Post on 15-Jan-2016
description
transcript
11
GONIOMETRICKGONIOMETRICKÉ FUNKCEÉ FUNKCE
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF
a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Kristýna Zemková, Václav ZemekGymnázium, Prachatice, Zlatá stezka
137
V PRAVOÚHLÉM V PRAVOÚHLÉM TROJÚHELNÍKUTROJÚHELNÍKU
22
Thaletova věta:
Všechny trojúhelníky, jejichž střed kružnice opsané půlí nejdelší stranu, jsou pravoúhlé.
Strany pravoúhlého trojúhelníku:
Pravoúhlý trojúhelníkPravoúhlý trojúhelník
Co víš o pravoúhlém trojúhelníku?Co víš o pravoúhlém trojúhelníku?
2 2 2a b c
Pythagorova věta:
33
Sinus ostrého úhluSinus ostrého úhlu
Pomocí funkce sinus se naučíme Pomocí funkce sinus se naučíme vypočítat jeden z ostrých úhlů vypočítat jeden z ostrých úhlů pravoúhlého trojúhelníku.pravoúhlého trojúhelníku.
Nejprve se však musíme domluvit na Nejprve se však musíme domluvit na pojmenování odvěsen trojúhelníku:pojmenování odvěsen trojúhelníku:
44
Dokážeš určit protilehlou a přilehlou Dokážeš určit protilehlou a přilehlou odvěsnu úhlu odvěsnu úhlu ? ?
55
protilehlá odvěsnasin
přepona
a
c
Dokážeš určit sinDokážeš určit sin??
protilehlá odvěsna úhlu sin
přepona
b
c
66
Hodnota sinu úhlu nezáleží na velikosti Hodnota sinu úhlu nezáleží na velikosti trojúhelníku, ale na poměru stran.trojúhelníku, ale na poměru stran.
3 cm
6 cm
9 cm
BC
DE
FG
5 cm
10 cm
15 cm
AB
AD
AF
3sin 0,6
5
6sin 0,6
10
9sin 0,6
12
BC
AB
DE
AD
FG
AF
77
Je dán pravoúhlý trojúhelník Je dán pravoúhlý trojúhelník ABCABC s s pravým úhlem při vrcholu pravým úhlem při vrcholu CC; ; aa = 5 cm= 5 cm, , c c == 10 cm 10 cm. Vypočítej úhel . Vypočítej úhel . .
Řešení:Řešení:
Nejprve vypočítáme sinNejprve vypočítáme sin..
POZOR, to ještě není velikost úhlu! POZOR, to ještě není velikost úhlu! Kalkulačkou (nebo tabulkami) určíme Kalkulačkou (nebo tabulkami) určíme úhel.úhel.
5sin 0,5
10
a
c
30
K čemu využijeme sinus úhlu?K čemu využijeme sinus úhlu?
88
Příklad 1:
Trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C; c = 5 cm, b = 3 cm. Kolik měří úhel ?
99
První způsob:První způsob:
1.1. Pomocí Pythagorovy věty dopočítáme Pomocí Pythagorovy věty dopočítáme stranu stranu aa..
2.2. Vypočítáme sinVypočítáme sin..
3.3. Pomocí kalkulačky nebo tabulek určíme Pomocí kalkulačky nebo tabulek určíme úhel úhel ..
4.4. Velikost úhlu Velikost úhlu je tedy přibližně 53°8‘. je tedy přibližně 53°8‘.
2 2 2 25 3 25 9 16 4 cma c b
4sin 0,8
5
a
c
53,13 53 8'
1010
Druhý způsob:Druhý způsob:1.1. Vypočítáme pomocí funkce sin velikost Vypočítáme pomocí funkce sin velikost
úhlu úhlu ..
2.2. Využijeme vlastnost úhlů v trojúhelníku – Využijeme vlastnost úhlů v trojúhelníku – jejich součet je vždy 180°. Trojúhelník je jejich součet je vždy 180°. Trojúhelník je pravoúhlý, tedy jeden úhel je velký 90°. pravoúhlý, tedy jeden úhel je velký 90°.
3.3. Velikost úhlu Velikost úhlu je tedy přibližně 53°8‘. je tedy přibližně 53°8‘.
3sin 0,6
536 52 '
b
c
180 90 90
90 90 36 52 ' 53 8'
1111
Příklad 2:Příklad 2:
Zjisti bez tabulek či kalkulačky, jen s pomocí pravítka a úhloměru, velikost úhlu , jestliže sin=0,65.
Řešení:1.1.Nejprve si musíme uvědomit, žeNejprve si musíme uvědomit, že
, kde 10 je přepona trojúhelníku , kde 10 je přepona trojúhelníku a 6,5 protilehlá odvěsna daného úhlu.a 6,5 protilehlá odvěsna daného úhlu.
6,50,65
10
1212
2.2. Tento trojúhelník sestrojíme. Tento trojúhelník sestrojíme. Pomůže nám Thaletova věta.Pomůže nám Thaletova věta.
3.3. Úhel změříme.Úhel změříme.
4.4. Výsledek si ověříme v tabulkách Výsledek si ověříme v tabulkách nebo na kalkulačce.nebo na kalkulačce.
1313
Kosinus ostrého úhluKosinus ostrého úhlu
přilehlá odvěsnacos
přepona
b
c
1414
Příklad 1:Příklad 1:
sin
cos
d
f
e
f
sin
cos
e
f
d
f
Zapiš sinus a kosinus úhlů Zapiš sinus a kosinus úhlů a a pomocí pomocí délek stran trojúhelníku délek stran trojúhelníku DEF.DEF.
1515
Příklad 2:Příklad 2:
Narýsujeme pravoúhlý trojúhelník s přeponou dlouhou 10 cm. Poté změříme délku odvěsen.
5,7sin 35 0,57
108,2
cos35 0,8210
Narýsuj vhodný trojúhelník s úhlem Narýsuj vhodný trojúhelník s úhlem = = 35°, změř potřebné strany a urči s 35°, změř potřebné strany a urči s přesností na dvě desetinná místa sinpřesností na dvě desetinná místa sin a a coscos..Řešení:
1616
Tangens a kotangens Tangens a kotangens ostrého úhluostrého úhlu
protilehlá odvěsnatg =
přilehlá odvěsna
a
b
protilehlá odvěsnatg =
přilehlá odvěsna
b
a
přilehlá odvěsnacotg =
protilehlá odvěsna
a
b
1717
Bez pomoci tabulek a kalkulačky, jen Bez pomoci tabulek a kalkulačky, jen rýsováním a měřením, urči přibližnou rýsováním a měřením, urči přibližnou velikost ostrého úhlu velikost ostrého úhlu , jestliže platí, jestliže platí ..
Příklad 1:Příklad 1:
tg 0,625
Řešení:5
0,6258
5tg
8
b
a
32
1818
Příklad 2:Příklad 2:
tg 4 cotg ?
1cotg
4
b
a
Řešení:
4tg
1
a
b
1919
Vztahy mezi Vztahy mezi goniometrickými funkcemi goniometrickými funkcemi
ostrého úhluostrého úhlu
90
90
sin
cos cos 90
sin cos
a
ca
c
cos
sin sin 90
cos sin
b
cb
c
Podobně:tg cotg
tg cotg
2020
tg co
1 1tg cotg
cotg tg
tga b
b a
2 2 2
2 2 2
2 22 2 2
2 2
sin cos
sin cos
sin cos 1
a b c
c c c
c c c
sin
c
s
os
in
cos
a c
b c
a
cb
c
sintg
coscos
co
sin
cos
tgsin
cos
sin
a c
b cb c
a c
2121
sin cos
cos sin
tg cotg
cotg tg
1tg
cotg
1cotg
tg
sintg
coscos
cotgsin
2 2sin cos 1
2222
Příklad 1:Příklad 1:
2 2
2 2
2
sin cos 1
sin 0,6 1
sin 0,64
sin 0,8
Vypočítej sin, tg a cotg, je-li cos = 0,6.
sin 0,8 4tg
cos 0,6 3
1 3cotg
tg 4
2323
Tabulka hodnot Tabulka hodnot goniometrických funkcígoniometrických funkcí
sin
cotg
cos
tg
0 30 45 60 90
0
1
0
1
2
3
2
3
3
2
2
1
2
0
0
1
1
1
3
2
2
3
2
3
3 3
2424
[1] Herman, J. a kol.: [1] Herman, J. a kol.: Matematika pro nižší ročníky víceletých Matematika pro nižší ročníky víceletých gymnázií - Podobnost a funkce úhlu.gymnázií - Podobnost a funkce úhlu. Dotisk 1. vydání. Dotisk 1. vydání. Praha: Prometheus, 2003. ISBN 80-7196-206-6. s. 67-114Praha: Prometheus, 2003. ISBN 80-7196-206-6. s. 67-114
[2] Odvárko, O.: [2] Odvárko, O.: Matematika pro gymnázia – Goniometrie.Matematika pro gymnázia – Goniometrie. Dotisk 3. vydání. Praha: Prometheus, 2002. Dotisk 3. vydání. Praha: Prometheus, 2002. ISBN 80-7196-203-1. s. 20-24ISBN 80-7196-203-1. s. 20-24
Literatura: