JAK CHÁPAT PRAVDĚPODOBNOST?

transcript

JAK CHÁPAT

PRAVDĚPODOBNOST?

Matematika, fyzika a jejich vyučování

Velké Meziříčí, 24. srpna 2010

Magdalena Hykšová

Andrei Nikolajevič Kolmogorov, 1933:

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

SUBJEKTIVNÍ INTERPRETACE

PRAVDĚPODOBNOST

= míra osobního přesvědčení nebo víry

ve výskyt určitého jevu či události

Václav Šimerka (1818 – 1887), 1882

Frank Plumpton Ramsey (1903 – 1930), 1931 (1926)

Bruno de Finetti (1906 – 1985), 1931, 1937

Leonard Jimmie Savage (1917 – 1971), 1954

SUBJEKTIVNÍ INTERPRETACE

Každodenní uvažování

• Touhle dobou snad na D1 nebudou kolony.

• Proti Rusku nemají naši hokejisté šanci.

• Tento lék by měl na Vaše potíže zabrat.

• Volby nejspíš vyhraje ČSSD.

• Když vyrazím v 16:10, tak ten vlak snad stihnu.

1. Který závodník má podle kanceláře Sazka a.s. největší šanci stát se v roce 2010 mistrem světa ve formuli 1?

sázka 1 Kč výhra 2,55 Kčnebo nic

Podobně se můžeme ptát v následujících případech:

2. U které společnosti si máme vsadit na zápas

Španělsko – Honduras na MS ve fotbale 2010?

Název 1 (výhra Š) X (remíza) 2 (výhra H)

Bet-at-home 1,11 8,00 15,00

Fortuna 1,12 6,70 13,00

Tipsport 1,13 13,00 22,50

Bet-at-home 1,11 8,00 15,00

Fortuna 1,12 6,70 13,00

Tipsport 1,13 13,00 22,50

Čísla v tabulce: kolik sázková kancelář vyplatí za 1 Kč sázky na správný výsledek

Bet-at-home 1,11 8,00 15,00

Fortuna 1,12 6,70 13,00

Tipsport 1,13 13,00 22,50

a) Ať už zápas dopadne jakkoli, nejvíce vyplatí Tipsport

Bet-at-home 1,11 8,00 15,00

Fortuna 1,12 6,70 13,00

Tipsport 1,13 13,00 22,50

a) Ať už zápas dopadne jakkoli, nejvíce vyplatí Tipsport

b) Nejpravděpodobnější výsledek: výhra Španělska

c) Představte si, že vsadíte na všechny možnosti tak, abyste v každém případě vyhráli 100 Kč. Kolik procent vsazené částky se vám vrátí?

Název 1 0 2 Návratnost

Bet-at-home 1,11 8,00 15,00

Fortuna 1,12 6,70 13,00

Tipsport 1,13 13,00 22,50

Návratnost - např. pro Fortunu:

abychom vyhráli 100 Kč v případě vítězství Španělska,

musíme na ně vsadit

Celkem zaplatíme: 00,13

12,1/1100

c) Představte si, že vsadíte na všechny možnosti tak, abyste v každém případě vyhráli 100 Kč. Kolik procent vsazené částky se vám vrátí?

Bet-at-home 1,11 8,00 15,00 91,53 %

Fortuna 1,12 6,70 13,00 89,36 %

Tipsport 1,13 13,00 22,50 99,37 %

Návratnost - např. pro Fortunu:

Celkem zaplatíme:

% 53,919153,0

Kdo může na kurzových sázkách systematicky vydělávat?

Bet-at-home 1,11 8,00 15,00 91,53 %

Fortuna 1,12 6,70 13,00 89,36 %

Tipsport 1,13 13,00 22,50 99,37 %

Kdo může na kurzových sázkách systematicky vydělávat?

• Sázková kancelář • Ten, kdo dokáže sehnat lepší informace než ona

Bet-at-home 1,11 8,00 15,00 91,53 %

Fortuna 1,12 6,70 13,00 89,36 %

Tipsport 1,13 13,00 22,50 99,37 %

SPRAVEDLIVÁ SÁZKA

kurz sázky p

... kolik musí sázející vsadit na jev A, aby v případě, že A nastane, vyhrál 1 Kč

SPRAVEDLIVÁ SÁZKA

kurz sázky p

... kolik musí sázející vsadit na jev A, aby

v případě, že A nastane, vyhrál 1 Kč

MS v hokeji 2010, finále Česká rep. – Rusko

pČ = 1/4, pR = 4/5

Abych vyhrála S = 100 Kč, musím vsadit

25 Kč ... na výhru České republiky,

80 Kč ... na výhru Ruska

kurz sázky p

... kolik musí sázející vsadit na jev A, aby

v případě, že A nastane, vyhrál 1 Kč

pČ = 1/4, pR = 9/10

zaplatím 115 Kč, vyhraji 100 Kč

návratnost:

% 87115

pČ = 1/4, pR = 9/10

zaplatím 115 Kč, vyhraji 100 Kč

návratnost:

pČ + pR > 1 sázející prodělá

spravedlivá sázka

% 87115

SPRAVEDLIVÁ SÁZKA

tomu, kdo navrhuje kurz sázky p musí hrozit, se sám ocitne v roli sázejícího

SPRAVEDLIVÁ SÁZKA

tomu, kdo navrhuje kurz sázky p musí hrozit, se sám ocitne v roli sázejícího

připustíme kladné i záporné hodnoty sázek

pČ + pR > 1 ... sázející navrhne S < 0 a vydělá

pČ + pR < 1 ... sázející navrhne S > 0 a vydělá

pČ + pR = 1

SPRAVEDLIVÁ SÁZKA

S ... hodnota výhry v případě, že nastane A

(kladná nebo záporná)

Zisk: Z(A) = S - pS = (1 - p) S

Z(A) = - pS

p ... pravděpodobnost, kterou bookmaker

přisuzuje jevu A

Aby zabránil jisté ztrátě, musí hodnoty p vyhovovat axiomům teorie pravděpodobnosti

3. Tomáš Berdych a Robin Soderling jsou podle sázkových kanceláří na stejné výkonnostní úrovni. Jaké jsou Berdychovy šance na výhru v jejich vzájemném zápase?

4. Doktor mi řekl, že mám šanci 1:3 na úplné uzdravení.

Jaká je podle něj pravděpodobnost, že se zcela uzdravím?

Podobně jako u kurzových sázek, i zde lze ukázat, proč musí platit základní axiomy pravděpodobnosti.

Pan Vychytralý vyzve Martina k sázce o to, zda 21. března bude teplota nad nulou nebo pod nulou. Martin si může libovolně zvolit kurz pro oba jevy, ale pan Vychytralý pak určí, kolik peněz na ně má vsadit.

Martin : nad nulou … 3:1

pod nulou … 5:3

Je to rozumné?

Pan Vychytralý vyzve Martina k sázce o to, zda 21. března bude teplota nad nulou nebo pod nulou. Martin si může libovolně zvolit kurz pro oba jevy, ale pan Vychytralý pak určí, kolik peněz na ně má vsadit.

pod nulou … 5:3

Pan Vychytralý určí, že má Martin vsadit 6 tisíc na to, že bude nad nulou a 5 tisíc na to, že bude pod nulou. Kdo na tom vydělá a kolik?

pod nulou … 5:3

Pan Vychytralý určí, že má Martin vsadit 6 tisíc na to, že bude nad nulou a 5 tisíc na to, že bude pod nulou.

Kdo na tom vydělá a kolik?

sázka

nad 0 pod 0 Martinův zisk

skutečnostnad 0

pod nulou … 5:3

sázka

skutečnostnad 0 +2

pod 0 – 6

pod nulou … 5:3

sázka

skutečnostnad 0 +2 – 5 – 3

pod 0 – 6 +3 – 3

Jak tomu má Martin předejít?

sázka

pod 0 – 6 +3 – 3

sázka

pod 0 – 6 +3 – 3

sázka

pod 0 – 6 +7 + 1

sázka

pod 0 – 9 +7 – 2

sázka

pod 0 – 9 +10 + 1

sázka

pod 0 – 12 +9 – 3

sázka

pod 0 – 12 +13 + 1

sázka

skutečnostnad 0 +5 – 5 0

pod 0 – 15 +14 – 1

sázka

pod 0 – 15 +15 0

sázka

pod 0 – 15 +16 + 1

sázka

skutečnostnad 0 +6 – 5 +1

pod 0 – 18 +16 – 2

sázka

skutečnostnad 0 +6 – 5 + 1

pod 0 – 18 +16 – 2

pod nulou … 5:16

sázka

skutečnostnad 0 +6 – 5 + 1

pod 0 – 18 +16 – 2

pod nulou … 5:16

Martin a pan Vychytralý se dohodnou, že si po stanovení kurzu hodí korunou a padne-li líc, vymění si role.

Jaké hodnoty sázky na „pod nulou“ by měl nyní Martin zvolit?

sázka

pod 0 – 15 +15 0

sázka: nad nulou … 3:1

pod nulou … 5:15 neboli 1:3

sázka

pod 0 – 3 +3 0

sázka: nad nulou … 3:1

pod nulou … 1:3

sázka: nad nulou … 3:1 ... pravděpodobnost:

pod nulou … 1:3 ... pravděpodobnost:

sázka

pod 0 – 3 +3 0

sázka: nad nulou … 3:1 ... pravděpodobnost:

pod nulou … 1:3 ... pravděpodobnost:

Opačné jevy:

sázka

pod 0 – 3 +3 0

5. RULETASázka 10 Kč na červenou:

Průměrná výhra:

10 x 18 / 37 – 10 x 19 / 37

= – 0,27 Kč

6. Alici je 31 let, je svobodná, inteligentní, pohledná. Vystudovala filosofii, za studií vášnivě bránila práva menšin a demonstrovala před obchodním domem, který neměl zázemí pro kojící matky. Uspořádejte následující výroky od nejpravděpodobnějších po nejméně pravděpodobné.

a) Alice je aktivní feministka.b) Alice je bankovní úřednice.c) Alice pracuje v malém knihkupectví.d) Alice je bankovní úřednice a aktivní feministka.e) Alice je bankovní úřednice a aktivní feministka, která navštěvuje kurzy jógy.f) Alice pracuje v malém knihkupectví a je aktivní feministka, která navštěvuje kurzy jógy.

6. Alici je 31 let, je svobodná, inteligentní, pohledná. Vystudovala filosofii, za studií vášnivě bránila práva menšin a demonstrovala před obchodním domem, který neměl zázemí pro kojící matky. Uspořádejte následující výroky od nejpravděpodobnějších po nejméně pravděpodobné.

a) Alice je aktivní feministka.b) Alice je bankovní úřednice.c) Alice pracuje v malém knihkupectví.d) Alice je bankovní úřednice a aktivní feministka.e) Alice je bankovní úřednice a aktivní feministka, která navštěvuje kurzy jógy.f) Alice pracuje v malém knihkupectví a je aktivní feministka, která navštěvuje kurzy jógy.

P(a) > P(d) > P(e) P(c) > P(f)

P(b) > P(d) > P(e)

7. Kterému z následujících tvrzení přiřadíte vyšší pravděpodobnost?

a) V březnu budou někde v Evropě povodně.

b) V březnu v českých horách roztaje sníh a následkem toho budou povodně.

7. Kterému z následujících tvrzení přiřadíte vyšší pravděpodobnost?

a) V březnu budou někde v Evropě povodně.

b) V březnu v českých horách roztaje sníh a následkem toho budou povodně.

P(a) > P(b)

ČETNOSTNÍ INTERPRETACE

PRAVDĚPODOBNOST

= limita relativní četnosti daného jevu v kolektivu

(nekonečná posloupnost výsledků opakovaného pokusu, splňující dané axiomy)

Robert Leslie Ellis (1817 – 1859), 1843John Venn (1834 – 1923), 1866Richard von Mises (1883 – 1953), 1931

Erich Kamke (1890 – 1961), 1932

ČETNOSTNÍ INTERPRETACE

PRAVDĚPODOBNOST

= limita relativní četnosti daného jevu v kolektivu

(nekonečná posloupnost výsledků

opakovaného pokusu, splňující dané axiomy)

ČETNOST V POPULACI

četnost daného znaku

v „kolektivu“ v běžném

smyslu

8. Pravděpodobnost, že žena má rakovinu prsu, je 0,8%. Pokud ji má, pak pravděpodobnost, že mamogram bude pozitivní, je 90%. Pokud ji nemá, pak pravděpodobnost, že mamogram bude i tak pozitivní, je 7%. Představte si ženu, jejíž mamogram je pozitivní; jaká je pravděpodobnost, že má skutečně rakovinu?

Osm žen z tisíce má rakovinu prsu. Sedm z těchto osmi žen bude mít pozitivní mamogram. Ze zbylých 992 žen, které rakovinu nemají, jich bude mít zhruba 70 rovněž pozitivní mamogram. Představte si skupinu žen, kterým vyšel mamogram pozitivní; kolik z nich má skutečně rakovinu prsu?

8. Osm žen z tisíce má rakovinu prsu. Sedm z těchto osmi žen bude mít pozitivní mamogram. Ze zbylých 992 žen, které rakovinu nemají, jich bude mít zhruba 70 rovněž pozitivní mamogram.

1000 lidí1000 lidí

992 zdravých

7 pozitivní

1 negativní

70 pozitivní

922 negativní

8 nemocných

P(nemocná|pozitivní) = 7/77 = 9,09 %

V Kocourkově provozují taxi dvě společnosti. Jedna má modré vozy, druhá zelené. Modrých vozů taxi jezdí po městě 15 %, zelených 85 %.

Jednoho zimního večera za tmy a v mlze srazil automobil taxislužby mladého muže. Ten později vypověděl, že automobil byl modrý. Policie vyzkoušela, nakolik je muž schopen rozeznat barvu v podobných podmínkách jako onoho večera, a zjistila, že barvu dokáže určit správně v 80 % případů. Jaký závěr z těchto informací může udělat soudce, který řeší žalobu poškozeného na provozovatele taxislužby?

zelená auta ... 85 % modrá auta ... 15 % schopnost rozpoznat ... 80 %

100 aut100 aut

15 modrých

17 modrých

68 zelených

12 modrých

3 zelená

85 zelených

svědectví

zelená auta ... 85 % modrá auta ... 15 % schopnost rozpoznat ... 80 %

100 aut100 aut

15 modrých

17 modrých

68 zelených

12 modrých

3 zelená

85 zelených

P(modrý|svědectví) = 12/29 = 41,4 %

svědectví

10. Před nástupem do nového zaměstnání musel David podstoupit rutinní preventivní prohlídku, jejíž součástí byl test na HIV. Výrobce testu na HIV uvádí, že test odhalí přítomnost viru u nemocné osoby s pravděpodobností 99,90 % a s pravděpodobností 99,99 % dá negativní výsledek u zdravé osoby. V České republice je virem nakažen přibližně 1 člověk z 10 000. Po vyhodnocení testu lékař Davidovi zatelefonoval, že mu test vyšel pozitivní, a že musí znovu na odběr krve, aby se výsledek ověřil. Výsledek druhého testu bude znám až za týden. David zatím musí čekat, hlavou mu přitom běží nejčernější myšlenky.

a) David se z hlediska rizika nákazy virem HIV považuje za průměrného Čecha. Jaká je pravděpodobnost po výsledku prvního testu, že má skutečně HIV?

i) větší než 99 %

ii) mezi 90 % a 99 %

iii) mezi 60 % a 90 %

iv) mezi 40 % a 60 %

v) mezi 10 % a 40 %

vi) mezi 1 % a 10 %

vii) menší než 1 %

pozitivní výsledek u nemocné osoby ... pravděpodobnost 99,90 %

negativní výsledek u zdravé osoby ... pravděpodobnost 99,99 %

výskyt nemoci ... 1 Čech z 10 000

10 000 lidí10 000 lidí

9999 zdravých

1 pozitivní

0 negativní

1 pozitivní

9998 negativní

1 nemocný

10 000 lidí10 000 lidí

9999 zdravých

1 pozitivní

0 negativní

1 pozitivní

9998 negativní

1 nemocný

P(nemocný|pozitivní) = 1/2

10 000 lidí10 000 lidí

9999 zdravých

1 pozitivní

0 negativní

1 pozitivní

9998 negativní

1 nemocný

10 000 lidí10 000 lidí

9999 zdravých

1 pozitivní

0 negativní

1 pozitivní

9998 negativní

1 nemocný

P(pozitivní|nemocný) P(nemocný|pozitivní)

nemocní zdraví pozitivní 1 1 2

negativní 0 9998 9998

1 9999 10 000

P(nemocný|pozitivní) = 1/2 = 50 %

P(zdravý|pozitivní) = 1/2 = 50 % ... falešná pozitivita

nemocní zdraví pozitivní 1 10 11

negativní 0 99 989 99 989

1 99 999 100 000

výskyt nemoci ... 1 ze 100 000

P(nemocný|pozitivní) = 1/11 = 9,09 %

P(zdravý|pozitivní) = 10/11 = 90,91 %

nemocní zdraví pozitivní 9990 99 10 089

negativní 10 989 901 989 911

10 000 990 000 1 000 000

výskyt nemoci ... 1 ze 100

P(nemocný|pozitivní) = 9990 / 10 089 = 99,02 %

P(zdravý|pozitivní) = 99 / 10 089 = 0,98 %

Lékař má podezření, že potíže jeho pacienta, pana Veselého, působí streptokoková infekce. Provede mu výtěr z krku a do laboratoře pošle celkem 5 stěrů. Test není dokonalý: má-li pacient streptokokovou infekci, bude výsledek pozitivní v 70 % případů, ve zbývajících 30 % případů bude negativní. Je-li pacient zdráv, bude výsledek v 90 % případů negativní, v 10 % případů pozitivní. Výsledek laboratorních zkoušek je následující:

ANO, NE, ANO, NE, ANO.

Příznaky choroby nejsou příliš přesvědčivé a lékař na jejich základě odhadne pravděpodobnost streptokokové infekce na 0,5. Co z toho plyne?

i) Výsledky testu jsou bezcenné.ii) Pacient streptokokovou infekci spíš nemá.iii) Je o něco málo pravděpodobnější, že pacient streptokokovou infekci má než nemá.iv) Je mnohem pravděpodobnější, že pacient streptokokovou infekci má než nemá.

nemocný ... pozitivní test: 70 %, negativní test: 30 % zdravý ... pozitivní test: 10 %, negativní test: 90 % výsledky: + – + – + P(+ – + – + | N) = 0,7 x 0,3 x 0,7 x 0,3 x 0,7 = 0,03087 = 3,087 %

P(+ – + – + | Z) = 0,1 x 0,9 x 0,1 x 0,9 x 0,1 = 0,00081 = 0,081 %

P(N)=P(Z)=0,5

20 000 lidí20 000 lidí

10 000 zdravých

309 + – + – +

9691 jinak

9992 jinak

10 000 nemocných

8 + – + – +

20 000 lidí20 000 lidí

10 000 zdravých

309 + – + – +

9691 jinak

9992 jinak

10 000 nemocných

8 + – + – +

P(N| + – + – +) = 309/317 = 0,974 = 97,4 %

Bayes:

)Z(P)Z|(P)N(P)N|(P)N(P)N|(P

974,05,085,0093

5,00935,00,00085,00,0309

5,00,0309

P(+ – + – + | Z) = 0,1 x 0,9 x 0,1 x 0,9 x 0,1 = 0,00081 = 0,081 %

P(N)=P(Z)=0,5

20 000 lidí20 000 lidí

10 000 zdravých

309 + – + – +

9691 jinak

9992 jinak

10 000 nemocných

8 + – + – +

Bayes:

974,08093

093)|N(P

)|N(P 974,05,085,0093

5,00935,00,00085,00,0309

5,00,0309

20 000 lidí20 000 lidí

10 000 zdravých

309 + – + – +

9691 jinak

9992 jinak

10 000 nemocných

8 + – + – +

Bayes:

974,08093

093)|N(P

P(+ – + – + | Z) = 0,1 x 0,9 x 0,1 x 0,9 x 0,1 = 0,00081 = 0,081 %

P(N)=0,9 P(Z)=0,1

100 000 lidí100 000 lidí

10 000 zdravých

2778 + – + – +

87 222 jinak

9992 jinak

90 000 nemocných

8 + – + – +

P(N| + – + – +) = 2778/2786 = 0,997 = 99,7 %

100 000 lidí100 000 lidí

10 000 zdravých

2778 + – + – +

87 222 jinak

9992 jinak

90 000 nemocných

8 + – + – +

Bayes:

997,01,0819,00873

9,008731,00,000819,00,03087

9,00,03087

P(+ – + – + | Z) = 0,1 x 0,9 x 0,1 x 0,9 x 0,1 = 0,00081 = 0,081 %

P(N)=0,9 P(Z)=0,1

Bayes:

)Z(P)Z|(P)N(P)N|(P)N|(P

)N(P)|N(P

)Z(P)Z|(P)N(P)N|(P)Z|(P

)Z(P)|Z(P

100 000 lidí100 000 lidí

10 000 zdravých

2778 + – + – +

87 222 jinak

9992 jinak

90 000 nemocných

8 + – + – +

LOGICKÁ INTERPRETACE

PRAVDĚPODOBNOST

= míra racionálního přesvědčení o platnosti

určitého tvrzení

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716), 1678Bernard Bolzano (1781 – 1848), 1837Tomáš Garrigue Masaryk (1851 – 1925), 1883Johannes von Kries (1853 – 1928), 1886John Maynard Keynes (1883 – 1946), 1921Ludwig Wittgenstein (1889 – 1951), 1921Emanuel Czuber (1851 – 1925), 1923Otomar Pankraz (1903 – 1976), 1939Rudolf Carnap (1891 – 1970), 1950

Evidence: všichni doposud pozorovaní havrani byli černí

Hypotéza: všichni havrani jsou černí

JAK CHÁPAT PRAVDĚPODOBNOST?

Documents