Pravděpodobnost náhodných jevů

Pravděpodobnost náhodných jevůPravděpodobnost náhodného jevu je číslo, které je mírou očekávatelnosti výskytu jevu. Náhodným jevem rozumíme opakovatelnou činnost prováděnou za stejných (nebo přibližně stejných) podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Příklady mohou být například házení kostkou, střelba do terče nebo losování loterie.

Rozvoj teorie pravděpodobnosti probíhal od 17. století, zpočátku inspirován hlavně hazardními hrami. Za její počátek se považuje slavná výměna dopisů mezi matematiky Blaisem Pascalem a Pierrem Fermatem zahájená roku 1654. Šlo jim tehdy o otázku, jak spravedlivě rozdělit bank mezi hráče, jestliže série hazardních her musela být předčasně přerušena. Dalším stimulem pak byl rozvoj pojišťovnictví.

Pierre de Fermat1601 - 1665

Blaise Pascal1623 - 1262

Pro projekt „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil ([email protected]). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA.

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme

do vaší budoucnosti

Pravděpodobnost náhodných jevů

Definice 77.Klasická definice pravděpodobnosti : Buď M množina elementárních jevů (tedy takových, které nelze složit z jiných a které jsou zcela rovnocené) o n prvcích. Pravděpodobnost výskytu jevu A, který je složen z m elementárních jevů je

n

mAp )(

Například při hodu šestistěnnou kostkou je elementární jev pád každého čísla od 1 do 6. Pravděpodobnost toho, že padne právě jedno určité číslo je

6

1)6()5()4()3()2()1( pppppp

Jev „padne sudé číslo“ je jev složený za tří :

„padne sudé číslo“ = „padne 2“ nebo „padne 4“ nebo „padne 6“

a má tedy pravděpodobnost

2

1

6

3p


Věta 42. Nechť množina M obsahuje n elementárních jevů, nechť p je pravděpodobnost na této množině, A a B disjunktní jevy. Potom platí :

10 p1 )

0)(,1)( 0pSp2 )

Kde S je jev, který nastane při každém náhodném pokusu a 0 jev, který nenastane nikdy.

)()()( BpApBAp 3 )

)()( BpApBA 5 )

Kde pod sjednocením jevů rozumíme „nastane A“ nebo „nastane B“. Jevy musí být disjunktní, tedy A a B nemohou nastat současně.

)()()( ApBpABpBA 6 )

Tj. pravděpodobnost, že nastane doplněk A do B je rovna rozdílu pravděpodobností B a A.

)()( BpApp 4 ) Pravděpodobnost, že ve dvou nezávislých pokusech nastanou jevy A

a B je


Házejme dvěma kostkami. Jaké je pravděpodobnost, že součet bude roven pěti? A sedmi?

Příklad

V osudí je a bílých koulí a b černých. Taháme postupně tři koule a už je nevracíme zpět (tedy se celkový počet koulí v osudí zmenšuje). Určeme pravděpodobnost, že všechny vytažené koule jsou bílé.

Příklad

V osudí je a bílých koulí a b černých. Taháme postupně tři koule a už je nevracíme zpět (tedy se celkový počet koulí v osudí zmenšuje). Určeme pravděpodobnost, že vytažené koule jsou dvě bílé a jedna černá, přičemž nám nezáleží na tom, v jakém pořadí jsme je vytáhli.

Příklad

Základní vzorce kombinatoriky

Uspořádaný výběr s opakováním

kn variace s opakováním

n různých čísel

n různých čísel

n různých čísel

n různých čísel

n . n . n . n .n = nk

Pravděpodobnost, že náhodně vybereme jednu určitou k-tici tedy je knAp

1)(

Buď A množina o n prvcích. Vyberme z množiny postupně k prvků tak, že můžeme vybírat vícekrát ten samý (vracíme prvky do množiny). Počet různých k-tic, které takto lze dostat, je


Uspořádaný výběr bez opakování

)!(

!

kn

n

variace bez opakování

n různých prvků

n-1 různých prvků



n . (n-1) . (n-2) . .(n-3) = (n-1)(n-2) … (n-k+1)

Pravděpodobnost, že náhodně vybereme určitou k-tici tedy je!

)!()(

n

knAp

Buď A množina o n prvcích. Vyberme z množiny postupně k prvků, ale podruhé ho již vytáhnout nelze (nevracíme prvky do množiny).


Uspořádaný výběr všech prvků bez opakování

!n permutace

n různých prvků




n . (n-1) . (n-2) . n .(n-3) = (n-1)(n-2) … 2.1


1)(

nAp

Buď A množina o n prvcích. Vyberme z množiny postupně všech n prvků a podruhé nevracíme prvky do množiny

1 zbylý prvek


Neuspořádaný výběr prvků bez opakování

)!(!

!

knk

nkn

kombinace bez opakování

kombinační číslo


)!(!)(

n

knkAp

Nezáleží-li nám na pořadí ve výběru k prvků z n-členné množiny, považujeme všechny k-tice se stejnými prvky v různém pořadí za rovnocenné. Takových k-tic je pro každý výběr prvků k!. Vydělíme tedy ještě počet variací bez opakování k! :


Neuspořádaný výběr prvků s opakováním

)!1(!

)!1(1

nk

knkkn

kombinace s opakováním

Máme vybrat k prvků z n, mohou se opakovat ale nezáleží nám na pořadí.

k = 1 : počet možností je n.

k = 2 : počet možností je 1 1 1 2 1 3 1 4

2 1 2 2 2 3 2 4

3 1 3 2 3 3 3 4

4 1 4 2 4 3 4 4

2

)1( nn

k : počet možností je

k

knnnn

21

)1()2()1(


V osudí je a bílých koulí b a černých. Taháme postupně k koulí a už je nevracíme zpět (tedy se celkový počet koulí v osudí zmenšuje). Určeme pravděpodobnost, že poslední vytažená koule je bílá, ostatní černé. Jaká je pravděpodobnost, že poslední je bílá nehledě na předchozí?

Příklad

Počet koulí v osudí před k-tým tahem je (a + b – k + 1). Celkem bílých z toho je stále a (neboť černá dosud tažena nebyla) a černých (b – k + 1). Pravděpodobnost, že vytáhneme černou resp. bílou kouli je

1)(

1

1)(

kba

abp

kba

kbčp

pravděpodobnost, že v předchozích k-1 tazích „padly“ jen samé černé je

1

1)(

1

1

1

1

jba

jbčpp

k

j

k

j

a že v k-tém losování padne bílá je

1

1

1

1

1

jba

jb

kba

ap

k

j



Příklad

Očíslujme si koule tak, abychom je odlišili, a to bílé indexy 1 až a a černá a+1 až a+b. Kolik k-tic jde z koulí sestavit? Jedná se o variace bez opakování (nevracíme, zatím záleží na pořadí), ale chceme poslední kouli bílou, tedy na posledním místě číslo 1 až a. To znamená, že vlastně vybíráme k-1 koulí z celkového počtu a+b-1, neboť jednu bílou z a možných jsme vybrali dopředu. Tedy máme

)!(

)!1(

)!11(

)!1(

)!1(

!

kba

baa

kba

baa

kn

na

Celkový počet možných variací je

)!(

)!(

)!(

!

kba

ba

kn

n



Příklad

Pravděpodobnost je pak podíl

ba

a

kbaba

kbaba

ap

)!()!()!()!1(

tj. vůbec nezáleží na tom, kolikátý pokus děláme, vždycky bude

ba

abp

ba

bčp

)()(


Předchozí definice nám ale nestačí.

Kde je problém?

No jasně – co když je možných jevů nekonečně mnoho?

Geometrická představa o pravděpodobnosti

Přistávací systém na letišti umožňuje přistávání letadel v obtížných podmínkách v minimálních intervalech 5 min. Dvě letadla mají přiletět v 8:00 a 8:10. U prvního letadla se přílet může lišit o 10 minut, u druhého pak o 5 minut. Stanovte pravděpodobnost toho, že jedno z letadel bude muset čekat.

Příklad

50:7

00:8

10:8

50:7 00:8 10:8 20:8

20:8

Na jedné ose vyneseme možný přílet jednoho letadla, na druhé druhého. Schopnost letiště stroj přijmout je vynesen na hlavní časové ose (osa kvadrantu). Zelený trojúhel-ník označuje oblast, kdy může přistávat jedno letadlo a do toho přiletět druhé. Modrá oblast pak vyznačuje dobu, kdy se letadla na letišti střetnou. Poměr těch-to ploch pak udává pravdě-podobnost, že přistávací systém nebude mít na druhé letadlo čas:

4

1p


Georges-Louis Leclerc Hrabě z Buffonu

1707-1788

2 l

2 a

Buffonova jehla

Jaká je pravděpodobnost, že vržená jehla dopadne na linkovaný papír tak, že překříží jednu z čar?


x

l

Předpokládáme, že l < a. Prostor všech možných jevů je popsán dvěmi proměn-nými – x a φ, kde x je vzdálenost středu jehly od nejbližší linky a φ je úhel, který jehla s linkou svírá. Je-li x > a, je jehla v dosahu další linky a jehla přes dvě spadnout nemůže, tedy

ax ,0Úhel pak má smysl v intervalu

,0

Prostor všech možných jevů je tedy plocha : ,0,0 aM

M

0

a

π0


Aby jehla překřížila linku, musí platit

xl sin

Potřebujeme znát plochu pod křivou – a tu získáme integrací:

lldlA 2cossin 00

x

l

sinlx

M

0

a

π0

A

což geometricky vyjádřeno je

Z toho plyne

a

l

M

Ap

2 Pozn. : uděláme-li vysoký počet hodů a vyjádříme-li pravděpodobnost podílem dobré/všechny, získáme hodnotu π s rozumnou přesností!


Joseph Louis François Bertrand1822 - 1900

Bertrandova tětiva

Jaká je pravděpodobnost, že náhodně zvolená tětiva bude delší, než strana vepsaného rovnostranného trojúhelníka?


Máme více možností výpočtu. První z nich je počítat vzdálenost na poloměru kružnice. V tomto případě je pravděpodobnost zjevně

r/2

r/2

2

1pr/2

r/2


Jiné řešení : rozdělme kružnici na tři úhly. Podle této představy je pravděpodobnost

3

1p

60 60

60


Další řešení : dívejme se, kde leží středy tětiv. Ty opisují kružnici, která protíná trojúhelník. Pravděpodobnost může být poměr obsahu vnitřní a vnější kružnice:

4

122

2

r

r

p

Kde je problém?

No jasně – je to špatně definovaný problém. V každém případě počítáme úplně jinou úlohu. Geometrická představa zjevně také není dokonalá.

Axiomatická výstavba pravděpodobnosti

Definice 78.Kolmgorovova definice pravděpodobnosti : Buď M neprázdná množina, buď μ systém podmnožin M následujících vlastností:

M1 )

AMA2 )

1

,n

nn ANnA3 )

Množinu M nazveme množinou elementárních jevů, respektive jevový prostor. Množi-

Andrej Nikolajevč Kolmogorov1903-1987

nu μ naz. jevové pole, které obsahuje i jevy složené. Buď definováno zobrazení p : μ -> R takové, že

AAp pro)(01 )

1)( Mp2 )

3 ) Pro každou posloupnost disjunktních množin (An) z μ platí

)( nn ApAp Toto zobrazení nazveme pravděpodobností na μ.

Axiomatická výstavba pravděpodobnosti

Z předchozí definice plynou důsledky, které jsme do dřívějších definic museli zahrnout. Například :

))((: AMAaMa zvolíme-li A = M, získáme tvrzení.

)0()()()(1)(:0)( PMPMPMPaMPP a z této rovnice získáme tvrzení.

Pravděpodobnost p je ovšem jinak neurčená funkce. Můžeme ji vyrobit tak, aby fungovala pro hrací kostku normální i zfalšovanou nebo třeba pro míru možnosti toho, že nás při procházce v parku zasáhne meteorit.

Pozn. : musíme dodefinovat nezávislé jevy. Jsou to takové, pro které platí

)()( BpApBAp Dále je třeba definovat úplnou soustavu jevů : je to taková množina jevů, která má dohromady pravděpodobnost 1 a jevy jsou přitom disjunktní. Pro hrací kostku je úplná soustava jevů množina „padlo 1“, „padlo 2“, … „padlo 6“. Pomocí této soustavy lze odvodit všechny další jevy v M. Jedná se tedy vlastně o jakousi „bázi“ množiny M.

Podmíněná pravděpodobnost

Při nejrůznějších situacích je třeba zkoumat pravděpodobnost nějakého jevu za předpokladu, že současně nastal jev jiný. Pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastal jev B definujeme jako

)(

)(/

Bp

BApAp B

tedy

BAp /pravděpodobnost, že A i B nastanou současně

pravděpodobnost, že nastane B

Tato definice říká, že máme vzít jako fakt, že nastal jev B – a tedy celá jevové pole se nám vlastně smrskne na případ „nastalo B a k tomu cokoliv dalšího“. Protože ale v původním jevovém poli mohla být pravděpodobnost jevu B velmi malá, musíme pravděpodobnost „jev B a jev A“ vydělit pravděpodobností „jev B“. Tak zajistíme, že jistý jev „B a všechno ostatní dohromady“ bude mít pravděpodobnost 1.

Tím, že „zafixujeme“ jev B, vlastně definujeme nové pravděpodobnostní pole s pravděpodobností BApp /


Házejme dvěmi kostkami. Jev A : padl součet 8. Jev B : padl sudý součet. Zjistěme jednotlivé pravděpodobnosti A a B a podmíněnou pravděpodobnost

Příklad

)(

)(/

Bp

BApAp B

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

8

8

8

8

8

2

1

36

5 BpAp

Jednotlivé pravděpodobnosti jsou zjevné:

Nicméně pokud padl jev B (sudý součet), pak je celkový počet možností poloviční (18) a tedy

18

5/ BAp

To nám musí sedět i podle definičního vzorce. Jelikož součet osm je sudý, je jev B při jevu A splněn vždy a

36

5)( ApBAp

Podle vzorce pak 18

5

36

10

21

365/ BAp


Věta 43.O úplné pravděpodobnosti : Buď B nějaký jev z M, buď {A1, … An} úplná množina jevů. Buď P(Ai) pravděpodobnost každého základního jevu Ai, buď P(B/Ai) podmíněná pravděpodobnost jevu B vzhledem ke každému jevu Ai. Potom platí

)()/()(1

i

n

iA ApBpBp

i

Tj. pravděpodobnost libovolného jevu B lze rozložit do jakési „jevové báze“ – pravděpodobností B vůči Ai a pravděpodobností samotných Ai. Například pro hrací kostku A1 = „padlo 1“, …, A6 = „padlo 6“. Je-li jev B „padlo sudé číslo“, pak

1)/(0)/(1)/(0)/(1)/(0)/(

6

1)(

654

321

AAA

AAAi BpBpBp

BpBpBpAp

21

61

61

61

61

61

61

61

3

101010)(

Bp


Mějme šest cylindrů různých typů. V každém z nich je jiný počet koulí. Celkem máme :

Příklad

1x typ 1. : 2 bíle, 1 černá2x typ 2. : 1 bílá, 10 černých3x typ 1. : 3 bíle, 1 černá

Zvolme náhodně jeden cylindr a a z něj jednu kouli. S jakou pravděpodobností vytáhneme bílou?

Máme elementární jevy „volíme cylindr typu 1.“, „volíme cylindr typu 2.“ a „volíme cylindr typu 3.“ . Tyto jevy jsou základní. Můžeme psát, že

21

63

331

62

261

1 )(,)(,)( ApApAp

Pravděpodobnost jev B „vytáhnu bílou kouli“ obecně neznáme, ale známe jeho pravděpodobnosti podmíněné jevy A1, A2, A3 – kolik koulí je ve kterém cylindru přeci víme. Tedy

43

111

32 )/(,)/(,)/(

321 AAA BpBpBp


Mějme šest cylindrů různých typů. V každém z nich je jiný počet koulí. Celkem máme :

Příklad

1x typ 1. : 2 bíle, 1 černá2x typ 2. : 1 bílá, 10 černých3x typ 1. : 3 bíle, 1 černá

Zvolme náhodně jeden cylindr a a z něj jednu kouli. S jakou pravděpodobností vytáhneme bílou?

Nyní nám stačí dosadit do vzorce : 21

331

261

1 )(,)(,)( ApApAp

43

111

32 )/(,)/(,)/(

321 AAA BpBpBp

21,032

)()/()(

1326167

13233321244

61

43

111

32

61

21

43

31

111

61

32

1

i

n

iA ApBpBp

i

Tj. v cca 21% pokusů vytáhneme bílou kouli.


Věta 43.Bayesova : Buď B nějaký jev z M, buď {A1, … An} úplná množina jevů. Buď P(Ai) pravděpodobnost každého základního jevu Ai, buď P(B/Ai) podmíněná pravděpodobnost jevu B vzhledem ke každému jevu Ai. Potom platí

)()/(

)()/()/(

1i

n

iA

kABk

ApBp

ApBpAp

i

k

Tato věta tedy hovoří o tom, jak získat podmíněné pravděpodobnosti p(Ak / B), známe-li p(B / Ak). Toto tvrzení je okamžitým důsledkem věty předchozí. Bayesova věta je mocný nástroj a v experimentální fyzice je často využívána.


Digitální informace se přenáší ve formě signálů představující nuly a jedničky. Cestou ovšem může docházet ke zkreslení. Předpokládejme, že je naměřeno zkreslení v průměru 3 jedniček ze 100 (přijmou se jako nuly) a 7 nul z 1000 (přijmou se jako jedničky).

Příklad

Dále předpokládejme, že je znám poměr mezi nulami a jedničkami 9:7. Spočítejte pravděpodobnost, že nedošlo ke zkreslení, pokud byla přijata jednička, respektive pokud byla přijata nula.

Shrňme si, co máme naměřeno (pozn. : čísla jsou ve skutečnosti samozřejmě jiná) :

10007

1003 )0()1( zz ppPravděpodobnost zkreslení 1, resp. 0 :

Poměr mezi počtem 1 a 0 :

7

9

)1(

)0(

n

n

Mějme nyní událost „přišla 0“ a otestujme pravděpodobnost jevů „byla odeslána 0“ a „byla odeslána 1“.


Předně : pravděpodobnosti jevů známe.„odešla 0, přišla 0“ je 1000

993

„odešla 0, přišla 1“ je 10007

Neznáme ale pravděpodobnosti jevů „v druhém směru“, tedy„přišla 0, odešla 0“

„přišla 0, odešla 1“

Ty ale získáme z Bayesovy věty. Tedy máme události „přišla 1“ (označme P1) a „přišla 0“ (označme P0) a hypotézy „odešla 0“ (O0) a „odešla 1“ (O1). Hypotézy O0 a O1 tvoří úplnou množinu jevů. Z Bayesovy věty pak plyne pro událost P0 („přišla 0“)

)()/()()/(

)()/()/(

0010

101

01

1

0 OpPpOpPp

OpPpOp

OO

OP

)()/()()/(

)()/()/(

0010

000

01

0

0 OpPpOpPp

OpPpOp

OO

OP


)()/()()/(

)()/()/(

0010

101

01

1

0 OpPpOpPp

OpPpOp

OO

OP

Dosadíme, co známe. Jelikož , jsou pravděpodobnosti7

9

)1(

)0(

n

n

167

1169

0 )(,)( OpOp

1003

0 )/(1

OPpDále víme, že událost „odešla 1, přišla 0“ má pravděpodobnost a

událost „odešla 0, přišla 0“ . Tedy známe vše a po dosazení1000993

0 )/(0

OPp

%3.202295.03049

70

3993710

710

99937310

7310)/(

10001699937310

1001673

169

1000993

167

1003

167

1003

1 0

POp

tj. relativně malá pravděpodobnost (při reálných číslech by ovšem byla ještě o několik řádů nižší.


)()/()()/(

)()/()/(

0010

000

01

0

0 OpPpOpPp

OpPpOp

OO

OP

Dopočítáme druhý případ. Známe opět a dále víme, že167

1169

0 )(,)( OpOp

1003

0 )/(1

OPp

%7.9797704.03049

2979

3993710

3993

99937310

9993)/(

10001699937310

1000169993

169

1000993

167

1003

169

1000993

1 0

POp

což je dobře, pravděpodobnost přenos signálu v pořádku je velká a navíc97.7% + 2.3% = 100% a jiné možnosti než „signál O.K“ a „signál zkomolen“ nejsou.

1000993

0 )/(0

OPp

tedy


)()/()()/(

)()/()/(

0111

010

01

0

1 OpPpOpPp

OpPpOp

OO

OP

Zkusme druhou možnost. Tedy přišla nám jednička a chceme vědět pravděpodobnost zkreslení:

167

1169

0 )(,)( OpOp 10007

1 )/(0

OPp10097

1 )/(1

OPp

%6.000636.09907

63

8937970

79)/(

100016939710

10001679

169

10003

167

10097

169

10007

0 1

POp

tj. pravděpodobnost, že se zkreslí nula, je výrazně nižší. Pravděpodobnost, že nula dojde v pořádku, je pak 100% - 0.6% = 99.4% .

Známe :


Bayesova věta v částicové fyzice :

Odezva detektoru PID je známá, např. protony jsou identifikovány z 95 %,

elektrony z 80% a tak dále.

Do detektoru vlétne částice. Co je zač? Odezva detektoru Bayesova věta nám

pak řekne, že je to např. z 97% elektron, 3% pion a 0.5% proton.

Hustota pravděpodobnosti

Pro spojité náhodné jevy je třeba zavést míru, která by nám vyjádřila, s jakou pravděpodobností se jev „trefí“ do určitého intervalu. Například průmyslové a lékařské rentgeny jsou konstruovány na principu brzdného záření. Elektrický náboj, na který působí zrychlení, vyzařuje fotony. Podle toho, o kolik se zabrzdil, má foton vlnovou délku.

Běžné rentgenky nejprve nechají elektrony urychlit v poli o síle cca 20-50 kV a pak je nechají narazit do masivní kovové anody. Část pohybové energie elektronu se pak promění elektromagnetické záření – RTG.

Maximální možná energie fotonu je stejná, jako kinetická energie elektronu, může ale být i cokoliv nižšího. Tento jev je zcela náhodný a musí být popsán pravděpo-dobností – která ale musí mít nějakou spojitou formu.


Definice 78.Hustota pravděpodobnosti : Buď X veličina nabývající náhodné reálné hodnoty. Existuje-li reálná nezáporná funkce tak, že

2

1

)(, 21

x

xdxxfxxxp

říkáme, že veličina X má rozdělení f. Funkci f nazýváme hustotou pravděpodobnosti.

x1 x2

Plocha, uzavřená pod funkcí f na intervalu <x1, x2> je tedy rovna pravděpodobnosti, že náhodný výběr veličiny X padne do tohoto intervalu. Z toho vyplývají dvě věci. Jednak

1)(

dxxf

Veličina někam padnout musí – normovací podmínka. A dále

0)()(0

00

x

xdxxfxXp

tj. pravděpodobnost, že X nabude jednoho konkrétního vybraného čísla je nulová.


Funkce na grafu vlevo má tvar rozdělení pro energii fotonů vznikající při brždění elektronů urychlených na Ekmax. Rozdělí-me-li si celý interval <0, Ekmax> na třetiny, vidíme, že největší pravděpodobnost emise mají fotony v první a druhé třetině energetického rozsahu, maximálních energií dosahují jen velice zřídka.

Dle předchozí poznámky je pravděpodob-nost získání fotonu přesně dané energie nulová. Občas nás ale může zajímat pravděpodobnost, s jakou energie resp. vl-nová délka fotonu padne do nesmírně malého okolí dané hodnoty (infinitezimální interval):

h

xFhxFh

xFhxFdxxfhxxXphx

x

)()(

)()()(),(

00

0000

0

0

Ekmax

⅓Ekmax ⅔Ekmax

derivace?

dxxfxFdx )()(

Poissonovo rozdělení

Předpokládejme, že máme detektor, který zaznamenává radioaktivní rozpady. Rozpady jsou na sobě naprosto nezávislé a mají pravděpodobnostní charakter. Sledujme pravděpodobnost, že rozpad nastane v časovém intervalu <0, t+dt>, který lze rozdělit na <0,t> a infinitezimální interval <t, t+dt>. Předpokládejme dále, že rozpady jsou natolik řídké, že v infinitezimálním intervalu nedojde více než k jedné události. Jevy jsou nezávislé a tedy musí platit

),(),0(),0( dtttptpdttp

celý interval dlouhý interval infinitezimální interval

Za daných předpokladů je rozpadu v infinitezimálním intervalu přímo úměrná jeho délce (čím déle budeme čekat, tím spíše něco přiletí):

dtdtttp ),(f

μ

t

Hustota pravděpodobnosti radioaktivního rozpadu

Zkoumejme celkový počet rozpadajících se částic:

a) Nerozpadla se vůbec žádná. Pravděpodobnost, že se nic nestalo v intervalu <0,t> označme p0(t). Potom platí :

)1()()( 00 dttpdttp

)()()()()(

00000 tptptp

dt

tpdttp


Tato diferenciální rovnice má řešení

0)()( 00 tptp

teCtp )(0ale protože víme, že v intervalu <0,0> se stoprocentně nic nerozpadne, je p0(0) = 1 => C = 1. Tedy pravděpodobnost, že se vůbec nic nerozpadne za čas t klesá s exponenciálou. Konstanta μ je popisuje vlastnost radioaktivního materiálu.

b) Dopadla právě jedna částice. Tj. buď se rozpadla v prvním (dlouhém) intervalu, nebo v druhém (infinitezimálním). Tedy

dttpdttpdttp )()1()()( 011

pravděpodobnost, že se rozpadla právě jedna

pravděpodobnost, že se rozpadla právě jedna v

prvním intervalu

pravděpodobnost, že se NErozpadla žádná v

druhém intervalu

pravděpodobnost, že se NErozpadla právě jedna

v prvním intervalu

pravděpodobnost, že se rozpadla v druhém

intervalu

Jevy „jedna se rozpadla v prvním“ a „právě jedna se rozpadla v druhém“ se navzájem vylučují, chceme-li tedy pravděpodobnost, že se přihodil alespoň jeden z nich, musíme sečíst pravděpodobnosti každého zvlášť (padlo sudé číslo = padla 2 + padla 4 + padla 6).

?


Znovu pak dojdeme k diferenciální rovnici :

tetptptp

tptpdt

tpdttp

dttpdttptpdttp

dttpdttpdttp

)()()(

)()()()(

)()()()(

)()1()()(

011

1011

0111

011

Tuto rovnici řeší funkce jak lze snadno ověřit. Takto bychom postupovali dále a dále : rozpadly se celkem dvě částice, rozpadly se celkem tři částice, … rozpadlo se celkem n částic. Výsledné řešení je

tettp )(1

tn

n en

ttp

!)(


tn

n en

ttp

!)(

Siméon-Denis Poisson 1781 - 1840

Toto je výraz pro Poissonovo rozdělení – hustota pravdě-podobnosti, že se v časovém intervalu o délce t rozpadne právě n částic.

počet částic (n)

p

μtμtμt

Pro pevně daný počet částic a proměnný čas je rozdělení spojité, zafixujeme-li ale čas a měníme počet částic, problém se stane diskrétním (obdobně jako pravděpodobnosti hodů na kostce).

Gaussovo rozdělení

Karl Friedrich Gauss

1777-1855

2

2

2

)(

22

1)(

x

exN

Gaussovo normální rozdělení je jedno z nejdůležitějších statistických rozdělení vůbec. Popisuje například chyby při měření – opakovaně měřená veličina o té samé hodnotě vykáže na přístrojích toto rozdělení. Rozdělení je popsáno konstantami μ (poloha maxima na ose x) a σ (pološířka křivky v přibližně polovině výšky).


Ukažte, že parametr σ má význam vzdálenosti inflexních bodů na křivce od polohy střední hodnoty (μ). Spočítejte, jak vysoko jsou tyto body vůči ose x. Dále ukažte, že integrál gaussova rozdělení přes celý definiční obor je skutečně 1.

Příklad

Střední hodnota

Některá rozdělení mají takový tvar, že určité hodnoty jsou preferované více, než jiné. Například házíme-li dvěma kostkami, málokdy padne součet 2, často ale padá součet 7:

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

2 3 4 5 6 7

3 4 5 6 7 8

4 5 6 7 8 9

5 6 7 8 9 10

6 7 8 9 10 11

7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

366

362

364

pravděpodob-nost součtu

Pokud se podíváme na rozdělení pravděpodobnosti vrhu dvou kostek, vidíme, že maximální hodnotu má v bodě 7 (viz Osadníci z Katanu a zloděj ). Tuto hodnotu můžeme získat výrazem :

7)1276232(

12732)(

361

361

366

362

361

12

2

n

npn

Střední hodnota

Vzorec pro výpočet střední hodnoty je vlastně vážený průměr. Dle definice je vážený průměr

n

ii

n

iii

w

xwx

1

1

kde x1 … xn jsou hodnoty veličiny X a w1 … wn jejich váhy. Takto například spočítáme průměr prospěchu, kdy hodnoty xi jsou známky (1 až 5) a váhy počet známek, které student dostal.

V případě rozdělení pravděpodobnosti je hodnota jevu vážena jeho pravděpodobností – tedy častěji se vyskytující jevy mají větší váhu, než zřídka se vyskytující jevy. Tedy

n

iii

n

iii

n

ii

n

iii

xXpxxxXp

xXp

xxXpx

1

1

1

1 )(1

)(

)(

)(

kde n musí jít přes všechny možné jevy. Je-li jev spojitý, přejde suma na integrál :

dxxpxdxxpx

dxxp

dxxpxx )(

1

)(

)(

)(

Pravděpodobnost jevu „veličina X padla jako xi“. Velké X může například znamenat „hod kostkou“.

Střední hodnota

Střední hodnota rozdělení nemusí být nutně jedním z jevů. Například střední hodnota pro jednoduché vrhy obyčejnou hrací kostkou je

5.3)( 1276

2)16(6

61

6

161

6

161

1

ii

n

iii iixpxx

Číslo 3.5 na kostce nikdy nepadne, pokud ale učiníme velké množství hodů a uděláme z nich aritmetický průměr, bude se tomuto číslu blížit.

Spočítejte střední hodnotu diskrétního rozdělení pn(i) a Gaussova normálního rozdělení.

Příklad

2

2

2

)(

22

1)(

x

exN},,2,1{)1(

2)( ni

nn

iipn

n

iii xxpxxXE

1

)()(

Střední hodnota rozdělení pravděpodobnosti

dxxpxxXE )()(

Střední hodnota

tj. je lineární.bXEabXaE )()(1 )

n

iii xxpxxXE

1

)()(


dxxpxxXE )()(

Podívejme se nejprve na diskrétní případ. Je třeba si uvědomit, že výraz aX+b znamená „každou náhodnou realizaci veličiny X vynásobme číslem a a přičtěme b“. Tedy z hodu kostkou {1,2,3,4,5,6} udělá 2X+3 čísla {5,7,9,11,13,15}. Pravděpodobnost jednotlivých hodů je ale stejná, p( X = xi ) je tedy rovna pravděpodobnosti p( aX + b = axi + b). Potom je

Střední hodnota rozdělení má následující vlastnosti :

bXaEbxXpxaxXpbxXpxa

xXpbaxbaxbaXpbaxbaXE

n

iii

n

ii

n

iii

n

iii

n

iii

)()()()(

)()()()()(

111

11

obdobně

bXaEbdxxxfa

dxxfbdxxxfadxxfbaxbaXE

)(1)(

)()()()()(

Střední hodnota

bXEabXa )(2 )

n

iii xxpxxXE

1

)()(


dxxpxxXE )()(

Střední hodnota rozdělení má následující vlastnosti :

)()()( YEXEYXE 3 )

tj. realizujeme současně dvě náhodné veličiny (hody kostkami) a sečteme, pak střední hodnota je součtem středních hodnot jednotlivých veličin (každé kostky zvlášť).

)()()( YEXEYXE 4 )

pokud jsou veličiny X a Y na sobě zcela nezávislé. Veličiny jsou závislé, pokud jsou nějakým způsobem provázané – například položíme-li na kostky podmínku, že nesmí padnout dvě šestky současně (pokud se tak stane, házíme jednou z nich znovu). Důkaz souvisí s faktem, že pro pravděpodobnosti nezávislých jevů platí p(x.y) = p(x) . p(y) .

Rozptyl

2))(()( XEXEXD

n

iii xxpXExxXD

1

2 )())(()var()(

Rozptyl

dxxpXExXXD )()()var()( 2

Rozptyl hovoří o tom, jak moc blízko se veličina „motá“ kolem střední hodnoty. Vysoký rozptyl znamená, že se daleko od E(X) vyskytuje často, zatímco nízký rozptyl znamená, že veličina obvykle padá do těsné blízkosti E(X). Definice je také možno přepsat na

a dále jako

)()( 2 XDabaXD

pro nezávislé veličiny

22

22222

2222

)()(

)()(2)()1()()()(2)(

))(())(2()()()(2)(

XEXE

XEXEXEEXEXEXEXE

XEEXEXEXEXEXEXXEXD

Platí

)()()( YDXDYXD

Rozptyl

Spočítejte rozptyl při hodu jednou a dvěma kostkami.Příklad

Spočítejte rozptyl Gaussova normálního rozděleníPříklad

2

2

2

)(

22

1)(

x

exN

Spočítejte rozptyl diskrétního rozdělení pn(i)Příklad

},,2,1{)1(

2)( ni

nn

iipn

Protože rozptyl je vzhledem k původní veličině druhá mocnina, zavádí se tzv. směrodatná odchylka, která je v původních jednotkách :

22)()( XEXEXDX

Shrnutí

• Klasická definice pravděpodobnosti

• Základní vzorce kombinatoriky

• Geometrická představa pravděpodobnosti

• Kolmogorovova definice pravděpodobnosti

• Podmíněná pravděpodobnost

• Bayesova věta

• Hustota pravděpodobnosti

• Poissonovo rozdělení

• Gaussovo normální rozdělení

• Střední hodnota, rozptyl

Date post:	01-Feb-2016
Category:	Documents
Upload:	carol
View:	79 times
Download:	0 times

Pravděpodobnost náhodných jevů

Documents