+ =
∫(σ − σ0)dS =
∫ ∞0
(σ(z = h)− σ0)2πxdx
a proto do kalkulatoru zadame vyraz 0.01*epsilon*(En+nz*U/H)*2*Pi*x. V radku s hodnotami primitivnı funkce∫ xf(x′)dx′ najdete ∆Q+
.= 14.54 kV cm = 1.29 nC.
8. O kolik se vlozenım kulicky zmenı celkovy naboj na dolnı desce kondenzatoru spocteme uplne stejne. Protoze jsmepouzili pole normal, vyraz zadavany do kalkulatoru nenı potreba menit.
9. Nula. Souvisı to s principem superpozice. Pole v kondenzatoru je superpozicı pole homogennıho a polı bodovych nabojupri nulovem potencialu elektrod. Z Gaussovy vety pak plyne, ze kazdy (tedy i fiktivnı) naboj vlozeny mezi dostatecnevelke uzemene desky kondenzatoru musı byt kompenzovan v souctu stejne velkym nabojem opacne polarity rozlozenymna obou deskovych elektrodach. Jinak by potencialy na elektrodach nemohly zustat konstatnı a pole vystupujıcı vGaussove vete vymizet.
10. Zmenu naboje na hornı elektrode vydelıme napetım, tedy ∆C = 0.3pF.
