Zápis logických funkcí
Střední odborná škola Otrokovice
www.zlinskedumy.cz
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je ing. Miroslav Hubáček.Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR.
Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Charakteristika 1 DUM
Název školy a adresa Střední odborná škola Otrokovice, tř. T. Bati 1266, 76502 Otrokovice
Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0445 /5
Autor Ing. Miroslav Hubáček
Označení DUM VY_32_INOVACE_SOSOTR-EL-ELZ/2-EL-2/17
Název DUM Zápis logických funkcí
Stupeň a typ vzdělávání Středoškolské vzdělávání
Kód oboru RVP 26-51-H/01
Obor vzdělávání Elektrikář
Vyučovací předmět Elektronická zařízení
Druh učebního materiálu Výukový materiál
Cílová skupina Žák, 16 – 17 let
Anotace Výukový materiál je určený k frontální výuce učitelem, případně jako materiál pro samostudium, nutno doplnit výkladem; náplň: logické funkce jedné a dvou proměnných, Booleova algebra, Karnaughovy mapy
Vybavení, pomůcky Počítač, dataprojektor, interaktivní tabule
Klíčová slova Logická funkce, pravdivostní tabulka, Booleova algebra, Karnaughova mapa.
Datum 11. 5. 2013
Zápis logických funkcí
Náplň výuky
Logické funkce jedné proměnnéLogické funkce dvou proměnnýchVyjádření logické funkcePravidla Booleovy algebryKarnaughovy mapa
Logické funkce jedné proměnnéLogické funkce jedné proměnné jsou nejjednodušším případem logických funkcí. Falsum
• pro jakoukoliv hodnotu na vstupu je na výstupu vždy 0Negace
• na výstupu je vždy opak hodnoty na vstupuAserce
• hodnota na výstupu je shodná s hodnotou na vstupuVerum
• pro jakoukoliv hodnotu na vstupu je na výstupu vždy 1Praktický význam má pouze negace.
Logické funkce dvou proměnných
• logické funkce dvou proměnných jsou zobrazeny v tabulce
• praktický význam mají pouze čtyři• AND, OR, NAND a NOR
Obr. 1: Tabulka logické funkce dvou proměnných
Vyjádření logické funkce• logickou funkci lze vyjádřit• Booleovými funkcemi – to je negací, konjunkcí a disjunkcí• funkcemi NAND – stačí jediná funkce• funkcemi NOR – opět stačí jediná funkce
• podle toho, které vyjádření zvolíme, mluvíme o Booleově algebře, NAND algebře nebo NOR algebře
• základní je vyjádření Booleovými funkcemi• pro vyjádření logické funkce potřebujeme tři základní funkce• při realizaci této funkce potřebujeme tři druhy logických prvků• pro vyjádření logické funkce základní funkcí NAND nebo funkcí
NOR vystačíme s jedním druhem základní funkce• při realizaci potřebujeme pouze jeden druh logických obvodů• základním požadavkem je každou logickou funkci
minimalizovat, to je vyjádřit ji co nejmenším počtem základních logických funkcí
Pravidla Booleovy algebry
• k zjednodušování – minimalizaci logických funkcí používáme tato základní pravidla
1. zákon vyloučení třetího = 1
2. logický rozpor = 1
3. dvojitá negace = x
4. opakování
5. komutativní zákony + = + · = ·
Pravidla Booleovy algebry
6. asociativní zákony + (+ ) = + +
· (· ) = · · 7. distributivní zákony
· (+ ) = ( · )+( · )
+ (· ) = ( + ) ·( + )8. absorpční zákony
+ (· ) =
· (+ ) =
Pravidla Booleovy algebry
9. neutrálnost 0 a 1 + x = · x =
10. agresivnost 0 a 1 + x = · x =
11. De Morganovy zákony
= 1 · 2
= 1 + 2
• de Morganovy zákony se uplatňují zejména při převádění Booleovy algebry na NAND nebo NOR algebru
Minimalizace logických funkcíPříkladMinimalizujte logickou funkci
1 · · + · 2 · 3 + · 2 · + · · 3 + · ·
Řešení• z druhého a třetího členu vytkneme · 2 a z čtvrtého a pátého členu
vytkneme · 1 · · + · 2 (3 + ) + · (3 + )
• výrazy v závorkách jsou podle zákona vyloučení třetího rovny jedné
1 · · + 1 · + · • výraz v závorce je ze stejného důvodu opět roven jedné
1 · · + • použijeme absorpční zákon podle kterého je + 1 · = + • výsledek je
+ ·
Karnaughova mapa
• Karnaughova mapa je tabulka, která má tolik políček, kolik je kombinací vstupních proměnných vyšetřované funkce
• funkce s n vstupními proměnnými tedy vyjadřujeme mapou s 2n políčky
• každé políčko odpovídá jedné z možných kombinací a zapisujeme do něj odpovídající funkční hodnotu
• sousední políčka se od sebe liší hodnotou jediné proměnné• pro dvě proměnné používáme mapu 2 x 2• svislá hrana je pro jednu proměnnou, vodorovná pro druhou• pro tři proměnné používáme mapu 2 x 4 (nebo 4 x 2), kde svislá
hrana je pro jednu a vodorovná pro dvě proměnné• pro čtyři proměnné používáme mapu 4 x 4, kde máme vždy po
dvou proměnných na hranách
Karnaughova mapa
• Karnaughova mapa slouží k vyjádření Booleovských funkcí, ale především k jejich minimalizaci
Obr. 2: Karnaughovy mapy dvou, tří a čtyř proměnných
Karnaughova mapa
1. Řádky nebo sloupce, ve kterých je příslušná hodnota rovna 1 označíme vedle mapy svislou nebo vodorovnou čárou, tam, kde čára není je hodnota rovna 0.
2. U jedné proměnné je čára na jednom řádku nebo sloupci, u dvou jsou čáry na dvou sloupcích, přičemž se tyto čáry musejí částečně překrývat.
3. Pravá hrana Karnaughovy mapy sousedí s levou hranou, stejně tak i horní hrana sousedí se spodní.
4. Do mapy vložíme jedničky z pravdivostní tabulky.
Minimalizace pomocí Karnaughovy mapyMinimalizace pomocí Karnaughovy mapy bude spočívat v opačném postupu než při sestavování mapy, a to nalezením algebraického tvaru funkce, zadané mapou.
Minimalizace pomocí Karnaughovy mapy
Budeme postupovat tak, že sousední políčka mapy, která obsahují jedničku jako funkční hodnotu, budeme sdružovat do dvojic, čtveřic…Základní pravidla pro minimalizaci logických funkcívšechny jedničky v mapě musí být zakroužkovány, žádnou nesmíme vynechat.• každá jednička se může při kroužkování vzít několikrát, může být
současně součástí dvojice, čtveřice... (to umožňuje zákon opakování x x x ... = x∨ ∨ ∨
• přednost mají ... osmice před čtveřicemi, čtveřice před dvojicemi a dvojice před izolovanými jedničkami
• v rámci pravidla podle kterého žádnou jedničku nesmíme vynechat, se snažíme o co nejmenší počet smyček
Minimalizace pomocí Karnaughovy mapyPříkladKarnaughovou mapou minimalizujte logickou funkci:1 · · + · 2 · 3 + · 2 · + · · 3 + · · ŘešeníNakreslíme Karnaughovu mapu pro tři proměnné a napíšeme jedničky do příslušných políček.
Zakroužkujeme jednoznačně jednu čtveřici a jednu dvojici. Poté obdržíme výsledek + ·
Obr. 3: Karnaughova mapa
Kontrolní otázky:
1. Vysvětlete pojem logické funkce jedné a dvou proměnných.
2. Jakým způsobem zapisujeme logické funkce?
3. Co znamená pojem minimalizace logické funkce?
4. Popište minimalizaci logických funkcí pomocí Booelovy algebry.
5. Popište minimalizaci logických funkcí pomocí Karnaughových map.
Seznam obrázků:
Obr. 1: Logické funkce: In: VUT logické řízení [online]. 2012 [vid. 8. 5. 2013]. Dostupné z: http://autnt.fme.vutbr.cz/lab/a4-603/opory/elr.pdf
Obr. 2: Karnaughovy mapy dvou a více proměnných: In: VUT logické řízení [online]. 2012 [vid. 8. 5. 2013]. Dostupné z: http://autnt.fme.vutbr.cz/lab/a4-603/opory/elr.pdf
Obr. 3: Karnaughova mapa : In: VUT logické řízení [online]. 2012 [vid. 8. 5. 2013]. Dostupné z: http://autnt.fme.vutbr.cz/lab/a4-603/opory/elr.pdf
Seznam použité literatury:
[1] ANTOŠOVÁ, M., DAVÍDEK, V. Číslicová technika. Praha: KOPP, 2009. ISBN 978-80-7232-394-4.
[2] HÄBERLE, H. a kol. Průmyslová elektrotechnika a informační technologie. Praha: Europa – Sobotáles, 2003. ISBN 80-86706-04-4.
[3 ] Logické funkce. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. 2012 [cit. 29. 4. 2013]. Dostupné z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Diskr%C3%A9tn%C3%AD_sign%C3%A1l
[4] Logické funkce: In: VUT logické řízení [online]. 2012 [cit. 8. 5. 2013]. Dostupné z: http://autnt.fme.vutbr.cz/lab/a4-603/opory/elr.pdf
Děkuji za pozornost
