Základní postuláty STR. Albert Einstein 1879 - 1955. Hendrik Antoon Lorentz 1853-1928. Princip relativity : Ve všech inerciálních vztažných soustavách platí stejné fyzikální zákony. - PowerPoint PPT Presentation
34
Základní postuláty STR V rámci projektu „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil ([email protected]). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci GNU GPL (www.gnu.org). Hendrik Antoon Lorentz 1853-1928 Albert Einstein 1879 - 1955 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 , 1 , 1 z z y y c v x c v t t c v t v x x Speciální teorie relativity vychází ze dvou základních Einsteinových postulátů. Z prin- cipu stálé rychlosti světla lze odvodit Lorent-zovy transformace. Princip relativity : Ve všech inerciálních vztažných soustavách platí stejné fyzikální zákony. Princip stálé rychlosti světla : Ve všech inerciálních vztažných soustavách má rychlost světla ve vakuu stejnou velikost, a to nezávisle na pohybu zdroje. Rychlost světla v libovolné inerciální soustavě je ve všech směrech stejná.
Transcript
Základní postuláty STR
V rámci projektu „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil ([email protected]). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci GNU GPL (www.gnu.org).
Hendrik Antoon Lorentz1853-1928
Albert Einstein1879 - 1955 1212
2
2
121
2
2
2
112
,
1
,
1
zzyy
cv
xcv
tt
cv
tvxx
Speciální teorie relativity vychází ze dvou základních Einsteinových postulátů. Z prin-cipu stálé rychlosti světla lze odvodit Lorent-zovy transformace.
Princip relativity : Ve všech inerciálních vztažných soustavách platí stejné fyzikální zákony.
Princip stálé rychlosti světla : Ve všech inerciálních vztažných soustavách má rychlost světla ve vakuu stejnou velikost, a to nezávisle na pohybu zdroje. Rychlost světla v libovolné inerciální soustavě je ve všech směrech stejná.
Vzdálenosti v teorii relativity
222 zyxl
V newtonovské mechanice je vzdálenost dvou bodů invariantní veličina – nemění se při přechodu z jedné soustavy do druhé. V STR tomu tak není – již známe efekt kontrakce délek. Definujeme-li vzdálenost dvou bodů klasicky jako
22222 tczyx
získáme něco, co bude záviset na volně vztažné soustavy. Známe ovšem nějaký jiný vztah, který se při přechodu mezi vztažnými soustavami v STR nemění? Správně, je to
Můžeme tedy definovat jinou veličinu, podobnou délce, která bude relativisticky (Lorentzovsky) invariantní, a to
222222 zyxtcs
Veličina s je nazývá relativistický interval, má rozměr délky a nemění se při přechodu mezi vztažnými soustavami.
Vlastnosti relativistického intervalu
Kvadrát délky vektoru v R3 můžeme získat pomocí skalárního součinu vektoru sama se sebou:
2222 ),,(),,( zyxzyxzyxrrr
Relativistický interval ovšem na první pohled skalárním součinem není. Na druhý pohled (a kratší zamyšlení) zjistíme, že to možné je, pokud si správně nadefinujeme polohový vektor. Tj., skalární součin jakého vektoru sama se sebou dá výraz
?222222 zyxtcs
),,,(),,,( 3210 xxxxzyxictx
Správně, je to vektor
Provedeme-li skalární součin vektoru x sama se sebou, získáme
222222223
22
21
20
2 szyxtcixxxxx
V STR lze tedy zavést čtyřrozměrný polohový vektor, kde ovšem první složka bude ryze imaginární a bude vyjadřovat čas jako čtvrtý rozměr. S komplexními čísly jsme sice obeznámeni, ale nejsou nám příliš blízká. Zkusíme se jim tedy raději vyhnout a zavést vektor nějakým způsobem reálně – to ovšem znamená, že si musíme upravit algebru .
Algebra v STR
Abychom získali reálný polohový vektor s invariantním kvadrátem, musíme si trochu poupravit pojem skalárního součinu. Vektor zůstane čtyřrozměrný (a bude se nazývat čtyřvektor), nicméně z jednoho vektoru uděláme dvě varianty :
),,,(
),,,(
zyxctx
zyxctx
kovariantní vektor
kontravariantní vektor
Skalární součin si pak předefinujeme a přejmenujeme jako
),,,(),,,(4
1
2 zyxctzyxctxxx
invariant čtyřvektoru
Invariant můžeme vytvořit pro libovolný čtyřvektor (čtyřrychlost, čtyřhybnost, čtyřsíla) a tento vždy bude invariantní – zůstane stejný ve všech vztažných soustavách.
Algebra v STR
Abychom neustále nemuseli vypisovat sumu (a součtů přes všechny čtyři souřadnice je v STR požehnaně), zavedl Einstein zjednodušení :
xxxx
4
1
Einsteinovo sumační pravidlo
Pravidlo říká, že v každém součinovém výrazu sčítáme přes stejné řecké indexy, které jsou nahoře i dole (kontravariantní i kovariantní vektor). Tedy například
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
22
gyxgyx
yxyxyyxxyyxx
xxaxax
Výraz gμν v posledním příkladu je matice 4x4.
Algebra v STR
Za výše uvedených pravidel si můžeme elegantněji zapsat i samotné Lorentzovy transformace :
2
2
11
2
2
121
21212
2
2
112
11
,,,
1cv
xcv
ct
cv
xcv
tcctzzyy
cv
tvxx
Zadefinujme si symboly pro relativistické členy
2
2
2 1
1
1
1,
cvc
v
1212112112 ,,)(),( zzyyctxxxctct Toto je transformace vektoru xμ
1 na xμ2 ve vektorovém prostoru R4, což je ale operátor! Najděme
jeho matici.
a Lorentzovy transformace zapišme jako
),,,(),,,( 11112222 zyxctLzyxct
Algebra v STR
Matici operátoru (ve standardních bázi) snadno najdeme, dosadíme-li za x1 postupně e1, … e4 a výsledné souřadnice sepíšeme do sloupců. Označme Lorentzovu transformaci písmenem L a potom
)1,0,0,0()1,0,0,0()0,1,0,0()0,1,0,0(
)0,0,,()0,0,1,0()0,0,,()0,0,0,1(
LL
LL
1212112112 ,,)(),( zzyyctxxxctct
1111 zyxct
a výsledná matice bude
1000
0100
00
00
L
Toto je Lorentzova transformace v maticovém zápisu. Transformaci můžeme aplikovat na libovolný čtyřvektor vynásobením matice a čtyřvektoru. Za použití Einsteinova sumačního pravidla to bude vypadat takto :
22 aLa
Minkowského časoprostor
Na základě předchozích úvah si teď můžeme zavést vektorový prostor pro STR:
Prostor R4 kovariantních
vektorů
Prostor R4 kontravariantních
vektorů
Minkowského časoprostor (prostoročas)
1000
0100
00
00
L
1000
0100
0010
0001
ggg
Metrický tenzor převádějící kovariantní čtyřvektory na kontravariantní a naopak :
xgxxgx ,
Lorentzova transformace - ortogonální operátor (det L = 1) na obou součástech Minkowského časoprostoru. Matice mohou vypadat i jinak (různé směry rychlosti pohybu soustav, zůstává však ortogonální.
),,,(),,,( zyxctzyxctxx
Invariant čtyřvektoru
Čtyřrychlost
Podívejme se, jak vypadají v STR základní vektorové veličiny. Zavés čtyřrychlost vztahem
0dt
dxv
je sice relativně přirozené, ale je nutné dát pozor na to, že čas není v STR invariantní. Je tedy nutné vždy derivovat podle vnitřního času částice (soustavy). Víme, že
2
2
00
2
2
0 1
1c
Vdt
dtdtdt
cV
dtdt
a proto
2
2
2
20
1
,
1
,,,
cV
v
cV
c
dt
dz
dt
dy
dt
dx
dt
dct
dt
dx
dt
dxv
Spočítáme-li invariant, vyjde
222
2222222222
1
/)(1c
cV
cvvvcvvvcvv zyx
zyx
V posledním kroku jsme předpokládali, že soustava s rychlostí V je ztotožněna s částicí, jejíž rychlost zkoumáme. Pro v << c přechází čtyřrychlost na ),( vcv
Čtyřzrychlení
Stejně lze definovat čtyřzrychlení. Výpočet je pracný a dlouhý, protože nyní je třeba derivovat i člen γ. Tedy jen výsledek:
222222220 )/1()/1(
,)/1( c
v
cv
av
cv
a
cvc
av
dt
dva
Spočítáme-li invariant, vyjde
3222
2
222
2
1
)(
1 cvc
va
cv
aaa
Dá se rovněž ukázat (za pomocí časové derivace invariantu), že čtyřrychlost a čtyřzrychlení jsou na sebe vždy „čtyřkolmé“ – jejich skalární součin je nulový. Pro v << c přechází čtyřzrychlení na
),0( aa
Pozn. : pokud se vám nezdá, že by mělo platit
0),(),0( vdt
vdvavca
pak uvažte, že v STR se vždy bavíme o rovno-měrném přímočarém pohybu.
Čtyřsíla
Mnohem zajímavější je ovšem definice čtyřsíly. Jelikož Newtonův zákon síly vypadá takto :
udělejme to stejně i v STR :
)( vmdt
dF
Veličinu m0 nazýváme klidovou hmotností – tedy hmotnost tělesa, kterou naměříme v jeho klidové soustavě. Podívejme se na jednotlivé složky čtyřsíly:
)( 00
vmdt
dK
vcmdt
dvm
dt
dK
,)( 00
0
2
2
0
2
2
0
11
1
cv
cm
dt
d
cv
K
2
2
0
2
2
11
1
cv
vm
dt
d
cv
K ii
Čtyřsíla
2
2
0
2
2
0
11
1
cv
cm
dt
d
cv
K
2
2
0
2
2
11
1
cv
vm
dt
d
cv
K ii
Na tento člen se můžeme dívat jako na i-tou složku klasické síly. Pro v << c je člen ve jmenovateli 1 a pak dojdeme opravdu ke klasické Newtonově definici. Tedy
3,2,1
1 2
2
i
cv
FK ii
Pro ozřejmení prvního členu využijeme faktu, že m0 je invariantní a čtyřrychlost a čtyřzrychlení jsou na sebe kolmé. Tedy
vKv
dt
vmdv
dt
dvmvam
0
0
0000
Zjevně i čtyřsíla a čtyřrychlost jsou na sebe kolmé.
Čtyřsíla
vKv
dt
vmdv
dt
dvmvam
0
0
0000
Dosaďme za Ki a v již vypočítané složky :
vcvvcv
,, 3,2,1 iFK i
i
)()(
),,,(),,,(00
3322110
3213210
vFKcvFvFvFKc
vvvcFFFKvK
Vyjádříme-li z rovnice K0, získáme
22
0
1 cvc
vF
c
vFK
Celá čtyřsíla tedy vypadá takto :
F
c
vFK
,
Její nultá složka (až na konstantu 1/c) má zjevně význam výkonu standardní síly.
Relativistická změna hmotnosti
Z definice čtyřsíly ale plynou závažné důsledky. Předně jsme byli nuceni poopravit Newtonův zákon síly na
2
2
0
2
2
0
1
kde,)(
1cv
mmvm
dt
dF
cv
vm
dt
dF
m
v
m0
c
Veličinu m nazveme relativistickou hmotností tělesa. Tato veličina není invariantní a závisí na tom, ze které soustavy těleso sledujeme. Se vzrůstající rychlostí bude hmotnost tělesa rovněž vzrůstat a při rychlostech blízkých c neomezeně poroste. Dá se rovněž ukázat, že pohybové rovnice se v STR změní na
vFdt
vd
cv
mF
vFdt
vd
cv
mF
pro/1
//pro)/1(
22
0
22
0
23
Jinými slovy – čím je těleso rychlejší, tím obtížnější je dále jej urychlovat (neboť roste jeho hmotnost). Toto je také důvod, proč žádný hmotný objekt (m0 > 0) nemůže dosáhnout rychlosti světla.
Velikost relativistických efektů
2
2
1
1)(
cv
v
v [c]
)(v
1547.13
21
1
1)(
43
412
1
c
Při nízkých rychlostech jsou relativistické efekty velmi malé – při běžných rychlostech neměřitelné. Pro zajímavost je zde tabulka ná-růstu hmotnosti tělesa při běžných, středních a vysokých rychlostech.
chůze
v [ms-1] %
1 5.6 x 10-16
jízda autem 27.8 4.3 x 10-13
let boeingem 280 4.3 x 10-11
1. kosmická 7 912 3.5 x 10-8
2. kosmická 11 180 6.9 x 10-8
3. kosmická 16 600 1.5 x 10-7
oběh Země 42 100 9.8 x 10-7
0.1 x C 3 x 107 0.5
0.5 x C 1.5 x 108 15.47
0.9 x C 2.7 x 108 129.42
0.95 x C 2.85 x 108 220.26
0.99 x C 2.85 x 108 608.88
Světelný kužel a princip kauzality
čas
prostor
přím
ka x
= ct
Existence mezní rychlosti (c) má důsledky na princip kauzality. Události se mohou navzájem ovlivnit jen v tom případě, že si vymění nějaký signál – a ten nemůže letět rychleji než světlo. Vyznačíme-li si graf, kde v počátku je pozorovatel, na svislé ose čas a na vodorovné ose prostor, získáme tzv. světelný kužel – prostor ohraničený přímkami danými mezní rychlostí x = ± c.t . Od pozorovatele se žádná informace nemůže dostat vně kuželu nad osou, a naopak pouze signály z vnitřku kuželu pod osou můžou ovlivnit pozorovatele. Tedy :
Příčina jakékoliv události leží v jejím minulém světelném kuželu.
Následek jakékoliv události leží v jejím budoucím světelném kuželu.
Cokoliv, co se nyní děje na druhém konci galaxie nás nemůže ovlivnit dříve, než světlo dorazí odtamtud k nám. Exploduje-li slunce, zůstaneme v blažené nevědomosti ještě dalších osm minut…
Světelný kužel a princip kauzality
čas
prostor
Dráha každého hmotného objektu musí vždy ležet uvnitř jeho vlastního světelného kužele, a to v libovolném bodě. Sklon trajektorie na obrázku tedy nikde nesmí být větší než sklon povrchu kužele. Červená dráha na obrázku je zakázána, světle modrá povolena. Trajektorie v prostoročase se někdy nazývají světločáry.
Aby se dvě události mohly ovlivnit, musí platit, že
0222222 zyxtcs
Pokud pro dvě události platí, že
02 s
nemají spolu žádnou souvislost.
Ekvivalence hmoty a energie
Nyní prozkoumejme vztah pro K0 :
2
2
2
2
0
2
2
0
111
1
cv
c
vF
cv
cm
dt
d
cv
K
Víme, že skalární součin je výkon, tedy změna energie za čas. Tedydt
dE
dt
xdFvF
dt
dE
cmc
dt
d
cv
cm
dt
d
dt
dE
cv
ccv
cm
dt
d
cv
K
1)(
1
1
1
11
1
2
2
0
2
2
2
2
0
2
2
0
dt
dEc
dt
dm 2
2mcE Známý Einsteinův vzorec, který tvrdí, že hmota a energie jsou dvě jména pro jednu a tu samou věc, získáme integrací a položením integrační konstant rovné nule.
Kinetická energie v STR
22
202
1 cv
cmmcE
Vztah E = mc2 se týká celkové energie. Převedeme-li m na klidovou hmotnost, získáme
což nám o složkách energie samo o sobě mnoho neřekne – jen to, že při v->c energie neomezeně roste. Vztah ale můžeme rozložit do Taylorovy řady v proměnné v2/c2 . Tedy
zbytek
12
0212
0
4
42
083
2
22
0212
022
20
vmcm
c
vcm
c
vcmcm
cv
cmE
Ve výrazu se zjevně vyskytuje tzv. klidová energie E = m0c2, dále klasická kinetická energie a potom ještě nějaký zbytek, který je pro nízké rychlosti nesmírně malý. Zanedbáme-li jej, pak máme
202
120 vmcmE kinetická energie
klidová energie
pro volnou částici v nulovém potenciálu
Relativistickou kinetickou energii pak můžeme obecně zavést vztahem
20cmEEk
Čtyřhybnost
Prozkoumejme vlastnosti ještě jednoho čtyř vektoru, a to čtyřhybnosti. Definujeme ji pomocí
Kdt
dp
0
vmp 0a platí
Pro složky čtyřhybnosti tedy platí
p
c
Evmcm
cv
vm
cv
cmvcmp
,),(
1
,
1
,
2
2
0
2
2
00
Invariant čtyřhybnosti tedy je a zároveň platí
420
222 cmcpE
))(( 00
vmvmpp
cmvvm 20
20
. Odtud plyne výraz
22
2
pc
Epp
což je spolu s E=mc2 jeden z nejpoužívanějších vztahů v jaderné a částicové fyzice.
Paradox dvojčat
Je spočítáno a experimentálně prokázáno, že během kosmické cesty, probíhající vysokou
rychlostí, běží čas jinak. Po návratu na Zemi jsou kosmonauti mladší, než jejich vrstevníci, kteří zůstali doma. Tento jev zjevně souvisí s dilatací času, ale
na první zamyšlení je velice paradoxní. Proč?
Paradox dvojčat
Proberme nejprve pohled pozorovatele, který zůstává na Zemi. Z jeho pohledu se kosmická loď nejprve vzdaluje vysokou rychlostí v, a pro čas na její palubě platí
0
2
2
0
1
t
cv
tt
kde t0 je čas na palubě rakety a t čas na Zemi. Na konci cesty se loď obrátí a vyrazí zpět opět rychlostí v. Pro pozorovatele na Zemi platí stejný vztah. Po návratu pak bude rozdíl v časech pozorovatele T = 2t a kosmonautů činit
1
22222 0
tt
tttt
Pro v->c se poslední člen blíží jedné a časový rozdíl bude téměř roven celému času, který uplynul na Zemi. Naopak pro v << c je poslední člen téměř nula a rozdíl časů také.
Z pohledu pozorovatele na Zemi tedy kosmonaut opravdu zestárne podstatně méně.
Paradox dvojčat
Nyní se zamysleme nad tím, co vidí kosmonaut. Z jeho pohledu se nejprve Země vzdaluje rychlostí v, a pak se toutéž rychlostí přibližuje. To znamená, že dle dilatace času by měla nastat situace přesně obrácená – zestárnout by měl kosmonaut a ne dvojče na Zemi! Jejich vzájemný věk ale po přistání přestává být relativní a dá se snadno porovnat. Nemůže být jeden zároveň starší i mladší než druhý! Kde je problém?
?Správně – klíčem je zde věta „raketa se otočí“.
Otočit raketu totiž znamená zrychlovat a soustava tak přestává být inerciální.
Spokojíme se ale s tvrzením, že v neinerciální soustavě STR neplatí a šmytec? Nemůžeme
jev vysvětlit i v rámci STR?
Paradox dvojčat
Podívejme se na situaci, která je v zásadě stejná, ale zrychlení v ní nefiguruje.
v
v
Dvoje hodinky letí proti sobě rychlostí v tak, aby se minuly se Zemí i mezi sebou a mohly si předávat čas.
a) První hodinky synchronizují čas se Zemí
b) Druhé hodinky synchronizují čas s prvními
c) Druhé hodinky porovnávají svůj čas se Zemí
Zde žádné zrychlení není – a paradox je zpět. Takže znovu – kde je problém?
Paradox dvojčat
ct Země
x Země
dráh
a m
é ra
kety
na
cest
ě ta
m
dráha mé rakety na cestě zpět
C
A
B
tečkované čáry spojují současné okamžiky v
raketě a na Zemi
Zakresleme si do grafu celou situaci. Stejně jako při konstrukci světelného kuželu je na vodorovné ose vzdálenost a na svislé čas. Zakresleme dráhu rakety s kosmonautem a dívejme se jeho očima. Díky dilataci času se současnost na zemi „opožďuje“ – čas na Zemi jde pomaleji a zeměplazi opravdu stárnou méně.
Raketa dosáhne bodu obrátky (C), což na zemi odpovídá události A.
Wow! Co se to přihodilo? V okamžiku obrátky čas na Zemi udělal obrovský skok kupředu! Jak je to možné? Při obrátce raketa změnila soustavu – ta, ve které je nyní, je díky opačné rychlosti symetrická s původní, počátkem je ale opět setkání se zemí, které teď leží v budoucnosti, nikoliv v minulosti. Výsledek je ten, že přímky spojující současnost změní sklon. Místo události A teď obrátce odpovídá bod B.
Po dobu cesty zpět pozemšťané opět stárnou pomaleji, ale díky tomu skoku budou ve výsledku starší.
drá
ha
Ze
mě
Paradox dvojčat
osa x Země
ZZ tvl
c
Rctct 1
k
Označme si následující veličiny :
ZctZjevně platí, že
cctctZ 1
1t
t
l
t
l
R
R
Z
Z
vzdálenost viděna ze Země
čas na Zemi
vzdálenost viděna z rakety
čas v raketě
časový „deficit“
Čas na Zemi viděný z rakety
Musíme tedy dopočítat t1 a τ v závislosti na tR, abychom mohli časy tZ a tR srovnat. Čas t1 je jasný – díky dilataci času platí
Rtt 1
ct Země
Paradox dvojčat
osa x Země
ZZ tvl
c
Rctct 1
k
Směrnice fialových tečkovaných čar je
ZctPro odpovídající souřadnice na Zemi platí
BR
AR
BR
BR
AR
AR ttxtxt ,,a,
c
vk
což lze snadno ukázat z Lorentzových transformací. Na přímce leží události, které jsou z pohledu kosmonauta v raketě současné – označme dvě z nich souřad-nicemi
)(,)( BZ
BZ
BR
AZ
AZ
AR xctctxctct
Oba výrazy jsou si rovny a v soustavě Země tedy platí
xtc
xxctct
xctxctBZ
AZ
BZ
AZ
BZ
BZ
AZ
AZ
ct Země
Paradox dvojčat
osa x Země
c
Rctct 1
k
Vzdálenost od Země si vyjádříme jako
Zct
ZzZ cttvl ZZ ctl
a pak už jen tuto délku vynásobíme směrnicí:
Zctc 2Dosadíme do
cctctZ 1
ZR
Z ctct
ct 2
a dořešíme jako rovnici
Z
RRZ
Z
tt
ctctct
22 )1(
1
222
ZRZ tttt
Odtud opět získáme
ct Země
Paradox dvojčat
Po důkladnějším prozkoumáním jsme zjistili, že na problému nic paradoxního není a nemá důvod nefungovat. Pokud bychom se chtěli zabývat i zrychlující raketou, bylo by opravdu nutné nasadit aparát Obecné teorie relativity. Pro srovnání je vlevo zobrazen stejný graf, jaký jsme používali pro řešení problému, ale se zrychleným pohybem v obrátce.
ct Země
x Země
A
B
tečkované čáry spojují současné okamžiky v
raketě a na Zemi
drá
ha
Ze
mě
dráh
a ra
kety
Deformace obrazu
Díky konečné rychlosti šíření světla spolu s kontrakcemi délky by pohled z relativisticky se pohybujícího vozidla byl velmi zajímavý.
Deformace obrazu
Podívejme se nejprve na to, jaký efekt udělá konečná rychlost světelného signálu.
tcl
v
va
Fotografujme dva rychle letící míčky, které jsou z pohledu fotoaparátu v zákrytu. Závěrku otevřeme na velmi krátkou dobu tak, že světlo z bližšího míčku dopadne do objektivu v okamžiku největšího přiblížení. Vzdálenější míček je sice také na kolmici, ale světlo od něj do objektivu ještě nedorazilo! Uvidíme jej v pozici ve které byl před dobou t – což je doba, jakou světlo potřebuje k překonání vzdálenosti a.
Fotografie
Tento efekt ovšem nijak nesouvisí z relativitou – funguje i v Newtonovské mechanice.
Deformace obrazu
Zkusme takto vyfotografovat relativistickou krychli. Pro jednoduchost ji zobrazujme na velkou fotografickou desku s kolmou projekcí.
